过程能力指数的4个基本特性

过程能力指数4 个基本特性

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摘要：本文根据过程能力指数C p 定义发现了过程能力指数的4 个基本特性，即过程能力指数的对半特性、可计量特性、零判据和基准。这4 个特性为研究各种情况下过程能力指数公式提供了理论依据。

关键词：过程能力指数特性贡献过程能力指数区间基准

The Four Basic Properties of Process Capability Index

Song xiangyan

Abstract: This paper discovers the four important properties of process capability index according to the definition of C p, they are the fifty-fifty property of PCI, the measurability of PCI, the zero criterion of PCI and the datum of PCI. The four basic properties provide theoretical foundation for us to explore the various kinds of formulas of process capability index.

Key words: Process capability index; Property; Contribution; Interval of process capability index; Datum

过程能力指数(PCI,Process Capability Index)定义为

C p =

T

6 σ=

T U–T L

6 σ(1)

式(1)是针对对称公差无偏情况定义的。根据数理统计概率计算公式，图1 中正态分布

曲线落在区间[T L,T U]内的合格率为

Ф(

T U–μ

σ)–Ф(

T L–μ

σ)=2 Ф(3C p) –1 (2)

由于过程能力指数来自于合格率的贡献，且正态分布曲线落在合格区内的合格率具有积

分的累加性，故合格率对对过程能力指数的贡献具有可加性。

推论1：过程能力指数具有可加性

在无偏情况下，见图2，过程能力指数C p 可看成是合格区间内彼此相邻的任意n 个大

小不同的区域的合格率对过程能力指数C p 贡献之和，即：

∑=

= + + + = + + + = =

n

i

n Cpi Cpn Cp Cp T T T T Cp

1

2 1 2 1

6 6 6 6

L L L L

σσσσ

当T1= T2= ……= T n 时，C P=

nT1

6 σ

。图5 是可加性在n=2 时的一个特例。

当偏移发生时，过程能力指数PCI 可看成合格区间内彼此相邻的任意n 个大小不同的

区域内的合格率对过程能力指数贡献之和，即：

+ = 1 PCI PCI ∑=

= + +

n

i

i n PCI PCI PCI

1

2 L L

图3 中偏移发生后的过程能力指数可以看成是区间[T L,T L+ ε]、[T L+ ε,T L+2 ε]、[T L+2 ε,T U]内的合格率对过程能力指数贡献之和。以下将要谈到的过程能力指数可计量特性充分

说明了过程能力指数具有可加性。

推论2：过程能力指数具有不变性

假设合格区间[T L,T U]内的某一合格区域i 对过程能力指数的贡献为PCI i，在标准差σ(即

正态分布的曲线形状)不变的情况下，当均值μ向右偏移时，参见图4，若偏移后的区域i

仍处于合格区间[T L,T U]内，即在移动过程中合格率不发生改变，则区域i 的合格率对过程能

力指数的贡献仍为PCI i。

过程能力指数不变性取决于两个条件：一个是曲线形状不发生变化，另一个是移动后的

合格区域i 仍处于合格区间[T L,T U]内。

1 过程能力指数的对半特性

在无偏情况下( μ=M)，见图5，过程的能力指数C p 是通过中心线左右两侧的对称区间

内的合格率对过程能力指数的贡献来实现的，即区间[T L, μ]内的合格率与区间[ μ,T U]内的合格率共同完成对过程能力指数C p 的贡献过程。由于正态分布的对称性，左右两侧对称区间[T L, μ]和[ μ,T U]内的合格率相同，所以两侧对称区间内的合格率对过程能力指数的贡献值也相同。即区间[T L, μ]内的合格率与区间[ μ,T U]内的合格率对过程能力指数的贡献都是C p/2。当对称区域并非充满整个合格区间时，见图6，以μ为中心的两个对称区间[T L+d, μ]和

[ μ,T U–d]内的合格率相同，它们对过程能力指数的贡献也相同。当参数d 变化时在合格区内能找到无数个以μ=M 为中心的对称区域，但d 必须满足d≥0 且T–2d≥0，即0≤d≤T/2。

显然，图5 是图6 当d=0 时的特例。

当均值μ向右偏移ε时，在合格区内以μ为中心的最大的对称区域为[ μ–T/2+ ε, μ

+T/2–ε]，见图7。由于对称区间[ μ–T/2+ ε, μ]和[ μ, μ+T/2–ε]内的合格率相同，所以它

们对过程能力指数的贡献也相同。

在图8 中，由于以μ为中心的两个对称区间[ μ–T/2+d, μ]和[ μ, μ+T/2–d]内的合格率相同，所以它们对过程能力指数的贡献也相同。随着变量d 的变化，以μ为中心的对称区域[ μ–T/2+d, μ+T/2–d]的宽度T–2d 也发生变化。显然，d 应满足d–ε≥0 且T–2d≥0，即ε≤d ≤T/2。图7 是图8 在d= ε时的特例。

无偏时过程能力指数对半特性是有偏时过程能力指数对半特性的特例。

综上所述，可得如下重要结论：

过程能力指数对半特性——不论是无偏还是有偏，只要正态分布曲线分布中心μ两侧

的对称区间在合格区间内(合格率相同)，那么它们对过程能力指数的贡献相同。

这就是过程能力指数的对半特性，是正态分布对称性赋予过程能力指数的一个隐含特

性。注意，以μ为中心的两个对称区间必须处于合格区间以内，否则即使是对称区间，也不能保证合格率相同，更不能谈过程能力指数的对半特性。

若研究对半特性时连同不对称的那一部分合格率一起考虑，就永远不会发现过程能力指

数的对半特性。但这并不意味着不研究不对称的那部分合格率对过程能力指数的贡献，相反，正是通过分段研究，才相继发现了过程能力指数的可计量特性和过程能力指数的零判据。

2 过程能力指数的可计量特性

图5 中对称区域充满了整个合格区间，区间[T L, μ]内的合格率与区间[ μ,T U]内的合格率

对过程能力指数的贡献都是C p/2。当对称区域并非充满整个合格区间时，见图6，对称区域

[T L+d,T U–d]内的合格率对过程能力指数的贡献是多少呢？

根据数理统计概率计算公式，对称区域[T L+d,T U–d]内的合格率为

Φ(

T U–d–μ

σ)–Φ(

T L+d–μ

σ)=2 Φ(

T–2d

2 σ)–1 (3)

将式(3)与式(2)比较知，对称区域[T L+d,T U–d]内的合格率对过程能力指数的贡献为

(T.2d)/6 σ。根据对半特性，区间[T L,T L+d]和区间[T U–d,T U]内的合格率对过程能力指数的贡

献各为d/6 σ。

同理，当均值μ向右偏移ε时，见图8，根据数理统计概率计算公式，合格区内以μ

为中心的对称区域[ μ–T/2+d, μ+T/2–d]内的合格率为

Φ(

μ+T/2–d–μ

σ)–Φ(

μ–T/2+d–μ

σ)=2 Φ(

T–2d

2 σ)–1 (4)

将式(4)与式(2)比较知，对称区域[ μ–T/2+d, μ+T/2–d]内的合格率对过程能力指数的贡

献也是(T.2d)/6 σ。显然为使该对称区域在合格区间内，必须保证T/2≥d 且ε+T/2–d≤T/2，即ε≤d≤T/2。

由此可以得出如下重要结论：

过程能力指数可计量特性——不论是无偏还是有偏，只要正态分布曲线分布中心μ两

侧的某对称区域在合格区内，则宽度为T–2d( ε≤d≤T/2)的对称区域对过程能力指数贡献是(T.2d)/6 σ。

这就是过程能力指数的可计量特性，是过程能力指数定义所隐含的又一特性。借助于该

特性，可计量合格区中任一对称区域内的合格率对过程能力指数的贡献大小。

如果没有对半特性存在，而只有可计量特性存在，我们就不能得出图6 中区间[T L,T L+d]

和区间[T U–d,T U]内的合格率对过程能力指数的贡献各为d/6 σ的结论。另外，本文正是利用

了对半特性和可计量特性，才证明了过程能力指数C pk 公式是错误的。但仅仅利用这两个特性，还不能充分证明作者提出的过程能力指数的修正公式C pkr 是正确的，必须运用过程能力

指数零判据。

3 过程能力指数的零判据

当均值μ向右偏移ε( ε>0)时，参见图3，根据可计量特性，以μ为中心的对称区域[T L+2 ε,T U]内的合格率对过程能力指数贡献是(T.2 ε)/6 σ。根据对半特性，偏移前区间[T L,T L+ ε] 内的合格率对过程能力指数贡献是ε/6 σ。偏移后区间[T L,T L+ ε]移至区间[T L+ ε,T L+2 ε]，根据过程能力指数不变性，区间[T L+ ε,T L+2 ε]内的合格率对过程能力指数的贡献也是ε/6 σ。

假设偏移发生后的区间[T L,T L+ ε]内的合格率对过程能力指数有贡献且贡献值为Δ，则

必有Δ= ε/6 σ。根据过程能力指数可加性，偏移后的过程能力指数为(T–2 ε)/ 6 σ+ ε/6 σ+

Δ。由于偏移发生后的过程能力指数小于T/6 σ，必有(T–2 ε)/ 6 σ+ ε/6 σ+ Δ

< ε/6 σ，显然这与Δ= ε/6 σ>0 矛盾，所以Δ不能大于零，由于Δ不能小于0，故Δ=0。推论3：当偏移发生时进入合格区内的合格率对过程能力指数的贡献为零。

无偏情况下，见图1，区间[ .∞,T L]内的分布概率为

Φ(

T L . μ

σ). Φ(

.∞–μ

σ)=1. Φ(

T

2 σ) (5)

根据过程能力指数定义，区间[–∞,T L]内的分布概率对过程能力指数的贡献为零。因此

无偏时过程能力指数为零与分布概率1. Φ(T/2 σ)建立了对应关系。

当均值μ向右偏移ε(即μ=M+ ε)时，见图3，区间[–∞,T L+ ε]内的分布概率为

Φ(

T L+ ε. μ

σ). Φ(

.∞–μ

σ)= Φ(

T L.M

σ)=1. Φ(

T

2 σ) (6)

由于区间[–∞,T L+ ε]由[–∞,T L]和[T L,T L+ ε]两部分组成，所以根据过程能力指数定义和

推论3，区间[–∞,T L+ ε]内的合格率对过程能力指数的贡献等于零，且与偏移量ε的大小无关。

综合式(5)和式(6)，可得如下重要结论：

过程能力指数零判据——不论是无偏还是有偏，当从–∞(或+∞)开始计算正态分布曲

线落在某一区域内的分布概率等于1. Φ( T/2 σ)时，则该区域内的分布概率对过程能力指数贡献为零。

这就是过程能力指数的零判据。它是过程能力指数定义所隐含的又一基本特性，是判别

从–∞或+∞开始的某一区域内分布概率是否对过程能力指数有贡献的依据。

4 过程能力指数的基准

众所周知，计量学中的量值传递靠的是基准，没有一个公认的基准，对计量值的大小就

会产生分歧。任何一种普遍采用的计量值单位都会有一个基准。同样，过程能力指数属于计

量值数据，也需要有一个基准。尽管过程能力指数没有单位，是一个纯粹的数，但它是有物

理意义的，具有一定的内涵。如果没有一个很有说服力的大家都能认可的基准，那么就会出

现混乱的状态，导致“公说公有理，婆说婆有理”。基准从哪里来？不能随意规定，只能根

据过程能力指数的定义来探询。

引入“准过程能力指数区间”和“过程能力指数区间”的概念，不仅可以解决过程能力

指数的基准问题，而且为求解双侧公差、单侧公差、非对称公差在各种情况下的过程能力指

数公式提供了理论依据。只要根据定义识别出过程能力指数区间，就可准确计算过程能力指数。

这两个概念不是凭空想像得来的，而是在对过程能力指数基本概念和各种情况下过程能

力指数公式的长期探索中认识到的，它们像4 个基本特性隐藏在过程能力指数基本概念中一样，隐藏在过程能力指数的零判据中，因此也成了研究中攻克过程能力指数基本理论和求解各种情况下过程能力指数计算公式的最后一道难关。

定义1：把区间[ μ–Max{T U–T V,T V–T L}, μ+ Max{T U–T V,T V–T L}]定义为准过程能力指数

区间。

其中，T V 表示非对称公差情况下的目标值。当T V=M 时，是对称公差情况，此时

T U–T V=T V–T L，准过程能力指数区间变为[ μ–(M–T L), μ+ (T U–M)]=[ μ–T/2, μ+T/2]，即[ μ–T/2,

μ+T/2]实际上就是对称公差的准过程能力指数区间。由于在非对称公差中，T U 与T L 并不关于目标值T V 对称，所以我们定义准过程能力指数区间时不能简单地用μ加减T/2，μ加减

的应该是Max{T U–T V,T V–T L}，只有这样，准过程能力指数区间的概念才能既适用于对称公差，又适用于非对称公差。

定义2：把准过程能力指数区间与合格率区间的重叠部分定义为过程能力指数区间。

显然生产加工过程与产品合格率是因果关系，而合格率又是评价过程能力指数的基础。

研究发现，准过程能力指数区间是评价过程能力指数的必要条件，而过程能力指数区间是产生过程能力指数的充要条件。

以下利用这两个术语并根据过程能力指数定义来探讨过程能力指数定义本身所隐含的

基准。

在无偏( μ=M)情况下，准过程能力指数区间为[ μ–T/2, μ+T/2]=[M–T/2, M+T/2]=[T L,T U]。由于合格率区间也为[T L,T U]，所以准过程能力指数区间与合格率区间的重叠部分——过程能力指数区间为[T L,T U]。见图9。

当均值μ向右偏移ε时，见图10，准过程能力指数区间为[T L+ ε,T U+ ε]，由于合格率

区间为[T L,T U]，所以准过程能力指数区间与合格率区间的重叠部分——过程能力指数区间为[T L+ ε,T U]。

由于过程能力指数全部来自于过程能力指数区间内的合格率的贡献，故有

推论4：当过程能力指数区间为[a,b]时，过程能力指数等于(b–a)/6 σ。

当T U=T L 时，由式(1)知过程能力指数等于零。而根据过程能力指数区间的概念，当T U=T L

时过程能力指数区间关闭，故此时过程能力指数区间内的合格率为零。见图12。

因此可得如下重要结论：

过程能力指数基准——当过程能力指数等于零时，过程能力指数区间内的合格率等于

零。

这就是过程能力指数基准，是任何基于C P 的过程能力指数公式必须服从的基准。

5 为什么C

P 可以等于零

物理学中的平抛运动在不计空气阻力的情况下可分解为水平方向的匀速运动和垂直方

向的自由落体运动。假设沿水平方向抛出的初速度是V0，那么质点(不考虑物体的形状和大小，把物体的质量看作集中在一点)在任意时刻t 的速度大小为2 2

0 ) (gt V + 。当V0=0 时，

平抛运动变为单纯的自由落体运动，即自由落体运动是平抛运动的特例。如果我们不去假设V0=0，就不可能得出这个结论。难道人们可以说V0=0 不是特殊的平抛运动？或者说V0 根本不可能等于零？类似的问题比比皆是。再如，斜抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和垂直上抛运动，根据初速度V0 和抛射角θ可得到抛物线方程。当θ=45°时射程最远，当θ=90°时变为单纯的垂直上抛运动，当θ=0°时变成平抛运动等等，这说明垂直上抛运动、平抛运动和自由落体运动都是斜抛运动的特例。难道人们能单纯地以它们不是狭义的斜抛运动而否定θ可以等于零或90 吗？

同样，研究过程能力指数C P 时也可以探讨C P=0 的状态。有人说C P 根本不可能等于零，

因为T=0 不存在。是的，只要对生产过程提出技术要求，T 就不可能为零，这就如同只要狭义的平抛运动一旦付诸实施，就意味着有一个初速度且V0≠0，但这并不影响我们对初速度

V0 的情况进行讨论。同样，我们也可以对C P=0 的状态进行探讨。没有生产加工任务可视为T=0；虽有加工任务(T≠0)但加工过程尚未开始可视为正态分布概率密度函数曲线是y=0 的

直线，即y=0 的直线是特殊的正态分布曲线。

探讨C P=0 时的状态意义重大。过程能力指数定义本身所隐含的基准就存在于C P=0 的

状态中，这个基准是唯一的，如果我们放弃对C P=0 时状态的研究，那么我们根本不可能发

现过程能力指数的基准。没有基准是导致质量界目前对过程能力指数评价出现混乱状态的根本原因。此外，利用过程能力指数基准，不仅为判别其它各种情况下的过程能力指数公式是否是建立在C P 概念基础之上提供理论依据，而且可以建立一个基于C P 的过程能力指数评价体系。

6 对称公差有偏情况下的过程能力指数公式

目前，对称公差有偏情况下的过程能力指数公式为

C pk= (1–K)C p =

T .2 ε

6 σ(7)

其中K = 2 ε/T 为偏移系数，ε=| μ–M |表示产品质量特性值的分布均值μ相对于公差

中心M 的偏移量，取正值。另一种形式的C pk 公式为

C pk = M in (

T U–μ

3 σ,

μ–T L

3 σ) (8)

式(8)与式(7)在本质上是等价的。将式(7)展开得C pk=(1–K)C p=

T

6 σ–

ε

3 σ

。由于前一项

T

6 σ

是无偏情况下的过程能力指数，而ε/3 σ不是过程能力指数，所以ε/3 σ不能用来表示因偏移而丧失的过程能力指数，所以式(7)并不能表示偏移后的过程能力指数。尽管ε/3 σ可演变为2ε/6σ或2×( ε/6 σ)，但由于它们都不能准确地表达出偏移ε时损失的过程能力指数，因此，式(7)的存在违背了加减运算规则。

在式(7)中，当ε=T/2 时，C pk=0，而此时的过程能力指数区间为[M,T U]，见图11。根据

推论4，此时的过程能力指数为(T U–M)/6 σ=C p/2≠0。当ε=T 时，C pk=–C p，而此时的过程能力指数区间关闭，即过程能力指数应该等于零，见图12。显然，式(7)的存在违背了过程

能力指数的基准。

数学公理表明：一个公式在其使用范围内，只要有一个点不成立，那么这个公式就是错

误的，这是判断一个公式不成立的充分条件；而要证明一个公式成立，则必须证明该公式在其使用范围内的所有点上都成立，这是判断一个公式成立的必要条件。由于式(7)在其使用

的范围内有两点不成立，所以式(7)的存在也违背了数学公理。

显而易见，违背正态分布的对称性是式(7)错误的根本原因。

综上所述，在式(7)中，不仅仅当ε=T/2 及ε=T 时有误，只要ε不为零，即只要发生偏

移，式(7)就是错误的，而且μ相对于M 的偏移越大，C pk 的误差也越大，以致于C pk 为负值。由于目前质量界尚无正确的C pk 公式提出，所以“C pk 是近似公式”的观点缺乏理论依据，因此也是错误的。

文献[1]用两种方法证明了C pk 公式是错误的，在提出修正公式C pkr 的同时还进行了证明。

下面用过程能力指数区间的概念求解C pkr 公式(“r”表示修正)。

当均值μ向右偏移ε时，见图10，准过程能力指数区间为[T L+ ε,T U+ ε]，由于合格率

区间为[T L,T U]，所以准过程能力指数区间与合格率区间的重叠部分——过程能力指数区间为[T L+ ε,T U]。根据推论4 可得过程能力指数为

C pkr=

T U–(T L+ ε)

6 σ=

T

6 σ–

ε

6 σ(9)

其中，ε= | μ.M|，K=2 ε/T 为偏移系数。当ε=T 时，过程能力指数区间关闭，见图12，过程能力指数等于零。因此，式(10)还可以借助于点(0,C p)与(T,0)得到。这一事实再次表明：在对称公差中，当偏移发生时进入合格区内的合格率对过程能力指数的贡献为零。不难验证，

C pkr 公式服从过程能力指数基准。

7 有关基准问题的讨论

根据过程能力指数C p 定义得出的“当过程能力指数等于零时，合格率等于零”的结论

只适用于无偏情况，不能作为过程能力指数基准。如果把它作为过程能力指数的基准，那么用过程能力指数的对半特性、可计量特性以及零判据推导证明是正确的C pkr 公式就不能满足这一基准，因为当ε=T 时，虽然C pkr=0，但此时合格率却为Φ(3T/2 σ) . Φ(T/2 σ)≠0，见图

12。尽管这一面积很小，但并不等于零。显然，若把根据过程能力指数C p 定义得出的“当

过程能力指数等于零时，合格率等于零”的结论作为过程能力指数基准，那么C pkr 公式就站不住脚。这是由于无偏情况下得出的过程能力指数“零状态”的结论不适用于有偏情况，故不能直接用作过程能力指数基准。

准过程能力指数区间和过程能力指数区间概念的引入，得出过程能力指数的基准是“当

过程能力指数等于零时，过程能力指数区间内的合格率等于零。”这样，上述冲突问题不复存在，作者提出的并且被其它三个特性证明是正确的C pkr 公式符合过程能力指数基准。因为当ε=T 时，此时的过程能力指数区间关闭，正态分布曲线落在过程能力指数区间内的合格

率等于零，过程能力指数自然等于零。这与此时C pkr 公式得到的结论一致。

过程能力指数基准既符合无偏情况，又满足有偏情况，是对无偏时过程能力指数零状态

的拓展。

8. C pkr 与C pk 的比较及相关问题的讨论

由于C pkr 和C pk 这两个过程能力指数公式可看作关于偏移量ε的一次方程，以自变量ε

为横坐标，因变量PCI 为纵坐标，可画出这两个公式的直线方程，见图13。由于C pkr 方程

通过两个点(0,C p)和(T/2,C p/2)，所以该方程的直线由这两点确定。而错误的C pk 方程通过(0,C p) 和(T/2,0)两个点，其中点(0,C p)是正确的，而(T/2,0)点所代表的物理意义是错误的，违背了正态分布的对称性。显然，对于同样的偏移量ε，式(7)比式(9)计算得到的过程能力指数低

KC p/2= ε/6 σ，导致当偏移量大于T/2 时，出现荒诞的负值。而式(9)在偏移量等于T 时，过程能力指数才等于零。

有人认为若把C pkr 直线再延长一点点，也会出现“荒诞的负值”。这种观点是错误的。

C pk 公式在不该出现负值的地方出现负值，确实是荒诞。虽然作者把C pkr 直线往下延长也会

出现负数，但此时的负数就不荒诞了，因为此时准过程能力指数区间不仅完全移出了合格率区间，而且两者还有很大的间隔，应该是负数。故不能形而上学看问题，误认为只要为负就一定是荒诞的，应具体问题具体分析。

C pk 公式在K<1 时真的可用吗？在图13 中画出ε=T/4 的直线，显然ε落在直线右边的

误差远比左边的大。如果人们可以接受0< ε1 时被强制规定等于零，但

C pk 公式本质上的错误仍依然存在！尽管在0< ε

C pk 公式是“近似”的还是错误的问题。如果C pk 公式可以“近似”，那么数理统计学家

为什么还要对样本标准差S 采用修偏系数c4 进行修正得到总体标准差？干脆直截用样本标

准差S 近似总体标准差σ好了！还有，在C p 和C pk 之后人们提出的所谓P p 和P pk 与C p 和C pk

的区别仅仅在于标准差不同，为何此时不能谈近似？此外，在正确的公式没有求得之前，凭什么说C pk 公式是近似的？有何依据？近似多少？

C pk 公式应该是定义出来的，还是应该根据C p 定义推导得来的问题。如果C pk 公式可以

任意定义，那么它一般不会与C p“同祖同宗”，用C pk 公式评价出来的结果与用C p 得到的结果不能相提并论。然而，事实上C p 与C pk 常被放在一起加以讨论。既然C pk 与C p 被视为一

个“血统”，那么C pk 公式就应该根据过程能力指数C p 定义所隐含的基本特性来推导，而不能随意去定义。如果容忍C pk 公式随意定义，那么单侧公差的公式难道就不可以进行定义了吗？非对称公差呢？显然，也可以进行定义！如果这样，各种情况下得到的过程能力指数还能在同一个参照系下进行过程能力高低和产品质量好坏的评价吗？

致谢

正是在中国质量协会副会长张公绪教授的启发下，作者开始研究过程能力指数的。研究

过程中得到了张教授的鼓励与支持，作者在此深表感谢！对于中国质量协会秘书长马林所给予的帮助作者同样表示诚挚的谢意！另外，作者对美国质量学会六西格玛论坛编辑Noel Wilson 以及《质量技术杂志》的评论家们曾给予的帮助也表示衷心的感谢！

参考文献

[1] 宋祥彦，六西格玛管理质疑[M]，青岛出版社,2005 年1 月。