04微商与微分
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微分
d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)
自然指数函数
d/dx(e^x)=e^x
应用
法线
我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的
斜率。
假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线
接近所求的斜率m，当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。
当x = 3 +Δx时，y = 9+ Δy，也就是说，
（展开）
（两边减去9）
（两边除以△x）
∵ （m为曲线在(3,9)上的斜率，为直线斜率）
∴
运算法则
乘法律
连锁律
除法律
（微分连锁律）
（微分乘法律）
（微分除法律）
导数
的斜率m：
m=dy/dx在(x1,y1)的值
所以该切线的方程式为：
y-y1=m(x-x1)
由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：
y-y1=(-1/m)(x-x1)
增函数与减函数
微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。
谢谢观看
切线
当自变量为固定值
需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。
然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率 。微分最早就是为了
从数学上解决这一问题而产生的。
以y=x2为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)
自然指数函数
d/dx(e^x)=e^x
应用
法线
我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的
斜率。
假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线
接近所求的斜率m，当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。
当x = 3 +Δx时，y = 9+ Δy，也就是说，
（展开）
（两边减去9）
（两边除以△x）
∵ （m为曲线在(3,9)上的斜率，为直线斜率）
∴
运算法则
乘法律
连锁律
除法律
（微分连锁律）
（微分乘法律）
（微分除法律）
导数
的斜率m：
m=dy/dx在(x1,y1)的值
所以该切线的方程式为：
y-y1=m(x-x1)
由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：
y-y1=(-1/m)(x-x1)
增函数与减函数
微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。
谢谢观看
切线
当自变量为固定值
需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。
然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率 。微分最早就是为了
从数学上解决这一问题而产生的。
以y=x2为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越
微分概念及其计算
y f (x0)x o(x) 当 x 很小时, 得近似等式:
y f (x0 x) f (x0) f (x0 )x f (x0 x) f (x0) f (x0)x
令 x x0 x f (x) f (x0) f (x0)(x x0 )
使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近.
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
说明
由定理4.5，我们得到
dy f (x0 )x
当 y x 时，y' 1,dy dx 1 x x,
称x为自变量的微分, 记作 则有 dy f (x) dx
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f (x0 )
y x
f (x0 )
( lim 0 ) x0
故Hale Waihona Puke y f (x0 )x x f(x0)x o(x)
即 dy f (x0 )x
线性主部
定理4.5 函数 在点
在点 可微的充要条件是
处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
第四章 微商与微分
第二节 微分概念及其计算
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
y f (x0 x) f (x0) f (x0 )x f (x0 x) f (x0) f (x0)x
令 x x0 x f (x) f (x0) f (x0)(x x0 )
使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近.
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
说明
由定理4.5，我们得到
dy f (x0 )x
当 y x 时，y' 1,dy dx 1 x x,
称x为自变量的微分, 记作 则有 dy f (x) dx
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f (x0 )
y x
f (x0 )
( lim 0 ) x0
故Hale Waihona Puke y f (x0 )x x f(x0)x o(x)
即 dy f (x0 )x
线性主部
定理4.5 函数 在点
在点 可微的充要条件是
处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
第四章 微商与微分
第二节 微分概念及其计算
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
高等数学函数的微分
1
1 x
2
d (log a x)
1 x ln a
dx
d (ln x ) 1 dx x
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x)Leabharlann 11 x2
dx
d
(arccot
x)
1
1 x
2
dx
2.函数和、差、积、商的微分法则
函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分公式及运算法则 四、微分在近似计算中的应用
一、微分的概念
1、案例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x0x
x (x)2
x
正方形面积 y x2 ,
y (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
dy / 记作
x x0 即 dy / xx0 f (x0 )x.
3、定义 函数y = f (x)在任意点x的微分，称为函 数的微分，记为dy或df (x)。即
dy f (x) x
若y = x，则 dy dx (x) x x
dy f (x)dx 微分公式
(1)
(2)
y x02 x0x x0
(1) : x的线性函数,且为y的主要部分;
(2) :x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
因此△y≈2x0△x。
由于y x2 f (x0 ) 2x0 所以y f (x0 )x
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
第四章 微商与微分(4)
= (cos x )
(n)
nπ = cos( x + ). 2
——逐阶整理法
例4. f ( x) = (1 + x)α ,
(α ∈ R )
f ′( x ) = α (1 + x )α −1， f ′′( x ) = α (α − 1)(1 + x )α − 2 ， L
f
(n)
( x) = α (α − 1)(α − 2) L (α − (n − 1))(1 + x)
C nk ( a x ) ( n − k ) (ln x ) ( k ) ∑
k =0
n
n
(−1) k −1 (k − 1)! k = ∑ Cn a x (ln a ) n − k ⋅ . k x k =0
SUN YAT-SEN UNIVERSITY
中山大学信科院计算机科学系 李聪明 2007
10
注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是 重复应用一阶导数的法则. 如：
ψ ′′ ( t )ϕ ′ ( t ) − ψ ′ ( t )ϕ ′′ ( t ) = . 3 (ϕ ′ ( t ))
SUN YAT-SEN UNIVERSITY
中山大学信科院计算机科学系 李聪明 2007
12
d2y 例7. x = a cos t ， y = b sin t ，求 . 2 dx
dy b 解： = − ctgt， dx a
P ′( x ) = na 0 x n −1 + ( n − 1) a1 x n − 2 + L + a n −1 , P ′′( x ) = n ( n − 1) a 0 x n − 2 + ( n − 1)( n − 2 ) a1 x n − 3 + L + a n − 3 . LL
-微商的概念及其计算
称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之
为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：
f
( x)
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x x) x
f
(x)
三.可导与连续的关系
设 f (x) 在点 x0 可导, 即有
f (x0 )
lim y x0 x
lim
x x0
f
(x) x
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的右导数. 记为
f (x0 ) a.
定义
设函数 f (x) 在 (x0 – , x0] 内有定义, 若
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
a
存在, 则称 a 为 f (x) 在点 x0 处的左导数. 记为
f(x0 ) a
l 0
l
t 0
t
小结
解决与速度变化或变化率相关问题的步骤: (1) 建立一个函数关系 y = f (x) , xI .
(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：
y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3) 求 x 0 的极限：
lim y lim f (x0 x) f (x0 ).
lim
x0
f
(x0
kx) kx
f
(x0 )
k 0为常数.
2.导数的几何意义 — 平面曲线的切线问题 平面曲线上切线的概念
Q
•
•
• •
L
切点 P
•
•
T
数学分析简明教程答案(尹小玲邓东皋)第四章
x0
x
lim
x0
3x02x 3x2 x0 x
x3
3x02 ;
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim x3 0 0,
x0
x
x0 x
f '(0 0) lim f (0 x) f (x) lim x3 0 0,
第四章 微商与微分
第一节 微商的概念及其计算
1.求抛物线y x2在A(1,1)点和B(2, 4)点的切线方程和法线方程。
解：函数y x2的导函数为y ' 2x,则它在A(1,1), B(2, 4)的切线斜率分别为
y '(1) 2, y '(2) 4;
于是由点斜式可以求得在这两点的切线方程分别为y 2x 1, y 4x 4.
由于法线斜率与切线斜率的乘积为 1, 故可以求得在这两点的法线斜率分别为
k1
1 2
,
k2
1； 4
那么由点斜式可以求得在这两点的法线方程分别为y 1 x 3 , y 1 x 9 . 22 42
2.若S vt 1 gt2,求 2
(1)在t 1,t 1 t之间的平均速度(设t 1, 0.1, 0.01); (2)在t 1的瞬时速度。 解：(1)可以求得
x
令
lim f (3 x) f (3) lim a(3 x) b 32 lim 3a a x b 9 6,
x0
x
x0
x
x0
x
那么必有
解得：a 6,b 9.
3a b 9 0 a 6
微商与微分
函数 ， 和 的复合函数 对 的导数为
或
链式法则的物理意义：
在单位时间由 决定的变化率
=（ 在单位时间内 的变化率）*（ 在单位时间内 的变化率）
(6)幂函数 在 的微商 。
，
基本初等函数的微商公式：
(1) ；
(2) ； ， ， ；
(3) ， ；
(4) ， ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
抽去实际意义，在数学上有共同的数量关系：
函数的增量 比自变量的增量 当 的极限
定义4．1设函数 在 点附近有定义．对于自变量在 点的任一增量 ，函数在该点的相应改变量为
＝ ．
若极限 ＝
存在，则称函数 在 点可导，并称极限值为 在 的微商(differential quotient)或导数(derivative)，记为
证明(i)因为
＝
＝ ，
所以 ＝ ＝ 。
(ii)由于
＝ ＋
＝ ＋
注意到可导必连续，则
＝
＝
(iii)由于
＝
＝
＝
同样利用可导必连续得
定理4.2证完。
利用商的微商运算法则，立得
反函数的求导法则
定理4.3若函数 在 点附近连续且严格单调，又 ，则其反函数 在点 ＝ 可导，且
＝
证明由 在 附近连续且严格单调，则反函数 在 点附近连续且严格单调．因此，
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12)
其次，我们有微商的运算法则：
(1) ＝ ；
(2) ＝ ；四则运算法则
(3) ＝ ；
(4) ＝ 反函数求导法则
(5) ＝ 链式法则
根据这张微商表和微商法则．
或
链式法则的物理意义：
在单位时间由 决定的变化率
=（ 在单位时间内 的变化率）*（ 在单位时间内 的变化率）
(6)幂函数 在 的微商 。
，
基本初等函数的微商公式：
(1) ；
(2) ； ， ， ；
(3) ， ；
(4) ， ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
抽去实际意义，在数学上有共同的数量关系：
函数的增量 比自变量的增量 当 的极限
定义4．1设函数 在 点附近有定义．对于自变量在 点的任一增量 ，函数在该点的相应改变量为
＝ ．
若极限 ＝
存在，则称函数 在 点可导，并称极限值为 在 的微商(differential quotient)或导数(derivative)，记为
证明(i)因为
＝
＝ ，
所以 ＝ ＝ 。
(ii)由于
＝ ＋
＝ ＋
注意到可导必连续，则
＝
＝
(iii)由于
＝
＝
＝
同样利用可导必连续得
定理4.2证完。
利用商的微商运算法则，立得
反函数的求导法则
定理4.3若函数 在 点附近连续且严格单调，又 ，则其反函数 在点 ＝ 可导，且
＝
证明由 在 附近连续且严格单调，则反函数 在 点附近连续且严格单调．因此，
(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12)
其次，我们有微商的运算法则：
(1) ＝ ；
(2) ＝ ；四则运算法则
(3) ＝ ；
(4) ＝ 反函数求导法则
(5) ＝ 链式法则
根据这张微商表和微商法则．
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
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x x0x (x)2
关于△x 的 x 0时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数 A x2 在 x0 的
微分
一般：函数 y f (x) ,给自变量一个改变量x相应地函数改变量
y f (x x) f (x) 是否也可分成类似的两部分
y x (x)
从而有定义：（可微、微分）
当给自变量以改变量 x 时，函数有改变量
y
sin
x0
x
sin
x0
2
cos
x0
x 2
sin
x 2
,
它们之比为
y
cos
x0
x 2
sin
x 2
.
x
x
2
注意到第三章第三节讲到的两个重要的极限之一，就是
sin x
lim
2 1
x0 x
2
因此
y
lim
x0
x
cos
x0
2 微商的几何意义
f ' x0 为曲线 y f x 上点
例5 求曲线 y x2在对应于 x0 2 处的切线方程和法线方程 解： y ' |x2 2x |x2 ＝4，故在对于 x2 2 处的切线方程 和法线方程分别为
y 4 4(x 2) ，即 4x y 4 0 y 4 1 (x 2) ，即 x 4y 18 0
4
在上面的定义4.1中，考虑 x 0和！x 给0出或了写成证不可
便有定义：
x x0 和 x x导0 的有效方法
定义4.1' 左导数 f ' x0 右导数 f ' x0
显然：函数 f x 在 x0 点可导
注： f x 在 x0 点的左，右导数存在且相等。
定义4.2` 若 f x在开区间a,b 内每一点都可导，则称函数 设 f xf x在a,b开 或区间a,ba上,b可内导可，导则. 对每个 xa,b 都唯一若对f 应x在数 fa',bx 内: x可导f 。' x且 从f ' 而a定, f义' 了b 一都个存新在函，则数称
第四章 微商与微分
微商概念来自一个连续量随另一 个速度量变化的“瞬时”变化率。
§1 微商的概念及其计算
例1 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
1
例9
设 y 1 x2 ，求 y '
解
y
1
1 x2
1 2
1 x2
可视为
y
u
1 2
和u
1
x2
的复合，故
y
u
1 2
' 1 x2
'
1 2
u
3 2
2x
x
3
1 x2 2
例10 设 y x 1 x2 （x>-1），求 y '
x 12 1 x2
解 两边取对数得
ln y ln(x 1 x2 ) ln(x 1)2 ln 1 x2
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 ) o
f (t)
s
例 2 求非均匀棒的密度（一点的线密度 x0 )
均匀棒的密度
棒的质量m 棒的长度l
单位长的质量
非均匀：建立坐标系
0
x0
x0 x
给出质量函数 m f x 取棒的一段 x0 到 x0 x
这段的质量 这段上的平均密度
m f x0 x f x0
y ' esin xln x (sin x ln x) ' esin xln x (cos x ln x sin x ) x xsin x (cos x ln x sin x). x
下面再举两个说明函数在一点连续但并不可导的例子。
例12
1
函数 f (x) (x 1)3 , x (, )
0 x 0
x
lim
x0
x
lx其im0中 x
lim 1 x0 x
左故极限不等于右极限，即差商的极限lixxm0
f (x)
0x
f
(0)
不存在。
所以所函以数f (x) | x | 在x 0在点点不x可连导续。.
y
y
y x
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
y x
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不0可导.
定义4.2 设 y f (x) 在(a,b)有定义，如果对给定的 x (a,b)，有
y f (x x) f (x) x (x),(x 0) 其中A与x 无关，则称 f (x) 在x点可微，并称 x 为函数 f (x) 在点x的微分，记为：
dy x 或 df (x) x
上述定义中有两个概念，一个是可微的概念，另一个是微 分的概念。注意：dy 既与 x 有关又与x有关.
解 两边取对数 ln y sin x ln x
再两边对x求导得 y ' cos x ln x sin x
y
x
故 y ' xsin x (cos x ln x sin x). x
例10 和 例11 采用的方法也称为对数求导法，它简化求导 运算。例11也可用链式法则求得。 因为
y xsin x esin xln x ，所以
说明，微商是一种特殊的极限
例3
求 y x2在 x0 的微商。
给自变量以改变量 x，函数有对应的改变量
y x0 x2 x02 2x0x x2
它们之比为
y x
2x0
x
令x 0 取极限，即得函数 y x2 在 x0 的微商
y
y ' |xx0
lim
x0
x
2x0
例4
求 y sin x 在 x0点的微商。
m f x0 x f x0
x
x
x 越小， 因而
就越接近于 x0 点的线密度 x0
x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
1 微商的定义
定义4.1 设函数 y f x 在 x0 点附近有定义。对于自变量在 x0
点的任一改变量 x x x0，函数在该点的相应改变量为
解： y sin x2 可视为y sin u 和 u x2 的复合，故
y ' sin u' x2 ' cosu 2x 2x cos x2
例8 y sin2 x ，求 y '
解 y sin2 x 可视为y u2和u= sin x 的复合，故
y ' =u2 'sin x' 2u cos x 2sin xcos x sin 2x
(sin x) ' cos x (cos x) ' sin x
（4）对数函数 y loga x
y'
(loga
x) '
1 x ln a
特别
ln x ' 1
x
微商的四则运算法则
定理4.2
(i) (u(x) v(x)) ' |xx0 u '(x0 ) v '(x0 )
(ii) (u(x)v(x)) ' |xx0 u '(x0 )v(x0 ) u(x0 )v '(x0 )
i f g'x f 'u g 'x f 'gxg 'x
ii 链式法则：推广到多个。
（7）幂函数 y x 的微商 x 0
y ' x ' x1
特别：
x ' 1 2x
1 x
'
1 x2
总结：
ln x ' 1
x
98页 微商公式表和运算法则。要求：熟记
例7 y sin x2 ，求 y '
§2、微分概念及其计算
复习 1、可导和导数（微商）的概念 2、无穷小的比较
一. 微分的概念
引例14 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
得增量 x 时, 面积的增量为
y ' ax ' 1 y ln a ax ln a x( y)
（6）反三角函数
i
y arcsin x
y'
1 1 x2
1 x 1
到此ii：第y一步a基rc本co上s完x成（还y '差一点1）1x2
iii y arctan x
y
'
1
1 x
2
iv y arccot x
1 y'
1 x2
从定义可知，微分具有两大特性： (1)微分是自变量的改变量的线性函数容易计算； (2)微分与函数的改变量 y之差是比x 高阶的无穷小量
lim y y0 lim y y0
y y0
y y0
yy0 f y f y0
lim x x0
xx0 f x f x0
lim xx0
1
f x f x0
1
f ' x0
x x0
（5）指数函数 y ax ：为 x loga y 的反函数 而
则其反之数 x y
在点 y0 f x0
可导，且 ' y0
f
1
' x0
证明：由f (x)在 x0 附近连续且严格单调，则反函数x y
关于△x 的 x 0时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数 A x2 在 x0 的
微分
一般：函数 y f (x) ,给自变量一个改变量x相应地函数改变量
y f (x x) f (x) 是否也可分成类似的两部分
y x (x)
从而有定义：（可微、微分）
当给自变量以改变量 x 时，函数有改变量
y
sin
x0
x
sin
x0
2
cos
x0
x 2
sin
x 2
,
它们之比为
y
cos
x0
x 2
sin
x 2
.
x
x
2
注意到第三章第三节讲到的两个重要的极限之一，就是
sin x
lim
2 1
x0 x
2
因此
y
lim
x0
x
cos
x0
2 微商的几何意义
f ' x0 为曲线 y f x 上点
例5 求曲线 y x2在对应于 x0 2 处的切线方程和法线方程 解： y ' |x2 2x |x2 ＝4，故在对于 x2 2 处的切线方程 和法线方程分别为
y 4 4(x 2) ，即 4x y 4 0 y 4 1 (x 2) ，即 x 4y 18 0
4
在上面的定义4.1中，考虑 x 0和！x 给0出或了写成证不可
便有定义：
x x0 和 x x导0 的有效方法
定义4.1' 左导数 f ' x0 右导数 f ' x0
显然：函数 f x 在 x0 点可导
注： f x 在 x0 点的左，右导数存在且相等。
定义4.2` 若 f x在开区间a,b 内每一点都可导，则称函数 设 f xf x在a,b开 或区间a,ba上,b可内导可，导则. 对每个 xa,b 都唯一若对f 应x在数 fa',bx 内: x可导f 。' x且 从f ' 而a定, f义' 了b 一都个存新在函，则数称
第四章 微商与微分
微商概念来自一个连续量随另一 个速度量变化的“瞬时”变化率。
§1 微商的概念及其计算
例1 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
1
例9
设 y 1 x2 ，求 y '
解
y
1
1 x2
1 2
1 x2
可视为
y
u
1 2
和u
1
x2
的复合，故
y
u
1 2
' 1 x2
'
1 2
u
3 2
2x
x
3
1 x2 2
例10 设 y x 1 x2 （x>-1），求 y '
x 12 1 x2
解 两边取对数得
ln y ln(x 1 x2 ) ln(x 1)2 ln 1 x2
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 ) o
f (t)
s
例 2 求非均匀棒的密度（一点的线密度 x0 )
均匀棒的密度
棒的质量m 棒的长度l
单位长的质量
非均匀：建立坐标系
0
x0
x0 x
给出质量函数 m f x 取棒的一段 x0 到 x0 x
这段的质量 这段上的平均密度
m f x0 x f x0
y ' esin xln x (sin x ln x) ' esin xln x (cos x ln x sin x ) x xsin x (cos x ln x sin x). x
下面再举两个说明函数在一点连续但并不可导的例子。
例12
1
函数 f (x) (x 1)3 , x (, )
0 x 0
x
lim
x0
x
lx其im0中 x
lim 1 x0 x
左故极限不等于右极限，即差商的极限lixxm0
f (x)
0x
f
(0)
不存在。
所以所函以数f (x) | x | 在x 0在点点不x可连导续。.
y
y
y x
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
y x
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不0可导.
定义4.2 设 y f (x) 在(a,b)有定义，如果对给定的 x (a,b)，有
y f (x x) f (x) x (x),(x 0) 其中A与x 无关，则称 f (x) 在x点可微，并称 x 为函数 f (x) 在点x的微分，记为：
dy x 或 df (x) x
上述定义中有两个概念，一个是可微的概念，另一个是微 分的概念。注意：dy 既与 x 有关又与x有关.
解 两边取对数 ln y sin x ln x
再两边对x求导得 y ' cos x ln x sin x
y
x
故 y ' xsin x (cos x ln x sin x). x
例10 和 例11 采用的方法也称为对数求导法，它简化求导 运算。例11也可用链式法则求得。 因为
y xsin x esin xln x ，所以
说明，微商是一种特殊的极限
例3
求 y x2在 x0 的微商。
给自变量以改变量 x，函数有对应的改变量
y x0 x2 x02 2x0x x2
它们之比为
y x
2x0
x
令x 0 取极限，即得函数 y x2 在 x0 的微商
y
y ' |xx0
lim
x0
x
2x0
例4
求 y sin x 在 x0点的微商。
m f x0 x f x0
x
x
x 越小， 因而
就越接近于 x0 点的线密度 x0
x0
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
1 微商的定义
定义4.1 设函数 y f x 在 x0 点附近有定义。对于自变量在 x0
点的任一改变量 x x x0，函数在该点的相应改变量为
解： y sin x2 可视为y sin u 和 u x2 的复合，故
y ' sin u' x2 ' cosu 2x 2x cos x2
例8 y sin2 x ，求 y '
解 y sin2 x 可视为y u2和u= sin x 的复合，故
y ' =u2 'sin x' 2u cos x 2sin xcos x sin 2x
(sin x) ' cos x (cos x) ' sin x
（4）对数函数 y loga x
y'
(loga
x) '
1 x ln a
特别
ln x ' 1
x
微商的四则运算法则
定理4.2
(i) (u(x) v(x)) ' |xx0 u '(x0 ) v '(x0 )
(ii) (u(x)v(x)) ' |xx0 u '(x0 )v(x0 ) u(x0 )v '(x0 )
i f g'x f 'u g 'x f 'gxg 'x
ii 链式法则：推广到多个。
（7）幂函数 y x 的微商 x 0
y ' x ' x1
特别：
x ' 1 2x
1 x
'
1 x2
总结：
ln x ' 1
x
98页 微商公式表和运算法则。要求：熟记
例7 y sin x2 ，求 y '
§2、微分概念及其计算
复习 1、可导和导数（微商）的概念 2、无穷小的比较
一. 微分的概念
引例14 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
得增量 x 时, 面积的增量为
y ' ax ' 1 y ln a ax ln a x( y)
（6）反三角函数
i
y arcsin x
y'
1 1 x2
1 x 1
到此ii：第y一步a基rc本co上s完x成（还y '差一点1）1x2
iii y arctan x
y
'
1
1 x
2
iv y arccot x
1 y'
1 x2
从定义可知，微分具有两大特性： (1)微分是自变量的改变量的线性函数容易计算； (2)微分与函数的改变量 y之差是比x 高阶的无穷小量
lim y y0 lim y y0
y y0
y y0
yy0 f y f y0
lim x x0
xx0 f x f x0
lim xx0
1
f x f x0
1
f ' x0
x x0
（5）指数函数 y ax ：为 x loga y 的反函数 而
则其反之数 x y
在点 y0 f x0
可导，且 ' y0
f
1
' x0
证明：由f (x)在 x0 附近连续且严格单调，则反函数x y