2.3 无穷小与无穷大
2.3无穷小与无穷大
lim 则 lim [ f ( x ) − A] = x → x α ( x ) = 0.
于是，对 ∀ε > 0, ∃δ > 0,当 | x − x0 |< δ 时， 于是， | f ( x ) − A − 0 |=| f ( x ) − A |< ε .
x → x0 →
0
∴ lim f ( x ) = A.
第三节 无穷小与无穷大 要 点
无穷小量与无穷大量概念 无穷小与无穷大性质关系
无穷小量 ( infinitesimal ) 例
1 x → 0, sin x → 0, x sin → 0, x 当 x→1, ln x → 0 , ( x − 1)3 → 0 , →
2
当 x→0 →
当 x→∞ , →∞ 1 − x2 →0, e →0, x 1 当 n→∞ → 0. n
0
图形的垂直渐近线 图形的垂直渐近线. 垂直渐近线
注意
无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 极限存在； 不可认为 lim f ( x ) = ∞ 极限存在； x→ • 无穷大是一种特殊的无界变量, 无穷大是一种特殊的无界变量, 但 是无界变量未必是无穷大. 是无界变量未必是无穷大.
1 f ( x) < , 于是 ⇒ M
1 由于 f ( x ) ≠ 0, ∴ x → x0 , 是无穷大量. 是无穷大量 f ( x)
关于无穷大的讨论, 意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关 于无穷小的讨论. 于无穷小的讨论.
例
研究 x→0 时， 函数 是否为无穷小. 是否为无穷小
1+ e 1+ e
1 1 , 取δ= , 只要 x − 1 < M M 1 1 当0 < x − 1 < δ = 时 , 就有 > M. M x −1 1 ∴ lim = ∞. x →1 x − 1
2.3 无穷小与无穷大
1
4
2
5
3
6
y x2
1 y x1
1 y x
y x1
1 y 3 x
y
1 x 1
3.无穷小量的比较 我们已经知道了有限个无穷小的和、差、积仍然是无 穷小.但是两个无穷小的商会是什么样的结果呢？
提出问题
2 x 0 2 x ， x ,4 x 都是无穷小量， 当 时， 观察他们任意两个求商取极限的情形？
1 2
任意两个无穷小的商是否仍是无穷小？为 什么？
x2 2x 4x lim 0, lim 2 , lim 2. x 0 2 x x 0 x x 0 2 x
lim X 0 变量X是这一变化过程中的无穷小
注意
（1）无穷小表达的是量的变化趋势，而不是量的大小；一 个非零的数不管其绝对值多么小，都不是无穷小，常数中 只有零是无穷小.
课堂练习
讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小.
1 1 x x (1) y ; (2) y 2 x 1; (3) y 2 ; (4) y ( ) . x 1 4
势是绝对值越来越大，趋于无穷.我们把这一类情况的变量 给出以下定义：
定义3
在某一变化过程中,函数绝对值越来越大的变量称为 无穷大量.一般用
表示。为方便起见，我们也称“函
x x 0 (x )
数的极限是无穷大”，并记为 lim f(x)
类似也有 x lim f(x) , x lim f(x) x x
0 0
(x )
(x )
正无穷大
负无穷大
注意
（1） 无穷大是个变量，不是常数 （2） 无穷大总和自变量的变化趋势相关联
2.3无穷大与无穷小
2
y = 1 cos x
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
常用等价无穷小:重点 当x 0时,
①
x : sin x
②tan x ~ ④(1
x
a
1 ③ 1 cos x ~ x 2 2
⑤e
x
x) 1 ~ ax
二、无穷小的性质:
性质2.1 在同一过程中,有限个无穷小的和与差仍 是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例如 lim( 1 1 … 1 )= 1 n n nn n
个
性质2.2 有限个无穷小的积仍为无穷小. 性质2.3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
例如,当x 0时,
3x 例如： lim 3 = x 0 x
3 x是x 0时x 的低阶无穷小
3
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
f ( x) (3) 如果 lim = C 0, 就说 f ( x ) 与 g( x ) 是同阶的无穷小; x X g( x )
x2 1 2 2 2 lim 2 = x 1是2 x x 1的同阶无穷小 x 1 2 x x 1 3
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
例1 证明 : 当x 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小 . 解
tan x sin x lim x 0 x3
1 sin x 1 cos x = lim( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 = lim lim lim = , 2 x 0 cos x x 0 x x 0 x 2
主讲：欧阳苗 Email：mouyang@
无穷小和无穷大
第二章 2.3讲 第三节 无穷小与无穷大一、无穷小１.无穷小的定义定义 如果当0x x →(或∞→x )时,函数)(x f 的极限为0,那么函数)(x f 叫做当0x x →(或∞→x )时的无穷小量,简称无穷小.例如,因为0)1(lim 1=-→x x ,所以函数1x -是1→x 时的无穷小.又如,01lim=∞→x x ,所以x1是∞→x 时的无穷小. 注意：:(1)说一个函数)(x f 是无穷小时,必须指明自变量x 的变化趋势,如函数1x -是当1→x 时的无穷小,当x 趋向其他数值时, 1-x 就不是无穷小.(2)不要把绝对值很小的常数(如0000001.0或0000001.0-)说成是无穷小,因为这个常数在当0x x →(或∞→x )时,极限为常数本身,并不是0.(3) 常数中只有“0”可看作是无穷小,因为00lim )(0=∞→→x x x2.无穷小的性质性质１ 两个无穷小的代数和是无穷小．性质２ 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小． 性质３ 两个无穷小的乘积还是无穷小． 例1 01lim sinx x x→ 解 当0x →时，1sinx的极限不存在,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.但因为0lim 0x x →=,所以x 是当0x →时的无穷小.而1sin1x≤,所以1sinx 是有界函数.根据无穷小的性质2可知1lim sinx x x→=0例2 求xxx sin lim∞→.解 当∞→x 时，分子及分母的极限都不存在,所以,不能应用极限运算法则Ⅲ.但xx sin 可以看作是x sin 与x 1的乘积.因为当∞→x 时, x 1是无穷小,而x sin 是有界函数,所以根据无穷小的性质2,可知0sin lim =∞→xx x . 3.函数极限与无穷小的关系定理 具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限．下面就0x x →时的情形加以证明． 证 设A x f x x =→)(lim 0,令A x f -=)(α,则[]A x f A x f x x x x x x x x 0lim )(lim )(lim lim →→→→-=-=α0=-=A A就是说,α是当0x x →时的无穷小．由于A x f -=)(α,所以α+=A x f )(这就证明了具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和. 反之,设α+=A x f )(,其中A 为常数,α是当0x x →时的无穷小,则A A x f x x x x =+=→→）（α0lim )(lim这就证明了如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限．类似地可以证明当∞→x 时的情形．二、无穷大定义 如果在0x x →(或∞→x )时,函数)(x f 的绝对值无限增大,那么)(x f 叫做当0x x →(或∞→x )时的无穷大量,简称无穷大.如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时是无穷大,那么它的极限是不存在的.但为了便于描述函数的这种变化趋势,我们也说 “函数的极限是无穷大”,并记为∞=∞→→)(lim )(0x f x x x如果在无穷大的定义中,对于0x 左右近旁的x (或对于绝对值相当大的x ),对应的函数值都是正的或都是负的,就分别记为0()lim ()x x x f x →→∞=+∞ 0()lim ()x x x f x →→∞=-∞例如,1x →时,11x -无限增大,所以11x -是1x →时的无穷大.可记为 01lim1x x →=∞- 例如,x →+∞时,xe 总取正值无限增大,所以xe 是x →+∞时的无穷大.可记为lim x x e →+∞=+∞注意：（1）说一个函数)(x f 是无穷大,必须指明自变量x 的变化趋势,如函数x 1是0→x 时的无穷大.当∞→x 时, x1是无穷小而不是无穷大. （2）不要把绝对值很大的常数(100000000或100000-)当作无穷大,因为这个常数在0x x →(∞→x )时的极限为常数本身,并不是无穷大.三、无穷大与无穷小的关系无穷小与无穷大之间有以下关系:在自变量x 的同一变化过程中,若)(x f 为无穷大,则)(1x f 为无穷小.反之,若)(x f 为无穷小,且0)(≠x f ,则)(1x f 为无穷大. 例3 求极限14lim1-+→x x x .解 当1→x 时,分母的极限为零,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.例4 求2lim(32)x x x →∞-+解 因为2lim x x →∞和lim 3x x →∞都不存在,所以不能应用极限法则Ⅰ和Ⅱ.但因为22211lim lim 032321x x x x x x x→∞→∞==-+-+即2132x x -+是当x →∞时的无穷小,所以它的倒数232x x -+是当x →∞时的无穷大,即2lim(32)x x x →∞-+=∞例5 求752lim 223++-∞→x x x x 解 因为分子分母的极限都不存在,所以不能应用极限运算法则Ⅲ.但因为051271lim 527lim 527lim 3332332232=+-+=+-+=+-+∞→∞→∞→x x x x xx x x x x x x x x x 所以 ∞=++-∞→752lim223x x x x 归纳上节的例2、例4、以及本节的例5，可得以下的一般结论,即当0,000≠≠b a 时，有101101()lim 0()()m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩，，， 例6 求32112lim ()28x x x →--++ 解 因为当2x →-时， 12x +和3128x +都是无穷大，所以不能应用极限法则Ⅰ.但在2x →-的过程中，2x ≠-，所以23222112(24)1228(2)(24)(2)(4)4(2)(24)24x x x x x x x x x x x x x x x -+--=+++-++--==+-+-+于是32112lim ()28x x x →--=++22461lim 244442x x x x →---==--+++四、无穷小的比较定义 设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，又αβlim也是在这个变化过程中的极限． （１） 如果0lim=αβ，就称β是比α较高阶的无穷小，记为)(αβo =；（２） 如果∞=αβlim，就称是β比α较低阶的无穷小； （３） 如果C =αβlim（C 为不等于零的常数），就称β与α是同阶无穷小；（４） 如果1lim=αβ，就称β与α是等价无穷小，记为α～β． 显然，等价无穷小是同阶无穷小的特例，即1=C 的情形． 以上定义对于数列的极限也同样适用． 例7 比较当0→x 时，无穷小x x---111与2x 阶数的高低． 解 因为 2200111(1)(1)1lim lim (1)x x xx x x x x x →→---+--=+2200lim (1)1lim 11x x x x x x→→=-==-所以当0→x 时，x x---111～2x。
无穷小与无穷大
2 3 1 lim 2 2 2 n n n n
n 2 n
lim
n
1 2 3
1 n n 1 2
n2
n
n2
lim
n
1 n1 lim n 2n 2
二、无 穷 大
定义 在自变量某一变化过程中，若函数
f ( x) 的绝对值无限增大，则称 f ( x) 为无穷
解 因为
1 sin 1 x
1 所以 sin 是有界函数 x
即 又 lim x 0，
x 0
x 是 x 0 时的无穷小
1 lim x sin =0 性质2可知 ， x 0 x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小．
1 2 n 当 n 时， 各项 2 , 2 , , 2 的 n n n 极限都为０， 均为无穷小，但却不是有限项的和.
即当 x 时, 所以
2x 5 2 2 lim x 1 x
3 f ( x) 是 2 与无穷小 2 之和. x 1 2
2．无穷小的性质
在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质： （1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小． （2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
例2
1 求 lim x sin x 0 x
x 1
x 1
时
x 1 是无穷小。
注意 (1)无穷小是相对于自变量的某一变化过程而言的．
1 例如，当 x 时， x
是无穷小.
而当
1 x 0 时， x
就不是无穷小了．
(2)无穷小是一个以0为极限的变量， 它表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小． 数0是唯一可看作无穷小的常数. 2.无穷小与函数极限的关系 一个不为零的常数无论多么小，都不是无穷小，
2.3-2.4 无穷小量,极限的性质与运算
二.无穷大
1.定义：在自变量的某一变化过程中，若变量 f ( x) 的绝对值无限增大，则称 f ( x) 为无穷大.
记作： lim f ( x )
x x0
(或 lim f ( x) ).
x
注意：1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.
例如
lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小.
x 0
1 lim 0, x x
1 函数 是当x 时的无穷小. x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
2.无穷小与函数极限的关系:
x x0
3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
三.无穷小与无穷大的关系
在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷 小的倒数为无穷大.
2.4极限的性质与运算
一.极限的性质 性质1（局部保号性）
若 lim f ( x) A, 且A 0(或A 0), 则 0, 当x U 0 ( x0 , )时,
定理1 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的 代数和仍是无穷小. 定理2 有界变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在自变量的同一变化过程中,极限不为零的变 量除无穷小的商是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 注意:1.无限多个无穷小量的和（积）不一定是无穷小量． 2.两个无穷小量的商不一定为无穷小量.
x x0
性质3（局部有界性）若 lim f ( x) A ，则函数 f ( x) 在 x0 的某空心邻
2.3无穷大与无穷小
x2 1 (1) f ( x ) ； x 1
1 (2) xn ； n1
(3) f ( x) x 2 1.
解
x2 1 为无穷小; (1) 当x 1时, f ( x ) x 1
(2) 当n 时,
证 设 及 是当 x 时的两个无穷小,
0, N1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2
取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有
, 0 ( x ) 2 2
解
(1)当 x 0或 x 时, f ( x ) ln x为无穷大;
(2) 当 x 时,
(3) 当 n 时,
e x为无穷大;
n2 1为无穷大;
(4) 无论 x 趋于何值, sinx 都不是无穷大.
三、无穷小的性质
定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
x
问：能否保证有A 0 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证.
1 例 f ( x) x
x 0,
1 有 f ( x) 0 x
1 lim f ( x ) lim A 0. x x x
1 M 0, 0, 使得当 0 x x0 时, 恒有 f ( x) , M
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
x x0
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.
2.3 无穷小量与无穷大量
0
0
1 x 时 y , y e , y arc cot x x
都是无穷小量.
注 2）
(1) 无穷小量是变量；任何非零常数（无论其绝 对值多么小）都不是无穷小. (2) 无穷小量与极限过程有关，不能孤立的说一 个变量是无穷小. (3) 0是唯一的无穷小常数，但无穷小不是0.
铅直渐近线 x 1
1 y x 1
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x0是函数y f ( x )
x x0
的图形的铅直渐近线.
定理6 在自变量的某一变化过程中，如 1 果 f x 为无穷大量，则 f x 为无穷小量；反之， 如果 f x 为无穷小量，且 f x 0 ，则 1 为无 f x 穷大量.
无穷小一般用希腊字母 等表示.
例子
(1) lim x 2 0, x 0 时, x 2 是一个无穷小量 .
x 0
(2) lim sin x 0, x 0 时, sin x 是一个无穷小量 .
x0
1 1 (3) lim 0, x 时, 是一个无穷小量 . x x x
2.3 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
二、无穷大量
1
一、无穷小量
定义: 在自变量的某一变化过中，以零为极限的 函数，称为无穷小量（或简称为无穷小）. 注1） 这里所说的自变量的变化过程包括
x x0 , x x , x x , x , x .
1 x lim 0 , lim e 0, lim arc cot x 0 如， x x x x
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注: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;
2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势. 3.零是唯一可以作为无穷小的数.
无穷小和极限的关系:
定理 变量 u 以A为极限的充分必要条件是：变量 u 可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即 lim u A u Aa ，
其中a 是无穷小 。
x sin
1 1 sin sin 1 ， 即函数 x x
1 x 是当 x 0 时的无穷小，
例 题 三
解
n 1 1 2 2 求 lim ． 2 n n 2 n n
1 2 n 1 1 2 n 1 n(n 1) n 2 n 2 2 2 2 2 n n n n 2n 2n2
的铅直渐近线
x x0
例 题 五
1 曲线y 的铅直渐近线方程为？ x
例 题 一
1 1 因为 lim 0 所以函数 为当 x时的无穷小 x x x
x 1
因为 lim (x 1) 0 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小
因为 lim (x 1) 0 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小
x 1
因为 lim 因为 lim
1 0 1 所以数列{ }为当 n时的无穷 n n 1 n 1
1 0 1 所以数列{ }为当 n时的无穷小 n n 1 n 1
无穷小的性质
•性质1 有限个无穷小的和也是无穷小 •性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •性质3 常数与无穷小的乘积是无穷小
•性质4 有限个无穷小的乘积也是无穷小
举例: 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是 当x0时的无穷小 1 当 x时 是无穷小 arctan x 是有界函数 x 1 所以 arctan x 也是无穷小 x
例 题 二
x sin 求 lim x0
1 x
．
当 x 0 时， 函数 x 为无穷小， 而 是有界函数，由性质 2 知， 故 1 lim x sin 0 x 0 x
x x0
0
0
一、无穷小
定义 以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).
. 例如, lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小
1 1 lim 0, 函数 是当x 时的无穷小 . x x x ( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
3．无穷大与自变量某一变化过程有关．
定理2(无穷大与无穷小之间的关系) 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小,且 f ( x) 0 , 则 f ( x)
注 与无穷小不同的是，在自变量的同一变化过程中， 两个无穷大相加或相减的结果是不确定的．因此无穷大 没有和无穷小那样类似的性质，须具体问题具体分析．
例 题 四
即
1 求 lim x 1 x 2 1 .
解
2 x 1 x 当 时， 1是无穷小，由定理 2 知，
1 x 2 1 是 x 1 时的无穷大，
1 lim 2 x 1 x 1
铅直渐近线
如果 lim f (x) 则称直线 x x0 是函数 yf (x)的图形
n2 n 1 n 1 1 2 lim 2 2 2 lim 2 n n n n n 2n 2
所以
注 无穷多个无穷小之和不一定是无穷小．
二、无穷大
定义2： 如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)| 无限增大 那么称函数 f(x) 为 xx0( 或 x) 时的无穷大 记为 lim f (x) (或 lim f (x) )
2.3 无穷小与无穷大
*无穷小 *无穷大
复习引入 lim an A
n
x x0 x
an A f ( x) A
(n ) ( x x0 , x )
lim f ( x) A,来自lim f ( x) A
极限存在都需要刻画两个无限变化过程.
定理 : lim f ( x ) A f ( x ) f ( x ) A .
x x0
x
注 1．函数 f ( x) 当 x x0 （或 x ）时为无穷大，按 照函数极限的定义来说，极限是不存在的，但为了表示 函数的这一性态，我们也说函数极限是无穷大，并记作
x x0
lim f ( x)
f ( x) ） （或 lim x
．
2．无穷大不是一个很大数，而是一个变量，且在自变 量的某个变化过程中其绝对值无限增大．