平面解析几何知识点总结.doc

基本要求① .掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系;

②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。

③ . 掌握圆的标准方程和一般方程 .

④ . 掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用;

⑤. 灵活运用圆的几何性质解决问题 . 1

直线方程的五种形式

点斜式：y y0k ( x x0 ) ，(斜率存在 )

斜截式：y kx b (斜率存在 )

两点式：

y

y1 x

x

1， (不垂直坐标轴 ) y2 y1 x2 x1

截距式：x

y 1 (不垂直坐标轴 ,不过原点 ) a b

一般式： Ax By C 0

2.直线与直线的位置关系：

（ 1）有斜率的两直线 l1：y=k 1x+b1； l2：y=k 2x+b2；有：① l1∥ l2 k1=k2且 b1≠ b2；② l 1⊥ l2 k1·k2 =-1 ；

③ l 1与 l 2相交k 1≠ k2 ④l 1与 l 2重合k1=k2 且 b1=b2。（ 2）一般式的直线l ： A x+B y+C =0， l ： A x+B y+C =0 有：① l ∥ l

2 AB-A B=0；且 BC-B

2

C ≠ 0

1 1 1 1

2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1

② l1⊥ l2A1A2+B1B2=0 ③ l1与 l2相交 A 1B2-A 2B1≠ 0 ④ l1与 l2重合 A 1B2-A 2B1=0 且 B1C2-B 2C1=0。

3.点与直线的位置关系：

点 P（ x ， y ）到直线 Ax+By+C=0的距离：

d Ax0 By0 C 。

00

A2 B 2

平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 之间的距离为 d C1 C2 A2 B 2

两点间距离公式：| PP | (x x )2 ( y y )2

1 2 1 2 1 2

.4 直线系方程

①过直线 l 1：A1x+B1y+C1=0， l 2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为：A1x+B1y+C1+λ（ A2x+B2y+C2）=0（λ∈R）( 除l2外 ) 。

②过定点 M ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y y0 k( x x0 ) （其中不包括直线x x0）

③和直线 Ax By C 0 平行的直线方程为Ax By C ' 0 (C C ')

④和直线 Ax By C 0 垂直的直线方程为Bx Ay C ' 0

5.圆的定义 : 平面内与定点距离等于定长的点的集合( 轨迹 ) 叫圆 .

在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件: 如三个点 , 半径和圆心 ( 两个坐标 ) 等 .

2 2 2

6. 圆的方程 (1)标准式： (x-a) +(y-b) =r (r>0)，其中 r 为圆的半径， (a， b)为圆心。

2 2 2 2 D E 1 D 2 E 2 4F

(2)一般式： x +y +Dx+Ey+F=0(D+E -4F>0)，其中圆心为( , ) ，半径为

2

2 2

(3) 参数方程 : x

r cos ，

x

a r cos (是参数) . 消去θ可得普通方程y r sin y

b r sin

（ 4） A(x 1， y1)B(x 2，y2)为直径的圆: (x-x1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0; （5） .过圆与直线（或圆）交点的圆系方程：

i)x2+y2+Dx+Ey+F+λ (Ax+By+C)=0，表示过圆与直线交点圆的方程

ii) x 2+y2+D1x+E1y+F1+λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ ≠-1) ；表示过两圆交点的圆的直线方程

（1时(D1D2 ) x ( E1E2 ) y F1F20 一条过两圆交点的直线，该方程不包括圆C2）

（6）二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 : A=C≠ 0， B=0 ，D2+E2-4AF>0。

7. 点 P(x0,y0)与圆的位置关系 :代入方程f (x) (x a)2 ( y b)2 r 2（或 f (x) x2 y2 Dx Ey F ）看符号.

①点 P 在圆上 f (x0 , y0 ) 0②点P在圆外 f ( x0 , y0 ) 0③点P在圆内 f ( x0 , y0 ) 0

8.直线与圆的位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：（用几何法更具有直观性）

（ 1）代数法（判别式法）: >、 =、 <0 时分别相离、相交、相切。

（ 2）几何法，圆心到直线的距离d>、=、

9．切线方程：

圆 x2 y 2 r 2上点M（x0,y0）的切线方程： x0 x y0 y r 2（或 x0 ( x x0 ) y0 ( y y0 ) 0 ）

过圆 (x-a)2+(y-b)2=r2上点 M（ x0,y0）的切线方程：（x0-a） (x-a)+(y0-b)(y-b)=0. （或(x0 a)( x x0 ) ( y0 b)( y y0 ) 0 ）

10．切线长公式：d x02 y02 Dx0 Ey0 F x0

2 2

r 2 f ( x0 , y0 ) a y0 b

11．弦长求法：（1）几何法：弦心距 d，圆半径 r，弦长 l，则 d2 +(l/2)2=r2 .

（ 2）解析法：用韦达定理，弦长公式。

12．圆与圆的位置关系：看|O 1O2| 与 r 1+r2和 |r － r | 的大小关系。

1 2

特别提示 : 解直线与圆的问题, 要尽量充分地利用平面几何中圆的性质, 利用几何法解题要比解析方法来得简捷.

13.①中积最小

过 P( x0 , y0 ) 的直线与坐标轴在P所在的象限围成的三角形AOB(A,B为直线与轴的交点)面积最小的时当且仅当P为线段 AB 中点，此时（ 1）横截距a 2x0 ,纵截距b 2 y0

（2）S min 2 | x0 y0 |

（ 3）直线方程：

x y

2x0 1

2 y0

②以 A( x1, y1 ) 和 B( x2 , y2 ) 为直径端点的圆的方程为( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0

③点（线、圆）与圆的距离的最值问题d min 心距半径 d r ; d max 心距半径 d r 心距指点（直线或圆心）与圆心之间的距离