Z变换
06第六讲 Z变换的性质
Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被
抵消，收敛域可扩大。
证 Y ( z ) Z [ x( n) h(n)]
n
[ x(n) h(h)]z n
n
n m
x ( m) h ( n m) z
第2章 Z变换 2. 序列的移位
Z[ x(n m)] z m X ( z)
Rx | z | Rx
(1-80)
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。 证
Z [ x(n m)]
n
x(n m) z n z m
k
x( k ) z k z m X ( z )
证
Z [ x (n)]
*
n
x ( n) z
*
n
n *
[ x(n)(z )
* n *
]
* n * * x(n)(z ) X ( z ) n
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 6. 翻褶序列
1 Z[ x(n)] X z
9. 序列卷积（卷积定理）
若
y ( n ) x ( n ) h ( n)
则
m
x(m)h(n m)
Y ( z ) Z [ y(n)] X ( z ) H ( z ) max[Rx , Rh ] | z | min[Rx , Rh ]
(1-88)
第2章 Z变换
V平面收敛域为
(1-90)
|z| |z| max Rx , | v | min Rx , Ry Ry
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
第9章Z变换
为： z 2 2 z cos w 0 1
6）正弦序列的 Z 变换 同样的方法：
1 sin( w 0 n ) 的 Z 变换为 2 j z e z sin w 0 ( z
jw 0
z ze
jw 0
)
，
为： z 2 2 z cos w 0 1
9.3 Z变换的基本性质
1、线性
做长除有：
X ( z ) z 1 2 z 2 nz n
所以有： x ( n ) nu ( n ) 可见，长除法是将 Z 变换分解成一个累加序列 然后总结规律。
2、部分分式展开法
这一方法同拉氏反变换中的方法基本相同 例：求
X ( z)
X ( z)
z2
z2 z 2 1.5 z 0.5 的逆变换
9.2 Z变换
1、Z变换的引出
从采样信号的拉氏变换出发：
X (s)
0
x ( t ) ( nT s )e st dt
，其中，T s 为采样间隔。
于是有：
X (s)
x ( n ) e snt s
n0
如果令 z
X (z)
e st s
，则： ，当采样间隔取 1 时，z
介绍了Z变换的收敛域的确定方法 在逆Z变换的方法中，我们有选择地介绍 了长除法和部分分式法，其中部分分式 法的过程同拉氏变换中的部分分式法是 相同的。 最后我们介绍了拉氏变换的S空间同Z变 换的Z空间之间的映射关系，它们之间是 一种典型的复变函数关系。
N N
，
等比无穷序列要收敛，要求后项与前项的比值的 模必须小于 1，即要求 | z | 1 ，有：
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
7.4 z变换
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
第三章 Z变换
n
x[n] re
j n
可见，x[n]的z变换：指数序列r-n乘以x[n]后的傅立叶变换。 当︱z︱=1，即 r = 1时，z变换就是傅立叶变换。 z变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是z变换的特例；
z平面： z 1 称为单位圆 傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换 傅立叶变换的周期性解释
1 x [ n ] u[n] 通过比较可直接得到其反变换： 2
n
特点：简单求解
3.3.2 部分分式展开法 对于任意有理函数形式的X(z) -------- 主要方法 通常的X(z)表示形式： （z-1多项式之比）
或： M个零点（分子z的M次多项式） N个极点（分母z的N次多项式） z =0 的多重极点或零点 相同的有限值零点和极点数（包括z = 0，不包括z = ∞）
n
jn x [ n ] e
ejωz，傅立叶变换X (ejω)z变换X(z) 将复变量z表示成极坐标形式：z = rejω z变换可以写成：
X ( z ) X ( re ) 或 X ( re )
j n n -jn x [ n ] r e j
为方便部分分式展开，可将X(z)表示为：
ck -------- M个非零零点； dk -------- N个非零极点； 若M ＜ N，且极点都是一阶的，则可以进行部分分式展开：
式中系数Ak求法：
例子：
1 1 极点：z ， z 2 4
（一阶）
零点：z =0 （二阶） 右边序列 部分分式展开：
z变换的收敛域： （region of convergence, ROC） 对给定的序列x[n]， 所有满足下列不等式的z值
n
z变换
第四章 Z 变换1 Z 变换的定义 (1) 序列)(n x 的ZT ：[]∑∞=-==0)()()(n nzn x n x Z z X(2) 复变函数)(z X 的IZT ：[])()(1z X Z n x -=，s e z =是复变量。
(3) 称)(n x 与)(z X 为一对Z 变换对。
简记为)()(z X n x ZT⇔或 )()(z X n x ⇔(4) 序列的ZT 是1-z 的幂级数。
n z -代表了时延，1-z 是单位时延。
(5) 单边ZT ：[]∑∞=-∆==0)()()(n nzn x z X n x Z(6) 双边ZT ：[]∑∞-∞=-∆==n nB B zn x z X n x Z )()()(2 ZT 收敛域ROC定义：使给定序列)(n x 的Z 变换)(z X 中的求和级数收敛的z 的集合。
∑∞-∞=-n nzn x )(收敛的充要条件是它∞<∑∞-∞=-n nzn x )((3) 有限长序列的ROC序列)(n x 在1n n <或2n n >(其中21n n <)时0)(=n x 。
收敛域至少是∞<<z 0。
序列的左右端点只会影响其在0和∞处的收敛情况： 当0,021><n n 时，收敛域为∞<<z 0(∞=,0z 除外)当0,021≤<n n 时，收敛域为∞<≤z 0(∞=z 除外) 当0,021>≥n n 时，收敛域为∞≤<z 0(=z 除外)右边序列的ROC序列)(n x 在1n n <时0)(=n x 。
如果01=n ，则序列为因果序列。
ROC 的情况：当01≥n 时，ROC 为∞≤<z R x 1； 当01<n 时，ROC 为∞<<z R x 1。
左边序列的ROC序列)(n x 在2n n >时0)(=n x 。
如果12-=n ，则序列为反因果序列。
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面
上
的
全
部
极
点
即：
ResF (z)在 某 闭 合 曲 线C内 部 的 全 部 极 点
ResF (z)在 某 闭 合 曲 线C外 部 的 全 部 极 点
10
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
1. 线性：若 x(n) X (Z) y(n) Y(Z) 且 ROC x ROC y 则 ax(n) by(n) aX(Z) bY(Z)
z
X
2(z)
x2
n
(n)z n
1
(an
)z
n
n
m1
(a 1 z ) m
n0
z a
n
z a
0
1
n0
z a
n
1
1
1 (z
a)
z za
z 1 or ROC : z a
a
2
可见：ROC是以 z 为半径的圆形区域、以奇点为边界。
§4.1 Z变换及收敛域—2.收敛域
讨论：序列与其ZT的收敛域的对应关系
x(n m) Z m X (Z )
k0
（Roc在Z 0,处可能有变化）x(m), x(m 1),...x(1) 13
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
3. 频域卷积/序列相乘定理
设 x(n) X (Z ) RX1 Z RX 2 y(n) Y(Z ) RY1 Z RY 2
（Z a 处零极点相消 Roc : Z 0 ）
11
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
2. 位移性：若 x(n) X (Z) 则 x(n m) Z m X (Z )
事实上，
Z[x(n m)]
x(n
m)
z
n
n
m
k
x(k)z
k
m
Z
m
X
(Z
)
n
k
注：ROC可能增加一个极点：左移时为z = 右移时为z = 0 或，增加一个零点：左移时为z = 0右移时为z =
(1) n1 n
n1
n
( 1)
由 az1 1 得 X (z) (1)n1an z n
n1
n
显然 x(n) (1)n1 an u(n 1) (a)n u(n 1)
n
n
6
§4.2 Z逆变换
2、部分分式展开（后根据ROC及公式变换）法
若X(Z)= N(Z)/D(Z)为有理函数：利用已知变换公式
anu(n) Z (Roc: Z a) Z a
anu(n 1) Z (Roc: Z a) Z a
A (n) A,
X (z) 分解为： 多项式 +
真分式
Y(Z) + N'(Z)/D(Z)
X (Z ) A BZ CZ 2 ... kZ hZ ... Z a Z b
N (Z ) D(Z )
X 2 (Z )
Z Z
a
Z Za
Z 1
Z 1 Z a
(Z a)
Z
Y(Z) X1(Z)X2(Z) Z a
(Z a)
则 y(n) anu(n) （ Z 1 处极点被零点抵消）
15
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
5. 复频域微分 / Z域微分：
nf (n) Z d F(Z ) dZ
且 x(n) X (Z)
则 x(0) lim X (Z ) Z
（证明自习）
18
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
8. 终值定理：
若 x(n 0) 0（ x(n)为有始/因果序列）
且 x(n) X (Z)，又 lim x(n) 存在 n
则 lim x(n) lim(Z 1)X (Z )
1. s 与 z 的映射关系：
Ts
2 s
Z esTs eTs e jTs Z e j
当 任意时，s 与 z 的映射出现多值性，将不一一对应。
n
2
时、频能量相等
20
e j e j2 s以 s 为周期
§4.4 Z变换与LT变换的关系
1. s 与 z 的映射关系： z esTs eTs e jTs z e j
其中：
z
eTs
2
e s
Ts
2 s
j
s
Z
0
01
21
e j e j2 s以 s 为周期 §4.4 Z变换与LT变换的关系
注意到：是对
Z
做部分分式展开
由ROC确定各分式对应左边或右边序列 代入公式得 x(n)7
§4.2 Z逆变换
3、由定义计算（在ROC内）围线积分/留数法
[x(公n)式 ]1 X (Z)Z n1dZ
2j C
Res[X (Z)Z n1在c内的奇点]
X (Z)Z n1 在一阶极点 Zi 处的留数公式：
n
Z 1
注：“ lim x(n) 收敛”等价于“lim(Z 1)X (Z)
n
Z 1
判最
收敛”定 实
条用 件的
等价于
Z 1 ROC /的极点均在单位圆内
（X(z)在单位圆上解析 仅可有一个一阶极点 z=1 ）19
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
9. 帕斯瓦尔定理：
若 x(n) X (Z ) y(n) Y(Z)
证明：x*(n) 的Z变换是X* (z*)。
9
§4.2 Z逆变换
3、由定义计算（在ROC内）围线积分/留数法
为简化 n 阶极点留数运算 引入 [留数辅助定理]
设：F(z)在z平面上有有限个极点，且
lim F (z) 0
z
（不低于二阶的无穷小）
则：
L
F (z)dz
0
L：闭合曲线
or
ResF
(
z
)在z平
X (z) x(i)Z (i) x(i 1)Z (i 1) x(i 2)Z (i 2) Roc为某圆内时，x(n)为左边序列， X(Z)级数应升幂排列
X (z) x(i 2)Z (i 2) x(i 1)Z (i 1) x(i)Z (i)
例：设 X (z) z ，分别求出
则
(a)n
f (n)
u(n 1)
n
16
§4.3
f
(n)
(a)n1u
(n
1)
F
(v)
1
v 1 av1
Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
6. 复频域积分
f (n) Z F (v)v 1dv
n
特别地 lim f (n) f (0) 0时 存在
n0 n
(a)n
例：求 n u(n 1) ?
[x(n) Z k1dZ]
c
c n
由柯西定理
c
Z
k 1dZ
2j
0
n
c
k 0(or n m)
k 0(or n m)
得： X (Z )Z m1dZ 2jx(m)
Z逆变换
c
x(n)
1
X (Z )Z n1dZ
Res[X (Z)Z n1在c内的奇点]
2j
c
1
X (Z ) x(n)Z n n
2 （可看做以 为变量的卷积）
（证明自习）
14
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
4. 时域卷积定理
x(n) y(n) X (Z)Y(Z) （证明自习）
例：求以下二序列的卷积和，
x1(n) u(n) x2(n) anu(n) an1 u(n 1)
解：
X1(Z )
Z Z 1
( Z 1)
4（1、3、6、8、10）、5、6、7 、9、10 、11、13 思考题 1. 单位圆上极点对应的逆Z变换一定是等幅震荡吗？单
位圆外极点对应的逆Z变换一定是增幅震荡吗？ 2. 若x(n)为x(0)≠0的因果序列，
则X(z)在 z = 0或 z = ∞处有极点吗？又，有零点吗？ 3. 已知X(z)为x(n)的Z变换，
解： (a)
(a)n1
u(n
1)
a
f (n) (a)
Z
F (v)v 1dv
n
n
Z v2
(a) 1 av1dv
Z
d (av1) 1 av1
ln(1
av1)
Z
ln(1
az 1 )
ln1
17
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
7. 初值定理：
若 x(n 0) 0（x(n) 为有始/因果序列）
za
当 RCO: z a 和 ROC: z a 时的 x(n)
5
§4.2 Z逆变换
1、（根据ROC ）幂级数展开（长除法，幂级数展开法）
幂级数展开法： （当X(Z)为特殊无理函数时）
例：已知 X (z) lg(1 az1)(ROC: z a) 求 x(n)
解： 利用已知的泰勒公式
lg(1 )
则 x(n) y(n) 1 X (Z )Y (1 Z)Z 1dZ
n
j2 C
特别地，当X(z)Y(z)收敛域包含单位圆，可令 Z e j
得：
x(n) y(n)
1
X (e j )Y (e j )d
n
2
特别当 x(n) y(n) ，上式即DTFT的帕斯瓦尔定理
x(n) 2 1 X (e j ) 2 d
第四章 Z变换
§4.1 Z变换及收敛域 1.定义
[定义]直接由序列给出（满足收敛条件时）