Z变换
06第六讲 Z变换的性质
Y(z)的收敛域为X(z)、H(z)收敛域的公共部分。 若有极点被
抵消，收敛域可扩大。
证 Y ( z ) Z [ x( n) h(n)]
n
[ x(n) h(h)]z n
n
n m
x ( m) h ( n m) z
第2章 Z变换 2. 序列的移位
Z[ x(n m)] z m X ( z)
Rx | z | Rx
(1-80)
位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。 证
Z [ x(n m)]
n
x(n m) z n z m
k
x( k ) z k z m X ( z )
证
Z [ x (n)]
*
n
x ( n) z
*
n
n *
[ x(n)(z )
* n *
]
* n * * x(n)(z ) X ( z ) n
Rx | z | Rx
第2章 Z变换 6. 翻褶序列
1 Z[ x(n)] X z
9. 序列卷积（卷积定理）
若
y ( n ) x ( n ) h ( n)
则
m
x(m)h(n m)
Y ( z ) Z [ y(n)] X ( z ) H ( z ) max[Rx , Rh ] | z | min[Rx , Rh ]
(1-88)
第2章 Z变换
V平面收敛域为
(1-90)
|z| |z| max Rx , | v | min Rx , Ry Ry
信号与系统 z变换
信号与系统 z变换信号与系统是电子信息学科中的一门重要课程，其中的z变换是信号与系统分析的一种重要工具。
本文将介绍信号与系统中的z变换原理及应用。
一、z变换原理z变换是一种离散域的数学变换，它将离散时间序列转换为复平面上的函数。
在信号与系统中，我们常常需要对信号进行分析和处理，而z变换提供了一种方便且有效的方式。
它将离散时间序列变换为z域函数，从而可以对信号进行频域分析。
z变换的定义是：X(z) = ∑[x(n)·z^(-n)]，其中x(n)为离散时间序列，z为复变量。
通过z变换，我们可以将离散时间序列的差分方程转化为代数方程，从而简化信号与系统的分析和计算。
此外，z变换还具有线性性质和时移性质，使得我们可以方便地进行信号的加权叠加和时间偏移操作。
二、z变换的应用1. 系统的频域分析：z变换将离散时间序列转换为z域函数，可以方便地进行频域分析。
通过计算系统的传递函数在z域中的值，我们可以得到系统的频率响应，从而了解系统对不同频率信号的响应特性。
2. 系统的稳定性判断：通过z变换，可以将系统的差分方程转化为代数方程。
我们可以通过分析代数方程的根的位置，判断系统的稳定性。
如果差分方程的根都在单位圆内，说明系统是稳定的。
3. 离散时间系统的滤波设计：z变换为我们提供了一种方便的方法来设计离散时间系统的滤波器。
通过在z域中对滤波器的传递函数进行分析和调整，我们可以设计出满足特定需求的滤波器。
4. 信号的采样与重构：在数字信号处理中，我们常常需要对连续时间信号进行采样和重构。
通过z变换，我们可以将连续时间信号转换为离散时间信号，并在z域中进行处理。
然后再通过z逆变换将离散时间信号重构为连续时间信号。
5. 离散时间系统的时域分析：z变换不仅可以进行频域分析，还可以进行时域分析。
通过z变换，我们可以将离散时间系统的差分方程转换为代数方程，并通过对代数方程的分析，得到系统的时域特性。
z变换是信号与系统分析中非常重要的工具。
第9章Z变换
为： z 2 2 z cos w 0 1
6）正弦序列的 Z 变换 同样的方法：
1 sin( w 0 n ) 的 Z 变换为 2 j z e z sin w 0 ( z
jw 0
z ze
jw 0
)
，
为： z 2 2 z cos w 0 1
9.3 Z变换的基本性质
1、线性
做长除有：
X ( z ) z 1 2 z 2 nz n
所以有： x ( n ) nu ( n ) 可见，长除法是将 Z 变换分解成一个累加序列 然后总结规律。
2、部分分式展开法
这一方法同拉氏反变换中的方法基本相同 例：求
X ( z)
X ( z)
z2
z2 z 2 1.5 z 0.5 的逆变换
9.2 Z变换
1、Z变换的引出
从采样信号的拉氏变换出发：
X (s)
0
x ( t ) ( nT s )e st dt
，其中，T s 为采样间隔。
于是有：
X (s)
x ( n ) e snt s
n0
如果令 z
X (z)
e st s
，则： ，当采样间隔取 1 时，z
介绍了Z变换的收敛域的确定方法 在逆Z变换的方法中，我们有选择地介绍 了长除法和部分分式法，其中部分分式 法的过程同拉氏变换中的部分分式法是 相同的。 最后我们介绍了拉氏变换的S空间同Z变 换的Z空间之间的映射关系，它们之间是 一种典型的复变函数关系。
N N
，
等比无穷序列要收敛，要求后项与前项的比值的 模必须小于 1，即要求 | z | 1 ，有：
第六章 Z变换
6.3 z变换的反变换
2π j , 柯西公式： ∫ z dz = C 0,
n
m = −1 m ≠ −1
6.3 z变换的Βιβλιοθήκη 变换6.3 z变换的反变换
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
6.3 (1)幂级数展开法
例2 、 x[ n] = u[ n]
X ( z) = ∑ z
n =0
+∞
−n
1 = , z >1 −1 1− z
+∞ 1 X (ω ) = + π ∑ δ (ω − 2kπ ) − jω 1− e k = −∞
例3、
x[n] = − a u[− n − 1]
n
−1 n −n
a z X ( z) = − ∑ a z = − ∑ a z = − −1 1− a z n = −∞ n =1 1 = ,z <a −1 1 − az
第6章 Z变换 章 变换
引言
x(n) = z
n
LTI
y(n) = H(z)z
n
h(n)
H (z) =
jω
n = −∞
∑
+∞
h(n ) z −n ,
H ( z ) 为 h ( n )的 z 变换 .
z = re , 当r＝1时，即为h( n)的傅立叶变换。
z变换是离散时间傅里叶变换的推广，在连续时 变换是离散时间傅里叶变换的推广， 变换是离散时间傅里叶变换的推广 间域内与拉氏变换相对应。 间域内与拉氏变换相对应。
(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=0
7.4 z变换
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
第三章 Z变换
n
x[n] re
j n
可见，x[n]的z变换：指数序列r-n乘以x[n]后的傅立叶变换。 当︱z︱=1，即 r = 1时，z变换就是傅立叶变换。 z变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是z变换的特例；
z平面： z 1 称为单位圆 傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换 傅立叶变换的周期性解释
1 x [ n ] u[n] 通过比较可直接得到其反变换： 2
n
特点：简单求解
3.3.2 部分分式展开法 对于任意有理函数形式的X(z) -------- 主要方法 通常的X(z)表示形式： （z-1多项式之比）
或： M个零点（分子z的M次多项式） N个极点（分母z的N次多项式） z =0 的多重极点或零点 相同的有限值零点和极点数（包括z = 0，不包括z = ∞）
n
jn x [ n ] e
ejωz，傅立叶变换X (ejω)z变换X(z) 将复变量z表示成极坐标形式：z = rejω z变换可以写成：
X ( z ) X ( re ) 或 X ( re )
j n n -jn x [ n ] r e j
为方便部分分式展开，可将X(z)表示为：
ck -------- M个非零零点； dk -------- N个非零极点； 若M ＜ N，且极点都是一阶的，则可以进行部分分式展开：
式中系数Ak求法：
例子：
1 1 极点：z ， z 2 4
（一阶）
零点：z =0 （二阶） 右边序列 部分分式展开：
z变换的收敛域： （region of convergence, ROC） 对给定的序列x[n]， 所有满足下列不等式的z值
n
z变换
第四章 Z 变换1 Z 变换的定义 (1) 序列)(n x 的ZT ：[]∑∞=-==0)()()(n nzn x n x Z z X(2) 复变函数)(z X 的IZT ：[])()(1z X Z n x -=，s e z =是复变量。
(3) 称)(n x 与)(z X 为一对Z 变换对。
简记为)()(z X n x ZT⇔或 )()(z X n x ⇔(4) 序列的ZT 是1-z 的幂级数。
n z -代表了时延，1-z 是单位时延。
(5) 单边ZT ：[]∑∞=-∆==0)()()(n nzn x z X n x Z(6) 双边ZT ：[]∑∞-∞=-∆==n nB B zn x z X n x Z )()()(2 ZT 收敛域ROC定义：使给定序列)(n x 的Z 变换)(z X 中的求和级数收敛的z 的集合。
∑∞-∞=-n nzn x )(收敛的充要条件是它∞<∑∞-∞=-n nzn x )((3) 有限长序列的ROC序列)(n x 在1n n <或2n n >(其中21n n <)时0)(=n x 。
收敛域至少是∞<<z 0。
序列的左右端点只会影响其在0和∞处的收敛情况： 当0,021><n n 时，收敛域为∞<<z 0(∞=,0z 除外)当0,021≤<n n 时，收敛域为∞<≤z 0(∞=z 除外) 当0,021>≥n n 时，收敛域为∞≤<z 0(=z 除外)右边序列的ROC序列)(n x 在1n n <时0)(=n x 。
如果01=n ，则序列为因果序列。
ROC 的情况：当01≥n 时，ROC 为∞≤<z R x 1； 当01<n 时，ROC 为∞<<z R x 1。
左边序列的ROC序列)(n x 在2n n >时0)(=n x 。
如果12-=n ，则序列为反因果序列。
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Z[ f (t)] Z[ f * (t)] F (z) f (kT)z k k 0
8.4.2 Z变换方法
求离散函数的方法有很多，本书介绍其中三 种。
z z esT
]
例8-5 已知系统传递函数为 F(s) 1 ，应 s(s 1)
用留数计算法求F（z）。
解：F(s)的极点为单极点
s1 0, s2 1
X (z)
2 i 1
Re s[F (s) s si
z z esT
]
Re s[ 1
z ] Re s [ 1
因此可直接写出f *(t)的脉冲序列表达式 f *(t) fk (t kT) k 0
上式就是我们要求的通过z反变换得到的离散
信号f *(t) 。
例8-7：已知 F(z) 2z 2 0.5z ，试用幂级数法求 F(z)的z反变换。 z 2 0.5z 0.5
解：用综合除法得到
z]
ssi 0 s(s 1) z eTs ss2 1 s(s 1) z eTs
lim [ 1 s0 s(s 1)
s
z
z eTs
]
lim [ 1 s1 s(s 1)
(s
1)
z
z eTs
]
z
z
z(1 eT )
z 1 z eT (z 1)( z eT )
等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以 eaT z 取代原
算子z。
证明：由Z变换定义 Z[eat x(t)] eakT x(kT)z k k 0
x(kT)(eaT z)k k 0
X (eaT z)
举例：试用复数位移定理计算函数te-at的Z变换
解：令x(t)=t，查附表B知
Re s[F(s)
z z eTs
]ssi
lim
ssi
[(
s
si
)
F
(
s)
z z eTs
]
若F (s)
z
z eTs
有ri重极点Si，则
Re s[F(s)
z z esT
]ssi
(ri
1 lim
1)! ssi
d ri 1[(s si )ri F (s) dsri 1
ax1 (kT)z k bx2 (kT)z k
k 0
k 0
a x1 (kT)z k b x2 (kT)z k
k 0
k 0
aX1 (z) bX 2 (z)
2）实数位移定理又称平移定理
实数位移含义，是指整个采样序列在时 间轴上左右平移若干个采样周期，其中向左 平移为超前，向右平移为延迟。
例8-4：求f (t)=sinωt的Z变换。
解：
1 1
F(s) 2 j 2 j s2 2 s j s j
s
Ai
j
的原函数为
Ai e
pit，其Z变换为
1
Ai z 1e
jT
1
1
F
(
z)
1
2j z 1e
jT
1
2j z 1e
jT
(sin T )z1 1 (2 cosT )z1 z2
7）卷积定理
若 Z[x1(t)] X1(z) 则有： Z[x2 (t)] X 2 (z)
X1(z) X 2 (z) Z[ x1(nT )x2 (kT nT )] n0
证明：根据Z变换的定义：
X1 (z) x1 (kT)z k k 0
X 2 (z) x2 (kT)z k k 0
例8-3：求F(s) 1 的Z变换 。 s(s 1)
解：将F (s)按它的极点展开为部分分式
F(s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
查z变换表得：1的z变换为 z ;
s
z 1
s
1
的z变换为 1
z
z e
T
于是z变换为F (z)
z
z 1
z
z eT
z(1 eT ) (z 1)(z eT )
5）初值定理
若Z[x(t)]=X(z) ，且当t<0时， x(t)＝0 则
x(0) lim X (z) z
6）终值定理 若Z[x(t)]=X(z) ，且(z－1)X(z)的全部极点位
于Z平面的单位圆内，则
x() lim (z 1)X (z) z1
举例：设Z变换函数为 E(z)
f (kT)z k
是相互补充的两种变换形式，前者表示s平面 上的函数关系，后者表示z平面上的函数关系。
应该指出，式 F (z) f (kT)zk 所表示的z变换
只适用于离散函数。 k0
人们习惯上称 F(z)是f(t)的z变换,指的是经过采样后 f*(t)的z变换。采样函数f*(t)所对应的z变换是唯一的， 反之亦然。
x1 (nT )[ x2 ((k n)T )z (kn) ]z n
n0
k 0
x1 (nT )x2 (kT nT )z k
n0 k0
[ x1 (nT )x2 (kT nT )]z k k0 n0
Z[ x1(nT )x2 (kT nT )] n0
f *(t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
k 0
k 0
离散信号的拉氏变换为
F * (s) f (kT)ekTs k 0
上式中各项均含有eksT 因子，为便于计算定 义一个新变量z= esT ， 其中T为采样周期，z是复
数平面上定义的一个复变量。通常称为z变换算子。
X
(z)
Z
(t)
Tz (z 1)2
根据复数位移定理，有
X (ze aT ) Z[teat ] T (ze aT) (ze aT 1)2
Tze aT (z eaT )2
4）复数微分定理 若 Z[x(t)]=X(z)，则 Z[tx(t)] Tz dX (z) dz
z
1
e
2aT z
ze2aT
ekaT z k
综上分析可见，通过级数求和法求取已知函 数Z变换的缺点在于：需要将无穷级数写成闭式。
2) 部分分式法
设连续函数f(t)的拉氏变换式为有理函数，可以 展开成部分分式的形式，即
n
F(s)
Ai
i1 s pi
1) 级数求和法
由离散函数
f *(t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
k 0
k 0
及其拉氏变换， F * (s) f (kT)ekTs k 0
根据z变换的定义有：
F(z) f (kT)zk f (0) f (T)z1 f (2T)z2 f (kT)zk
F (z) f (kT)zk 11 z1 1 z2 k 0
1 zk
1 1 z1
z
z 1
z 1
例8-2：试求函数 f(t)=e-at 的z变换。
F
(
z)
1k
0
f1(kT) z e1 aT
z k
1z eaT z eaT
F(z) 2 0.5z 1 1.25z 2 0.875z 3
§8.4 Z变换
通过前面对线性连续系统的讨论我们知道， 线性连续系统用线性微分方程来描述，可以应用 拉氏变换的方法来分析其动态及稳态过程。线性 采样系统中包合离散信号，用差分方程来描述， 同样可以应用一种z变换的方法来进行分析。
z变换是由拉氏变换引伸出来的一种变形。
8.4.1 Z变换定义
设连续时间函数f(t)可进行拉氏变换，其拉氏 变换为F(s)。连续时间函数f(t)经采样周期为T的采 样开关后，变成离散信号f*(t)
z esT s 1 ln z T
得到以z为自变量的函数F(z)
F (z) f (kT)zk k 0
若所示级数收敛，则称F(z)是f*(t)的z变换。记为
Z[f*(t) ]= F(z)
F * (s)
1 T
F[s
n
jns ]与F (z)
k 0
式中pi为F（s）的极点， Ai为常系数。
Ai s pi
对应的时间函数为Ai e pit 其Z变换为
Z Ai Z e piT
可见，f（t）的Z变换为：
n
Z
F(z)
i 1
Ai Z e piT
利用部分分式法求z变换时，先求出已知连续 时间函数f（t）的拉氏变换F(s)，然后将有理分式 函数F(s)展成部分分式之和的形式，最后求出（或 查表）给出每一项相应的z变换。
(m n)
1 a1z 1 a2 z 2 an z n
其中ai ，bj均为常系数。通过对上式直接作综
合除法，得到按 z-1升幂排列的幂级数展开式如果
得到的无穷级数是收敛的，则按Z变换定义可知上
式中的系数 fk （k=0，1，…） 就是采样脉冲序列 f *(t)的脉冲强度f(kT）。