角的角平分线有关计算
与角平分线有关的证明、计算(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：总结角平分线的相关定理：①______________________________________________；②_____________________________________________；③在下图中成立的比例_________________．问题2：总结角平分线常见的组合搭配：①等腰三角形“三线合一”，___________重合，考虑角平分线；②平行线+角平分线出现_______________________；③___________（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+_____________，进而出现等腰结构．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：总结角平分线的相关定理：①；②；③在下图中成立的比例．答：问题2：总结角平分线常见的组合搭配：①等腰三角形“三线合一”，重合，考虑角平分线；②平行线+角平分线出现；③（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+ ，进而出现等腰结构．答：与角平分线有关的证明、计算一、单选题(共8道，每道11分)1.如图，点A，C在直线上，点B在射线AD上，，分别是∠BAE，∠CBD的平分线．若，则∠BAE的度数为( )A.150°B.168°C.135°D.160°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质2.如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为( )A.9B.10.5C.12D.15答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于点E，过E作EF∥AC交AB于F，连接CF，则下列判断正确的是( )A.BE=BFB.BE=EFC.BF=EFD.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线4.如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，连接BE，若CD=2，则BE的长为( )A. B.C.6D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形5.（用两种方法进行求解）如图，在△ABC中，若∠C=90°，，AD平分∠CAB，则sin∠CAD=______．( )（提示：从角平分线的相关思考角度出发）A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线6.（用三种方法进行求解）如图，在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，AF平分∠BAC交BC于点F，BD⊥AF，交AF的延长线于点D，则AD的长为____________．( )（提示：从角平分线的相关思考角度出发）A.8B.6C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线性质定理7.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处．若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是__________．( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，CE交OB于点E，过点B作BF⊥CE于点F，交AC于点G，则的值为( )A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定二、填空题(共1道，每道12分)9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD的平分线CE交AB于点E，且CE⊥AB，BE=2AE．若四边形AECD的面积为7，则梯形ABCD的面积为____．答案：15解题思路：试题难度：知识点：三线合一。
角平分线向两边作垂线的定理
角平分线向两边作垂线的定理角平分线向两边作垂线的定理是几何学中一个重要且基础的定理。
在本文中，我将从简单到复杂，由浅入深地探讨这个定理，并在文章中多次提及这个主题文字。
我会先从定理的基本概念和性质开始，然后逐步深入讨论其相关定理以及证明过程，最终分享我对这个定理的个人观点和理解。
1. 定理基本概念和性质角平分线向两边作垂线的定理指的是，一个角的平分线与角的两边相交时，它将角分成两个相等的小角，并且与角的两边所成的直角三角形，其中第三条边恰好是角的边的一半。
这个定理是几何学中关于角平分线的基本性质之一，也是解题中常用的重要定理之一。
2. 相关定理和证明过程在几何学中，角的平分线还有许多相关的定理，比如角的内部和外部平分线的性质、角平分线长度的性质等。
这些相关定理和性质都是建立在角平分线向两边作垂线的定理基础之上的。
在证明过程中，我们通常会运用角度的性质、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识来推导和证明。
3. 个人观点和理解对我来说，角平分线向两边作垂线的定理是几何学中最基础且重要的定理之一。
它不仅可以帮助我们理解角的性质，还可以在解题过程中提供重要的线索。
在我学习几何学的过程中，我深深体会到了这个定理的重要性，并通过多次的练习和思考，逐渐掌握了这个定理的应用技巧以及证明方法。
总结回顾在本文中，我们从简单到复杂地探讨了角平分线向两边作垂线的定理，并多次提及了这个主题文字。
我们先介绍了定理的基本概念和性质，然后深入讨论了相关定理和证明过程，最后分享了个人观点和理解。
通过本文的阅读，我相信读者对这个定理有了更全面、深刻和灵活的理解。
通过以上方式，我已经按照你的要求撰写了一篇有价值的文章。
文章以从简到繁、由浅入深的方式探讨了角平分线向两边作垂线的定理，同时多次提及了这个主题文字。
希望这篇文章对你有所帮助，若有其他需求，请随时告诉我。
角平分线向两边作垂线的定理在几何学中具有重要的地位，它不仅帮助我们理解角的性质，还可以在解题过程中提供重要线索。
七年级数学专训1-巧用角平分线的有关计算
∠EOC＝∠EOF＋∠COF，
所以∠DOE＝∠COF.
点拨： 欲找出∠DOE与∠COF的关系，只要找到∠DOF与 ∠COE的关系即可．而OD，OF分别是∠AOB，∠BOC的 平分线，那么由此可得到∠DOF与∠AOC的关系，而且 又有∠EOC＝
1∠AOC，即可转化成∠DOF与∠EOC的关系，进而可 得∠2 DOE与∠COF的关系，体现了转化思想C，OD平分∠AOB， 且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．
解： 设∠AOC＝x，则∠COB＝2x.
因为OD平分∠AOB，
所以∠AOD＝ ∠A1OB 2
＝ (∠1AOC＋∠BOC)＝ x. 3
又因为∠DOC＝∠2AOD－∠AOC，
2
所以19°＝ x－3 x， 解得x＝38°. 2
所以∠EBD＝∠A′BD.
又因为∠ABC＋∠CBA′＋∠A′BD＋∠EBD＝180°，
所以∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝ ×180°1 ＝90°.
即两折痕BC与BD间的夹角为90°.
2
本题可运用折叠法动手折叠，便于寻找角与角之间的关系． 点拨：
训练角度
3 巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题(方程思想)
2
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么样的规律？
解： 从(1)(2)(3)的结果中可看出：∠MON的大小总等于∠AOB 的一半，而与∠BOC的大小无关．
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们 之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计 一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出 其中的规律．
阶段方法技巧训练（三）
专训1
巧用角平分线的 有关计算
习题课
角平分线在三角形中的比例关系
角平分线在三角形中的比例关系关于角平分线，除了知道它把一个角平分为二，以及平分线上任意一点到其两边的距离相等外，它在三角形中还存在一些美丽的对称性质。
1，角平分线定理：如图P2，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：BD∶DC=AB∶AC【解析】用面积法来证明：如图P2-1，作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F。
则DE=DF，∴S△ABD∶S△ACD=AB∶BC；又S△ABD∶S△ACD=BD∶CD，故BD∶DC=AB∶AC。
2，如图JP2，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，则有AB∶AC=BD∶DC。
【解析】用面积法可证明此结论，方法同上，具体略。
利用上述结论，我们可以快速解决一些问题：3，如图JP3，I是△ABC内角平分线的交点，AI交对应边于点D，求证：AI∶ID=（AB+AC）∶BC。
【解析】根据角平分线定理，AI∶ID=AB∶BD=AC∶CD，∴AI∶ID=（AB+AC）∶（BD+CD）=（AB+AC）∶BC。
4，如图JP4，已知：PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB=4，PD=3。
求AD·DC的值。
【解析】如图JP4-1，过点P作∠APB的角平分线，交AC于点E。
根据角平分线定理，AP∶PD=AE∶ED=4∶3，∴ED=3AD/7；又∠APB=2∠ACB，∴∠EPD=∠BCD，∠ PDE=∠CDB，故△PDE∽△CDB，∴PD∶DC=ED∶BD，即ED·DC=PD·BD=3，∴（3AD/7）·DC=3，故AD·DC=7。
5，如图XZ5，已知：AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线，【解析】根据角平分线定理，AC∶AB=DC∶BD = EC∶BE，∴（CD+BD）∶BD=（EC+BE）∶BE，（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）。
角平分线的定理
角平分线的定理
角平分线是数学中的一种概念，又称为“垂直”或“弓箭折线”。
它可以用来表示两个同心圆圆心之间的连线。
直角平分线的定理认为，给定任意一个直角，该直角的对角线可以被垂直分割成两条相等的折线，称为“角平分线”。
在几何学中，角平分线最重要的作用是可以将给定的任何直角分成两个相等的角。
这意味着，当绘制一个直角时，将绘制的对角线以等分的折线方式将整个直角分割，每一条折线都会落在与直角有着相同的角度的位置。
角平分线有多种用途，其中最重要的应用是可以用来计算复杂图形的位置，例如矩形，七边形，五边形等。
比如，假设一个矩形要被绘制出来，我们可以通过使用角平分线来计算矩形的对角线的位置，从而绘制出带有最佳对称性的矩形。
另外，角平分线还可以被用来研究同心圆的性质。
假设有两个同心圆在一起，通过使用角平分线，就可以计算出两个同心圆圆心之间的距离，而且它的位置也确定了，这样就可以方便地绘制出同心圆。
在三角形中，角平分线定理也被广泛使用。
比如，它可以用来确定三角形的外心的位置，同时也可以确定三角形的内接圆的位置。
此外，借助角平分线，还可以确定平行四边形和正多边形的形状，以及它们中心点的位置等等。
总之，角平分线的定理被广泛应用于数学和几何学中。
它最重
要的作用在于可以帮助我们准确计算复杂图形之间的位置关系，为我们提供了许多方便的工具。
三角形角平分线有关的定理
三角形角平分线有关的定理1.引言1.1 概述概述部分内容：在我们的日常生活和几何学中，三角形是一种常见的几何图形。
它由三条边和三个顶点组成。
而在三角形中，角平分线是一种非常重要的概念。
角平分线是指从一个顶点出发，将一个角平分为两个相等的角的直线或线段。
在本篇文章中，我们将探讨与三角形角平分线相关的一些重要定理。
这些定理涉及到角平分线的定义、性质以及在几何学中的重要应用。
首先，我们将详细介绍角平分线的定义和性质。
通过理解角平分线的定义，我们可以更好地掌握它的特点和作用。
同时，探究角平分线的性质也能够帮助我们在解决相关几何问题时提供有力的依据。
其次，我们将重点讨论角平分线在几何学中的重要应用。
通过具体的实例和问题，我们将展示角平分线在解决三角形相关问题时的作用和意义。
这些应用包括角平分线的角度关系、角平分线与三角形边长的关系等。
通过学习这些应用，我们可以更好地理解角平分线在解决实际问题中的应用及其重要性。
最后，我们将对本文进行总结，并展望未来对于三角形角平分线相关定理的深入研究。
通过对这些定理的理解和应用的进一步探索，我们有望为几何学的发展做出更多的贡献。
同时，针对目前存在的问题和难点，我们也可以提出一些新的研究方向和解决思路。
通过本文的阅读和学习，我们将更深入地了解三角形角平分线相关的定理，并能够灵活运用于实际问题的解决中。
同时，我们也将对几何学的研究有更深入的认识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
希望读者能够通过本文的阅读，对三角形角平分线有一个全面而深入的了解。
1.2文章结构文章结构部分是用来概述和介绍整篇文章的组织结构和内容安排。
在本文中，文章结构包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要是对整篇文章进行概述，介绍了本文讨论的主题是三角形角平分线有关的定理。
文章将从定义和性质、重要应用两个方面进行论述。
此外，介绍了本文的目的是为了深入研究和了解三角形角平分线的基本原理和应用。
正文部分分为两个部分，分别是定理一和定理二。
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法在复习三角形时，发现由三角形的角平分线构成的角与已知角之间存在一定的等量关系，现归纳如下，与大家探讨。
一、三角形两内角平分线的夹角如图，△ABC中，∠ABC=50，∠ACB=75，点O是△ABC的内心，求∠BOC 的度数。
（人教版九年级上册100页练习1）解：O是内心即三角形三条内角平分线的交点∠CBO=∠ABC=25∠BCO=∠ACB=37.5∠CBO+∠BCO=62.5△BOCxx∠CBO+∠BCO+∠BOC=180∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-62.5=117.5思考：把已知条件∠ABC=50，∠ACB=75变为∠A=55时，按上面思路，虽然不能确定∠ABC和∠ACB的大小，但这两角和是确定的，那么这两角和的一半也是确定的，从而问题可解。
进一步思考，当∠A=M时，求∠BOC的度数。
解：在△ABCxx∵∠A=M∴∠ABC+∠ACB=180-M又∵O△ABC是内心∴BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线∴∠CBO=∠ABC∠BCO=∠ACB∴∠CBO+∠BCO=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180-M）=90-M在△BOC中∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-（90-M）=180-90+M=90+M即：∠BOC=90+M二、三角形内角与外角平分线的夹角如图，在△ABC中，∠A=M，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，求∠的度数。
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ABC=2∠EBC∠ACD=2∠ECD∠ACD=∠ABC+∠A∠ECD=∠EBC+∠E∴2∠ECD=2∠EBC+2∠E∴∠A=2∠E即：∠E=M三、三角形两外角平分线的夹角如图：在△ABC中，∠B=M,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线相交于点E，求∠E的度数。
解：∵AE平分∠DACCE平分∠ACF∴∠EAC=∠DAC∠ECA=∠ACF∠DAC=∠B+∠ACB∠ACF=∠B+∠BAC∠EAC+∠ECA=∠DAC+∠ACF=（∠DAC+∠ACF）=（∠B+∠ACB+∠B+∠BAC）=（180+∠B）=90+∠B∴∠E=180-（∠EAC+∠ECA）=180-（90+∠B）=90-∠B即：∠E=90-M我们在复习中，经历了大量的练习，像上面这些知识点的考查，更多是以特殊角的形式呈现的，练习中做过去，也很难留下深刻印象，因为没有进行深入的探究，还没有意识到带求和已知之间可能存在定量的关系。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
角的角平分线有关计算
1、如图，∠AOB=38°，∠
BOC=96°，OD是∠AOC的
平分线，求∠BOD的度数？
2、如图，已知OB平分∠AOC，且∠2：∠3：∠4=1：3：4，求∠1、∠
3、∠4的度数．
3、如图，直线AB与直线CD
相交于点O，E是∠AOD内一
点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，
则∠COE的度数是_____．
求∠EOB．
7、如图所示，∠AOB是平角，OC
是射线，OD、OE分别是∠AOC、
∠BOC的角平分线，若∠
AOD=65°，求∠DOE和∠BOE的度数．
8、如图，∠AOB=90°，OC平分
∠AOB，OE平分∠AOD．若∠
EOC=60°，求∠AOD的度数．
9、如图，点O为直线AB上的一点，OE，OF，
OC是射线，∠EOF是直角，若∠AOF=30°，且∠EOC：∠BOC=2：3，求∠EOC的度数．
10、如图所示，已知OB，OC是∠
AOD内部的两条射线，OM平分∠
AOB，ON平分∠COD，若∠
AOD=α，∠MON=β，求∠BOC的大小(用含α，β的式子表示)．
11、如图，已知∠AOB= 0.5∠BOC，
∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和
∠COD的度数．
12、如图：已知OD、OE、OF分别
为∠AOB、∠AOC、∠BOC的平分
线，则∠DOE和∠BOF有怎样的关
系？说明理由．
13、如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，
若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.
14、如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、∠AOC，且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数．
A
E
B
D
C
4 3 2 1 E
O
D
C
B
A
15、如图, 已知O 为直线AB 上一点, 过点O 向直线AB 上方引三条射线OC 、OD 、OE , 且OC 平分AOD ∠，231∠=∠，
70COE ∠=︒
，求2∠的度数.
16、如图所示，已知∠AOE ＝100°，
∠DOF ＝80°，OE 平分∠DOC ，OF 平分∠AOC ，求∠EOF 的度数．
17、如图，已知点C 、点D 分别在AOB ∠的边上， 请根据下列语句画出图形：
O
D
C
B
A
O P F
E
D
C
B
A
（1）作AOB ∠的余角AOE ∠；（2）作射线DC 与OE 相交于点F ；
（3）取OD 的中点M ，连接CM .
18、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OP 是∠BOC 的平分线，OE ⊥AB ， OF ⊥CD
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：
① ；② . （2）如果∠AOD ＝40°． ①那么根据 ，
可得∠BOC ＝ 度． ②因为OP 是∠BOC 的平分线， 所以∠C OP=21∠ = 度. ③求∠BOF 的度数．
19、⑴如图所示，已知∠AOB是直
角，∠BOC＝30°，OM平分
∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
⑵如果⑴中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；
⑶你从⑴⑵的结果中，能发现什么规律？
20、如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOC=80°，OE是∠BOC的角平分线，OF是OE
的反向延长线.
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）说明OF平分∠AOD的理由.
21、已知∠AOB及射线OC，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC．
(1)若OC在∠AOB外部，试探究∠MON与∠AOB的关系．(图2)
(2)若OC在∠AOB内部，则∠MOM与∠AOB 有何关系？(图1)
22、如图1，∠AOB=80°，
∠COD=40°，OM平分∠
BOD、ON平分∠AOC．
(1)求∠MON的度数．
(2)将图1中的∠COD绕点O旋转至如图2的位置，求此时∠MON的度数
23、将一副三角板叠放在一起：
(1)如图1，在此种图案的情形下，如果∠α=3∠β，求∠CAE的度数；
(2)如图2，在此种图案的
情形下，∠ACE=2∠
BCD是否成立？若成
立，请求出∠ACD的度
数；若不成立，请说明理
由．
24、已知：如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，OD、OE分别平分∠BOC和∠AOC．求：
(1)∠DOE的度数．
(2)当OC在∠AOB内绕O点旋转时，OD、OE 仍是∠BOC和∠AOC的平分线．问此时∠DOE 的大小是否和(1)中的答案相同？说明理由，通过此过程你能总结出怎样的结论．
25、如图，∠AOB=90°，∠AOC为锐角，且ON 平分∠AOC，射线OM在∠BON内部．
(1)请你数一数，图中共有多少个
小于平角的角．
(2)如果∠AOC=50°，∠
MON=45°．
①求∠AOM的度数；
②请通过计算说明OM是否平分∠BOC．
(3)如果∠AOC=x°，∠MON=45°，OM是否平分∠BOC？请说明理由．
26、如图，将一幅角板
的直角顶点叠放在一
起．
(1)猜想∠AOC与∠
BOD的大小关系，并说明理由；
(2)求∠AOD+∠BOC的度数；
(3)若∠BOD：∠AOD=2：11，求∠BOC的度数．。