Z变换
06第六讲 Z变换的性质
Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被
抵消，收敛域可扩大。
证 Y ( z ) Z [ x( n) h(n)]
n
[ x(n) h(h)]z n
n
n m
x ( m) h ( n m) z
第2章 Z变换 2. 序列的移位
Z[ x(n m)] z m X ( z)
Rx | z | Rx
(1-80)
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。 证
Z [ x(n m)]
n
x(n m) z n z m
k
x( k ) z k z m X ( z )
证
Z [ x (n)]
*
n
x ( n) z
*
n
n *
[ x(n)(z )
* n *
]
* n * * x(n)(z ) X ( z ) n
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 6. 翻褶序列
1 Z[ x(n)] X z
9. 序列卷积（卷积定理）
若
y ( n ) x ( n ) h ( n)
则
m
x(m)h(n m)
Y ( z ) Z [ y(n)] X ( z ) H ( z ) max[Rx , Rh ] | z | min[Rx , Rh ]
(1-88)
第2章 Z变换
V平面收敛域为
(1-90)
|z| |z| max Rx , | v | min Rx , Ry Ry
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
z变换
半径和以|z2|为半径的两个圆之间的环状区域。
(5) 不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其双边Z变换不是 一一对应的。序列的双边Z变换连同收敛域一起与序列才是一 一对应的。
第 4 章 Z变换
ZT的ROC及其零极点
(1) ROC不包含任何极点； (2) 右边序列ZT的ROC 是以模最大的有限极点的模为半径的圆 外区域（不包括圆周）。
z
1
z
1
α<|z|<∞
f (k ) F ( z )
f (0) lim F ( z )
第 4 章 Z变换
4.3 Z 逆 变 换
4.3.1 双边Z逆变换的定义
1 k 1 f (k ) F ( z ) z dz C 2j
第 4 章 Z变换
4.3.2 双边Z逆变换的计算
(k m) z
k
z
m
第 4 章 Z变换 (3) f (k ) u (k ).
F ( z)
(4) f (k ) u(k 1).
k
u (k ) z
k
z z 1
k
|z|>1
F ( z)
k
[u(k 1)]z a u (k ) z
第 4 章 Z变换 3. 序列乘ak(Z域尺度变换)
若f (k ) F ( z), a z , 则
z a f (k ) F a
k
aa z a
a0
式中，a为常数（实数、虚数、复数），
第 4 章 Z变换 4. 序列域卷积 若
f1 (k ) F1 ( z ) f 2 (k ) F2 ( z )
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
第三章 Z变换
n
x[n] re
j n
可见，x[n]的z变换：指数序列r-n乘以x[n]后的傅立叶变换。 当︱z︱=1，即 r = 1时，z变换就是傅立叶变换。 z变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是z变换的特例；
z平面： z 1 称为单位圆 傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换 傅立叶变换的周期性解释
1 x [ n ] u[n] 通过比较可直接得到其反变换： 2
n
特点：简单求解
3.3.2 部分分式展开法 对于任意有理函数形式的X(z) -------- 主要方法 通常的X(z)表示形式： （z-1多项式之比）
或： M个零点（分子z的M次多项式） N个极点（分母z的N次多项式） z =0 的多重极点或零点 相同的有限值零点和极点数（包括z = 0，不包括z = ∞）
n
jn x [ n ] e
ejωz，傅立叶变换X (ejω)z变换X(z) 将复变量z表示成极坐标形式：z = rejω z变换可以写成：
X ( z ) X ( re ) 或 X ( re )
j n n -jn x [ n ] r e j
为方便部分分式展开，可将X(z)表示为：
ck -------- M个非零零点； dk -------- N个非零极点； 若M ＜ N，且极点都是一阶的，则可以进行部分分式展开：
式中系数Ak求法：
例子：
1 1 极点：z ， z 2 4
（一阶）
零点：z =0 （二阶） 右边序列 部分分式展开：
z变换的收敛域： （region of convergence, ROC） 对给定的序列x[n]， 所有满足下列不等式的z值
n
常见序列的z变换
常见序列的z变换什么是z变换？z变换是一种数学工具，用于分析和处理离散时间信号和系统。
它可以将离散时间信号从时域（时间）转换到z域（复平面），从而方便地进行频域分析和系统设计。
z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域中广泛应用。
z变换的定义对于一个离散时间序列x[n]，其z变换X(z)定义为：X(z)=∑x∞n=−∞[n]z−n其中，z是一个复数，x[n]是离散时间序列的值。
常见序列的z变换1. 单位序列单位序列u[n]是一个从n=0开始的离散时间序列，其值为1。
其z变换为：U(z)=∑u∞n=0[n]z−n=∑z−n∞n=0根据几何级数的公式，可以得到：U(z)=11−z−12. 单位阶跃序列单位阶跃序列u s[n]是一个从n=0开始的离散时间序列，其值在n≥0时为1，n< 0时为0。
其z变换为：U s(z)=∑u s∞n=0[n]z−n=∑z−n∞n=0根据几何级数的公式，可以得到：U s(z)=11−z−13. 指数序列指数序列x[n]=a n是一个常数a的离散时间序列。
其z变换为：X(z)=∑a n∞n=−∞z−n=∑(az−1)n∞n=−∞根据几何级数的公式，可以得到：X(z)=11−az−1,|az−1|<14. 正弦序列正弦序列x[n]=Asin(ωn+ϕ)是一个频率为ω、振幅为A、相位为ϕ的离散时间序列。
其z变换为：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn+ϕ)z−n根据正弦函数的性质，可以将其拆分为实部和虚部的和：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn+ϕ)z−n=∑A∞n=−∞sin(ωn)cos(ϕ)z−n+∑A∞n=−∞cos(ωn)sin(ϕ)z−n利用欧拉公式，可以将正弦函数转换为指数函数：X(z)=∑A∞n=−∞sin(ωn)cos(ϕ)z−n+∑A∞n=−∞cos(ωn)sin(ϕ)z−n=12j∑A∞n=−∞(e jωn−e−jωn)cos(ϕ)z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn+e−jωn)sin(ϕ)z−n=12j∑A∞n=−∞(e jωn cos(ϕ)−e−jωn cos(ϕ))z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn sin(ϕ)+e−jωn sin(ϕ))z−n根据欧拉公式的性质，可以得到：X(z)=12j∑A∞n=−∞(e jωn cos(ϕ)−e−jωn cos(ϕ))z−n+12j∑A∞n=−∞(e jωn sin(ϕ)+e−jωn sin(ϕ))z−n=12j∑A∞n=−∞(cos(ϕ)(z−1)n−cos(ϕ)(z−1)−n)+12j∑A∞n=−∞(sin(ϕ)(z−1)n+sin(ϕ)(z−1)−n)整理得到：X(z)=Acos(ϕ)2j∑((z−1)n−(z−1)−n)∞n=−∞+Asin(ϕ)2j∑((z−1)n+(z−1)−n)∞n=−∞利用几何级数的公式，可以得到：X(z)=Acos(ϕ)2j11−z−1+Asin(ϕ)2jz−11−z−15. 脉冲序列脉冲序列x[n]=δ[n]是一个在n=0时取值为1，其他时刻取值为0的离散时间序列。
Z变换公式——精选推荐
Z变换公式——精选推荐Z变换是一种常用的数学工具，用于分析离散时间信号和系统。
它是傅里叶变换在离散时间域上的推广，可以将离散时间域上的信号或系统转换为复平面上的Z域。
Z变换广泛应用于信号处理、控制系统和通信系统等领域。
在Z变换的计算中，有一些重要的公式被广泛应用。
下面是一些精选的Z变换公式：1.Z平移定理如果序列x(n)的Z变换为X(z)，那么对于任意整数k，x(n-k)的Z变换为z^(-k)X(z)。
这个公式可以表示离散时间序列的平移操作。
2.反转定理如果序列x(n)的Z变换为X(z)，那么序列x(-n)的Z变换为X(1/z)。
这个公式表示序列的反转操作对应于Z平面上对称的操作。
3.Z域的卷积定理对于两个序列x1(n)和x2(n)，它们的卷积操作x(n)=x1(n)*x2(n)的Z变换为X(z)=X1(z)X2(z)，其中X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的Z变换。
这个公式使得计算卷积操作变得更加简单，只需要对序列的Z变换进行乘法运算。
4.Z域的时移定理如果序列经过时移操作x(n-k)，那么它的Z变换为Z^(-k)X(z)，其中X(z)是原序列的Z变换。
这个公式表示时移操作对应于Z域上的将序列乘以一个Z的幂次的操作。
5.Z域的初始值定理如果一个序列x(n)的Z变换为X(z)，那么序列的初始值x(0)等于X(1)。
这个公式是根据定义得到的，表示序列在n=0时的值等于Z变换在z=1时的值。
6.Z域的终值定理如果一个序列x(n)的Z变换为X(z)，并且序列是因果的，即x(n)=0，当n小于0时，那么序列的终值x(infinity)等于lim_(z->1) [(1-z^-1)X(z)]。
这个公式表示因果序列在无穷远处的值等于计算X(z)关于z=1的泰勒级数截断的结果。
7.Z域的加法定理对于两个序列x1(n)和x2(n)，它们的和序列x(n)=x1(n)+x2(n)的Z变换为X(z)=X1(z)+X2(z)，其中X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的Z变换。
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10.1 Z变换 10.2 Z逆变换 10.3 Z变换求差分方程 10.4 脉冲传递函数 10.5 有零阶保持器的开环脉冲传 递函数 10.6 闭环脉冲传递函数 10.7 脉冲系统的稳定性分析
10.1 Z变换
10.1.1 采样器和保持器
普通的采样器每间隔T秒钟开关闭合一次，使输入信 号通过一次，即采样一次。
x*(t) x* (t) x(t) T (t) x(t) (t kT) k
在控制系统和工程实际应用中t<0时信号都为零 即 x(t) 0 ( t < 0 )
因此
x* (t) x(t) (t kT) k 0 x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
10.2 Z逆变换
确定离散控制系统时间响应要进行Z逆变换 z逆变换记
Z 1[ X (z)] x*(t)
显然，z逆变换求出的是采样信号x*(t)，而不 是连续信号x(t).
10.2.1 逆变换公式
已知Z变换为X(z)，则可以证明在t=kT瞬时的采样函数值 x(kT)，可以用下式来确定。
x(kT) 1 X (z)z k1dz
x(t)
x* (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
2j S
等号右边的积分可按留数定理来确定，其中S表示包围
X (z)z k 1全部极点的封闭曲线，即
x(kT) 1 X (z)z k1dz
2j S
X (z)z k 1 极点处的留数
10.2.2 幂级数法求Z逆变换
X(z)一般可以表示为 两个有理多项式之比
X (z)
bo zm ao zn
G(z) G1 (z)G2 (z) Gn (z)
b. 串联环节之间没有理想开关
G(z) = G 1G 2 (z)
xi (t(s) Xi (z)
x01(t)
G 2 (s)
xo*(t) Xo (s)
设 G(s) G1 (s)G2 (s) 则开环脉冲传递函数为
x* (t) 0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
考虑到z变换表中，X(z)在其分子上普遍有因子z，所 以应将 X(z)/z 展开成部分分式，然后将所得结果的每一 项都乘以z，即得X(z)的部分分式。
例 已知某系统的传递函数为 求系统的脉冲传递函数。
G(s) 10 s(s 10)
解： 将G(s)展开成部分分式之和得
G(s) 1 1 s s 10
查表得
z
z
G(z)
z 1 z e10T
2.串联开环系统的脉冲传递函数
a. 串联环节之间有理想开关
G(z) G 1 (z)
xo(t)
保持器
0 1T 2T 3T 4T t
-3T -2T -T
图示为理想的单位脉冲序列 T (t)
0 T 2T 3T t
T (t) (t kT) k
采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号， 而单位脉冲串可以作为载波信号
调制过程可以表示为
T(t)
x(t) 调制器
例求
X (z)
0.5z
(z 1)( z 0.5)
的逆变换。
解 先将 X(z)/z 展开成部分分式
X (z)
0.5
1 1
z (z 1)( z 0.5) z 1 z 0.5
所以
X (z) z z z 1 z 0.5
查z变换表
0.693 t
x(t) 1(t) e T
b1zm1 a1zn1
bm an
(n m)
对X(z)直接做长除法，用分母去除分子，并将商按z-1 的幂次排列
X (z) Co C1z 1 C2 z 2 Cn z n Cn z n n0
上式的z反变换为
x*(t) Co (t) C1 (t T ) C2 (t 2T ) Cn (t nT )
两端取Z变换得
(ao a1z 1 a2 z 2 an1z n1 an z n ) X o (z) (bo b1z 1 b2 z 2 bm1z m1 bm z m ) X i (z)
故离散控制系统的传递函数为
G(z) X o (z) bo b1 z 1 b2 z 2 bm1 z m1 bm z m X i (z) ao a1 z 1 a2 z 2 an1 z n1 an z n
Z[x2 (t)] X 2 (z)
则
Z[a1x1 (t) a2 x2 (t)] a1 X1 (z) a2 X 2 (z)
2.初值定理
设函数x(t)的z变换为X(z)，并有极限 lim X (z) 存在 z
则 x(0) lim X (z) z
3. 终值定理 x() lim[X (z)(z 1)]
查z变换表， 1 s
的z变换为
z z 1
1 s 1 的z变换为
z z eT
X (z) Z[x(t)] z z
z 1 z eT
z(1 eT )
(z 1)(z eT )
10.1.3 留数定理求Z变换
10.1.4 Z变换的性质
1. 线性定理
设 Z[x1(t)] X1(z)
例 10-22 求下列差分方程的解
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) u(k)
式中
x(k) 0 (k 0)
u(k
)
0 1
解 k 1 时代入方程得 x(1) 0
k 0 k 0
对差分方程进行Z变换，并考虑初始条件得
(z 2 3z 2)X (z) U (z)
Z[x(t)] Z[x*(t)] X (z) x(kT)zk k 0 x(0)z0 x(T )z1 x(2T )z2
求Z变换的一般步骤为
1) 先求采样信号x* (t) 的Laplace变换 X * (s) ，即
X * (s) x(kT)ekTs k 0
G(z)
X o (z) Xi (z)
Z[G1 (s)G2 (s)] G1G2 (z)
G1G2 (z) 表示 G1(s)G2 (s) 先乘积后进行z变换。
两个线性环节相串联的开环系统，且环节之间无理想 开关隔开时，开环系统的脉冲传递函数等于两个环节 传递函数先乘积后再进行Z变换。 显然，当有n个环节相串联，且环节之间无理想开关隔 开时，此时系统开环脉冲传递函数等于n个环节传递函 数先乘积后再进行Z变换，即
U (z) u(k)z k 1 k 0
故 X (z)
1
1 1
z 2 3z 2 z 1 z 2
又 Z[x(k 1)] zX (z) zx(0) zX (z)
注意 x(0)=0
Z[x(k 1)] z z z 1 z 2
令 z esT 并将X*(s)改写成X(z)，则
X (z)
X *(s) 1 s ln z
X
*
(
1 T
ln
z)
x(kT)z k
T
k 0
称X(z)为 x* (t) 的z变换， 并以 Z[x* (t)] 表示 x* (t) 的z变换
因为在z变换中只考虑瞬时的信号，所以x(t)的z变换 与x*(t)的z 变换结果相同，即
G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) x01(t) Xi (z)
x*01(t) X01(z)
G 2 (s)
xo* (t) Xo (s)
X o1 (z) G1 (z) X i (z)
X o (z) G2 (z) X o1 (z)
G1 (z), G2 (z) 分别为线性环节 G1 (s) 和 G2 (s)
G(z) 称为脉冲传递函数。脉冲传递函数的求法如下
1. 求出系统的传递函数G(s);
2. 求出脉冲响应函数
xo (t), {xo (t) L1[G(s)]}
3. 计算
G(z) xo (kT)z k k 0
或求出系统传递函数G(s)后，将G(s)展开成部分分式之和， 查Laplace变换与Z变换对应表，即可得到系统的脉冲传递 函数。
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采样时刻 t=nT 时的值 x(nT).
例10-18 求 X (z)
0.5z
的逆变换。
(z 1)( z 0.5)
解 X (z)
0.5z
0.5z
(z 1)( z 0.5) z 2 1.5z 0.5
利用综合除法得
X (z) 0.5z 1 0.75 z 2 0.875 z 3 0.9375 z 4
Z[1k ] z ; Z[2k ] z
z 1
z2
x(k 1) 1 2k (k 0,1,2,