河北省邢台市2020-2021学年高二上学期期中考试试题 数学含答案
邢台市2020～2021学年高二(上)期中测试
数学
考生注意：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：人教A版必修3，选修2－1第一、二章。
第I卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p：∀x∈R，2x2＋2x＋1>0，则p的否定是
A.∃x∈R，2x2＋2x＋1>0
B.∀x∈R，2x2＋2x＋1<0
C.∃x∈R，2x2＋2x＋1≤0
D.∀x∈R，2x2＋2x＋1≤0
2.抛物线x2＝1
4
y的准线方程为
A.x＝－1
B.x＝－
1
16
C.y＝－1
D.y＝－
1
16
3.某中学初中部有600名学生，高中部有800名学生，其性别比例如图所示，则该校男生比女生多
A.60人
B.100人
C.150人
D.180人
4.2020年“五一”劳动节某中学组织开展了“劳动美”社会实践活动，鼓励孩子们居家劳动，在做家务的过程中体验劳动的艰辛与快乐。
某同学要在洗碗拖地、收纳衣服、做饭买菜这五种家务中任选两种，则该同学没有选择洗碗的概率为
A.
7
10
B.
3
5
C.
1
2
D.
2
5
5.已知椭圆C：
22
22
1(0)
2
x y
m
m m
+=>的左右焦点分别为F1，F2，P为C上任意一点，则|PF1|
＋|PF2|≥12的一个充分不必要条件是
A.|F1F2|≥6
B.|F1F2|≥2
C.|F1F2|≥3
D.|F1F2|≥9
6.双曲线
22
2020
1
sin40cos40
x y
-=的渐近线的斜率为
A.±tan50°
B.±tan40°
C.±sin50°
D.±sin40°
7.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点O，并且经过点M(3，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为6，则|OM|＝
A.5
B.35
C.6
D.62
8.设F1，F2分别为双曲线C：
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左、右焦点，实轴为A1A2。
若P为
C右支上的一点，线段PF1的中点为M，且F2M⊥PF1，|F2M|＝
7
2
|A1A2|，则C的离心率为
A.4
3
B.
5
3
C.2
D.
7
3
二、选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.某射击运动员进行了14次射击训练，统计数据如下表：
则
A.这组数据的中位数为8.5
B.这组数据的众数为8
C.这组数据的中位数为8
D.这组数据的众数为9
10.已知双曲线C：x2－
2
6
y
＝1，则
A.C7
B.C6倍
C.双曲线
2
6
y
－x2＝1与C的渐近线相同 D.直线y＝3x上存在一点在C上
11.下列判断中正确的是
A.“x>2ln2”是“x>ln3”的充分不必要条件
B.“a>1”是“函数f(x)＝x2－ax＋a2－1有两个正零点”的充要条件
C.“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的必要不充分条件
D.“a>2b”是“a2>4b2”的既不充分也不必要条件
12.已知曲线C的方程为x2＋
2
9
y
＝1(0<x≤1)，A(0，－3)，B(0，3)，D(－1，0)，点P是C上
的动点，直线AP与直线x＝5交于点M，直线BP与直线x＝5交于点N，则△DMN的面积可能为
A.73
B.76
C.68
D.72
第II卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡中的横线上。
13.椭圆
22
1
75
x y
+=的左焦点的坐标为。
14.已知一组数据x1，x2，x3，…，x10的方差为5，则数据3x1－10，3x2－10，3x3－10，…，3x10－10的方差为。
15.设有下列四个命题：
①若A>0，B<0，则直线Ax＋By－2＝0不经过第二象限；
②抛物线x2＝－8y的焦点在圆x2＋(y＋1)2＝2的内部；
③若方程x2＋
2
y
m
＝1表示双曲线，则m<0；
④不等式lg(x2－1)<1的解集为()。
其中所有真命题的序号是。
16.已知动圆Q与圆C1：x2＋(y＋4)2＝9外切，与圆C2：x2＋(y－4)2＝9内切，则动圆圆心Q 的轨迹方程为。
四、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
在①m>0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3，②C的焦距为6，③C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中。
问题：已知双曲线C：
22
1
2
x y
m m
-=，，求C的方程。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.(12分)
如今，中国的“双十一”已经变成了全民狂欢的“电商购物日”某电商统计了近8年“双十
一”期间该电商的宣传费用x(单位：万元)和利润y(单位：十万元)的数据，得到下列表格：
(1)由表中数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+(b ，a 精确到0.01)； (2)用(1)中的回归方程预测当宣传费为14万元时的利润。
附：回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nxy
b
a
y bx x
nx ==-==--∑∑ 参考数据：8
8
21
1
241,356i i
i i i x y
x ====∑∑。
19.(12分)
已知直线l 与抛物线C ：y 2＝5x 交于A ，B 两点。
(1)若l 的方程为y ＝2x －1，求|AB|； (2)若弦AB 的中点为(6，－1)，求l 的方程。
20.(12分)
某食品厂为了检测某批袋装食品的质量，从该批食品中抽取了一个容量为100的样本，测量它们的质量(单位：克)。
根据数据分为[92，94)，[94，96)，[96，98)，[99，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]七组，其频率分布直方图如图所示。
(1)根据频率分布直方图，估计这批袋装食品质量的中位数。
(保留一位小数)
(2)记产品质量在[98，102)内为优等品，每袋可获利5元；产品质量在[92，94)内为不合格品，每袋亏损2元；其余的为合格品，每袋可获利3元。
若该批食品共有10000袋，以样本的频率代替总体在各组的频率，求该批袋装食品的总利润。
21.(12分)
已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左焦点为F(－1，0)，过点F的直线l交椭圆C于A，
B两点，当直线l垂直于x轴时，△OAB的面积为
3
(O为原点)。
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l，求直线OA的斜率的取值范围。
22.(12分)
已知圆M：(x－1)2＋y2＝1
4
，动圆N与圆M相外切，且与直线x＝－
1
2
相切。
(1)求动圆圆心N的轨迹C的方程。
(2)已知点P(－1
2
，－
1
2
)，Q(1，2)，过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A，B(与Q
点不重合)，直线QA，QB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由。
金太阳2020-2021年学年度上学期期中考试高二试题
2020-2021学年度上学期期中考试高二试题数学考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求.1.已知方程m y x =+32的曲线通过点()2,1-，则=m （）A 5B 8C 9D 102.已知向量()()4,,3,3,1,2k b a -=-=→→，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-⊥→→→b a a ，则k 的值为（）A 8-B 6-C 6D 103.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()()()M C B A ,2,5,6,1,6,2-为BC 的中点，则中线AM 所在直线的方程为（）A 02610=-+y xB 0228=-+y x C 0268=-+y x D 03410=--y x 4.已知点()()1,0,0,1B A ，圆()31:22=++y x C ，则（）A B A ,都在C 内B A 在C 外，B 在C 内C B A ,都在C 外D A 在C 内，B 在C 外5.在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为BC 的中点，则异面直线MD 与1AB 所成角的余弦值是（）A 55B 552C 510D 5156.已知椭圆()012:2222>=+m m y m x C 的左、右焦点分别为P F F ,,21为C 上任意一点，若1221≥+PF PF ，则必有（）A 2621≤F F B 2621≥F F C 921≤F F D 921≥F F 7.设直线03=+--k y kx 过定点A ，直线082=--k y kx 过定点B ，则直线AB 的倾斜角为（）A 65πB 32πC 3πD 6π8.设21,F F 分别为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，实轴为21A A ，若P 为C 的右支上的一点，线段1PF 的中点为M ，且2121127,A A M F PF M F =⊥，则C 的离心率为（）A 34B 35C 2D 37二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.以下关于向量的说法中正确的是（）A 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则中点围成一个球面B 若→→=b a ，则→→=ba C 若→a 与→b 共线，→b 与→c 共线，则→a 与→c 可能不共线D 若→→-=b a ，且→→=c b ，则→→=ca 10.已知双曲线16:22=-y x C ，则（）A C 的焦距为7B C 的虚轴长是实轴长的6倍C 双曲线1622=-x y 与C 的渐近线相同D 直线x y 3=上存在一点在C 上11.若过点()1,2-的圆M 与两坐标轴都相切，则直线01043=+-y x 与圆M 的位置关系可能是（）A 相交B 相切C 相离D 不能确定12.已知曲线C 的方程为()()()()0,1,3,0,3,0,101922--≤<=+D B A x y x ，点P 是C 上的动点，直线AP 与直线5=x 交于点M ，直线BP 与直线5=x 交于点N ，则DMN ∆的面积可能为（）A 73B 76C 68D 72第Ⅱ卷三．填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13.若直线()0814=+++y m x 与直线0932=--y x 平行，则这两条平行直线间的距离为__________.14.在四棱柱1111D C B A ABCD -中，→→→→++=11AA z AC y AB x BC ，则=--z y x _________.15.设椭圆()*22221112N n n y n x ∈=+++的焦距为n a .，则数列{}n a 的前n 项和为___________.16.已知动圆Q 与圆()94:221=++y x C 外切，与圆()94:222=-+y x C 内切，则动圆圆心的轨迹方程为______四．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）在①它的倾斜角比直线13-=x y 的倾斜角小12π，②与直线01=-+y x 垂直，③在y 轴上的截距为1-，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知直线l 过点()1,2，且__________，求直线l 的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且短轴长为72，离心率为43.（1）求C 的标准方程；（2）若C 的焦点在x 轴上，C 的焦点恰为椭圆M 长轴的端点，且M 的离心率与双曲线15422=-x y 的离心率互为倒数，求M 的标准方程.19.（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，E AB AA ,221==为1DD 的中点.（1）证明：⊥CE 平面E C B 11；（2）求二面角B E C B --11的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC D -中，⊥DA 平面BC AB ABC ⊥,且4,3,2===AD AB BC .（1）证明：BCD ∆为直角三角形；（2）以A 为圆心，在平面DAB 中作四分之一个圆，如图所示，E 为圆弧上一点，且︒=∠=45,2EAD AE ，求AE 与平面BCD 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知P 是椭圆18:22=+y x C 上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，求直线PA 的斜率；（2）若Q 是圆()4911:22=++y x D 上的动点，求PQ 的最小值.22.（本小题满分12分）已知圆012:22=-+++Ey Dx y x C 过点()7,1-P ，圆心C 在直线022:=--y x l 上.（1）求圆C 的一般方程；（2）若不过原点O 的直线l 与圆C 交于B A ,两点，且12-=⋅→→OB OA ，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.。
2021-2022学年-有答案-河北省邢台市学校初二(上)期中考试数学试卷
2021-2022学年河北省邢台市学校初二（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 近似数0.13是精确到（）A.十分位B.百分位C.千分位D.百位2. 买a台空调花费b元，则买10台这样的空调要花费（）A.a10b 元 B.10ab元 C.10ba元 D.10ab元3. 已知图中的两个三角形全等，则∠A的对应角是（）A.∠BCEB.∠EC.∠ACDD.∠B4. 把分式xx+y的分子、分母同时乘以n，分式的值保持不变，则n的值为（）A.任意有理数B.任意整数C.任意实数D.任意非零实数5. 已知实数a的一个平方根是−2，则此实数的算术平方根是（）A.±2B.−2C.2D.46. 已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（）A.平分已知角B.作已知直线的垂线C.作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段D.作已知直线的平行线7. 对于分式x−2x−a来说，当x=−1时，无意义，则a的值是（）A.1B.2C.−1D.−28. 若a表示正整数，且√15.1<a<√332，则a的值是( )A.3B.4C.15D.169. 在等式a2+2a+1a2+a =a+1M中，M为（）A.aB.a+1C.−aD.a2−110. 如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B，则点B表示的数是（）A.π−1B.2π−1C.2πD.2π+111. 解分式方程x2x−1−3=21−2x时，去分母正确的是( )A.x−6x−3=−2B.x−3=−2C.x−3(2x−1)=2D.x−3(2x−1)=−212. 图中的小正方形边长都相等，若△MNP≅△MFQ，则点Q可能是图中的（）A.点DB.点CC.点BD.点A13. 下列各图中a，b，c为△ABC的边长，根据图中标注数据，判断四个三角形和如图△ABC不一定全等的是( )A. B.C. D.14. 如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB 中，初始位置为CD ，当一端C 下滑至C ′时，另一端D 向右滑到D ′，则下列说法正确的是（ ）A.下滑过程中，始终有CC ′=DD ′B.下滑过程中，始终有CC ′≠DD ′C.若OC <OD ，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC ′=DD ′D.若OC >OD ，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC ′=DD ′二、填空题比较大小： −√263________−3（用“>”，“<”或“=”填空）.若实数x ，y 满足√x +|y −1|=0，则代数式x +y 的值为________.如图， AB =9cm ，AC =3cm ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点B 向点A 运动，同时点Q 在射线BD 上以xcm/s 的速度由点B 沿射线BD 的方向运动，它们运动的时间为t (s ).图① 图②(1)如图①，若AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，当△ACP ≅△BPQ ，x =________，∠CPQ =________.(2)如图②， ∠CAB =∠DBA ，当△ACP 与△BPQ 全等时，x =________.三、解答题课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：−227，−√2，|−12|，0， 2π，−√83，其中，甲说“−227”，乙说“−√2”，丙说“2π”．(1)甲、乙、丙三个人中，说错的是________；(2)请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：尺规作图：如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使AB=a−b，AC=b，BC=c .（不写作法，保留作图痕迹）已知分式1−mm2−1÷(1+1m−1)．(1)请对分式进行化简；(2)如图，若m从−1≤m≤3中取一个合适的整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第________段上．（填写序号即可）已知：点E是△ABC边BC上一点，D是△ABC外一点，DE交AC于F，AC=AD，∠1=∠2=∠CED，求证：AB=AE.小辰想用一块面积为100cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为90cm2的长方形纸片，使它的长与宽之比为5:3．小辰能否用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片？若能，请写出具体裁法；若不能，请说明理由．2020年春节寒假期间，小红同学完成寒假数学作业的情况是这样的：刚开始放假后放松调节了几天，随后每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠肺炎疫情的加重，当地加强了防控措施，对外出进行了限制，小红有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原来提前6天完成寒假数学作业，已知寒假数学作业共有34页，求小红原来每天做多少页的寒假数学作业？某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，证明：△ACD≅△EBD；【理解与应用】(2)如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是________.(3)如图3，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+ CF>EF.参考答案与试题解析2021-2022学年河北省邢台市学校初二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】近似数和有效数字【解析】此题暂无解析【解答】解：近似数0.13是精确到百分位.故选B.2.【答案】C【考点】列代数式【解析】已知a台空调花费b元，可以求出每台空调需要多少元，10×每台空调所需费用，即可求出买10台这样的空调需要的花费．【解答】解：由题意可得：每台空调需要：b元，a所以，买10台这样的空调需要的花费为：10b元.a故选C.3.【答案】A【考点】全等三角形的性质【解析】观察图形，AD与CE是对应边，根据对应边去找对应角．【解答】解：观察图形知，AD与CE是对应边，∴∠B与∠ACD是对应角.又∠D与∠E是对应角∴∠A与∠BCE是对应角．故选A.4.【答案】D【考点】分式的基本性质【解析】根据分式的基本性质即可得到答案.【解答】解：∵把分式xx+y的分子、分母同时乘以n(n≠0)，由分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.∴nxn(x+y)=xx+y.故选D.5.【答案】C【考点】算术平方根平方根【解析】分别利用算术平方根以及平方根的定义分析得出答案．【解答】解：∵实数a的一个平方根是−2，∴a=4，∴4的算术平方根是2.故选C．6.【答案】C【考点】作一个角等于已知角作一条线段等于已知线段【解析】看利用ASA是怎么作三角形的即可．【解答】解：已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段.故选C.7.【答案】C【考点】无意义分式的条件【解析】根据分式无意义的条件是分母等于0即可得到答案.【解答】解：∵x=−1时，分式x−2x−a无意义，∴x−a=0，∴−1−a=0，即a=−1.故选C.8.【答案】B【考点】无理数的大小比较【解析】此题暂无解析【解答】解：∵√15.1<a<√16.5，a为正整数，∴a=√16=4.故选B.9.【答案】A【考点】约分分式的化简求值【解析】将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可．【解答】解：a 2+2a+1a2+a=(a+1)2a(a+1)=a+1a，所以M=a.故选A.10.【答案】B【考点】在数轴上表示实数【解析】根据圆的直径为1，可得圆的周长为π，接下来，观察图形可知，当圆向右滚动两周时，点A移动的距离刚好是圆的周长的两倍，可得AB，从而可以求出.【解答】解：∵圆的直径为1，∴圆的周长为πd=π×1=π.观察图形可知，当圆向右滚动两周时，点A移动的距离刚好是圆的周长的两倍，∴AB=2π，故点B所表示的数是2π−1.故选B．11.【答案】D【考点】解分式方程——可化为一元一次方程【解析】先变形，再两边同乘以2x−1，即可解答.【解答】解：x2x−1−3=21−2x，化为同分母得x2x−1−3=−22x−1，去分母得x−3(2x−1)=−2.故选D.12.【答案】A【考点】全等三角形的性质【解析】根据全等三角形的判定即可解决问题．【解答】解：如图，观察图象可知△MNP≅△MFD．故选A.13.【答案】A【考点】全等三角形的判定三角形内角和定理【解析】先利用三角形内角和计算出∠A =60∘，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵ ∠B =70∘ ，∠C =50∘，∴ ∠A =180∘−70∘−50∘=60∘.根据SSA 无法判断图甲中的三角形与△ABC 全等；根据SAS 可以判断图乙中的三角形与△ABC 全等；根据AAS 可以判断图丙中的三角形与△ABC 全等；根据SSS 可以判断图丁中的三角形与△ABC 全等．故选A ．14.【答案】D【考点】全等三角形的性质与判定全等三角形的应用【解析】根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB 中，初始位置为CD ，当一端C 下滑至C ′时，另一端D 向右滑到D ′，可得： CD =C ′D ′A ，下滑过程中，CC ′与DD ′不一定相等，故A 说法错误；B ，下滑过程中，当△OCD 与△OD ′C ′全等时， CC ′=DD ′，故B 说法错误；C ，若OC <OD ， 则下滑过程中，无法使△OCD 与△OD ′C ′全等，故不存在某个位置使得CC ′=DD ′ ，故C 说法错误；D ，若OC >OD ，则下滑过程中，当△OCD 与△OD ′C ′全等时，一定存在某个位置使得CC ′=DD ′，故D 说法正确.故选D ．二、填空题【答案】>【考点】实数大小比较【解析】首先将−3转化为−√273，再根据实数大小的比较方法，两个负数相比较，绝对值大的反而小，即可得到答案.【解答】解：∵ 3=√273>√263，∴ −√263>−√273即−√263>−3.故答案为：>.【答案】1【考点】非负数的性质：绝对值非负数的性质：算术平方根【解析】根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性就可以求出x和y的值，再把x和y的值代入x+y计算即可解答.【解答】解：∵√x+|y−1|=0，∴√x=0，y−1=0，∴x=0，y=1，∴x+y=0+1=1.故答案为：1.【答案】2,90∘2或23【考点】全等三角形的性质全等三角形的判定【解析】【解答】解：(1)由△ACP≅△BPQ可知：AC=BP=3cm，=3s，∴运动了31则AP=9−3=6cm，∴BQ=AP=6cm，=2.∴x=63根据全等可知：∠APC=∠PQB，∠ACP=∠BPQ，∵∠APC+∠ACP=90∘，∴∠APC+∠BPQ=90∘，∴∠CPQ=90∘.故答案为：2；90∘.(2)①当△ACP≅△BPQ时，AC=BP=3cm，∴运动时间为3s，则AP=9−3=6cm，∴BQ=AP=6cm，=2.∴x=63②当△ACP≅△BQP时，cm，BQ=AC=3cm，AP=BP=92此时运动92s，x=3÷92=23.故答案为：2或23.三、解答题【答案】甲(2)正实数有：|−12|，2π，负分数有：−227.【考点】有理数的概念无理数的识别实数【解析】直接利用无理数的定义判断即可.直接按照各自数值的特点判断即可.【解答】解：(1)因为−227是负分数，属于有理数；−√2是无理数，2π是无理数．所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．故答案为：甲.(2)正实数有：|−12|，2π，负分数有：−227.【答案】解：答案如图所示：【考点】作图—基本作图【解析】此题暂无解析【解答】解：答案如图所示：【答案】解：(1)原式=1−mm2−1÷m−1+1m−1=1−m(m+1)(m−1)⋅m−1m=1−1 m+1=m+1−1 m+1=mm+1.②【考点】分式的化简求值数轴【解析】（1）先算减法，再把除法变成乘法，孙乘法，最后算减法即可；（2）根据化简的结果和数轴得出即可．【解答】解：(1)原式=1−mm2−1÷m−1+1m−1=1−m(m+1)(m−1)⋅m−1m=1−1 m+1=m+1−1 m+1=mm+1.(2)∵原式=mm+1，m为整数且m≠±1，0，∴m可取2,3，∴该分式的值应落在数轴的②处.故答案为：②．【答案】证明：∵∠1=∠2，∴ ∠BAC=∠EAD，∵∠2=∠CED，∠AFD=∠CFE，∴∠C=∠D．∵AC=AD，∴△BAC≅△EAD，∴AB=AE．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】【解答】证明：∵∠1=∠2，∴ ∠BAC=∠EAD，∵∠2=∠CED，∠AFD=∠CFE，∴∠C=∠D．∵AC=AD，∴△BAC≅△EAD，∴AB=AE．【答案】解：不能．理由如下：设长方形纸片的长为5x，则宽为3x，根据题意，得5x⋅3x=90，∴ x=√6，∴ 长方形纸片的长为5√6cm，∵√6>2，∴ 5√6>10，即长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．答：无法裁出符合要求的长方形纸片．【考点】平方根实数大小比较【解析】此题暂无解析【解答】解：不能．理由如下：设长方形纸片的长为5x，则宽为3x，根据题意，得5x⋅3x=90，∴ x=√6，∴ 长方形纸片的长为5√6cm，∵√6>2，∴ 5√6>10，即长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．答：无法裁出符合要求的长方形纸片．【答案】解：设小红原来每天做x页的寒假数学作业，则做作业的效率提高后每天做2x页的寒假数学作业，依题意，得：34x −(5+34−5x2x)=6，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．答：小红原来每天做2页的寒假数学作业．【考点】分式方程的应用【解析】设小红原来每天做×页的寒假数学作业，则做作业的效率提高后每天做2x页的寒假数学作业，依题意，得：34x −(5+34−5x2x)=6，解得：x+2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．答：小红原来每天做2页的寒假数学作业．【解答】解：设小红原来每天做x页的寒假数学作业，则做作业的效率提高后每天做2x页的寒假数学作业，依题意，得：34x −(5+34−5x2x)=6，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．答：小红原来每天做2页的寒假数学作业．【答案】(1)证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ACD和△EBD中，{AD=ED,∠ADC=∠EDB, CD=BD,∴△ACD≅△EBD(SAS).1<x<4(3)解：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG，在△DFC和△DGB中，∵DF=DG，∠CDF=∠BDG，DC=DB，∴△DFC≅DGB(SAS)，∴BG=CF.在△EDF和△EDG.∵DF=DG，∠FDE=∠GDE，DE=DE，∴△EDF≅△EDG(SAS)，∴EF=EG.在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE>EG.又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF>EF.【考点】全等三角形的判定三角形的中线三角形三边关系全等三角形的性质与判定【解析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ=[DE= 3，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD至G，使得OD=DF，连接BG，EG，求证△DFC=DGB(SAS)，得到BG=CF，再证△EDF≅△EDG(SAS)，得到EF=EG，在△BEG中，两边之和大于第三边，可得BG+BE>EG，又EF=EG,BG=CF，即可证得BE+CF>EF.【解答】(1)证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ACD和△EBD中，{AD=ED,∠ADC=∠EDB, CD=BD,∴△ACD≅△EBD(SAS).(2)解：延长EP至点G，使PE=GP，连接GD，∵EP是△DEF的中线，∴FP=DP，在△FPE和△DPG中，{EP=GP,∠FPE=∠DPG, FP=DP,△FPE≅△DPG(SAS)，∴EF=GD=5，EP=GP=x.∵在△GDE中，DE=3，∴GD−DE<GE<GD+DE，∴5−3<GE<5+3，∴2<2x<8，∴1<x<4.故答案为：1<x<4.(3)解：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG，在△DFC和△DGB中，∵DF=DG，∠CDF=∠BDG，DC=DB，∴△DFC≅DGB(SAS)，∴BG=CF.在△EDF和△EDG.∵DF=DG，∠FDE=∠GDE，DE=DE，∴△EDF≅△EDG(SAS)，∴EF=EG.在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE>EG.又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF>EF.。
河北省邢台市部分学校2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
2023~2024学年高一（上）质检联盟期中考试数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上；2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．问答非选择题时．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第一章至第三章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.英文单词excellent 的所有字母组成的集合共有（）A.6个元素B.7个元素C.8个元素D.9个元素2.命题“R x ∃∈，100020x +>”的否定是（）A.R x ∃∉，100020x +≤B.R x ∃∈，100020x +≤C.R x ∀∈，100020x +≤D.R x ∀∉，100020x +≤3.若a c >，b c >，则（）A.2ab c > B.2ab c < C.2a b c+> D.2a b c+<4.函数2(21)31f x x x +=-+，则(3)f =（）A.1- B.1C.2-D.25.函数()f x =的部分图象大致为（）A. B. C. D.6.设等腰三角形ABC 的腰长为x ，底边长为y ，且1y x =+，则“ABC 其中一条边长为6”是“ABC 的周长为16”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若关于x 的不等式22340ax ax a ++-<对x ∈R 恒成立，则a 的取值集合为（）A.{}20a a -<< B.{}20a a -<≤ C.{}0a a < D.{}0a a ≤8.定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，且当213x x >>时，()()21210f x f x x x ->-恒成立，设()225a f x x =-+，52b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()24c f x =+，则（）A.c a b>> B.c b a >> C.a c b>> D.b c a>>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（）A.()2f x x =，()g x =B.()f x =，()g x=C .()9f x x=，()29x g x x = D.()1f x x =+，()211x g x x -=-10.已知幂函数()f x 满足f =，则（）A.()3f x x= B.()2f x =C.()f x 的图象经过原点D.()f x 的图象不经过第二象限11.“集合(){}22,2,N,N A x y xy a x y =+<∈∈只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（）A.312a <<B.724a <≤ C.23a ≤< D.3724a <<12.函数()()||4f x x x =--在[]ab ,上的最大值为4，最小值为10b -，则b a -的值可能为（）A. B.C.8D.9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某停车场的收费规则：停车1小时以内（含1小时整）收费5元；停车超过1小时，超出部分按每小时2元收费，不足1小时按1小时收费．王先生某日上午10：00进入该停车场停车，当日下午2：35驶出该停车场，则王先生应付的停车费为______元．14.已知109x <<__________．15.已知()3221x bx f x x +=+是定义在[]2,3a a +上的奇函数，则=a ______，b =______．16.已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，且()0,x ∀∈+∞，()(6ff x =，则()100f =______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合{}22240A x x x =--≤，{}632B x m x m =-≤≤+．（1）若3m =，求A B ⋂；（2）若A B A ⋃=，求m 的取值范围．18.已知幂函数22()(44)m f x m m x +=++在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值；（2）若(21)(3)m m a a ---<+，求a 的取值范围.19.已知函数()221422f x x x +=++．（1）求()f x 的解析式；（2）试判断函数()()f x g x x=在)+∞上的单调性，并用单调性的定义证明．20.已知某污水处理厂的月处理成本y （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系可近似地表示为()212580210400y x mx x =-+≤≤．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？（2）请写出该厂每月获利z （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，21.已知定义在[]22-,上的函数()f x 满足[],1,1m n ∀∈-，()()()()222f m f n f m n f m n +=+⋅-，()00f ≠．（1）试判断()f x 的奇偶性，并说明理由．（2）证明：()2928f x x x +≥-．22.已知关于x 的不等式()22320bx ab b x a b ab --+-<．（1）当1b =，1a >时，求原不等式的解集；（2）当()1b a a =≤时，求原不等式的解集；（3）在（1）的条件下，若不等式恰有1000个整数解，求a的取值集合.2023~2024学年高一（上）质检联盟期中考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上；2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．问答非选择题时．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第一章至第三章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.英文单词excellent 的所有字母组成的集合共有（）A.6个元素 B.7个元素C.8个元素D.9个元素【答案】A 【解析】【分析】根据集合中元素的互异性判断即可.【详解】excellent 的所有字母组成的集合为{}e,x,c,l,n,t ，共有6个元素．故选：A.2.命题“R x ∃∈，100020x +>”的否定是（）A.R x ∃∉，100020x +≤B.R x ∃∈，100020x +≤C.R x ∀∈，100020x +≤D.R x ∀∉，100020x +≤【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定判断.【详解】存在量词命题的否定为全称命题，所以命题“R x ∃∈，100020x +>”的否定是R x ∀∈，100020x +≤.故选：C.3.若a c >，b c >，则（）A.2ab c > B.2ab c < C.2a b c+> D.2a b c+<【答案】C 【解析】【分析】通过举反例和不等式性质即可得答案.【详解】取1a b ==，1c =-，有2ab c =，A ，B 均错误．因为a c >，b c >，所以2a b c +>，C 正确，D 错误．故选:C.4.函数2(21)31f x x x +=-+，则(3)f =（）A.1- B.1C.2- D.2【答案】A 【解析】【分析】由解析式代入计算函数值即可.【详解】设213x +=，得1x =，则(3)1311f =-+=-.故选：A.5.函数()f x =的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C ，再由函数在(0,)+∞的单调性或值域可得出正确答案.【详解】由已知()f x =，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，则()()f x f x -==--，故()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故C 项错误；当,()0x ∈+∞时，0x >，则()0f x >，故AD 项错误，应选B.又设12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则33120,0x x <<<，故120xx<<0>>，即()12()f x f x >，故()f x 在(0,)+∞上单调递减.综上，函数()f x =图象的性质与选项B 中图象表示函数的性质基本一致.故选：B.6.设等腰三角形ABC 的腰长为x ，底边长为y ，且1y x =+，则“ABC 其中一条边长为6”是“ABC 的周长为16”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可.【详解】当ABC 的一条边长为6时，若6x =，则17=+=y x ，得ABC 的周长为212719+=+=x y ，若6y =，则5x =，得ABC 的周长为216x y +=，当ABC 的周长为16时，由216x y +=，且1y x =+，得5x =，6y =，则ABC 的一条边长为6，所以“ABC 其中一条边长为6”是“ABC 的周长为16”的必要不充分条件.故选：B7.若关于x 的不等式22340ax ax a ++-<对x ∈R 恒成立，则a 的取值集合为（）A.{}20a a -<< B.{}20a a -<≤ C.{}0a a < D.{}0a a ≤【答案】D 【解析】【分析】根据含参一元不等式恒成立对a 分类讨论即可得a 的取值集合.【详解】当0a =时，不等式22340ax ax a ++-<化为4<0-对x ∈R 恒成立；当0a ≠，要使得不等式22340ax ax a ++-<对x ∈R 恒成立，则()2Δ44340a a a a <⎧⎨=--<⎩，解得a<0综上，a 的取值集合为{}0a a ≤.故选：D .8.定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，且当213x x >>时，()()21210f x f x x x ->-恒成立，设()225a f x x =-+，52b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()24c f x =+，则（）A.c a b >>B.c b a >>C.a c b>> D.b c a>>【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】依题意，定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，而213x x >>时，()()21210f x f x x x ->-恒成立，所以()f x 在区间()3,+∞上单调递增，5117332222b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2213939252488x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，244x +≥，()2222132541024x x x x x x ⎛⎫-+-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，所以22725442x x x -+>+≥>，所以a c b >>.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（）A.()2f x x =，()g x =B.()f x =，()g x=C.()9f x x=，()29x g x x = D.()1f x x =+，()211x g x x -=-【答案】AC 【解析】【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.【详解】选项A ，因为()2()g x x f x ===，且两函数定义域都是R ，故两函数是同一个函数，所以A 正确；选项B ，因为()f x =[)0,∞+，而()g x=(0,)+∞，故两函数不是同一个函数，所以B 错误；选项C ，()()299x g x f x x x===，且定义域都为{}0x x ≠，故两函数是同一个函数，所以C 正确；选项D ，()1f x x =+的定义域为R ，()211x g x x -=-的定义域为{}1x x ≠，故两函数不是同一个函数，所以D 错误.故选：AC.10.已知幂函数()f x 满足f =，则（）A.()3f x x= B.()2f x =C.()f x 的图象经过原点D.()f x 的图象不经过第二象限【答案】ACD 【解析】【分析】根据幂函数的概念与指数幂的运算得()3f x x =，结合图象逐项判断即可得答案.【详解】设幂函数()af x x =，根据题意可得a=，解得3a =，则()3f x x =，()f x 的图象如图所示：则()f x 的图象经过原点，不经过第二象限．故选：ACD.11.“集合(){}22,2,N,N A x y xy a x y =+<∈∈只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（）A.312a <<B.724a <≤ C.23a ≤< D.3724a <<【答案】ABD 【解析】【分析】由集合A 中只有2个元素，求a 的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件.【详解】集合(){}22,2,N,N A x y xy a x y =+<∈∈只有3个真子集，即集合A 中只有2个元素，因为N,N x y ∈∈，则有：当0,0x y ==时，2220x y +=；当1,0x y ==时，2221x y +=；当0,1x y ==时，2222x y +=；则a 的取值范围为(]1,2，由31,2⎛⎫⎪⎝⎭(]1,2，7,24⎛⎤⎥⎝⎦(]1,2，37,24⎛⎫⎪⎝⎭(]1,2，可知选项ABD 中的范围符合充分不必要条件；又因为(]1,2与[)2,3之间没有包含关系，可知(]1,2是[)2,3的既不充分也不必要条件；故选：ABD.12.函数()()||4f x x x =--在[]a b ,上的最大值为4，最小值为10b -，则b a -的值可能为（）A. B. C.8 D.9【答案】BCD【解析】【分析】分类讨论x 得到()f x 的图象，然后分2b ≤、22b <≤+2>+b 可.【详解】当0x ≥时，22()4(2)44f x x x x =-+=--+≤；当0x <时，22()4(2)44f x x x x =+=+-≥-．作出()f x 的图象，如图所示．当0x <时，由2()44f x x x =+=，即2440x x +-=，解得2=--x 当2x =-时，(2)4f -=-．当0x ≥时，由2()44f x x x =-+=-，即2440x x -++=，解得2x =+．当2x =时，(2)4f =．根据()f x 在[]a b ,上的最大值为4，最小值为10b -，可对b 作如下讨论：若2b ≤，则1084b -≤-<-，不合题意；若22b <≤+81084b -<-≤-<-，不合题意；若2>+b 8104b -<-<-，令2410b b b -+=-，解得2b =-（舍去）或5．综上可得5b =，22a --≤≤，22a -≤-≤+37b a ≤-≤+故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某停车场的收费规则：停车1小时以内（含1小时整）收费5元；停车超过1小时，超出部分按每小时2元收费，不足1小时按1小时收费．王先生某日上午10：00进入该停车场停车，当日下午2：35驶出该停车场，则王先生应付的停车费为______元．【答案】13【解析】【分析】根据题意得到王先生的停车时长，然后求停车费即可.【详解】依题意得，王先生的停车时长为4小时35分，则按5小时计费，王先生应付的停车费为54213+⨯=元．故答案为：13.14.已知109x <<__________．【答案】16【解析】【分析】利用基本不等式的变形公式求解可得答案.【详解】因为109x <<，所以190x ->19191326x x +-=≤⨯=，当且仅当919x x =-，即118x =16．故答案为：16.15.已知()3221x bx f x x +=+是定义在[]2,3a a +上的奇函数，则=a ______，b =______．【答案】①.1-②.0【解析】【分析】由定义区间的对称性可解得a ，再由奇函数定义求解参数b 即可.【详解】因为()f x 是定义在[2],3a a +上的奇函数，所以230a a ++=，解得1a =-，又因为322()1x bx f x x +=+是奇函数，则()()()323232222()()111x b x x bx x bx f x f x x x x -+--++-===-=-++-+恒成立，即32322211x bx x bx x x -+--=++恒成立，化简得220bx =，因为该等式对[2,2]x ∀∈-恒成立，所以0b =.故答案为：1-；0.16.已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，且()0,x ∀∈+∞，()(6ff x =，则()100f =______．【答案】14【解析】【分析】由单调函数的性质，可得()f x 为定值，可以设()t f x =，则()f x t =又由()6f t =，可得()f x 的解析式求()100f .【详解】()0,x ∀∈+∞，()(6ff x =，()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，则()f x -为定值，设()t f x =()f x t =()6f t t ==，解得4t =，得()4f x =+所以()100414f =+=.故答案为：14.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合{}22240A x x x =--≤，{}632B x m x m =-≤≤+．（1）若3m =，求A B ⋂；（2）若A B A ⋃=，求m 的取值范围．【答案】（1）[]3,6（2）4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）解不等式得到集合A ，然后求交集即可；（2）根据A B A ⋃=得到B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可.【小问1详解】当3m =时，{}311B x x =≤≤，因为{}{}2224046A x x x x x =--≤=-≤≤，所以[]3,6A B ⋂=．【小问2详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆．当B =∅时，632m m ->+，解得1m <．当B ≠∅时，63264326m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得413m ≤≤．综上，m 的取值范围为4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．18.已知幂函数22()(44)m f x m m x +=++在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值；（2）若(21)(3)m m a a ---<+，求a 的取值范围.【答案】（1）3m =-（2）(,4)-∞【解析】【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出m 的值；（2）由3()g x x =解不等式得出a 的取值范围.【小问1详解】解：由幂函数的定义可得2441m m ++=，即2430m m ++=，解得1m =-或3m =-.因为()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以20m +<，即2m <-，则3m =-.【小问2详解】设3()g x x =，()g x 是R 上的增函数.由（1）可知(21)(3)m m a a ---<+，即33(21)(3)a a -<+，则213a a -<+，解得4a <，即a 的取值范围为(,4)-∞.19.已知函数()221422f x x x +=++．（1）求()f x 的解析式；（2）试判断函数()()f xg x x =在)+∞上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）()22f x x x =-+（2）单调递增，证明详见解析【解析】【分析】（1）利用凑配法求得()f x 的解析式.（2）先求得()g x 的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.【小问1详解】()221422f x x x +=++()()221212x x =+-++，所以()22f x x x =-+.【小问2详解】()()21f x g x x x x ==+-，()g x在)+∞上单调递增，证明如下：12x x <<，()()1212122211g x g x x x x x ⎛⎫-=+--+- ⎪⎝⎭()()12122112121212222x x x x x x x x x x x x x x --=-+-=+()()1212122x x x x x x --=，其中1212120,20,0x x x x x x -<->>，所以()()120g x g x -<，所以()()12g x g x <，所以()g x在)+∞上单调递增.20.已知某污水处理厂的月处理成本y （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系可近似地表示为()212580210400y x mx x =-+≤≤．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？（2）请写出该厂每月获利z （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，【答案】（1）当每月污水处理量为100万吨时，每万吨的处理成本最低（2）()225802140100x z x x =-+-≤≤，最大值为75万元【解析】【分析】（1）先求得m ，利用基本不等式求得正确答案.（2）先求得z 的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.【小问1详解】依题意，214912012025400m =⨯-⨯+，解得110m =，所以()211258021040010y x x x =-+≤≤，2511240010105y x x x =+-≥-=，当且仅当25,100400x x x==时等号成立，所以当每月污水处理量为100万吨时，每万吨的处理成本最低.【小问2详解】依题意，()22110.1250.92580214004000z x x x x x x ⎛⎫=-=-+-≤≤ ⎪⎝-+⎭，当12001200x =-=-万吨时，z 取得最大值为212002002575400-+-=⋅万元.21.已知定义在[]22-,上的函数()f x 满足[],1,1m n ∀∈-，()()()()222f m f n f m n f m n +=+⋅-，()00f ≠．（1）试判断()f x 的奇偶性，并说明理由．（2）证明：()2928f x x x +≥-．【答案】（1）偶函数，证明见详解（2）证明详解【解析】【分析】（1）令0m n ==，可得(0)1f =，再令n m =-，结合偶函数的定义即可判定；（2）令0n =，可得()1f x ≥-，又229122()1184y x x x =-+-=---≤-，即可证明原不等式成立.【小问1详解】()f x 为偶函数，理由如下：令0m n ==，由()()()()222f m f n f m n f m n +=+⋅-，得22(0)2(0)f f =，又()00f ≠，所以(0)1f =，令n m =-，则(2)(2)2(0)(2)f m f m f f m +-=，所以(2)(2)f m f m -=，即()()f x f x -=，[2,2]x ∈-，故()f x 为偶函数.【小问2详解】令0n =及(0)1f =，可得2(2)12()f m f m +=，所以2(2)2()11f m f m =-≥-，即()1f x ≥-，又229122()1184y x x x =-+-=---≤-，当1[2,2]4x =∈-时，等号成立，故29()28≥-+-f x x x ，即()2928f x x x +≥-，故原不等式得证.22.已知关于x 的不等式()22320bx ab b x a b ab --+-<．（1）当1b =，1a >时，求原不等式的解集；（2）当()1b a a =≤时，求原不等式的解集；（3）在（1）的条件下，若不等式恰有1000个整数解，求a 的取值集合.【答案】（1）{}21x a x a <<-（2）答案见解析（3）200110012a a ⎧<<⎨⎩或200310012a <≤或}1002a =【解析】【分析】（1）代入数据直接解不等式即可.（2）变换得到()()()2101a x a x a a --+<≤，考虑1a =，01a <<，0a =，a<0四种情况，解不等式得到答案.（3）根据解集确定999211001a a <--≤，考虑最小值分别为1001，1002，1003三种情况，计算得到答案.【小问1详解】当1b =时，原不等式即为()223120x a x a a --+-<，即()()210x a x a --+<．因为1a >，所以21a a <-，所以原不等式的解集为{}21x a x a <<-．【小问2详解】当()1b a a =≤时，原不等式可化为()()()2101a x a x a a --+<≤．当1a =时，原不等式即为()210x -<，此时，原不等式的解集为∅；当01a <<时，21a a >-，原不等式的解集为{}21x a x a -<<；当0a =时，原不等式即为00<，此时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式可化为()()210x a x a --+>，此时21a a >-，原不等式的解集为{21x x a <-或}x a >．综上所述：当0a =或1a =时，原不等式的解集为∅；当01a <<时，原不等式的解集为{}21x a x a -<<；当a<0时，原不等式的解集为{21x x a <-或}x a >．【小问3详解】原不等式的解集为{}21x a x a <<-．要使得原不等式恰有1000个整数解，则a 需满足999211001a a <--≤，解得10001002a <≤．若1000个整数解的最小值为1001，则最大值为2000，则100010012000212001a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，解得200110012a <<，此时，原不等式恰有1000个整数解．若1000个整数解的最小值为1002，则最大值为2001，则100110022001212002a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，解得200310012a <≤，此时，原不等式恰有1000个整数解．若1000个整数解的最小值为1003，则最大值为2002，则100210032002212003a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，解得1002a =，此时，原不等式恰有1000个整数解．综上所述：200110012a a ⎧<<⎨⎩或200310012a <≤或}1002a =。
河北省邢台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题
河北省邢台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题一、单选题1．求2234A A +的值为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．302．已知()02f x '=，则()()0002lim 5x f x x f x x x∆→+∆--∆=∆（ ）A ．65B ．2C ．103D ．123．在数列{}n a 中，12a =-，11n n n a a a +⋅=-，则2024a 的值为（ ） A ．2-B ．13C ．32D ．124．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310l og l o g l o ga a a ++⋅+=（ ）A ．12B ．10C ．5D ．32log 55．如图，已知12,F F 分别是双曲线2222:100x yC a b a b -=>>（，）的左、右焦点，过点1F 的直线与双曲线C 的左支交于点A ，B ，若1211302A F A FB F F A ⋅==u u u u r u u r u u r ，，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y x =C ．y =D ．y x = 6．已知直线y kx b =+既是曲线ln y x =的切线，也是曲线ln()y x =--的切线，则（ ） A ．1e k =，0b =B ．1k =，0b =C ．1ek =，1b =-D ．1k =，1b =-7．令123C C C C nn n n n a =++++L ，则当2024n =时，a 除以15所得余数为（ ）A ．4B ．1C ．2D ．08．设A ，B ，C ，D 为抛物线24x y =上不同的四点，A ，D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设点D 到直线AB 和直线AC 的距离分别为1d ，2d ，已知12d d AD +.则sin BAC ∠=（ ）A ．12B C ．1 D二、多选题9．（多选）满足下列条件的点P 的轨迹一定在双曲线上的有（ ） A ．A （2，0），B （－2，3），|P A －PB |＝5 B ．A （2，0），B （－2，0），kP AkPB ＝2 C ．A （2，0），B （－2，0），kP AkPB ＝1 D ．A （2，0），B （－2，3），P A －PB ＝210．身高各不相同的六位同学,,,,,A B C D E F 站成一排照相，则说法正确的是（ ）A ．A 、C 、D 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B ．A 与C 同学不相邻，共有5424A A ⋅种站法C ．A 、C 、D 三位同学必须站在一起，且A 只能在C 与D 的中间，共有144种站法 D ．A 不在排头，B 不在排尾，共有504种站法11．已知函数()()()3213e 4032x f x m x x x m =--+≠，则下列结论正确的是（ ）A ．若0m <，则()f x 有两个极值点B ．若3x =是()f x 的唯一极值点，则1,e m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭C ．()f x 有唯一极值点的充要条件是1,e m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 有三个极值点1x ，2x ，3x ，则1235x x x ++>.三、填空题12．“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A ，B ，C 三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC ”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA ”或“CAB ”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为.（用数字作答）13．已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF △的周长的最小值为．14．已知函数()e (ln )x f x x a x x =-+，若0a >，则()f x 的最小值为.四、解答题15．已知a ∈R ，函数()()32634x x f a x x =-+-．（1）若曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线与直线30x y -=垂直，求a 的值； （2）若函数()f x 在区间()1,4上单调递减，求a 的取值范围．16．“三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何?”过去，商人们在堆放瓶瓶罐罐这类物品时，为了节省地方，常把它们垒成许多层，俗称“垛”，每层摆成三角形的就叫“三角垛”，“三角垛”自上而下，第1层1个，第2层（12+）个，第3层（123++）个，这样一道题目：用现在的话说，其意思就是：“有一个三角垛，最底层每条边上有12个物体，最上层只有1个尖），问：总共有多少个物体?”(1)第12层有多少个?（写出计算过程）(2)若用n a 表示第n 层的物体个数，请做如下计算： ①n a 的值为多少；②求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2024项和2024S .17．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F P 为双曲线上一点，且满足：PF x ⊥轴，且3PF =.(1)求双曲线的标准方程；(2)过F 点作直线l 与双曲线的右支交于A 、B 两点（A 、B 不与P 点重合），且与12x =交于Q 点，问：是否存在常数t ，使得PA PB PQ k k tk +=成立?若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由.18．已知函数()()e e 1x xf x a a x -=--+()R a ∈(1)若1a =-，求()f x 的取值范围； (2)若()f x 既存在极大值，又存在极小值. ①求a 的取值范围；②当01a <<时，12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.19．在数列{}n a 中，若存在常数t ，使得()*1123n n a a a a a t n +=+∈N L 恒成立，则称数列{}n a 为“()H t 数列”． (1)若11n c n=+，试判断数列{}n c 是否为“()H t 数列”，请说明理由； (2)若数列{}n a 为“()H t 数列”，且12a =，数列{}n b 为等比数列，且2121log n i n n i a a b t +==+-∑，求数列{}n b 的通项公式；(3)若正项数列{}n a 为“()H t 数列”，且11a >，0t >，证明：ln 1n n a a <-．。
2020年河北省邢台市南和县第二中学高二数学理联考试题含解析
2020年河北省邢台市南和县第二中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 正方体中，异面直线与所成角的正弦值为 ( ) A．B．C．D．参考答案：C2. 如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则( )A．命题“或”是假命题B．命题“或”是假命题C．命题“且”是真命题D．命题“且”是真命题参考答案：C3. 如图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在（）A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位参考答案：C【考点】结构图．【分析】知识结构图的作用是用图形直观地再现出知识之间的关联，由于子集是集合关系中的一种，由此易得出正确选项．【解答】解：子集是两个集合之间的包含关系，属于集合的关系，故在知识结构图中，子集应该放在集合的关系后面，即它的下位，由此知应选C故选C4. 已知f（x）=x2+2xf′（1）﹣6，则f′（1）等于（）A．4 B．﹣2 C．0 D．2参考答案：B【考点】63：导数的运算．【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1）的值【解答】解：求导得：f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得到f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，故选：B．5. 四棱锥P-ABCD的底面是单位正方形，侧棱PB垂直于底面，且PB=，记θ=∠APD，则sinθ=（）A、 B、 C、 D、参考答案：C6. 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76 C．123 D．199参考答案：C略7. 在空间直角坐标系O-xyz中，点A(1,2,3)关于x轴的对称点的坐标为A．(1,－2,－3) B．(－1,2,3) C．(－1,－2,－3) D．(1,－2,3)参考答案：A8. 设,则下列不等式中恒成立的是 ( )A B C D参考答案：C9. 已知椭圆的离心率e=，则m的值为( )A.3B.3或C. D．或参考答案：B略10. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．因此E（X）==．故选B．【点评】正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长为________________cm参考答案：812. 已知关于的方程在上恒有实数根，则实数的取值范围是.参考答案：13. 已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则参考答案：14. “”是“”的___________条件．（充分不必要、必要不充分、充要既不充分也不必要）参考答案：必要不充分略15. 在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为．参考答案：3或﹣2【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为﹣1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值．【解答】解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），根据对称性，MN⊥PR，===，∵k MN=，+=0∴k MN?k TQ=﹣1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴k PT=k RT，即，∴a2﹣a﹣6=0，∴a=3或﹣2．故答案为：3或﹣2．【点评】本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16. 已知直线与圆有公共点，则实数k的取值范围是．参考答案：设圆心(2,0)到直线的距离为d, 直线与圆有公共点，则d≤1, 即,两边平方并化简可得,解得≤k≤0,故应填.17. 等差数列项和为=参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022学年河北省邢台市追光中学高二数学理测试题含解析
2021-2022学年河北省邢台市追光中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18 B．20 C．21 D．40参考答案：B【考点】E7：循环结构．【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．∴输出S=20．故选：B．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．2. 盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为A. B. C.D.参考答案：D3. 函数f（x）=e x﹣4x的递减区间为（）A．（0，ln4）B．（0，4）C．（﹣∞，ln4）D．（ln4，+∞）参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：f′（x）=e x﹣4，令f′（x）＜0，解得：x＜ln4，故函数在（﹣∞，ln4）递减；故选：C．4. 函数在（1，1）处的切线方程为（）A．B．C．D．参考答案：A5. 若，，，则的值是 ( )A．－1 B． C． D．参考答案：D6. 设双曲线（a，b＞0）两焦点为F1、、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F2作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为M，则M点轨迹是（）A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分参考答案：D7. 圆M与圆内切，且经过点A（3，2），则圆心M在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物上D．一个圆上参考答案：A略8. 某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（）A. 大前提错误B. 推理形式错误C. 小前提错误D. 非以上错误参考答案：B【分析】根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误.【详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.本题正确选项：【点睛】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题.9. 若圆的半径为4，a、b、c为圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为() A．2 B．8 C. D.参考答案：C 10. 已知函数，且，则A． B． C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，,则角A=. 。
河北省邢台市五岳联盟2023-2024学年高二上学期第一次月考试题 数学含解析
2023~2024学年高二（上）第一次月考数学（答案在最后）注意事项1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册第一章至第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线l 经过两点()()4,2,3,4--，则l 的斜率为（）A.67-B.67C.76-D.762.已知向量()()()1,,1,,1,1,2,2,a x b y c z ===-- ，且,a b b c ⊥∥，则a b c ++= （）A .B.3C. D.163.在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =（）A.B.C.D.4.若直线l 的斜率(k ∈-，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.π3π,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π3π0,,π34⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭C.π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D.π3π0,,π64⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭5.在空间直角坐标系O xyz -中，()2,0,v a =- 是直线l 的方向向量，(),0,3n b =是平面α的一个法向量，若l α⊥，则（）A.320a b += B.230a b += C.6ab =- D.6ab =6.直线l 过点()5,4，且方向向量为()1,2，则（）A.直线l 的点斜式方程为()524y x -=-B.直线l 的斜截式方程为132x y =+C.直线l 的截距式方程为163x y -= D.直线l 的一般式方程为260x y --=7.如图，将菱形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，,E F 分别为,AD BC 的中点，O 是AC 的中点，2π3ABC ∠=，则折后平面OEF 与平面ABC 夹角的余弦值为（）A.7B.11C.13D.118.在平面直角坐标系中，记d 为点()()cos ,sin ,P Q t t θθ+间的距离，当,t θ变化时，d 的最小值为（）A .2B.3C. D.4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若{},,a b c构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（）A.{},,a b a c a++B.11,,22a b c a b a c ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭C.{},,a b c a b a c-+-+ D.{},,b c a b a c-++ 10.直线l 经过点()3,2-，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（）A.320x y +=B.230x y +=C.50x y --= D.10x y +-=11.已知点()()3,4,5,2P Q ，直线():220l ax y a a --+=∈R ，则下列说法中正确的有（）A.直线l 恒过点()1,2B.若直线l 与线段PQ 有交点，则[]0,2a ∈C.点P 到直线l 的距离的最大值为D.若1,a M =-为直线l 上一点，则PM QM +12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AA AB λ=+，点Q 满足()1AQ AA AB AD μ=++，其中][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦，则下列选项正确的是（）A.,P Q 的轨迹长度相等B.PQC.存在,P Q ，使得DP BQ⊥ D.DP 与DQ 所成角的余弦值的最大值为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.平行线250x y +-=与2450x y +-=间的距离为________．14.在空间直角坐标系Oxyz 中，()(2,1,0,1,1,AB AC ==，则点B 到直线AC 的距离为______.15.如图，在棱长为2的正四面体PABC 中，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，D 为校PC 的中点，则PO AD ⋅=________．16.设a ∈R ，则直线12:10,:20l ax y l x ay a ++=-+-=与3:10l x y --=围成的三角形的面积的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()()()12:21230,:1220l a x a y l a x y ++++=--+=．（1）若12l l ∥，求a 的值；（2）若12l l ⊥，求a 的值．18.如图，在所有棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AC 的中点．（1）用以{}1,,AB AC AA 为空间的一组基底表示向量1,BD CB ．（2）线段1CB 上是否存在一点E ，使得BD AE ⊥？若存在，求AE；若不存在，请说明理由．19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，ABD △和PBD △为正三角形，E 为PC 的中点．（1）证明：//PA 平面BDE ．（2）若2,3AB PC ==，求平面PAD 与平面BDE 夹角的余弦值．20.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E F =,分别是1,BD B C 的中点．（1）求异面直线1A E 与BF 所成角的余弦值；（2）求点1A 到平面BDF 的距离．21.已知ABC 的顶点()3,2A ，边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=．（1）求顶点,B C 的坐标；（2）求ABC 的面积．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2AB =，PA PD ==，E 为BC 的中点．（1）证明：AD PE ⊥．（2）若二面角P AD B --的平面角为23π，G 是线段PC 上的一个动点，求直线DG 与平面PAB 所成角的最大值．2023~2024学年高二（上）第一次月考数学注意事项1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册第一章至第二章2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线l 经过两点()()4,2,3,4--，则l 的斜率为（）A.67-B.67C.76-D.76【答案】A 【解析】【分析】直接应用斜率公式进行求解即可.【详解】由1212y y k x x -=-，得l 的斜率为()426347--=---．故选：A2.已知向量()()()1,,1,,1,1,2,2,a x b y c z ===-- ，且,a b b c ⊥∥，则a b c ++= （）A. B.3C. D.16【答案】B 【解析】【分析】由向量垂直与平行的坐标表示求得,,x y z ，然后由模的坐标表示计算出模．【详解】因为向量()()()1,,1,,1,1,2,2,a x b y c z ===-- ，且,a b b c ⊥∥，所以10,11,22y x y z++=⎧⎪⎨==⎪--⎩解得2,1,2x y z =-==-，则()()()1,2,1,1,1,1,2,2,2a b c =-==---，所以()0,3,0a b c ++=-，所以3a b c ++=．故选：B ．3.在空间直角坐标系O xyz -中，记点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点B ，则OB =（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】求出B 点坐标，然后计算OB ．【详解】点()1,2,3A 在xOz 平面内的正投影为点(1,0,3)B ，则OB ==．故选：B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．4.若直线l 的斜率(k ∈-，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.π3π,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π3π0,,π34⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭C.π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭D.π3π0,,π64⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】设直线l 的倾斜角为α，根据题意得到1tan α-<<.【详解】设直线l 的倾斜角为α，其中[)0,πα∈，可得tan k α=，因为(k ∈-，即1tan α-<<结合正切函数的图象与性质，可得直线l 的倾斜角π3π0,,π34α⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭．故选：B.5.在空间直角坐标系O xyz -中，()2,0,v a =- 是直线l 的方向向量，(),0,3n b =是平面α的一个法向量，若l α⊥，则（）A.320a b +=B.230a b +=C.6ab =-D.6ab =【答案】C 【解析】【分析】根据题意，得到//v n，结合空间向量共线的坐标运算，即可求解.【详解】由题意，()2,0,v a =- 是直线l 的方向向量，(),0,3n b =是平面α的一个法向量，因为l α⊥，可得//v n ，则存在唯一实数k ，使得v kn =r r，即()()2,0,,0,3a kb k -=，所以23kb k a =-⎧⎨=⎩，消去k 得：6ab =-．故选：C.6.直线l 过点()5,4，且方向向量为()1,2，则（）A.直线l 的点斜式方程为()524y x -=-B.直线l 的斜截式方程为132x y =+C.直线l 的截距式方程为163x y -= D.直线l 的一般式方程为260x y --=【答案】D 【解析】【分析】利用方向向量求得斜率，从而求得直线的点斜式，斜截式，截距式，一般式方程【详解】因为直线l 的方向向量为()1,2，所以直线l 的斜率为2．因为直线l 过点()5,4，所以直线l 的点斜式方程为()425y x -=-，其一般式为260x y --=．故A 错误，D 正确；化为斜截式：26y x =-，故B 错误；化为截距式：136x y-=，故C 错误.故选：D7.如图，将菱形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，,E F 分别为,AD BC 的中点，O 是AC 的中点，2π3ABC ∠=，则折后平面OEF 与平面ABC 夹角的余弦值为（）A.217B.1111C.31313D.31111【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为菱形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，所以平面ADC ⊥平面ABC ，因为ABCD 是菱形，O 是AC 的中点，所以OD AC ⊥，OB AC ⊥，而平面ADC 平面ABC AC =，OD ⊂平面ADC ，所以OD ⊥平面ABC ，而OB ⊂平面ABC ，所以OD OB ⊥，以O 为原点，,,OB OC OD 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，AB 为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3113310,0,1,0,,,,,0,0,,222222D E F OE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13,022OF ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭．设平面OEF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n OE n OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得310,22130,22y z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取1y =，则3,3x z =-=，得平面OEF 的一个法向量为(3,1,3n =，易得平面ABC 的一个法向量为()0,0,1OD =，所以平面OEF 与平面ABC 夹角的余弦值为217n OD n OD⋅= ．故选：A8.在平面直角坐标系中，记d 为点()()cos ,sin ,P Q t t θθ+间的距离，当,t θ变化时，d 的最小值为（）A.2B.3C. D.4【答案】D 【解析】【分析】消元法求得Q 点轨迹方程，轨迹是直线，P 点轨迹是圆,由圆心到直线的距离减去半径可得所求最小值．【详解】设,,x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩相加可得0x y +-=，即动点Q的轨迹是直线0x y +-=，由22cos sin 1θθ+=可得P 点轨迹是圆221x y +=,圆心是(0,0),半径为1r =，5=，所求最小值为514-=．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若{},,a b c构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（）A.{},,a b a c a++B.11,,22a b c a b a c ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭C.{},,a b c a b a c-+-+ D.{},,b c a b a c-++ 【答案】AC 【解析】【分析】根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底，结合共面向量定理对选项一一判断即可得出答案.【详解】不存在,m n ，使得()a b m a c na +=++ ，所以,,a a b a c ++不共面，{},,a b a c a ++是空间的另一个基底，A 正确．因为1122a b c a b a c ++=+++ ，所以11,,22a b c a b a c ++++共面，11,,22a b c a b a c ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭不是空间的另一个基底，B 错误．不存在,m n ，使得()()a b c m a b n a c -+=-++ ，所以,,a b c a b a c -+-+不共面，{},,a b c a b a c -+-+是空间的另一个基底，C 正确．因为()b c a b a c -=+-+ ，所以,,b c a b a c -++共面，{},,b c a b a c -++不是空间的另一个基底，D 错误．故选：AC .10.直线l 经过点()3,2-，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（）A.320x y +=B.230x y +=C.50x y --=D.10x y +-=【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，分直线l 的截距为0和直线l 的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.【详解】当直线l 的截距为0时，此时直线l 的方程为23y x =-，即230x y +=．当直线l 的截距不为0时，设直线l 的方程为1x ya b+=，则321a b a b-⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或55a b =⎧⎨=-⎩，当1,1a b ==时，可得直线l 的方程为1x y +=，即10x y +-=；若5,5a b ==-时，可得则直线l 的方程为155x y +=-，即50x y --=．故选：BCD.11.已知点()()3,4,5,2P Q ，直线():220l ax y a a --+=∈R ，则下列说法中正确的有（）A .直线l 恒过点()1,2B.若直线l 与线段PQ 有交点，则[]0,2a ∈C.点P 到直线l的距离的最大值为D.若1,a M =-为直线l 上一点，则PM QM +【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，把直线l 的方程整理为()22a x y -=-，得出所过定点A ；对于B ，先求出,PA QA k k ，结合图象得出结果；对于C ，当直线l PA ⊥时，点P 到直线l 的距离最大；对于D ，求出P 关于直线l 的对称点的坐标P '，()minPM QMP Q +'=.【详解】对于A ，因为直线l 的方程可化为()22a x y -=-，令20x -=且20y -=，所以直线l 过定点()2,2A ，故A 错误．对于B ，如下图，因为直线l 过定点()2,2A ，且2,0PA QA k k ==，所以[]0,2a ∈，故B 正确．对于C ，当直线l PA ⊥时，点P 到直线l的距离最大，且最大值为PA =，故C 正确．对于D ，如下图，当1a =-时，直线l 的方程为40x y +-=．设P 关于直线l 的对称点为(),P m n '，则41,33440,22n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩解得0,1m n ==，所以()0,1P '，所以()minPM QM P Q '+==D 正确．故选：BCD.12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AA AB λ=+，点Q 满足()1AQ AA AB AD μ=++，其中][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦，则下列选项正确的是（）A.,P Q 的轨迹长度相等B.PQC.存在,P Q ，使得DP BQ ⊥D.DP 与DQ 所成角的余弦值的最大值为3【答案】BCD 【解析】【分析】根据空间向量运算法则求得点P 和点Q 的轨迹及长度判断A ，建立空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式及配方法求解最值判断B ，利用向量垂直的坐标运算判断C ，利用向量夹角的坐标公式求解余弦值的函数，然后利用二次函数求得最值判断D.【详解】连接11,AC A C ，因为[]1,0,1AP AA AB λλ=+∈，所以1P BB ∈，所以点P 的轨迹长度为2．因为()11AQ AA AB AD AA AC μμ=++=+，所以11Q AC ∈，所以点Q 的轨迹长度为，故A 错误；如图，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()2,2,2,22,2,2P Q λμμ-，所以PQ ==当11,2λμ==时，min PQ =B 正确；因为()()()2,2,0,2,2,2,2,22,2B DP BQ λμμ==--，所以444444DP BQ μμλλ⋅=-+-+=-，当1λ=时，0DP BQ ⋅=，即DP BQ ⊥，所以C 正确；因为()()2,2,2,22,2,2DP DQ λμμ==-，所以cos ,DP DQ DP DQ DP DQ⋅〈〉==，=，因为223211213(1)1133λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪+++⎝⎭，且[]11,2λ+∈，所以当1112λ=+，即1λ=时，2321(1)1λλ-+++有最大值，最大值为3，所以当11,2λμ==时，cos ,DP DQ 〈〉的最大值为333⨯=，故D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）的余弦值，即可求出结果.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.平行线250x y +-=与2450x y +-=间的距离为________．【答案】【解析】【分析】利用平行线间的距离公式计算可得答案.【详解】将方程250x y +-=两边乘以2，得24100x y +-=，2=．．14.在空间直角坐标系Oxyz 中，()(2,1,0,1,1,AB AC ==，则点B 到直线AC 的距离为______.【答案】112【解析】【分析】先求出直线AC 的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可.【详解】取()2,1,0a AB ==，11,,222AC u AC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,则25a = ，32a u ⋅=,所以点B 到直线AC 2=.故答案为：215.如图，在棱长为2的正四面体PABC 中，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，D 为校PC的中点，则PO AD ⋅=________．【答案】43-##113-【解析】【分析】连接AO ，根据向量的线性运算法则，得到1111,3322PO AB AC AP AD AC AP =+-=+，再结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.【详解】如图所示，连接AO ，因为1111,3322PO AO AP AB AC AP AD AC AP =-=+-=+，所以11113322PO AD AB AC AP AC AP ⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111666622AB AC AB AP AC AC AP AP AC AP =⋅+⋅++⋅-⋅-．因为四面体PABC 为棱长为2的正四面体，可得22cos 602AB AC AB AP AP AC ⋅=⋅=⋅=⨯= ，且224,4AC AP == ，所以43PO AD ⋅=- ．故答案为：43-.16.设a ∈R ，则直线12:10,:20l ax y l x ay a ++=-+-=与3:10l x y --=围成的三角形的面积的最大值为________．【答案】2【解析】【分析】由直线方程确定直线12l l ⊥，且直线1l 过定点A ，直线2l 过定点B ，定点,A B 都在直线3l 上，这样设直线12,l l 交于P ，得出三条直线围成直角PAB ，利用基本不等式可得PA PB 的最大值，从而得三角形面积最大值．【详解】由题知直线12l l ⊥，且直线1l 过定点()0,1A -，直线2l 过定点()2,1B ，点,A B 在直线3l 上．设直线12,l l 交于P ，则三条直线围成的三角形为PAB ，且PA PB ⊥，所以222||||||8PA PB AB +==．因为228||||2||||PA PB PA PB =+≥⋅，所以4PA PB ⋅≤，当且仅当2PA PB ==时，等号成立，所以122PAB S PA PB =⋅≤△，所以()max 2PAB S =△．故答案为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()()()12:21230,:1220l a x a y l a x y ++++=--+=．（1）若12l l ∥，求a 的值；（2）若12l l ⊥，求a 的值．【答案】（1）0a =（2）1a =-或52a =【解析】【分析】（1）由两直线平行的条件求解；（2）由两直线垂直的条件求解．【小问1详解】因为12l l ∥，所以()()()()212210a a a +⨯--+-=，整理得()2550a a a a +=+=，解得0a =或5a =-．当0a =时，12:230,:220l x y l x y ++=--+=，符合题意，当5a =-时，121:9330,:6220,l x y l x y l --+=--+=与2l 重合，故0a =．【小问2详解】因为12l l ⊥，所以()()()211220a a a +--+=，整理得()()22351250a a a a --=+-=，解得1a =-或52a =．18.如图，在所有棱长都为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AC 的中点．（1）用以{}1,,AB AC AA 为空间的一组基底表示向量1,BD CB．（2）线段1CB 上是否存在一点E ，使得BD AE ⊥？若存在，求AE；若不存在，请说明理由．【答案】（1）11122=+- BD AC AA AB ，11=-+CB AB AC AA （2）存在，2AE =【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用向量的加减法得出结果；（2）用基底表示,BD AE，根据空间向量垂直，数量积为零以及模长公式得出结果.【小问1详解】由已知得11122BD AD AB AC AA AB =-=+- ，111CB CB BB AB AC AA =+=-+ ．【小问2详解】设线段1CB 上存在一点E ，使得BD AE ⊥，且[]1,0,1CE CB λλ=∈，则()()111AE AC CE AC CB AC CB BB AC AB AC AA λλλ=+=+==+++-+ ()11AB AC AA λλλ=+-+ ．因为BD AE ⊥，所以()11111022BD AE AC AA AB AB AC AA λλλ⎛⎫⎡⎤⋅=+-⋅+-+= ⎪⎣⎦⎝⎭．因为110,0AA AB AA AC ⋅=⋅=，所以()()222111111222BD AE AC AB AC AA AB AB AC λλλλλ⋅=⋅+-+---⋅ ．因为22212,4AC AB AA AB AC ⋅==== ，所以()()2124210BD AE λλλλλλ⋅=+-+---=-=，所以0λ=，此时点E 与点C 重合，2AE AC ==．19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，ABD △和PBD △为正三角形，E 为PC 的中点．（1）证明：//PA 平面BDE ．（2）若2,3AB PC ==，求平面PAD 与平面BDE 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ．由线面平行的判定定理得出结果；（2）根据空间向量法求平面PAD 与平面BDE 的法向量，由两个法向量所成角的余弦值的绝对值得出结果.【小问1详解】证明：连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ．因为ABCD 为菱形，所以O 为AC 的中点．因为E 为PC 的中点，所以OE 为PAC △的中位线，所以//OE PA ．因为PA ⊄平面,BDE OE ⊂平面BDE ，所以//PA 平面BDE ．【小问2详解】在正PBD △中，连接PO ，2AB BD ==，则PO =．因为3AO OC PC ===，所以2221cos 22PO OC PC POC PO OC +-∠==-⋅，所以120POC ∠=︒．因为,,BD AC BD PO AC PO O ⊥⊥= ，,AC PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ．所以BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC =，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，PH ⊂平面PAC ，则PH ⊥平面ABCD.AO OC PO ===PA PC ⊥，又3PC =，AC =PA =32PA PC PH AC ⋅==,2OH =.如图，以O 为坐标原点，,OA OB的方向分别为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，则)()()()33,0,1,0,,0,1,0,,0,,,0,2244AB C D P E ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面PAD 的法向量为()111,,m x y z =，因为()331,0,,0,22AD AP ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以11110,30,22m AD y m AP x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令11z =，得)3,1m =- ．设平面BDE 的法向量为()222,,x n y z =，因为()30,2,0,,1,44DB BE ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以222220,30,44n DB y n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩令21z =，得)0,1n =．因为cos ,13m n m n m n⋅〈〉== ，所以平面PAD 与平面BDE夹角的余弦值为13．20.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E F =,分别是1,BD B C 的中点．（1）求异面直线1A E 与BF 所成角的余弦值；（2）求点1A 到平面BDF 的距离．【答案】（1）36（2）33【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（2）根据平面法向量的性质，结合空间点到面距离公式进行求解即可.【小问1详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()12,0,2,1,1,0,2,2,0,1,2,1A E B F，()()11,1,2,1,0,1A E BF =--=- ，所以直线1A E 与BF 所成角的余弦值为1113cos ,6A E BF A E BF A E BF⋅〈=〉= ；【小问2详解】设平面BDF 的法向量为()(),,,2,2,0n x y z DB == ，则0,0,n DB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得220,0,x y x z +=⎧⎨-+=⎩取1x =，则1,1y z =-=，得平面BDF 的一个法向量为()1,1,1n =- ，所以点1A 到平面BDF 的距离为13A E n n ⋅== ．21.已知ABC 的顶点()3,2A ，边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=．（1）求顶点,B C 的坐标；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）B 的坐标为()8,7，C 的坐标为()1,3（2）152【解析】【分析】（1）设(),B a b ，(),C m n ，由题意列方程求解即可得出答案.（2）先求出AB 和直线AB 所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边AB 上的高，即可求出ABC 的面积．【小问1详解】设(),B a b ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以2903238022a b a b --=⎧⎪⎨++-⨯+=⎪⎩，解得87a b =⎧⎨=⎩，即B 的坐标为()8,7．设(),C m n ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以3802132m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得13m n =⎧⎨=⎩，即C 的坐标为()1,3．【小问2详解】因为()()3,2,8,7A B ，所以AB ==因为边AB 所在直线的方程为237283y x --=--，即10x y --=，所以点()1,3C 到边AB 的距离为322=，即边AB 上的高为2，故ABC 的面积为115222⨯=．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2AB =，PA PD ==，E 为BC 的中点．（1）证明：AD PE ⊥．（2）若二面角P AD B --的平面角为23π，G 是线段PC 上的一个动点，求直线DG 与平面PAB 所成角的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）3π【解析】【分析】（1）取AD 的中点F ，可证得AD EF ⊥，AD PF ⊥，从而AD ⊥平面PEF ，根据线面垂直的性质可得结论；（2）过点P 作PO 垂直于直线EF ，垂足为O ，可得PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OE ，OP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．写出点的坐标，求出平面PAB 的法向量，可得直线DG 与平面PAB 所成的角θ的正弦值的表达式，结合换元法及二次函数的性质得出答案.【小问1详解】如图，取AD 的中点F ，连接PF ，EF ．∵底面ABCD 是正方形，PA PD =，∴AD EF ⊥，AD PF ⊥．∵EF PF F = ，,EF PF ⊂平面PEF ，∴AD ⊥平面PEF ．又∵PE ⊂平面PEF ，∴AD PE ⊥．【小问2详解】由（1）可知，二面角P AD B --的平面角为PFE ∠，且为2π3，过点P 作PO 垂直于直线EF ，垂足为O ，∵AD ⊥平面PEF ，PO ⊂平面PEF ，∴PO AD ⊥，∵,,AD EF F AD EF =⊂ 平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OE ，OP 所在的直线分别为y 轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．易得π3PFO ∠=，2PF =，1OF =，PO =，则(P ，()1,1,0A ，()1,3,0B ，()1,3,0C -，()1,1,0D -，(1,1,PA = ，()0,2,0AB =，(1,DP =-，(1,3,PC =- ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =r ，则0,0,n PA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,20,x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取1z =，则)n = ．设(),3,PG PC λλλ==- ，[]0,1λ∈，则()1,3DG DP PG λλ=+=-- ，设直线DG 与平面PAB 所成的角为θ，则sin cos ,DG n DG n DG nλθ-⋅===λ-=令1tλ=-，则[]0,1t ∈，sin λθ-===．当0=t 时，sin 0θ=，0θ=；当0t ≠时，sin θ==当132t =，即23t =，13λ=时，sin θ取得最大值，且最大值为2，此时π3θ=．所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为π3．。
河北省邢台市2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题
河北省邢台市2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．设集合2{|0}A x x x =+=，则下列表述不正确的是（ ） A ．{0}A ∈ B ．1A ∉C ．{1}A -∈D ．0A ∈二、单选题2．已知函数20()1,0x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫+<⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()()3f f ＝（ ） A ．14B ．4C ．254D ．10093．已知集合{4M x x =>或{}21},5x N y y x <==-，则M N ⋂＝（）A ．()∞∞－，＋B ．4(]15()∞⋃－，，C ．∅D ．4()15()∞⋃－，， 4．在如图所示的韦恩图中，A 、B 均是非空集合，则阴影部分表示的集合为（ ）A ．()UA B ⋃B ．()UA B C ．()()U U A BD ．()()UA B A B5．下列函数不是偶函数的是（ ） A ．421y x x =++ B ．21y x x =- C ．11y x x =-++D ．3y x x =+6．下列各组中的函数()f x 与()g x 是同一个函数的是（ ） A．2()1,()f x x g x =-=B ．22()21,()1f x x x g x x =-+=-C ．()1,()1f x x g x =-=D ．2()1,()x xf x xg x x+=+=7．若函数()23f x x ax a =-++在[]1,2上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．函数()421xf x x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知函数(1)y f x ＝＋的定义域是[12]－，，则函数()y f x ＝－的定义域为（） A ．[]3,0-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[2,1]-10．若函数()f x 满足3(2)2x f x x ++=+，则()f x 在[1)∞，＋上的值域为（ ） A ．[2)∞，＋B ．(12]， C ．(2]∞－，D ．4(0,3⎤⎥⎦11．已知函数2()23f x x x =--在[]1m －，上的最大值为()f m ，则m 的取值范围是（ ）A ．(11]－， B ．(1,1-+ C ．[1)++∞D ．(1,1][1)-⋃++∞12．已知函数()()f x g x ，的图象分别如图1，2所示，方程()()()()1f g x g f x ＝，＝－1，1(())2g g x =-的实根个数分别为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c +=B ．b c a ＋＝C ．b a c ＝D ．ab c ＝三、填空题13．函数25xy x x =+-的定义域为_____________________ 14．已知集合{4},A x Z x B N =∈<⊆，现有四个结论： ①B N N ⋃＝；②AB 可能是(123)，，；③A B 可能是{11)－，；④0可能属于B . 其中所有正确结论的编号是__________________________15．若函数22,1()4,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值范围为__________________.四、双空题16．张军在网上经营了一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克.为了增加销量，张军对以上四种干果进行促销，若一次性购买干果的总价达到150元，顾客就少付x (x ∈Z )元，每笔订单顾客在网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.①当x ＝15时，顾客一次性购买松子和腰果各1千克，需要支付_________________元； ②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销的总价的70%，则x 的最大值为___________五、解答题17．设全集U =R ，集合{}28A x x =≤<，{}06B x x =<≤. （1）求AB ，A B ，()B A ；（2）若集合{}24C x x a =>-，A C ⊆，求a 的取值范围.18．已知定义在[55]－，上的函数()f x 的图象如图所示.(1)写出()f x 的单调区间；(2)若()f x 在()12a a -，上单调递减，求a 的取值范围. 19．判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域.(1)2()1x xf x x -=-；(2)()3g x x =-.20．设集合2{,,1},{0,,}A a a b B a b =+=，且A B ＝. (1)求a b ＋的值； (2)判断函数()bf x ax x=+在[1)∞，＋上的单调性，并用定义法加以证明. 21．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()3f x x ＝－. (1)求()f x 的解析式； (2)求不等式()12xf x ≤-的解集. 22．已知函数()f x 满足()234880()()f x f x ax ax a ≠＋－＝－＋. (1)求()f x 的解析式；(2)若3t >－，求()f x 在[]3t －，上的最大值.参考答案1．AC 【分析】求出集合2{|0}{0A x x x =+==，1}-，利用元素与集合的关系能判断正确结果． 【详解】解：集合2{|0}{0A x x x =+==，1}-，0A ∴∈，1A -∈，{}0A ⊂，{}1A -⊂，1A ∉．∴AC 选项均不正确，BD 选项正确． 故选：AC ． 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题． 2．C 【分析】根据分段函数的解析式代入求函数值即可. 【详解】(3)2f ==-，2525((3))(2)24f f f ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式，求函数值，属于容易题. 3．B 【分析】化简集合{}25(,5]N y y x ==-=-∞，根据交集运算即可.【详解】因为{|4M x x =>或1},(,5]x N <=-∞. 所以(,1)(4,5]M N ⋂=-∞⋃. 故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，二次函数的值域，属于容易题. 4．D 【分析】阴影部分为两个集合的并集去掉两个集合的交集，可以用两个集合的交集的补集交两集合的并集即可. 【详解】 因为阴影部分为AB 去掉A B 的部分，所以阴影部分表示的集合为()()UA B A B .故选：D 【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集、补集，数形结合，属于容易题. 5．D 【分析】根据偶函数的定义，检验是否满足()()f x f x -=，即可求解. 【详解】A,B,C 选项都满足()()f x f x -=，是偶函数，()33()x x x x --=-+，∴D 选项为奇函数，故选：D 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，属于容易题. 6．B 【分析】根据函数的定义域、解析式是否相同，即可求解. 【详解】A 中()1f x x 与2()g x =，的定义城不同；B 中222()21,()121f x x x g x x x x =-+=-=-+定义域都为R ,解析式相同，是相同的函数；C 中()1f x x 与()||1g x x =-的解析式不同：D 中()1()f x x x R =+∈与2()0)x x g x x x+=≠（的定义域不同.故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的定义域与解析式，属于中档题. 7．C 【分析】对函数进行配方，根据一元二次函数的图象和性质可知对称轴要在给定区间右侧，由此即可求出a 的范围. 【详解】依题意，()22239324a a f x x ax a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭在[]1,2上单调递增， 由二次函数的图象和性质，则322a ≥，解得43a ≥.故选：C. 【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，研究二次函数的单调性问题关键在于判断对称轴与给定区间的位置关系，属基础题. 8．A 【分析】先判断()f x 的奇偶性，由此可排除C 与D ，再求23f ⎛⎫⎪⎝⎭，令其跟1比较，据此可排除C ，从而可得到正确选项. 【详解】 因为()()421x f x f x x --==-+，所以()421xf x x =+为奇函数，排除C 与D.因为21081397f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以排除B ，所以A 正确.【点睛】本题考查函数图象的判断，根据函数的性质和利用赋值进行排除是解决此类问题的常用方法，属中档题. 9．A 【分析】由函数(1)y f x ＝＋的定义域是[12]－，可求出013x +，令x －代替1x +，可得03x -，即可求出()y f x ＝－的定义域. 【详解】因为函数(1)y f x ＝＋的定义域是[12]－， 由12x -，得013x +， 所以()y f x =的定义域是[0,3]， 由03x - 得30x -≤≤.所以()y f x =-的定义域为[3,0]-.故选：A 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题 . 10．B 【分析】 根据3(2)2x f x x ++=+，利用配凑法求出函数()f x 解析式，求值域即可. 【详解】因为21(2)2x f x x +++=+，所以11()1x f x x x+==+. 因为1x ， 所以1()2f x <≤.函数值域为(12]，，【点睛】本题主要考查了求函数解析式，函数的值域，属于容易题. 11．D 【分析】作出函数图象，结合图象可以观察所得. 【详解】()f x 的图象如下图：对称轴为1,(1)4x f ==，令2234x x --=，得1x =±. 因为(1)0f -=，所以数形结合可得11m -<或122m +. 故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的图象，数形结合的思想，属于中档题. 12．A 【分析】结合函数图像可知方程根的个数，根据个数确定a,b,c 的值，即可求解. 【详解】由方程(())1f g x =，可得()(10)g x m m =-<<. 此方程有4个实根，所以方程(())1f g x =有4个实根，则4a =；由方程(())1g f x =-，可得()1f x =或()1f x =-. 所以方程(())1g f x =-有2个实根，则2b =， 由方程1(())2g g x =-，可得113()12g x x x ⎛⎫=-<<- ⎪⎝⎭或()22()10g x x x =-<<或33()(01)g x x x =<<或443()12g x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，这4个方程的实根的个数分别为0，4，2，0. 则6c =. 故a b c +=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，方程的根的个数即为函数图象交点的个数，数形结合，属于难题.13．(,0)(0,5)-∞⋃ 【分析】由题意，只需满足25xx x -有意义即可. 【详解】由题意知需要满足50050x x x -⎧⎪≠⎨⎪-≠⎩.解得5x <，且0x ≠, 所以函数的定义域为(,0)(0,5)-∞⋃. 故答案为：(,0)(0,5)-∞⋃ 【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的定义域，属于中档题. 14．①②④ 【分析】根据集合的交集，并集运算及元素与集合的关系，判断命题的真假即可.【详解】因为N 是非负整数集，且{|4}A x x =∈<Z ，B N ⊆，所以①B N N ⋃＝正确；②A B 可能是{123}，，；④0可能属于B 正确；③A B 可能是{11)－，错误，因为B 是自然数集合的子集，不可能含有元素-1，故答案为：①②④【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集运算，自然数集，元素与集合的关系，属于中档题. 15．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】分段函数22,1()4,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数需满足每段上都是增函数且当1x =-时，124a a -+≤-+即可.【详解】当1x ≤-时，2()2f x x a =-+为增函数，所以当1x >-时，()4f x ax =+也为增函数，所以0124a a a >⎧⎨-+-+⎩，解得503a <≤. 故答案为：50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题.16．175 18【分析】（1）当x ＝15时，按价格计算应付1207015175+-=元(2)根据题意，分购买干果的总价为M 元小于150，150M 两种情况分类讨论，当150M 时转化为8M x 恒成立问题，当0150M <<时显然满足题意.【详解】（1）当15x =时，顾客一次性购买松子和腰果各1千克，需要支付1207015175+-=元（2）设顾客一次性购买干果的总价为M 元，当0150M <<时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总价的70%，当150M 时，0.8()0.7M x M -，即8M x 对150M 恒成立，则8150,18.75x x ≤.又x ∈Z .所以x 的最大值为18.【点睛】本题主要考查了函数在实际问题中的应用，不等式恒成立，分类讨论，属于中档题. 17．（1）{}26A B x x ⋂=≤≤，{}08A B x x ⋃=<<，(){}02U A B x x ⋂=<<；（2）(),3-∞【分析】（1）找出集合A 和集合B 的公共部分，确定出两集合的交集，找出既属于集合A 又属于集合B 的部分，确定出两集合的并集，在全集R 中找出不属于A 的部分，求出A 的补集，找出A 补集与集合B 的公共部分，即可求出两集合的交集；（2）由集合A 和C ，以及A 为C 的子集，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的范围.【详解】（1）由已知得{}26A B x x ⋂=≤≤， {}08A B x x ⋃=<<，又{}28U A x x x =<≥或， 则(){}02U A B x x ⋂=<<；（2）因为A C ⊆，所以242a -<，解得3a <，即a 的取值范围是(),3-∞.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，以及根据集合间的包含关系求参数范围，学生求补集时需注意全集的范围，属基础题.18．（1）()f x 的单调递增区间为[5,2)--和(1,5];单调递减区间为(2,1)-（2）11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）根据图象可写出函数的单调区间（2）由（1）知，(),1)2(21a a ⊆--，时即可求出a 的取值范围.【详解】（1）由()f x 的图象，得()f x 的单调递增区间为[5,2)--和(1,5]单调递减区间为(2,1)-（2）因为()f x 在(1,2)a a -上单调递减，所以122112a a a a --⎧⎪≤⎨⎪-<⎩， 解得112a -<≤， 故a 的取值范围为11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性，子集的概念，数形结合，属于中档题.19．（1）()f x 为非奇非偶函数,值域(,1)(1,)-∞⋃+∞（2）()g x 是偶函数，值域(,3]-∞【分析】（1）先求出函数定义域(,1)(1,)-∞⋃+∞，不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，值域根据一次函数性质求出（2）函数定义域为R ，关于原点对称，根据()()f x f x -=可判断函数为偶函数，利用不等式性质可求出值域.【详解】（1）因为()f x 的定义域(,1)(1,)-∞⋃+∞不关于原点称所以()f x 为非奇非偶函数.因为()(1)f x x x =≠，所以()f x 的值域为(,1)(1,)-∞⋃+∞.（2）因为()g x 的定义域为(,)-∞+∞，且()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数.因为||0x ≥.所以3||3x -≤所以()g x 的值域为(,3]-∞.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的值域，属于中档题.20．（1）2a b +=-（2）1()f x x x =--在[1,)+∞上单调递减,证明见解析 【分析】（1）根据集合相等及集合中元素的互异性可确定a,b ,计算+a b （2）由（1）知1()f x x x =--，在[1,)+∞上单调递减，根据单调性的定义证明即可.【详解】（1）由集合A B =知0a ≠，所以10b +=.即1b =-，此时{}2{,||,0},0,,1A a a B a ==-，所以1a =- 此时{}1,1,0,{0,1,1}A B =-=-满足A B =， 故2a b +=-（2）由（1）知11(),()f x x f x x x x=--=--在[1,)+∞上单调递减 证明:任取12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，则()()12121211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()112222111211x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭ ()2221111x x x x x x -=- 因为12,[1,)x x ∈+∞且12x x <.所以2112120,10,0x x x x x x ->->>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 故1()f x x x=--在[1,)+∞上单调递减. 【点睛】本题主要考查了集合相等，集合中元素的互异性，函数单调性的定义证明，属于中档题. 21．（1）3,0()0,03,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）48,0,33⎛⎤⎡⎤-∞-⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【分析】（1）设0,x <则0x ->，计算()f x -，利用奇函数性质可得()f x ，当0x =时，(0)0f =即可求出解析式（2）分类讨论求解不等式即可.【详解】（1）若0x <，则0x ->.因为当0x >时.()3f x x =-，所以()3-=--f x x因为()f x 是奇函数，所以()()3f x f x x =--=+.因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =.故3,0()0,03,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）当0x <时，()312x f x x =+≤-， 解得43x - 当0x =时，0(0)012f =<-， 则0x =是不等式()12x f x ≤-的解； 当0x >时，()312x f x x =--. 解得83x ≤. 又0x >，所以803x <≤.故原不等式的解集为48,0,33⎛⎤⎡⎤-∞-⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查了利用奇函数性质求解析式，解分段函数形式的不等式，分类讨论，属于中档题.22．（1）2()42f x ax ax =++（2）答案不唯一，具体见解析【分析】（1）根据方程令x -替换x 得新方程，联立方程组即可求出()f x （2）写出函数对称轴2x =-，根据二次函数开口方向及自变量与对称轴的关系分类讨论，即可求出函数的最大值.【详解】（1）因为2()3()488f x f x ax ax +-=-+①所以2()3()488f x f x ax ax -+=++②②×3-①.得28()83216f x ax ax =++. 所以2()42f x ax ax =++（2）2()(2)24f x a x a =++-， 当0a >时，当1t -时.2max ()()42f x f t at at ==++当31t -<<-时.max ()(3)912223f x f a a a =-=-+=-当0a <时，当2t ≥-时，max ()(2)24f x f a =-=-；.当32t -<<-时.2max ()()42f x f t at at ==++【点睛】本题主要考查了求函数解析式，二次函数求最值，分类讨论，属于难题.。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
河北省邢台市南和区等4地2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案解析)
河北省邢台市南和区等4地2022-2023学年高三上学期11月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}2ln ,20A xy x B x x x ===--≤∣∣，则A B = （）A ．[]0,2B ．(]0,2C ．[)2,+∞D ．()2,+∞2．函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞上是（）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定3．设平面向量,a b 均为单位向量，则“33a b a b +=-”是“a b ⊥ ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C 会按确定的比率衰减（称为衰减率），C 与死亡年数t 之间的函数关系式为0.5tk C =（k 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年我国某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的80%，则可推断该文物属于（）参考数据：2log 0.80.32≈-；A ．战国B ．汉C ．唐D ．宋5tan43tan17tan43++=（）A ．3B ．CD ．3-6．函数sin |21|xy x π=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．7．若0.2sin0.1,0.1sin0.2a b c ===，则（）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c<<D ．a c b<<8．设函数()f x 的定义域为R ，且()32f x +是奇函数，()31f x +是偶函数，则一定有（）A ．()40f =B ．()10f -=C ．()30f =D ．()50f =二、多选题9．已知函数()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数()f x 的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移3π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度10．已知函数()ln f x x x =，下列说法正确的有（）A ．曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-B ．()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()f x 的极大值为1e-D ．方程()1f x =有两个不同的解11．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数，以下四个函数在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x =-B ．()ln 3f x x x=-C ．()331f x x x =-+-D ．()exf x x -=12．已知函数()()sin π,0f x a x a =>，将()f x 的图象向右平移13a个单位长度后得到函数()g x 的图象，点,,A B C 是()f x 和()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 为钝角三角形，则a 的值可能为（）A ．13B ．14C ．12D ．1三、填空题13．写出一个同时满足下列三个性质的函数：()f x =__________．①()f x 为偶函数；②()f x 关于()1,0-中心对称；③()f x 在R 上的最大值为3．14．已知向量()()6,2,2,0a b == ，则a 在b上的投影向量c = __________．15．设函数()πsin sin (0)3f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有675个极值点，则ω的取值范围是__________．16．已知()ππ0,0,3sin cos sin 22A B A A B B <<<<=+,则tan A 的最大值为__________．四、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，记ABC 的面积为S ，且满足)222S b a c =--．(1)求角B ；(2)若b ，且tan tanA C +=S ．18．设()2π2sin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的单调递增区间及对称中心；(2)当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π163f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求cos2x 的值．19．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km /h ，步行的速度是5km /h,t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距点P 的距离．(1)请将t 表示为x 的函数()t x ；(2)如何行使用时最短，最短时间是多长？20．已知函数()2sin sin2f x x x =+．(1)求()f x 在2x π=的切线方程；(2)求()f x 的最值．21．阅读下面的两个材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜､中斜和大斜，记小斜为a ，中斜为b ，大斜为c ，则三角形的面积为S =．这个公式称之为秦九韶公式；材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为,,a b c ，则它的面积为S ，其中()12p a b c =++，这个公式称之为海伦公式．请你解答下面的两个问题：(1)已知ABC 的三条边为7,8,9a b c ===，求这个三角形的面积S ；(2)已知ABC 的三条边为a b c ==，求这个三角形的面积S ；(3)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分）．22．函数()()ln 3,f x a x bx a b =++∈R ，在点()()1,1f 处的切线方程为22y x =+．(1)求()f x ；(2)0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：()2sin x x f x π+>．参考答案：1．B【分析】分别化简集合A 和B ,再求交集即可．【详解】{}|0A x x =>，()(){}{}1|2120xx x B x x =-+≤-≤=≤∣,∴{}|02A B x x =<≤ ,故选:B.2．A【分析】对函数进行求导，与0比较即可求解【详解】由()cos f x x x =+可得()1sin 0f x x '=-≥，所以()f x 在(),-∞+∞上是增函数，故选：A 3．C【分析】利用定义法进行判断即可.【详解】充分性：因为向量,a b 均为单位向量，且“33a b a b +=-”，所以2233a b a b +=- ，即22226996a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即106106a b a b+⋅=-⋅所以120a b ⋅=，所以a b ⊥ .即充分性满足；必要性：因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=.而22222236910,39610a b a a b b a b a a b b +=+⋅+=-=-⋅+= ，所以2233a b a b +=- ，所以33a b a b +=-.即必要性满足.故选：C 4．B【分析】由半衰期可求得k ，进而解方程1082.t k⎛⎫= ⎪⎝⎭可得答案.【详解】因大约每经过5730年衰减为原来的一半，则573057300.50.5kk ==⇒，又因出土时碳14的残余量约为原始量的80%，则57305730108052..t t ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得()2085730032183365730log ...tt =-⇒≈⨯=，又2022183361884..-=，由时间轴可知文物属于汉.故选：B 5．C【分析】根据两角和的正切公式求得正确答案.【详解】()tan17tan 43tan 60tan 17431tan17tan 43︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒所以)tan17tan 431tan17tan 43︒+︒=-︒⋅︒，tan43tan17tan43++= 故选：C 6．D【解析】确定函数图象关于直线12x =对称，排除AC ，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B ，得出正确结论．【详解】函数定义域是1|2x x ⎧⎫≠⎨⎩⎭，由于21y x =-的图象关于直线12x =对称，sin y x =π的图象也关于直线12x =对称，因此()f x 的图象关于直线12x =对称，排除AC ，sin y x =π有无数个零点，因此()f x 也有无数个零点，且当x →+∞时，()0f x →，排除B ．故选：D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．D【分析】由对数函数的性质判断出0a <，排除AB ，设sin ()xf x x=，利用导数确定它的单调性，从而得出,b c 两数的大小即可求解．【详解】ln10a == ，0.2sin 0.10b =>，0.1sin 0.20c =>，排除答案A ，B ；由sin 0.10.2sin 0.10.1sin 0.20.1sin 0.20.2b c ==，设sin ()x f x x =，π()0,x ∈，则cos sin ()2x x x f x x -'=，令()cos sin g x x x x =-，则()cos sin cos sin 0((0,π))g x x x x x x x x '=--=-<∈，所以()g x 在()0,π上单调递减，从而()()00g x g <=，即()0f x '<，所以()f x 在()0,π上单调递减，从而()()0.10.2f f >，即sin 0.1sin 0.20.10.2>，所以0.2sin 0.10.1sin 0.2>，即b c >，综上可知a c b <<.故选：D ．8．A【分析】根据所给条件结合函数的奇偶性赋值求解.【详解】因为()32f x +是奇函数，所以()()3322f x f x -+=-+，令0x =可得(2)0f =，又因为()31f x +是偶函数，所以()31(31)f x f x +=-+，令13x =则有(2)(0)0f f ==，()()3322f x f x -+=-+中令3x 2=可得(0)(4)0f f =-=，所以(4)0f =，故选:A.9．AD【分析】根据左加右减原理，逐项平移然后利用诱导公式进行化简，结合余弦函数的奇偶性进行判断即可得解.【详解】对A，平移后得()2(263g x x x ππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦为偶函数，故A 正确；对B，平移后得2()2()633g x x x πππ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦无奇偶性，故B 错误；对C，平移后得()2()333g x x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦无奇偶性，故C 错误；对D，平移后得()2())233g x x x x πππ⎡⎤=--=-=⎢⎥⎣⎦为偶函数，故D 正确.故选：AD10．AB【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 1f x x '=+.A 选项，()()10,11f f '==，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y x =-，A 选项正确.B 选项，令()ln 10f x x '=+=解得1ex =，所以在区间10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，()()0,f x f x '<单调递减，B 选项正确.C 选项，()f x 在区间()1,,0e f x ⎛⎫'+∞> ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，所以()f x 有极小值，无极大值，C 选项错误.D 选项，()f x 的极小值为1111ln e e ee f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当01x <<时，()0f x <；当1x >时，()0f x >，方程()1f x =有一个解，D 选项错误.故选：AB 11．BCD【分析】根据“二阶导函数”的概念，结合导数运算公式求解即可.【详解】对于A ，()()πcos sin ,sin cos sin()4f x x x f x x x x '''=+=-+=--，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πsin()04x -<，()πsin()04f x x ''=-->，故A 错误；对于B ，()()2113,0f x f x x x'''=-=-<在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，故B 正确；对于C ，()()233,60f x x f x x '''=-+=-<在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，故C 正确；对于D ，()()e e (1)e ,e (1)e (2)e x x x x x xf x x x x x x f ------'=-=-=---=--''，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以20x ->，所以()(2)e 0xx f x -=--'<'恒成立，故D 正确.故选：BCD.12．ABC【分析】先由平移变换的得到1π()sin π(sin(π)33g x a x a x a =-=-，然后将()f x 和()g x 联立求出两图像相邻交点,,A B C 的坐标，根据ABC 为钝角三角形即可求解.【详解】由题意可知：1π()sin π(sin(π)33g x a x a x a =-=-，令πsin(π)sin(π)3a x a x -=，解得：tan(π)a x =πππ,Z 3a x k k =-∈，因为点,,A B C 是()f x 和()g x 图象的连续相邻的三个交点，不妨令0k =可得：13x a =-，1π()sin()33f a -=-=-1(,3A a --，令1k =可得：23x a =，22π(sin()332f a ==，所以2(,32B a ，令2k =可得：53x a =，55π()sin(332f a ==-，所以5(,)32C a -，623AC a a ==，AB ==BC AB ===，因为ABC 为钝角三角形，由余弦定理可得：222222211433cos 0122(3)AB BC AC a a a B AB BC a+++-+-==<+，所以213a <，因为0a >，所以0a <<，故选：ABC .13．π3cos2x（答案不唯一）【分析】根据题意，选择三角函数，根据对称性和最值，选择()f x =π3cos 2x.要注意答案不唯一.【详解】由题意：函数()f x 为偶函数，所以()f x 关于y 轴对称，又()f x 关于()1,0-中心对称，且在R 上的最大值为3，所以可以取三角函数()f x =π3cos 2x（答案不唯一）.故答案为：()f x =π3cos 2x（答案不唯一）.14．()6,0【分析】利用投影向量的定义直接求解.【详解】因为()2,0b =的单位向量为()1,0i = ，所以a 在b上的投影向量()()62201,06,02a b c i b⋅⨯+⨯=== .故答案为：()6,015．20232026,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简()f x 的解析式，求得()f x '，根据极值点以及余弦函数零点的知识列不等式，由此求得ω的取值范围.【详解】依题意0ω>，()π3sin sin sin cos 322f x x x x x ωωωω⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭π6x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()πcos6f x x ω⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，πππ,N 62x k k ω+=+∈，由于()f x 在[]0,π上有且仅有675个极值点，所以πππ674π675π262x ω+<+≤+，解得2023202633ω<≤，所以ω的取值范围是20232026,33⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：20232026,33⎛⎤⎥⎝⎦16．12【分析】将A A B B =+-代入()3sin cos sin A A B B =+中,展开化简,即可得()3tan 4tan A B B +=,再将A A B B =+-代入tan A 中,结合()3tan 4tan A B B +=即可得tan A 关于tan B 的等式,根据基本不等式求出最值即可.【详解】解:由题知()3sin cos sin A A B B =+,所以有:()()3sin cos sin A B B A B B +-=+,即:()()()3sin cos 3cos sin cos sin A B B A B B A B B +-+=+,化简可得()()3sin cos 4cos sin A B B A B B +=+,即()3tan 4tan A B B +=,所以()()()tan tan tan tan 1tan tan A B B A A B B A B B +-=+-=++()()3tan 3tan 33tan tan A B BA B B+-=++2tan 34tan BB=+134tan tan B B =+,因为π02B <<,所以tan 0B >,所以34tan tan B B +≥=当且仅当34tan tan B B =,即tan B =,此时1tan 3124tan tan A B B=≤+,所以tan A故答案为1217．(1)2π3B =【分析】（1）结合余弦定理以及三角形的面积公式化简已知条件，从而求得角B .（2）结合三角恒等变换、正弦定理等知识求得S .【详解】（1）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-，所以2221()2cos cos sin 4422S b a c ac B ac B ac B =--=-⨯=-=，所以tan B =，所以2π3B =．（2）sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos A C A C A C A C A C A C++=+=sin()sin 32cos cos cos cos cos cos 4A CB AC A C A C +====，所以2cos cos 3A C =．tan tan 4tan tan()1tan tan 1tan tan A C B A C A C A C+=-+=-=-=---所以1sin sin sin sin tan tan 24cos cos 3A C A C A C A C ===，所以1sin sin 6A C =，由正弦定理可得，2sin sin sin 2a c b A C B===，所以2sin ,2sin a A c C ==，所以11sin 4sin sin sin 22S ac B A C B ==⨯18．(1)单调递增区间是πππ,π(Z)44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；对称中心为π,1,Z 2k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭6-【分析】（1）化简()f x 的解析式，利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间及对称中心.（2）结合同角三角函数的基本关系式以及三角恒等变换的知识求得cos 2x .【详解】（1）由题意得：π()sin 2cos 212sin 212f x x x x ⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭，由ππ2π22π(Z)22k x k k -+≤≤+∈，可得ππππ(Z)44k x k k -+≤≤+∈；所以()f x 的单调递增区间是πππ,π(Z)44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；令2πx k =，Z k ∈，解得：π2k x =，Z k ∈，此时函数值为-1，所以对称中心为π,1,Z 2k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．（2）∵ππ12sin 21633f x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴π1sin 233x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ4π2333x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∵当πππ2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭时，ππ1sin 2sin 3323x ⎛⎫+>=> ⎪⎝⎭，∴ππ2π32x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，πcos 233x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11232326=-+⨯．19．(1)12(),0125x t x x -=≤≤(2)当32x =，()t x 有最小值44h 15【分析】（1）利用勾股定理，结合速度、路程、时间的关系，根据题意可以求出t 关于x 的函数的解析式；.（2）先求函数的导数,再根据导数得出函数的单调区间,得出最小值即可.【详解】（1）如图，1d =,此人坐船所用时间为13d ，步行所用时间为12h,5x -()12(),01235x t x x -∴=+≤≤；（2）12(),01235x t x x -=≤≤，所以1(),0125t x x '=≤≤，令()0t x '<，则032t ≤<；令()0t x '>，则3122t <≤，所以()t x 在30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，在3[,12]2单调递增，所以当32x =，()t x 有最小值44h 15．20．(1)22y x π=-++(2)()max f x =()min f x =【分析】（1）将2x π=代入()f x 求出切点纵坐标，再由导数求出切线的斜率，即可根据点斜式求出切线；（2）根据函数的周期性与奇偶性的定义求出()f x 是奇函数且周期为2π，则研究()f x 的最值，只需研究[]0,x π∈即可，根据导数可以得出()max 3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可根据奇函数得出()min f x .【详解】（1）2sin s 22in 2f πππ⎛⎝+⎫== ⎪⎭，则切点为22π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2cos 2cos 2f x x x '=+，则切线的斜率为2cos 2cos 222f πππ⎛⎫'=- +⎭=⎪⎝，所以()f x 在2x π=的切线方程为22y x π=-++．（2）()()()()22sin 2sin 242sin sin 2f x x x x x f x πππ+=+++=+=，则()f x 的周期为2π，()()()()2sin sin 22sin sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，则()f x 为奇函数，则研究()f x 的最值，只需研究[]0,x π∈即可，因为()()()()22cos 2cos 22cos 22cos 122cos 1cos 1x x x f x x x x =+=+-=-+'，在[]0,x π∈上，由()0f x ¢>得1cos 12x <<，即03x π<<时()f x 单调递增，由()0f x '<得11cos 2x -<<，即3x ππ<<时()f x 单调递减，所以当3x π=时，()max 32f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，又因为()f x 为奇函数，所以()min f x =．21．(1)(3)证明见解析【分析】（1）利用海伦公式求解即可；（2）利用秦九韶公式求解即可（3）在ABC 中，过点A 作AD BC ⊥，设AD h =，BD x =，CD y =，算出h =【详解】（1）由题意得：()1789122p =⨯++=，由海伦公式得：12S =（2）由题意得：2225,6,7a b c ===，由秦九韶公式得：2S =．（3）证明秦九韶公式如下：在ABC 中，AB c =，AC b =，BC a =，过点A 作AD BC ⊥，设AD h=，BD x =，CD y =，由222222x y a h c x h b y +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩得：2222a c b x a +-=，2222a b c y a +-=，h=1122ABC S ah a ∴==⋅证明海伦公式如下：ABC S ===设()12p a b c =++，ABC S ∴=．22．(1)()ln 3f x x x =++(2)证明见解析【分析】（1）根据已知结合曲线的切线得出()()1211ln1322a f b f a b ⎧=+=⎪⎨⎪=++=+⎩'，即可解出a ，b ，即可得出答案；（2）令()()()22ln 1g x f x x x x =-+=-+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数得出()()()max 10g x g x g ≤==，即()22f x x ≤+，则要证明2sin ()x x f x π+>，只需证明2sin 22x x x π+>+，令()sin h x x x =-，根据导数得出()()00h x h >=，即sin x x >，要证明2sin 22x x x π+>+，只需证明22sin π22x x +≥+，令()22sin 2π2F x x x =-+-，根据导数即可证明22sin π22x x +≥+，即可得出答案.【详解】（1）()a f x b x'=+，()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为22y x =+，()()1211ln1322a f b f a b ⎧=+=⎪∴⎨⎪=++=+⎩'，解得1a =，1b =，所以()ln 3f x x x =++．（2）令()()()22ln 1g x f x x x x =-+=-+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()111x g x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()()()max 10g x g x g ≤==，即()22f x x ≤+．若要证明2sin ()x x f x π+>，只需证明2sin 22x x x π+>+，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=->在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00h x h >=，即sin x x >，所以22sin 2sin x x x >．故只需证明22sin π22x x +≥+．令()22sin 2π2F x x x =-+-，则()4sin cos 22sin 220F x x x x =-=-≤'，所以()F x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2ππ212π2022F x F ⎛⎫≥=⨯-⨯+-= ⎪⎝⎭，所以22sin π22x x +≥+．综上知，()2sin π22x x x f x +>+≥．。