2021年高三数学阶段性检测(二) 文新人教A版
高中数学《3.2一元二次不等式及其解法》评估训练2 新人教A版必修5
第2课时 一元二次不等式的应用双基达标 限时20分钟1．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}等于( )． A ．M ∩NB ．M ∪NC ．∁R (M ∩N )D ．∁R (M ∪N )解析x ＋3x －1<0⇔(x ＋3)(x －1)<0，故集合M 可化为{x |－3<x <1}，将集合M 和集合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案．答案 D2．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )．A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0， ∴x 2＋50x －30 000≥0，x ≥150. 答案 C3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是 ( )．A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析 若a ＝0时符合题意，a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}，故选D. 答案 D4．不等式2－x4＋x >0的解集是________．解析 原不等式可化为(2－x )(4＋x )>0，即(x －2)(x ＋4)<0，解得－4<x <2. 答案 {x |－4<x <2}5．关于x 的不等式ax 2－2ax ＋2a ＋3>0的解集为R ，则实数a 的取值范围为________．解析 当a ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04a 2－4a 2a ＋3<0，解得a >0.当a ＝0时，恒有3>0，不等式也成立． 故a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案 [0，＋∞) 6．解不等式 (1)x －1x －2≥0； (2)2x －13－4x>1. 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －1x －2≥0x －2≠0，解得x ≤1或x >2，∴原不等式的解集为{x |x ≤1或x >2}． (2)原不等式可改写为2x －14x －3＋1<0，即6x －44x －3<0，∴(6x －4)(4x －3)<0，∴23<x <34.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <34. 综合提高 限时25分钟7．若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为 ( )． A ．1B ．－1C ．－3D ．3解析 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立， 又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 答案 C8．(2011·泰安高二检测)在R 上定义运算：A B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立．则实数a 的取值范围为 ( )．A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析 (x －a )(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，∴－x 2＋x ＋a 2－a <1，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对x ∈R 恒成立． ∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0， ∴(2a －3)(2a ＋1)<0，即－12<a <32.答案 C9．(2011·济南高二检测)不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵x 2－2x －(a 2－2a －4)≤0的解集为∅， ∴Δ＝4＋4(a 2－2a －4)<0， ∴a 2－2a －3<0，∴－1<a <3. 答案 (－1,3)10．关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的两根满足(x 1－1)(x 2－1)<0，则a 的取值范围是________．解析 (x 1－1)(x 2－1)<0⇔一根大于1，一根小于1. 令f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2， 则f (1)<0⇒－2<a <1. 答案 －2<a <111．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，问k 应怎样确定？解 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.因此，当2≤k ≤8(单位：元)时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元． 12．(创新拓展)已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围． 解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f －2>0，f 2>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －1·－2＋x 2－2x ＋1>0，x －1·2＋x 2－2x ＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0.∴x >3或x <－1.故x 的取值范围是x >3或x <－1. (2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0. ∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， 所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1， 于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1.。
2021-2022学年高中数学 第一章 计数原理测评(含解析)新人教A版选修2-3
第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.若A m4=18C m3,则m等于()A.9B.8C.7D.6,得m-3=3,m=6.A m4=m(m-1)(m-2)(m-3)=18·m(m-1)(m-2)3×2×12.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A.10B.11C.12D.15:分有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同,可得N=C42+C41+1=11.3.若实数a=2-√2,则a10-2C101a9+22C102a8-…+210等于()A.32B.-32C.1 024D.512,得a10-2C101a9+22C102a8-…+210=C100(-2)0a10+C101(-2)1a9+C102(-2)2a8+…+C10(-2)10=(a-2)10=(-√2)10=25=32.104.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,且每户居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有( ) A.A 43种B .A 33A 31种C .C 42A 33种D .C 41C 31A 33种4名水暖工选出2人分成一组,然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家,故有C 42A 33种.5.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,位于第一、第二象限不同点的个数是( ) A.18B.16C.14D.10N 1=2×2+2×2=8(个),第二象限的不同点有N 2=1×2+2×2=6(个), 故N=N 1+N 2=14(个). 故答案为C .6.将A,B,C,D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球,且A,B 不能放入同一个盒子中,则不同的放法有( ) A.15种B.18种C.30种D.36种A,B 放入不同盒中,有3×2=6(种)放法,再放C,D,若C,D 在同一盒中,有1种放法;若C,D 在不同盒中,则有2×2=4(种)放法. 故共有6×(1+4)=30(种)放法.故答案为C .7.为支持地震灾区的灾后重建工作,某公司决定分四天每天各运送一批物资到A,B,C,D,E 五个受灾地点.由于A 地距离该公司较近,安排在第一天或最后一天送达;B,C 两地相邻,安排在同一天上午、下午分别送达(B 在上午、C 在下午与B 在下午、C 在上午为不同的运送顺序),且运往这两地的物资算作一批;D,E 两地可随意安排在其余两天送达.则安排这四天运送物资到五个受灾地点的不同运送顺序的种数为( ) A.72B.18C.36D.24.第1步,安排运送物资到受灾地点A,有C 21种方法;第2步,在余下的3天中任选1天,安排运送物资到受灾地点B,C,有C 31A 22种方法;第3步,在余下的2天中安排运送物资到受灾地点D,E,有A 22种方法.由分步乘法计数原理得,不同的运送顺序共有C 21·(C 31A 22)·A 22=24(种).8.将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i 个数为a i (i=1,2,…,6),若a 1≠1,a 3≠3,a 5≠5,a 1<a 3<a 5,则不同的排列方法种数为( )A.30B.18C.36D.48a 1,a 3,a 5的大小顺序已定,且a 1≠1,a 3≠3,a 5≠5,所以a 1可取2,3,4,若a 1=2或3,则a 3可取4,5,当a 3=4时,a 5=6,当a 3=5时,a 5=6;若a 1=4,则a 3=5,a 5=6.而其他的三个数字可以任意排列,因而不同的排列方法共有(2×2+1)A 33=30(种).9.12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人,后排6人),若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()A.6C82 B.720C82C.30C82 D.20C822人有C82种方法,再插空.由题意知先在4人形成的5个空当中插入1人,有5种方法,余下的1人要插入前排5人形成的6个空当中,有6种方法,即为30种方法.故共有30C82种调整方法.10.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么a0+a2+a4a1+a3的值为()A.-122121B.-6160C.-244241D.-1x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令x=-1可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35.两式相加除以2求得a0+a2+a4=122,两式相减除以2可得a1+a3+a5=-121.又由条件可知a5=-1,故a0+a2+a4a1+a3=-6160.11.形如45 132的数称为“波浪数”,即十位数字、千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为()A.20B.18C.16D.11,十位和千位数字只能是4,5或3,5,若十位和千位排4,5,则其他位置任意排1,2,3,这样的数有A 22A 33=12(个);若十位和千位排5,3,这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻,1,2在其余位置上任意排列,这样的数有A 22A 22=4(个).综上,共有16个.故答案为C .12.若自然数n 使得竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n 为“可连数”.例如:32是“可连数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“可连数”,因23+24+25产生进位现象.则小于1 000的“可连数”的个数为( ) A.27 B.36C.39D.48,要构造小于1000的“可连数”,个位上的数字的最大值只能为2,即个位数字只能在0,1,2中取.十位数字只能在0,1,2,3中取;百位数字只能在1,2,3中取.当“可连数”为一位数时,有C 31=3(个);当“可连数”为两位数时,个位上的数字有0,1,2三种取法,十位上的数字有1,2,3三种取法,即有C 31C 31=9(个);当“可连数”为三位数时,有C 31C 41C 31=36(个);故共有3+9+36=48(个).二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 .(用数字作答).第1类,每级台阶只站一人,则有A 73种站法;第2类,若有一级台阶有2人,另一级有1人,则有C 31A 72种站法,因此共有不同的站法种数是A 73+C 31A 72=336.14.若(x +√x3)8的展开式中x 4的系数为7,则实数a= .(x √x 3)8的通项为C 8rx 8-r a r(x -13)r=C 8r a r x8-r x -r3=C 8r a r x8-43r,令8-43r=4,解得r=3. ∴C 83a 3=7,得a=12.15.6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作答)个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法:先排列好除甲、乙两人外的4人,有A 44种方法,再把甲、乙两人插入4个人的5个空当,有A 52种方法,所以共有A 44·A 52=480(种).16.(1+sin x )6的二项展开式中,二项式系数最大的一项的值为52,则x 在[0,2π]内的值为 .,得T 4=C 63sin 3x=20sin 3x=52,∴sin x=12.∵x ∈[0,2π], ∴x=π6或x=5π6.5π6三、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)有6个除颜色外完全相同的球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?.(1)若取1个黑球,和另外3个球排成一列,不同的排法种数为A 44=24;(2)若取2个黑球,和从另外3个球中选的2个排成一列,2个黑球是相同的,所以不同的排法种数为C 32C 42A 22=36;(3)若取3个黑球,和从另外3个球中选的1个排成一列,不同的排法种数为C 31C 41=12.综上,不同的排法种数为24+36+12=72.18.(12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球. (1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?将取出的4个球分成三类:①取4个红球,没有白球,有C 44种;②取3个红球1个白球,有C 43C 61种;③取2个红球2个白球,有C 42C 62种,故有C 44+C 43C 61+C 42C 62=115(种).(2)设取x 个红球,y 个白球,则{x +y =5,2x +y ≥7,0≤x ≤4,0≤y ≤6,故{x =2,y =3或{x =3,y =2或{x =4,y =1.因此,符合题意的取法种数有C 42C 63+C 43C 62+C 44C 61=186(种).19.(12分)已知(x +2√x )n展开式中的前三项的系数成等差数列. (1)求n 的值;(2)求展开式中系数最大的项.由题意,得C n 0+14C n 2=2×12C n 1, 即n 2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去).故n=8. (2)设第r+1项的系数最大,则{12r C 8r ≥12r+1C 8r+1,12r C 8r ≥12r -1C 8r -1, 即{18-r≥12(r+1),12r≥19-r.解得2≤r ≤3.∵r ∈N *,∴r=2或r=3.∴系数最大的项为T 3=7x 5,T 4=7x 72.20.(12分)设1+12x m =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a m x m,若a 0,a 1,a 2成等差数列. (1)求1+12x m 展开式的中间项;(2)求1+12x m展开式中所有含x 的奇次幂的系数和. 解(1)依题意a 0=1,a 1=m 2,a 2=C m2122.由2a 1=a 0+a 2,求得m=8或m=1(应舍去),所以1+12x m展开式的中间项是第五项, T 5=C 8412x 4=358x 4.(2)因为1+12x m =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a m x m, 即1+12x 8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8. 令x=1,则a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 8=328, 令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 8=128,所以a 1+a 3+a 5+a 7=38-129=20516,所以展开式中所有含x 的奇次幂的系数和为20516.21.(12分)把n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”,“再生数”中最大的数叫做最大再生数,最小的数叫做最小再生数.(1)求1,2,3,4的再生数的个数,以及其中的最大再生数和最小再生数; (2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.的再生数的个数为A 44=24,其中最大再生数为4321,最小再生数为1234.(2)需要考查5个数中相同数的个数. 若5个数各不相同,有A 55=120(个);若有2个数相同,则有A 55A 22=60(个);若有3个数相同,则有A 55A 33=20(个);若有4个数相同,则有A 55A 44=5(个);若5个数全相同,则有1个.22.(12分)已知m ,n 是正整数,f (x )=(1+x )m +(1+x )n 的展开式中x 的系数为7. (1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ,n ,求出此时x 3的系数; (2)利用上述结果,求f (0.003)的近似值;(精确到0.01)(3)已知(1+2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ,系数的最大值为b ,求ba .根据题意得C m 1+C n 1=7,即m+n=7,①f (x )中的x 2的系数为C m 2+C n 2=m (m -1)2+n (n -1)2=m 2+n 2-m -n2.将①变形为n=7-m 代入上式得x 2的系数为m 2-7m+21=m-722+354, 故当m=3或m=4时,x 2的系数的最小值为9.当m=3,n=4时,x 3的系数为C 33+C 43=5;当m=4,n=3时,x 3的系数为C 43+C 33=5.(2)f (0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈C 40+C 41×0.003+C 30+C 31×0.003≈2.02.(3)由题意可得a=C 84=70,再根据{C 8k ·2k≥C 8k+1·2k+1,C 8k ·2k ≥C 8k -1·2k -1,即{k ≥5,k ≤6, 求得k=5或6,此时,b=7×28,∴b a =1285.2021-2022学年高中数学第一章计数原理测评（含解析）新人教A版选修2-311 / 1111。
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--第1课时椭圆的简单几何性质及其应用
2.2.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质及其应用基础过关练题组一 椭圆的性质及应用1.焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A.x 24+y 23=1B.x 24+y 2=1 C.y 24+x 23=1 D.x 2+y24=1 2.过椭圆x 24+y 23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,√3D.4,2√3 3.(2019陕西宝鸡高二上学期期末)把椭圆x 225+y 216=1的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 7,F 是左焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|等于( ) A.21 B.28 C.35 D.424.设AB 是椭圆的长轴,点C 在椭圆上,且∠CBA=π4,若AB=4,BC=√2,则椭圆的两个焦点之间的距离为 .题组二 与椭圆离心率有关的问题5.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.√33D.√226.已知焦点在y 轴上的椭圆mx 2+y 2=1的离心率为√32,则m 的值为( )A.1B.2C.3D.4 7.已知焦点在x轴上的椭圆方程为x 2a2+y 2=1(a>0),过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B 两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为( ) A.√32B.12C.√154D.√338.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F 1,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF 1⊥x 轴,直线AB 与y 轴交于点P,其中AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆的离心率为 .题组三 与椭圆有关的范围问题 9.若点O 和点F分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 10.已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在一点P,使得∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.[√22,1) B.(0,√22)C.[12,1) D.[12,√22) 11.已知点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一个动点,点A 的坐标为(0,5),则|PA|的最小值为 .12.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率e=√22,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4√2. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设A,B 是直线l:x=2√2上的不同两点,若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求|AB|的最小值.能力提升练一、选择题1.(2019辽宁抚顺六校期末联考,★★☆)已知椭圆x 2+y 2b 2+1=1(b>0)的离心率为√1010,则b 等于( )A.3B.13C.910D.3√10102.(2019山西大同高三开学考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为√22,过F 1的直线l交C 于A,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么椭圆C 的方程为( )A.x 236+y 218=1B.x 216+y 210=1 C.x 24+y 22=1 D.x 216+y 28=1 3.(2020重庆沙坪坝高二期末,★★☆)已知F 是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,经过原点的直线l 与椭圆E 交于P,Q 两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E 的离心率为( ) A.√33 B.12C.13D.√224.(2019黑龙江大庆四中高二上学期期中,★★★)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆x 216+y 28=1上的一个动点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,O 是坐标原点,若M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点,且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为( ) A.[0,3) B.(0,2√2) C.[2√2,3) D.[0,4]二、填空题5.(2019皖西南联盟高二期末联考,★★☆)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为35,面积为20π,则椭圆C的标准方程为.6.(2019河北石家庄二中高二月考,★★☆)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0),点P是椭圆上且在第一象限的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为A,若|OA|=2b,则椭圆的离心率为.三、解答题7.(2019河北张家口高三开学考试,★★☆)设F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上且在第一象限内的一点,且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b的值.8.(★★★)如图,F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,AF1=F1F2.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知△AF1B的面积为40√3,求a,b的值.答案全解全析 基础过关练1.A 依题意得a=2,a+c=3,故c=1,b=√22-12=√3,故所求椭圆的标准方程是x 24+y 23=1.2.B 过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为4,最短弦为垂直于长轴的弦.易知c=1,将x=1代入x 24+y 23=1,得124+y 23=1,解得y 2=94,即y=±32,所以最短弦的长为2×32=3.故选B.3.C 设椭圆的右焦点为F',则由椭圆的定义得|P 1F|+|P 1F'|=10,由椭圆的对称性,知|P 1F'|=|P 7F|,∴|P 1F|+|P 7F|=10.同理,|P 2F|+|P 6F|=10,|P 3F|+|P 5F|=10.又|P 4F|=5,∴|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=35. 4.答案4√63解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),由题意知2a=4,∴a=2. ∵∠CBA=π4,BC=√2,∴不妨设点C 的坐标为(-1,1). ∵点C 在椭圆上,∴14+1b 2=1,∴b 2=43,∴c 2=a 2-b 2=4-43=83,c=2√63,则椭圆的两个焦点之间的距离为4√63. 5.D 依题意得椭圆的焦距和短轴长相等,故b=c,∴a 2-c 2=c 2,∴e=√22. 6.D 将椭圆的方程化为标准形式为y 2+x 21m=1,由题意得a 2=1,b 2=1m ,∴c 2=a 2-b 2=1-1m ,∴离心率e=ca =√1-1m =√32,∴m=4.7.A 易知椭圆的焦点坐标为(±√a 2-1,0),∵|AB|=1,∴当x=±√a 2-1时,y=±12.不妨设A (√a 2-1,12),则a 2-1a 2+14=1,解得a=2,∴椭圆的离心率为e=√a 2-1a=√32.故选A.8.答案 12解析 如图,易知△ABF 1∽△APO, 则|AP ||AB |=|AO ||AF 1|,即23=aa+c ,所以a=2c,所以e=c a =12.9.C 由题意得F(-1,0),设点P(x 0,y 0),则y 02=3(1-x 024)(-2≤x 0≤2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02=x 02+x 0+3(1-x 024)=14(x 0+2)2+2,当x 0=2时,OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为6. 10. C 在△PF 1F 2中,设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m+n=2a,根据余弦定理,得(2c)2=m 2+n 2-2mncos 60°,整理得(m+n)2-3mn=4c 2,所以3mn=4a 2-4c 2, 所以4a 2-4c 2=3mn≤3(m+n 2)2=3a 2(当且仅当m=n 时,等号成立),即a 2≤4c 2,故e 2=c 2a 2≥14,又0<e<1, 所以12≤e<1.11.答案 2解析 设P(x,y),则|PA|=√x 2+(y -5)2=√x 2+y 2-10y +25. 因为点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一点,所以x 2=98-2y 2,-7≤y≤7,则|PA|=√98-2y 2+y 2-10y +25 =√-(y +5)2+148, 因为-7≤y≤7,所以当y=7时,|PA|min =2. 12.解析 (1)由题意得{ e =c a =√22,a 2=b 2+c 2,12×2a ×2b =4√2,解得{a =2,b =√2,c =√2.所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1.(2)由(1)知,F 1(-√2,0),F 2(√2,0),设直线l:x=2√2上的不同两点A,B 的坐标分别为(2√2,y 1),(2√2,y 2),则AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3√2,-y 1),BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-y 2),由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得y 1y 2+6=0, 即y 2=-6y 1,不妨设y 1>0,则|AB|=|y 1-y 2|=y 1+6y 1≥2√6,当且仅当y 1=√6,y 2=-√6时等号成立,所以|AB|的最小值是2√6.能力提升练一、选择题1.B 易知b 2+1>1,由题意得(b 2+1)-1b 2+1=b 2b 2+1=110,解得b=13或b=-13(舍去),故选B.2.D 由△ABF 2的周长为16,得|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|=16,根据椭圆的性质,得4a=16,即a=4.又椭圆的离心率为√22,即c a =√22,所以c=2√2,b 2=a 2-c 2=8,则椭圆C 的方程为x 216+y 28=1.3.A 如图,设椭圆的右焦点为F',连接PF',QF',根据椭圆的对称性知,线段FF'与线段PQ 在点O 处互相平分,所以四边形PFQF'为平行四边形,∴|FQ|=|PF'|,∠FPF'=60°.根据椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a,又|PF|=2|QF|,∴|PF'|=23a,|PF|=43a,而|FF'|=2c.在△F'PF 中,由余弦定理,得(2c)2=(23a)2+(43a)2-2×23a×43a×cos 60°,即c 2a2=13,∴椭圆的离心率e=c a =√33.4.B 如图,延长PF 2,F 1M 交于点N,则△PF 1N 为等腰三角形,M 为F 1N 的中点,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12(|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=12·||PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||.由图可知,当P 在短轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值,此时|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,当P 在长轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值,此时|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,但点P 不能在坐标轴上,所以|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为(0,2√2).二、填空题 5.答案y 225+x 216=1解析 设椭圆C 的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),则椭圆C 的面积为S=πab=20π,又e=√1-b 2a 2=35,解得a 2=25,b 2=16.所以椭圆C 的标准方程为y 225+x 216=1.6.答案√32解析 如图,延长F 2A 交F 1P 的延长线于点M.由题意可知|PM|=|PF 2|,由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a, 则|PF 1|+|PM|=|MF 1|=2a. 易知OA 是△F 1F 2M 的中位线, ∴|OA|=12|MF 1|=a. 又|OA|=2b,∴2b=a,则a 2=4b 2=4(a 2-c 2), 即c 2=34a 2,∴e 2=34,又e∈(0,1),∴e=√32.三、解答题 7.解析 (1)根据c=√a 2-b 2及题设知M (c ,b 2a ),由k MN =k MF 1=34,得b 2a-0c -(-c )=34,即2b 2=3ac.将b 2=a 2-c 2代入,得2c 2+3ac-2a 2=0,即2e 2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意知,原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,设直线MF 1与y 轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a =4,即b 2=4a.①由|MN|=5|F 1N|,得|DF 1|=2|F 1N|, 则F 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则{2(-c -x 1)=c ,-2y 1=2,即{x 1=-32c ,y 1=-1, 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.② 由①②及a 2=b 2+c 2得9(a 2-4a )4a 2+14a =1,解得a=7,则b=√4a =2√7. 8.解析 (1)∵AF 1=F 1F 2, ∴a=2c,∴e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a-m.∵AF 1=F 1F 2=AF 2,∴△AF 1F 2是等边三角形, ∴∠F 1F 2B=180°-∠F 1F 2A=180°-60°=120°.在△BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2-2|BF 2||F 1F 2|cos∠F 1F 2B,即(2a-m)2=m 2+a 2-2am×(-12), ∴m=35a. ∵△AF 1B 的面积S=12|BA||F 1A|sin 60° =12×(a +35a)×a×√32=40√3,∴a=10,∴c=5,b=5√3.。
2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修3习题：第二章章末综合检测(二) Word版含答案
章末综合检测(二)[同学用书单独成册](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法错误的是()A．在统计里，最常用的简洁随机抽样方法有抽签法和随机数法B．一组数据的平均数肯定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大解析：选B．平均数不大于最大值，不小于最小值．2．(2021·高考四川卷)某学校为了了解三班级、六班级、九班级这三个班级之间的同学视力是否存在显著差异，拟从这三个班级中按人数比例抽取部分同学进行调查，则最合理的抽样方法是() A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法解析：选C.依据班级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．3．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以推断()A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析：选C.由点的分布知x与y负相关，u与v正相关．4．某学校有老师200人，男同学1 200人，女同学1 000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女同学一共抽取了80人，则n的值是()A．193 B．192C．191 D．190解析：选B ．1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，解得n＝192.5．(2021·高考湖南卷)在一次马拉松竞赛中，35名运动员的成果(单位：分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成果由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成果在区间[139，151]上的运动员人数是()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B．35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10取到的次数13 8 5 7 6 13 18 10 11 9A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37解析：选A.1100(13＋5＋6＋18＋11)＝0.53.7．在某项体育竞赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()A．92，2 B．92，2.8C．93，2 D．93，2.8解析：选B．去掉最高分95，最低分89，所剩数据的平均值为15(90×2＋93×2＋94)＝92，方差s2＝15[(90－92)2×2＋(93－92)2×2＋(94－92)2]＝2.8.8．(2022·高考湖北卷改编)依据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0得到的回归方程为y^＝b^x＋a^，则()A.a^＞0，b^＞0 B．a^＞0，b^＜0C.a^＜0，b^＞0 D．a^＜0，b^＜0解析：选B．作出散点图如下：观看图象可知，回归直线y^＝b^x＋a^的斜率b^＜0，当x＝0时，y^＝a^＞0.故a^＞0，b^＜0.9．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()图1图2A．1% B．2%C．3% D．5%解析：选C.由图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%，故选C.10. 某校高一、高二班级各有7个班参与歌咏竞赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是()A．高一班级的中位数大，高二班级的平均数大B．高一班级的平均数大，高二班级的中位数大C．高一班级的平均数、中位数都大D．高二班级的平均数、中位数都大解析：选A.由茎叶图可以看出，高一班级的中位数为93，高二班级的中位数为89，所以高一班级的中位数大．由计算得，高一班级的平均数为91，高二班级的平均数为6477，所以高二班级的平均数大．故选A.11．(2022·高考山东卷)为了争辩某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，全部志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的挨次分别编号为第一组，其次组，…，第五组，如图是依据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与其次组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8C．12 D．18解析：选C.志愿者的总人数为20（0.16＋0.24）×1＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成果如表所示：甲的成果环数7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成果环数7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成果环数7 8 9 10频数 4 6 6 4s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成果的标准差，则有()A．s3>s1>s2B．s2>s1>s3C．s1>s2>s3D．s2>s3>s1解析：选B．由于s21＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x2，所以s21＝120(5×72＋5×82＋5×92＋5×102)－8.52＝73.5－72.25＝1.25＝54，所以s1＝2520.同理s2＝2920，s3＝2120，所以s2>s1>s3，故选B．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2021·高考广东卷)已知样本数据x1，x2，…，x n的均值x－＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．解析：由条件知x－＝x1＋x2＋…＋x nn＝5，则所求均值x－0＝2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2x n＋1n＝2（x 1＋x 2＋…＋x n ）＋n n＝2x －＋1＝2×5＋1＝11.答案：1114．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依从小到大的编号挨次平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定假如在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是________．解析：由题意知：m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组的个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.答案：7615．已知回归方程y ^＝4.4x ＋838.19，则可估量x 与y 的增长速度之比约为________． 解析：x 与y 的增长速度之比应是回归方程斜率的倒数，即522.答案：52216．某校从参与高一班级期中考试的同学中随机抽取60名同学，将其数学成果(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观看图形的信息，据此估量本次考试的平均分为________．解析：在频率分布直方图中，全部小长方形的面积和为1，设[70，80)的小长方形面积为x ，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1，解得x ＝0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)有以下三个案例：案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋检测其三聚氰胺含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．从中抽取容量为40的样本，了解该公司职工收入状况；案例三：从某校1 000名高一同学中抽取10人参与一项主题为“学雷锋，树新风”的志愿者活动．(1)你认为这些案例应接受怎样的抽样方式较为合适？ (2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程；(3)在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号：假如在起始组中随机抽取的号码为L (编号从0开头)，那么第K 组(组号K 从0开头，K ＝0，1，2，…，9)抽取的号码的百位数为组号，后两位数为L ＋31K 的后两位数．若L ＝18，试求出K ＝3及K ＝8时所抽取的样本编号．解：(1)案例一用简洁随机抽样，案例二用分层抽样，案例三用系统抽样． (2)①分层，将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层； ②确定抽样比例k ＝40800＝120；③按上述比例确定各层样本数分别为8人、16人、10人、6人； ④按简洁随机抽样方式在各层确定相应的样本； ⑤汇总构成一个容量为40的样本．(3)K ＝3时，L ＋31K ＝18＋31×3＝111，故第三组样本编号为311.K ＝8时，L ＋31K ＝18＋31×8＝266， 故第8组样本编号为866.18.(本小题满分12分)某制造商为运动会生产一批直径为40 mm 的乒乓球，现随机抽样检查20只，测得每只球的直径(单位：mm ，保留两位小数)如下：40．02 40.00 39.98 40.00 39.99 40．00 39.98 40.01 39.98 39.99 40．00 39.99 39.95 40.01 40.02 39．98 40.00 39.99 40.00 39.96(1)完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；分组 频数 频率 频率组距 [39.95，39.97) [39.97，39.99) [39.99，40.01) [40.01，40.03]合计(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02 mm 为合格品，若这批乒乓球的总数为10 000只，试依据抽样检查结果估量这批产品的合格只数．解：(1)分组频数频率频率组距 [39.95，39.97) 2 0.10 5 [39.97，39.99) 4 0.20 10 [39.99，40.01) 10 0.50 25 [40.01，40.03]4 0.20 10 合计201(2)由于抽样的20只产品中在[39.98，40.02]范围内有18只，所以合格率为1820×100%＝90%，所以10 000×90%＝9 000(只)．即依据抽样检查结果，可以估量这批产品的合格只数为9 000.19． (本小题满分12分)甲、乙两位同学参与数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参与的若干次预赛成果中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参与数学竞赛，从统计学的角度(平均数和方差)考虑，你认为选派哪位同学参与合适？请说明理由．解：(1)作出茎叶图如下：(2)x －甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x －乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41. 由于x －甲＝x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲的成果较稳定，派甲参赛比较合适．20．(本小题满分12分)随着我国经济的进展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2011 2022 2021 2022 2021 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元)567810(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nt i y i －n t － y－∑i ＝1n t 2i －n t－2，a ^＝y －－b ^t －.解：(1)列表计算如下：i t i y i t 2i t i y i 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 ∑153655120这里n ＝5，t －＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝365＝7.2.又∑i ＝1n t 2i －n t －2＝55－5×32＝10，∑i ＝1n t i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝1210＝1.2，a ^＝y －－b ^t －＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可猜测该地区2022年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)． 21．(本小题满分12分)甲乙二人参与某体育项目训练，近期的五次测试成果得分状况如图．(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)依据图和上面算得的结果，对两人的训练成果作出评价． 解：(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成果分别为 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13，s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成果较稳定． 从折线图看，甲的成果基本呈上升状态，而乙的成果上下波动，可知甲的成果在不断提高，而乙的成果则无明显提高．22．(本小题满分12分)某化工厂的原料中，有A 和B 两种有效成分，现随机抽取了10份原料样品进行抽样检测，测得A 和B 的含量如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 67 54 72 64 39 22 58 43 46 34 y 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13其中x 表示成分A 的百分含量x %，y 表示成分B 的百分含量y %.(1)作出两个变量y 与x 的散点图；(2)两个变量y 与x 是否线性相关？若是线性相关，求出线性回归方程．解：(1)依据y 从小到大的挨次调整表中数据(这样有利于描点，如用画图软件则不需要调整表格数据)， 如下表所示：x 22 34 54 43 39 46 64 58 72 67 y11131516161719202324散点图如图所示：(2)观看散点图可知，y 与x 是线性相关关系． i 12 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 x i 22 34 54 43 39 46 64 58 72 67 499 y i 11 13 15 16 16 17 19 20 23 24 174 x i y i 242 442 810 688 624 7821 216 1 160 1 656 1 608 9 228x 2i4841 1562 916 1 849 1 521 2 116 4 0963 3645 184 4 48927175所以x ＝49.9，y ＝17.4,10x － y －＝8 682.6,10x 2＝24 900.1设所求的线性回归方程是y ^＝a ^＋b ^x ，b ^＝∑i ＝110x i y i －10x －y－∑i ＝110x 2i －10x2＝9 228－8 682.627 175－24 900.1＝545.42 274.9≈0.239 7，a ^＝y －b ^x ＝17.4－0.239 7×49.9≈5.439 0， 所求的线性回归方程是y ^＝0.239 7x ＋5.439 0.。
2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修2习题：章末综合检测(二) Word版含答案
章末综合检测(二)[同学用书单独成册](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：选B.由于已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，则A∉b，过A作直线c∥b，则过a，c必存在平面α且使得a⊂α，b∥α.2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为() A．30°B．60°C．90°D．120°解析：选B.易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方风光上的射影可能是()解析：选B.分别考虑该六边形在左、右侧面，前、后侧面及上、下底面上的投影，即可发觉选项B正好是上、下底面上的投影．4．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()解析：选A.A中，由于CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD 夹角的正切值为 2.5．如图所示，将无盖正方体纸盒开放，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．相交成60°解析：选D.如图所示，△ABC为正三角形，故AB，CD相交成60°.6．如图，在四周体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD 所成的角为()A．90°B．45°C．60°D．30°解析：选D.取BC的中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，从而可得∠EFH＝30°.7．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论肯定正确的是() A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排解选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排解选项B.故选D.8．已知直二面角α-l-β，A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()A.62B．52C.63 D ．53解析：选C.如图，作DE ⊥BC 于点E ，由α-l -β为直二面角，AC ⊥l ，得AC ⊥β，进而AC ⊥DE ，又BC ⊥DE ，BC ∩AC ＝C ，于是DE ⊥平面ABC ，故DE 为D 到平面ABC 的距离．在Rt △BCD 中，利用等面积法得DE ＝BD ·DC BC＝1×23＝63.9．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( ) A.292B ．135C.175D ．1195解析：选B.如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接PE . 由于P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD ，又P A ∩AE ＝A ，所以BD ⊥平面P AE ， 所以BD ⊥PE .由于AE ＝AB ·AD BD ＝125，P A ＝1，所以PE ＝1＋⎝⎛⎭⎫1252＝135.10．在等腰Rt △A ′BC 中，A ′B ＝BC ＝1，M 为A ′C 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C -BM -A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 解析：选C.如图所示，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝ 2. 由于M 为A ′C 的中点，所以MC ＝AM ＝22，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ， 所以∠CMA 为二面角C -BM -A 的平面角． 由于AC ＝1，MC ＝AM ＝22， 所以∠CMA ＝90°.11．已知P 是△ABC 外一点，P A ，PB ，PC 两两相互垂直，P A ＝1 cm ，PB ＝2 cm ，PC ＝3 cm ，则△ABC的面积为( )A.72 B ．4 C.92 D ．5解析：选A.如图，作PD ⊥AB 于点D ，连接CD . 由于PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，P A ∩PB ＝P ， 所以PC ⊥平面P AB ，则PC ⊥AB ，PC ⊥PD ， 又AB ⊥PD ，PC ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面PCD ，则AB ⊥CD .在Rt △P AB 中，P A ＝1 cm ，PB ＝2 cm ，则AB ＝ 5 cm ，PD ＝25cm.在Rt △PCD 中，PC ＝3 cm ， 则CD ＝PC 2＋PD 2＝9＋45＝75(cm)． 所以S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×5×75＝72(cm 2)．12．动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于点M ，N .设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B.取AA 1的中点E 和CC 1的中点F ，连接EF ，则MN 在平面BFD 1E 内平行移动，且MN ∥EF ，当P 点移动到BD 1的中点时，MN 有唯一的最大值，排解答案A ，C ；当P 点移动时，由于总保持MN ∥EF ，所以x 与y 的关系是线性的(例如：取AA 1＝1，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，32时，x 32＝y 3⇒y ＝2x .同理，当x ∈⎝⎛⎦⎤32，3时，有3－x 32＝y 3⇒y ＝23－2x ，排解答案D)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过P 点的两条直线AC ，BD 分别交α于点A ，B ，交β于点C ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，AB ＝8，则CD 的长为________．解析：若点P 在平面α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB ∥CD ，则P A PC ＝ABCD ，可求得CD ＝20；若点P 在平面α，β之间，可求得CD ＝4.答案：20或414．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 渐渐远离点A 时，∠PCB 的大小________．(填“变大”“变小”或“不变”)解析：由于直线l 垂直于平面ABC ，所以l ⊥BC ，又∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面APC ，所以BC ⊥PC ，即∠PCB 为直角，与点P 的位置无关．答案：不变15．已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m ∥β；(2)当满足条件________时，有m ⊥β.解析：利用线面平行和垂直的相关学问得出，由③⑤⇒m ∥β；由②⑤⇒m ⊥β. 答案：(1)③⑤ (2)②⑤ 16. (2022·马鞍山质检)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线AC 1被平面A 1BD 和平面B 1CD 1三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1∶2∶3；③以正方体的顶点为顶点的四周体的体积都是16；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是π6.其中正确命题的序号为________．解析：①设对角线AC 1与平面A 1BD 相交于点M ，则AM ⊥平面A 1BD ，所以13AM ·34×(2)2＝13×12×1×1×1，解得AM ＝33＝13AC 1，设对角线AC 1与平面B 1CD 1相交于点N ，则NC 1⊥平面B 1CD 1，所以13C 1N ·34×(2)2＝13×12×1×1×1，解得C 1N ＝33＝13AC 1，因此对角线AC 1被平面A 1BD 和平面B 1CD 1三等分，①正确；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为12、22、32，因此它们的表面积之比为4π·⎝⎛⎭⎫122∶4π·⎝⎛⎭⎫222∶4π·⎝⎛⎭⎫322＝1∶2∶3，②正确； ③以A 1，B ，D ，C 1为顶点的三棱锥的体积为V ＝13－4×16＝13，不是16，③不正确；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积为V ＝18×4π3×13＝π6，④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、DC 、SC 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 证明：(1)如图，连接SB ，由于E 、G 分别是BC 、SC 的中点， 所以EG ∥SB .又由于SB ⊂平面BDD 1B 1， EG ⊄平面BDD 1B 1， 所以直线EG ∥平面BDD 1B 1. (2)连接SD ，由于F 、G 分别是DC 、SC 的中点， 所以FG ∥SD .又由于SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， 所以FG ∥平面BDD 1B 1，且EG ⊂平面EFG ， FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ，所以平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 18．(本小题满分12分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面相互垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D -BCG 的体积． 解：(1)证明：由已知得， △ABC ≌△DBC ，因此AC＝DC.又G为AD的中点，则CG⊥AD.同理BG⊥AD，又由于CG∩BG＝G，因此AD⊥平面BCG.由题意，EF为△DAC的中位线，所以EF∥AD.所以EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC内作AO⊥CB，交CB的延长线于O(图略)，由于平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以AO⊥平面BCD.又G为AD的中点，因此G到平面BCD的距离h ＝12AO.在△AOB中，AO＝AB sin 60°＝3，所以V DBCG＝V GBCD＝13S△BCD×h.又在△BCD中，连接BF，则BF⊥DC，得BF＝BC cos 60°＝1，所以DC＝2FC＝23，所以S△BCD＝12DC·BF＝3，所以V DBCG＝13×3×32＝12.19．(本小题满分12分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求异面直线AC与EM所成角的大小；(2)求证：平面BDE⊥平面BCD.解：(1)由于M为DB的中点，如图，取BC的中点N，连接MN，AN，则MN∥DC，且MN＝12DC，又由题图知，AE∥DC，AE＝12DC，所以MN∥AE，且MN＝AE，所以四边形ANME为平行四边形，所以AN∥EM，所以EM与AC所成的角即为AN与AC所成的角．在Rt△ABC中，∠CAN＝45°，所以异面直线AC与EM所成的角为45°.(2)证明：由(1)知EM∥AN，又由于平面BCD⊥底面ABC，AN⊥BC，所以AN⊥平面BCD，所以EM⊥平面BCD.由于EM⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCD.20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)由于三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又由于AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.由于AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，且CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又由于AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)法一：由于A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.又由于CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又由于CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，且CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又由于AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE.法二：由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，由于BC⊂平面BCC1B1，所以AD⊥BC.由于A1B1＝A1C1，所以AB＝AC.所以D为BC的中点．连接DF(图略)，由于F是B1C1的中点，所以DF BB 1AA1.所以四边形ADF A1是平行四边形．所以A1F∥AD.由于AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.21．(本小题满分12分)如图(1)，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD ＝22，M，N分别为AD和BC 的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使两个半平面所成二面角为60°，如图(2)．(1)求证：BO⊥DO；(2)求AO与平面BOD所成角的正弦值．解：(1)证明：翻折前，由于M，N是矩形ABCD的边AD和BC的中点，所以AM⊥MN，DM⊥MN，折叠后垂直关系不变，所以∠AMD是两个半平面所成二面角的平面角，所以∠AMD＝60°.连接AD，由AM＝DM，可知△MAD是正三角形，所以AD＝ 2.在Rt△BAD中，AB＝2，AD＝2，所以BD＝6，由题可知BO＝OD＝3，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO⊥DO.(2)如图，设E，F分别是BD，CD的中点，连接EF，OE，OF，BC，又BD＝6，BC＝2，CD＝2，所以DC⊥BC，则EF⊥CD.又OF⊥CD，所以CD⊥平面OEF，OE⊥CD.又BO＝OD，所以OE⊥BD，又BD∩CD＝D，所以OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BOD，所以平面BOD⊥平面ABCD.过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，则OH是AO在平面BOD 的投影，所以∠AOH为AO与平面BOD所成的角．又AH是Rt△ABD斜边上的高，所以AH＝233，又OA＝3，所以sin∠AOH＝AHOA＝23.故AO与平面BOD所成角的正弦值为23.22．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中(即侧棱垂直于底面的三棱柱)，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1CDC1的大小为60°.解：(1)证明：由于∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，所以B1C1⊥A1C1，又由直三棱柱的性质知B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥CD，由AA1＝BC＝2AC＝2，D为AA1中点，可知DC＝DC1＝2，所以DC2＋DC21＝CC21＝4，即CD⊥DC1，又B1C1⊥CD，所以CD⊥平面B1C1D，又CD⊂平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D.(2)当AD＝22AA1时二面角B1CDC1的大小为60°.假设在AA1上存在一点D满足题意，由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥CD.如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线于点E，连接EB1，由于B1C1∩C1E＝C1，所以CD⊥平面B1C1E，所以CD⊥EB1，所以∠B1EC1为二面角B1CDC1的平面角，所以∠B1EC1＝60°.由B1C1＝2知，C1E＝233.设AD＝x，则DC＝x2＋1，由于△DCC1的面积为1，所以12x2＋1×233＝1，解得x＝2，即AD＝2＝22AA1，所以在AA1上存在一点D满足题意．。
2021年人教版中考数学总复习《阶段检测二》历年真题基础演练(含答案)
《阶段检测二》基础演练（时间：100分钟 满分：100分）一、选择题（每小题2分，共20分）1.（2020·重庆）已知关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为（ ）A.2B.3C.4D.5解析 ∵方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，∴2×2＋a －9＝0，解得a ＝5.答案 D2.（2020·永州）下面是四位同学解方程2x －1＋x1－x ＝1过程中去分母的一步，其中正确的是 （ ）A.2＋x ＝x －1B.2－x ＝1C.2＋x ＝1－xD.2－x ＝x －1 解析 方程的两边同乘（x －1），得2－x ＝x －1. 答案 D3.（2020·莆田）方程x （x ＋2）＝x ＋2的两根分别为 （ ） A.x 1＝－1，x 2＝2 B.x 1＝1，x 2＝2 C.x 1＝－1，x 2＝－2D.x 1＝1，x 2＝－2解析 原方程可化为（x ＋2）（x －1）＝0，可化为：x －1＝0或x ＋2＝0，解得：x 1＝1，x 2＝－2. 答案 D4.（2020·宁德）二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －y ＝6的解是（ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝－3B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝0解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3 ①2x －y ＝6 ②①＋②得，3x ＝9， 解得x ＝3，把x ＝3代入①得，3＋y ＝3， 解得y ＝0，所以，原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝0.答案 D5.（2020·株洲）已知关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，则b 与c 的值分别为 （ ）A.b ＝－1，c ＝2B.b ＝1，c ＝－2C.b ＝1，c ＝2D.b ＝－1，c ＝－2解析 ∵关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，∴x 1＋x 2＝b ＝1＋（－2）＝－1，x 1·x 2＝c ＝1×（－2）＝－2，∴b ＝－1，c ＝－2. 答案 D6.（2020·衡阳）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x 元，每副乒乓球拍为y 元，列二元一次方程组得 （ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝506（x ＋y ）＝320B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝506x ＋10y ＝320 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝506x ＋y ＝320D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5010x ＋6y ＝320解析 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝506x ＋10y ＝320.答案 B7.（2020·绵阳）已知a ＞b ，c ≠0，则下列关系一定成立的是 （ ）A.ac ＞bcB.a c ＞bcC.c －a ＞c －bD.c ＋a ＞c ＋b解析 A.当c ＜0时，不等式a ＞b 的两边同时乘以负数c ，则不等号的方向发生改变，即ac ＜bc .故本选项错误；B.当c ＜0时，不等式a ＞b 的两边同时除以负数c ，则不等号的方向发生改变，即a c ＜bc.故本选项错误；C.在不等式a ＞b 的两边同时乘以负数－1，则不等号的方向发生改变，即－a ＜－b ；然后再在不等式的两边同时加上c ，不等号的方向不变，即c －a ＜c －b .故本选项错误；D.在不等式a ＞b 的两边同时加上c ，不等式仍然成立，即a ＋c ＞b ＋c ；故本选项正确. 答案 D8.（2020·义乌市）在x ＝－4，－1，0，3中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <22（x ＋1）>－2 的x 值是（ ）A.－4和0B.－4和－1C.0和3D.－1和0解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2 ① 2（x ＋1）＞－2 ②，由②得，x ＞－2，故此不等式组的解集为：－2＜x ＜2，x ＝－4，－1，0，3中只有－1、0满足题意.答案 D9.（2020·烟台）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≤3x ＞－1的解集在数轴上表示正确的是（ ）解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≤3 ①x ＞－1 ②解不等式①得，x ≤2，解不等式②得，x ＞－1， 所以不等式组的解集为－1＜x ≤2. 答案 A10.（2020·义乌）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是 （ ）A.2B.3C.4D.8解析 由题意，令第三边为x ，则5－3＜x ＜5＋3，即2＜x ＜8， ∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6. ∴三角形的三边长可以为3、5、4. ∴选C. 答案 C二、填空题（每小题2分，共20分）11.（2020·柳州）如图，x 和5分别是天平上两边的砝码，请你用大于号“＞”或小于号“＜”填空：x 5.解析 根据图示知被测物体x 的质量小于砝码的质量，即x ＜5. 答案 ＜12.（2020·广安）不等式2x ＋9≥3（x ＋2）的正整数解是 Ｗ. 解析 2x ＋9≥3（x ＋2），去括号得，2x ＋9≥3x ＋6，移项得，2x －3x ≥6－9，合并同类项得，－x ≥－3，系数化为1得，x ≤3，故其正整数解为1，2，3. 答案 1，2，313.（2020·菏泽）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3x ＞m 的解集是x ＞3，则m 的取值范围是 .解析 ∵不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞3x ＞m 的解集是x ＞3，∴m ≤3.答案 m ≤314.（2020·陕西）小红准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小红最多能买 瓶甲饮料.解析 设小红能买x 瓶甲饮料，则可以买（10－x ）瓶乙饮料，由题意得：7x ＋4（10－x ）≤50，解得：x ≤103，∵x 为整数，∴x 取值为0，1，2，3， 则小红最多能买3瓶甲饮料. 答案 315.（2020·杭州）某企业向银行贷款1 000万元，一年后归还银行1 065.6多万元，则年利率高于 %.解析 因为向银行贷款1 000万元，一年后归还银行1 065.6多万元，则年利率是（1 065.6－1 000）÷1 000×100%＝6.56%，则年利率高于6.56%. 答案 6.5616.（2020·湛江）请写出一个二元一次方程组 ，使它的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1.解析 此题答案不唯一，如：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 ①x －y ＝3 ②①＋②得：2x ＝4， 解得：x ＝2，将x ＝2代入①得：y ＝－1，∴这个二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 ①x －y ＝3 ②的解为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1.答案 此题答案不唯一，如：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝3.17.（2020·北京）若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值是 Ｗ.解析 ∵关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝0，∴（－2）2－4×1×（－m ）＝0， 解得m ＝－1.答案 －118.（2020·无锡）方程4x －3x －2＝0的解为 .解析 方程的两边同乘x （x －2），得：4（x －2）－3x ＝0，解得：x ＝8.检验：把x ＝8代入x （x －2）＝48≠0，即x ＝8是原分式方程的解.故原方程的解为：x ＝8. 答案 x ＝819.（2020·黑龙江）某商品按进价提高40%后标价，再打8折销售，售价为2 240元，则这种电器的进价为 元.解析 设这种商品的进价是x 元.x ×（1＋40%）×0.8＝2 240，解得x ＝2 000. 答案 2 00020.（2020·山西）图1是边长为30 cm 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 cm 3.解析 设长方体的高为x cm ，然后表示出其宽为（15－x ）cm ，根据题意得：15－x ＝2x ，解得：x ＝5，故长方体的宽为10 cm ，长为20 cm ，则长方体的体积为5×10×20＝1 000 cm 3. 答案 1 000三、解答题（共60分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）21.（5分）（苏州）解分式方程：3x ＋2＋1x ＝4x 2＋2x.解 去分母得：3x ＋x ＋2＝4，解得：x ＝12，经检验，x ＝12是原方程的解.22.（5分）（珠海）已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0. （1）当m ＝3时，判断方程的根的情况； （2）当m ＝－3时，求方程的根.解 （1）∵当m ＝3时，b 2－4ac ＝22－4×3＝－8＜0， ∴原方程无实数根； （2）当m ＝－3时， 原方程变为x 2＋2x －3＝0， ∵（x －1）（x ＋3）＝0， ∴x －1＝0，x ＋3＝0， ∴x 1＝1，x 2＝－3.23.（5分）（台州）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>42x <6并把解集在数轴上表示出来.解 解不等式x ＋3>4，得x >1， 解不等式2x <6，得x <3， ∴不等式组的解集为1<x <3. 解集在数轴上表示为24.（5分）（杭州）有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7. （1）请写出其中一个三角形的第三边的长； （2）设组中最多有n 个三角形，求n 的值；（3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率.解 （1）设三角形的第三边为x ， ∵每个三角形有两条边的长分别为5和7， ∴7－5＜x ＜5＋7， ∴2＜x ＜12，∴其中一个三角形的第三边的长可以为10. （2） ∵2＜x ＜12，它们的边长均为整数， ∴x ＝3，4，5，6，7，8，9，10，11， ∴组中最多有9个三角形， ∴n ＝9；（3）∵当x ＝4，6，8，10时，该三角形周长为偶数， ∴该三角形周长为偶数的概率是49.25.（8分）（株洲）在学校组织的文艺晚会上，掷飞标文艺区游戏规则如下：如图掷到A 区和B 区的得分不同，A 区为小圆内部分，B 区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）.现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：（1）求掷中A 区、B 区一次各得多少分？（2）依此方法计算小明的得分为多少分？解 （1）设掷到A 区和B 区的得分分别为x 、y 分，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝77，3x ＋5y ＝75解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝9. （2）由（1）可知：4x ＋4y ＝76，答 （1）掷中A 区、B 区一次各得10，9分；（2）小明的得分为76分.26.（8分）（无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%.方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用.（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率＝投资收益实际投资额×100%） （2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元.问：甲、乙两人各投资了多少万元？解 （1）设商铺标价为x 万元，则按方案一购买，则可获投资收益（120%－1）·x ＋x ·10%×5＝0.7x ，投资收益率为0.7x x×100%＝70%； 按方案二购买，则可获投资收益（120%－0.85）·x ＋x ·10%×（1－10%）×3＝0.62x ，投资收益率为0.62x 0.85x×100%≈72.9%； ∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高.（2）由题意得0.7x －0.62x ＝5，解得x ＝62.5万元∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元.答 （1）投资者选择方案二所获得的投资收益率更高；（2）甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元.27.（8分）（湖州）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙、丙三种树的价格之比为2∶2∶3，甲种树每棵200元，现计划用210 000元资金，购买这三种树共1 000棵.（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？（2）若购买甲种树的棵数是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？（3）若又增加了10 120元的购树款，在购买总棵数不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？解 （1）已知甲、乙、丙三种树的价格之比为2∶2∶3，甲种树每棵200元，则乙种树每棵200元，丙种树每棵32×200＝300（元）； （2）设购买乙种树x 棵，则购买甲种树2x 棵，丙种树（1 000－3x ）棵.根据题意：200×2x ＋200x ＋300（1 000－3x ）＝210 000，解得x ＝300，∴2x ＝600，1000－3x ＝100，（3）设购买丙种树y 棵，则甲、乙两种树共（1 000－y ）棵，根据题意得：200（1 000－y ）＋300y ≤210 000＋10 120，解得：y ≤201.2，∵y 为正整数，∴y 取201.答 （1）乙树每棵200元；丙树每棵300元；（2）买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵；（3）丙种树最多可购买201棵.28.（8分）（深圳）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如表所示：价格种类 进价（元/台） 售价（元/台）电视机5 000 5 500 洗衣机2 000 2 160 空调 2 400 2 700（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍.请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购1 000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动.在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出多少张？解 （1）设购进电视机x 台，则洗衣机是x 台，空调是（40－2x ）台，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧40－2x ≤3xx ≥0 40－2x ≥0 5 000x ＋2 000x ＋2 400（40－2x ）≤118 000，解得：8≤x ≤10，根据x 是整数，则从8到10共有3个正整数，分别是8、9、10，因而有3种方案：方案一：电视机8台、洗衣机8台、空调24台；方案二：电视机9台、洗衣机9台、空调22台；方案三：电视机10台、洗衣机10台、空调20台.（2）三种电器在活动期间全部售出的金额y ＝5 500x ＋2 160x＋2 700（40－2x ），即y ＝2 260x ＋108 000.由一次函数性质可知：当x 最大时，y 的值最大.x 的最大值是10，则y 的最大值是：2 260×10＋108 000＝130 600元.由现金每购1 000元送50元家电消费券一张，可知130 600元的销售总额最多送出130张消费券.答 （2）商家估计最多送出130张.29.（8分）（玉林）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两辆车合运，10天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天.（1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？（2）已知两车合运共需租金65 000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1 500元.试问：租甲乙两种车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少？请说明理由.解 （1）设甲车单独完成任务需要x 天，乙车单独完成需要（x ＋15）天，由题意可得：10⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x ＋15＝1， 解得： x 1＝15 ，x 2＝－10（不合题意，应舍去），经检验知x ＝15是原分式方程的解，x ＋15＝30；即甲车单独完成需要15天，乙车单独完成需要30天；（2）设甲车每天租金为a 元，乙车每天租金为b 元，则根据两车合运共需租金6 5000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1 500元可得：⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋10b ＝65 000，a －b ＝1 500 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4 000b ＝2 500 ①租甲乙两车需要费用为：65 000元；②单独租甲车的费用为：15×4 000＝60 000元；③单独租乙车需要的费用为：30×2 500＝75 000元；综上可得，单独租甲车租金最少.答 （1）甲车单独完成需要15天，乙车单独完成需要30天；（2）单独租甲车租金最少.。
人人教A版数学高三等比数列精选试卷练习(含答案)2
人人教A 版数学高三等比数列精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =（ ） A ．32或6 B ．3 C ．32或3 D ．6 2．若数列{a n }满足：a 1＝1，2a n +1＝2a n +1（n ∈N*），则a 1与a 5的等比中项为（ ）A ．±2B ．2C ．D 3．等比数列{}n a 中，39a =，51a =，则6a 的值为( )A ．13B ．13- C ．13± D ．194．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，3a ，2a 成等差数列，2mS ，3S ，4S 成等比数列，则m =（ ）A ．78B ．85 C ．1 D ．955．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )A ．1B ．2C ．2D 6．已知一个等比数列项数是偶数，其偶数项之和是奇数项之和的3倍，则这个数列的公比为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 7．已知等比数列{}n a ，若1231a a a ⋅⋅=，7894a a a ⋅⋅=，则129a a a ⋅=L ( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．8± 8．在等比数列{}n a 中，24681,4a a a a +=+=，则2a =( )A ．2B ．4C ．12D ．13 9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．1810．已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对任意,a b ∈R ，有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅成立，()22f =，令()2n n a f =，()22n n n f b =则有( )A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 为等比数列C ．{}n b 为等差数列D ．{}n b 为等比数列 11．在等比数列{}n a 中，227a =，13q =-，则5a =（ ） A ．3- B ．3 C ．1- D ．112．已知正项数列{}n a ，若点()4log n na ，在函数()3f x x =-的图像上，则()2357log a a a =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16 13．已知等比数列{}n a 中，141,8a a =-=，该数列的公比为A ．2B ．-2C ．2±D ．314．在正项等比数列{}n a 中，4a ，46a 为方程210090x x -+=的两根，则102540a a a ⋅⋅=（ ）A ．9B ．27C ．64D ．8115．已知数列{}n a 是等比数列，若2678492ma a a a a ⋅=-⋅，且公比2)q ∈，则实数m 的取值范围是（）A ．(2,6)B ．(2,5)C ．(3,6)D ．(3,5) 16．已知等比数列{}n a ，若1472a a +=，232a a ⋅=-，则公比q =（ ） A ．-2 B ．12- C ．-2或12- D ．-8或18- 17．在等比数列{}n a 中，34a =，516a =，则9a 等于（ ）A ．256B ．-256C ．128D ．-128 18．在正项等比数列{n a }中，274a a =，则212228log log log a a a +++…= A ．2 B ．4 C ．6 D ．819．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（0a ≠），那么{}n a （ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列20．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( ) A ．2B ．lg 50C ．5D ．10二、解答题21．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.记三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c .（1）根据数列的定义判断数列{}n a ，{}n b ，{}n c 的类型，并据此写出三个数列的通项公式；（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由. 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n =∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”．（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值．23．已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明：数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}na 的通项公式； （2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，s ∈*N ，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.24． 由a n 与S n 的关系求通项公式（1）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23722n S n n =-()*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1)4n n a S +=（*n N ∈）.求数列{}n a 的通项公式；（3）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，求S n（4）已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，前n 项和为n S ，且满足211111142n n n n n n n S S S S S S S +--++-+=-（*2,n n N ≥∈）.求数列{}n a 的通项公式； （5）设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n ＋2a n ＝2（n ∈N *）.数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；求数列{}n a 的通项公式； 25．已知数列{}n a 为等比数列，且0n a >，数列{}n b 满足2log n n b a =，若14b =，23b =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b m +前n 项和为n S ，若当且仅当5n =时，n S 取得最大值，求实数m 的取值范围.26．已知公比为q 的等比数列{}()*n a n N∈中，22a =，前三项的和为7.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若01q <<，设数列{}n b 满足12n n b a a a =⋅L L ，n *∈N ，求使01n b <<的n 的最小值.27．在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，232637225a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当312123n S S S S n +++⋯+取最大值时，求n 的值．28．已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）求n a .29．等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若35,a a 分别是等差数列{}n b 的第4项和第16项，求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .30．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 31．已知数列{}{},n n a b 满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==.（1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .32．已知数列{}n a 满足11a =，且11123n n a a +=+，*n N ∈. （1）求证：23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.33．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值.34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S三、填空题35．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为________.36．数列{}n a 满足()211122,3,1n n n n n a a a a n a -+--+==+L ，21a =，33a =，则7a =________.37．已知等比数列{}n a 满足114a =，()35441a a a =-，则2a =________. 38．已知实数()abc a b c <<，，三个数成等比数列，它们的和是21，积是64，那么这个数列的公比q =_____.39．已知等比数列{}n a 及等差数列{}n b ，其中10b =，公差0d ≠.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2,L ，则等比数列{}n a 的前10项之和为________. 40．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且125,,a a a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于________.41．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，所有公比相等，则a b c ++值为42．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且372S =，6632S =，则7a =__________． 43．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____.44．已知等比数列{}n a 中，若451a a =，8916a a =，则67a a =_____．45．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且249112a a a --+，，成等比数列，则{}n a 的前9项和9S =_______.46．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a ⋅=，则6a 的值为___________ 47．数列{}n a 是等比数列，21a =-，64a =-，则4a 的值是________． 48．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为 ． 49．已知1，a ，b ，c ，4成等比数列，则b =______.50．各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =________.参考答案1．A2．C3．C4．D5．D6．B7．D 8．D9．C10．C11．C12．A13．B14．B15．C16．C17．A18．D19．C20．C21．（1）{}n a 为常数列；{}n b 为等差数列；{}n c 是等比数列；40n a =，1100.42n n n b n c -==⨯，（2）应该选择方案二，详见解析22．（1）见解析在（2）1d =-23．（1）详见解析；（2），，成等差数列；（3）详见解析.24．(1) 35n a n =-；(2) 21n a n =-；(3) 132n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭； (4) 1,12,2n n a n =⎧=⎨≥⎩(5) 12n n a n +=+ 25．（1）52n n a -=；（2）()0,126．（1）12n n a -=或32n n a -=；（2）6.27．（1）52n n a -=（2）n 的值为8或928．（1）数列{}n b 不是等比数列.见解析（2）+122n n a n =-29．（1）n n a 2=；（2）2622n n -30．（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）112221n n ++-- 31．（1）见证明；（2）n S 21222n n n ++=-- 32．（1）见解析；（2）1211332n n a -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭33．（1）22n a n =+；（2）63 34．(1)12n n b -=, (2)36s =- 35．13-=n n a 36．6337．1238．439．102340．10041．27242．32. 43．12 44．445．11746．247．2-48．749．250．8。
2020_2021学年高中数学第3章空间向量与立体几何能力检测含解析新人教A版选修2_1
第三章能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1．设{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间的另一个基底的向量是( )A．a B．bC．c D．a或b【答案】C【解析】向量p，q均与a，b共面，所以只能与c组成基底．2．已知空间直角坐标系中点A(1,0,0)，B(2,0,1)，C(0,1,2)，则平面ABC的一个法向量为( )A．(－1，－3,2) B．(1,3，－1)C．(1,3,1) D．(－1,3,1)【答案】B【解析】AB→＝(1,0,1)，AC→＝(－1,1,2)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB→＝x＋z＝0，n·AC→＝－x＋y＋2z＝0，n＝(1,3，－1)为平面ABC的法向量．故选B．3．设A，B，C，D是空间不共面的四点且满足AB→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，AC→·AD→＝0，则△BCD是( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定【答案】C【解析】由AB→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，AC→·AD→＝0，可知AB→⊥AC→，AB→⊥AD→，AC→⊥AD→，即三棱锥ABCD的三侧棱两两垂直，则其底面为锐角三角形．4．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°【答案】C【解析】cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2－25·6＝0，∴a 与b 的夹角为90°.5．(2019年陕西西安期末)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于t ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →等于( )A ．32t 2 B ．34t 2C ．12t 2D ．14t 2【答案】D【解析】设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a|＝|b|＝|c|＝t ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°.又AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，故AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(t 2cos 60°＋t 2cos60°)＝14t 2.6.已知直线l 过定点A (2,3,1)，且n ＝(0,1,1)为直线l 的一个方向向量，则点P (4,3,2)到直线l 的距离为( )A.2 B.102 C.22 D.322【答案】D【解析】PA ＝(－2,0，－1)，|PA |＝5，PA ·n |n |＝－22，则点P 到直线l 的距离为|PA |2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ·n |n |2＝5－12＝322.7．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA →上且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12c【答案】B【解析】如图，MN →＝MO →＋OC →＋CN →＝23AO →＋OC →＋12CB →＝－23a ＋c ＋12(b －c )＝－23a ＋12b ＋12c .8．(2019年黑龙江哈尔滨模拟)已知空间向量a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )A ．652B ．65C ．4D ．8【答案】B【解析】|a|＝3，|b|＝3，而a ·b ＝4＝|a||b |·cos 〈a ，b 〉，∴cos 〈a ，b 〉＝49，故sin〈a ，b 〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝659，于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为S ＝|a||b |sin 〈a ，b 〉＝3×3×659＝65.故选B ．9．已知e 1，e 2，e 3是空间中不共面的三个向量，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1－e 2－e 3，c ＝e 1＋e 2，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3且d ＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 分别为( )A ．52，－12，－1B ．52，12，1C ．－52，12，1D ．－52，－12，－1【答案】A【解析】d ＝x a ＋y b ＋z c ＝(x ＋y ＋z )e 1＋(x －y ＋z )e 2＋(x －y )e 3＝e 1＋2e 2＋3e 2，由空间向量基本定理，空间任一向量都可以用一个空间基底唯一表示，从而得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x －y ＝3.解得x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.故选A ．10．(2019年河北石家庄模拟)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝2，CC 1＝2，则异面直线AB 1和BC 1所成角的正弦值为( )A ．1B ．77C ．12D ．32【答案】A【解析】取线段A 1B 1，AB 的中点分别为O ，D ，则OC 1⊥平面ABB 1A 1，∴可以以OB 1→，OC 1→，OD →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O －xyz ，如图，则A (－1,0，2)，B 1(1,0,0)，B (1,0，2)，C 1(0，3，0)，∴AB 1→＝(2,0，－2)，BC 1→＝(－1，3，－2)．∵AB 1→·BC 1→＝(2,0，－2)·(－1，3，－2)＝0，∴AB 1→⊥BC 1→，即异面直线AB 1和BC 1所成的角为直角，则其正弦值为1.故选A ．11.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，若AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)，则下列结论正确的是( )A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCD的法向量D.AP∥BD【答案】ABC【解析】∵AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确.又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则C正确.∵BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP ＝(－1,2，－1)，∴BD与AP不平行，故D错误.12.(多选题)已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则( )A.A1D与B1D1是异面直线B.A1D与EF所成角的大小为45°C.A 1F 与平面B 1EB 所成角的余弦值为13D.二面角CD 1B 1B 的余弦值为63【答案】AD【解析】易知A 正确；如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1(1,0,1).对于B ，∵A 1D ＝(－1,0，－1)，EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，∴|A 1D |＝(－1)2＋0＋(－1)2＝2，|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋0＝22，A 1D ·EF ＝12＋0＋0＝12，故cos 〈A 1D ，EF 〉＝A 1D ·EF|A 1D |·|EF |＝12，可知向量A 1D 与EF 的夹角为60°，所以A 1D与EF 所成角的大小为60°，B 错误；对于C ，∵AB ⊥平面B 1C 1CB ，∴AB 是平面B 1EB 的法向量，∵AB ＝(0,1,0)，A 1F ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－1，∴|AB |＝1，|A 1F |＝32，A 1F ·AB ＝12，故cos 〈A 1F ，AB 〉＝13，∴A 1F 与平面B 1EB 所成角的余弦值为223，C 错误；对于D ，∵AC 1⊥平面B 1D 1C ，∴AC 1是平面B 1D 1C 的法向量，又AC 为平面B 1D 1B 的法向量，故AC 1与AC 所成的角等于二面角C －D 1B 1－B ，∵AC 1＝(－1,1,1)，AC ＝(－1,1,0)，则|AC 1|＝3，|AC |＝2，AC 1·AC ＝2，∴cos 〈AC 1，AC 〉＝63，∴二面角C －D 1B 1－B 的余弦值为63，D 正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．(2017年上海)如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过点D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量DB1→的坐标为(4,3,2)，则向量AC1→的坐标是________．【答案】(－4,3,2)【解析】由DB1→的坐标为(4,3,2)，可得A(4,0,0)，C(0,3,0)，D1(0,0,2)，则C1(0,3,2)，∴AC1→＝(－4,3,2)．14．已知平面α经过点O(0,0,0)且e＝(1,1,1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是__________________．【答案】x＋y＋z＝0【解析】OM→·e＝(x，y，z)·(1,1,1)＝x＋y＋z＝0.15.已知向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，则3a－2b＝，a与b所成角的余弦值为.【答案】(5,13，－28) －7138 230【解析】3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28).a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝3×2＋5×1－4×8＝－21，|a|＝32＋52＋(－4)2＝50，|b|＝22＋12＋82＝69，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a||b|＝－2150×69＝－7138230.16．(2019年吉林长春期末)在三棱锥PABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为________．【答案】55【解析】以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0，0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴PA →＝(0,0，－2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·DE→＝0，n ·DF→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0.取z ＝1，则n ＝(2,0,1)．设直线PA 与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|PA →·n ||PA →||n |＝55.∴直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(10分)设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，a ·b ，并确定λ，μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，得－λ＋2μ＝0.∴当λ，μ满足－λ＋2μ＝0时，可使λa ＋μb 与z 轴垂直．18．(12分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．解：a ＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，b ＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b|a |·|b |＝－1＋0＋02×5＝－1010.∴a 和b 的夹角的余弦值为－1010.(2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)．∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8 ＝0. 即2k 2＋k －10＝0.∴k ＝－52或k ＝2. 19．(12分)(2019年福建龙岩期末)如图，在多面体ABCA 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1ABC 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C ．证明：(1)∵二面角A 1ABC 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，∴AA 1⊥平面BAC ． 又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ，∴∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ． ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设AB ＝2，则A (0,0,0)，B 1(0,2,2)，A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)．∴A 1B 1→＝(0,2,0)，A 1A →＝(0,0，－2)，AC →＝(2,0,0)．设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1A →＝0，n ·AC→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0,1,0)． ∴A 1B 1→＝2n ，即A 1B 1→∥n . ∴A 1B 1⊥平面AA 1C ．(2)易知AB 1→＝(0,2,2)，A 1C 1→＝(1,1,0)，A 1C →＝(2,0，－2)． 设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·A 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0.令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)． ∴AB 1→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0.∴AB 1→⊥m .又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C．20.(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝2CD.平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，点E在PC上，DE⊥平面PAC.(1)求证：PA⊥平面PCD；(2)设AD＝2，若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45°，求DE的长.【解析】(1)证明：由DE⊥平面PAC，得DE⊥PA.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PA.又CD∩DE＝D，所以PA⊥平面PCD.(2)解：取AD的中点O，连接PO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由(1)得PA⊥PD，由AD＝2得PA＝PD＝2，PO＝1.设CD＝a，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(a,1,0)，B(2a，－1,0)，则BC＝(－a,2,0)，PC＝(a,1，－1).设m ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，由⎩⎨⎧m ·BC ＝0，m ·PC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋2y ＝0，ax ＋y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝a ，z ＝3a ，故m ＝(2，a,3a )为平面PBC 的一个法向量. 由(1)知n ＝DC ＝(a,0,0)为平面PAD 的一个法向量.由|cos 〈m ，n 〉|＝m ·n|m ||n |＝|2a |a10a 2＋4＝22，解得a ＝105，即CD ＝105.所以在Rt △PCD 中，PC ＝2155. 由等面积法可得DE ＝CD ·PDPC ＝33.21．(12分)(2019年广东广州期末)如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M分别为CE ，AB 的中点．(1)求异面直线AB 与CE 所成角的大小； (2)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值．解：(1)∵DB ⊥BA ，平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，DB ⊂平面ABDE ，∴DB ⊥平面ABC ．∵BD ∥AE ，∴EA ⊥平面ABC ．如图，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x 轴，y 轴，以过点C 且与EA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系．∵AC ＝BC ＝4，BD ＝12AE ＝2，∴C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,4,0)，E (4，0,4)． ∴AB →＝(－4,4,0)，CE →＝(4,0,4)． ∴cos 〈AB →，CE →〉＝－1642×42＝－12.∴AB 与CE 所成角的大小为π3.(2)由(1)知O (2,0,2)，D (0,4,2)，M (2,2,0)，∴CD →＝(0,4,2)，OD →＝(－2,4,0)，MD →＝(－2,2,2)． 设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎨⎧n ·OD→＝0，n ·MD→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0，－2x ＋2y ＋2z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝1，则n ＝(2,1,1)． 设直线CD 与平面ODM 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，CD →〉|＝|CD →·n ||CD →||n |＝3010.∴直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值为3010.22.(12分)(2020年福建泉州模拟)如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝13AD ，P 为BE 的中点，将△ABE 沿BE折起到△A 1BE 的位置，使得A 1C ＝4，如图2.(1)求证：平面A 1CP ⊥平面A 1BE ； (2)求二面角BA 1PD 的余弦值.【解析】(1)证明：如图，连接AP ，PC .∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD上的点，AE ＝13AD ，P 为BE 的中点，∴BE ＝4，∠ABE ＝30°，∠EBC ＝60°，BP ＝2. ∴PC ＝23.∴BP 2＋PC 2＝BC 2.∴BP ⊥PC .∵A 1P ＝AP ＝2，A 1C ＝4，∴A 1P 2＋PC 2＝A 1C 2. ∴PC ⊥A 1P .∵BP ∩A 1P ＝P ，∴PC ⊥平面A 1BE . ∵PC ⊂平面A 1CP ，∴平面A 1CP ⊥平面A 1BE .(2)解：如图，以P 为坐标原点，PB 所在直线为x 轴，PC 所在直线为y 轴，过P 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(－1,0，3)，P (0,0,0)，D (－4，23，0)，∴PA 1＝(－1,0，3)， PD ＝(－4,23，0).设平面A 1PD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·PA 1＝0，m ·PD ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3z ＝0，－4x ＋23y ＝0.取x ＝3，得m ＝(3，2,1).易知平面A 1PB 的一个法向量n ＝(0,1,0)， 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝22.由图可知二面角BA 1PD 是钝角， ∴二面角BA 1PD 的余弦值为－22.。
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2021年高三数学阶段性检测（二） 文新人教A 版
本试卷分第Ⅰ 卷（选择题）和第Ⅱ 卷（非选择题）.考生作答时，须在答题卡上作答，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则复数的虚部为
A ．
B ．
C ．
D ．
2．各项均为正数的等此数列{a n }中，成等差数列，那么=
A ．
B ．
C ．
D ．
3．在△ABC 中，“”是“△ABC 为钝角三角形”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．的内角的对边分别是，若，，，则
A. B. C. D. 或
5．已知Rt △ABC 中，AB =3，AC =4，∠BAC= 90°，AD ⊥BC 于D ，点E 在△ABC 内 任意移动，则E 位于△ACD 内的概率为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与
输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．已知f(x)=sin(x+)，g(x)=cos(x-)，则下列结论中
正确的是
A ．函数y=f(x)·g(x)的最大值为1
B ．函数y=f(x)·g(x)的对称中心是(,0)，∈Z
C ．当x ∈[-,]时，函数y=f(x)·g(x)单调递增
D ．将f(x)的图象向右平移单位后得g(x)的图象
8. 已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆x 2m + y 2=1(m>1)和 双曲线x 2
n
- y 2=1（n>0）， P 是它们的一个交点，则ΔF 1PF 2的形状是
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝有三角形
D ．随m 、n 变化而变化
9.下列命题中是假命题的是
A ．有零点
B ．是幂函数，且在（0，+）上递减
C ．函数f （x ）= sin （2x+)都不是偶函数
D ．若的图象关于某点对称，那么使得是奇函数
10．已知函数是定义在数集上的奇函数，且当时，成立，若,,,则的大小关系是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目指定的答题区域内作答.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知两条直线和互相平行，则等于 .
12.方程的根的个数为_________.
13. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 .
14. 是所在平面上的一点，满足，若的面积为，则的面积为__________.
15. 平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数．下列函数：
①；②；③ ； ④；
⑤，其中是一阶格点函数的有 ．（填上所有满足题意的函数的序号）
三、解答题：共6大题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）已知函数 的部分图象如图所示，其中为函数图象的最高点，PCx 轴，且.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的取值范围.
17．（本题满分12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下： （I ）求频数直方图中的值；
（II ）分别求出成绩落在与中的学生人数；
（III ）从成绩在的学生中任选2人，求
这2人的成绩都在中的概率.
18.（本小题满分12分）已知函数，数列满足. （Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为，求证：.
19. 如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）
视图和侧（左）视图如图2所示．
图
图
（Ⅰ）求四面体的体积；
（Ⅱ）证明：∥平面；
（Ⅲ）证明：平面平面
20（本小题满分13分）已知圆O的方程为x2＋y2＝4.
（Ⅰ）直线m过点P(1,2)，且与圆O交于A、B两点，若|AB|＝23，求直线m的方程；（Ⅱ）圆O上有一动点，，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．
21．（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，
使，求实数取值范围.
36880 9010 逐31799 7C37 簷25271 62B7 抷20721 50F1 僱20275 4F33 伳5 33754 83DA 菚39921 9BF1 鯱&28312 6E98 溘。