直线与圆专题
直线与圆专题
直线与圆(小题)热点一 直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x 轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0). (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(A 2＋B 2≠0).例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( )A.1B.－2C.1或－2D.－32答案 A解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意. ②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得⎩⎪⎨⎪⎧－11＋m ＝－m 2，21＋m ≠－2解得m ＝1.综上可得m ＝1.(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0答案 C解析 如图所示可知A(2，0)，B(1,1)，C(0，2)，D(－1,1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝1－01－2(x－2)，y＝(1－2)x＋2，y＝(2－1)x＋ 2.整理为一般式即x＋()2－1y－2＝0，()1－2x－y＋2＝0，()2－1x－y＋2＝0.故选C.跟踪演练1 (1)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α等于( )A.23B.±35C.－35D.35答案 D解析因为l1⊥l2，所以sin α－3cos α＝0，所以tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin2α＋cos2α＝2tan α1＋tan2α＝35.(2)已知直线l经过直线l1：x＋y＝2与l2：2x－y＝1的交点，且直线l的斜率为－23，则直线l的方程是( )A.－3x ＋2y ＋1＝0B.3x －2y ＋1＝0C.2x ＋3y －5＝0D.2x －3y ＋1＝0答案 C解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以两直线的交点为(1,1). 因为直线l 的斜率为－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0. 热点二 圆的方程及应用 1.圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆.3.解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________. 答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，则△FPM 的外接圆的方程为________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±4332＋(y －1)2＝163 解析 由抛物线方程x 2＝4y ，可知 准线方程为y ＝－1，F (0,1)，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x 24， ∵|PM |＝|PF |，由抛物线定义，可知PM 垂直于准线，可得M (x ，－1)， 又|PM |＝|MF |，可得x 24＋1＝x 2＋4，解得x 1＝23，x 2＝－23，当x ＝－23时，P (－23，3)，M (－23，－1)， △FPM 为等边三角形⇒△FPM 外接圆圆心与重心重合，∴外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＋03，3－1＋13，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，1，外接圆半径为r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－433＋232＋1＋12＝433， 同理可得当x ＝23时，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫433，1，半径为433， ∴外接圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±4332＋(y －1)2＝163. 跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( )A.－1B.1C.±1 D .0 答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1. 则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称， ∴直线y ＝x 经过圆心， ∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不合题意， ∴k ＝－1.(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________________. 答案 x 2＋(y －3)2＝10解析 ∵P (3,4)为C 上一点，9m －162＝1，解得m ＝1，则B (1,0)，∴k PB ＝42＝2，PB 的中垂线方程为y ＝－12(x －2)＋2，令x ＝0，则y ＝3， 设外接圆圆心为M (0，t )，则M (0,3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10， ∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法.(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.3.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.例3 (1)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 21(r 1>0)，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 22(r 2>0)，圆C 1与圆C 2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r 1r 2为________. 答案7225解析 根据题意作出如下图形：AB 为两圆的公切线，切点分别为A ，B .当公切线AB 与直线C 1C 2平行时，公切线AB 斜率不为7， 即r 1≠r 2，不妨设r 1<r 2， 过C 1作EC 1∥AB ，交AC 2于点E ， 则|EC 2|＝r 2－r 1，|AB |＝|EC 1|， |C 1C 2|＝2＋12＋2＋12＝32＝r 1＋r 2，直线C 1C 2的斜率为k ＝2＋12＋1＝1，又k AB ＝7，所以直线AB 与直线C 1C 2的夹角的正切值为tan α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－71＋7＝34.在直角三角形EC 1C 2中，|EC 2||EC 1|＝34，所以|EC 1|＝43(r 2－r 1)，又|EC 1|2＋|EC 2|2＝|C 1C 2|2，整理得⎣⎢⎡⎦⎥⎤43r 2－r 12＋(r 2－r 1)2＝(r 1＋r 2)2，解得4r 1＝r 2， 又32＝r 1＋r 2， 解得r 1＝325，r 2＝1225， 所以r 1r 2＝325×1225＝7225. (2)(2019·淄博模拟)已知直线l ：y ＝－2x －m (m >0)与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，直线l 与圆C 相交于不同两点M ，N .若|MN →|≤2|CM →＋CN →|，则m 的取值范围是( ) A.[5，5) B.[2,55－3) C.(5,55) D.(3，2)答案 B解析 圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝25， ∴C (1,1)，圆C 半径r ＝5， 若|MN →|≤2|CM →＋CN →|， 则|MN →|2≤4|CM →＋CN →|2，即|MN →|2≤4|CM →|2＋4|CN →|2＋8CM →·CN →， ∴|MN →|2≤100＋100＋8|CM →|·|CN →|cos∠MCN ， ∴|MN →|2≤100＋100＋200×25＋25－|MN →|250，∴|MN →|≤45，设圆心C 到直线y ＝－2x －m 的距离为d ， 则2r 2－d 2＝225－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋m |52≤45，解得m ≥2(舍负)，又直线y ＝－2x －m 与圆C 相交，可得d <r ， 即|3＋m |5<5⇒m <55－3，综上所述m 的取值范围是[2,55－3).跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A.10 B.4 3 C.8 D.215 答案 D解 设圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，而r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822，∴圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 222＋(y －a )2＝a 44＋16，当y ＝0时，得x 2－a 2x ＋a 2－16＝0， 设圆与x 轴的两个交点的横坐标为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2－16， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 4－4a 2＋64＝a 2－22＋60≥60＝215.(2)(2019·绵阳诊断)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 D解析 公共弦的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0， 所以有2ax 1＋2by 1－a 2－b 2＝0，②正确； 又2ax 2＋2by 2－a 2－b 2＝0，所以a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，①正确；AB 的中点为直线AB 与直线C 1C 2的交点，又AB ：2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，C 1C 2：bx －ay ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，bx －ay ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2，y ＝b2.故有x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，③正确.真题体验1.(2018·全国Ⅲ，理，6)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[2，32] D.[22，32]答案 A解析 设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得|AB |＝22，所以△ABP 面积的最大值为12|AB |·d max＝6，△ABP 面积的最小值为12|AB |·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6].2.(2016·全国Ⅱ，理，4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A.－43B.－34 C. 3 D.2答案 A解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1，解之得a ＝－43. 3.(2019·浙江，12)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案 －25解析 方法一 设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0，令x ＝0，得y ＝－2，∴m ＝－2，则r ＝－2－02＋－1＋22＝ 5.方法二 因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－－2×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝－2－02＋－1＋22＝ 5.押题预测1.已知直线x －ay ＝0与圆x 2＋(y ＋4)2＝9相切，则实数a 等于( ) A.377 B.－377 C.±377 D.97答案 C解析 直线x －ay ＝0与圆x 2＋(y ＋4)2＝9相切， 即圆心(0，－4)到直线的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，得|4a |1＋a2＝3，化简得a ＝±377.2.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0).故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22， 解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102. 3.甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为b ，乙的众数为a ，且直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°，则圆A 的标准方程为________.答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1817解析 由题意知，甲的平均数b 为20＋22＋23＋314＝24，乙的众数a 是40，∴直线ax ＋by ＋8＝0，即5x ＋3y ＋1＝0，A (1，－1)到直线的距离为|5－3＋1|52＋32＝334，∵直线ax ＋by ＋8＝0与以A (1，－1)为圆心的圆交于B ，C 两点，且∠BAC ＝120°， ∴r ＝634，∴圆A 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1817.A 组 专题通关1.(2019·衡水质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( ) A.45° B .135° C .30° D .150° 答案 B解析 由题意得k ＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1， 故倾斜角为135°.2.(2019·黄冈调研)过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A.y －x ＝1B.y ＋x ＝3C.2x －y ＝0或x ＋y ＝3D.2x －y ＝0或y －x ＝1答案 D解析 当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0， 当直线不过原点时，设方程为x a ＋y－a＝1，代入点(1,2)可得1a －2a＝1，解得a ＝－1，方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为y ＝2x 或y －x ＝1.3.(2019·东北三省三校模拟)设直线y ＝x －2与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则圆O 的面积为( ) A.π B .2π C .4π D .8π 答案 C解析 圆O ：x 2＋y 2＝a 2的圆心坐标为(0,0)，半径为|a |， ∵直线y ＝x －2与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点， 且|AB |＝23，又圆心(0,0)到直线y ＝x －2的距离d ＝|2|2＝1，∴1＋3＝a 2，解得a 2＝4，圆的半径r ＝|a |＝2， ∴圆的面积S ＝4π.4.(2019·湘赣十四校联考)圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝9上到直线x ＋y ＝0的距离等于2的点有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 答案 A解析 如图，圆的圆心为(－2,3)，半径为3，圆心到直线的距离d ＝|－2＋3|2＝22， 可知2－22<3,2＋22<3， 由图可知，圆上到直线距离等于2的点共有4个.5.(2019·黄山质检)直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的长度的比值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析 令x ＝0代入2x －y －3＝0可得P (0，－3)， 又圆心坐标为(－1,0)，半径为6， 则P 与圆心的距离为1＋3＝2，可知较长一段的长度为8，较短一段的长度为4，则较长一段与较短一段长度的比值等于2.6.若直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5B.5C.2 5D.10 答案 B解析 由直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ，知直线ax ＋by ＋1＝0必过圆M 的圆心， 由圆的方程可得圆心为M (－2，－1)， 代入ax ＋by ＋1＝0中，可得2a ＋b －1＝0.(a －2)2＋(b －2)2表示点(2,2)与直线2a ＋b －1＝0上的点(a ，b )的距离的平方. 点(2,2)到直线2a ＋b －1＝0的距离d ＝|2×2＋2×1－1|5＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.7.(2019·河北省五个一名校联盟诊断)已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0， －6)，B (4,0)，则|PA →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C.226＋4 D.226＋2答案 C解析 取AB 中点D (2，－3)， 则PA →＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|， 又由题意知，圆C 的圆心C (1,2)，半径为2，|PD →|的最大值为圆心C (1,2)到D (2，－3)的距离d 再加半径r ， 又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2， ∴|2PD →|的最大值为226＋4， 即|PA →＋PB →|的最大值为226＋4.8.(2019·菏泽模拟)已知点P 是直线l ：3x ＋4y －7＝0上的动点，过点P 引圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝r 2(r >0)的两条切线PM ，PN .M ，N 为切点，当∠MPN 的最大值为π3时，则r 的值为( )A.4B.3C.2D.1 答案 D解析 结合题意，绘制图象如图，可知当∠MPN 取到最大值时， 则∠MPC 也取到最大值， 而sin∠MPC ＝MC PC ＝r PC， 当PC 取到最小值时，∠MPC 取到最大值， 故PC 的最小值为点C (－1,0)到直线l 的距离d ， 故d ＝|3×－1＋0－7|32＋42＝2，故r PC ＝r 2＝sin π6＝12，解得r ＝1. 9.(2019·宝鸡模拟)设D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0,2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 2＋(y －2)2＝20 B.x 2＋(y －2)2＝5 C.x 2＋(y ＋2)2＝20 D.x 2＋(y ＋2)2＝5答案 C解析 由题意，得|PA |＝|PD |＋|DA |＝|DB |＋|DA |， 又点D 为椭圆x 2＋y 25＝1上任意一点，且A (0，－2)，B (0,2)为椭圆的两个焦点， ∴|DB |＋|DA |＝25， ∴|PA |＝25，∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为25的圆， ∴点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.10.(2019·德阳模拟)已知点P (－3,0)在动直线m (x －1)＋n (y －3)＝0上的投影为点M ，若点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，那么|MN |的最小值为( ) A.2 B.32 C.1 D.12答案 D解析 因为动直线方程为m (x －1)＋n (y －3)＝0， 所以该直线过定点Q (1,3)， 所以动点M 在以PQ 为直径的圆上， 所以圆的半径为121＋32＋32＝52，圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32， 所以点N 到圆心的距离为2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－322＝3， 所以|MN |的最小值为3－52＝12.11.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x ＋2y －4＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线分别为PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫34，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 答案 B解析 设P (4－2m ，m ).∵PA ，PB 是圆C 的切线，A ，B 为切点， ∴CA ⊥PA ，CB ⊥PB ，∴AB 是圆C 与以PC 为直径的圆的公共弦.易知以PC 为直径的圆的方程为[x －(2－m )]2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝(2－m )2＋m 24，①圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，②①－②得直线AB 的方程为2×(2－m )x ＋my ＝1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋m (y －2x )＝0，∴直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12. 12.(2019·南昌模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，AP →＝PQ →，过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，则M的横坐标的取值范围是( ) A.|x|≥1 B.|x|>1C.|x|≥2D.|x|≥2 2答案 A解析设P(x0，y0)，则Q(2x0＋3，2y0)，当y0≠0时，k AP＝y0x0＋3，k PM＝－x0＋3y0，k QB＝2y02x0＋3－3＝y0 x0，直线PM：y－y0＝－x0＋3y0(x－x0)，①直线QB：y－0＝y0x0(x－3)，②又P在圆上，∴x20＋y20＝1，③联立①②③消去y得x＝3＋x01＋3x0，∴x0＝x－31－3x，由|x0|<1，解得|x|>1，当y0＝0时，点P，M重合，易求得|x|＝1.综上，|x|≥1.13.(2019·福建四校联考)已知直线3x＋4y－3＝0,6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________.答案 2解析因为直线3x＋4y－3＝0,6x＋my＋14＝0平行，所以3m－4×6＝0，解得m＝8，所以6x＋my＋14＝0即是3x＋4y＋7＝0，由两条平行线间的距离公式可得d＝|7＋3|32＋42＝2.14.(2019·天津市十二重点中学联考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线3x ＋4y＋4＝0均与圆C相切，则圆C的标准方程为________.答案(x－2)2＋y2＝4解析设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r>0，故由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b ＝0，|a |＝r ，|3a ＋4b ＋4|5＝r ，解得a ＝2，b ＝0，r ＝2，则圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.15.(2019·湖北省部分重点中学联考)已知O 为原点，过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32的直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为2，则直线l 的方程为________.答案 x ＝1或5x ＋12y ＋13＝0解析 ①当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝1， 则圆心O (0,0)到直线l 的距离为1， 所以|AB |＝252－1＝4，故S △AOB ＝12×4×1＝2，所以直线x ＝1满足题意. ②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＋32＝k (x －1)，即2kx －2y －2k －3＝0，所以圆心O (0,0)到直线l 的距离d ＝|2k ＋3|2k 2＋1， 故|AB |＝252－d 2＝25－d 2，因为S △AOB ＝12|AB |d ＝2，所以5－d 2·d ＝2，整理得d 4－5d 2＋4＝0，解得d ＝1或d ＝2. 当d ＝1时，|2k ＋3|2k 2＋1＝1， 解得k ＝－512；当d ＝2时，|2k ＋3|2k 2＋1＝2，此方程无解. 故直线方程为y ＋32＝－512(x －1)，即5x ＋12y ＋13＝0.综上可得所求直线方程为x ＝1或5x ＋12y ＋13＝0.16.(2019·辽宁省六校联考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________.答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析 ∵圆心为(0,0)，半径r ＝1， 设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形， 故有|PO |＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离d ≤2， 即|2|1＋k2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.B 组 能力提高17.若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是________. 答案 [6，＋∞) 解析||3x －4y －9表示圆上的点到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，||3x －4y ＋a 表示圆上的点到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，因为||3x －4y ＋a ||＋3x －4y －9的取值与x ，y 无关，即圆上的点到直线l 1，l 2的距离和与圆上点的位置无关，又易知直线l 1与圆相离，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，如图所示，所以圆心(1,1)到l 2的距离d ＝||3－4＋a 5≥1，并且a >0，解得a ≥6.18.已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)且|AB |＝2，过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2.其中正确结论的序号是________. 答案 ①②③解析 如图，根据题意，利用圆中的特殊三角形，可求得圆心及半径，即得圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，并且可以求得A (0，2－1)，B (0，2＋1)，因为M ，N 在圆O ：x 2＋y 2＝1上，所以可设M (cos α，sin α)， N (cos β，sin β)，所以|NA |＝cos β－02＋[sin β－2－1]2＝22－12－sin β， |NB |＝cos β－02＋[sin β－2＋1]2 ＝22＋12－sin β， 所以|NA ||NB |＝2－1， 同理可得|MA ||MB |＝2－1， 所以|NA ||NB |＝|MA ||MB |， |NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2， |NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22， 故①②③都正确.。
专题9.2---直线与圆的位置关系--学生版
专题9.2直线与圆的位置关系练基础1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（）A．1B．2C．3D．43．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（）．A ．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．75.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（）A ．3B ．C ．1D ．-6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．练提升1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +122.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O :x 2+y 2=4，以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ，E 两点，则 AED 面积的最大值为_______.7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC 面积的最小值.10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．练真题1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A ．±1B ．C ．D ．2±3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A．210x y --=B．210x y +-=C．210x y -+=D．210x y ++=4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．。
直线与圆的位置关系专题
1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明．2.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE，OF∥BN．(1)求证：DE与⊙O相切；1（2）求证：OF=CD23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AE=2，DE=1cm，求BD的长．4.如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．（1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．5.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，∠A=∠D=30°．（1）判断DC 是否为⊙O 的切线，并说明理由；（2）证明：△AOC ≌△DBC ．6.如图，在△ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D（1）试判断直线AC 与⊙D 的位置关系，并说明理由；（2）若点E 在AB 上，且DE=DC ，当AB=3，AC=5时，求线段AE 长．7.如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，且OP ∥BC ，∠P=∠BAC ．（1）求证：PA 为⊙O 的切线；（2）若OB=5，OP=325，求AC 的长．8.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ．（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线；（2）若BC=52，sin ∠BCP=55，求⊙O 的半径及△ACP 的周长。
直线与圆的位置关系(专题一)
直线与圆的位置关系一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O 上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【】A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACP=【】A．30 B．45 C．60 D．67.5第2题第3题3．如图，AB是弦，BC与⊙O相切于点B，若∠ABC=70°，则∠A等于【】A．15°B．20°C．30°D．70°4．⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是【】A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交5．如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OA=1，∠AOB=600，则阴影面积是【】A16π-B13πC16πD13π-6．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，则【】A．EF>AE+BF B．EF<AE+BFC．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF第5题第6题7．如图，线段AB为直径，直线CD与圆相切于点D，交BA的延长线于C，AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动．当∠APB 的度数最大时，则∠ABP等于【】A．15°B．30°C．60°D．90°8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y x=与⊙O的位置关系是【】A．相离B．相切C．相交D．以上三种情况都有可能第7题第8题9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，如果∠ABC=120°，OC=3，则弧BC的长为【】A．πB．2πC．3πD．5π10．如图，PA、PB与⊙O相切于A、B，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是【】A．80°B．110°C．120°D．140°第9题第10题11．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O半径为【】A．8 B．6 C．5 D．412．如图，AD切⊙O于点A，弧EC=CB，则下列结论不一定正确的是【】A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE=2∠CAE D．OD⊥AC二、填空题1．如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为cm．2．如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝．3．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，若∠ACB＝70°，那么∠P的度数是．4．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE=．5．把如图所示的长方体切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积是．6．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧 BC的长为cm．第5题第6题7．如图所示，⊙O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧EFH上异于E、H的点．若∠A=50°，则∠EPH= ．8．如图，PA，PB且⊙O于A、B，AC是⊙O的直径，∠P=46°，则∠BAC= ．9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB=8，则S阴影= ．10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．11．如图所示，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是．12．如图，⊙O 与Rt△ABC两边AB、BC 分别相切与点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任意一点P作⊙O的切线MN，若⊙O的半径为r，那么△MBN的周长为．三、解答题：1．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（1）如图①，若∠BAC=250，求∠AMB；（2）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于D，若BD=MA，求∠AMB．2．如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN ⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若⊙O半径为3，PA=9，求OM的长．3．如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，AB=8cm ．求圆O的直径．4．如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．5．如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF，交⊙O于点C，连接BD．(1) 求证：BD平分∠ABH；(2) 如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．6．如图，△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sinA=12，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC 上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO．求BD的长．9．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D 在圆上，点E在圆外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．10．如图所示，在四边形ABCD中，∠DAE=∠ABC= 90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G．设AD=a，BC =b．（1）求CD的长度（用a，b表示）；（2）求EG的长度（用a，b表示）；（3）判断EG与FG的关系，并说明理由．11．如图，AB是直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC＝CD＝2，求⊙O的直径．12．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作它的切线交AB的延长线于点D，∠D＝30º．(1) 求∠A的度数；(2) 过点C作CF⊥AB于点E，交⊙O于点F，CF＝43，求弧BC的长度．13．如图，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O 的直径，点A为CD延长线上一点，BC=AB，∠CAB=30°．（1）求证:AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弧BD的长．14．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．(1) 求证：AC平分∠DAB；(2) 若∠B＝60º，CD＝23，求AE长．15．如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=52，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使得△QAC 是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．。
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系专题已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。
例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。
法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，∵点P在圆O内，∴直线L与圆O相交。
法二：圆心O到直线L的距离为当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，∴14m2+4m+17>0∴m∈R所以直线L与直线O相交。
法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)当m≠1时，△>0，直线与圆相交；当m=1时，直线L：，此时直线L与圆O相交综上得直线L与圆O恒相交。
[评]法二和法三是判断直线与圆位置关系的方法，但计算量偏大；而法一是先观察直线的特点再结合图，避免了大量计算，因此体现了数形结合的优点。
例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值解：如图，直线L过圆心，且与直线3x+4y=25垂直于点M，此时，l与圆有两个交点A、B，∵原点到直线3x+4y=25的距离|OM|=5，∴圆上的点到直线3x+4y=25的距离的最大值为：|AM|=|OM|+r=5+1=6最小值为：|BM|=|OM|-r=5-1=4[评]本题是几何做法，充分体现了它计算量小的优势。
2．切线问题：例3：(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)法一：∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴当x0≠0且y0≠0时，∴切线方程为当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。
专题16 直线与圆的位置关系(解析版)
专题16 直线与圆的位置关系考点一直线与圆的位置关系1.已知集合P＝{(x,y)|y=−√25−x2,x,y∈R}，Q＝{（x，y）|y＝x＋b，x，y∈R}，若P∩Q≠∅，则实数b的取值范围是（）A. [－5,5]B. （－5√2，5）C. [－5√2，5]D. [－5√2，5√2]【答案】C【解析】集合P表示以原点为圆心，5为半径的圆的下半部分上的点，集合Q表示直线y＝x＋b上的点.因为P∩Q≠∅，所以两个曲线有交点.由图可知，当直线y＝x＋b经过点（－5,0）时，两曲线开始有交点，此时b＝5.当b逐渐减小时，直线与曲线一直有交点，直到直线y＝x＋b与半圆相切，此时＝5，解得b＝±5√2.√2由图判断，b＝－5√2.所以－5√2≤b≤5，故选C.2.若圆（x－1）2＋（y＋1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x＋3y＝11的距离等于1，则半径R的取值范围是（）A.R＞1B.R＜3C. 1＜R＜3D.R≠2【答案】C【解析】依题意可得，直线与圆可能相交，相切或相离.若直线4x＋3y＝11与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝R2相离，则圆上的点到直线的最小距离应小于1，即圆心到直线的距离d∈（R,1＋R），从而有R＜105＜1＋R，解得1＜R＜2.若直线4x＋3y＝11与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝R2相切，则R＝105＝2.若直线4x＋3y＝11与圆相交，则圆上的点到直线的最小距离应小于1，即圆心到直线的距离d∈（R－1，R），从而有R－1＜105＜R，解得2＜R＜3.综上可得1＜R＜3，故选C.3.直线y＝x＋b与曲线x＝√1−y2有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（）A. {b|b＝±√2}B. {b|－1＜b≤1或b＝－√2}C. {b|－1≤b≤√2}D. {b|－√2＜b＜1}【答案】B【解析】y＝x＋b是斜率为1的直线，曲线x＝√1−y2是以原点为圆心、1为半径圆的右半圆，画出它们的图象如图所示，由图可以看出，直线与曲线有且仅有一个公共点有两种情况：当b＝－√2时，直线与曲线相切；当－1＜b≤1时，直线与曲线相交且有唯一公共点.4.若直线xa ＋yb＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则（）A.a2＋b2≤1B.a2＋b2≥1C.1a2＋1b2≤1D.1a2＋1b2≥1【答案】D【解析】由于直线与单位圆有公共点，所以圆心到直线的距离d小于等于半径r，即d＝√1a2＋1b2≤r＝1，解得1a2＋1b2≥1，故选D.5.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”.已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：2x－y＋a2＋1＝0和圆：x2＋y2＋2x－4＝0相切，则实数a的取值范围是（）A.a＞7或a＜－3B.a＞√6或a＜－√6C. －3≤a≤－√6或√6≤a≤7D.a≥7或a≤－3【答案】C【解析】当两平行直线和圆相交时，有{√5<√5, 2√5<√5,解得－√6＜a＜√6，当两平行直线和圆相离时，有{√5>√5, 2√5>√5,解得a＜－3或a＞7.故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求.故所求的a 的取值范围是－3≤a ≤－√6或√6≤a ≤7，故选C.6.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”，否则称为“平行相交”.已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋（a ＋1）y ＋6＝0，和圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1（b ＞0）的位置关系是“平行相交”，则b 的取值范围为（ ） A. （√2，3√22）B. （0，√2）C. （0，3√22）D. （√2，3√22）∪（3√22，＋∞）【答案】D【解析】圆C 的标准方程为（x ＋1）2＋y 2＝b 2，由两直线平行可得a （a ＋1）－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，又当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去，此时两平行线方程分别为x －y －2＝0和x －y ＋3＝0.由直线x －y －2＝0与圆（x ＋1）2＋y 2＝b 2相切，得b ＝√2＝3√22，由直线x －y ＋3＝0与圆相切，得b ＝√2＝√2，当两直线与圆都相离时，b ＜√2，所以“平行相交”时，b 满足{b ≥√2,b ≠√2,b ≠3√32,故b 的取值范围是（√2，3√22）∪（3√22，＋∞）.7.设集合A ＝{（x ，y ）|m2≤（x －2）2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }，B ＝{（x ，y ）|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是（ ） A.√2－2≤m ≤1 B. 0＜m ＜2＋√2C.m＜2－√2或m＞1D.m＜12或m＞2＋√2【答案】D【解析】显然B≠∅.①当A＝∅时，则m2＞m2，解得0＜m＜12；②当A≠∅时，若A∩B＝∅，则圆(x−2)2＋y2＝m2(m≠0)与直线x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1没有交点，即√2＞|m|或√2＞|m|，∴m＜2−√22或m＞2＋√2.综上所述，满足条件的实数m的取值范围为m＜12或m＞2＋√2.8.（1）已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝√1−x2有两个不同的公共点，求实数b的取值范围；（2）若关于x的不等式√1−x2＞x＋b解集为R，求实数b的取值范围.【答案】（1）如图（数形结合），方程y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线l，方程y＝√1−x2表示单位圆在x轴上及其上方的半圆，当直线过B点时，它与半圆交于两点，此时b＝1，直线记为l1，当直线与半圆相切时，b＝√2，直线记为l2.直线l要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l在l1与l2之间（包括l1但不包括l2），所以1≤b＜√2，即所求的b的取值范围是[1，√2）.（2）不等式√1−x2＞x＋b恒成立，即半圆y＝√1−x2在直线y＝x＋b上方，当直线l过点（1,0）时，b＝－1，所以所求的b的取值范围是（－∞，－1）.考点二圆的切线问题9.由直线3x－4y＋16＝0上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为（）A. 1B. 2√2C. 2√6D. 3【答案】C【解析】圆C的方程可变为（x－3）2＋y2＝1，圆心C（3,0），半径为1.直线3x－4y＋16＝0上点到圆心C的最短距离为5，根据勾股定理，最短的切线长为√52−1＝2√6.10.在平面直角坐标系中，过动点P分别作圆C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的切线PA与PB（A，B为切点），若|PA|＝|PB|，O为原点，则|OP|的最小值为（）A. 2B.45C.35D.√5【答案】B【解析】圆C1的标准方程为（x－2）2＋（y－3）2＝4，圆C2的标准方程为（x＋1）2＋（y＋1）2＝1，|PA|2＝|PC1|2－4，|PB|2＝|PC2|2－1，由题意|PC1|2－4＝|PC2|2－1，设P（x，y），则（x－2）2＋（y－3）2－4＝（x＋1）2＋（y＋1）2－1，化简为3x＋4y－4＝0，|OP|的最小值为d＝√32+42＝45.故选B.11.若圆C的半径长为1，圆心在第一象限，与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A. （x－2）2＋（y－1）2＝1B. （x－2）2＋（y＋1）2＝1C. （x＋2）2＋（y－1）2＝1D. （x－3）2＋（y－1）2＝1【答案】A【解析】由题意可设圆心坐标为（a，b）且a＞0，b＞0.因为圆的半径长为1且圆与x 轴相切，所以b＝1，又圆与直线4x－3y＝0相切，则有（＝1，得a＝2或a＝－12（舍去）.故圆的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝1.12.平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是（）A. 2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B. 2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0C. 2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D. 2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0【答案】A【解析】设所求直线的方程为2x ＋y ＋c ＝0（c ≠1），则√22+12＝√5，所以c ＝±5，故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.13.过点P （3,1）向圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0作一条切线，切点为A ，则切线段PA 的长为______. 【答案】√3【解析】x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，∴ （x -1）2＋（y -1）2＝1，圆心为（1,1），半径为1，∴|PA |＝（＝√3.（14.从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________.【答案】√142【解析】把圆的方程化为标准式后，找出圆心坐标和圆的半径，利用图形可知，当圆心A 与直线x －y ＋3＝0垂直时，过垂足C 作圆的切线，切线长最短，切点为B ，连接AB ，根据圆的切线垂直于过切点的直径可得△ABC 为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x －y ＋3＝0的距离即为|AC |的长，然后根据半径和|AC |的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长.由于圆心（2,2），半径为1，那么可知圆心到直线的距离d ＝√2＝3√22，那么利用勾股定理可知切线长的最小值为√142. 15.已知⊙O ：x 2＋y 2＝1和定点A （2,1），由⊙O 外一点P （a ，b ）向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，满足|PQ |＝|PA |. （1）求实数a ，b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 的最小值. 【答案】（1）连接OP ，∵Q 为切点，∴PQ ⊥OQ ，由勾股定理有|PQ |2＝|OP |2－|OQ |2. 又∵|PQ |＝|PA |， ∴|PQ |2＝|PA |2，即a 2＋b 2－1＝（a －2）2＋（b －1）2， 整理，得2a ＋b －3＝0.（2）由2a ＋b －3＝0，得b ＝－2a ＋3， ∴|PQ |＝√a 2+b 2−1＝（ ＝√5a 2−12a +8＝（， ∴当a ＝65时，|PQ |min ＝2√55，即线段PQ 的最小值为2√55. 16.已知⊙O ：x 2＋y 2＝1和定点A （2,1），由⊙O 外一点P （x ，y ）向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足|PQ |＝2|PA |. （1）求动点P 的轨迹方程C ； （2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以⊙P 为圆心所做的⊙P 与⊙O 有公共点，试求P 半径取最小值时的P 点坐标. 【答案】（1）|PQ |＝2|PA |⇒√x 2+y 2−1 ＝2（⇒3（2＋3y 2－16x －8y ＋21＝0.（2）∵|PQ |＝2|PA |，∴|PQ |min ＝2|PA |min ， 而轨迹C 的方程（x －83）2＋（y －43）2＝179，圆心设为C （83，43），半径r ＝√173，而|PA |min ＝r －|AC |＝√173－（＝（，因此|PQ |min ＝（.（3）依题意若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，⊙P 半径取最小值时的P 点坐标即线段OC 与⊙C 的交点.即OC ：y ＝12x （0≤x ≤83）与⊙C 的交点， {y =12x,3x 2+3y 2−16x −8y +21=0⇔154x 2－20x ＋21＝0⇔ x ＝40−2√8515⇒y ＝20−√8515，即P （40−2√8515，20−√8515）.17.自点A （－3,3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程. 【答案】如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：（x －2）2＋（y ＋2）2＝1，其圆心C 1的坐标为（2，－2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切.设l 的方程为y －3＝k （x ＋3）， 即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则√1+k 2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0.∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.考点三圆的弦长问题18.已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，√2），则四边形ABCD的面积的最大值为（）A. 4B. 4√2C. 5D. 5√2【答案】C【解析】设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d21＋d22＝OM2＝3.|AC|·|BD|四边形ABCD的面积为S＝12＝2（≤（－（d21＋d22）＝5，当且仅当d21＝d22时取等号，故选C.19.若关于x的方程√4−x2＝kx＋2只有一个实数根，则k的值为（）A.k＝0B.k＝0或k＞1C.k＞1或k＜－1D.k＝0或k＞1或k＜－1【答案】D【解析】方程√4−x2＝kx＋2的根的个数即为y＝√4−x2与y＝kx＋2的交点的个数，由图可知，当k＝0或k＞1或k＜－1时，方程√4−x2＝kx＋2只有一个实数根.20.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点P（3,5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A. 10√6B. 20√6C. 30√6D. 40√6【答案】B【解析】如图所示，设圆的圆心为M，则M（3,4），半径r＝5.当过点P的直线过圆心M时，对应的弦AC是最长的，此时，|AC|＝2r＝10；当过点P 的直线与MP垂直时，对应的弦BD最小，此时在Rt△MPD中，|MD|＝r＝5，|MP|＝1，故|BD|＝2√|MD|2−|MP|2＝4√6.此时四边形ABCD的面积为S＝1|AC|·|BD|＝20√6，故选B.221.已知圆C：x2＋（y－3）2＝4，过A（－1,0）的直线l与圆C相交于P，Q两点，若|PQ|＝2√3，则直线l的方程为（）A.x＝－1或4x＋3y－4＝0B.x＝－1或4x－3y＋4＝0C.x＝1或4x－3y＋4＝0D.x＝1或4x＋3y－4＝0【答案】B【解析】当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x＋1），过圆C作CM⊥PQ，垂足为M，由于|PQ|＝2√3，可求得|CM|＝1.由|CM|＝√k2+1＝1，解得k＝43，此时直线l的方程为y＝43（x＋1）.故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.故选B.22.已知圆C：（x－a）2＋（y－2）2＝4（a＞0）及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2√3时，a等于（）A.√2B. 2－√2C.√2－1D.√2＋1【答案】C【解析】圆心C（a,2）到直线l的距离d＝√2＝√2，所以(√2)2＋(2√32)2＝4，解得a＝－1－√2（舍去）或a＝√2－1.故选C.23.已知P点为圆O1与圆O2的公共点，圆O1：（x－a）2＋（y－b）2＝b2＋1，圆O2：（x－c）2＋（y－d）2＝d2＋1，若ac＝8，ab ＝cd，则点P与直线l：3x－4y－25＝0上任意一点M 之间的距离的最小值为________________. 【答案】2【解析】设P （m ，n ），则（m －a ）2＋（n －b ）2＝b 2＋1⇒a 2－2ma ＋m 2＋n 2－1－2bn ＝0，令ab ＝cd ＝1t ，则a 2－（2m ＋2tn ）a ＋m 2＋n 2－1＝0，同理可得c 2－（2m ＋2tn ）c ＋m 2＋n 2－1＝0，因此a ，c 为方程x 2－（2m ＋2tn ）x ＋m 2＋n 2－1＝0的两根，由根与系数的关系得ac ＝m 2＋n 2－1＝8，m 2＋n 2＝9，从而点P 与直线l ：3x －4y －25＝0上任意一点M 之间的距离的最小值为d －r ＝255－3＝2. 24.已知⊙O ：x 2＋y 2＝1和点M （4,2）.（1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心且被直线y ＝2x －1截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q .试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）若直线l 的斜率不存在，显然不合题意； 设切线l 方程为y －2＝k （x －4），易得√k 2+1＝1，解得k ＝8±√1915. ∴切线l 方程为y －2＝8±√1915（x －4）.（2）圆心到直线y ＝2x －1的距离为√5，设圆的半径为r ，则r 2＝22＋（√5）2＝9， ∴⊙M 的方程为（x －4）2＋（y －2）2＝9.（3）假设存在这样的点R （a ，b ），点P 的坐标为（x ，y ），相应的定值为λ， 根据题意可得PQ ＝√x 2+y 2−1，∴（＝λ，即x 2＋y 2－1＝λ2（x 2＋y （－2ax －2by ＋a 2＋b 2），（*）又点P 在圆M 上，∴（x －4）2＋（y －2）2＝9，即x 2＋y 2＝8x ＋4y －11，代入（*）式得：8x ＋4y －12＝λ2[（8－2a ）x ＋（4－2b ）y ＋（a 2＋b 2－11）] 若系数对应相等，则等式恒成立， ∴{λ2(8−2a )=8,λ2(4−2b )=4,λ2(a 2+b 2−11)=−12,解得a ＝2，b ＝1，λ＝√2或a ＝25，b ＝15，λ＝√103.∴可以找到这样的定点R ，使得PQPR为定值.如点R 的坐标为（2,1）时，比值为√2；点R 的坐标为（25，15）时，比值为√103.25.已知圆心为C （－2,6）的圆经过点M （0,6－2√3）. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点P （0,5）且被圆C 截得的线段长为4√3，求直线l 的方程； （3）是否存在斜率是1的直线l ′，使得以l ′被圆C 所截得的弦EF 为直径的圆经过原点？若存在，试求出直线l ′的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）圆C 的半径为|CM |＝（＝4（ ∴圆C 的标准方程为（x ＋2）2＋（y －6）2＝16.（2）方法一 如图所示，设直线l 与圆C 交于A ，B 两点且D 是AB 的中点，则|AB |＝4√3，|AD |＝2√3且CD ⊥AB .∵圆C 的半径为4，即|AC |＝4，∴在Rt △ACD 中，可得|CD |＝√|AC|2−|AD |2＝2， 即点C 到直线l 的距离为2.（i ）当所求直线l 的斜率存在时，设所求直线的方程为y ＝kx ＋5，即kx －y ＋5＝0. 由点到直线的距离公式得（＝2， 解得k ＝34.∴此时直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.（ii ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0.将x ＝0代入（x ＋2）2＋（y －6）2＝16，得（y －6）2＝16－4＝12，y －6＝±2√3， ∴y 1＝6＋2√3，y 2＝6－2√3，|y 1－y 2|＝4√3， ∴方程为x ＝0的直线也满足题意，∴所求直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0.方法二 当所求直线l 的斜率存在时，设所求直线的方程为y ＝kx ＋5，即kx －y ＋5＝0. 联立直线与圆C 的方程{y =kx +5,x 2+y 2+4x −12y +24=0,消去y 得（1＋k 2）x 2＋（4－2k ）x －11＝0，① 设方程①的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系得{x 1+x 2=2k−41+k 2,x 1x 2=−111+k 2,② 由弦长公式得√1+k 2|x 1－x 2|＝√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]＝4√3，③将②式代入③，并解得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，仿方法一验算得方程为x＝0的直线也满足题意.∴所求直线l的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.（3）方法一假设存在直线l′满足题设条件，设l′的方程为y＝x＋m，则EF的中点N是两直线y＝x＋m与y－6＝－（x＋2）的交点，即N（4−m2，m+42），∴|CN|＝（＝（.∵以EF为直径的圆经过原点，∴OE⊥OF，∴|EN|＝|ON|＝√(4−m2)2+(m+42)2，又∵CN⊥EF，|CE|2＝|CN|2＋|EN|2，∴(4−m2)2＋(m+42)2＋(√2)2＝16，化简得m2－8m＋24＝0.∵方程m2－8m＋24＝0没有实数解，∴不存在满足题设条件的直线l′.方法二假设存在直线l′满足题设条件，并设l′的方程为y＝x＋m，点E（x3，y3），点F（x4，y4），联立直线与圆C的方程{y=x+m,x2+y2+4x−12y+24=0,消去y得2x2＋2（m－4）x＋m2－12m＋24＝0.由根与系数的关系得{x3+x4=4−m,x3x4=m2−12m+242.④∵以EF 为直径的圆经过原点，∴OE ⊥OF .若E 、F 中有一点在y 轴上，则另一点必在x 轴上，而在圆C 的方程中令y ＝0可得x 无实数解，故本情况不会出现. ∴y 3−0x3−0·y 4−0x4−0＝－1，即x 3x 4＋y 3y 4＝0，∴x 3x 4＋（x 3＋m ）（x 4＋m ）＝0， 化简得2x 3x 4＋（x 3＋x 4）m ＋m 2＝0， 以④代入并化简得m 2－8m ＋24＝0. ∵方程m 2－8m ＋24＝0没有实数解， ∴不存在满足题设条件的直线l ′.。
专题12 直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略(解析版)
专题12直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一判断直线和圆的位置关系】 (1)【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 (3)【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 (5)【考点四判断或补全使直线为切线的条件】 (7)【考点五证明某直线是圆的切线】 (9)【考点六切线的性质定理】 (13)【考点七切线的性质与判定的综合应用】 (15)【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 (22)【过关检测】 (26)【典型例题】【考点一判断直线和圆的位置关系】A．相离B．相交【答案】C⊥于点C，根据直角三角形的性质，可得【分析】过点P作PC OB∵30O ∠=︒，6OP =，∴132PC OP ==，∵以点P 为圆心的圆的半径为3，∴以点P 为圆心，半径为3的圆与OB 的位置关系是相切．【变式训练】2．（2022秋·九年级单元测试）已知O 的半径是3，点P 在O 上，如果点P 到直线l 的距离是6，那么O 与直线l 的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切或相交D ．相切或相离【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的大小关系解答．【详解】如图，当点P 与1P 重合时，O 与直线l 相切；当点P 与1P 不重合时，O 与直线l 相离，∴O 与直线l 的位置关系是相切或相离．故选：D ．【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．【考点二已知直线和圆的位置关系求半径的取值】【变式训练】【答案】15r ≤≤【分析】过M 作MH AC ⊥于H ，根据直角三角形的性质得到关系即可得到结论．∵2CM =，30ACB ∠=︒，∴112HM CM ==，∵5AM =，M 与线段AC 有交点，【考点三已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】【变式训练】【答案】1544PC <≤或3PC =【分析】根据题意可得PC 的最小值为圆Q ，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．∴PM AD ⊥，在直角梯形ABCD 中，∵AD BC ∥，∴90ABC A ∠=∠=︒，∴四边形ABPM 是矩形，∴3PM AB PC ===，【考点四判断或补全使直线为切线的条件】【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中【变式训练】【答案】1【考点五证明某直线是圆的切线】(1)求证：CD 是O (2)若60BCD ∠=︒，直径【答案】(1)见解析(2)53【分析】（1）连接OD (SAS ODC OBC ≌∵OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠．∵AD OC ∥，【变式训练】1．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，O 的半径为2，点A 是O 的直径BD 延长线上的一点，C 为O 上的一点，AD CD =，30A ∠=︒．(1)求证：直线AC 是O 的切线；∵AD CD =，30A ∠=︒∴30ACD ∠=︒∴60CDB ∠=︒∵OD OC=作CH BD ⊥于点H ，则DH =(1)求证：AF是圆O的切线；==，连接(2)点G在CE上，且BC CD CG【答案】(1)见解析(2)7【分析】（1）根据四边形ABCD内接于圆∵BC CD =，∴ BCCD =∴BOC COD ∠=∠，又OB OD=∴BN DN=【考点六切线的性质定理】【答案】3【分析】连接OC ，根据切线的性质得到90OCP ∠=︒，再根据30︒所对的直角边是斜边的一半计算即可；【详解】如图，连接OC ，∵PC 是O 的切线，∴OC CP ⊥，即90OCP ∠=︒，又30P ∠=︒，O 的半径为3，∴26OP CO ==，∴PB 633=-=．故答案是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．【变式训练】【答案】30【分析】根据切线的性质得到【详解】解：BC AB BC ∴⊥，【答案】26︒/26度【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：AB 是O 的直径，OA PA ∴⊥，【考点七切线的性质与判定的综合应用】例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点O 在边AC 上，以点O 为圆心，OC 为半径的圆交边AC 于点D ，交边AB 于点E ，且BC BE =．(1)求证：AB 是O 的切线．(2)若24AE =，15BE =，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)O 的半径为10．【分析】（1）连接OE ，连接BO ，通过证明()SSS BOE BOC △≌△即可进行求证；在OBC △和OBE △中，OE OC BE BC BO BO =⎧⎪=⎨⎪，∵15BE =，24AE =，∴15BC BE ==，AB BE =+∴22239AC AB BC =-=-∴O 的半径为10．【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．【变式训练】(1)求证：点E 是BF (2)若EC OC =，O 【答案】(1)见解析(2)32【分析】（1）连接BC 等量代换可得EF =（2）解：若EC OC =∴ABF △是等腰直角三角形．O 半径为3，6AB ∴=，∴26AF AB == BC AF⊥(1)求证：AC 是半O 的切线；(2)若CO AO =，4BC =，求半【答案】(1)见解析AD CD，⊥∴∠= ，90D∴∠+∠= ．CAD ACO90∠ ，AOD ∠=∠AOD CAD∴∠=∠，BOC CAD的切线；(1)求证：PC为O(2)若22=，12PC BOPB=，直接写出半径的长．【答案】(1)见解析(2)3OC∠，平分ABEBC∴∠=∠，ABC CBDQ，OC OB=∴∠=∠，ABC OCB，PCA CBD∠=∠∴∠=∠，PCA OCB是直径，AB∴∠=︒，ACB90ACO OCB∴∠+∠=︒，90∴∠+∠=︒，PCA ACO90∴∠=︒，PCO90OC PC，∴⊥是半径，OC∴是OO的切线；PC（2）解：连接OC，如图，==，设OB OC r，=PC OB22∴=，22PC r【考点八直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】例题：（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，O 与90A ∠=︒的Rt ABC △的三边AB BC AC 、、分别相切于点D 、E 、F ，若103BE CF ==，，则O 的半径为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D 【分析】连接OD OF ，，首先根据切线长定理得到10BD BE ==，3CE CF ==，然后证明出四边形ADOF 是正方形，然后设AD AF x ==，根据勾股定理求解即可．【详解】如图，连接OD OF ，，∵AC AB CB 、、与O 相切，∴10BD BE ==，3CE CF ==，AD AF =，OD AB ⊥，OF AC ⊥，∴90ADO AFO ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴四边形ADOF 是矩形，∴矩形ADOF 是正方形，∴AD OD =，设AD AF x ==，Rt ABC △中，10AB BD AD x =+=+，3AC CF AF x =+==，13BC BE CE =+=，由勾股定理得，222AB AC BC +=，∴()()22210313x x +++=，∴12215x x ==-，（舍去），∴2OD =，故选：D ．【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式训练】【答案】1【分析】根据内切圆的性质先证明四边形,,AF AE BF BD CD CE ===，设OD 的方程，即可求解．【详解】解：∵圆是ABC 的内切圆，的半径．(1)求O△的外心，连接(2)若Q是Rt ABC【答案】(1)1(2)5OQ=2∵O 是ABC 的内切圆，分别切边∴OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BC ∴225AB BC AC =+=．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以点()3,4-为圆心，3为半径的圆（）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相切C ．与x 轴相离，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离【答案】B【分析】由已知点()3,4-可求该点到x 轴，y 轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d 为直线与圆的距离，r 为圆的半径，则有若d r <，则直线与圆相交；若d r =，则直线于圆相切；若d r >，则直线与圆相离．【详解】解：点()3,4-到x 轴的距离为4，大于半径3，点()3,4-到y 轴的距离为3，等于半径3，故该圆与x 轴相离，与y 轴相切，故选：B ．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．2．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该直角三角形（内切圆）的直径是多少？（）A ．3步B ．5步C ．6步D ．8步【答案】C【分析】设三角形ABC ，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为r ，由1()2ABC S AB BC CA r =++⋅ 可求得半径，则可求得直径．【详解】解：设三角形为ABC ，90C ∠=︒，7AC =，24BC =，A ．40︒B ．50【答案】A 【分析】连接OC ，由CE 为圆的度数，即可求出E ∠的度数．∵CE 为圆O 的切线，∴OC CE ⊥，∴90OCE ∠=︒，∵25CDB ∠=︒，A．27︒B．18【答案】A【分析】根据垂直的定义及平行线的判定可知答．【详解】解：连接OC，【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，掌握平行线的性质及切线的性质是解题的关键．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在恰好与以OB为半径作圆，O是（）A．23B【答案】D【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠平分线的定义得到OBDAB x=，根据直角三角形的性质即可得到结论．3的半径，AC是OOD∴⊥，OD AC，OD OB=∴=，OBD ODB∠，BDQ平分ABC二、填空题【答案】30︒/30度【分析】连接OB ，根据圆周角定理得到906030D ︒︒∠=-=︒．∵30BCE ∠=︒，∴260BOD C ∠=∠=︒，∵BD 是O 的切线，【答案】15°/15度【分析】如图，连接OA ，OC 明50D B ∠=∠=︒，再利用三角形的外角和的性质可得答案．∴65DAE AEC D ∠=∠-∠=︒-故答案为：15︒．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的应用，【答案】15d <</51d >>【分析】分两种情况讨论： 求解，即可得到答案．【详解】解：P 的圆心P 的坐标为【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）已知P 到O 的切线长为8cm ，那么【答案】1【分析】先根据勾股定理求出3AB=，由切线长定理得∵O 为Rt ABC △的内切圆，∴OD AB OF AC OD OF ⊥⊥=，，，∴90ODA A OFA ∠︒=∠=∠=，∴四边形ADOF 是正方形，三、解答题11．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，AB 是O 的直径，点E 在弦AC 的延长线上，过点E 作ED AE ⊥交O 于点D ，若AD 平分BAC ∠．(1)求证：ED 是O 的切线；(2)若6AC =，10AB =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）如图所示，连接OD ，根据等边等角和角平分线的定义证明EAD ODA ∠=∠，进而证明AE OD ∥，由ED AE ⊥，得到ED OD ⊥，据此即可证明结论；（2）连接BC 交OD 于G ，根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，根据垂径定理可得BG CG =，根据勾股定理求出BC 的长，进而求出OB BG 、，再求出OG 的长，根据矩形的判定与性质求出CE 的长，即可求出AE 的长．【详解】（1）证明：如图所示，连接OD ，∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴EAD DAO∠=∠∴EAD ODA ∠=∠，∴AE OD ∥，∵ED AE ⊥，∴ED OD⊥∴OD BC ⊥，∴G 为BC 的中点，即BG 又∵610AC AB ==，，∴根据勾股定理得：BC 1(1)求证：AF 是O 的切线；(2)若6BC =，10AB =，求O 【答案】(1)见解析(2)390ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，∴12CD AD AB ==，∴CAD ACD ∠=∠，2BDC CAD ACD CAD ∠=∠+∠=∠1FAC BDC ∠=∠(1)若PF PB =，求证：PB (2)如果106AB BC ==，，求【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得的切线；(1)求证：直线DE是O(2)求证：AB AM=；(3)若2ME=，30∠=︒，求BF的长．F【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4．∵OD OA =，∴ODA OAD ∠=∠，∵AD 平分CAB ∠，∴∠OAD =∠DAC ，∴ODA DAC ∠=∠，∴OD AC ∥，∵DE AC ⊥，∴DE OD ^，∵OD 是O 的半径，∴直线DE 是O 的切线；（2）∵OB OD =，∴OBD ODB ∠=∠，∵OD AC∥∴ODB M ∠=∠，∴OBD M ∠=∠，∴AB AM=（3）∵DE AC ⊥，∴90AEF MED ∠=∠=︒∵30F ∠=︒，∴90903060EAF F ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵AM AB =，∴ABM 是等边三角形，∴60M ∠=︒，∴180180609030MDE M MED ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，的切线；(1)求证：PC为O(2)求证：2=；BD PA(3)若83PC=，求AE的长．【答案】(1)见详解(2)见详解60BAC ∠=︒ ，且OA OC =，60OCA OAC ∴∠=∠=︒．AP AC = ，且P PCA BAC ∠+∠=∠30P PCA ∴∠=∠=︒．90PCO PCA ACO ∴∠=∠+∠=︒．CD 平分ACB ∠，且90ACB ∠=︒45ACD BCD ∴∠=∠=︒．AD BD ∴=．在Rt ADB 中，222AD BD AB +=2AD BD AB ∴==，。
中考数学直线与圆的位置关系专题含答案
【知识梳理】1、点与圆的位置关系：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。
2、直线和圆的位置关系：直线和圆有三种位置关系，具体如下：知识点梳理：直线与圆的位置关系______ ______ ______ 图形公共点的个数______ ______ 0公共点的名称交点______ 无直线名称割线______ 无d与r的关系d________r d________r d________r 【经典例题1】在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝12，点 A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点 B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于．(只需写出一个符合要求的数)【解析】∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在B上，∴B的半径为5，∵如果D与B相交，∴D的半径R满足8∵点B在D内，∴R>13，∴14符合要求，故答案为：14(答案不唯一).练习1-1在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为 ()A.E，F，GB.F，G，HC.G，H，ED.H，E，F练习1-2已知☉O的直径等于12，圆心O到直线l的距离恰好为一元二次方程2x2-10x+3=0的两根的和，那么直线l和☉O的位置关系是.练习1-3如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝23．将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与x轴相切，则平移距离为_____．练习1-4（20上海中考）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点O 在对角线AC 上，⊙O 的半径为2，如果⊙O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 .320310<<x练习1-5如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，BC=32，O 是AC 上一点，AO=m ，且O 的半径长为1，求：(1)线段AB 与O 没有公共点时m 的取值范围。
九年级数学 直线与圆的位置关系 专题练习(含解析)
九年级数学直线与圆的位置关系专题练习一、选择题1.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d 应满足的条件是（）A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3答案：B解析：解答：因为直线l与⊙O至少有一个公共点，所以包括直线与圆有一个公共点和两个公共点两种情况，因此d≤r，即d≤3，故选B．分析：当d=r时，直线与圆相切，直线l与圆有一个公共点；当d＜r时，直线与圆相交，直线l与圆有两个公共点；当d＞r时，直线与圆相离，直线L与圆没有公共点．2.在△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心3cm为半径作⊙O，则BC与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．不能确定答案：A解析：解答：做AD⊥BC，∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，若以A为圆心3cm为半径作⊙O，∴BC=5，∴AD×BC=AC×AB，解得：AD=2.4，2.4＜3，∴BC与⊙O的位置关系是：相交．故选A．分析：首先求出点A与直线BC的距离，根据直线与圆的位置关系得出BC与⊙O的位置关系．3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，则以A为圆心6cm为半径的圆与直线BC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．外离解析：解答：根据题意得：点A到直线BC的距离=AC，∵AC=6cm，圆的半径=6cm，∴以A为圆心6cm为半径的圆与直线BC相切．故选B．分析：点A到直线BC的距离为线段AC的长度，正好等于圆的半径，则直线BC与圆相切．4.⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不能确定答案：B解析：解答：∵⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，∵8＞4，即：d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选：B．分析：根据圆O的半径和圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．5.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，∵5＞3，即：d＜r，∴直线L与⊙O的位置关系是相交．故选B．分析：根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．6.已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相离解析：解答：根据圆心到直线的距离10等于圆的半径10，则直线和圆相切．故选B．分析：直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．7.圆O与直线L在同一平面上．若圆O半径为3公分，且其圆心到直线L的距离为2公分，则圆O和直线L的位置关系为（）A．不相交B．相交于一点C．相交于两点D．无法判别答案：C解析：解答：∵圆心到直线的距离是2小于圆的半径3，∴直线和圆相交，∴直线和圆有2个公共点．故选C．分析：根据圆心到直线的距离是2小于圆的半径3，则直线和圆相交，此时直线和圆有2个公共点．8.已知⊙O的半径r，圆心O到直线l的距离为d，当d=r时，直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上都不对答案：B解析：解答：根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d=r时，则直线和圆相切．故选B．分析：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．9.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1或5 C．3 D．5答案：B解析：解答：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选：B．分析：平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．10.⊙O的直径为10，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定答案：C解析：解答：∵⊙O的直径为10∴r=5，∵d=6∴d＞r∴直线l与⊙O的位置关系是相离故选C分析：因为⊙O的直径为10，所以圆的半径是5，圆心O到直线l的距离为6即d=6，所以d＞r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离．11.已知：⊙O的半径为2cm，圆心到直线l的距离为1cm，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．1cm或3cm答案：D解析：解答：如图，当l经过点B时，OB=1cm，则AB=1cm；当l移动到l″时，则BC=3cm；故选D．分析：根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为1cm，可向上或向下平移，使l与⊙O相切，即可得出答案．12.如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是（）A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A解析：解答：如图：根据题意知，当∠OAP取最大值时，OP⊥AP；在Rt△AOP中，∵OP=OB，OB=AB，∴OA=2OP，∴∠OAP=30°．故选A．分析：根据题意找出当OP⊥AP时，∠OAP取得最大值．所以在Rt△AOP中，利用直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得此时∠OAP的值．13.已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交答案：D解析：解答：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选D．分析：根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d ＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．14.如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（）A．2周B．3周C．4周D．5周答案：C解析：解答：圆在三边运动自转周数：6π÷2π =3，圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；可见，⊙O自转了3+1=4周．故选：C．分析：该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数．15.同学们玩过滚铁环吗？当铁环的半径是30cm，手柄长40cm．当手柄的一端勾在环上，另一端到铁环的圆心的距离为50cm时，铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为（）A．相离B．相交C．相切D．不能确定答案：C解析：解答：根据题意画出图形，如图所示：由已知得：BC=30cm，AC=40cm，AB=50cm，∵2222502500AB==，+=+=+=，22BC AC304090016002500∴222+=BC AC AB∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴AC为圆B的切线，则此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．故选C．分析：根据题意画出相应的图形，由三角形ABC的三边，利用勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，根据垂直定义得到AC与BC垂直，再利用切线的定义：过半径外端点且与半径垂直的直线为圆的切线，得到AC为圆B的切线，可得出此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切．二、填空题16.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心r为半径画⊙C，使⊙C与线段AB 有且只有两个公共点，则r的取值范围是.答案：245＜r≤6解析：解答：如图，∵BC＞AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．根据勾股定理求得AB=10．圆与AB相切时，即r=CD=6×8÷5=24 5；∵⊙C与线段AB有且只有两个公共点，∴245＜r≤6．分析：根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．17.⊙O的直径为12，圆心O到直线l的距离为12，则直线l与⊙O的位置关系是. 答案：相离解析：解答：∵⊙O的直径为12∴r=6，∵d=12∴d＞r∴直线l与⊙O的位置关系是相离.分析：因为⊙O的直径为12，所以圆的半径是6，圆心O到直线l的距离为12即d=12，所以d＞r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离．18.如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线向下平移cm时与⊙O相切．答案：2解析：解答：∵直线和圆相切时，OH=5，又∵在直角三角形OHA中，HA=AB÷2 =4，OA=5，∴OH=3．∴需要平移5-3=2cm．故答案为：2．分析：根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离．19.⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程2x-4x+m=0的两根，当直线l 与⊙O相切时，m的值为．答案：4解析：解答：∵d、R是方程-4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=R，∴方程有两个相等的实根，∴△=16-4m=0，解得，m=4，故答案为：4．分析：先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△=0即可求出m的值．20.已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是（写出符合的一种情况即可）．答案：2解析：解答：∵2223425,525+==∴三角形为直角三角形，设内切圆半径为r，则1 2（3+4+5）r=12×3×4，解得r=1，所以应分为五种情况：当一条边与圆相离时，有0个交点，当一条边与圆相切时，有1个交点，当一条边与圆相交时，有2个交点，当圆与三角形内切时，有3个交点，当两条边与圆同时相交时，有4个交点，故公共点个数可能为0、1、2、3、4个．故答案为2．分析：根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为1，圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个．三、解答题21.已知⊙O的周长为6π，若某直线l上有一点到圆心O的距离为3，试判断直线l与⊙O的位置关系.答案：相切或相交解答：∵⊙O的周长为6π，∴⊙O的半径为3，∵直线l上有一点到圆心O的距离为3，∴圆心到直线的距离小于或等于3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交或相切.解析：分析：首先根据圆的周长求得圆的半径，然后根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系得到两圆的位置关系即可．22.如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA 的位置关系.答案：相切解答：过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O=30°，OC=6，∴DC=3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．解析：分析：利用直线l和⊙O相切⇔d=r，进而判断得出即可．23.已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为4.5cm，那么直线和圆有几个公共点．答案：2解析：解答：已知圆的直径为13cm，则半径为6.5cm，又∵圆心距为4.5cm，小于半径，∴直线与圆相交，有两个交点．答：直线和圆有2个公共点．分析：欲求圆与直线的交点个数，即确定直线与圆的位置关系，关键是把直线和圆心的距离4.5cm与半径6.5cm进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d ＞r，则直线与圆相离．（d为直线和圆心的距离，r为圆的半径）24.圆心O到直线L的距离为d，⊙O半径为r，若d、r是方程2x-6x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，求m的值．答案：9解答：∵d、r是方程x2-6x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=r，∴方程有两个相等的实根，∴△=36-4m=0，解得，m=9．解析：分析：先根据切线的性质得出方程有且只有一个根，再根据△=0即可求出m的值．25.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.答案：相切解答：如图：∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°，∴∠CAD=∠CDA=30°．连接OC，∵AO=CO，∴△AOC是等腰三角形，∴∠CAO=∠ACO=30°，∴∠COD=60°，在△COD中，又∵∠CDO=30°，∴∠DCO=90°∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．解析：分析：已知点C在⊙O上，先连接OC，由已知CA=CD，∠CDA=30°，得∠CAO=30°，∠ACO=30°所以得到∠COD=60，根据三角形内角和定理得∠DCO=90°即能判断直线CD与⊙O的位置关系．。
高考数学复习直线与圆专题过关训练100题(WORD版含答案)
高考数学复习直线与圆专题过关训练100题（WORD 版含答案）一、选择题1.点M ，N 是圆22240x y kx y +++-=上的不同两点，且点M ，N 关于直线10x y -+=对称，则该圆的半径等于A ．．3 2.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．。
其作法如下：①作一个正方形ABCD ；②以AD 的中点E 为圆心，以EC 长为半径作圆，交AD 延长线于F ；③以D 为圆心，以DF 长为半径作⊙D ；④以A 为圆心，以AD 长为半径作⊙A 交⊙D 于G ，则△ADG 为黄金三角形。
根据上述作法，可以求出cos36°= A ．415-B ．415+ C ．435+ D ．435-3.已知实数a ，b 满足224a b +=，则ab 的取值范围是 A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．(－∞,－2]∪[2,+∞)D ．[－2,2]4.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213y x -= B ．22139x y -=C ．22125x y -= D ．221412x y -= 5.若直线与圆有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A. [－3,－1]B. [－1,3]C. [－3,1]D. （－∞,－3]∪[1,+∞）6.直线20x y -与y 轴的交点为P ，点P 把圆()22136x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57.已知圆．．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),00A m Bm m ->,．若圆．．．C ．上存在点．．．．P ．，使得．．．90APB ∠=︒，则．．m ．的最大值为．．．．．(． )．A ．．．7B ．．．．6C ．．．．5D ．．．．4．8.已知圆．．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),,00A m B m m ->．． 若圆．．C ．上存在点．．．．P ．，使得．．． 90APB ∠=︒，则．．m ．的最大值为．．．．．(． )． A ．．．7 B ．．．．6 C ．．．．5 D ．．．．4．9.若函数1)(2+=x x f 的图象与曲线C :()01)(>+=a ae x g x存在公共切线，则实数a 的取值范围为 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，26e B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛28,0e C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，22e D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛24,0e 10.已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且||||-=+，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为 A ．2 B ．±2 C ．－2D ．2±11.已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P 、Q 分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则|PQ |的最小值为（ ）A 1B ． 2C ．．1函数()e cos xf x x =的图象在(0,f (0))处的切线倾斜角为（ ） A. 0 B . 4π C. 1 D .2π 13.在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆C 1：1222=+y x 和C 2：1422=+y x ，又A 点坐标为(3,－1)，M ，N 是C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个 14. 曲线11x y x +=-在点(2,3)处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．－2D ．215.已知过点A (a ,0)作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是A ．(－∞,－4)∪(0,+∞)B ．(0,+∞)C ．(－∞,－1)∪(1,+∞)D ．(－∞,－1) 16.若点P (1,1)为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --= 17.直线2x －y 与y 轴的交点为P ,点P 把圆22(1)36x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 A. 2B. 3C. 4D. 518.若函数1()(0,0)bxf x e a b a=->>的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ）C.2D.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．220.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．221.若直线y x b =+与曲线096422=+--+y x y x 有公共点,则b 的取值范围是( )A. 1,1⎡-+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1⎡⎤-⎣⎦D. 1⎡⎤-⎣⎦22.已知直线4x －3y +a =0与⊙C : x 2+y 2+4x =0相交于A 、B 两点，且∠AOB =120°，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．10 C. 11或 21 D ．3或13 23.过点（2，1）且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为A ．2x -3y -1=0B ．2x +3y -7=0C ．3x -2y -4=0D ．3x +2y -8=0 24.若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3b 的取值范围是A ．[1,1-+B ．[1-+C ．[1-D ．[1 25.已知动圆圆心在抛物线y 2=4x 上，且动圆恒与直线x=－1相切，则此动圆必过定点（ ）A. (2,0)B. (1,0)C. (0,1)D.(0,－1) 26.已知曲线421y x ax =++在点(－1，f (－1))处切线的斜率为8，则f (－1)= A ．7B ．－4C ．－7D ．427.已知点(1,2)P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是（ ）A ．RB ．(,)3-∞C ．(33-D ．(3- 28.已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则cos2θ的值为 （ ） A ．35 B ．35- C ．15 D ．15- 29.我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是（ ） P 1:对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；P 2:如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆； P 3:圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+； P 4:圆的太极函数均是中心对称图形； P 5:奇函数都是太极函数； P 6:偶函数不可能是太极函数. A. 2B. 3C.4D.530.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 的坐标满足方程4)3()1(22=-+-y x ，则点P 的轨迹经过（）A. 第一、二象限B.第二、三象限C. 第三、四象限D.第一、四象限 31.直线1-=x y 的倾斜角是（）A.6π B.4π C. 2π D.43π32.已知圆221:1C x y +=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（）A.内含B.外离C.相交D.相切 33.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为2y x =+，则原点O 到直线l 的距离是A.12D.234.过点()1,1P -作圆()()()22:21C x t y t t R -+-+=∈的切线，切点分别为A,B ，则PA PB ⋅的最小值为A. 103B. 403C. 214D.3 35.已知函数()ln ,f x x x =若直线l 过点(0,－1),且与曲线()y f x =相切,则直线l 的方程为 A.10x y +-= B.10x y ++= C.10x y --= D.10x y -+= 36.圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y+=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 过定点（ ） A ．11(,)23B ．21(,)33C ．11(,)32D ．12(,)3337.过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆C 1：22(5)4x y ++=和圆C 2：222(5)x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（ ）A ．1B ．2 38.已知l 1，l 2分别是函数()|ln |f x x =图像上不同的两点P 1，P 2处的切线，l 1，l 2分别与y 轴交于点A ，B ，且l 1与l 2垂直相交于点P ，则△ABP 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C. (0,+∞) D ．(1,+∞) 39.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则△ABP 面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．40.在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）441.若圆1C ：2222()(2)410x m y n m n -+-=++（0mn >）始终平分圆2C ：22(1)(1)2x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．92C.6 D ．9 42.函数()2ln (0,)f x x x bx a b a =+-+>∈R 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A ．BC ．1D ．243.己知直线1:sin 10l x y α+-=，直线212:3cos 10,sin 2=l x y l l αα-+=⊥若，则 A ．23B ．35±C ．35-D ．3544.若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．]221,221[+- B ．]3,221[- C ．]221,1[+- D ．]3,221[- 45.已知点)3,1(A ，)33,1(-=B ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A ．60° B ．30° C ．120° D ．150°二、填空题46.若直线20l x y +=：与圆()()22:10C x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为___________． 47.在四边形ABCD 中，︒=∠90ABC ，2==BC AB ，△ACD 为等边三角形，则△ABC 的外接圆与△ACD 的内切圆的公共弦长=___________. 48.设圆O 1，圆O 2半径都为1，且相外切，其切点为P ．点A ，B 分别在圆O 1，圆O 2上，则PA PB ⋅的最大值为 ▲ ．49.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ※※ . 50.已知a ，b 为正数，若直线022=-+by ax 被圆422=+y x 截得的弦长为32，则221b a +的最大值是 .51.已知抛物线()20y ax a =>的准线为l ，若l 与圆()22:31C x y -+=a = ． 52.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ． 53.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ． 54.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④函数()y f x =的值域是[]0,1；⑤()2π1d 2f x x +=⎰．其中判断正确的序号是__________．55.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，直线a x y l +=:，过直线l 上点P 作圆O 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得23=+，则实数a 的取值范围是 . 56.已知函数a x y +=ln 的图象与直线1+=x y 相切，则实数a 的值为 . 57.函数()ln 1f x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ． 58.已知直线:1l mx y -=。
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直线与圆专题1．已知点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是( ) A ．RB.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，233C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－233，233 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－233，0 2．在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则||MP 2＋||MQ 2的值为( )A.102B.10 C ．5 D ．103． 已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，现给出下列四个命题：p 1：∀k ∈R ，l 与C 相交； p 2：∃k 0∈R ，l 与C 相切； p 3：∀r >0，l 与C 相交； p 4：∃r 0>0，l 与C 相切．其中真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 44．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有⎪⎪⎪⎪OA →＋OB →≥33⎪⎪⎪⎪AB →，那么k 的取值范围是( )A.()3，＋∞ B.[)2，＋∞ C.[)2，22D.[)3，225．与圆x 2＋(y －2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条D ．6条6．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：()x ＋m 2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( ) A ．3 B ．4 C ．23 D ．87． 若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B不共线时，△PAB 面积的最大值是( ) A ．22 B.2 C.223D.238．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2]9．已知点Q ()－1，m ，P 是圆C ：(x －a )2＋()y －2a ＋42＝4上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为x 2＋()y －12＝1，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，2＋3]B ．[－2－3，3－2]C ．[－2－3，2＋3]D ．[－2－3，2－3]11．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长， 则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A.5 B ．5 C ．25 D ．1012． 在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．213．设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2－a ＝0，直线l 2：2x ＋(a ＋2)·y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________，若l 1∥l 2，则实数a 的值为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆 C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别是A ，B ，则|AB |的取值范围为__________． 15．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为________．16．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，下列说法中： ①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终外切； ②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线； ③当θ＝π6时，圆C 1被直线l ：3x －y －1＝0截得的弦长为3；④若点P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4. 正确命题的序号为________．直线与圆专题答案1．已知点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是( ) A ．RB.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，233 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－233，233 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－233，0答案 C解析 圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋()y ＋12＝1－34k 2，因为过P 有两条切线，所以P 在圆外，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＋4＋k ＋4＋k 2>0，1－34k 2>0，解得－233<k <233.2．在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则||MP 2＋||MQ2的值为( )A.102B.10 C ．5 D ．10答案 D解析 ∵在平面内，过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0相交于点M ，∴P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以PQ 为直径的圆上， ∵|PQ |＝9＋1＝10，∴||MP 2＋||MQ 2＝10.4． 已知直线l ：y ＝k (x －1)，圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，现给出下列四个命题：p 1：∀k ∈R ，l 与C 相交； p 2：∃k 0∈R ，l 与C 相切； p 3：∀r >0，l 与C 相交； p 4：∃r 0>0，l 与C 相切．其中真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4答案 A解析 因为圆C 是以(1,0)为圆心，以r 为半径的圆， 而直线l 是过点(1,0)，且斜率是k 的直线， 所以无论k ，r 取何值，都有直线过圆心，所以有∀k ∈R ，∀r >0，都有l 与 C 相交，所以真命题有p 1，p 3.4．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有⎪⎪⎪⎪OA →＋OB →≥33⎪⎪⎪⎪AB →，那么k 的取值范围是( ) A.()3，＋∞ B.[)2，＋∞ C.[)2，22D.[)3，22答案 C解析 设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ， 因为|OA →＋OB →|≥33|AB →|，所以|2OD →|≥33|AB →|，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →||≤23OD →，因为⎪⎪⎪⎪OD →2＋14⎪⎪⎪⎪AB →2＝4， 所以⎪⎪⎪⎪OD →2≥1，因为直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点，所以⎪⎪⎪⎪OD →2<4，所以1≤⎪⎪⎪⎪OD →2<4，即1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||－k 22<4，且k >0，解得2≤k <2 2.5．与圆x 2＋(y －2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．6条答案 B解析 直线过原点时，设方程为y ＝kx ，利用点到直线的距离等于半径可求得k ＝±1，即直线方程为y ＝±x ；直线不过原点时，设其方程为x a ＋ya＝1(a ≠0)，同理可求得a ＝4，直线方程为x ＋y ＝4，所以符合题意的直线共3条，故选B.6．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：()x ＋m 2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( ) A ．3 B ．4 C ．2 3 D ．8答案 B解析 由题意可知，O 1(0,0)，O 2(－m,0)， 根据圆心距大于半径之差而小于半径之和， 可得5<|m |<35.再根据题意可得O 1A ⊥AO 2， ∴m 2＝5＋20＝25，∴m ＝±5， ∴利用|AB |2·5＝25×5＝10，解得|AB |＝4.8． 若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为2，当P ，A ，B不共线时，△PAB 面积的最大值是( ) A ．22 B.2 C.223D.23答案 A解析 以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B ()－1，0， 设P (x ，y )， 则x －12＋y 2x ＋12＋y 2＝2，化简得()x ＋32＋y 2＝8，当点P 到AB (x 轴)距离最大时，△PAB 的面积取得最大值，由圆的性质可得， △PAB 面积的最大值为12×2×22＝22.8．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞) D ．[1,2]答案 B解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1,1)，k PA ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象(图略)得k ≤34或k ≥2，故选B.9．已知点Q ()－1，m ，P 是圆C ：(x －a )2＋()y －2a ＋42＝4上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为x 2＋()y －12＝1，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 设P (x ，y )，PQ 的中点为M ()x 0，y 0，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －12，y 0＝y ＋m2.因为点M ()x 0，y 0在圆x 2＋()y －12＝1上，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋m 2－12＝1， 即(x －1)2＋()y ＋m －22＝4.将此方程与方程(x －a )2＋()y －2a ＋42＝4比较可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，2a －4＝－()m －2，解得m ＝4.10．若圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，2＋3]B ．[－2－3，3－2]C ．[－2－3，2＋3]D ．[－2－3，2－3]答案 B解析 圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0可化为(x ＋2)2＋()y －22＝18，则圆心为(－2,2)，半径为32，则由圆x 2＋y 2＋4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22可得，圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2，即||－2a ＋2b a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2－4ab ≤0，若b ＝0，则a ＝0，故不成立， 故b ≠0，则上式可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≤0. 由直线l 的斜率k ＝－ab，可知上式可化为k 2＋4k ＋1≤0， 解得－2－3≤k ≤－2＋3.11．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A.5 B ．5 C ．25 D ．10答案 B解析 由直线ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M 的周长， 可知直线必过圆M 的圆心，由圆的方程可得圆M 的圆心坐标为(－2，－1)， 代入直线方程ax ＋by ＋1＝0可得2a ＋b －1＝0，又由(a －2)2＋(b －2)2表示点(2,2)与直线2a ＋b －1＝0上的任一点的距离的平方，由点到直线的距离公式得d ＝||2×2＋2－15＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为d 2＝()52＝5.13． 在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2 C.5 D ．2答案 A解析 以A 为坐标原点，分别以AD ，AB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45. 设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ. 两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎪⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3. 故选A.13．设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2－a ＝0，直线l 2：2x ＋(a ＋2)·y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________，若l 1∥l 2，则实数a 的值为________．答案 －85－4 解析 若l 1⊥l 2，则2(a ＋1)＋3()a ＋2＝0，整理可得5a ＋8＝0，求解关于实数a 的方程可得a ＝－85.若l 1∥l 2，则a ＋12＝3a ＋2≠2－a 1， 据此可得a ＝－4.14．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别是A ，B ，则|AB |的取值范围为__________． 答案 [3，2)解析 由题意知，圆心坐标为(1,1)，半径为1，要使AB 的长度最小，则∠ACB 最小，即∠PCB 最小，即PC 最小，由点到直线的距离公式可得点C 到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3＋4＋3|5＝2，则∠PCB ＝60°，∠ACB ＝120°，即|AB |＝3，当P 在直线3x ＋4y ＋3＝0上无限远时，∠ACB 趋近180°，此时|AB |趋近直径2.故|AB |的取值范围为[3，2)． 15．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y －4＝0解析 由题意得圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝5，令y ＝0，得x ＝2或x ＝4，所以A (4,0)，B (2,0)．则圆N 的方程为(x －3)2＋y 2＝1，由题意得直线l 的斜率存在，所以设直线l ：y ＝k (x －4)．联立直线l 的方程和圆M 的方程消去y ，得(1＋k 2)x 2－(8k 2＋4k ＋6)x ＋16k 2＋16k ＋8＝0，所以4＋x C ＝8k 2＋4k ＋61＋k 2，① 联立⎩⎪⎨⎪⎧x －32＋y 2＝1，y ＝kx －4k ，得(1＋k 2)x 2－(8k 2＋6)x ＋16k 2＋8＝0，所以4＋x D ＝8k 2＋61＋k 2，② 依题意得x C ＋4＝2x D ，③解①②③得k ＝－12. 所以直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.16．已知圆C 1：(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1与圆C 2：x 2＋y 2＝1，下列说法中： ①对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终外切；②对于任意的θ，圆C 1与圆C 2始终有四条公切线；③当θ＝π6时，圆C 1被直线l ：3x －y －1＝0截得的弦长为3；④若点P ，Q 分别为圆C 1与圆C 2上的动点，则|PQ |的最大值为4.正确命题的序号为________．答案 ①③④解析 对于①，我们知道两个圆外切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和， 由题意，得圆C 1的半径为1，圆心坐标为(2cos θ，2sin θ)，圆C 2的半径为1，圆心坐标为(0,0)，所以两个圆的圆心距为2cos θ－02＋2sin θ－02＝4cos 2θ＋4sin 2θ＝2. 又因为两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意θ，圆C 1和圆C 2始终外切，所以①正确；对于②，由①得，两圆外切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，此时圆C 1的方程为：(x －3)2＋(y －1)2＝1， 故圆C 1的圆心坐标为(3，1)，所以圆心到直线l 的距离为|32－1－1|32＋－12＝12.又因为圆C 1的半径为1，所以其所截的弦长为2 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，所以③正确； 对于④，由①得，两圆外切，所以两圆上的点的最大距离就是两圆的直径之和， 因为C 1的直径为2，C 2的直径也为2，故|PQ |的最大值为2＋2＝4.所以④正确．故正确命题的序号为①③④.。