材料力学第3章 轴向拉压变形
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材料力学课件-第三章-轴向拉压变形
Δ
F
f
o
d
A
d
•弹性体功能原理：Vε W ,
f df
• 拉压杆应变能
2 FN l V ε 2 EA
Page28
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
*非线性弹性材料
F
f
•外力功计算
W fd
0
F W 2
•功能原理是否成立? •应变能如何计算计算?
dx
dz
dy
x
•单向受力体应变能
V v dxdydz dxdydz 2E
2
z
单向受力
Page30
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
2 dxdydz •单向受力体应变能 V v dxdydz 2E FN ( x ) •拉压杆 (x)= , dydz A A 2 FN ( x ) V dx （变力变截面杆） y 2 EA( x ) l 2 FN l dx （常应力等直杆） V dz 2 EA •纯剪应变能密度 dy dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 z v G 纯剪切
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4
§3-5 §3-6
轴向拉压变形
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能
简单拉压静不定问题 热应力与预应力
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
本章主要研究:
Page7
杆件的轴向拉压变形及具体强度计算
根据强度条件，可以解决三类强度计算问题
1、强度校核：
max
FN A
2、设计截面：
A
FN
3、确定许可载荷： FN A
目录
拉压杆的强度条件
例题3-3
F
F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200 。
〔σ〕=120MPa。试校核斜杆的强度。
解：1、研究节点A的平衡，计算轴力。
目录
——横截面上的应力
目录
FN
A
——横截面上的应力
该式为横截面上的正应力σ计 算公式。正应力σ和轴力FN同号。 即拉应力为正，压应力为负。
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假设 可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂 直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公式为：
目录
• 拉(压)杆横截面上的应力
FN 2 45° B
F
FN1 28.3kN FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
B
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
F
90106 Pa 90MPa
x
2
FN 2 A2
20103 152 106
89106 Pa 89MPa
目录
三、材料在拉伸和压缩时的力学性质
教学目标：1.拉伸、压缩试验简介； 2.应力-应变曲线分析； 3.低碳钢与铸铁的拉、压的力学性质； 4.试件的伸长率、断面收缩率计算。
教学重点：1.应力-应变曲线分析； 2.材料拉、压时的力学性质。
教学难点：应力-应变曲线分析。 小 结: 塑性材料与脆性材料拉伸时的应力-应变曲线分析。 作 业: 复习教材相关内容。
05材料力学-轴向拉伸与压缩
§5.2 拉、压杆的强度计算
保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
N ( x) max max( ) A( x)
依强度准则可进行三种强度计算： ① 校核强度：
其中：[]—许用应力， max—危险点的最大工作应力。
max
P
② 设计截面尺寸： Amin N max
1
引
言
构件是各种工程结构组成单元的统称。机械中的轴、杆
件，建筑物中的梁、柱等均称为构件。当工程结构传递运动或
承受载荷时，各个构件都要受到力的作用。为了保证机械或建 筑物的正常工作，构件应满足以下要求： 强度要求 所谓强度，是指构件抵抗破坏的能力。 刚度要求 所谓刚度，是指构件抵抗变形的能力。
稳定性要求 所谓稳定性，是指构件保持其原有平衡形态的
22
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。 2. 拉伸应力：
P
N(x)
N ( x) A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。 危险点：应力最大的点。
N ( x) max max( ) A( x)
23
能力。 构件的强度、刚度和稳定性问题与其所选用材料的力学性
质有关，而材料的力学性质必须通过实验来测定。
2
杆件在不同的外力作用下将产生不同形式的变形，主要有： 1．轴向拉伸和压缩 ：其受力特点是：作用在杆件的力，大 小相等、方向相反，作用线与杆件的轴线重合，因此在这种外 力作用下，变形特点是：杆件的长度发生伸长或缩短。起吊重 物的钢索、桁架的杆件、液压油缸的活塞杆等的变形，都属于
材料轴向拉压变形的力学原理
根据小变形假设：杆1和杆2的转角 为很小的角度，因此A1A'可视为垂直 于杆1；A2A'可视为垂直于杆2。
A A5
所以： Ax AA2 l2
节点位移分析步骤： 1. 轴向伸长（缩短）
Ay
AA4
A4 A5
AA1
sin
AA5
tan
2. 切向转动
l1 l2 sin tan
f
f
o
d
V 0 f d
F
o
V
F 2
F
34
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
等截面、均匀拉伸的杆件的拉压应变能：
F
V
F 2
FN l FN FN l FN2l
2
2 EA 2EA
35
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
拉压杆的变形与胡克定律
例题2：
图示等截面直杆受多
a
b
个力作用，截面面积A， 材料拉压弹性常数均为E，
F2
求杆件总变形量。
A
B
F1 C
13
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压杆的变形与胡克定律
解： 截面法
BC段 AB段
FN1 FN 2
F2
F1
FN1 F1
lBC
FN1lBC EA
F1b EA
F1 FN 2 F1 F：
l
a
0
d
l
a
0
材料力学 轴向拉压3
课堂讨论题
低碳钢加载→卸载→ 再加载路径有以下四种， 请判断哪一个是正确的： （A）OAB →BC →COAB ； （B）OAB →BD →DOAB ； （C）OAB →BAO→ODB； （D）OAB →BD →DB。 正确答案是（ D ） 关于材料的力学一般性能，有如下结论，请判断哪一个是正确的： （A）脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力； （B）脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （C）塑性材料的抗拉能力高于其抗压能力； （D）脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力。 正确答案是（ ） A
§2-5 材料在拉伸与压缩时的力学性能
力学性能：材料在受力后的表现出的变形和破坏特性。 力学性能：材料在受力后的表现出的变形和破坏特性。 不同的材料具有不同的力学性能。 不同的材料具有不同的力学性能。 材料的力学性能可通过实验得到。 材料的力学性能可通过实验得到。 通过实验得到 一、试件与设备
压缩标准试件 拉伸标准试样
4、对应力集中的敏感性 当杆件上有圆孔、凹槽时，受力后，在截面突变处的附近， 当杆件上有圆孔、凹槽时，受力后，在截面突变处的附近，有应力 集中现象。 集中现象。 对于塑性材料来说， 对于塑性材料来说，因为有较 长的屈服阶段， 长的屈服阶段，所以在孔边最大应 力到达屈服极限时， 力到达屈服极限时，若继续加力， 圆孔边缘的应力仍在屈服极限值， 圆孔边缘的应力仍在屈服极限值， 所以应力并不增加， 所以应力并不增加，所增加的外力 只使屈服区域不断扩展。 只使屈服区域不断扩展。 而脆性材料随着外力的增加， 而脆性材料随着外力的增加，孔边应力也急剧地上升并始终保持最 大值。当达到强度极限时，该处首先破裂。 大值。当达到强度极限时，该处首先破裂。 所以，脆性材料对于应力集中十分敏感。而塑性材料则相反。 所以，脆性材料对于应力集中十分敏感。而塑性材料则相反。因 此，应力集中使脆性材料的承载能力显著降低，即使在静载下，也应 应力集中使脆性材料的承载能力显著降低，即使在静载下， 考虑应力集中对构件强度的影响。 考虑应力集中对构件强度的影响。
材料力学四种基本变形要点
(–)
16kN•m (+)
6kN•m
6kN•m
2kN x=1m 3kN MC= 20kN•m MB= –6kN•m M图 MD右= 6kN•m MD左= 16kN•m MG= 20.5kN•m (–)
梁弯曲时横截面上的正应力计算公式 s = My / Iz M
smax= M / Wz
矩形截面 z b bh Iz= —— 12
四种基本变形
一、轴向拉压
轴力FN、FN图 横截面上正应力
F
拉 “+ ” ；压 “━” FN s = —— A
s
正应变
e = ——
E
FNl Dl = —— EA
s
杆件伸长量
二、扭转 扭矩Mx 、 Mx图 T
P (kW) T 9549 n (r/min) (N· m)
T 右手螺旋法则:扭矩矢与截面外法线方向一致时为“+” ； 反之为 “ -” “+” Mx “━” Mx
三、剪切和挤压 四、弯曲 剪力FQ和弯矩M
F Q 图 、 M图
剪力：对所取梁内任一点之矩顺时针转向为 “+” ； 反之为“ – ”。 弯矩：使梁产生上凹下凸变形为 “+” ；反之为“– ”。 FQ FQ为 + FQ FQ FQ
FQ为 –
M为 +
M为 –
求梁的剪力 FQ 和弯矩 M 大小的规律： q F1 M F2
弯曲变形(积分法)
w
M ( x) EI z
M ( x) dxC EI z
w q
w
M ( x) d x d x Cx D EI z
C、D为积分常数，由位移的边界与连续条件确定。
建筑力学第3章轴向拉伸与压缩
A
F
x
0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 45° B
F
x
F
45°
y
0
B F
C
FN 1 sin 45 - F 0
FN 1 28.3kN FN 2 -20kN
A
2、计算各杆件的应力。
45°
C
B
FN 1 28.3 10 90MPa A1 20 2 4
斜截面上全应力：
p 0 cos
k
③pa 分解为：
p
P
P
p cos 0 cos 2
p sin 0 cossin
0
2
k
k
sin2
P
P
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 当 = 0时， 当 = 90°时， 当 = ±45°时， 当 = 0,90°时，
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 - 150 103 -1.1 MPa Ⅱ 2 A2 370
所以，最大工作应力为
max= = -1.1 MPa (压应力）
三、 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
上述讨论的横截面上的正应力是今后强度计算的基础。 但不同的材料实验表明，拉（压）杆的破坏并不总是沿横截 面发生，有时确是沿斜截面发生的，为此，应进一步讨论斜 截面上的应力。为了全面分析拉（压）杆的强度，应研究它 斜截面上的应力情况。
解(1)、(2)曲线交点处：
30
60
B 31;PB 54.4kN
1 1
PB1 ,60 A /cos60/sin604601024/ 355.44kN
材料力学单辉祖第三章轴向拉压变形
o x
FN q
q
L
最大正应力发生在x = 0处
P
max
FN (0) P ql (0) A A
P
x
22
Example-变轴力杆
取长度为dx的微元体 由胡克定理知，微元体伸长为
FN ( x) d dx EA
FN ( x) P q(l x)
o x
FN
dx dFN对微段变形忽略
杆件在外力F2作用下 的伸长为
l
2P
P
3l P
2P
l2 P
FN 2 L 2 Pl EA EA
19
Example-多力杆
杆件的总伸长为
l l P l2 P
方法一答案
2 Pl l l1 l2 EA ()
2 Pl EA
2P
P
l
3l
20
Example-变轴力杆
B
60 0
F2 l
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
45
Example-Bracket
利用几何关系， 得A点垂直位移AA´
A 2CC CD 2 6.0 mm 0 sin 30
l B
600
F2
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
46
Example-零力杆
求A点的位移
*AB杆不受力不伸长，只转动
()
41
Example-Bracket
图示托架，AB为刚梁，CD为支撑杆，已知 F1=5kN，F2=10kN，l=1m，斜支撑CD为铝 管，弹性模量为E=70GPa，横截面面积为 A=440mm2，求刚梁AB端点A的铅垂位移。
FN q
q
L
最大正应力发生在x = 0处
P
max
FN (0) P ql (0) A A
P
x
22
Example-变轴力杆
取长度为dx的微元体 由胡克定理知，微元体伸长为
FN ( x) d dx EA
FN ( x) P q(l x)
o x
FN
dx dFN对微段变形忽略
杆件在外力F2作用下 的伸长为
l
2P
P
3l P
2P
l2 P
FN 2 L 2 Pl EA EA
19
Example-多力杆
杆件的总伸长为
l l P l2 P
方法一答案
2 Pl l l1 l2 EA ()
2 Pl EA
2P
P
l
3l
20
Example-变轴力杆
B
60 0
F2 l
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
45
Example-Bracket
利用几何关系， 得A点垂直位移AA´
A 2CC CD 2 6.0 mm 0 sin 30
l B
600
F2
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
46
Example-零力杆
求A点的位移
*AB杆不受力不伸长，只转动
()
41
Example-Bracket
图示托架，AB为刚梁，CD为支撑杆，已知 F1=5kN，F2=10kN，l=1m，斜支撑CD为铝 管，弹性模量为E=70GPa，横截面面积为 A=440mm2，求刚梁AB端点A的铅垂位移。
材料力学第三章 轴向拉压变形
FB = 2 FA
由⑵式与⑷式联立解得得： 式与⑷式联立解得得： ⑷
B FB
F FA = FN AC = 3 2F FB = FN BC = 3
×
装配应力 ⒈ 装配应力 超静定结构，由于构件制造误差， 超静定结构，由于构件制造误差，在装配时构件内部会 产生装配应力。静定结构不会产生装配应力。 产生装配应力。静定结构不会产生装配应力。 装配应力 装配应力 静定结构
⑷
FN 1 + 2 FN 2 − 2 F = 0
FN 2 = 2 FN 1
解得： 解得：
}
FN 1
2P 4P = , FN 2 = 5 5
×
解拉压超静定问题的方法和步骤： 解拉压超静定问题的方法和步骤： ⑴画变形的几何图； 画变形的几何图； ⑵根据变形图，建立变形的几何方程； 根据变形图，建立变形的几何方程； ⑶画受力图，其中杆件的轴力应根据变形图来画，即变 画受力图，其中杆件的轴力应根据变形图来画， 形为拉伸杆件的轴力按拉力画， 形为拉伸杆件的轴力按拉力画，变形为压缩杆件的轴力按压 力画； 力画； ⑷根据受力图，建立平衡方程； 根据受力图，建立平衡方程； ⑸根据虎克定律，建立物理方程； 根据虎克定律，建立物理方程； ⑹将物理方程代入几何方程得补充方程； 将物理方程代入几何方程得补充方程； ⑺联立平衡方程与补充方程求解未知量。 联立平衡方程与补充方程求解未知量。
×
求图示结构中刚性杆AB 中点 的位移δC。 中点C 例4 求图示结构中刚性杆
① 2EA EA ②
解：由平衡方程得 l
A
δA
a δC
C a
δB
B
F
P FN 1 = FN 2 = 2 FN 1l Fl δ A = ∆l1 = = EA 2 EA FN 2 l Fl δ B = ∆l 2 = = 2 EA 4 EA
由⑵式与⑷式联立解得得： 式与⑷式联立解得得： ⑷
B FB
F FA = FN AC = 3 2F FB = FN BC = 3
×
装配应力 ⒈ 装配应力 超静定结构，由于构件制造误差， 超静定结构，由于构件制造误差，在装配时构件内部会 产生装配应力。静定结构不会产生装配应力。 产生装配应力。静定结构不会产生装配应力。 装配应力 装配应力 静定结构
⑷
FN 1 + 2 FN 2 − 2 F = 0
FN 2 = 2 FN 1
解得： 解得：
}
FN 1
2P 4P = , FN 2 = 5 5
×
解拉压超静定问题的方法和步骤： 解拉压超静定问题的方法和步骤： ⑴画变形的几何图； 画变形的几何图； ⑵根据变形图，建立变形的几何方程； 根据变形图，建立变形的几何方程； ⑶画受力图，其中杆件的轴力应根据变形图来画，即变 画受力图，其中杆件的轴力应根据变形图来画， 形为拉伸杆件的轴力按拉力画， 形为拉伸杆件的轴力按拉力画，变形为压缩杆件的轴力按压 力画； 力画； ⑷根据受力图，建立平衡方程； 根据受力图，建立平衡方程； ⑸根据虎克定律，建立物理方程； 根据虎克定律，建立物理方程； ⑹将物理方程代入几何方程得补充方程； 将物理方程代入几何方程得补充方程； ⑺联立平衡方程与补充方程求解未知量。 联立平衡方程与补充方程求解未知量。
×
求图示结构中刚性杆AB 中点 的位移δC。 中点C 例4 求图示结构中刚性杆
① 2EA EA ②
解：由平衡方程得 l
A
δA
a δC
C a
δB
B
F
P FN 1 = FN 2 = 2 FN 1l Fl δ A = ∆l1 = = EA 2 EA FN 2 l Fl δ B = ∆l 2 = = 2 EA 4 EA
第三章 杆件的基本变形
第三章 杆件的基本变形这一章主要研究材料力学的有关内容，主要研究各种构件在外力作用下的内力和变形。
在保证满足强度、刚度和稳定性的前提下，为构件选用适宜的材料、确定合理的截面形状和尺寸，以达到即安全又经济的目的。
材料力学的研究对象主要是“杆件”，所谓杆件是指纵向（长度方向）尺寸远比横向（垂直于长度方向）尺寸大的多的构件，例如柱、梁和传动轴等。
杆有两个主要的几何因素，即横截面和轴线。
横截面指的是垂直于轴线方向的截面，后者即为所有横截面形心的连线。
杆件在外力作用下产生的变形，因外力作用的方式不同而有下列四种基本形式：（1） 轴向拉压变形；（2） 剪切变形；（3） 扭转变形，（4） 弯曲变形。
在工程实际中，有些构件的变形虽然复杂，但总可以看作是由以上几种基本变形组合而成，称为组合变形。
第1节 拉伸和压缩在工程结构和机器中，有许多构件是轴向拉伸和压缩作用。
本节主要讨论轴向拉伸的压缩时杆的内力和变形，并对材料在受拉、压时的力学性能进行研究，从而得出轴向拉、压杆的强度计算方法。
1、 内力与截面法1、内力的概念杆件在外力作用下产生变形，其内部的一部分对另一部分的作用称为内力。
显然，若外力消失，则内力也消失，外力增大，内力也增大。
但是对一定的材料来说，内力的增加只能在材料所特有的限度之内，超过这个限度，物体就会破坏。
所以，内力与强度是密切相关的。
2、截面法设一直杆，两端受轴向拉力F作用。
为了求出此杆任一截面m-m上的内力，，我们可以假想用一个平面，沿截面m_m将杆截断，把它分成Ⅰ、Ⅱ两部分，取Ⅰ段作为研究对象。
在Ⅰ段的截面m_m上到处都作用着内力，其合力为F N。
F N是Ⅱ段对Ⅰ段的作用力，并与外力F相平衡。
由于外力F的作用线沿杆件轴线，显然，截面m_m上的内力的合力也必然沿杆件轴线。
对Ⅰ段建立平衡方程：F N-F=0 得 F N＝F将受外力作用的杆件假想地切开用以显示内力，并以平衡条件来确定其合力的方法，称为截面法。
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Fy 0 :FN1 sin 30 FN3 sin 30 F
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By
BB'
l2 sin 45
l1
tan
45
(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan
l2
sin
l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1
FN1l1 E1 A1
, l2
FN2l2 E2 A2
, l3
FN3l3 E3 A3
EA
（杆自重的一半）
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
W/2
9
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
例题3-2
高强钢制成的起重机圆形截面杆，主要承受轴向压力，已知 直径 d=60 mm，E=200GPa，v=0.30。工作时要求杆的直径 d≤60.02mm，试问允许的最大轴向压力是多少？
解：（1）变形前后杆的直径改变量为：
23
3.4 拉压杆静不定问题
概念
（1）静定问题(statically determinate problem)——仅用静力 平衡方程就能 求出全部未知力。 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。
（2）静不定问题(statically indeterminate problem)——仅用 静力平 衡方程不能求出全部未知力。（超静定问题）
（缩短）
（2）计算C点的竖直位移
CC l / cos60
A 点的铅垂位移
ΔAy=
AA=2CC=
2Δl cos60
6.0mm
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
22
3.4 拉压杆静不定问题
n未 n平
静定问题
n未 n平
静不定问题
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
l1 l,l2 l/ cos ,l3 l tan
FN1 cos2 FN 2 FN 3 sin 2
E1 A1
E2 A2 E3 A3
（4）联立求解
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
26
3.4 拉压杆静不定问题
例题3-4
AD 段为钢杆，A1 2104 mm2 E1 210GPa DB 段为铜杆， A2 1104 mm2 E2 100 GPa F = 1000 kN 试求上、下端反力及各段横截面上的应力。
d(l) FN (x)dx EA(x)
积分：
l
l
FN
(
x) dx
0 EA(x)
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
5
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
横向变形与泊松比
拉压杆发生轴向变形的同时，横向上也发生变形
由a变成a1, 横向变形量为 a a1 a
横向正应变为: a
l FNl EA
EA FN ( l )l
F
F kl
可见，拉压杆可类比于弹簧常数为k的弹簧。
k EA l
弹簧常数 刚度系数
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
4
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
变轴力、变截面直杆的轴向变形
轴力FN和横截面积A沿轴线变化情况
可在杆轴线坐标为x 处截取微段dx，该微段可看作轴力为 FN(x)的等截面(A(x))直杆，其变形量为：
实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
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24
3.4 拉压杆静不定问题 解法
基本步骤：
（1）静力平衡方程(static equilibrium equation )
Fx 0 : FN1 FN2 cos
Fy 0 : FN2 FN3 F
d d1 d 0.02 mm 杆的横向应变为：
d 3.33104
d
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10
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
例题3-2
（2）计算杆的轴向应变
1.11103
（3）计算轴力
由胡克定律，得杆的轴力
解：（1）杆AB的静力平衡方程
F1 F2 F 0
（2）变形协调方程
lAC lCD lDB 0
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27
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-4
（3）由胡克定律
l AC
F1a E1 A1
lCD
F2a E1 A1
lDB
F2 2a E2 A2
2
Δl1
FN1 3 EA1
l
Δl2
FN2 l EA2
Δl3
FN3
2 3
EA3
l
代入变形协调方程
3FN2 2FN1 2FN3
A2
3A1 3A3
整理得
2FN2 2FN1 FN3
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32
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(4) 联立求解
lBC
(F1
F2 )l2 EA
F2l1 EA
F1l2 EA
F2 (l1 l2 ) EA
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
13
3.2 变形计算的叠加原理
lAC
F1l2 EA
F2 (l1 l2 ) EA
F1单独作用
F2单独作用
几个载荷同时作用产生的总变形，等于各载荷单独作用产
8
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
例题3-1
（3）考虑杆的自重和 F 共同作用， x 截面轴力为 ：
FN (x) F g Ax 积分得A截面的位移为：
l（3）
l FN (x)dx
l (F gAx)
dx
0 EA
0 EA
Fl
gl2
(F W )l 2
EA 2E
2(1 3) FN1 3 2 3 F 0.845F 8.45 kN
FN
A
E
πd 2 4
627372
N
所以，杆工作时的最大轴向压力不能超过627.37kN
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11
3.2 变形计算的叠加原理
杆AC同时承受轴向载荷F1与F2的作用，计算杆的总变形 量。
设AB与BC段的轴力分别为FN1与FN2，均为拉力，则由 截面法得:
秦飞 编著《材料力学》PPT 讲义
第3章 轴向拉压变形
Axial Deformation
本章主要内容
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形 3.2 变形计算的叠加原理 3.3 桁架的节点位移 3.4 拉压杆静不定问题 *3.5 热应力与预应力
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
MB 0 : F1 2l F2l FN,CDl sin 30 0
FN,CD
2F1 F2 sin 30
4104 N
（压缩）
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21
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
CD 杆的轴向变形为
l FNl EAcos30
0.0015m
支架各杆材料相同，F=10kN，
A1 100 mm2
A2 150 mm2
A3 200 mm2
试求各杆的轴力。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
30
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
解: (1)静力平衡方程
Fx 0 :FN1 cos30 FN2 FN3 cos30
代入变形协调方程
F1 a F2 a F2 2a 0 E1A1 E1A1 E2 A2
整理得 F1 9.4F2
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28
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-4
（4）联立求解
上端反力： F1 904 kN (拉)
下端反力： F2 96 kN (压)
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
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31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By
BB'
l2 sin 45
l1
tan
45
(1
2
2) Fa EA
()
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19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
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3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan
l2
sin
l3
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25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1
FN1l1 E1 A1
, l2
FN2l2 E2 A2
, l3
FN3l3 E3 A3
EA
（杆自重的一半）
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W/2
9
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
例题3-2
高强钢制成的起重机圆形截面杆，主要承受轴向压力，已知 直径 d=60 mm，E=200GPa，v=0.30。工作时要求杆的直径 d≤60.02mm，试问允许的最大轴向压力是多少？
解：（1）变形前后杆的直径改变量为：
23
3.4 拉压杆静不定问题
概念
（1）静定问题(statically determinate problem)——仅用静力 平衡方程就能 求出全部未知力。 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。
（2）静不定问题(statically indeterminate problem)——仅用 静力平 衡方程不能求出全部未知力。（超静定问题）
（缩短）
（2）计算C点的竖直位移
CC l / cos60
A 点的铅垂位移
ΔAy=
AA=2CC=
2Δl cos60
6.0mm
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22
3.4 拉压杆静不定问题
n未 n平
静定问题
n未 n平
静不定问题
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l1 l,l2 l/ cos ,l3 l tan
FN1 cos2 FN 2 FN 3 sin 2
E1 A1
E2 A2 E3 A3
（4）联立求解
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26
3.4 拉压杆静不定问题
例题3-4
AD 段为钢杆，A1 2104 mm2 E1 210GPa DB 段为铜杆， A2 1104 mm2 E2 100 GPa F = 1000 kN 试求上、下端反力及各段横截面上的应力。
d(l) FN (x)dx EA(x)
积分：
l
l
FN
(
x) dx
0 EA(x)
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5
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
横向变形与泊松比
拉压杆发生轴向变形的同时，横向上也发生变形
由a变成a1, 横向变形量为 a a1 a
横向正应变为: a
l FNl EA
EA FN ( l )l
F
F kl
可见，拉压杆可类比于弹簧常数为k的弹簧。
k EA l
弹簧常数 刚度系数
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4
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
变轴力、变截面直杆的轴向变形
轴力FN和横截面积A沿轴线变化情况
可在杆轴线坐标为x 处截取微段dx，该微段可看作轴力为 FN(x)的等截面(A(x))直杆，其变形量为：
实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
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3.4 拉压杆静不定问题 解法
基本步骤：
（1）静力平衡方程(static equilibrium equation )
Fx 0 : FN1 FN2 cos
Fy 0 : FN2 FN3 F
d d1 d 0.02 mm 杆的横向应变为：
d 3.33104
d
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10
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
例题3-2
（2）计算杆的轴向应变
1.11103
（3）计算轴力
由胡克定律，得杆的轴力
解：（1）杆AB的静力平衡方程
F1 F2 F 0
（2）变形协调方程
lAC lCD lDB 0
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3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-4
（3）由胡克定律
l AC
F1a E1 A1
lCD
F2a E1 A1
lDB
F2 2a E2 A2
2
Δl1
FN1 3 EA1
l
Δl2
FN2 l EA2
Δl3
FN3
2 3
EA3
l
代入变形协调方程
3FN2 2FN1 2FN3
A2
3A1 3A3
整理得
2FN2 2FN1 FN3
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32
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(4) 联立求解
lBC
(F1
F2 )l2 EA
F2l1 EA
F1l2 EA
F2 (l1 l2 ) EA
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13
3.2 变形计算的叠加原理
lAC
F1l2 EA
F2 (l1 l2 ) EA
F1单独作用
F2单独作用
几个载荷同时作用产生的总变形，等于各载荷单独作用产
8
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
例题3-1
（3）考虑杆的自重和 F 共同作用， x 截面轴力为 ：
FN (x) F g Ax 积分得A截面的位移为：
l（3）
l FN (x)dx
l (F gAx)
dx
0 EA
0 EA
Fl
gl2
(F W )l 2
EA 2E
2(1 3) FN1 3 2 3 F 0.845F 8.45 kN
FN
A
E
πd 2 4
627372
N
所以，杆工作时的最大轴向压力不能超过627.37kN
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11
3.2 变形计算的叠加原理
杆AC同时承受轴向载荷F1与F2的作用，计算杆的总变形 量。
设AB与BC段的轴力分别为FN1与FN2，均为拉力，则由 截面法得:
秦飞 编著《材料力学》PPT 讲义
第3章 轴向拉压变形
Axial Deformation
本章主要内容
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形 3.2 变形计算的叠加原理 3.3 桁架的节点位移 3.4 拉压杆静不定问题 *3.5 热应力与预应力
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MB 0 : F1 2l F2l FN,CDl sin 30 0
FN,CD
2F1 F2 sin 30
4104 N
（压缩）
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21
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
CD 杆的轴向变形为
l FNl EAcos30
0.0015m
支架各杆材料相同，F=10kN，
A1 100 mm2
A2 150 mm2
A3 200 mm2
试求各杆的轴力。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
30
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
解: (1)静力平衡方程
Fx 0 :FN1 cos30 FN2 FN3 cos30
代入变形协调方程
F1 a F2 a F2 2a 0 E1A1 E1A1 E2 A2
整理得 F1 9.4F2
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
28
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-4
（4）联立求解
上端反力： F1 904 kN (拉)
下端反力： F2 96 kN (压)