2019-2020学年江西师大附中高一(上)10月月考数学试卷

2019-2020学年江西师大附中高一（上）10月月考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 函数f(x)=√x?1

x?2

+(x?1)0的定义域为（）

A.[1,?+∞)

B.(1,?+∞)

C.[1,?2)∪(2,?+∞)

D.(1,?2)∪(2,?+∞)

【答案】

D

【考点】

函数的定义域及其求法

【解析】

令被开方数x?1≥0，分母x?2非0；0次方的底数非0，列出不等式组，求出定义域．【解答】

要使函数有意义，需满足

{x?1≥0 x?2≠0 x?1≠0

解得x>1且x≠2

2. 如图，那么阴影部分所表示的集合是（）

A.B∩(?U A)

B.(A∪B)∪(B∪C)

C.(A∪C)∩(?U B)

D.[?U(A∩C)]∪B

【答案】

C

【考点】

Venn图表达集合的关系及运算

【解析】

判断出阴影部分的元素在由集合A或集合C中当不在集合B中，即在集合B的补集中；利用集合的运算表示出阴影部分．

【解答】

解：由韦恩图知，阴影部分在集合A或集合C中但不在集合B中，

所以阴影部分所表示的集合是(A∪C)∩(C U B)，

故选C.

3. 给出下列关系式：①√2∈Q；②{1,?2}＝{(1,?2)}；③2∈{1,?2}；④??{0}，其中正确关系式的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】

C

【考点】

元素与集合关系的判断

【解析】

本题考查的是元素与集合关系，分析元素是否在对应的集合中；集合与集合的关系看其中一个集合的元素与另一个集合的关系，注意Φ的特殊性．

【解答】

①√2为无理数，故不正确；②{1,?2}是以1，2为元素的集合，

{(1,?2)}可以看成是以点(1,?2)为元素的集合，故不能相等，所以不正确；

③是元素与集合的关系，正确；④?是任何集合的子集，故正确．

4. 下列集合中子集个数最多的是（）

A.{x∈N|x2+3x+20}

B.{x|x是边长分别为1,?2,?3的三角形}

C.{x∈R||x|?1}

D.{?}

【答案】

D

【考点】

子集与真子集

【解析】

容易求出A，B，C三个选项的集合为空集，从而这三个选项的集合的子集个数都为1，而选项D的集合子集个数为2，从而选D．

【解答】

A．{x∈N|x2+3x+20}＝?，子集个数为1；

B．{x|x是边长分别为1,?2,?3的三角形}＝?，子集个数为1；

C．{x∈R||x|?1}＝?，子集个数为1；

D．{?}的子集个数为2．

5. 下列各组中的两个函数是同一函数的为（）

A.f(x)=(x+3)(x?5)

，g(x)＝x?5

x+3

B.f(x)＝x，g(x)=√x2

C.f(x)＝|2x?5|，g(x)＝2x?5

3

D.f(x)＝x，g(t)=√t3

【答案】

D

【考点】

判断两个函数是否为同一函数

【解析】

可以看出选项A的两函数的定义域不同，不是同一函数；选项B，C的两函数的解析式不同，都不是同一函数，从而只能选D．

【解答】

A.f(x)=(x+3)(x?5)

的定义域为{x|x≠?3}，g(x)＝x?5的定义域为R，定义域不同，x+3

不是同一函数；

B.f(x)=x,g(x)=√x2=|x|，解析式不同，不是同一函数；

C．f(x)＝|2x?5|，g(x)＝2x?5，解析式不同，不是同一函数；

3=t，解析式和定义域都相同，是同一函数．

D.f(x)=x,g(t)=√t3

6. 已知函数f(x)＝x 2?2ax +5，且其对称轴为x ＝1，则以下关系正确的是（ ） A.f(?3)

【考点】

二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】

根据题意，结合该二次函数f(x)的对称轴以及开口方向，分析可得f(x)在[1,?+∞)上单调递增，进而可得f(2)

根据题意，函数f(x)＝x 2?2ax +5，其对称轴为x ＝1，其开口向上， f(x)在[1,?+∞)上单调递增， f(?3)＝f(5)，

则有f(2)

7. 若f(x)={x ?2,(x <10)

f(x ?6),(x ≥10)

，则f(57)的值为（ ）

A.1

B.3

C.5

D.7 【答案】 D

【考点】

分段函数的应用 【解析】

根据题意，由函数的解析式可得f(57)＝f(9+6×8)＝f(9)，进而计算可得答案． 【解答】

根据题意，f(x)={

x ?2,(x <10)

f(x ?6),(x ≥10)

， 当x ≥10时，有f(x)＝f(x ?6)，则f(57)＝f(9+6×8)＝f(9)， 当x <10时，f(x)＝x ?2，则f(9)＝9?2＝7； 故f(57)＝7；

8. 设U ＝{1,?2,?3,?4,?5}，A ，B 为U 的子集，若A ∩B ＝{2}，(?U A)∩B ＝{4}，(?U A)∩(?U B)＝{1,?5}，则下列结论正确的是（ ） A.3?A ，3?B B.3?A ，3∈B C.3∈A ，3?B D.3∈A ，3∈B 【答案】 C

【考点】

交、并、补集的混合运算 【解析】

利用集合间的关系画出韦恩图，结合韦恩图即可得到答案． 【解答】

因为：U ＝{1,?2,?3,?4,?5}，A ，B 为U 的子集，

若A ∩B ＝{2}，(?U A)∩B ＝{4}，(?U A)∩(?U B)＝{1,?5}，

对应的韦恩图为： 故只有答案C 符合．

9. 若函数f(x)={x 2+2ax +3,x ≤1

ax +1,x >1

是减函数，则a 的取值范围是（ ）

A.[?3,??1]

B.(?∞,??1]

C.[?1,?0)

D.[?2,?0) 【答案】 A

【考点】

分段函数的应用 【解析】

由单调性可知a <0，二次函数的对称轴与1的关系，列出不等式组求解即可． 【解答】

∵ 函数f(x)={x 2+2ax +3,x ≤1

ax +1,x >1 是减函数，

∴ {a <0?a ≥14+2a ≥1+a 解得?3≤a ≤?1．

故a 的取值范围是[?3,??1]．

10. 定义集合的商集运算为A

B ={x|x =

m n

,?m ∈A,?n ∈B}，已知集合A ＝{2,?4,?6}，B ＝

{x|x =k

2?1,?k ∈A}，则集合B A ∪B 元素的个数为（ ） A.7

B.8

C.9

D.10

【答案】 A

【考点】 并集及其运算 【解析】

求出B ＝{x|x =k

2?1,?k ∈A}＝{0,?1,?2}，从而B A ={0,?12,?13,?14,?1

6,?1}，由此能求出集合

B A

∪B 元素的个数．

【解答】

∵ 集合的商集运算为A

B ={x|x =

m n

,?m ∈A,?n ∈B}，

集合A ＝{2,?4,?6}，B ＝{x|x =k

2?1,?k ∈A}＝{0,?1,?2}， ∴ B

A ={0,?12,?13,?14,?1

6,?1}， ∴ B

A ∪

B ＝{0,?12,?13,?14,?1

6,?1,?2}． ∴ 集合B A ∪B 元素的个数为7个．

11. 已知f(x)=3?2|x|，g(x)=x 2?2x ，F(x)={g(x),f(x)≥g(x),

f(x),f(x)

则F(x)的最值

是( )

A.最大值为3，最小值?1

B.最大值为7?2√7，无最小值

C.最大值为3，无最小值

D.既无最大值，也无最小值 【答案】 B

【考点】

函数的最值及其几何意义 【解析】

将函数f(x)化简，去掉绝对值后，分别解不等式f(x)≥g(x)和f(x)

解：f(x)=3?2|x|={

3?2x,(x ≥0),

3+2x,(x <0),

①当x ≥0时，若f(x)≥g(x)，得3?2x ≥x 2?2x ?0≤x ≤√3； 若f(x)√3；

②当x <0，若f(x)≥g(x)，得3+2x ≥x 2?2x ?2?√7≤x <0； 若f(x)

综上所述，得F(x)={3+2x,(x <2?√7),

x 2?2x,(2?√7≤x ≤√3),3?2x,(x >√3).

分三种情况讨论：

①当x <2?√7时，函数为y =3+2x ，在区间(?∞,?2?√7)是单调增函数，故F(x)

②当2?√7≤x ≤√3时，函数为y =x 2?2x ，在(2?√7,?1)是单调递减函数，在(1,?√3)是单调递增函数， 故?1≤F(x)≤2?√7；

③当x >√3时，函数为y =3?2x ，在区间(√3,?+∞)是单调减函数，故F(x)

∴ 函数F(x)的值域为(?∞,?7?2√7]，可得函数F(x)最大值为F(2?√7)=7?2√7，没有最小值． 故选B .

12. 已知函数f(x)={1(x)

0(x)

，则关于函数f(x)有如下说法：

①f(x)的图象关于y 轴对称；

②方程f （f(x)）＝x 的解只有x ＝1；

③任取一个不为零的有理数T ，f(x +T)＝f(x)对任意的x ∈R 恒成立； ④不存在三个点A （x 1,?f(x 1)），B （x 2,?f(x 2)），C （x 3,?f(x 3)），使得△ABC 为等边三角形．

其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 C

【考点】

命题的真假判断与应用

【解析】

①根据函数奇偶性的定义，可得f(x)是偶函数；

②根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f(x)）＝1，即可判断出正误．

③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x+T)＝f(x)对x∈R恒成立，即可判断出正误．

④取x1=√3

3，x2＝0，x3=√3

3

，可得f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0，A(?√3

3

,?0)，

B(0,?1)，C(√3

3

,?0)，即可判断出结论．

【解答】

③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，根据函数的表达式，

任取一个不为零的有理数T，f(x+T)＝f(x)对x∈R恒成立，故③正确．

④取x1=√3

3，x2＝0，x3=√3

3

，可得f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0

∴A(?√3

3,?0)，B(0,?1)，C(√3

3

,?0)，恰好△ABC为等边三角形，故④不正确．

综上：①②③正确．

故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

已知集合A＝[?1,?3),?B(2,?5]，则A∪B＝________．

【答案】

[?1,?5]

【考点】

并集及其运算

【解析】

利用并集定义直接求解．

【解答】

∵集合A＝[?1,?3),?B(2,?5]，

∴A∪B＝[?1,?5]．

已知集合A＝R，B＝R，f:A→B是从A到B的一个映射，若f:x→2x?1，则B中的元素3的原象为________．

【答案】

2

【考点】

映射

【解析】

直接由2x?1＝3求解x的值．

【解答】

由f:x→2x?1，得2x?1＝3，解得x＝2．

∴B中的元素3的原象为2．

若函数y =x 2?3x ?4的定义域为[0,?m]，值域为[?254

,??4]，则m 的取值范围是

________． 【答案】 [32

,?3] 【考点】

二次函数的性质 【解析】

根据函数的函数值f(3

2)=?25

4，f(0)=?4，结合函数的图象即可求解 【解答】

解：∵ f(x)=x 2?3x ?4=(x ?3

2)2?254

，

∴ f(3

2)=?25

4，又f(0)=?4，

故由二次函数图象可知：

m 的值最小为3

2，最大为3． m 的取值范围是：32≤m ≤3． 故答案为：[3

2,?3].

如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别x 和y ，设y 是x 的函数，记y ＝f(x)，则下列说法中： ①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称； ②函数y ＝f(x)的值域是[0,?√3]；

③函数y ＝f(x)在[6k,?6k +3](k ∈Z)上是增函数；

④函数y ＝f(x)与y =√3在[?2019,?2019]上有2020个交点． 其中正确说法的序号是________．

说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动．

【答案】

①④

【考点】

命题的真假判断与应用

【解析】

作出点A的运动轨迹，由图即可判断各项的真假．

【解答】

作出点A的运动轨迹，如图所示：由图可知，函数y＝f(x)是偶函数，其值域为[0,?2]，

周期为6，

增区间是[6k,?6k+2]和[6k+3,?6k+4]，k∈Z．

由此，可判①正确，②③错误．

因为当x∈(0,?6]，

函数y＝f(x)与y=√3图象有3个交点，

x∈(0,?2016]，2016＝336×6，

有3×336＝1008个交点，

x∈(2016,?2019]，有2个交点，

这样x∈(0,?2019]，

就有1008+2＝1010个交点，根据对称性可知，

函数y＝f(x)与y=√3在[?2019,?2019]上有2020个交点．④正确．

故答案为：①④．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

已知全集U＝{x|x≤10,?x∈N}，A＝{0,?2,?4,?6,?8}，B＝{x|x∈U,?x<5}

（1）求M＝{x|x∈A但x?B}；

（2）求(?U A)∩(?U B)．

【答案】

全集U＝{x|x≤10,?x∈N}＝{0,?1,?2,?3,?4,?5,?6,?7,?8,?9,?10}，

A＝{0,?2,?4,?6,?8}，B＝{x|x∈U,?x<5}＝{0,?1,?2,?3,?4}，

∴M＝{6,?8}，

?U A＝{1,?3,?5,?9,?10}，

?U B＝{5,?6,?7,?8,?9,?10}，

(?U A)∩(?U B)＝{5,?7,?9,?10}．

【考点】

交、并、补集的混合运算

【解析】

（1）根据题意，用列举法表示集合B ，分析属于A 但不属于B 的元素，即可得答案； （2）根据题意，由集合A 、B 求出?U A 、?U B ，由交集的定义计算可得(?U A)∩(?U B)，即可得答案． 【解答】

全集U ＝{x|x ≤10,?x ∈N}＝{0,?1,?2,?3,?4,?5,?6,?7,?8,?9,?10}， A ＝{0,?2,?4,?6,?8}，B ＝{x|x ∈U,?x <5}＝{0,?1,?2,?3,?4}， ∴ M ＝{6,?8}，

?U A ＝{1,?3,?5,?9,?10}， ?U B ＝{5,?6,?7,?8,?9,?10}，

(?U A)∩(?U B)＝{5,?7,?9,?10}．

已知集合A ＝{x|2≤x ≤8}，B ＝{x|1

（2）若A ∩C ＝?，求实数m 的取值范围． 【答案】

∵ A ＝{x|2≤x ≤8}，B ＝{x|18}，

∴ (?U A)∩B ＝{x|1

①若C ＝?，则1+2m ≤m ，即m ≤?1；

②若C ≠?，则{m >?11+2m ≤2 或{m >?1

m >8

，解得?18，

综上所述，实数m 的取值范围是(?∞,1

2]∪(8,+∞)．

【考点】

交、并、补集的混合运算 交集及其运算 【解析】

（1）进行交集、补集的运算即可；

（2）根据A ∩C ＝?可讨论C 是否为空集：C ＝?时，1+2m ≤m ；C ≠?时，{1+2m >m 1+2m ≤2m >8

，解出m 的范围即可． 【解答】

∵ A ＝{x|2≤x ≤8}，B ＝{x|18}，

∴ (?U A)∩B ＝{x|1

①若C ＝?，则1+2m ≤m ，即m ≤?1；

②若C ≠?，则{m >?11+2m ≤2 或{m >?1

m >8

，解得?18，

综上所述，实数m 的取值范围是(?∞,1

2]∪(8,+∞)．

已知函数f(x)={4?x 2,x >0

2,x =01?2x,x <0

(Ⅰ)求f[f(?2)]的值；

(Ⅱ)求f(a 2+1)(a ∈R)的值；

(Ⅲ)当?4≤x <3时，求函数f(x)的值域． 【答案】

（1）由题意可得f(?2)＝1?(?4)＝5，f[f(?2)]＝f(5)＝4?25＝?21． （2）f(a 2+1)＝4?(a 2+1)2＝?a 4?2a 2+3．

(Ⅲ)①当?4≤x <0 时，∵ f(x)＝1?2x ，∴ 1

③当0

函数的值域及其求法 函数的求值 求函数的值 【解析】

(Ⅰ)由题意可得f(?2)＝1?(?4)＝5，f[f(?2)]＝f(5)，运算求得结果． (Ⅱ)由题意可得，f(a 2+1)＝4?(a 2+1)2，运算求得结果．

(Ⅲ)分①当?4≤x <0 时、②当x ＝0、③当0

（1）由题意可得f(?2)＝1?(?4)＝5，f[f(?2)]＝f(5)＝4?25＝?21． （2）f(a 2+1)＝4?(a 2+1)2＝?a 4?2a 2+3．

(Ⅲ)①当?4≤x <0 时，∵ f(x)＝1?2x ，∴ 1

③当0

经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销量近似满足g(t)＝80?2t （件），当日价格近似满足f(t)={25?1

2,10≤t ≤2015+1

2t,0≤t <10

（元）． （1）试写出该种商品的日销售额y 与时间t(0≤t ≤20)的函数表达式；

（2）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 【答案】

该种商品的日销售额y 与时间t(0≤t ≤20)的函数表达式为： y ＝g(t)?f(t)={

(30+t)(40?t),0≤t <10

(40?t)(50?t),10≤t ≤20

；

当0≤t <10时，y ＝(30+t)(40?t)＝?(t ?5)2+1225，

∴ y 的取值范围是[1200,?1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225； 当10≤t ≤20时，y ＝(50?t)(40?t)＝(t ?45)2?25，

∴ y 的取值范围是[600,?1200]，在t ＝10时，y 取得最小值为1200． ∴ 第5天时，日销售额y 取得最大，为1225元． 第10天时，日销售额y 取得最小，为1200元． 【考点】

分段函数的应用

【解析】

（1）根据y ＝g(t)?f(t)，可得该种商品的日销售额y 与时间t(0≤t ≤20)的函数表达式；

（2）分段求最值，可求该种商品的日销售额y 的最大值． 【解答】

该种商品的日销售额y 与时间t(0≤t ≤20)的函数表达式为： y ＝g(t)?f(t)={

(30+t)(40?t),0≤t <10

(40?t)(50?t),10≤t ≤20

；

当0≤t <10时，y ＝(30+t)(40?t)＝?(t ?5)2+1225，

∴ y 的取值范围是[1200,?1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225； 当10≤t ≤20时，y ＝(50?t)(40?t)＝(t ?45)2?25，

∴ y 的取值范围是[600,?1200]，在t ＝10时，y 取得最小值为1200． ∴ 第5天时，日销售额y 取得最大，为1225元． 第10天时，日销售额y 取得最小，为1200元．

已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3． （1）求函数f(x)的解析式；

（2）若x ∈[t,?t +2]，试求y ＝f(x)的最小值；

（3）若在区间[?1,?1]上，y ＝f(x)的图象恒在y ＝2x +2m +1的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 【答案】

y ＝f(x)的对称轴为x ＝1，f(0)＝f(2)＝3， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x 2?4x +3；

若t ≥1，则y ＝f(x)在[t,?t +2]上单调递增，f(x)min =f(t)=2t 2?4t +3；

若t +2≤1，即t ≤?1，y ＝f(x)在[t,?t +2]上单调递减，f(x)min =f(t +2)=2t 2+4t +3；

若t <1

1,?1

2t 2?4t +3,t ≥1

； 由题意知，当x ∈[?1,?1]时，2x 2?4x +3>2x +2m +1， 即x 2?3x +1?m >0恒成立． 设g(x)＝x 2?3x +1?m ，

因为当x ∈[?1,?1]时，g(x)单调递减，所以g(x)min ＝g(1)＝?1?m ， 因此有?1?m >0，得m

函数与方程的综合运用 【解析】

（1）利用已知条件直接求解即可；

（2）按t ≥1，t ≤?1及?1

（3）由题意，当x ∈[?1,?1]时，x 2?3x +1?m >0恒成立，转化为求函数g(x)＝x 2?3x +1?m 的最小值大于零即可． 【解答】

y ＝f(x)的对称轴为x ＝1，f(0)＝f(2)＝3，

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x 2?4x +3；

若t ≥1，则y ＝f(x)在[t,?t +2]上单调递增，f(x)min =f(t)=2t 2?4t +3；

若t +2≤1，即t ≤?1，y ＝f(x)在[t,?t +2]上单调递减，f(x)min =f(t +2)=2t 2+4t +3；

若t <1

1,?1

2t 2?4t +3,t ≥1

； 由题意知，当x ∈[?1,?1]时，2x 2?4x +3>2x +2m +1， 即x 2?3x +1?m >0恒成立． 设g(x)＝x 2?3x +1?m ，

因为当x ∈[?1,?1]时，g(x)单调递减，所以g(x)min ＝g(1)＝?1?m ， 因此有?1?m >0，得m

已知定义在区间(0,?+∞)上的函数f(x)＝|x +4

x ?5|，

（1）判定函数g(x)＝x +4

x 在[2,?+∞)的单调性，并用定义证明；

（2）设方程f(x)＝m 有四个不相等的实根x 1x 2x 3x 4． ①证明：x 1x 2x 3x 4＝16；

②在[1,?4]是否存在实数a ，b ，使得函数f(x)在区间[a,?b]单调，且f(x)的取值范围为[ma,?mb]，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】

g(x)在[2,?+∞)上单调递增，

证明：任取，x 1，x 2∈[2,?+∞)，且x 1

∵ g(x 1)?g(x 2)=(x 1+4x 1

)?(x 2+4x 2

)=(x 1?x 2)+(4x 1

?4

x 2

)=(x 1?x 2)+

4(x 2?x

1x 1x

2

)=(x 1?x 2)(x 1x 2?4)

x 1x 2

，

其中x 1?x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2?4>0，g(x 1)?g(x 2)<0， ∴ g(x 1)

∴ g(x)在[2,?+∞)上单调递增，

①|(x +4

x )?5|=m ?(x +4

x )?5=m 或(x +4

x )?5=?m

即x 2?(m +5)x +4＝0或m 2+(m ?5)x +4＝0

∵ x 1，x 2，x 3，x 4为方程f(x)＝m 的四个不相等的实根 ∴ 由根与系数的关系得x 1x 2x 3x 4＝4×4＝16，

②如图，可知0

(i)当[a,?b]?[1,?2]时，f(x)在[a,?b]上单调递增，

则{

f(a)=ma f(b)=mb ，即f(x)＝mx ，m =?4x 2+5

x ?1在x ∈[1,?2]有两个不等实根， 而令1x =t ∈[12,1]，则?4x 2+5x ?1=φ(t)=?4(t ?58)2+9

16， 作φ(t)在[12,1]的图象可知，12≤m <9

16，

(ii)当[a,?b]?[2,?4]时，f(x)在[a,?b]上单调递减， 则{

f(a)=mb

f(b)=ma ，两式相除整理得(a ?b)(a +b ?5)＝0， ∴ a +b ＝5，∴ b ＝5?a >a ， ∴ 2≤a ≤5

2，

由?a ?4

a +5＝m

b ，得m =5?a?4a

5?a

=1+

4a(a?5)

=1+

4

(a?52)2?

254

，

∴ m ∈[13,9

25)；

综上，m 的取值范围为[13,925)∪[12,9

16)．

【考点】

函数与方程的综合运用 【解析】

（1）由题意得：g(x)在[2,?+∞)上单调递增，再由函数的单调性的定义证明． （2）有函数图象，数形结合，根据函数的性质即可求出答案． 【解答】

g(x)在[2,?+∞)上单调递增，

证明：任取，x 1，x 2∈[2,?+∞)，且x 1

∵ g(x 1)?g(x 2)=(x 1+4x 1

)?(x 2+4x 2

)=(x 1?x 2)+(4x 1

?4

x 2

)=(x 1?x 2)+

4(

x 2?x 1x 1x 2

)=

(x 1?x 2)(x 1x 2?4)

x 1x 2

，

其中x 1?x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2?4>0，g(x 1)?g(x 2)<0，

∴ g(x 1)

∴ g(x)在[2,?+∞)上单调递增，

①|(x +4

x )?5|=m ?(x +4

x )?5=m 或(x +4

x )?5=?m

即x 2?(m +5)x +4＝0或m 2+(m ?5)x +4＝0

∵ x 1，x 2，x 3，x 4为方程f(x)＝m 的四个不相等的实根 ∴ 由根与系数的关系得x 1x 2x 3x 4＝4×4＝16，

②如图，可知0

(i)当[a,?b]?[1,?2]时，f(x)在[a,?b]上单调递增，

则{

f(a)=ma f(b)=mb

，即f(x)＝mx ，m =?4x 2+5

x ?1在x ∈[1,?2]有两个不等实根，

而令1x =t ∈[12,1]，则?4x 2+5x ?1=φ(t)=?4(t ?58)2+9

16， 作φ(t)在[12,1]的图象可知，12≤m <9

16，

(ii)当[a,?b]?[2,?4]时，f(x)在[a,?b]上单调递减， 则{

f(a)=mb

f(b)=ma ，两式相除整理得(a ?b)(a +b ?5)＝0， ∴ a +b ＝5，∴ b ＝5?a >a ， ∴ 2≤a ≤5

2，

由?a ?4

a +5＝m

b ，得m =5?a?4a

5?a

=1+4a(a?5)=1+

4

(a?52)2?

254

，

∴ m ∈[1

3,925)；

综上，m 的取值范围为[1

3,9

25)∪[1

2,9

16)．