2019最新第13章 非正弦周期电流电路 2 非正弦周期函数的有效值和平均功率物理
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第十三章 非正弦周期信号
iS ( t ) 2 cos(200t 50 )A
试用叠加定理求稳态电压u(t)。
解：1.计算 uS ( t ) 20cos(100t 10 )V 单独作用时产生
的电压 u' ( t )
将电流源iS(t)以开路代替，得到图(b)所示相量模型，
由此求得
U' j5 j5 US 10 210 1055 V 5 j5 5 j5
u( t ) u' ( t ) u" ( t ) 10 2 cos(100 t 55 )V 4.47 2 cos(200 t 76.6 )V
u(t ) u' (t ) u" (t ) 的 u ( t ) 和 u ( t ) 的波形如图(a)所示。
'
"
波形如图(b)所示，它是一个非正弦周期波形。
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 2 ) Anm cos(n1t n )
高次谐波
f ( t ) A0 Akm cos(k 1t k )
k 1
周期性方波信号的分解 解: 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为：
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
本章 要点 一、基本概念 非正弦周期信号的分解：直流分量，基波，高次谐波； 非正弦周期电量：平均值，有效值，平均功率 二、电路分析 电路的分解
直流分量作用的电路：电感短路，电容开路
谐波分量作用的电路分析：相量法 时域叠加求电流、电压； 电流、电压有效值计算；电路有功功率的计算
五次谐波电压单独作用时：
10 6 Z 5 10 j (5 314 0.05 ) 51.278.7 5 314 22.5 U 5m 2018 I 5m 0.39 60.7A Z 5 51.278.7
试用叠加定理求稳态电压u(t)。
解：1.计算 uS ( t ) 20cos(100t 10 )V 单独作用时产生
的电压 u' ( t )
将电流源iS(t)以开路代替，得到图(b)所示相量模型，
由此求得
U' j5 j5 US 10 210 1055 V 5 j5 5 j5
u( t ) u' ( t ) u" ( t ) 10 2 cos(100 t 55 )V 4.47 2 cos(200 t 76.6 )V
u(t ) u' (t ) u" (t ) 的 u ( t ) 和 u ( t ) 的波形如图(a)所示。
'
"
波形如图(b)所示，它是一个非正弦周期波形。
f (t ) A0 A1m cos(1t 1 ) A2m cos(21t 2 ) Anm cos(n1t n )
高次谐波
f ( t ) A0 Akm cos(k 1t k )
k 1
周期性方波信号的分解 解: 图示矩形波电流在一个周期内 的表达式为：
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
本章 要点 一、基本概念 非正弦周期信号的分解：直流分量，基波，高次谐波； 非正弦周期电量：平均值，有效值，平均功率 二、电路分析 电路的分解
直流分量作用的电路：电感短路，电容开路
谐波分量作用的电路分析：相量法 时域叠加求电流、电压； 电流、电压有效值计算；电路有功功率的计算
五次谐波电压单独作用时：
10 6 Z 5 10 j (5 314 0.05 ) 51.278.7 5 314 22.5 U 5m 2018 I 5m 0.39 60.7A Z 5 51.278.7
第13章 非正弦
u = U 0 + u1 = U 0 + U1m sinω t
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t
此时电路中的电流也是非正弦周期量。 此时电路中的电流也是非正弦周期量。 即：
u U 0 U 1m i= = sinω t + R R R
三、非正弦周期电流电路的分析方法 谐波分析法 既然不同频率的正弦量和直流分量可以叠加成一 个周期性的非正弦量， 个周期性的非正弦量，那么反过来一个非正弦的周期 量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？ 量是否也可分解为正弦分量和直流分量呢？数学上已 有了肯定的答案，一切满足狄里赫利条件的周期函数 有了肯定的答案， 都可以分解为傅里叶级数。 都可以分解为傅里叶级数。 这样就可将非正弦周期量分解为若干个正弦交流 电路来求解。 电路来求解。 分解合成法
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bK =
π∫
Im
1
2π
0
iS (ω t )sinkω td(ω t)
0 K为偶数 2I = m kπ K为奇数
1 π (− cos kω t ) 0 = π k
2 K 2 K
2Im AK = b + a = bK = 为奇数） （K为奇数） kπ − bK o ψK = arctan = −90 aK
1 T 2 I= ∫0 i dt i = I0 + i1 + i2 +K T 2 2 2 2 i = I0 + i1 + i2 +K
) ) + 2I0(i1 + i2 +K + 2(i1i2 + i1i3 +K +K
1 T 2 2 2 ∫0 Adt = I0 + I1 + I2 +K T 1 T 1 T 正交性 ∫0 Bdt = 0 T ∫0 Cdt = 0 得证 T
第13章 非正弦周期电流电路 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率
5
)
周期性方波波形分解 直流分量 t
三次谐波
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i i i IS0
s1
s3 s5
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5
t
)
IS0
is1
T/2 T/4
O T/4
T/2 t T/2 t T/2 t
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
(1)正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
0 sin ktd(t) 0
k整数
2
0 cos ktd(t) 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
1
31C
3 106
is131000103100s12in
3 106 t 0.33 K
31L 3 106 103 3kΩ
Z (31 )
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC3) XC 3)
374.5
89.190
U 3
IS3 Z(31 )
)
(R R
jXL5)( jXC5) j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
U 5 I5s Z (51 ) 20 106
)
周期性方波波形分解 直流分量 t
三次谐波
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i i i IS0
s1
s3 s5
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5
t
)
IS0
is1
T/2 T/4
O T/4
T/2 t T/2 t T/2 t
13.3 有效值、平均值和平均功率
1. 三角函数的性质
(1)正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。
2
0 sin ktd(t) 0
k整数
2
0 cos ktd(t) 0
（2）sin2、cos2 在一个周期内的积分为。
1
31C
3 106
is131000103100s12in
3 106 t 0.33 K
31L 3 106 103 3kΩ
Z (31 )
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC3) XC 3)
374.5
89.190
U 3
IS3 Z(31 )
)
(R R
jXL5)( jXC5) j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
U 5 I5s Z (51 ) 20 106
非正弦周期信号汇总
第十三章非正弦周期电流电路和信号的频谱重点：1. 非正弦周期电流电路的电流、电压的有效值、平均值；2. 非正弦周期电流电路的平均功率3. 非正弦周期电流电路的计算方法难点：1. 叠加定理在非正弦周期电流电路中的应用2. 非正弦周期电流电路功率的计算章与其它章节的联系：三相电路可以看成是三个同频率正弦电源作用下的正弦电流电路，对它的计算，第九章正弦电流电路中所阐述的方法完全适用。
§13.1 非正弦周期信号生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周期电流电路。
在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
非正弦周期交流信号的特点：1) 不是正弦波2) 按周期规律变化，满足：（k=0，1，2…..）式中T 为周期。
图 13.1 为一些典型的非正弦周期信号。
图13.1（a）半波整流波形（b）锯齿波（c）方波本章主要讨论非正弦周期电流、电压信号的作用下，线性电路的稳态分析和计算方法。
采用谐波分析法，实质上就是通过应用数学中傅里叶级数展开方法，将非正弦周期信号分解为一系列不同频率的正弦量之和，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量，最后，把所得分量按时域形式叠加得到电路在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。
§13.2 周期函数分解为付里叶级数电工技术中所遇到的非正弦周期电流、电压信号多能满足展开成傅里叶级数的条件，因而能分解成如下傅里叶级数形式：也可表示成：以上两种表示式中系数之间关系为：上述系数可按下列公式计算：（k=1，2，3……）求出a0、a k、b k便可得到原函数f(t) 的展开式。
注意：非正弦周期电流、电压信号分解成傅里叶级数的关键在于求出系数a0、ak、bk ，可以利用函数的某种对称性判断它包含哪些谐波分量及不包含哪些谐波分量，可使系数的确定简化，给计算和分析将带来很大的方便。
非正弦周期函数的有效值和平均功率
iS
Im 2
2Im
(s in t
1 sin 3t
3
iS
Im
1 sin 5t )
5
T/2 T
t
代入已知数据： Im 157 μA, T 6.28 μs
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直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 157 3.14
100 A
三次谐波最大值 五次谐波最大值
iS3
C
3L 3106 103 3kΩ
＋ R
L u3
－
Z(3 ) (R jXL3)( jXC 3) 374.5 89.19
R j( XL3 XC 3)
U 3
IS 3
Z(3 )
33.3 106 2
90 374.5
89.19
12.47 179.2mV 2
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（d）五次谐波作用 iS5 20sin(5106 t)A
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
周期性方波波形分解
直流分量
基波
t
t
三次谐波
五次谐波 t
七次谐波
上页 下页
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
5
)
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
上页 下页
iS
Im
T/2 T
t
等效电源
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱.
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
1. 非正弦周期函数的分解 根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足“狄里 赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。 ∞
2019年4月2日星期二
Lectured By 1 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
基本要求
正确理解非正弦周期电流电路中的有效值、平均功率的 概念， 掌握非正弦周期电流电路的分析方法。
Lectured By 4 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
Circuit Course
13.1 非正弦周期信号
i o
尖顶波
T 2
T
非正弦信号有周期性和非周期性之分。 周期信号满足 f(t) = f(t+kT) 当 f(t) 不是单一频率的正弦波时，它就是非正弦周期信号。
2019年4月2日星期二
Lectured By 3 Xuebin Jiang / Information School
JiangSu University Of Science and Technology. Zhangjiagang Campus.
非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算
T /2
0
ak
2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk
Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值 设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1
km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅 角频率 初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率
2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j
有效值平均值和平均功率
1
T
4 102 dt =5A
T0
平均值为
I av
1 T
T
| i | dt
0
10*T/4
=
=2.5A
T
三、正弦周期电流电路的功率
1、瞬时功率 任意一端口的瞬时功率（吸收）定义为
p ui
U 0
U km
k 1
cos(k1t
ku
)
I
0
k 1
I km
cos(k1t
k
)
式中u、i取关联方向。
2、平均功率的定义
使用时，直接删除本页！
u 10 20cos(30t 27) 30sin(60t 11) 40sin(120t 15)V i 2 3cos(30t 33) 4sin(90t 52) 5sin(120t 15)A
平均功率
× P = 10×2 + 20×3 + 30×4 +40×5
× P = 10×2 + 20×3cos60° + 30×4cos41°+ 40×5cos30 °
=2Im/π =0.637Im =0.898I
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值， 这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各 个值变为对应的正值。
i Im
Iav
O
ωt
3、不同的测量结果
对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪表 进行测量时，会有不同的结果。
用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将 是电流的恒定分量；
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平 方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。
此结论可推广用于其他非正弦周期量。
二、非正弦周期量的平均值
大学电路第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱
平均功率计算
平均功率等于有效值与角频率的乘积， 即P=UIe^(-jωt)。
非正弦周期电流电路的无功功率与视在功率
无功功率
无功功率是指在电路中只进行能量交换而不消耗能量的功率 ，单位为乏。
视在功率
视在功率是指电路中电压与电流有效值的乘积，表示电源所 能提供的最大功率。
非正弦周期电流电路
04
的滤波器
大学电路第13章非正弦 周期电流电路和信号的 频谱
目录
• 非正弦周期电流电路概述 • 非正弦周期信号的频谱 • 非正弦周期电流电路的功率 • 非正弦周期电流电路的滤波器 • 非正弦周期电流电路的实例分析
非正弦周期电流电路
01
概述
非正弦周期电流的定义与特点
定义
非正弦周期电流是指其波形不呈 正弦形状的周期性变化的电流。
01
02
03
傅里叶级数分析法
将非正弦周期电流分解为 正弦波的叠加，通过计算 各次谐波的幅值和相位来 分析电路。
平均值法
对非正弦周期信号取平均 值，忽略高次谐波的影响， 简化分析过程。
有效值法
将非正弦周期信号转换为 等效直流信号，便于计算 功率和能量。
非正弦周期信号的频
02
谱
频谱的概念与分类
频谱的概念
应用广泛
频谱分析在通信、雷达、音频处理、 生物医学工程等领域都有广泛的应用。
非正弦周期电流电路
03
的功率
功率的定义与计算
功率定义
功率是单位时间内完成的功，表示做功快慢的物理量，单位为瓦特。
功率计算
功率等于电压与电流的乘积，即P=UI。
非正弦周期电流电路的平均功率
平均功率定义
非正弦周期电流电路的平均功率是指 在一段时间内完成的平均功，表示平 均做功的快慢。
平均功率等于有效值与角频率的乘积， 即P=UIe^(-jωt)。
非正弦周期电流电路的无功功率与视在功率
无功功率
无功功率是指在电路中只进行能量交换而不消耗能量的功率 ，单位为乏。
视在功率
视在功率是指电路中电压与电流有效值的乘积，表示电源所 能提供的最大功率。
非正弦周期电流电路
04
的滤波器
大学电路第13章非正弦 周期电流电路和信号的 频谱
目录
• 非正弦周期电流电路概述 • 非正弦周期信号的频谱 • 非正弦周期电流电路的功率 • 非正弦周期电流电路的滤波器 • 非正弦周期电流电路的实例分析
非正弦周期电流电路
01
概述
非正弦周期电流的定义与特点
定义
非正弦周期电流是指其波形不呈 正弦形状的周期性变化的电流。
01
02
03
傅里叶级数分析法
将非正弦周期电流分解为 正弦波的叠加，通过计算 各次谐波的幅值和相位来 分析电路。
平均值法
对非正弦周期信号取平均 值，忽略高次谐波的影响， 简化分析过程。
有效值法
将非正弦周期信号转换为 等效直流信号，便于计算 功率和能量。
非正弦周期信号的频
02
谱
频谱的概念与分类
频谱的概念
应用广泛
频谱分析在通信、雷达、音频处理、 生物医学工程等领域都有广泛的应用。
非正弦周期电流电路
03
的功率
功率的定义与计算
功率定义
功率是单位时间内完成的功，表示做功快慢的物理量，单位为瓦特。
功率计算
功率等于电压与电流的乘积，即P=UI。
非正弦周期电流电路的平均功率
平均功率定义
非正弦周期电流电路的平均功率是指 在一段时间内完成的平均功，表示平 均做功的快慢。
非正弦周期电流电路
单元四非正弦周期电流电路一、非正弦周期信号二、非正弦周期量的有效值、平均值及三、非正弦周期电流电路的平均功率四、非正弦周期电流电路的计算一、非正弦周期信号1.非正弦周期信号：随时间周期性地按非正弦规律变化的信号。
2.非正弦周期函数的分解傅里叶级数：若周期为T ，角频率ω=2π/T 的周期函数，满足狄里赫利条件，则的可展开为∑∞=++=++++++++=1022110)sin cos ( sin cos 2sin 2cos sin cos )(k k k k k t k b t k a a t k b t k a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω ∵)t k (sin A sin cos k k ψ+=+ωωωt k b t k a k k ∴+++++=)2sin()sin()(22m 11m 0θωθωt A t A A t f 直流分量基波二次谐波∑∞=++=10)sin(k k k t k A A ψω（K=1、2、3、4…）几种非正弦周期函数的傅里叶级数名称波形傅里叶级数有效值平均值梯形波f (t) =απmA4(sinαsinωt +91sin3αsin3ωt+251sin5αsin5ωt +…+2k1sinkαsinkωt +…)（式中α =Td2π，k为奇数）A mπα-341A m(1－πα)三角波f (t) =2mA8π(sinωt－91sin3ωt+251sin5ωt +…+221kk)1(--sinkωt +…)（k为奇数）3A m2A m名称波形傅里叶级数有效值平均值矩形波f (t) =πmA4(sinωt+31sin3ωt+51sin5ωt +k1sinkωt +…)（k为奇数）A m A m半波整流波f (t) =πmA2(21+4πcosωt+311⨯cos2ωt －531⨯cos4ωt+751⨯cos6ωt －…)2A mπmA全波整流波f (t) =πmA4(21+311⨯cos2ωt－531⨯cos4ωt +751⨯cos6ωt－…)2A mπmA2名称波形傅里叶级数有效值平均值锯齿波f (t) = A m [21－π1(sinωt+21sin2ωt+31sin3ωt +…) ]3A m2A m矩形脉冲波f (t) =A m [ α+π2(sinαπcosωt+21sin2απcos2ωt+31sin3απcos3ωt +…) ]αA mαA m3.几种波形具有对称性的周期函数的傅里叶级数1. 奇函数的傅里叶级数奇函数：f (t )=－f (－t )；奇函数的波形对称于坐标系的原点。
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K为奇数
ak
2
2
0 iS (t ) cos ktd (t )
2Im
1 k
sin kt
0
0
AK
bK2 aK2
bK
2Im
k
（K为奇数）
K
arctan aK bK
0
i 的展开式为： s
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
角频率
2
T
2 3.14 6.28 106
10 6 rad/s
电流源各频率的谐波分量为：
IS0 78.5 A
is3
100 3
sin 3 106 t
A
i
s1
is
100
100 5 5
sin106 t
sin 5 106
t
A
A
(2)对各种频率的谐波分量单独计算：
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化
f (t) f (t kT )
例1 半波整流电路的输出信号
例2
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
例3 脉冲电路中的脉冲信号
t T
13.2 周期函数分解为付里叶级数
周期函数展开成付里叶级数： 直流分量
基波
f (t) A0 A1m cos(1t 1)
1
ak
2
0 f (t )cos k1td(1t)
1
bk
2
0 f (t)sin k1td(1t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
利用函数的对称性可使系数的确定简化
f(t) （1）偶函数
－
f (t) f (t) bk 0 T/2
5
)
周期性方波波形分解 直流分量 t
三次谐波
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i i i IS0
s1
s3 s5
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5
t
)
IS0
is1
IC11
jC1U1
120
2 0 j40
3 90 A 2
(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用
2ωL1 2000 40 103 80Ω, 2ωL2 2000 10 103 20Ω
1 2ωC1
1 2ω C 2
1 2000 25 106
1
31C
3 106
is131000103100s12in
3 106 t 0.33 K
31L 3 106 103 3kΩ
Z (31 )
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC3) XC 3)
374.5
89.190
U 3
IS3 Z(31 )
i=i0+ i1 + i2 =1A iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A
5
代入已知数据：
Im 157μ A, T 6.28μ s
直流分量
I0
Im 2
157 78.5μ A 2
基波最大值 I1m
三次谐波最大值 五次谐波最大值
2Im 2 1.57 100 A
I3m
1 3.14
31I1m
33.3A
I5m 5 I1m 20μA
2 sin 2 ktd(t) 0
2 cos2ktd(t) 0
（3） 三角函数的正交性
2
0 cos kt sin ptd(t ) 0
2
0 cos kt cos ptd(t ) 0
2
0 sin kt sin ptd (t ) 0
k p
2. 非正弦周期函数的有效值
若 i(t) I0 Ikm cos(kt k )
则有效值:
k 1
I 1 T i2 td(t)
T0
1 T
T 0
I0
k 1
I km
coskt
k
2 d (t )
利用三角函数的波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF
Im 157μ A、 T 6.28S
iS
R
Cu
L
解 （1）已知方波信号的展开式为：iS
Im
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
T/2
T
t
1 sin 5t )
is3
is5
iS
Im
T/2 T
Akm 矩形波的频谱图
t 0 3 5 7
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
3t
1 sin 5
5
t
)
例2 给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量：
f(t)
(1) 正弦分量；
(2) 余弦分量；
20Ω
LI2IUU、2L22aC2d22I发6Cj022生10U2,并1L42联5U0谐Vcb6I2振20a。+Uj2220jj824005IC61202cU310342d5IjL2Vj2220045_Ab
所求的电压、电流的瞬时值为：
正弦量的平均值为0
4. 非正弦周期交流电路的平均功率
u(t ) U0 U km cos(kt uk )
k 1
i(t ) I0 Ikm cos(kt ik )
1
k 1
T
P T
0
u idt
利用三角函数的正交性，得：
P U0I0 Uk Ik cosk (k uk ik )
(3) 正弦偶次分量； O T/4 t (4) 余弦奇次分量。
试画出 f(t) 的波形。
解 (1) 正弦分量； f(t)
T/2 T/4
O T/4 T/2 t
(2) 余弦分量；
f(t)
T/2 T/4
O T/4
f(t) (3) 正弦偶次分量；
T/2 T/4
O T/4
f(t) (4) 余弦奇次分量。
I
I
2 0
k 1
I
2 km
2
I
I
2 0
I12
I
2 2
结论
周期函数的有效值为直流分量及各
次谐波分量有效值平方和的方根。
3. 非正弦周期函数的平均值
若 i(t) I0 Ik cos(kt k ) 则其平均值为： k 1
I AV
1 T
T
0 i(t )dt I0
U1
5000mV 2
U 3
12.47 2
89.2
mV
U 5
4.166 2
89.53 mV
u U0 u1 u3 u5
1.57 5000 sin t
12.47 sin( 3t 89.2 )
4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
0
0 t T 2
T tT
t T/2 T
2
1
直流分量：IO T
T
1
0 iS (t) dt T
T /2
0 Imdt
Im 2
谐波分量：bK
1
Im ( 1 cos
k
2
0 iS (
k
t
)
0
t)
sin k
2
0 Im
k
td ( t)
K为偶数
A2m cos(21t 2 )
二次谐波 （2倍频）
Anm cos(n1t n ) 高次谐波
f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
也可表示成：
Akm cos(k1t k ) ak cos k1t bk sin k1t
12.47
106 33.3
2
89.20 mV
374.5
89.190
2
(d)五次谐波作用
1
is5
100 15
sin 5 106
t
A
51C 5 106 1000 1012 0.2(KΩ)
51L 5 106 103 5kΩ
Z (5 1
t T/2
（2）奇函数
f(t)
f (t) f (t)
ak
2
2
0 iS (t ) cos ktd (t )
2Im
1 k
sin kt
0
0
AK
bK2 aK2
bK
2Im
k
（K为奇数）
K
arctan aK bK
0
i 的展开式为： s
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
1 sin5t
角频率
2
T
2 3.14 6.28 106
10 6 rad/s
电流源各频率的谐波分量为：
IS0 78.5 A
is3
100 3
sin 3 106 t
A
i
s1
is
100
100 5 5
sin106 t
sin 5 106
t
A
A
(2)对各种频率的谐波分量单独计算：
非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化
f (t) f (t kT )
例1 半波整流电路的输出信号
例2
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
例3 脉冲电路中的脉冲信号
t T
13.2 周期函数分解为付里叶级数
周期函数展开成付里叶级数： 直流分量
基波
f (t) A0 A1m cos(1t 1)
1
ak
2
0 f (t )cos k1td(1t)
1
bk
2
0 f (t)sin k1td(1t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数f(t)的展开式。
利用函数的对称性可使系数的确定简化
f(t) （1）偶函数
－
f (t) f (t) bk 0 T/2
5
)
周期性方波波形分解 直流分量 t
三次谐波
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
i i i IS0
s1
s3 s5
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5
t
)
IS0
is1
IC11
jC1U1
120
2 0 j40
3 90 A 2
(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用
2ωL1 2000 40 103 80Ω, 2ωL2 2000 10 103 20Ω
1 2ωC1
1 2ω C 2
1 2000 25 106
1
31C
3 106
is131000103100s12in
3 106 t 0.33 K
31L 3 106 103 3kΩ
Z (31 )
(R R
jXL3)( j( XL3
jXC3) XC 3)
374.5
89.190
U 3
IS3 Z(31 )
i=i0+ i1 + i2 =1A iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A
5
代入已知数据：
Im 157μ A, T 6.28μ s
直流分量
I0
Im 2
157 78.5μ A 2
基波最大值 I1m
三次谐波最大值 五次谐波最大值
2Im 2 1.57 100 A
I3m
1 3.14
31I1m
33.3A
I5m 5 I1m 20μA
2 sin 2 ktd(t) 0
2 cos2ktd(t) 0
（3） 三角函数的正交性
2
0 cos kt sin ptd(t ) 0
2
0 cos kt cos ptd(t ) 0
2
0 sin kt sin ptd (t ) 0
k p
2. 非正弦周期函数的有效值
若 i(t) I0 Ikm cos(kt k )
则有效值:
k 1
I 1 T i2 td(t)
T0
1 T
T 0
I0
k 1
I km
coskt
k
2 d (t )
利用三角函数的波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF
Im 157μ A、 T 6.28S
iS
R
Cu
L
解 （1）已知方波信号的展开式为：iS
Im
iS
Im 2
2Im
(sint
1 sin 3t
3
T/2
T
t
1 sin 5t )
is3
is5
iS
Im
T/2 T
Akm 矩形波的频谱图
t 0 3 5 7
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
3t
1 sin 5
5
t
)
例2 给定函数 f(t)的部分波形如图所示。为使f(t) 的傅立叶级数中只包含如下的分量：
f(t)
(1) 正弦分量；
(2) 余弦分量；
20Ω
LI2IUU、2L22aC2d22I发6Cj022生10U2,并1L42联5U0谐Vcb6I2振20a。+Uj2220jj824005IC61202cU310342d5IjL2Vj2220045_Ab
所求的电压、电流的瞬时值为：
正弦量的平均值为0
4. 非正弦周期交流电路的平均功率
u(t ) U0 U km cos(kt uk )
k 1
i(t ) I0 Ikm cos(kt ik )
1
k 1
T
P T
0
u idt
利用三角函数的正交性，得：
P U0I0 Uk Ik cosk (k uk ik )
(3) 正弦偶次分量； O T/4 t (4) 余弦奇次分量。
试画出 f(t) 的波形。
解 (1) 正弦分量； f(t)
T/2 T/4
O T/4 T/2 t
(2) 余弦分量；
f(t)
T/2 T/4
O T/4
f(t) (3) 正弦偶次分量；
T/2 T/4
O T/4
f(t) (4) 余弦奇次分量。
I
I
2 0
k 1
I
2 km
2
I
I
2 0
I12
I
2 2
结论
周期函数的有效值为直流分量及各
次谐波分量有效值平方和的方根。
3. 非正弦周期函数的平均值
若 i(t) I0 Ik cos(kt k ) 则其平均值为： k 1
I AV
1 T
T
0 i(t )dt I0
U1
5000mV 2
U 3
12.47 2
89.2
mV
U 5
4.166 2
89.53 mV
u U0 u1 u3 u5
1.57 5000 sin t
12.47 sin( 3t 89.2 )
4.166 sin( 5t 89.53 ) mV
0
0 t T 2
T tT
t T/2 T
2
1
直流分量：IO T
T
1
0 iS (t) dt T
T /2
0 Imdt
Im 2
谐波分量：bK
1
Im ( 1 cos
k
2
0 iS (
k
t
)
0
t)
sin k
2
0 Im
k
td ( t)
K为偶数
A2m cos(21t 2 )
二次谐波 （2倍频）
Anm cos(n1t n ) 高次谐波
f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
也可表示成：
Akm cos(k1t k ) ak cos k1t bk sin k1t
12.47
106 33.3
2
89.20 mV
374.5
89.190
2
(d)五次谐波作用
1
is5
100 15
sin 5 106
t
A
51C 5 106 1000 1012 0.2(KΩ)
51L 5 106 103 5kΩ
Z (5 1
t T/2
（2）奇函数
f(t)
f (t) f (t)