幂的运算
(完整版)幂的运算知识点总结
欢迎共阅第八章幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幂相乘
同底数幂的乘法数
数，负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负正数的任何次幂都是正逆运算：
是正整数相加。
即法则：底数不变，指数a a a a a a m n m n m m n n
n )
,m (知识点二：幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方)
()()
,(a a a a m n m m n
mn mn n 逆运算：是正整数即底数不变，指数相乘。
2、积的乘方(ab)
(ab)n n n n n n )
(,b a b a n 逆运算；是正整数再把所得的幂相乘。
即
把每一个因式分别乘方知识点三：同底数幂的除法
同底数幂的除法m
nm a n m n m a a a a a a n 10101095-5n -0n -m n m 1)
0010(02.50000502.0)
1-10(96.6696000)
,
0a (110)0a (1),,,0a (的个数数字前第一个非的负几次方原数字个数的几次方科学记数法是正整数定负整指数幂的意义：规的数的零次幂都等于。
即任何不等于零指数幂的意义：规定是正整数变，指数相减。
即同底数幂相除，底数不。
幂的运算总结知识点
幂的运算总结知识点一、幂运算的基本概念1. 底数和指数在幂运算中，底数表示要进行幂运算的数，指数表示要计算的幂。
例如，在表达式$a^n$中，$a$为底数，$n$为指数。
2. 幂的定义幂的定义是指将一个数与自身相乘若干次的运算。
比如，$a^n$表示$a$与自身相乘$n$次，即$a$的$n$次幂。
3. 幂数的意义幂数的意义是指幂的运算结果。
在数学中，幂的运算结果通常表示一个较大的数，这种表达方式能够简化运算和表示大数，方便计算。
二、幂运算的性质1. 幂运算的乘法法则若$a^m \times a^n = a^{m+n}$，即幂相乘的结果等于底数不变、指数相加的新的指数。
2. 幂运算的除法法则若$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$，即幂相除的结果等于底数不变、指数相减的新的指数。
3. 幂运算的乘方法则若$(a^m)^n = a^{m \times n}$，即幂的幂等于底数不变、指数相乘的新的指数。
4. 幂运算的指数为0的规定$a^0=1$，任何数的0次幂都等于1。
5. 幂运算的指数为1的规定$a^1=a$，任何数的1次幂都等于自身。
6. 幂运算的负指数$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，即负指数等于底数的倒数。
7. 幂运算的零指数若底数不为0，$0^n=1$，即0的任何次幂都等于1。
8. 幂运算的整数指数当指数为正整数时，幂运算就是简单的重复乘法运算；当指数为负整数时，幂运算就是简单的重复除法运算。
9. 幂运算的分数指数当指数为分数时，幂运算需要借助对数来处理，得到的结果为底数的对数值的指数次幂。
10. 幂运算的根式化简对于幂运算中的根式，可以通过化简和变形得到更简单的表达式。
三、幂运算的应用1. 幂运算在几何中的应用在几何中，幂运算常常用来表示面积和体积。
比如，计算正方形的面积、长方形的面积、立方体的体积等等。
2. 幂运算在代数中的应用在代数中，幂运算常常用来表示变量的幂。
(完整版)幂的运算方法总结
•幂的运算方法总结幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：①a m×a n=a m+n②(a m)n=a mn③(ab)m=a m b m④a m÷a n=a m-n只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。
问题1、已知a7a m=a3a10，求m的值。
思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。
方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。
方法原则：可用公式套一套。
但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。
问题2、已知x n=2,y n=3,求(x2y)3n的值。
思路探索：(x2y)3n中没有x n和y n，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有x n 和y n的运算。
因此可简解为，(x2y)3n =x6n y3n=(x n)6(y n)3=26×33=1728方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。
方法原则：整体不同靠一靠。
然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？问题3、已知a3=2,a m=3,a n=5，求a m+2n+6的值。
思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。
简解：a m+2n+6=a m a2n a6=a m(a n)2(a3)2=3×25×4=300方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。
方法原则：逆用公式倒一倒。
当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？问题4、已知22x+3－22x+1=48，求x的值。
思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。
由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。
简解：22x+3－22x+1=22x×23－22x×21=8×22x－2×22x=6×22x=48 ∴22x=8 ∴2x=3∴x=1.5方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。
幂的运算(知识总结)
幂的四则运算（知识总结）一、同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
用式子表示为： n m n ma a a +=⋅(m 、n 是正整数)二、同底数幂的除法运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。
用式子表示为：nm nma a a -=÷。
(0≠a 且m 、n 是正整数，m>n 。
) 补充：零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。
用式子表示为：)0(10≠=a a ，ppa a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。
三、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：()nm mna a =（m 、n 都是正整数） 注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法 练习： 1、计算：①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算 指数运算种类同底数幂乘法 乘法 加法 幂的乘方 乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。
用式子表示为：()n n nb a b a ⋅=⋅(n 是正整数)扩展p n m p n m a a a a -+=÷⋅()np mp pn mb a b a= (m 、n 、p 是正整数)提高训练 1.填空(1) (1/10)5 ×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2 ) 3 = (4) 0.5 -2 =(5) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 = 2.选择题(1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1B. (－a )n = － a n n 是奇数C. n 是偶数 , (－ a n ) 3 = a 3nD. 若a ≠0 ,p 为正整数, 则a p =1/a -p (2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( )A. x -10B. - x -10C. x -12D. - x -12 (3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )A. 1.5B. 6C. 9D. 8 3.计算题(1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0 = = (2) (-2 a ) 3 ÷a -2 = (3) 2×2m+1÷2m =(4) 已知:4m = a , 8n = b , 求: ① 22m+3n 的值.② 24m-6n 的值.。
幂的运算方法总结
幂的运算方法总结幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：①am×an=am+n②(am)n=amn③(ab)m=ambm④am÷an=am-n只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。
问题1、"已知a7am=a3a10，求m的值。
思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。
方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。
方法原则：可用公式套一套。
但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。
问题2、"已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。
思路探索：(x2y)3n中没有xn和yn，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有xn和yn的运算。
因此可简解为，(x2y)3n=x6ny3n=(xn)6(yn)3=26×33=1728方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。
方法原则：整体不同靠一靠。
然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？问题3、"已知a3=2,am=3,an=5，求am+2n+6的值。
思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。
简解：am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3×25×4=300方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。
方法原则：逆用公式倒一倒。
当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？问题4、"已知22x+3－22x+1=48，求x的值。
思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。
由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。
简解：22x+3－22x+1=22x×23－22x×21=8×22x－2×22x=6×22x=48∴22x=8∴2x=3∴x=1."5方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。
幂的运算(知识点串讲)(解析版)
专题15 幂的运算知识网络重难突破知识点一整式乘法幂的运算性质（基础）：a m·a n＝a m＋n（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【同底数幂相乘注意事项】1）底数为负数时，先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
典例1（2019·新蔡县期末）若2x=5，2y=3，则22x+y=_____．【答案】75【详解】∵2x=5，2y=3，∴22x+y=（2x）2×2y=52×3=75，故答案为：75．典例2（2017·洪泽县期中）已知，则x的值为____________.【答案】6【解析】把因数的底数都转化为2，再运用同底数幂的乘法法则，所以：，则有3x+5=23，解得x=6.故答案是：6.典例3（2018·台州市期末）已知，则n的值是________________．【答案】5【解析】详解:∵，∴，∴，∴n+3=8，∴n=5.故答案为：5.●(a m)n＝a mn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时，偶次方结果为正，奇次方为负，负号在括号外结果都为负。
典例1（2018·长春市期末）若，，则的值为_____.【答案】18【详解】∵x m=2，x n=3，∴x m+2n=x m x2n=x m（x n）2=2×32=2×9=18；故答案为：18．典例2（2019·中山市期末）已知m+2n+2＝0，则2m•4n的值为_____．【答案】【详解】∵m+2n+2＝0，∴m+2n=-2，∴2m•4n=2m•22n=2m+2n=2-2=.故答案为：典例3（2019·襄樊市期末）若，则的值是_______．【答案】32【详解】8x×16y＝（23）x×（24）y＝23x×24y＝23x＋4y＝25＝32．故答案为：32●(ab)n＝a n b n（n为正整数）积的乘方等于各因式分别乘方，再把所得的幂相乘．典例1（2019·富阳市期末）（－2）2018×（－）2019=____________。
幂的运算性质
幂的运算性质
在代数中，幂是一种常见的数学运算符号，表示一个数的某个整数次方。
幂的运算性质在数学中起着重要的作用，掌握这些性质可以帮助我们更好地理解数学中的运算规律和关系。
本文将介绍幂的运算性质，包括乘法法则、除法法则、幂的零次和一次幂、幂的乘方法则以及幂的幂等法则等内容。
乘法法则
•相同底数幂相乘：两个幂的底数相同，指数相加。
–$a^m \\times a^n = a^{m+n}$。
•幂的指数次幂：一个幂的指数乘以另一个幂的指数。
–(a m)n=a mn。
除法法则
•相同底数幂相除：两个幂的底数相同，指数相减。
–$\\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。
幂的零次和一次幂
•零次幂：任何非零数的零次幂均等于1。
–a0=1。
•一次幂：任何数的一次幂等于该数本身。
–a1=a。
幂的乘方法则
•幂的乘方：幂的乘方即为底数相同且指数相乘。
–(a m)n=a mn。
幂的幂等法则
•幂的幂：在幂的乘方中，指数的幂即为幂的乘方结果。
–a m n=a mn。
通过学习和理解幂的运算性质，我们不仅可以更加灵活地运用幂运算，还可以在解决数学问题时更加便捷地进行推导和计算。
希望本文对读者有所帮助。
幂的基本运算
第一讲：幂的运算（1）
定义：形如am(a≠0)的整式叫做幂，表示m个man= aa…aa…a=am+n
同底数幂的乘法法则：
am•an＝______（m、n都是正整数）
ambm= aa…ab…b
=(ab)(ab)…(ab)(ab)
=(ab)m
(an)m= anan…anan
拓展：am•an•…ap=am+n+…+p
(ab)n=anbn(m、n为正整数)积的乘方等于乘方的积
拓展：(ab…c)n=anbn…cn
(am)n=amn(m、n为正整数)幂的乘方，底数不变，指数相乘
拓展：[(am)n]p=amnp
同底数幂的除法法则：
am÷an＝am-n（m、n都是正整数）
拓展：am÷an÷…÷ap=am-n-…-p
=a…aa…aa…aa…a
=amn
(ab)n=anbn(m、n为正整数)
积的乘方等于乘方的积
(am)n=amn(m、n为正整数)
幂的乘方，底数不变
指数相乘
1、 (1)若a3•am =a9,则m=
(3)(a3)4=
.
2、若x+y=3,则2x•2y的值为
. (2)若32•27 =3n,则n=
(4)若xy=3,则x3y3=
.
.
.
3、(1)若x+2y-4=0,则22y•2x-2的值为
.
(2) 若x,y均为正整数，且2x+1•22y=128 ,则x+y的值为
.
4、(1)若2x+3y-4=0,则9x-1•27y的值为
(2) 若2×8x×16x=222则x的值为
.
.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
幂的运算
1、什么是幂
幂指乘方运算的结果.
m n 指将n 自乘m 次.把m n 看作乘方的结果,叫做n 的m 次幂。
其中,n 称为底,m 称为指数（写成上标）。
由幂的定义可以看出幂是乘方运算的结果而不是运算的过程。
m n 的亦可视为1×n ×n ×n...×n
（注共m 个n 相乘）即起始值1（乘法的单位元）乘底数的指数次幂。
这样定义了后,很易想到如何一般指数为0和负数的情况︰
除了0之外所有数的零次方都是1,即n 0=1（n ≠0）；
指数为负数的幂定义为m
n - = m n 1； 分数为指数的幂定义为n m a = n m a 。
2、幂的运算
2.1、幂的运算公式
同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a +
幂的乘方：n m a )(=mn a
同指数幂的乘法：m b a )(⨯=m a ×m b
同底数幂相除：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0)
这些公式也可以这样用：
)(n m a += m a ×n a
mn a =n m a )(
m a ×m b =m b a )(⨯
)(n m a -= m a ÷n a (a ≠0)
2.2幂的运算公式的运用
运用幂的运算公式前应先知道这些公式是怎么得来的，观察幂的运算公式有什么特点，这样才能更好的运用公式。
幂的运算公式都是由幂的定义推导而来，是为了方便特殊情况幂的运算。
2.2.1幂的运算公式推导
2.2.1.1同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a +
因为：m a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）；
n a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）；
m a ×n a 由幂的定义为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）｝×｛a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）}为m+n 个a 相乘即)(n m a +；
所以：m a ×n a =)(n m a +
2.2.1.2幂的乘方：
n m a )(=mn a 因为：n m a )(由幂的定义为m a ×m a ×m a ...×m a (n 个m a 相乘）
其中m
a 由幂的定义为a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）
即n m a )(由幂的定义也可以为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}×...｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}(注：共n 个｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}）
所以：n m a )(=mn a
2.2.1.3同指数幂的乘法：m b a )(⨯=m a ×m b 因为：m b a )(⨯由幂的定义为(a ×b)×(a ×b)×(a ×b)×...×(a ×b)(共m 个a ×b 相乘）=a ×b ×a ×b ×a ×b ×...×a ×b(共m 个a ×b 相乘）=a ×a ×a ×...a(共m 各a 相乘）×b ×b ×b ×...b(共m 各a 相乘)
所以：m b a )(⨯=m a ×m b
2.2.1.4同底数幂相除：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0)
因为：当a=0时n a 意义；
当a ≠0时，m a ÷n a 由幂的定义为｛a ×a ×a ×...a(m 个a 相乘）}÷｛a ×a ×a ×...a(n 个a 相乘）}
所以：m a ÷n a =)(n m a - (a ≠0)
2.2.2幂的运算公式运用选择
运用幂的公式前我们应当清楚幂的公式的特点即使用的条件。
我们通过公式的推导和公式可以看出幂的公式是针对幂的相乘、相处、乘方。
只有当幂的运算是相乘、相处、乘方时，我们在考虑其是否满足要求。
当满足幂的运算是相乘、相处、乘方的要求是，我们应观察幂是否同底、同指、乘方，如满足在根据特征选取相应的公式进行计算。
2.2.2幂的运算公式运用举例
例1计算2×32×62
解：2×32×62=)631(2++=102
注：通过观察这是幂的相乘运算我们可以运用幂的运算公式计算；我们可以发现相乘的幂的底数相同都为x 2，我们选用同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a +进行运算。
例2 计算3)(y x -×2)(x y -×4)(y x -
解：3)(y x -×2)(x y -×4)(y x -=)43()(+-y x ×2)(x y -=7)(y x -2)(x y -
注：通过观察这是幂的相乘运算我们可以运用幂的运算公式计算；我们可以发现相乘的幂的底数不是完全都相同分为（x-y)和(y-x),其中3)(y x -和4)(y x -的底数相同都为（x-y)我们选用同底数幂的乘法m a ×n a =)(n m a +进行运算，但是2)(x y -的底数相同都为(y-x)，我们不能使用公式。
观察时应注意不可将（x-y)和(y-x)看成相同使用公式造成错误。
3、幂运算法则口诀
同底数幂的乘法：底数不变，指数相加；
同底数幂的除法：底数不变，指数相减；
同指指幂的乘法：指数不变，底数的指数次幂相乘；
幂的指数乘方：底数不变，指数相乘。