第三章 拉普拉斯变换法-3
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拉普拉斯变换微分定理三阶
拉普拉斯变换微分定理三阶一、拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换是一种数学变换，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
拉普拉斯变换源于法国数学家拉普拉斯在18世纪末的研究成果，它是一种将复杂数学问题简化求解的方法。
1.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s)的运算，定义如下：F(s) = ∫(e^(-st) * f(t) * dt)，其中s为变换域变量，t为时域变量。
2.拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换具有以下基本性质：(1) 线性性质：拉普拉斯变换具有线性性质，即变换后的函数是原函数的线性组合。
(2) 尺度变换：拉普拉斯变换具有尺度变换性质，变换后的函数与变换前的函数在尺度上存在一定的关系。
(3) 移位性质：拉普拉斯变换具有移位性质，变换后的函数通过平移原函数得到。
二、拉普拉斯变换微分定理三阶的推导拉普拉斯变换微分定理是拉普拉斯变换在微分方程求解中的应用。
以下是拉普拉斯变换微分定理三阶的推导过程：1.拉普拉斯变换微分定理一阶设f(t)为t的函数，对其进行一阶导数，得到f"(t)。
将f(t)和f"(t)进行拉普拉斯变换，得到F(s)和F"(s)。
2.拉普拉斯变换微分定理二阶对拉普拉斯变换后的函数F"(s)进行一阶导数，得到F""(s)。
3.拉普拉斯变换微分定理三阶对拉普拉斯变换后的函数F""(s)进行一阶导数，得到F"""(s)。
三、拉普拉斯变换微分定理三阶的应用拉普拉斯变换微分定理三阶在求解微分方程、信号处理与系统分析、工程与应用等领域具有广泛的应用。
1.求解微分方程利用拉普拉斯变换微分定理三阶，可以将复杂微分方程转化为更易于求解的线性微分方程。
2.信号处理与系统分析拉普拉斯变换微分定理三阶在信号处理与系统分析中具有重要意义，可以帮助分析信号的频率特性和系统的稳定性。
拉普拉斯变换法
拉氏变换定义
原函数f(t）旳拉氏变换F（S）定义为：
就是将原函数乘以e-st，并将乘积从时间为0→∞之间 作定积分。
拉氏变换旳实质是将时间函数体现式转换为拉氏运 算子s旳函数体现式。 f(t） --- 原函数 F（S）--- 象函数
二、 简朴函数L氏变换 1. 常数 f（t）=A
2. 指数函数 f（t）= e-at
3.导函数
三、L氏变换旳主要性质 ❖ L氏变换是线性变换 设
则
即 代数多项式旳L氏变换等于各项 变换旳代数和。
❖ 微分性质
若 则
某些常用函数旳Laplace变换表
函数，F（t） A t
Ae-at
L氏变换，f（s） A/s 1/s2
A/(s+a)
A/s(s+a)
Ate-at
A/(s+a)(s+b) A/(s+a)2
拉普拉斯变换 （Laplace Transform）
一、 概述
❖ 线性方程组：表征表观零级或一级过程旳速度旳方 程组。
❖ 拉普拉斯变换（L氏变换）：是一种微分方程或积 分方程求解旳简化措施。可用于解线性微分方程 组。
❖ 进行L氏变换旳实质，在于把速度方程式中旳时间 定义域置换成拉普拉斯运算子s旳复。
四、L氏变换解线性微分方程
1. 零级静脉输注
速度体现式：
dX k 0 kX
dt
L氏变换
sL[ X (t)] X (0) k 0 kL[ X (t)] s
s X X (0) k 0 k X S
X k0 s(s k)
方程终解 X k 0 (1 ekt ) K
2. 静脉注射
dX kX dt
( t=0, X=X0)
拉式变换
2、有些重要函数如eat (a>0) 的傅立叶变换 不存在，无法用傅立叶分析方法处理。
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。
2
3.1 引言
拉氏变换与傅氏变换的关系： 1、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷 多项虚指数信号ejt之和。
f (t) 1 F( )e j td
t
所以其收敛域为s平面上 的部分.
返回
13
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换
| 1、单位阶跃信号u(t)
L u(t) estdt 0
est s
0
1 s
即 u(t) 1
s
L 2、指数函数et eat
2j
则 L sin t 1 (L e j t L e j t ) 2j
1( 1 1 )
2 j s j s j
s2 2
16
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
即
L
s in
t
s2
2
同理
L
cos
t
s2
s
2
17
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
法写成如下形式：
s
(s )2 2 或 (s )2 2
31
例：
F(s)
s s2 2s 5
极点为 s 1 2 j
F
(s)
(s
s 11 1)2 22
(s
s 1 1)2
22
1 2
(s
2 1)2
22
f (t) et cos2t u(t) 1 et sin 2t u(t) 2
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。
2
3.1 引言
拉氏变换与傅氏变换的关系： 1、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷 多项虚指数信号ejt之和。
f (t) 1 F( )e j td
t
所以其收敛域为s平面上 的部分.
返回
13
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换
| 1、单位阶跃信号u(t)
L u(t) estdt 0
est s
0
1 s
即 u(t) 1
s
L 2、指数函数et eat
2j
则 L sin t 1 (L e j t L e j t ) 2j
1( 1 1 )
2 j s j s j
s2 2
16
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
即
L
s in
t
s2
2
同理
L
cos
t
s2
s
2
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3.4 常用函数的拉普拉斯变换
法写成如下形式：
s
(s )2 2 或 (s )2 2
31
例：
F(s)
s s2 2s 5
极点为 s 1 2 j
F
(s)
(s
s 11 1)2 22
(s
s 1 1)2
22
1 2
(s
2 1)2
22
f (t) et cos2t u(t) 1 et sin 2t u(t) 2
第三章_拉氏变换
激励的初始值为 e(0 ) 0 求响应的拉氏变换。
解： E(s) L[e(t)] R(s) L[r(t)]
对微分方程取拉氏变换：
[s2R(s) sr(0 ) r(0 )] a1[sR(s) r(0 )] a0R(s) b1[sE(s) e(0 )] b0E(s)
R( s )
(sb1 b0 )E(s) s2 a1s a0
拉普拉斯在数学和物理学方面也有重 要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换 和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域 有着广泛的应用。
拉普拉斯变换的定义
一、拉普拉斯变换的定义
F(s) f (t)estdt 0
f (t) : 时域函数，原函数，t < 0 时等于0。 F(s) : f(t)的拉普拉斯变换，复频域函数，象函数。 s = + jω 复频率
L[ f (t t0 )(t t0 )] est0 F(s)
例3 求e-b(t-a) 的拉氏变换，a,b为任意实数。
5、初值定理和终值定理
（1）初值定理
设 L[ f (t)] F(s) 且 lim sF (s) 存在 s
则
f
(0
)
lim
s
sF
(
s)
（2）终值定理
设
L[ f (t)] F(s)
f (t) L1[F(s)] 拉普拉斯反变换
例1、求单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换。
解：
F (s) L[ (t)] (t)estdt 0
est t0 1
例2、求单位阶跃函数 ε(t) 的拉普拉斯变换。
解:
F ( s) L[(t )] (t )e st dt 0
e st dt e st
s p1 s p2
拉普拉斯变换基础知识讲解
0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1
《机械工程控制基础》课后答案
目录第一章自动控制系统的基本原理第一节控制系统的工作原理和基本要求第二节控制系统的基本类型第三节典型控制信号第四节控制理论的内容和方法第二章控制系统的数学模型第一节机械系统的数学模型第二节液压系统的数学模型第三节电气系统的数学模型第四节线性控制系统的卷积关系式第三章拉氏变换第一节傅氏变换第二节拉普拉斯变换第三节拉普拉斯变换的基本定理第四节拉普拉斯逆变换第四章传递函数第一节传递函数的概念与性质第二节线性控制系统的典型环节第三节系统框图及其运算第四节多变量系统的传递函数第五章时间响应分析第一节概述第二节单位脉冲输入的时间响应第三节单位阶跃输入的时间响应第四节高阶系统时间响应第六章频率响应分析第一节谐和输入系统的定态响应第二节频率特性极坐标图第三节频率特性的对数坐标图第四节由频率特性的实验曲线求系统传递函数第七章控制系统的稳定性第一节稳定性概念第二节劳斯判据第三节乃奎斯特判据第四节对数坐标图的稳定性判据第八章控制系统的偏差第一节控制系统的偏差概念第二节输入引起的定态偏差第三节输入引起的动态偏差第九章控制系统的设计和校正第一节综述第二节希望对数幅频特性曲线的绘制第三节校正方法与校正环节第四节控制系统的增益调整第五节控制系统的串联校正第六节控制系统的局部反馈校正第七节控制系统的顺馈校正第一章自动控制系统的基本原理定义：在没有人的直接参与下，利用控制器使控制对象的某一物理量准确地按照预期的规律运行。
第一节控制系统的工作原理和基本要求一、控制系统举例与结构方框图例1．一个人工控制的恒温箱，希望的炉水温度为100C°,利用表示函数功能的方块、信号线，画出结构方块图。
图1人通过眼睛观察温度计来获得炉内实际温度，通过大脑分析、比较，利用手和锹上煤炭助燃。
比较图2例2．图示为液面高度控制系统原理图。
试画出控制系统方块图和相应的人工操纵的液面控制系统方块图。
解：浮子作为液面高度的反馈物，自动控制器通过比较实际的液面高度与希望的液面高度，调解气动阀门的开合度，对误差进行修正，可保持液面高度稳定。
第三章(拉氏变换)
L [ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] = F1 ( s ) F2 ( s )
t→0
t→∞
lim f (t ) = lim sF ( s) +
s →∞
s →0
lim f (t ) = lim sF ( s )
n
d n F ( s) L [(−t ) f (t )] = ds n
∞ f (t ) L[ ] = ∫ F (η )dη s t
m m−1
式中，系数 都为实数， 和 是正整数 是正整数, 式中，系数ai和bi都为实数，m和n是正整数 pi为F (s) 极点
Kn K1 K2 F(s) = + +L+ s − p1 s − p2 s − pn
Ki = (s − pi )F(s) s= p , i = 1,2,Ln
i
（１）极点为实数，无重根 (m<n) 极点为实数， 10(s + 2)(s + 5) 例1：求下列函数的逆变换 F(s) = s(s +1)(s + 3) K3 K1 K2 解：将F(s)展开成部分分式形式: + F(s) = + s s +1 s + 3
7 2 4 − (s +1) − × 2 5 = 5 + 5 s +2 (s +1)2 + 4
7 −2t 2 −t 4 −t ∴ f (t) = [ e − e cos 2t − e sin 2t)]u(t) 5 5 5
1 − e −2 s K1 K 2 s + K 3 F (s) = =( + )(1 − e − 2 s ) s ( s 2 + 4) s s2 + 4
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
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成立（满足此条件的函 数，称它的增大是指数 级的， c 为它的 增长指数）。
则 f (t ) 的拉氏变换
F ( p)
f (t )e
0
pt
dt
在上半平面 Re （p） c 上一定存在。
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3.
拉普拉斯变换的性质
这一节，我们将介绍拉 氏变换的几个基本性质 ，它们在拉氏变换的
采用迂回的办法
利用
L f ( n) (t ) p n F ( p) p n1 f (0) p n2 f (0) f ( n1) (0)
对上面 f (t ) 的二阶导数项取拉氏变 换，得
L f (t ) L 2 cos t p2 L f (t ) p f (0) f (0)
高阶情况：
L f ( n) (t ) p n F ( p) p n1 f (0) p n2 f (0) f ( n1) (0)
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例4：求函数 f (t ) cos t 的拉氏变换
方法1：按照定义进行积分
0
cos t e p t d t
1 e ( p i ) t ( p i )
0
1 1 (0 1) p i ( p i )
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方法3：利用微分性质
由于
f (t )
f (t )
t 0
t 0
1
t 0
f(t)=cost
0
sin t
f (t ) 2 cos t
实际应用中都是很有用 的。为了叙述方便，假 定这些性质中，凡是要 求
实施拉氏变换的函数， 都满足拉氏变换存在定 理中的条件，并且把这 些
函数的增长指数都统一 地取为c .在证明这些性质时，不 再重述这些条件。
1. 线性性质
若 , 都是常数，
L f1 (t ) F1 ( p) ; L f 2 (t ) F2 ( p)
0
pt
dt
p
同理，可以推知
L t L 1 1 2 p p , L t2
2 L t 2 3 p p
, L t n
n! p n1
4. 位移性质
设 L f ( t ) F ( p) ，
证
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则有 L ea t f (t ) F ( p a) , a 为实（或复）常数。
t t
0
pt
C p 1 t 2 p 1 t e p C
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应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程， 可以将微分方程化为代数方程，使问题得以 解决。 在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于： 将一个信号从时域上，转换为复频域（s域） 上来表示，在线性系统、控制自动化上都有 广泛的应用。
数学中的变换手段，旨在化繁为简.
傅立叶积分变换： 适用于针对空间 变量的初值问题。
用来解常微分方程
将未知函数的常微分方 程，化成 象函数的代数方程， 达到消去对自变量求导运算 的目的。
在偏微分方程的两端， 对某个变量取变换，消去未 知函数对该自变量求偏导的 运算，得到象函数的较为简 单的微分方程。如果原来的 偏微分方程只包含两个自变 量，通过一次变换就能得到 象函数的常微分方程。
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例5： 求 t 1d t , t 2 t d t , t n t n1d t 的 L 变换。
2 n 0 0 0
t
t
t
若 L f (t ) F ( p)
解: 因为
f (t ) 1(t )
L 1( t ) d t 0
即 t 1 F ( p) L f ( t )d t L f ( t ) p 0 p
e pt p
0
t
f (t ) d t
0
0
f (t ) p t e dt p
F ( p) p
这里 L f (t ) F ( p)
这个性质表明：一个函 数 f ( t ) 从 0 t , 对 d t 积分后取拉氏变换, 等于这个函数的拉氏变 换除以复参数 p .
L e a t f (t ) e a t f (t ) e p t d t
0
0
f ( t ) e ( p a ) t d t
F ( p a) .
由此可见，上式右端只 是在 F ( p) 中，把 p 换成了 p a ，所以
L e a t f (t ) F ( p a ) , a 为实（或复）常数。
即
2 L cos t p2 L cos t p
L cos t p p2 2
移项、化简得
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3. 积分性质
若 L f (t ) F ( p)
t F ( p) 则 L f (t )d t p 0
表明：一个原函数乘以 指数函数ea t 的拉氏变换，等于其象 函数作位移 a。
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[ 例6 ]
求
n at L t e .
依据线性性质，有
Lcos t
1 e p
Hale Waihona Puke t1 1 1 p ( ) 2 2 p i p i p 2
附：L e i t e i t e p t d t
0
1 ( p i ) t e d (( p i ) t ( p i ) 0
dt
0
dt
0
f (t )e
pt 0
p f (t )e pt dt f (0) pF ( p)
0
d 2 f (t ) 2 p F ( p) pf (0) f ' (0) 2 dt
L f (t ) p2 F ( p) p f (0) f (0)
t
t F ( p) 则 L f ( t )d t p 0
1 1 p 2 p p 2 2 p2 3 p p
由积分性质得
f (t ) 2 t
pt 1 e dt 0
p
由积分性质得
L 2 t d t 0
t
2t e
p p2 2
运用分部积分法
1 1 2 pt pt pt cos t e d t cos t d ( e ) ...... cos t e dt 2 p0 p p 0 0
cost e
0
pt
dt
1
求解象空间的代数方程或常微分方程，得到象函 数，再将它 “反演” 成原函数(即为所求的解）。 积分变换法在求解常微分方程和偏微分方程的定 解问题中有非常广泛的应用。
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• • •
Fourier 积分变换法 Laplace 积分变换法 混合变换法
在工程力学、电磁场理论、光学、 热学、无线电学、通讯理论、微电子学、 核科学与技术、地震资料数据处理…等 方面，均有广泛的应用。
Fourier 积分变换 Laplace 积分变换
拉普拉斯积分变换： 适用于针对时间变 量的边值问题。
通过选取积分变换
用来解偏微分方程
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§3.3 拉普拉斯变换法(Laplace transform)
1. 拉普拉斯变换的定义
函数 f (t ) 的拉普拉斯变换定义为积分 0
t
证
利用分部积分法,
证 设 h(t ) f (t )d t , 则有
0
0
0
t
f ( t )d t e p t d t
h(t ) f (t ) , 且 h(0) 0
由前述微分性质，有
L h(t ) p Lh(t ) h(0) p L h(t )
什么是积分变换？ 把函数 f (t ) 经过积分的手段变为另一 类函数:
F ( ) f (t ) K (, t ) dt
a
b
F ( )称为象函数，f (t ) 称为原函数， K (, t ) 称为积分变换的核。
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什么是积分变换法？
(求解微分方程) 原空间：常微分方程 象空间： 代数方程 偏微分方程 常微分方程
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第三章：行波法与积分变换法
§3.3 拉普拉斯变换法
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本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式
• 三维波动方程的定解问题
• 拉普拉斯变换法
• 傅立叶变换法
• 积分变换法举例 参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
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法国18世纪后期到19世纪初数学界著名的三个 人物：拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)、拉普 拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace）和勒让 德（Adrien-Marie Legendre)。因为他们三个的 姓氏的第一个字母为“L”，又生活在同一时代， 所以人们称他们为“三L”。