数值分析简述及求解应用
数值分析及其在科学计算中的应用
数值分析及其在科学计算中的应用数值分析是一门研究利用数值方法进行近似求解数学问题的学科，它广泛应用于科学计算中。
本文将探讨数值分析在科学计算中的应用，并介绍一些常见的数值方法。
一、数值分析在科学计算中的重要性科学计算中经常需要求解各种数学问题，例如线性方程组的求解、函数的求根、积分的计算等等。
这些问题通常很难通过解析方法求得准确解，因此需要借助数值分析提供的数值方法来近似求解。
数值分析所提供的算法和计算技巧，能够在计算机上高效地求解这些数学问题，为科学研究和工程实践提供了强大的工具。
二、数值解线性方程组的方法线性方程组的求解在科学计算中是非常常见的问题。
一种常用的数值方法是高斯消元法，该方法通过消元和回代的过程将线性方程组转化为上三角矩阵，然后再利用回代法求解。
此外，还有一些改进的高斯消元法，例如选主元高斯消元法和LU分解法，能够提高求解的稳定性和效率。
三、数值求函数的根的方法在科学计算中，求解函数的根是一个重要的问题。
牛顿迭代法是一种常用的数值方法，能够通过不断迭代逼近函数的根。
该方法通过计算函数的导数和函数值来更新逼近根的值，直到满足所需的精度。
此外，还有二分法、割线法等其他求根方法，根据具体问题选择合适的方法进行求解。
四、数值积分的方法数值积分是科学计算中常见的问题，用于计算函数在一定区间上的积分值。
其中最基本的方法是梯形数值积分法，该方法将区间划分为若干小梯形，然后计算每个小梯形的面积并相加得到总的积分值。
除此之外，还有辛普森数值积分法、高斯数值积分法等其他方法，能够提高数值积分的精度和稳定性。
五、数值微分和数值微分方程的方法数值微分和数值微分方程是科学计算中的另一个重要问题。
数值微分常用的方法有前向差分、后向差分和中心差分等，用于计算函数在给定点的导数值。
数值微分方程的求解通常采用常微分方程初值问题的数值解法，例如龙格-库塔法、欧拉法等。
综上所述，数值分析在科学计算中有着广泛的应用。
它通过提供各种数值方法，能够有效地求解线性方程组、函数的根、积分、微分以及微分方程等数学问题。
数值分析简明教程
数值分析简明教程
数值分析是一门传统的微分几何学和非经典分析学领域内的一种分析方法，属于计算数学的范畴。
它试图从数值来得出一个具有实用价值的结论或做出相当准确的预测。
比如，数值分析可以用于估计气象预报、计算复杂方程的解和模拟复杂非线性系统的行为。
数值分析的三个主要应用是数值积分、数值微分和解析解的数值求解，即数值分析简明教程。
数值积分是将一个复杂的连续函数的值积分为一个连续的总和的过程，可以用来计算力、时间、能量、体积等物理量。
数值微分是将一个复杂的连续函数的变化率进行离散评估的过程，有助于求解微分方程，如各种魔方样方程。
解析解的数值求解是求解复杂方程组的一种手段，通过根据函数方程来确定函数的极值并从此推导出方程的解。
数值分析简明教程由初级技术引导到高级知识，可以帮助学习者开发、优化和解决数值问题，并且能够提高对复杂系统的理解能力，从而降低采纳解决方案的成本。
目前，数值分析技术已经成为互联网上使用最为广泛的数值计算工具之一，用于预测、解决众多学术问题，比如深度学习和统计学等。
大学数学易考知识点数值分析的基本方法和应用
大学数学易考知识点数值分析的基本方法和应用大学数学易考知识点：数值分析的基本方法和应用一、引言数值分析是现代数学在科学计算和工程实践中的应用研究领域，是研究数值计算方法和数值算法的理论与实践的学科。
在大学数学课程中，数值分析是一个重要的知识点，它涉及到数值计算的基本方法和应用。
本文将介绍数值分析的基本方法和应用，以帮助学生更好地理解和掌握这一易考的知识点。
二、数值分析的基本方法1. 插值和逼近插值与逼近方法是数值分析中常用的方法之一，它们用于通过已知数据点构造一个近似函数，以在给定范围内估计未知数据点的值。
常见的插值与逼近方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、最小二乘逼近等。
2. 数值微积分数值微积分方法用于对函数进行数值积分和数值微分。
在实际计算中，往往难以通过解析方法求得函数的积分或导数，这时可以利用数值积分和数值微分方法来近似计算。
其中常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等，数值微分方法包括中心差商法、向前差商法、向后差商法等。
3. 常微分方程的数值解法常微分方程数值解法用于求解无法通过解析方法得到解的常微分方程。
常见的常微分方程数值解法有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等，它们根据不同的精度和稳定性要求，选择不同的数值解法来计算常微分方程的近似解。
4. 线性方程组的数值解法线性方程组数值解法是解决线性方程组问题的常见方法。
当线性方程组的规模较大时，无法通过直接求解的方法得到解，此时可以利用数值解法来近似求解。
常见的线性方程组数值解法包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
三、数值分析的应用1. 插值与逼近的应用插值与逼近方法在科学计算和工程实践中有广泛的应用。
例如，在地理信息系统中，插值方法可以用于根据已知地理数据点生成等高线图；在图像处理中，逼近方法可以用于图像的平滑处理和边缘检测。
2. 数值积分的应用数值积分方法在物理学、经济学等领域的科学研究中有重要的应用。
例如，在物理学中，数值积分方法可以用于计算物体的质心、面积、弧长等物理量；在经济学中，数值积分方法可以用于计算经济指标、积分收益等。
数值分析与数值计算方法
数值分析与数值计算方法数值分析与数值计算方法是现代科学与工程领域中的重要学科，它涉及到利用计算机和数值方法解决数学问题的理论和技术。
本文将从数值分析的基本概念、应用领域以及常见的数值计算方法等方面进行探讨。
一、数值分析的基本概念数值分析是一门研究数学算法与计算机实现相结合的学科，旨在通过数学模型的建立和数值计算方法的选择，对实际问题进行定量分析和计算。
它不仅包括了数值计算方法的研究，还包括了误差分析、计算复杂性和算法设计等内容。
数值分析的核心任务是将问题转化为数学模型和计算机可处理的形式，通过数值计算方法求解模型得到近似解。
数值分析的基本思想是通过将连续问题离散化，将其转化为离散的代数问题，然后利用数值计算方法进行求解。
二、数值分析的应用领域数值分析广泛应用于科学和工程领域，例如物理学、化学、生物学、经济学、计算机科学等。
在实际的科学研究和工程应用中，常常需要对现象进行数值建模和计算求解，以获得更加准确的结果。
在物理学中，数值分析用于求解微分方程、积分方程等物理模型，并模拟和预测天体运动、流体流动等自然现象。
在化学和生物学中，数值分析被用于计算分子结构、化学反应动力学等问题。
在经济学中，数值分析可以用于建立经济模型、进行风险评估和决策分析。
三、常见的数值计算方法1. 插值和拟合方法：插值和拟合方法用于根据已知数据点的函数值，构造出一个逼近原函数的函数。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值；拟合方法包括最小二乘拟合、多项式拟合等。
2. 数值积分方法：数值积分方法用于计算函数在一定区间上的定积分。
常见的数值积分方法有梯形规则、辛普森规则等。
3. 数值微分方法：数值微分方法用于在离散数据点上估计函数的导数。
常见的数值微分方法有中心差分法和向前差分法等。
4. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程的数值解。
常见的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法等。
5. 线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法用于求解线性代数方程组的数值解。
数值分析的实际问题求解
数值分析的实际问题求解数值分析是应用数学的一个重要分支，通过数值计算方法解决实际问题。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样需要精确计算的问题，如求解非线性方程、数值积分、线性方程组的求解等。
本文将介绍数值分析在实际问题求解中的应用。
一、求解非线性方程非线性方程是一类形式不完全符合线性关系的方程，无法通过代数方法直接求解。
数值分析提供了多种求解非线性方程的方法，其中最常用的方法之一是牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种基于线性逼近的迭代方法，通过不断逼近非线性方程的根来求解方程。
其基本思想是从一个初始值开始，通过不断迭代计算来逼近方程的解。
具体步骤如下：1.选择初始值$x_0$；2.进行迭代计算，更新$x_i$的值为$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$；3.重复步骤2，直到满足停止准则。
通过牛顿迭代法，我们可以在一定的精度范围内求得非线性方程的解。
这在实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的天体运动问题、工程学中的控制系统设计等。
二、数值积分数值积分是通过数值计算方法对函数在一定区间内的积分进行近似计算。
在实际问题中，我们经常需要求解函数的积分值，如求解曲线下的面积、计算物体的质量等。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则等。
以梯形法则为例进行说明：梯形法则通过将积分区间划分成若干个小区间，并将每个小区间的面积近似为梯形的面积来进行计算。
具体步骤如下：1.将积分区间[a,b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n；2.根据梯形面积公式，计算每个小区间的面积，即$S_i=\frac{h}{2}(f(x_i)+f(x_{i+1}))$；3.将各个小区间的面积相加，即$S=\sum_{i=1}^{n}S_i$，得到整个积分区间的近似面积。
通过数值积分方法，我们可以在一定的精度范围内计算函数的积分值，为实际问题的求解提供了有效的手段。
三、线性方程组的求解线性方程组是形式完全符合线性关系的方程组，其求解在实际问题中也经常遇到。
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用数值分析是数学中的一个重要分支，它研究如何通过数值计算方法来求解各种数学问题。
数值分析的基本任务是通过近似方法，利用计算机或其他计算设备来对数学问题进行求解。
它广泛应用于科学计算、工程技术、金融投资、物理模拟等领域，对现代科学技术的发展起到了重要的推动作用。
数值分析主要包括数值逼近、数值微积分、数值代数和数值方程等几个方面。
数值逼近是指用函数逼近方法来接近所求函数值，主要包括插值多项式、最小二乘拟合、傅里叶级数等。
数值逼近可以用来对实际问题进行模拟和预测，比如天气预报、大气污染预测、经济增长预测等。
数值微积分是数值分析中的重要内容，主要包括数值积分和数值解微分方程。
数值积分是通过数值方法来计算函数积分值，可以应用于对函数面积、体积、积分方程求解等问题的求解。
数值解微分方程则是通过数值方法来求解各种微分方程，可以用来模拟各种实际问题，比如天体力学、流体力学、传热传质等。
数值代数是数值分析的另一个重要分支，主要研究线性代数和矩阵计算的数值方法。
线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算、最小二乘问题的求解等都是数值代数的研究内容。
数值代数广泛应用于科学计算、工程计算和金融计算等领域，为实际问题的求解提供了数值计算的手段。
数值方程是数值分析中的另一个重要领域，主要研究非线性方程、微分方程和偏微分方程的数值求解方法。
非线性方程的数值求解是一个非常重要的研究方向，广泛应用于各种实际问题。
微分方程和偏微分方程的数值求解则可以用来模拟各种科学和工程问题，包括天气预报、地震模拟、流体力学模拟等。
数值分析的应用非常广泛，几乎涵盖了所有科学和工程领域。
比如在物理学中，可以用数值方法求解各种物理方程，包括力学方程、热力学方程、电磁学方程等。
在工程学中，可以用数值方法求解各种工程问题，包括结构分析、流体力学、电磁场分布等。
在金融学中，可以用数值方法计算各种金融模型，包括期权定价、风险评估等。
在计算机科学中，可以用数值方法来进行图像处理、数据挖掘等。
数值分析解决实际问题
数值分析解决实际问题数值分析是一门研究利用计算机对数学问题进行数值计算的学科，它通过数值方法来解决实际问题，广泛应用于工程、科学、经济等领域。
数值分析的方法和技术在解决实际问题中发挥着重要作用，为我们提供了一种有效的数学工具，能够帮助我们更好地理解和解决复杂的现实世界中的问题。
本文将介绍数值分析在解决实际问题中的应用，并探讨其在不同领域中的重要性和作用。
一、数值分析在工程领域中的应用在工程领域中，数值分析被广泛应用于结构分析、流体力学、热传导等问题的求解。
例如，在建筑工程中，工程师可以利用有限元分析方法对建筑结构进行强度和稳定性分析，以确保建筑结构的安全可靠。
在航空航天工程中，数值模拟可以帮助工程师优化飞机的气动设计，提高飞行性能和燃油效率。
此外，数值分析还可以应用于电力系统的稳定性分析、交通运输系统的优化设计等方面，为工程领域的发展提供重要支持。
二、数值分析在科学研究中的应用在科学研究领域，数值分析被广泛应用于物理学、化学、生物学等学科的研究中。
例如，在天文学中，科学家可以利用数值模拟方法对宇宙中的星系演化、黑洞运动等现象进行模拟和研究，从而揭示宇宙的奥秘。
在生物医学领域，数值分析可以帮助研究人员模拟人体器官的生理过程，优化医疗设备的设计，提高医疗诊断和治疗的效率。
数值分析在科学研究中的应用不仅可以加深对自然规律的理解，还可以推动科学技术的发展和创新。
三、数值分析在经济领域中的应用在经济领域中，数值分析被广泛应用于金融风险管理、市场预测、经济政策评估等方面。
例如，在金融领域，数值模拟可以帮助投资者评估投资组合的风险和回报，制定有效的投资策略。
在市场预测方面，数值分析可以帮助经济学家预测市场走势，指导投资决策。
此外，数值分析还可以应用于经济政策的评估和优化，为政府部门提供决策支持，促进经济的稳定和可持续发展。
综上所述，数值分析在解决实际问题中发挥着重要作用，为工程、科学、经济等领域提供了强大的数学工具和技术支持。
数值分析解决实际问题
数值分析解决实际问题数值分析是一门研究利用计算机对数学问题进行数值计算的学科，它通过数值方法来解决实际问题，广泛应用于工程、科学、经济等领域。
数值分析的方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、线性代数方程组求解等，这些方法在解决实际问题时发挥着重要作用。
本文将介绍数值分析在实际问题中的应用，并探讨其在解决实际问题中的重要性和价值。
一、插值法插值法是数值分析中常用的方法之一，它通过已知数据点之间的插值多项式来估计未知数据点的值。
在实际问题中，插值法常用于数据的平滑处理、曲线拟合等方面。
例如，在气象学中，我们需要根据已知的气温数据点来预测未来某一时刻的气温变化，这时可以利用插值法来进行数据的预测和分析。
二、数值积分数值积分是数值分析中的另一个重要方法，它通过数值逼近来计算定积分的近似值。
在实际问题中，数值积分常用于计算曲线下面积、求解物理学中的力学问题等。
例如，在工程学中，我们需要计算某一形状的曲线或曲面的面积或体积，这时可以利用数值积分方法来进行计算。
三、常微分方程数值解常微分方程数值解是数值分析中的重要内容之一，它通过数值方法来求解常微分方程的数值解。
在实际问题中，常微分方程数值解常用于模拟物理系统、生态系统等的动态行为。
例如，在生态学中，我们需要研究种群数量随时间的变化规律，这时可以利用常微分方程数值解来模拟和预测种群数量的变化趋势。
四、线性代数方程组求解线性代数方程组求解是数值分析中的重要内容之一，它通过数值方法来求解线性代数方程组的解。
在实际问题中，线性代数方程组求解常用于工程、经济等领域的优化问题。
例如，在工程优化中，我们需要确定某一系统的最优参数配置，这时可以利用线性代数方程组求解来进行优化计算。
综上所述，数值分析在解决实际问题中发挥着重要作用，它通过插值法、数值积分、常微分方程数值解、线性代数方程组求解等方法来对实际问题进行数值计算和分析，为工程、科学、经济等领域的发展提供了重要支持。
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数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
迭代法包括Jacobi法SOR法、SSOR法等多种方法。
非线性是实际问题中经常用到出现的并在科学和工程中的低位也越来越重要，很多线性模型都是在一定条件下由非线性简化得到的。
所以往往需要非线性的研究。
非线性的数值解法有牛顿法，迭代收敛的加速解法，弦解法和抛物线法等。
还有很多问题都可用常微分方程的定解来描述，主要有处置问题和边值问题。
常微分方程是描述连续变化的数学语言，微分方程的求解是确定满足给定方程的可微函数y(x)。
下面就数值分析中常用的一些方法和实例进行阐述。
二、数值分析中的一些方法1、插值法许多实际问题都用y=f(x)来表示，有的函数虽然有解析式，但由于计算复杂实用不方便，为了找一个既能反映函数的特性又便于计算的函数，我们利用插值法可以得到这个简单函数，插值法包括拉格朗日插值，牛顿插值，Hermite插值等多种方法。
拉格朗日插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n 次多项式插值函数问题。
牛顿插值也是n 次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange 插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。
Hermite 插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,起其提法为:给定n+1个互异的节点x0,x1,……,xn 上的函数值和导数值。
2、解线性方程组的方法关于线性代数方程组的数值解法一般分为两大类：直接法和迭代法。
例如用高斯消元法解线性方程组，先通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，以使A 对角线以下的元素化为零，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。
现举例说明如下：第一步：消元过程将(1)/3使x 1的系数化为1,再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得 由(3)-4×(1)(1)得 将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1得 再将(3)(1)式中x 2系数化为零，由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)得将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：第二步：回代过程由(3)(3)得 x 3=1,将x 3代入(2)(2)得x 2=-2,将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1,所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T)1(321)1(......23132=++x x x )1(32)2( (03)432=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x )2(32)2(......02=+x x )2(3)3( (63)18-=x )3(3)3(......1-=x第三步：用矩阵演示进行消元过程先将方程写成增广矩阵的形式然后对矩阵进行初等行变换，再将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下：即原方程组被等价转化成为上三角方程组，然后，逐步回代得原方程组的解即可。
3、解非线性方程组的方法解非线性方程组的方法包括牛顿法，迭代收敛的加速解法，弦解法和抛物线法等 牛顿法实质是一种非线性方程逐步归结为线性方程来求解的，牛顿迭代法原理如下：设已知方程f(x)=0的近似根X 0则在X 0附近f(x)可用一阶泰勒多项式))((')()(000x x x f x f x p -+=近似代替.因此, 方程f(x)=0可近似地表示为P(x)=0.用X 1表示P(x)=0的根,它与0)(=x f 的根差异不大.设0)('0≠x f ,由于1x 满足,0))((')(0100=-+x x x f x f 解得 )(')(0001x f x f x x -= 重复这一过程,得到迭代格式：)(')(1n n n n x f x f x x -=+这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为：)(')()(x f x f x x g -=三、数值分析的一些应用为了更好地说明说明数值分析在物理领域的应用,以及如何使用数值分析进行求解,本文将简单介绍用直接法和逼近法求解一些实际问题.1、在电网中的应用确定下图电网中的回路电流。
40V 10V 60V Ω8Ω2Ω2Ω8Ω2Ω2A BD C Ω2Ω61I 2I 3I分析：在回路1中,电流I 1流过三个电阻,且电压降IR 为111122688I I I I =++；在回路2中的电流也流经回路1的一部分,即从D 到A 的分支,对应的电压降IR 为 6I 2伏特．然而,回路1中电流在DA 段的方向与回路2中选定的方向相反,因此,回路1中所有电压降IR 的代数和为21622I I -．由于回路1中的电压为+60伏特,由基尔霍夫电压定律,可得回路1的方程为6062221=-I I ,同理,可得回路2的方程为102126321=-+-I I I ,其中, -6I 1是回路1中流经DA 分支的电流(因为电流与回路2中的电流方向相反,所以电压为负)；12I 2是回路2中所有的电阻乘上回路电流的和； -2I 3是回路3中流经CB 分支上2欧姆电阻的电流,方向与回路2中该段的电流方向相反。
回路3的方程为:506232-=+-I I注意,在CB 分支上10伏特的电池被当作是回路2和回路3中的一部分,但是由于回路3中电流方向,电池在回路3中为-10伏特．出于同样的道理,40伏特的电池也应取负值.综合上述讨论,上述电网的回路电流满足下列线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=-5062102126606223232121I I I I I I I 写成矩阵形式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5056062021260622321I I I (*)对增广矩阵进行行变换,得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----8100101030015062052126600622 从而解得I 1=3安培, I 2=1安培, I 3=-8安培．I 3取负值说明回路3中的实际电流与图中显示的电流方向相反.在方程组(*)中,如果将其系数矩阵记为R,右端列向量记为u,i =(I 1,I 2,I 3)T , 则可得到以矩阵形式表示的欧姆定律:Ri u =.2.在提拉单晶硅中的应用 在提拉单晶硅的过程中，假定晶体导电，熔化物和晶体的平衡方程式是：该模型还包括坩埚的传导,熔化物、晶体、坩埚、加热元件表面和环境的热辐射,以及融化物和周围的环境的对流。
利用格林第二定理，将面积分变成线积分X i 是边界节点i 出的方向矢量。
Γ是边界线，A 是横截面积，对轴对称的几何解决方法，φi 扩散方程式：K{m}是椭圆部分。
（r i,z i）是节点i的坐标。
在数值实现方法、边界被分为温度变化和接近温度梯度的每个值，通过插值逼近中间节点值:ψ是k的函数，ξ是坐标，N e是每个元素的节点数。
k方程(10) 、(12)代入(9)，形成N每个节点的微分/代数方程：T是节点处的温度矢量，Q是节点的变化矢量。
为了获得一个边界积分相当于瞬时的域积分,一般利用插值(23)。
在这种方法中,对时间的导数形式是:X是位置矢量，x= [r z] T,N是节点数，f k{x; x k}是几何的已知函数，βk{t}是时间的未知系数，方程（13）变为：矩阵M的整数数域，注意到这矩阵的计算在一个固定的领域只计算一次,方程(16)应用到N结点,结果是:矩阵F是通过f k{x; x k}在节点处形成的，方程（18）代入方程（17），整数域里方程（9）变成： 另外,为了避免整数域M 在较复杂的几何域,利用双重定理，在这种方法中,节点f k { x;Xk }是取代拉普拉斯节点的一个新的节点k ψ：再将方程（21）代入（17），得到一个积分方程：如果节点k f ，k φ，k nφ∂∂估测有相同的插值多项式ψk ｛ξ｝，利用温度，矩阵M 可写成：M G H ηφ=-, （23）,矩阵 η,k n φ∂∂是通过节点形成的。
该模型的非线性介绍是通过自由表面传导结合热对流及热辐射效应:数值分析作为一种计算方法，在各个学科中大量应用。
四、结论数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
在科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题。
本文主要讨论了插值法求函数，解线性方程组的求解方法，非线性方程组的解法及微分方程的解法，并通过在电流回路和单晶硅提拉过程中分析应用。
进一步体现了数值分析的广泛应用，实际上由于误差的存在，一些问题只能求得近似解。
对于良态方程组，只要求解方法稳定，即可得到比较满意的计算结果。