常微分方程第5章答案
常微分方程及其应用
第5章常微分方程及其应用习题5.22(6) X dy + ( 2xy-x +1 Hx = 0 , y(1)=0 .5.3可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程案例引入 求微分方程y" = 6x 的通解. 解 两边积分，得y ' = J6xdx = 3x 2+Gy = /(3x 2+0 dx =x 3t C r X +C 2所以，原方程的通解为y=x'+C i x+C 2，其中C i 、C 2为任意常数.5.3.1可降阶微分方程 1.形如y(n)= f(X)的微分方程特点：方程右端为已知函数f (x).(1)2X dx + ydy = 0 ； (2) x y'-yin y =0 ； (3) 22(xy +x)dx +(y-x y)dy =( )；(4) y ‘ - 3xy =0 ;(5)c p x 2y —y =e ;(6) y' = ytanx+cosx .2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 八e 23, y(0) =0；(2)dx - ydy = 0 , y(0)=1 + y 1+x (3) y ，- y =cosx , y(0) = 0； (4) y ‘ 一 y tan x = secx ,y(0) = 0 ；1 .求下列各微分方程的通解:1；y ・+Y=沁,y ⑴=1 ； x x两边再积分，得解法：对y(n)= f(x)连续积分n 次，即可得含有n 个任意常数的通解.2.形如y " = f(X, y )的微分方程 特点：方程右端不显含未知函数y .解法：令y = p(x)，则y = p'(x).于是，原方程可化为 p' = f (x, p).这是关于p,p'的一阶微分方程•设其通解为 p(x)=®(x,C i )，即y'=®(x,C i ) •两边积分，即可得原方程通解y =代(X'CJdx +C 2，其中C 1、C 2为任意常数.3.形如yJf(y,y)的微分方程 特点：方程右端不显含自变量 x .= x+C 2,其中C i 、C2为任意常数. 屮(y,C i)例5-7 求微分方程y w = sin X - cosx 的通解.解 两边积分，得 y"=J(si n X-cosx) dx =-cosx-si nx + 2C i两边再积分，得 y = J(—COSX —sin ^2C 1 dx = -sin x + cosx +2C 1x + C ?解法：令/ = p(y)，则y=如理*生=pd p.于是，原方程可化为dy dx dy dyPp = f (y, p).这是关于 p, p的一阶微分方程.设其通解为p(y)=屮(y,C i ),即吐=屮(y,C i ).分离变量，得dxdy 屮(y,C i )=dx•然后两边积分，即可得原方程通解dy2第三次积分，得 y = J(—sin X+C0SX+2C 1X +C 2 dx =cosx + sinx+Gx +C 2X + C 3所以，原方程的通解为 y =cosx+sin X+0x 2+C 2X+C 3，其中c i例5-8求微分方程xy”_y'=0的通解.解 令y ，= p(x)，则y = p'(x).原方程可化为xp' — P = 0 , 是关于p, p'的一阶线性齐次微分方程•其通解为:y = f2C 1xd^C 1x^C 2，其中 C 1、C 2为任意常数.例5-9 求微分方程y"-一 y'xe 」的通解.X解 令y = p(x)，则y " = p(X)•于是，原方程可化为P,P '的一阶线性非齐次微分方程.其通解为一dx IV一 -dxp(x)=e'x If xe e 'x dx + 2C 1=x ( fe^dx +2Ci )= xjr +2Ci )即y'=x(-ej +2C 1)•两边积分，即得原方程通解y = J x (-e " +2G dx = [(—xe * +2C 1xdx = f xd (e ^ )+C 1x 2= xe^ - fe^dx +C 1x^(^1)e^ +C 1x^C 2、C 2、C 3为常数.P(X)=2C ieRx =2C 1e ln^2C 1x ，即 /=2C 1x •两边积分, 即得原方程通解p = xe* •这是关于-In x , , c —dx +2C i其中C i、C2为任意常数.则y " = PP '（ y ）.于是，原方程可化为ypp' 一 P 2= 0 ,即例5-10 求微分方程2yy"—(y j =0 的通解.p'—丄p = 0 •这是关于yp, p'的一阶线性齐次微分方程.其通解为 fldylp(y) = C i e y = Ge ny = C i y ，即 y ' = G y .所以原方程通解为y=C 2e 卩"'=C z e&x ，其中C i 、C 2为任意常数.5.3.2二阶常系数齐次线性微分方程 定义5.4形如y" + py’ + qy =0 , p 、q 为常数(5-5)的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程解的结构定理5.1如果函数y^x ）和y 2（x ）是方程（5-5 ）的两个解，那么y =C i y i (x)+C 2y 2(x), G 、C 2为任意常数(5-6)也是方程（5-5）的解.（证明略）定理5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性.那么叠加起来的解y =C i y i （x ） + C 2y 2（x ）就是通解吗？不一定.例如，设函数 y i （x ）是方程（5-5）的一个解，则函数 y 2（x ）=2y i （x ）也是方程（5-5）的一个解.由定理 5.i 可知，y =C i y i (x)+2C 2y i (x) =(C i +2C 2)y i (x)是方程(5-5)的解•但C^2C 2=C 仍是一个任意常数， 所以y =（C i +2C 2）y i （x ） =Cy i （x ）不是方程（5-5）的通解.那么在什么条件下才能保证y^Gyjx ） +C 2y 2（x ）就是通解呢?定义5.5设y i （x ）和y 2（x ）是定义在某区间I 上的两个函数，如果存在两个不全为零 的常数k i 和k 2，使k i y i （x ）+k 2y 2（x ） =0在区间I 上恒成立，则称函数 ％ （x ）与y 2（x ）在区间I 上线性相关，否则称线性无关.由定义5.5可知，判断函数y^x ）与y 2（x ）线性相关或线性无关的方法:当y^X ）= 一鱼=常数时，y i （x ）与y 2（x ）线性相关•当 y i （x ） k 2y 2（x ）线性无关.定理5.2 如果函数y i （x ）和y 2（x ）是方程（5-5）的两个线性无关的特解，那么 （5-6）是方程（5-5）的通解.（证明略）2.二阶常系数齐次线性微分方程的解法（5-5）的两个线性无关的特解.所以只要r 满足方程P 、q 为常数即当r 是方程（5-7）的根时，函数y =e rx就是方程（5-5）的解.定义5.6方程（5-7）称为方程（5-5）的特征方程.特征方程的根称为 特征根.y 2(x) y i (x)H 常数时，y i （x ）与由上述关于解的结构分析可知，欲求方程（5-5）的通解，首先需讨论如何求出方程猜想方程（5-5）有形如y =e rx的解，其中r 为待定常数•将y=e rx代入该方程，得（e"）” + 卩（「）’初（「）+ pre" r/2rx=(r 中 pr 中q)e =0 , rx由于e H0,(5-7)设r,、r2为特征方程（5-7）的两个特征根.根据特征根的不同情形，确定方程（5-5）的通解有以下三种情况:（1）若方程（5-7）有两个不相等的实根r i H「2,则y i = e rix和y^ e r2x是方程（5-5）的两个线性无关的特解，故方程（5-5）的通解为^C1e r1^C2e r2x，其中C1、C2为任、、八Nr、匸意吊数.（2）若方程（5-7）有两个相等实根r, =「2 = r =-卫则仅得到一个特解y^e rx2利用常数变易法可得到与y1 =e rx线性无关的另一个特解y= xe rx，故方程（5-5）的通解为y =C1e r x +C2xe r x，其中C,、C2为任意常数.（3）若方程（5-7）有一对共轭复根» =a +i P与『2 =a - i p，则y^e^*^x和y2 是方程（5-5）的两个复数特解.为便于在实数范围内讨论问题，在此基础上可找到两个线性无关的实数特解e^cos Px和e^x sin Px .故方程（5-5 ）的通解为y =e g C i cos P x +C2 sin P x），其中C,、C2 为任意常数.由定理5.1可知，以上两个函数e Q X cos P x和^x si n P x均为方程（5-5）的解，且它们线性无关.上述依据特征根的不同情形来求二阶常系数齐次线性微分方程通解的方法, 称为特征根法.一般步骤:第一步写出所给微分方程的特征方程;第二步求出特征根;第三步根据特征根的三种不同情形，写出通解. （特征根与通解的关系参见表5-1）表5-1特征根与通解的关系特征方程r2+pr +q =0的两个根r, , q 微分方程y"+ py' + qy=O的通解例5-11 求微分方程y“-2y'-3y=0的通解.解该方程的特征方程r — 2r —3 = 0的特征根为匚=—1, D = 3 ( 口H j).所以，方程的通解为y - De- +C2e3x.例5-12 求微分方程y”+2y' + y=0满足初始条件y(0)=0, y'(0) =1的特解.解该方程的特征方程r2 +2r +1 =0的特征根为R =「2 = -1.所以方程的通解为y =(C1 +C2X)e」上式对x求导，得: y，=C2e 一-(G +C2x)e 一将y(0) =0, y'(0) =1代入上两式，解得G =0 , C2 =1 .因此，所求特解为y = xe^ 例5-13 求微分方程y”—2y，+5y =0 的通解.解该方程的特征方程r2 -2r +5 =0的特征根为匚=1 +2i ,心=1 -2i .所以，方程的通解为y = e x(C1 cos2x +C2Sin2x).5.3.3二阶常系数非齐次线性微分方程定义5.7形如y" + p yyqy = f(x) , p 、q 为常数的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程1.二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构如果函数y^x)是方程(5-8)的一个特解，Y(x)是该方程所对应的线性齐 其中Q n (x)是与P n (x)同次待定多项式.(5-8)定理5.3 次方程(5-5)的通解，那么y =Y(X)+y "x)(5-9)是方程(5-8) 的通解.定理 5.4 如果函数y 1(x)是方程y" + Py'+qy = fjx)的特解，函数y 2(x)是方程y +py +qy =f 2(x)的特解，那么/ = y i”(x) +y 2(x)(5-10)就是方程y" + py' + qy = f 1(x) + f 2(x)的特解.2.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的通解问题已经解决，根据定理 5.3,求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解的关键在于求其自身的一个特解.以下介绍当自由项 f(x)为几类特殊函数时求特解的方法: (1) f(X)=P n (x)e/x, P n (x)是x 的n 次多项式，A 是常数 微分方程的特解可设为沖k. /Xy =x Q n (x)e"，不是特征根时，k =/是单特征根时，k = 1(2) f (X) =P n(x)cos©x (或P n(x)s in ©x), P n(x)是x 的n 次多项式，©是常数微分方程的特解可设为… ks /、 C /、. ■, 血i非特征根时，k=0y=X[Qn(X)沁x+R n(X)s gX] '｛勿j是特征根时，心其中Q n(x)和R n(x)是与P n(x)同次待定多项式.(3) f (X) =ecos^x (或e赵sin w x), A与©均为常数微分方程的特解可设为k7 几+切)非特征根时，k=0y =x e那[Acoseox+Bsin^x], —,iA+©i是特征根时，k= 1(4)当f (x)为上述任意两类函数之和时，根据定理5.4处理即可.例5-14 求微分方程y"-2y' = 3x+1的通解.解方程y"—2y'=0的特征方程r -2r=0的特征根为r, = 2 , “=0 •于是方程y"-2y'=0的通解为又因为P n(x) =3x +1，几=0是单特征根，所以原方程的特解可设为y* = xQ n(X)= x( Ax + B)3 5代入原方程，解得 A = ——, B = - 一.故原方程的通解为4 4C 2x 土小3 2 5^C1e 中C2 一一X —-x .4 4例5-15 求微分方程y"中y ' + y=3e2x的一个特解.y =C i cosx +C 2 sin xy * = x( Acosx + Bsin x)解 方程y " + y + y =0的特征方程 r 2+r +1=0的特征根为r 1r2 = 一一1 "*^i . f(x^3e 2x , Z =2非特征根，所以原方程的特解可设为2 2代入原方程，解得T .故所求特解为几尹例5-16 求微分方程y" + 3/ +2y=xe 上X 的一个特解. 解 方程y ”+3y ' + 2y =0的特征方程r2+3r +2=0的特征根为口 = 一2 ,「2 = —1 . f(X)=xe'x, P n (x) =x ，扎=-2是单特征根,所以原方程的特解可设为/ =x(Ax +B)e41 X 2代入原方程，解得A = —— ,B = —1.故所求特解为y*=x(—— —1)e2 2例5-17 求微分方程y " + y = Sin X 的通解.=0的特征方程r 2 +1 =0的特征根为 山=i ，「2 =-i .于是方程¥丄y +y =0的通解为又因为f(X)=sin X ， 几+ Q i =i 是特征根，所以原方程的特解可设为代入原方程，解得 A=—1, B=0 •故原方程的通解为 21y = G cosx +C 2Sin x —一 xcosx .2例5-18 求微分方程y" + y=xcos2x 的一个特解.解 方程y" + y =0的特征方程r 2+1=0的特征根为r , = i , q = —i .f （X ）= XCOS2X ，乙+ © i = 2i 不是特征根，所以原方程的特解可设为y * =(Ax + B) cos2x + (Cx + D)sin 2x1 4 代入原方程，解得 A = — — , B=0 , C=0, D=—.故所求特解为39* 1 4y =——xcos2x + — sin 2x .3 9例5-19 求微分方程y "+3y '-y =e X cos2x 的一个特解.解 方程y "+3y ' —y=0的特征方程r2+3r —1=0的特征根为r 1设为y * =eX ( Acos2x + Bsin 2x)解 方程y -2y ' + y =0的特征方程r 2 -2r +1=0的特征根为n = q = 1 .1f 1（x ） =—e X , f 2（x ） =sinx , =1是二重特征根，=i 不是特征根，所以两个分解r 23 V 13f （x ） =e x cos2x ，几+ eo i =i+2i 不是特征根，所以原方程的特解可代入原方程,例 5-201 10得 A =———,B=——.故所求特解为101101 y * =e X ( -^^cos2x + n 2x).101 1011求微分方程y "—2y' + y=—e +sinx 的一个特解. cos2x +2方程的特解可分别设为y r = Ax 2e x 与 y2 = B cosx +Csin x1分别代入两个分解方程，解得A= — ,B= — ,C=0 .故所求特解为4X 12 xy = — x e4习题1.求下列各微分方程的通解:5. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1) y" —4y' + 3y =0, y(0) =6, y'(0) =10 ； (2)y" —4y' + 4y=0, y(0) =1 , y'(0) = 4 .1 +- cosx . 25.3(1) y " = X +sin x ；(2)利xy =(3) xy" + y'=0 ；(4)H 1, xy — 一 y = xe ;(5)八1 +(y )2；+ _2 1 2 (y) =0. -y2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:⑴ yJe 2x, y(1) =y(1) =y"(1) =0 ;2(2) y” —3(y) =0 , y(0) =0 , y(0) =—3.判断下列各函数组是线性相关还是线性无关: (1) x与 X 2； (2) e2x与 6e 2x； X(3) x与xe ； / 、 x. x .(4) e cosx 与e sin4. 求下列各微分方程的通解:(1) y” —y'=0；(2) y “+ 4y=0 ； (3) y” —10y'+25y =0 ；(4) y "+y ' + y= 0 .6. 求下列各微分方程的一个特解:7. 求下列各微分方程的通解:&求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1) yJ3yq2y=5，y(0) =1，y'(0) =2 ； (2) y"-y =4xe X , y(0)=0, "(0)=1.5.4微分方程应用举例微分方程在实践中有着广泛的应用.在实际应用中，常常需要应用微分方程寻求实际 问题中的未知函数.而要建立微分方程，除了需要数学知识外，往往还需要许多专业方面 的知识•本节通过举例来介绍微分方程在几何学、电工学及力学方面的一些简单应用.例5-21曲线L 上点M(x,y)处的法线与x 轴的交点为 N ，且线段 MN 被y 轴平 分.求曲线L 的方程.解 如图5-2，设曲线的方程为 y =y(x).先建立法线 MN 的方程.设法线上的动点坐标为(X ,Y),由于法线MN 的的斜率为 1k 法=-二，于是法线MN 的方程为y'1Y-y = -rXy(1) y"_2y ，—3y =3x +1 ; yN_4y ，+ 4y =e 2x ； (3)y "-2y ，+ 2y =e 」sinx ；y "+ 4y = X +1 +sin X .(1) y "-2y y = X 2y" + 2y'-3y =e X ；(3) y "+y =e x +cosx ；yH-y ，-2y = x + cos2x .-x)又因为线段 MN 被y 轴平分，从而MN 与y 轴交点坐标为p(0丄)，代入上式，得，2^-y =—丄(0-X)，即 yy' = —2x例5-22 设有一 RC 电路如图5-3所示，电阻 R = 1O 0，电容C =0.1F ，电源电 压U =10si nt(V)，开关K 闭合前，电容电压u c =0，求开关K 闭合后电容电压随时图5-3解 设开关K 闭合后电路中的电流为i(t)，电容极板上的电荷为q(t)，则有用分离变量法解得X 2其中c 为任意正数.CRc . dq d(Cu c) c du e q = cu c, i =— = ------------------- = c ---dt dt dt根据回路电压定律：电容电压与电阻电压之和等于电源电压，即U c + Ri = U，于是有u^Rcdu c- .将R = 10 , C = 0.1 , U =10sint代入，得uC +u c =10sint .又因为开关K闭合前, 电容电压u c =0,即u c (0) =0 .从而问题转化为初值问题:(u C +U c =10si nti u c(0) =0用通解公式求得通解u c = Ae，+5(s i ti-cos)将初始条件u c (0) =0代入通解，求得A=5•所以，所求特解为U c =5e 丄+5(s in t-cost)此即为所求规律U c(t)的表达式.例5-23 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与其下落的速度成正比(比例系数为常数k > 0)，起跳时的速度为0 .求跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系.解这是一个运动问题，可利用牛顿第二定律 F =ma建立微分方程.设跳伞员下落的速度与时间之间的函数关系为v =v(t)，则加速度a =v'(t).由于跳伞员在下落过程中所受外力只有重力和空气阻力，于是有 F =mg -kv，由牛顿第二定律F = ma可得速度V =v(t)应满足的微分方程为mg -kv =mv .又因为起跳时的速度为0 ,即其初始条件为v(0) =0 •所以，这个运动问题可化为初值问题:何g - kv = mv’ 卜(0) = 0上tmg -kv =Ce m .将初始条件为 v(0) =0代入通解，解得kv^^O-e 韦t) , 0<t<T (T 为降落伞着地时间)，此 k即为所求函数关系.在时刻t =0时，测得其温度为150C ,10分钟后测得温度为100£ .已知牛顿冷却定律: 物体冷却速率与物体和介质的温差成正比. 求物体的温度与时间的函数关系，并计算20分钟后该物体的温度.解 设物体的温度与时间的函数关系为T =T(t).因为热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，从而物体随时间增加而逐渐冷却，所以冷却速率(温度的变化速度)t =20代入，得 T(20) =24 +12604051 过0疋 64(°C).例5-25弹簧振动问题.设有一弹簧上端固定， 下端挂着一个质量为 m 的物体.簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹簧恢复力大小相等，方向相反•设给物体一个初 始位移X o ，初速度V o ，则物体便在其平衡位置附近上下振动•已知阻力与其速度成正比,用分离变量法求出通解为C =mg .因此，所求特解为例5-24 物体冷却过程. 将某高温物体置于空气中冷却，假定空气温度恒为 249 , T (t) <0 ,而物体和空气的 温差恒为正.所以，根据牛顿冷却定律可得¥十(一24).又因为在时刻而问题转化为初值问题：t=0时，测得其温度为1509，即有T(0)=150 .从其中k > 0为比例常数.T(0) =150用分离变量法或通解公式解得T =24+1260山.将T(10) =100代入，求得k.^^^0051.故物体的温度与时间的函数关系为T =24+126eq 051•将当弹求振动过程中位移 x 的变化规律.////////解 建立坐标系如图5-4所示，平衡位置为原点. 位移x 是时间t 的函数X = x(t).物体在 振动过程中受到弹簧恢复力f 与阻力R 的作用•由虎克定律，有 f「1,2 = -n ±v n 2 -豹2.具体情况讨论如下:弹性系数，负号表示弹簧恢复力与位移方向相反;R = -P v ，其中 卩> 0为比例系数(或称阻尼系数)，负号表示阻力与速度方向相反.根据牛顿第二定律F = ma ，可得ma = —kx - 出.又因为 a = x"(t)，V =x'(t)，记 2n =巴八2m所以上述弹簧振动问题化为初值问题:亍2|d X , _ dx ." --- +2n —— dt dt1x(0) =X 0,x'(0)这是一个二阶常系数齐次线性方程, 其特征方程为r 2 +2nr 2=0，特征根为=—kx ，其中k >0为(1) 大阻尼情形，即n X .这时, 特征根是两个不相等实根，所以方程的通解为x = GeG 』2^2^ +c e -(E n 2看)t(2) 临界阻力情形，即 n =©O图5-4停止，称为弹簧的阻尼自由振动.习题5.41 •设过点(1,1)的曲线L 上任意点M(x,y)处的切线分别与x 轴、y 轴交于点A 、B , 且线段AB 被点M 平分.求曲线L 的方程.2 •在如图5-5所示的RC 电路中，已知开关S 闭合前，电容上没有电荷，电容两端C ，电源电压为E •把开关S 合上，电源对电容充电，电图5-5 3.将温度为100心的沸水注入杯中，放在室温为20°C 的环境中自然冷却，5min 后 测得温度为60乜.求水温与时间的函数关系， 并计算水温自100七降至30°C 所需时间.4. 设有一弹簧上端固定，下端挂着一个质量这时，特征根r ,=『2 = -n , 所以方程的通解为X = (C i + C 2t)e 』t(3)大阻尼情形，即n X这时，特征根是一对共轭复根 「1,2 = -n ±晶2 _n 2i ，所以方程的通解为X =e 』t (C 1 cos JJ -n 21 + C2 sin上述三种情形中的任意常数均可由初始条件确定. 这类振动问题均会因阻尼的作用而容电压U c 逐渐升高.求电容电压U c 随时间t 变化的规律.电压为零，电阻为 R ，电容为为0.025kg 的物体.先将物体用手拉到离平衡位置0.04m 处，然后放手，让物体自由振动.若物体所受的阻力大小与运动速度成 弹簧的弹性系数 k=0.625N/m ，阻尼系数4 =0.2N ‘s/m .求物体 的运动规律. 知识拓展:马尔萨斯（Malthus ）模型Malthus ）模型是最简单的生态学模型.给定一个种群，我们的目的是确 定种群的数量是如何随着时间发展变化的.为此，我们作出如下假设:模型假设:1. 初始种群规模已知 x （0） =X o ，种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量 可以看作是连续变化的;2. 种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）3.种群的出生率和死亡率为常数， 即不区分种群个体的大小、年龄、性别等;4.环境资源是无限的.确定变量和参数： 为把问题转化为数学问题，我们首先确定建模中所需变量和参数:t :时间（自变量），x （t ） : t 时刻的种群密度，b :瞬时出生率，d :瞬时死亡率.模型的建立与求解:考察时间段［t,t +A t ］（不失一般性，设 M>0）,由物质平衡原理，在此时间段内种 群的数量满足:t + A t 时刻种群数量-t 时刻种群数量 =也t 内新出生个体数- A t 内死亡个体数,正比，方向相反, 马尔萨斯（x(t +A t) -x(t) =bx(t)At -dx(t)At=(b-d)x(t):=Ax(t) dt满足初始条件x(0) =X o 的解为X(t) ^00(5 = X 。
《常微分方程》第五章练习题
x
y
C1
e3t 2e3t
C2
et 2et
3、满足初值条件的解为
~
(t )
et e t
4、方程组的通解为
x y
C1e2t
4 5
C2e7t
1 1
。
4
5、所求基解矩阵为 (2 e
3t
3)e
3t
e 3t (2 3)r
3t ．
6、 (t )
e3t [E
t(A
3E)]
A1 (t)
A2 (t)
，t
(a,b) .
部分参考答案 一、填空题
1、 (t) (t)C
2、(t) exp[(t t0 )A]
t t0
exp[(t s)A] f (s)ds
3、必要
t t0
1 (s) f
(s)ds
三、计算题
1、
A
4 3
3
4
2、原方程组的通解为
x ' Ax ce mt 有一解形如(t) pemt ，其中 c ， p 是常数向量．
3
4、证明：如果 φ(t) 是方程组 x Ax 满足初始条件 φ(t0 ) η 的解，那么
φ(t) [exp A(t t0 )]η 。
5、证明：如果 Φ(t),Ψ (t) 在区间 a t b 上是 n 阶线性方程组
1、向量
X1
(t)
2et 0
，
X
2
(t)
t 2et et
的伏朗斯基行列式
W (t) =（
）．
A 、0 ； B 、 tet ； C 、2 e t ； D 、2 e2t ．
2、有关矩阵指数 exp A 的性质，以下说法正确的是（ ）
常微分方程智慧树知到答案章节测试2023年内蒙古民族大学
第一章测试1.下列方程不是常微分方程的是（）A: .B: .C: .D: .答案:D2.下面方程中不是线性微分方程的是（）A: .B:C: .D: .答案:D3.下列微分方程不是驻定的是（）A:B:C:D:答案:C4.下面是微分方程的特解的是（）A: .B: .C: .D:答案:D5.微分方程的阶数是（）.A:1；B:3；C:4.D:2；答案:B6.下列方程中的线性微分方程是（）.A: .B: ；C: ；D: ；答案:D第二章测试1.下列微分方程中，可分离变量的是( )。
A:B:C:D:答案:D2.下列函数中，哪个是微分方程的解( )。
A:y=2xB:y=-xC:y=-2xD:y=x2答案:D3.微分方程的一个特解是( )。
A:B:C:D:答案:C4.满足的特解是( )。
A:B:C:D:答案:C5.方程的通解是( )。
A:B:C:D:答案:B第三章测试1.利用唯一性充分条件，在平面上微分方程有唯一解的区域是（）A:B:C:D: .答案:A2.微分方程的第二次近似解是（）A:B:C:D:答案:D3.按存在唯一解定理，微分方程第一次近似解在区域中的误差估计是（）A:0.375B:0.625C:0.125D:0.325答案:A4.方程存在唯一解的区域是（）A:除了外均存在唯一解B:除了外均存在唯一解C:除了外均存在唯一解D:除了外均存在唯一解答案:D5.方程存在唯一解的区域是以下选项中的（）A:B:C:D:答案:C6.方程的第二次近似解在解的存在区间的误差估计是（）A:B: .C: .D: .答案:A7.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的（）A:充分条件B:不充分不必要条件C:充要条件D:必要条件答案:D8.方程过点共有（）A:二个解B:无数个解C:一个解D:没有解答案:B9.方程组的任何一个解的图象是（）A: 维的B: 维的C: 维的D: 维的答案:B10.连续是保证方程初值唯一的（）A:不充分不必要条件B:必要条件C:充分条件D:充要条件答案:C11.阶线性非齐次微分方程的所有解（）A:不能构成一个线性空间B:构成一个维线性空间C:构成一个维线性空间D:构成一个线性空间答案:A12.利普希茨条件是一阶微分方程存在唯一解的（）条件.A:充分条件B:必要条件C:充分必要条件D:既非充分也非必要条件.答案:A13.函数对是否满足李普希兹条件（）A:满足B:可能不满足C:不满足D:可能满足答案:A14.如果存在常数使得不等式（）对于所有都成立，称为利普希兹常数，函数称为在上关于满足利普希兹条件。
常微分方程(第三版) 王高雄等编 高等教育出版社 课后习题答案
1常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123.yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xxyxyx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdudxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee ee ee eexy uu xy x uu xyxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程知到章节答案智慧树2023年齐鲁师范学院
常微分方程知到章节测试答案智慧树2023年最新齐鲁师范学院第一章测试1.二阶微分方程的含有两个任意常数的解一定是通解。
（）参考答案:错2.满足初值条件的解称为是微分方程的特解。
（）参考答案:对3.一阶微分方程的通解表示平面上的一条曲线。
( )参考答案:错4.不是线性微分方程的方程一定是非线性微分方程。
( )参考答案:对5.函数为任意常数是方程的通解。
( )参考答案:对第二章测试1.一阶非齐次线性微分方程的任意两个解之差必为相应的齐次线性微分方程的解。
（）参考答案:对2.微分方程（）参考答案:二阶线性微分方程3.微分方程的满足的特解为（）参考答案:4.微分方程的通解为（）参考答案:5.若一阶微分方程有积分因子，则积分因子一定是唯一的。
（）参考答案:错第三章测试1.所有的微分方程都可以通过初等积分法求得其通解。
（）参考答案:错2.要求得一阶微分方程的特解，应该给定一个初值条件。
（）参考答案:对3.李普希兹条件是一阶微分方程初值问题解存在唯一的充要条件。
（）参考答案:错4.存在唯一性定理中解的存在区间是唯一的。
（）参考答案:错5.微分方程初值问题的解只要存在就一定唯一。
（）参考答案:错第四章测试1.若函数在区间上线性相关，则在上它们的伏朗斯基行列式。
（）参考答案:错2.如果方程的解在区间上线性无关，则在这个区间的任何点上都不等于零，即（）参考答案:对3.由n阶齐线性方程的n个解构成的伏朗斯基行列式或者恒等于零。
( )参考答案:对4.n阶齐线性方程可以有n+1个线性无关的解。
（）参考答案:错5.是方程的通解。
（）参考答案:对第五章测试1.如果矩阵，维列向量是可微的，则（）参考答案:对2.向量是初值问题在区间上的解。
（）参考答案:对3.设是矩阵，则。
（）参考答案:对4.如果向量函数在区间线性相关，则它们的伏朗斯基行列式，。
( )参考答案:对5.如果，在区间上是的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异常数矩阵，使得在区间上。
第五章 常微分方程初值问题数值解法
则有
yn 1 yn hf ( xn , yn )
( 5.2 ) Euler格式
例5.1 用Euler格式解初值问题
2x y y y y (0) 1
取步长h=0.1.
(0 x 1)
Euler格式的具体形式为
y n 1 y n hf ( x n , y n ) 2 xn yn 0.1( yn ) yn 0.2 xn 1.1 yn yn
计算公式的精度 常以Taylor展开为工具来分析计算公式的精度. 为简化分析，假定yn是准确的，即在 yn y ( xn ) 的前提下估计误差 y ( xn 1 ) yn 1 Euler格式的局部截断误差 由 从而 局部截断误差
f ( xn , yn ) f ( xn , y ( xn )) y '( xn ) y ( xn 1 ) yn 1 y ( xn 1 ) ( yn hf ( xn , yn )) y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn )
y ( xn ), y ( xn 1 ), 的近似值 y1 , y2 , , yn , yn 1 ,
相邻两个节点的间距 h xi 1 xi 称为步长，步 长可以相等，也可以不等.本章总是假定h为定数， 称为定步长，这时节点可表示为
xn x0 nh , n 0,1, 2,
由f ( xn 1 , yn 1 ) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) y '( xn 1 )（在xn点Taylor展开） h2 y '( xn ) hy ''( xn ) y '''( xn ) ... 2 3 2 h h 因此yn 1 y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 4 h f y ( xn 1 , )( yn 1 y ( xn 1 )) 2 h2 h3 y ( xn 1 ) y ( xn ) hy '( xn ) y ''( xn ) y '''( xn ) 2 3!
常微分方程第5章答案
习题1.给定方程组x = x x= （*）a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解.b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= =u (t)= = u(t)又 v(0)= =v (t)= = = v(t)因此 u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.&b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =w (t)= u (t)+ v (t)= +=== w(t)因此 w(t)是给定方程初值问题的解.2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0;c)x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1解：a）令 x ＝x, x = x , 得即又 x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x ＝ x(1)＝其中 x＝ .b) 令＝x ＝＝＝则得：/且 (0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,(0)= (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)= , 其中 x= .c) 令w ＝x， w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为：且即 ww(0)= 其中 w＝3. 试用逐步逼近法求方程组】＝ x x＝满足初始条件x(0)=的第三次近似解.解：\0241201 杨素玲习题02412—02 02412—031.试验证 =是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
解：令的第一列为 (t)= ,这时 (t)= = (t)故 (t)是一个解。
第5章常微分方程数值解法
2hyxn
2h3 3!
y
yxn1
yxn1 2hyxn
h3 3
y ②
将①、②两式相减：
y
xn1
h3 yn1 3
y
——两步法局部截断误差
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2024年8月7日
（2）梯形公式
yn1
yn
h 2
f
xn , yn
f
xn1 , yn1
yxn
hf
2
xn ,
yn1 yxn1 2hyxn ①
2024年8月7日
17
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2024年8月7日
将函数用泰勒级数展开：（ h 较小， 相差不大）
yxn1
yxn
h 1!
yxn
h2 2!
yxn
h3 3!
y
yxn1
yxn
h
1!
yxn
h2
2!
yxn
h3
3!
y
yxn1
yxn1
yxn
f
xn1 , yxn1
yn1
yxn
h 2
y
xn
yxn1 ①
将函数用泰勒级数展开：
yxn1
yxn
h 1!
yxn
h2 2!
yxn
h3 3!
y ②
yxn1
yxn
h 1!
yxn
h2 2!
y ③
（ h 较小， 相差不大）
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2024年8月7日
①、②两式相减，并代入③式：
（图示表示梯形法计算结果）
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1.给定方程组x = x x= （*）a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解.b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= =u (t)= = u(t)又v(0)= =v (t)= = = v(t)因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解.b) w(0)= u(0)+ u(0)= + =w (t)= u (t)+ v (t)= +=== w(t)因此w(t)是给定方程初值问题的解.2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0c)x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1解：a）令x ＝x, x = x , 得即又x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x ＝x(1)＝其中x＝.b) 令＝x ＝＝＝则得：且(0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2,(0)= (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)= , 其中x= .c) 令w ＝x，w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为：且即ww(0)= 其中w＝3. 试用逐步逼近法求方程组＝x x＝满足初始条件x(0)=的第三次近似解.0241201 杨素玲习题5.202412—02 02412—031.试验证=是方程组x = x,x= ，在任何不包含原点的区间a 上的基解矩阵。
解：令的第一列为(t)= ,这时(t)= = (t)故(t)是一个解。
同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)= = (t)这样(t)也是一个解。
因此是解矩阵。
又因为det =-t 故是基解矩阵。
2.考虑方程组x =A(t)x (5.15)其中A(t)是区间a 上的连续n n矩阵，它的元素为a (t),i ,j=1,2,…,na) 如果x (t),x (t),…,x (t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式W[x (t),x (t),…,x (t)] W(t)满足下面的一阶线性微分方程W =[a (t)+a (t)+…+a (t)]Wb) 解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：W(t)=W(t )e t ,t [a,b]解：w (t)= + +…+= +…+ = +…+ 整理后原式变为（a +…+a ）=（a +…+a ）w(t)=（a (t)+…+a (t)）w(t)b)由于w (t)=[ a (t)+…+a (t)] w(t),即=[ a (t)+…+a (t)]dt两边从t 到t积分ln -ln = 即w(t)=w(t )e ,t [a,b]3.设A(t)为区间a 上的连续n n实矩阵，为方程x =A(t)x的基解矩阵，而x= (t)为其一解，试证：a) 对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有(t) (t)=常数；b) (t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使(t) (t)=C.解a)[ (t) (t)] = (t)+ (t)= (t)+ (t)A(t)又因为=-A (t) (t)，所以=- (t) A(t)[ (t) (t)] =- (t) (t)A(t)+ (t) A(t) (t)=0,所以对于方程y =-A (t)y的任一解y= (t)必有(t) (t)=常数b) “”假设为方程y =-A (t)y的基解矩阵，则[ (t) (t)] = [ (t)] + (t) (t)=[- A (t) (t)] + (t) A (t) ) + (t)[ A(t) (t)]=- (t) A (t) + (t) A (t) =0,故(t) (t)=C“”若存在非奇异常数矩阵C，detc 0,使(t) (t)=C，则[ (t) (t)] = (t)+ (t)=0，故(t) (t)=- (t) (t)A(t) (t)=- (t) A(t) 所以(t)=- (t) A(t), (t)=- (t) A (t)即(t)为方程y =-A (t)y的基解矩阵4.设为方程x =Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t )= (t- t )其中t 为某一值.证明：（1）, (t- t )是基解矩阵。
（2）由于为方程x =Ax的解矩阵，所以(t )也是x =Ax的解矩阵，而当t= t 时，(t ) (t )=E, (t- t )= （0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t )= (t- t )5.设A(t),f(t)分别为在区间a 上连续的n n矩阵和n维列向量，证明方程组x =A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。
证明：设x ,x ,…x 是x =A(t)x的n个线性无关解，是x =A(t)x+f(t)的一个解，则x + , x + ,…, x + , 都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数C ,(I=1,2,…,n)使得+c =0,从而x + , x + ,…, x + , 在a 上线性相关，此与已知矛盾，因此x + , x + ,…, x + , 线性无关，所以方程组x =A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。
6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：的解，则是方程组的解。
证明：（1）（2）分别将代入（1）和（2）则则令即证7．考虑方程组，其中a)试验证是的基解矩阵；b)试求的满足初始条件的解。
证明：a)首先验证它是基解矩阵以表示的第一列则故是方程的解如果以表示的第二列我们有故也是方程的解从而是方程的解矩阵又故是的基解矩阵；b)由常数变易公式可知，方程满足初始条件的解而8、试求，其中满足初始条件的解。
解：由第7题可知的基解矩阵则若方程满足初始条件则有若则有9、试求下列方程的通解：a)解：易知对应的齐线性方程的基本解组为这时由公式得通解为b)解：易知对应的齐线性方程的基本解组为是方程的特征根故方程有形如的根代入得故方程有通解c)解：易知对应的齐线性方程对应的特征方程为故方程的一个基本解组为因为是对应的齐线性方程的解故也是原方程的一个解故方程的通解为10、给定方程其中f(t)在上连续，试利用常数变易公式，证明：a)如果f(t)在上有界，则上面方程的每一个解在上有界；b)如果当时，，则上面方程的每一个解（当时）。
证明：a) 上有界存在M>0,使得又是齐线性方程组的基本解组非齐线性方程组的解又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t)，都存在固定的常数使得从而故上面方程的每一个解在上有界b) 时，当t>N时由a)的结论故时，原命题成立11、给定方程组（5.15）这里A(t)是区间上的连续矩阵，设是（5.15）的一个基解矩阵，n维向量函数F(t,x)在，上连续，试证明初值问题：（*）的唯一解是积分方程组（**）的连续解。
反之，（**）的连续解也是初值问题（8）的解。
证明：若是（*）的唯一解则由非齐线性方程组的求解公式即（*）的解满足（**）反之，若是（**）的解，则有两边对t求导：即（**）的解是（*）的解习题5.31、假设A是n n矩阵，试证：a) 对任意常数、都有exp( A+ A)=exp A•exp Ab) 对任意整数k,都有(expA) =expkA(当k是负整数时，规定(expA) ＝[(expA) ] )证明：a) ∵（A）•（A）＝（A）•（A）∴exp( A+ A)= exp A•exp Ab) k>0时，(expA) ＝expA•expA……expA＝exp（A+A+……+A）＝expkAk<0时，-k>0(expA) ＝[(expA) ] =[exp(-A)] = exp(-A)•exp(-A)……exp(-A)＝exp[(-A)(-k)]＝expkA故k，都有(expA) =expkA2、试证：如果是=Ax满足初始条件＝的解，那么＝[expA(t-t )]证明：由定理8可知＝Ф(t)Ф-1(t0) ＋Ф(t)又因为Ф(t)= expAt , Ф-1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又因为矩阵（At）•（- At0）=（- At0）•（At）所以＝[expA(t-t )]3、试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量a）b）c）d）解：a）det（E－A）= =( －5)( +1)=0∴=5, =－1对应于=5的特征向量u= , ( )对应于=－1的特征向量v= , ( )b) det（E－A）=( +1)( +2)( －2)＝0∴＝－1，＝2，＝－2对应于＝－1的特征向量u1＝，（0 ）对应于＝2的特征向量u2＝，（）对应于＝－2的特征向量u3＝，（）c）det（E－A）= ＝( +1)2( －3)＝0∴＝－1（二重），＝3对应于＝－1（二重）的特征向量u＝，（0 ）对应于＝3的特征向量v＝, （）d) det（E－A）= =( +3)( +1)( +2)=0∴＝－1，＝－2，＝－3对应于＝－1的特征向量u1＝，（0 ）对应于＝－2的特征向量u2＝，（）对应于＝－3的特征向量u3＝，（）4、试求方程组=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为：a）b）c）d）解：a）det（E－A）=0得＝，＝－对应于的特征向量为u＝，（0 ）对应于的特征向量为v＝，（）∴u＝，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量Ф(t)= 是一个基解矩阵ExpAt=b) 由det（E－A）=0得＝5，＝－1解得u＝，v＝是对应于，的两个线性无关的特征向量则基解矩阵为Ф(t)＝Ф(0)＝Ф－1(0)＝则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝c）由det（E－A）=0得＝2，＝－2，＝－1解得基解矩阵Ф(t)＝Ф－1(0)＝则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝d）由det（E－A）=0得＝－3，＝2＋，＝2－解得基解矩阵Ф(t)＝则expAt＝Ф(t) Ф－1(0)＝5、试求方程组=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件解：a）由第4题（b）知，基解矩阵为所以b）由第4题（d）知，基解矩阵为Ф(t)＝所以c) 由3（c）可知，矩阵A的特征值为＝3，＝－1（二重）对应的特征向量为u1＝，u2＝∴＝＋解得＝6、求方程组=Ax＋f（t）的解：解：a）令=Ax的基解矩阵为Ф(t)解得Ф(t)＝，则Ф－1(t)＝Ф－1(0)＝求得＝b）由det（E－A）=0得＝－1，＝－2，＝－3设对应的特征向量为v1，则（E－A）v1=0，得v1＝取v1＝，同理可得v2 ＝，v3＝则Ф(t)＝从而解得c）令=Ax的基解矩阵为Ф(t)由det（E－A）=0得＝1，＝2解得对应的基解矩阵为Ф(t)＝∴Ф－1(t)＝从而Ф－1(0)＝∴7、假设m不是矩阵A的特征值。