微商的概念
导函数与原函数的对照表
导函数与原函数的对照表
导函数与原函数的对照表：
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即
③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的定义
x x0
x0
x
二、导数概念
1.导数定义
定义: 设y f (x)在点x0的某邻域内有定义, 若存在极限
y lim
lim
f ( x0 x ) f ( x0 )
x0 x x0
x
则称此函数在x0可导，极限值为函数 f 在点 x0 处
的导数或微商 , 记作
因此，在x =2处函数y =x的导数
f (2) lim y lim f (2 x) f (2) lim x
x0 x x0
x
x0 x
=1
用（2）式.
f (2) lim f (x) f (2)
x2 x 2
x
f
2
( x0
)
lim
x x0
1 2
g(t
2 0
2t0
t
t 2 )
1 2
gt
2 0
t
s(t0 )
s
s(t0 t)
g 2
(2t0
t).
令
t 0 ，得瞬时速度
v(t0 )
lim
t 0
g(t0 2
t)
gt0
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
切线
切线可看作曲线上过某定点的一系列割线的极限位置。
f ( x) f ( x0 ) . x x0
lim =1
x2 x 2
练习：求函数 y
f (x)
1在
x
x2
的导数
2.单侧导数
若 lim x x0
f (x) f (x0) x x0
电商与微商的区别
电商与微商的区别电商与微营销是两个概念微商电商：通俗地说，就是做淘宝、天猫、京东，你不能把淘宝店往微信上一搬家就称自己换了行业，由做电商的变成做微营销的了，换个马甲就出来继续混，这两者是截然不同的。
虽然都是网上玩的，但性质却大大不同。
那区别在哪里呢?区别不在地面或网络的售卖形式上，而在人的行为习惯上。
在淘宝天猫，我们的行为惯性就是选购，寻求最大化的边际利益。
而在微信、微博、陌陌上，我们的行为惯性就是社交。
在一个社交惯性的平台上，达成自己的商业目的，这才叫微商。
在一个购物平台上卖东西，这叫电商。
这么定义的话，那我确实看到过做微营销的：一个朋友早几年就在微博上推销商品，轰轰烈烈地干上一场，也确确实实亏了几十万。
微商用电商的思路去做微营销，注定是要一败涂地的。
微信的微店具备了淘宝搬家功能，这是一种误导，让做电商的人误以为按原来的套路搬个家就可以做微营销了。
这也说明走在前端进行平台开发的微信团队，自己也不是特别清楚什么是微营销。
他们是成熟的软件开发者，却是半熟的人性研究者。
感情和生意之间有道鸿沟腾讯叫好不叫座，看着阿里巴巴哗啦哗啦地收银子，也是急得冒汗，所以可劲地往购物上靠，拉京东、搞微店、买大众点评、派，无所不用其极。
可是人的行为惯性是那么难改，人们就爱在微信上聊天扯淡，就是不太喜欢花钱。
微商虽然微信耗去了我们70%的时间，可是在微信上，我们就是“宁说千句话，不舍一文钱”。
手机淘宝不常打开，可打开就购物花钱。
这种感觉我想对于小马哥来说，如同跟一个女子精神恋爱，跟你谈情，却总跟别人上床，如此恋爱得越深，小马哥就越痛苦。
可是换过来讲，小马哥也不用伤心。
瘦马哥(马云)也有精神上的失落，我们天天在淘宝天猫上购物，也没有交到一个朋友不是?他也就是个首富了，穷得就剩钱了。
微商我们的天性里，就是生意归生意，朋友归朋友。
阿里的就是生意，腾讯的就是朋友，做微商难就难在，你要把这两个搞在一块儿就搞混了。
当你发现一个朋友开始向你卖东西时，你就开始归类：这家伙到底是朋友还是商人?在微博上卖东西，完全没有情感牵绊，烦了可以让他“滚粗”;而在微信上，熟人跟你推介东西，你碍于面子总得买一点儿，买多了，感情就淡薄了，这个家伙就从朋友的归类爬进了商人的归类。
微商与微分
或
链式法则的物理意义：
在单位时间由 决定的变化率
=（ 在单位时间内 的变化率）*（ 在单位时间内 的变化率）
(6)幂函数 在 的微商 。
，
基本初等函数的微商公式：
(1) ；
(2) ； ， ， ；
(3) ， ；
(4) ， ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
抽去实际意义，在数学上有共同的数量关系：
函数的增量 比自变量的增量 当 的极限
定义4．1设函数 在 点附近有定义．对于自变量在 点的任一增量 ，函数在该点的相应改变量为
＝ ．
若极限 ＝
存在，则称函数 在 点可导，并称极限值为 在 的微商(differential quotient)或导数(derivative)，记为
证明(i)因为
＝
＝ ，
所以 ＝ ＝ 。
(ii)由于
＝ ＋
＝ ＋
注意到可导必连续，则
＝
＝
(iii)由于
＝
＝
＝
同样利用可导必连续得
定理4.2证完。
利用商的微商运算法则，立得
反函数的求导法则
定理4.3若函数 在 点附近连续且严格单调，又 ，则其反函数 在点 ＝ 可导，且
＝
证明由 在 附近连续且严格单调，则反函数 在 点附近连续且严格单调．因此，
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12)
其次，我们有微商的运算法则：
(1) ＝ ；
(2) ＝ ；四则运算法则
(3) ＝ ；
(4) ＝ 反函数求导法则
(5) ＝ 链式法则
根据这张微商表和微商法则．
微商的概念及其计算
这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导. 30
4. 对数函数 y ln x (x 0)
lim y lim ln(x x) ln x
x0 x x0
x 等价无穷小替代
lim
ln 1
x x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
(ln x) 1
x
31
例8
y loga x (a 0, x 0) , 求y .
(3)
u( x) u( x)v( x) u( x)v( x)
v(
x)
v2 ( x)
( v(x) 0)
36
在证明这些公式时, 用到下列表达式：
u u(x x) u(x)
u(x x) u(x) u
37
(1) 证明 (u(x) v(x)) u(x) v(x)
(u(x) v(x)) lim (u(x x) v(x x)) (u(x) v(x))
x0 x x0
x
6
二.导数的概念
1. 导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
x0
x
x0 x
则称函数 f (x) 在点 x0 处可导, 极限值 a 称为 f (x) 在
点 x0 处的导数. 记为 f (x0 ) a， y'|xx0 a,
x)
1 x ln
a
ae
(ln x) 1 x
33
5. 指数函数 y ax (a 0)
lim y lim a xx a x a x lim ax 1
导数的本质是函数
导数的本质是函数导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x→f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
微分是一个变量在某个变化过程中的改变量的线性主要部分。
导数（Derivative），也叫导函数值。
微商的概念
h) h)
u(x) v()
h 0
h
h 0
h
h l i0 m u(xhh) u(x)vv((x x ) h u)v (x()x)v(xhh)v(x)
u(xh)vu(x(x)) uv(u (xx(v))xv2 )((vxxu())(xx )vh()x)
故结论成立.
推论h: v(xCvh )v(xvC)2v ( C为常数 )
( 1 )[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) ( 2 ) [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) (3) u v((x x)) u(x)v(x v)2 (x u )(x)v(x) (v(x)0)
例 ,(u 如 v w ) u v w
(2) (uv)uvuv
证: 设 f(x ) u (x )v (x ),则有
f(x)lim f(xh)f(x) liu m (x h )v (x h ) u (x )v (x )
h 0
h
h 0
h
hl im 0u(xhh)u(
x)
v(xh)u(
x)
v(xh)v(x) h
x x 0
x 0
x
右导数 若 单 侧 极 限limfx0xfx0
x 00
x
存 在 ,则 称 之 为 fx在 x0的 右 导 数 记 为 fx00.
左导数 若 单 侧 极 限limfx0xfx0
x 00
x
存 在 ,则 称 之 为 fx在 x0的 左 导 数 记 为 fx00.
显然: 函数在一点可导 其左右导数都保存并相等.
第二章 微积分的基本概念 2-1 微商的概念
8个超经典微商招代理牛逼文案(或许你正需要)
8个超经典微商招代理牛逼文案（或许你正需要)关于微商的概念真正的公式：微商＝微信电商＋微博电商.然而，大多数人提起微商,一般指的就是微信朋友圈的产品销售.由于微信大多数加的是比较亲近的朋友、家人，而这些朋友又在朋友圈大规模地推广毒面膜、假冒产品，拉代理,拉下线，使微商被称为“杀熟营销”。
以下为网上广泛流传的微商经常拿来征集会员的8句经典语录，好与坏，相信大众的眼睛是雪亮的，自有评判。
此处，只是怀着一种取其精华的心态,从心理角度来剖析其中的价值与高明之处，不代表支持或反对大家去做微商的概念。
1.要抱怨你的朋友圈都是微商,那说明你的朋友都很上进，总比都是怨妇强。
跟着苍蝇会找到厕所，跟着蜜蜂会找到花朵,跟着千万赚百万，跟着乞丐会要饭.活鱼逆流而上，死魚随波逐流。
总有一天,你会发现微商能带给你意想不到的收获,或是思想上,或是财富上!如果你现在还在嘲笑别人做微商，5年后你会更后悔！就像当初没有人看好马云一样！点评：这句话，说真的是不错的文案！击中人性的痛点:经常抱怨与讨厌抱怨的矛盾心理、缺乏方向感与寻找上进的心理、嘲笑别人与反而被人嘲笑的矛盾。
在人性的底线上挂了一块肉,让人有欲望，也能够得着，高度恰到好处，的确有迷惑人心的功效.2。
一直不明白，想赚钱又死要面子人的自尊是哪里来的,你一个月就3000多块钱的工资能维护你多少的尊严？我承认，我会刷屏，连孟非、老郭、吴昕都在卖产品，你有什么拉不下脸的？自己挣钱自己花才是最牛的，你能挣钱给别人花你就更NB！最可怕的事就是比你优秀的人还比你努力。
点评：这句话,直击人内心的硬伤.工资低但又害怕被人瞧不起，每个人都会有这种感觉，后面用明星作为例证，犹如，给人重重地一击,进而来抚慰，鼓动群众将自己内心的真正情怀释放出来，匹配产品的功能需求，煽动性的话语，的确是步步为营，最终让大家都能信服，做微商就是真理，至于真的算不上真理，只是在精致的蜜语中，让人忘记了痛感。
3。
不要问我,跟我做代理，能挣多少，当你问这句话的时候,你的思想还停留在给别人打工的阶段,能挣多少，你得问你自己想挣多少，boss都是很有野心的，思想决定行动,行动决定收入,收入决定你生活的品质，你必须调整你的思想，你就是boss，你不是跟我在做，我只是你的仓库，而你是boss…点评:这句话，上升到思想的高度,玩逼格。
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微商的概念
微商一直以来是一个数学概念，但是随着时间，经济的发展对微商的定义有一个全新的感念，它不但但是一个数学上的感念。
微：微小的意思。
商：自古以来都是对商人，经济的一种解说。
在现实生活中每个人都是一个微小的商人。
微商新的解说符合现代人，更能符合现代社会的发展。
微商的数学含义：
微商就是在某函数结点上的导数为函数，其因变量的改变量与自变量的改变量两者相除的商。
由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。
又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米/小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。
为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x=f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：[f(t1)-f(t0)] / [t1-t0]，当t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到t1这段时间内的运动变化情况，自然就把极限：[f(t1)-f(t0)] / [t1-t0]作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度
微商的新定义：
微商乃一人制企业主。
社会的细胞是由人作为分子组成的，最小的单位是一个人，只要这个人会发生商业信息或产品的交换或交易买卖就可以称作商人，这是区别于其他人的类别的明显标志。
纵观古今，横贯世界，商业经济的发展和繁荣就是由众多的微商企业主不断的发展壮大，同时有更多的微商分子集结形成了大量的市场经济主体，才形成了所谓的商业。
所以微商是商业经济的细胞，由众多的微商组合而成的微商群，即形成了如今的全球商业市场经济。
独木难成林，聚沙成丘就是这个道理。
所以不可忽视微的力量。