北京市东城区上学期2017-2018学年高一期末考试数学试卷及答案
A. {4,5,6,7,8}
B. {0,4,5,6,7,8}
C. {4,5,6,7,8,9}
D. {3,5,6,7,8,9}
2. 函数 y sin(2x ) 的最小正周期是 4
A.
B. 2
C.
D.
2
4
3. 已知函数 f (x) 是奇函数，它的定义域为{x | 1 x 2a 1}，则 a 的值为
10 分
f
(t)
4t 5,0 t t 55,10
10, t 55.
f (12) 12 55 43 。
6分
（Ⅱ）预计订单函数为
f
(t)
4t 5,0 t t 55,10
10, t 55.
售价函数为 g(t) 25t 50 。
95
4
(4t 2
9t
5),0
t
10,
95 4
(t 2
54t
55),10
t
55.
故利润最大时， t 27 ，此时预计的订单数为 28 件。
10 分
22.
解：（Ⅰ） g(x) 为奇函数。证明如下：函数 g(x) 的定义域为
{x | x 0, 且 x 1, 且 x 1} ，
（Ⅰ）若 f ( ) 2 ，求 sin cos 的值； 3
（Ⅱ）设函数 g(x) 2[ f (x)]2 cos(2x ) ，求函数 g(x) 的值域。 6
20. （本题满分 10 分）
已知函数 f (x) sin(2x ),0 x 2 。
6
3
（Ⅰ）列表，描点画出函数 y f (x) 的简图，并由图象写出函数 f (x) 的单调区间及最
2
64
2
三、解答题：本大题共 5 小题，共 49 分。
18.
解：（Ⅰ）
f
( 2)
2,
f (1)
(1)2
1
。
6分
3 32 2 4
（Ⅱ）简图如下图所示：
（Ⅲ）由（Ⅱ）的图象知，函数的值域是[－2，1）。
8分 10 分
19. 解：（Ⅰ）∵ f ( )
2
，
3
sin( )
9. 函数 y 3sin(x ), x [0, 11 ] 的单调递减区间是
6
6
A.
[
, 11
]
66
B. [0, ]
6
C.
[
,
5
]
66
D.
[
,
4
]
33
10. 若 2 3 sin(x ) 3 sin x 3cos x, ( , ) ，则 等于
x1 x2
0,
1
(x1 1)(x2
已知函数 f (x) x 2 x 1 x , g(x) f (x) 3。 x 1 x x 1
（Ⅰ）判断并证明函数 g(x) 的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数 g(x) 在 (1,) 上的单调性； （Ⅲ）若 f (m2 2m 7) f (2m2 4m 4) 成立，求实数 m 的取值范围。
10 分
20. 解：（Ⅰ）列表如下：
2x
6
6
x
0
f (x)
1
2
5
2
6
6
3
1
1
2
作出函数 y f (x) 的简图如图所示：
7
3
6
2
5
2
12
2
3
1
0
－
－1
2
2
由图象可知，函数 f (x) 的单调递增区间是[0, ]，单调递减区间是[ , ] ；
6
63
当 x 时， f (x) 取得最大值 1；当 x 2 时， f (x) 取得最小值－1。 7 分
A.
B.
3
3
5
C.
6
D. 5 6
11. 已知 a log2 0.3, b log2 3, c log0.2 0.3 ，则 a, b, c 的大小关系为
A. a b c B. b c a C. c a b D. c b a
12.
已知 f (x) f (2 x), x R ，当 x (1,) 时， f (x) 为增函数，设
6
3
（Ⅱ）若 f (x1 ) f (x2 )(x1 x2 ) ，由（Ⅰ）中简图知，点 (x1, f (x1 )) 与点
(x2 ,
f
(x2
))
关于直线
x
6
对称。
x1
x2
3
。
于是
f (x1
x2 )
f( )
3
sin(2 3
) 6
1 2
。
21. 解：（Ⅰ）预计订单函数 f (t)(t N ) 为
【试题答案】
一、选择题：本大题共 13 小题，每小题 3 分，共 39 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 A A D B C C D D D A B D B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。
题号
14
15
16
17
答案
3
4
1
{x | 1 x 1}
A. －1
B. 0
1
C.
D. 1
2
4. 在同一平面直角坐标系内， y 2 x 与 y log2 (x) 的图象可能是
5. 函数 f (x) x3 x 2 的零点的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6. 如图所示，角 的终边与单位圆交于点 P，已知点 P 的坐标为 ( 3 , 4) ，则 tan 2 ＝ 55
值；
（Ⅱ）若 f (x1 ) f (x2 )(x1 x2 ) ，求 f (x1 x2 ) 的值。
21. （本题满分 10 分）
珠宝加工匠人贾某受命单独加工某种珠宝首饰若干件，要求每件首饰都按统一规格加工， 单件首饰的原材料成本为 25（百元），单件首饰设计的越精致，做工要求就越高，耗时也就 越多，售价也就越高，单件首饰加工时间 t（单位：时，t∈N）与其售价间的关系满足图 1（由射线 AB 上离散的点构成），首饰设计得越精致，就越受到顾客喜爱，理应获得的订单 就越多，但同时，价格也是一个不可忽视的制约顾客选择的因素，单件首饰加工时间 t（时） 与预计订单数的关系满足图 2（由线段 MN 和射线 NP 上离散的点组成）。原则上，单件首饰 的加工时间不能超过 55 小时，贾某的报酬为这批首饰销售毛利润的 5％，其他成本概不计算。
（Ⅱ） g(x) 在 (1,) 上单调递增，任取 x1, x2 (1,) ，且 x1 x2 ，
则
g(x1 )
g(x2 )
1 x1 1
1 x1
1 ( 1 x1 1 x2 1
1 x2
1 )
x2 1
1 1 1 1 1 1 x1 1 x2 1 x1 x2 x1 1 x2 1
∵ g(x) f (x) 3
1
1
1
，
x 1 x x 1
g(x)
1
1
1
1
1
1 ,g(x)
1
1
1
，
x 1 x x 1 x 1 x x 1
x 1 x x 1
g(x) g(x) ，故 g(x) 为奇函数。
3分
2
2
3 cos 2x 3 sin 2x 1
2
2
3(1 cos 2x 3 sin 2x) 1
2
2
3 cos(2x ) 1， 3
∵ 1 cos(2x ) 1， 3
1 3 3 cos(2x ) 1 1 3 ， 3
∴函数 g(x) 的值域为[1 3,1 3] 。
A. 33 分钟 B. 43 分钟 C. 50 分钟 D. 56 分钟
第二部分（非选择题 共 61 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。
14. 函数 f (x)
3 sin 2x 的最小值是____________。
4
15. 已知幂函数 f (x) ，它的图象过点 ( 1 ,4) ，那么 f (8) 的值为___________。 2
2
，
43
即
2 sin
2 cos
2
，
2
2
3
sin cos 2 。
6分
3
（Ⅱ） g(x) 2sin 2 (x ) cos(2x )
4
6
1 cos(2x ) cos(2x )
2
6
1 sin 2x 3 cos 2x 1 sin 2x
24
A.
25
B. 24 25
24
C.
7
7. 函数 y cos(x ), x [ , ] 是 2
A. 增函数
B. 减函数
C. 偶函数
8. 把 sin(x ) sin(x ) 可化简为
2017-2018学年北京二中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年北京二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.cos600°等于（）A. 12B. 32C. −32D. −122.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）A. 第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C. 第三或第四象限角D. 第一或第四象限角3.终边在直线y=−33x上的角的集合为（）A. {α|α=k⋅360∘+120∘,k∈Z}B. {α|α=k⋅360∘+150∘,k∈Z}C. {α|α=k⋅180∘+120∘,k∈Z}D. {α|α=k⋅180∘+150∘,k∈Z}4.在△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于（）A. a+bB. −a−bC. a−bD. b−a5.扇形周长为6cm，面积为2cm2，则其中心角的弧度数是（）A. 1或4B. 1或2C. 2或4D. 1或56.如果cos(α+π2)=−513，α∈(π2，π)，那么tanα等于（）A. −512B. 512C. −125D. 1257.设a，b是不共线的两个向量，已知BA=a+2b，BC=4a−4b，CD=−a+2b，则（）A. A、B、D三点共线B. A、C、D三点共线C. A、B、C三点共线D. B、C、D三点共线8.函数f（x）=cos2x+2sin x的最小值和最大值分别为（）A. −3，1B. −2，2C. −3，32D. −2，329.若θ∈[π4，π2]，sin2θ=378，则sinθ=（）A. 35B. 45C. 74D. 3410.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g （x）=sin2x的图象（）A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度11.已知函数y=sin x+a cos x的图象关于x=5π3对称，则函数y=a sin x+cos x的图象的一条对称轴是（）A. x=11π6B. x=2π3C. x=π3D. x=π12.在△ABC中，若4a BC+2b CA+3c AB=0，则cos B等于（）A. −1124B. −2936C. 1124D. 2936二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）13.函数y=tan（ 3x+π3）的定义域为______．14.设α为第四象限角，其终边上的一个点是P(x，−5)，且cosα=24x，则sin x=______．15.计算：sinπ12-cosπ12=______．16.已知tanα=2，则sinα−3cosαsinα+cosα=______，sin2α+2sinαcosα=______．17.函数y=1−2cosx的单调增区间是______．18.在△ABC中，a2+c2=b2+ac，tan A=34，则B=______，tan C=______．19.△ABC中，cosA=−17，a=8，b=7，则c=______，△ABC外接圆半径为______．20.已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于M(3π4，0)对称，在区间[0，π2]上是单调函数，则φ=______，ω=______．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）21.f（x）=3sinxcosx−cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和函数的对称中心；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调增区间．22.已知α为锐角，sin(α+π3)=35．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）求sin(2α+π6)的值．23.在△ABC中，b cos C+c cos B=4a cos B．（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）若a+c=7，△ABC的面积为15，求b．24.△ABC中，其内角A、B、C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）求函数y=7cos2B2+4sin(B+π4)+42cos2B2的最大值及此时cos B；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：a+c≤3b．答案和解析1.【答案】D【解析】解：cos600°=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-，故选：D．由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵cosθ•tanθ=sinθ＜0，∴角θ是第三或第四象限角，故选C．根据cosθ•tanθ＜0和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断角θ所在的象限．本题的考点是三角函数值的符号判断，本题化简后能比较直接得出答案，一般此类题需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”对角的终边位置进行判断．3.【答案】D【解析】解：当角的终边在第二象限时，角的集合为{α|α=k•360°+150°，k∈Z}={α|α=2k•180°+150°，k∈Z}．当角的终边在第四象限时，角的集合为{α|α=k•360°+330°，k∈Z}={α|α=（2k+1）•180°+150°，k∈Z}．∴终边在直线上的角的集合为{α|α=2k•180°+150°，k∈Z}∪{α|α=（2k+1）•180°+150°，k∈Z}={α|α=k•180°+150°，k∈Z}．故选：D．分别写出终边在射线（x＜0）与射线（x＞0）上的角的集合，取并集得答案．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查终边相同角的集合，是基础题．4.【答案】B【解析】解：=-=--=-（）=，故选：B．利用减法的三角形法则可得答案．本题考查向量的减法及其几何意义，属基础题．5.【答案】A【解析】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意可得，解得或，当时，其中心角的弧度数α==4；当时，其中心角的弧度数α==1故选：A．设扇形的半径为r，弧长为l，由题意可得r和l的方程组，解方程组代入α=计算可得．本题考查扇形的面积公式，涉及圆心角和弧长半径的关系，属基础题．6.【答案】A【解析】解：，可得sinα=，cosα=，tanα=．故选：A．利用诱导公式求出正弦函数值，然后求解正切函数值即可．本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．7.【答案】B【解析】解：∵，∴，又，∴=．∴A、C、D三点共线．故选：B．由已知可得，由共线向量基本定理得答案．本题考查向量的加减法法则，考查平面向量共线的条件，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵，∴当时，，当sinx=-1时，f min（x）=-3．故选：C．用二倍角公式把二倍角变为一倍角，得到关于sinx的二次函数，配方整理，求解二次函数的最值，解题时注意正弦的取值范围．三角函数值域及二次函数值域，容易忽视正弦函数的范围而出错．高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可9.【答案】D【解析】解：由θ∈[，]，得2θ∈[，π]，又sin2θ=，∴cos2θ=-=-，∵cos2θ=1-2sin2θ，sinθ＞0，∴sinθ==，故选：D．由θ的范围求出2θ的范围，再由平方关系求出cos2θ，根据倍角的余弦公式变形求出sinθ的值．本题考查了平方关系和倍角的余弦公式的应用，注意角的范围确定，以及三角函数值的符号问题，是中档题．10.【答案】C【解析】解：由图可知，A=1，，∴，即ω=2．由五点作图的第三点可知，+φ=π，得φ=（|φ|＜），则f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．∴为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度．故选：C．由已知函数的图象求出函数解析式，然后看自变量x的变化得答案．本题考查由函数的部分图象求函数解析式，考查了函数图象的平移，解答的关键是利用五点作图的某一点求初相，是基础题．11.【答案】A【解析】解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），（令tan∅=a）又图象关于对称，∴+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，∴函数y=-sinx+cosx=sin（x+θ），（tanθ=-）其对称轴方程是x+θ=kπ+，k∈z，即x=kπ+-θ又tanθ=-，故θ=k1π-，k1∈z故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k-k1）π++=（k-k1）π+，k-k1∈z，当k-k1=1时，对称轴方程为x=故选：A．函数y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），tan∅=a又图象关于对称，+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．12.【答案】A【解析】解：在△ABC中，利用三角形法则：，所以：，整理得：，所以：4a=3c=2b，所以：．故选：A．直接利用向量的线性运算求出三角形的三边关系，进一步利用余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算和余弦定理的应用．13.【答案】{x|x≠kπ3+π18}(k∈Z)【解析】解：函数有意义，则：，据此可得：，即函数的定义域为：．故答案为：．利用函数的解析式，使得求解正切的角的终边不落在y轴上即可，据此得到关于x的不等式，求解不等式即可求得最终结果．本题考查了函数定义域的求解，正切函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．14.【答案】-104【解析】解：α为第四象限角，其终边上的一个点是，∴x＞0．∵=，求得x=，则sinx==-，故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得x的值，从而求得sinx的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15.【答案】-22【解析】解：sin-cos=×（sin cos-sin cos）=sin（-）=sin（-）=-．故答案为：-．由特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值得解．本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．16.【答案】−13；85【解析】解：∵tanα=2，∴=；sin2α+2sinαcosα===．故答案为：．把要求值的式子化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．17.【答案】[2kπ+π，2kπ+π]，k∈Z3【解析】解：由1-2cosx≥0得cosx≤，由复合函数单调性的关系得要求的单调增区间，即求y=1-2cosx的递增区间，即求y=cosx在cosx≤时的递减区间，即2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z，即数的单调增区间是[2kπ+，2kπ+π]，k∈Z，故答案为：[2kπ+，2kπ+π]，k∈Z．根据复合函数单调性之间的关系，结合余弦函数的单调性进行求解即可．本题主要函数单调区间的求解，结合复合函数单调性的关系进行转化是解决本题的关键．18.【答案】π；-533【解析】解：△ABC中，a2+c2=b2+ac，则：，所以：B=，所以：tanB=，tanA=，则：tanC=-tan（A+B）=-=-5．故答案为：，直接利用余弦定理和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变变换及相关的运算问题的应用．19.【答案】3；733【解析】解：∵，∴由a2=b2+c2-2bccosA，可得：64=49+c2-2×，可得：c2+2c-15=0，∴解得：c=3或-5（舍去），∵sinA==，∴设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理R===．故答案为：3，．由已知利用余弦定理可求得c2+2c-15=0，即可解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.【答案】π2；2或23【解析】解：由题意，f（x）是偶函数．则φ=，k∈Z．∵0≤φ≤π，∴φ=．那么f（x）=cos（ωx）图象关于对称，在区间上是单调函数．∴=，k∈Z又，即T≥π∴=2．故得ω=2或故答案为：，2或．根据f（x）是偶函数．则φ=，图象关于对称，在区间上是单调函数即可求解．本题考查正弦函数的对称性，求得其对称中心为：=，k∈Z及，是关键，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=3sinxcosx−cos2x=32sin2x−12cos2x−12=sin(2x−π6)−12，∴T=2kπ2=kπ，当k=1时，取得最小值，即：最小正周期为π，对称中心设为(x0，−12)，2x0−π6=kπ，x0=kπ2+π12(k∈Z)，∴对称中心为(kπ2+π12，−12)，(k∈Z)；（Ⅱ）f（x）的单调增区间为2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，化简得kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，当k=0时，增区间为[−π6，π2]，当k=1时，增区间为[5π6，11π6]，∴f（x）在[0，π]上的单调增区间为[0，π3]，[5π6，π]．【解析】（Ⅰ）利用三角函数间的关系式可化简f（x）=sin（2x-），利用正弦函数的性质可求得f（x）的最小正周期和函数的对称中心；（Ⅱ）由f（x）的单调增区间为，进一步化简计算即可得到它的单调增区间．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的周期性与单调性，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）为锐角，sin(α+π3)=35，∴α+π3∈（3π4，π），∴sin（α+π3）=-1−cos2(α+π3)=-45，∴sinα=sin[（α+π3）-π3]=sin（α+π3）cosπ3-cos（α+π3）sinπ3=35⋅12+45⋅32=43+310．（Ⅱ）sin(2α+π6)=sin（2α+2π3-π2）=sin[2（α+π3）-π2]=-cos2（α+π3）=-[1-2sin2(α+π3)]=-（1-2•925）=-725．【解析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α+）的值，再利用两角差的正弦公式，求得sinα的=sin[（α+）-]值．（Ⅱ）把2α+变为2（α+）-，再利用诱导公式、二倍角公式，求得的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式的应用，属于基础题．23.【答案】（本小题满分12分）（Ⅰ）∵b cos C+c cos B=4a cos B，∴sin B cos C+sin C cos B=4sin A cos B，∴sin（B+C）=4sin A cos B，∴sin A=4sin A cos B，∵sin A≠0，∴cosB=14．（Ⅱ）∵cosB=14，sinB=154，∵a+c=7，12acsinB=15，可得：ac=8，∴cosB=a2+c2−b22ac =(a+c)2−2ac−b22ac=72−2×8−b22×8=14，∴b=29．【解析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA=4sinAcosB，结合sinA≠0，可求cosB的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形面积公式可求ac的值，进而根据余弦定理可求b的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．24.【答案】解：（Ⅰ）y=7cos2B2+4sin(B+π4)+42sin2B2=7(1+cosB2)+4(22sinB+22cosB)+42(1−cosB2)=72cosB+22sinB+72+22=92sin(B+φ)+72+22，由于：tanϕ=728，∴y max=92+72+22=8+22，tanφ=728sin(B+φ)=1，则：cosB=79（Ⅱ）证明：cosB=79=a2+c2−b22ac，化简得9b2=9（a+c）2-32ac，∴9b2≥9(a+c)2−32(a+c2)2，9b2≥（a+c）2，∴3b≥a+c，∴a+c≤3b．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用余弦定理和基本不等式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，余弦定理和基本不等式的应用．。
2017-2018学年北京市十一学校高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年北京市十一学校高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共13小题，共52.0分）1.有下列命题：①函数的图象与y=|x2-1|的图象恰有3个公共点；②函数y=3x-x5-1有3个零点；③若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x+1）与y=g（x-1）的图象也关于直线y=x对称；④函数f（|x|-1）的图象是由函数f（x）的图象水平向右平移一个单位后，将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到的．其中错误的命题有______．（填写所有错误的命题的序号）2.已知下列四个命题：①等差数列一定是单调数列；②等差数列的前n项和构成的数列一定不是单调数列；③已知等比数列{a n}的公比为q，则“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0＜q＜1”；④记等差数列的前n项和为S n，若S2k＞0，S2k+1＜0，则数列S n的最大值一定在n=k处达到．其中正确的命题有______．（填写所有正确的命题的序号）3.已知{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，则其前13项和S13=______．4.已知a=3π，b=eπ，c=e3，则a，b，c按从小到大的顺序排序为______．5.已知函数f（x）=（2m2+m）x m是定义在[0，+∞）上的幂函数，则f（4x+5）≥x的解集为______．6.已知下列四个命题：①若a＞b，c＞d，则＞；②若a＞b且＜，则a，b同号；③“x＞0，y＞z”是“xy＞xz”的充要条件；④“xy＞0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件．其中正确的命题是______．（填写所有正确的命题的序号）7.贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则：①n次传球之后，共有______种可能的传球方法；②n次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有______种．8.已知函数f（x）是偶函数，且对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，当0≤x≤1时，f（x）=x2-1，则g（x）=f（x）-log7|x|有______个零点．9.的最小值为______．10.已知实数a，b，c满足a+b+c=3，a2+2b2+2c2=6，则c的取值范围是______．11.函数f（x）=ln（-x2-x+2）的单调增区间是______．12.已知数列{a n}中，，若，则a2017=______．13.已知{a n}是各项均正的等比数列，其前n项和为S n，a1=32，，则a n=______．二、解答题（本大题共5小题，共48.0分）14.已知是偶函数．（1）求m的值；（2）已知不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．15.已知{a n}是公差不为0的等差数列，且a1=1，a2，a4，a8成等比数列，数列{b n}满足b1=-2，．（1）求数列{a n}和{b n}通项公式；（2）求数列{b n}前n项和S n．16.已知a，b，c均为正数，且a+b+c=4，求证下列不等式，并说明等号成立条件．（1）；（2）．17.已知数列{a n}满足∈，且，，＞．（1）当a1=2时，写出{a n}的通项公式（直接写出答案，无需过程）；（2）求最小整数m，使得当a1≥m时，{a n}是单调递增数列；（3）是否存在a1使得{a n}是等比数列？若存在请求出；若不存在请说明理由．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2S n=na n+1-2n．设．（1）求{a n}的通项公式（2）猜测b n与的大小关系并证明．答案和解析1.【答案】①③【解析】解：①分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象，可得x＞1和x＜-1时，各有一个交点；当-1＜x＜1时，y=1-x2和y=1+0.1x，联立可得x2+0.1x=0，即x=0或x=-0.1，则有两个交点；函数的图象与y=|x2-1|的图象共有4个公共点；②函数y=f（x）=3x-x5-1，由f（0）=0，可得x=0为零点；由f（-1）＞0，f（-）=+-1＜0，且f（x）在（-1，-）递减，可得f（x）在（-1，-）有一个零点；由f（1）=1＞0，f（2）=9-32-1＜0，且f（x）在（1，2）递减，可得f（x）在（1，2）有一个零点；则函数y有3个零点；③若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，可取f（x）=x3，g（x）=x，则函数y=f（x+1）=（x+1）3的反函数为y=x-1，而g（x）=（x-1），不互为反函数，函数y=f（x+1）与y=g（x-1）的图象不关于直线y=x对称；④函数f（|x|-1）的图象是由函数f（x）的图象水平向右平移一个单位后，将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到．综上可得①③错误；②④正确．故答案为：①③．分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象，即可判断①；运用函数的零点存在定理，即可判断②；由互为反函数的图象特点，举例即可判断③；运用函数图象平移变换和对称变换，即可判断④．本题考查函数的图象的交点和函数的零点个数问题、图象对称性和平移变换，考查数形结合思想方法，属于基础题．2.【答案】④【解析】解：对于①，等差数列不一定是单调数列，也可以是常数列，①错误；对于②，等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列，如非零常数列是等差数列，其前n项和是等差数列，∴②错误；对于③，等比数列{a n}的公比为q，a1＞0时，“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0＜q＜1”；a1＜0时显然不成立，③错误；对于④，等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S2k＞0，S2k+1＜0，即＞0，＜0，∴a1+a2k＞0，a1+a2k+1＜0．由等差数列{a n}的性质可得：a1+a2k=a k+a k+1，a1+a2k+1=2a k+1；∴a k+a k+1＞0，a k+1＜0，∴a k＞0，a k+1＜0，∴d＜0，则当n≥k+1时，a n＜0；因此S1，S2，…，S2k中数值最大的是S k，则数列S n的最大值在n=k处取得，④正确．综上，正确的命题序号是④．故答案为：④．①，等差数列不一定是单调数列；②，等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列；③，等比数列{a n}的公比为q，分a1＞0和a1＜0时是否成立即可；④，利用等差数列的前n项和定义与等差数列项的性质，判断即可．本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题，是综合题．3.【答案】65【解析】解：{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，∴3a7=15，∴a7=5，∴S13=a7×13=65故答案为：65根据等差数列的性质，以及数列前n项和的公式即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础试题．4.【答案】c＜b＜a【解析】解：由y=e x是增函数，得b=eπ＞c=e3，由y=xπ是增函数，得a=3π＞b=eπ，故c＜b＜a，故答案为：c＜b＜a．根据指数函数以及幂函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是一道基础题．5.【答案】，【解析】解：由题意得：2m2+m=1，解得：m=-1（舍）或m=，故f（x）=在[0，+∞）递增，f（4x+5）≥x，即≥x，故或，解得：-≤x≤5，故答案为：．求出m的值，求出f（x）的解析式，关于x的不等式组，解出即可．本题考查了幂函数的定义，解不等式问题，是一道常规题．6.【答案】②【解析】解：①若a＞b，c＞d，则不正确，比如a=2，b=1，c=-1，d=-2，可得=；②若a＞b且，则a，b同号正确，由于-=＜0，由a-b＞0，可得ab＞0，即ab同号；③“x＞0，y＞z”是“xy＞xz”的充要条件不正确，应为充分不必要条件，由x＞0，y＞z可得xy＞xz，反之不成立；④“xy＞0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件不正确，应为充分不必要条件，由xy＞0，可得|x|+|y|=|x+y|，反之不成立．故答案为：②．举a=2，b=1，c=-1，d=-2，可判断①；运用不等式性质化简可得ab＞0，可判断②；运用充分必要条件的定义，可判断③，④．本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7.【答案】2n；【解析】解：每次传球都有两种方法，所以n次传球之后，共有2n种可能的传球方法，设n次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有a n种，则有2a n+2a n-1=2n，（n≥2），即-=-（-），（n≥2），∴-=（-）n（-），（n≥2），∵a1=0，∴a n=，故答案为：2n；每次传球都有两种方法，所以n次传球之后，共有2n种可能的传球方法，设n次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有a n种，则有2a n+2a n-1=2n，（根据数列的递推公式即可求出通项公式）本题考查了数列的递推公式，考查了转化能力，属于中档题8.【答案】4【解析】解：对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，故函数f（x）的对称中心是（1，0），令g（x）=f（x）-log7|x|=0，得f（x）=log7|x|，函数g（x）的零点个数即函数f（x）和y=log7|x|的交点个数，由函数f（x）是偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2-1，画出函数f（x）和函数y=log7|x|的图象，如图示：，结合图象，函数f（x）和函数y=log7|x|的图象有4个交点，故函数g（x）有4个零点，故答案为：4．根据函数的对称性以及函数的奇偶性画出函数的图象，结合图象求出函数的零点个数即可．本题考查了函数的零点问题，考查函数的奇偶性，对称性以及数形结合思想，转化思想，是一道中档题．9.【答案】【解析】解：由设=t，t≥则x2=t2-2．那么f（x）转化为g（t）=根据勾勾函数的性质，可得“当t=”时，g（t）取得最小值为：．故答案为：．利用换元法，结合勾勾函数的性质即可求解．本题考查了函数的最值的求法，利用到了勾勾函数的性质．属于基础题．10.【答案】，【解析】解：由a+b+c=3得，a+b=3-c，由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2，由柯西不等式可得≥（a+b）2=（3-c）2，即9-3c2≥（3-c）2，化简得2c2-3c≤0，解得，因此，c的取值范围为，故答案为：．a+b+c=3得，a+b=3-c，由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2，利用柯西不等式得9-3c2≥（3-c）2，解出c的范围即可．本题考查利用柯西不等式求参数的取值范围，对等式进行合理变形与配凑，是解本题的关键，属于中等题．11.【答案】，【解析】解：由-x2-x+2＞0，得x2+x-2＜0，解得-2＜x＜1．函数t=-x2-x+2在上为增函数，而外层函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（-x2-x+2）的单调增区间是．故答案为：．先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递增区间．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．12.【答案】【解析】解：数列{a n}中，，若，则a2=2a1-1=-1=，a3=2a2-1=-1=，a4=2a3=，a6=2a5-1=-1=，…可得数列{a n}为最小正周期为3的数列，则a2017=a672×3+1=a1=，故答案为：．由分段数列的解析式，求得数列的前几项，可得数列{a n}为最小正周期为3的数列，计算可得所求值．本题考查数列的周期和运用，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】26-n【解析】解：∵{a n}是各项均正的等比数列，其前n项和为S n，a1=32，，∴=，且q＞0，解得q=，∴a n=32×（）n-1=26-n．故答案为：26-n．利用等比数列通项公式列出方程，求出q=，由此能求出a n．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.【答案】解：（1）∀x，f（x）=f（-x），即，∵ 对x∈R恒成立，∴．（2）由题意得对x∈R恒成立，∵函数y=log4x在（0，+∞）上单调递增，∴4x+1≥a•2x对x∈R恒成立，即对R恒成立，∵，当且仅当，即x=0时等号成立，∴a≤2，又∵a•2x＞0，∴a＞0，即a的取值范围是（0，2]．【解析】（1）由题意可得：∀x，f（x）=f（-x），化简整理即可得出．（2）由题意得对x∈R恒成立，根据函数y=log4x在（0，+∞）上单调递增，可得4x+1≥a•2x＞0对x∈R恒成立，即0＜对R恒成立，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了对数函数的单调性、方程与不等式的解法、基本不等式的性质、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：（1）设{a n}公差为d，由题意知：（1+3d）2=（1+d）（1+7d），即d2-d=0，解得d=0（舍）或d=1，∴a n=n．∴ ，两边同除以2n+1得：，又，∴数列{}是以-1为首项，为公差的等差数列，即，∴ ．（2）2S n=-2×21-22+……+（n-4）•2n-1+（n-3）•2n-1，作差得：S n=2-（2+22+……+2n-1）+（n-3）•2n=2-+（n-3）•2n=4+（n-4）•2n．【解析】（1）设{a n}公差为d，由题意知：（1+3d）2=（1+d）（1+7d），化简解得d，可得a n．可得，两边同除以2n+1得：，又，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】证明：（1）因为a ，b ，c ＞0，且a +b +c =4，所以（ -1）（ -1）（ -1）=• • ≥ =8， 当且仅当 时等号成立；（2）因为a ，b ，c ＞0，且a +b +c =4，可令2a +b +c =u ，2b +c +a =v ，2c +a +b =t ，u ，v ，t ＞0，则u +v +t =16，所以[（2a +b +c ）+（2b +c +a ）+（2c +a +b ）]（ + + ），≥3 •3=9， 即有 + + ≥ ，当且仅当 时等号成立．【解析】（1）化简变形不等式的左边，再由二元均值不等式和不等式的性质，可得证明，及等号成立的条件； （2）令2a+b+c=u ，2b+c+a=v ，2c+a+b=t ，u ，v ，t ＞0，则u+v+t=16，运用三元均值不等式，以及不等式的性质，可得证明，及等号成立的条件．本题考查不等式的证明，注意运用变形和基本不等式，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 17.【答案】解：（1）数列{a n }满足 ∈ ，且， ， ＞． 当a 1=2时， 为偶数 为奇数． （2）当a 1=1时，a 2=2，a 3=4，a 4=2，{a n }不单调递增；当a 1=2时，由（1）知{a n }不单调递增；当a 1=3时，a 2=4，a 3=4，a 4=2，{a n }不单调递增；当a 1=4时，a 2=6，a 3=8，a 4=10，当a 1=5时，a 2=8，a 3=12，a 4=18，由此猜测当a 1≥4时，{a n }是单调递增数列．下面用数学归纳法证明一个更强得猜想：当a 1≥4时，a n ≥2n +2，1°当n =1时，猜想成立；2°假设当n =k （k ≥1，k ∈N *）时，猜想成立，即a k ≥2k +2，当n =k +1时，因为a k ≥2k +2＞k ，所以a k +1=2（a k -k ）≥2（k +2）=2（k +1）+2，即n =k +1时，猜想扔成立．由1°，2°及数学归纳法知，当a1≥4时，a n≥2n+2，此时因为a n＞n，所以a n+1=2（a n-n），所以a n+1-a n=a n-2n≥2，由此当当a1≥4时，{a n}是单调递增数列．（3）由（2）知，a1=1，2，3，4时，{a n}不是等比数列．当a1≥4时，a n≥2n+2＞2，因此a n+1=2（a n-n），可求出通项公式为，所以不存在a1使得{a n}是等比数列．【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用猜想法进行归纳证明．（3）根据（2）得出结论．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数学归纳法的应用．18.【答案】解：（1）2S n=na n+1-2n，当n≥2时，2S n-1=（n-1）a n-2（n-1），两式相减得：2a n=na n+1-（n-1）a n-2，即na n+1=（n+1）a n+2（n≥2），等式两边同除以n（n+1）得：，因为2=2S1=a2-2，所以a2=4，所以，又因为，所以是恒为3的常数列，所以，即a n=3n-2．由于因为a n单调递增，则，＞=＞=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用放缩法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，放缩法在数列求和中的应用．。
东城区2017-2018第一学期理科答案8稿
东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）B （6）C （7）A （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1- （10）40 （11）20 （12）(1,)+∞ （13）1，222x y -=等 （14）23π，②④ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解:（Ⅰ）因为2a =，2sin sin A C =，由正弦定理sin sin a cA C=，得4c =． （Ⅱ）由21cos 22cos 14C C =-=-，得23cos 8C =.因为02C π<<，得cos 4C =．所以sin C ==方法一：因为2sin sin A C =，所以sin 88A A == 所以所以1sin 2ABC S ac B ∆== 方法二：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2120b -=， 解得b =b =．sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =π-+=+=+=+=所以1sin 2ABC S ab C ∆==（16）（共13分）解：（I ）由于收盘价的中位数为169，且开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，所以a =169. （II ）由于只有周四和周五的开盘价比其收盘价低，所以ξ的所有可能取值为0,1,2.33351(0)10C P C ξ===，2132353(1)5C C P C ξ⋅===，1232353(2)10C C P C ξ⋅===. 所以ξ的分布列为故ξ的数学期望1336012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. （III ）168.（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）取线段AE 中点P .连接BP 、MP . 因为点M 为DE 中点，所以//MP AD ，12MP AD =. 又因为B C D O 为正方形，所以//BC AD ，BC AD =，所以//BC MP ，BC MP =.所以四边形BCMP 为平行四边形，所以//CM BP . 因为CM ⊄平面ABE ，BP ⊂平面ABE ， 所以//CM 平面ABE . （Ⅱ）连接EO .因为AE DE =，O 为AD 中点，所以EO AD ⊥.. 因为EO ⊂平面ADE ，平面ADE ⊥平面ABCD ， 平面ADE 平面ABCD AD =所以 ,EO OB EO OD ⊥⊥ 又因为正方形BCDO ，所以OB OD ⊥. 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -.()0,1,0A -，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1E ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，()1,1,0AB = ，()0,1,1AE =，则有0,0.AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令1y =-，则1x z ==，即平面ABE 的一个法向量为()1,1,1m =-.()0,1,1DE =-，cos ,DE DE DE⋅=== m m m . 所以直线DE 与平面ABE（Ⅲ）设ON OD λ= ，所以()0,,0N λ=，所以()1,,0NB λ=- ，111,,22MB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ .设平面BMN 的法向量为(),,n u v w =，则有0,0.NB n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,110.22u v u v w λ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩ 令1v =，则()0,1,1n =. 因为0CN n ⋅=，则,21u w λλ==-.即平面BMN 的一个法向量为(),1,21n λλ=-.因为平面BMN ⊥平面ABE ，所以0m n ⋅=.解得23λ=，所以53AN =.（18）（本题满分共13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得21ln 21)('2--=x x x f ，且32)1(=f . 所以0)1('=f .所以曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程为32=y . （Ⅱ）设()'()g x f x =，（1x e e<<） 则211'()x g x x x x-=-=.令'()0g x =得1x =.当x 变化时，'()g x 符号变化如下表：则()(1)0g x g ≥=，即'()0f x ≥，当且仅当1x =时，'()0f x =. 所以()f x 在1(,)e e上单调递增. 又e e e f 2161)(3-=， 所以a 的最小值为为31162e e -. （19）（本题满分共14分）解：（I ）由题意得22121.a ab ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的方程为2212x y +=. （II ）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =+≠.由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(12)4(22)0k x k x k +++-=. 易得0∆>.设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122212241222.12k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 设(,0)Q t .由点,M N 在x 轴异侧，则问题等价于 “QF 平分MQN ∠ ”，且12,x t x t ≠≠，又等价于“12120QM QN y yk k x t x t+=+=--”，即1221()()0y x t y x t -+-=. 将1122(1),(1)y k x y k x =+=+代入上式，整理得12122()(1)20x x x x t t ++--=. 将①②代入上式，整理得20t +=，即2t =-，① ②所以(20)Q -，.当直线MN 的斜率不存在时，存在(20)Q -，也使得点F 到直线QM ，QN 的距离相等. 故在x 轴上存在定点(20)Q -，，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等. （20）（共13分） 解：（I ）1，1，3，4，5.（II ）1i =时，由111a ≤≤知11a =，由题意知111b a =≥，结论成立；2i ≥时，设(1)i a k k i =≤≤，若1k =，则i i b a ≥；若2k i ≤≤，则由1211,2,,1k a a a k -≤≤≤- 知121,,,k a a a - 均不与i a 相等. 于是()1i a k τ≥-，()1i i i b a k a τ=+≥=. 综上，(1,2,,)ii b a i n ≥= .（III ）当1i =时，由111a ≤≤知11a =，结论成立； 当2i ≥时，假设121,,,i a a a - 中存在一项和i a 相等，设为k a .在数列121,,,,,,k i i a a a a a - 中，由1i i a a -≠，i k a a =可知，第i 项之前与i a 不相等的 项比第k 项之前与k a 不相等的项至少多了一项1i a -，则()()i k a a ττ>. 于是()1()1i i k k b a a b ττ=+>+=，可得i i k k a b b a =>=，与i k a a =矛盾. 于是121,,,i a a a - 均不与i a 相等，则()1i i i a b a i τ==+=. 综上，若数列A 相邻两项均不相等，且B 与A 为同一个数列， 则(1,2,,)i a i i n == .。
北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9=4，则S11等于（）A．12 B．18 C．22 D．445．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．306．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．8．（5分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为．10．（5分）若实数x，y满足则z=3x﹣y的最大值为．11．（5分）在△ABC中，a=3，，B=60°，则c=；△ABC的面积为．12．（5分）已知向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），则实数λ=．13．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数．若f（1）=1，则f（8）+f（9）=．14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，M，N分别为线段AC上的点．若∠MBN=30°，则三棱锥M﹣PNB体积的最小值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．17．（14分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．18．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）lnx﹣，g（x）=﹣2alnx﹣，其中a∈R（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．20．（13分）对于数列A：a1，a2，a3（a i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中b i=|a i﹣a i+1|（i=1，2），且b3=|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．（ⅰ）求a，b；（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．北京市东城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤2，即B=，∵A={0，1}，∴A∩B={0，1}．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解答：解：∵复数===，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在2017-2018学年高考题的前几个题目中．3．（5分）（文）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用充分必要条件定义判断求解．解答：解：∵a∈R，当a2＞a时，即a＞1或a＜0，a＞1不一定成立当a＞1时，a2＞a成立，∴充分必要条件定义可判断：“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B点评：本题考查了充分必要条件定义，很容易判断．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a9=4，则S11等于（）A．12 B．18 C．22 D．44考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质结合已知求得a6，再由S11=11a6得答案．解答：解：在等差数列{a n}中，由a3+a9=4，得2a6=4，a6=2．∴S11=11a6=11×2=22．故选：C．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．5．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6B．8C．14 D．30考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=5＞4，退出循环，输出s 的值为30．解答：解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．6．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）＞，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：将变量a按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，最后将满足的条件进行合并．解答：解：当a≤0时，2a＞，解得，﹣1＜a≤0；当a＞0时，＞，解得，0＜a＜．∴a∈（﹣1，0]∪（0，），即为a∈（﹣1，）．故选D．点评：本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题．7．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．解答：解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）．几何体的直观图如图，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．8．（5分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y﹣4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C 上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：根据条件若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），等价PO≤2即可，求出不等式的解集即可得到x0的范围解答：解：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．可以得知，当∠OPQ=45°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜45°恒成立0．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=45°，否则，这样的点Q是不存在的；∵点P（x0，y0）在直线x+2y﹣4=0上，∴x0+2y0﹣4=0，即y0=∵|OP|2=x02+y02=x02+（）2=x02﹣2x0+4≤4，∴x02﹣2x0≤0，解得，0≤x0≤，∴x0的取值范围是故选：B点评：本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点到其准线的距离为1，则该抛物线的方程为y2=2x．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先，写出该抛物线的焦点坐标和准线方程，然后，根据它们之间的距离为为p，根据题意，得p=1，从而得到其方程．解答：解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），准线方程为x=﹣，它们之间的距离为p，根据题意，得p=1，所以抛物线的标准方程为：y2=2x故答案为：y2=2x．点评：本题重点考查了抛物线的定义、简单几何性质等知识，属于中档题．10．（5分）若实数x，y满足则z=3x﹣y的最大值为11．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（3，﹣2），此时z=3×3﹣（﹣2）=9+2=11，故答案为：11点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）在△ABC中，a=3，，B=60°，则c=4；△ABC的面积为3．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：根据已知和余弦定理可求c的值，从而有三角形的面积公式解得所求．解答：解：由余弦定理可得：cosB=，代入已知可得：=，解得c=4，c=﹣1（舍去），∴S△ABC=acsinB=3，故答案为：4，3．点评：本题主要考察了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．12．（5分）已知向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），则实数λ=﹣．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：用向量共线的充要条件是存在实数λ，及向量相等坐标分别相等列方程求解即可．解答：解：∵向量，不共线，若（λ+）∥（﹣2），∴λ+=k（﹣2），k﹣λ=0且1+2k=0解得k=﹣，故答案为：﹣．点评：考查向量共线的充要条件的应用．考查计算能力．13．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数．若f（1）=1，则f（8）+f（9）=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）；即f（x）=﹣f（﹣x），f（x）=f（﹣x+4）；从而交替使用以化简．解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）为偶函数，∴f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）；即∴f（x）=﹣f（﹣x），f（x）=f（﹣x+4）；故f（8）+f（9）==f（﹣8+4）+f（﹣9+4）=f（﹣4）+f（﹣5）=﹣（f（4）+f（5））=﹣（f（0）+f（﹣1））=﹣f（﹣1）=f（1）=1；故答案为：1．点评：本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．14．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=AD=2，M，N分别为线段AC上的点．若∠MBN=30°，则三棱锥M﹣PNB体积的最小值为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：设∠MBH=α，∠NBH=β，根据三角函数关系得到，根据三棱锥的体积公式，结合三角函数的辅助角公式进行求解即可．解答：解：由题意值V M﹣PNB=V P﹣MNB=S△MNB=×，过B作BH⊥AC于H，如图：易知，当MN取最小值时，M，N一定在点H两边，不妨设∠MBH=α，∠NBH=β，由BH=知，V M﹣PNB==，，∴V M﹣PNB======，当且仅当时，取等号．故答案为：点评：本题主要考查空间三棱锥的体积的计算，利用三角函数法，结合三角函数辅助角公式以及三角函数的有界性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图先求得A，T，ω的值，当x=时，f（x）=﹣1，可得φ的值，从而可求f（x）的解析式．（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（2x﹣），由x∈，可得﹣≤2x﹣≤，即可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．解答：解：（1）由图可知，A=1，==，T=π，所以ω=2．当x=时，f（x）=﹣1，可得sin（2×+φ）=﹣1．∵|φ|＜∴φ=∴求f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+）；（2）由（1）知f（x）=sin（2x+）．将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）=sin=sin（2x﹣）的图象，故g（x）=sin（2x﹣），∵x∈，∴﹣≤2x﹣≤当2x﹣=，即x=时，g（x）有最大值为1；当2x﹣=﹣，即x=0时，g（x）有最小值为﹣；点评：本题主要考察了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，满足a2=3，a5=6，数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）分解等差数列和等比数列的性质建立方程关系即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和法即可求数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由a2=3，a5=6得，解得a1=2，d=1，则a n=2+n﹣1=n+1．∵数列{b n﹣2a n}是公比为3等比数列，且b2﹣2a2=9．∴b1﹣2a1=b1﹣4=3，解得b1=7，则b n﹣2a n=3•3n﹣1=3n，则b n=2a n+3n=2（n+1）+3n；（Ⅱ）∵b n=2a n+3n=2（n+1）+3n；∴数列{b n}的前n项和S n=+（3+32+33+…+3n]=+=n（3+n）+（3n﹣1）．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列和的求解，利用分组求和法以及等比数列和等差数列的求和公式是解决本题的关键．17．（14分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求的值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AM⊥平面PBC；（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A﹣PC﹣B的余弦值；（Ⅲ）根据向量关系，以及直线垂直，利向量法进行求解即可．解答：证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．又AM⊂平面PAB，所以AM⊥BC．因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．又PB∩BC=B，所以AM⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作AZ∥BC，则AP，AB，AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．，，设平面APC的法向量为，则即令y=1，则z=﹣2．所以=（0，1，﹣2）．由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面的法向量，设，的夹角为α，则cosα=．因为二面角A﹣PC﹣B为锐角，所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．（Ⅲ）设D（u，v，w）是线段PC上一点，且，（0≤λ≤1）．即（u﹣2，v，w）=λ（﹣2，2，1）．所以u=2﹣2λ，v=2λ，w=λ．所以．由，得．因为，所以在线段PC存在点D，使得BD⊥AC．此时=．点评：本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及空间线面垂直的判定，考查学生的推理能力．18．（14分）已知函数f（x）=ax﹣（2a+1）lnx﹣，g（x）=﹣2alnx﹣，其中a∈R（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（3）若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=2代入函数解析式，求导后求得x=1处的导数值，进一步求得f（1），然后利用直线方程的点斜式求得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求出原函数的导函数=．然后分a=，a＞，0＜a＜三种情况求解函数的单调区间；（3）把f（x）≥g（x）转化为ax﹣lnx≥0，分离参数a得，构造函数，求函数h（x）在上的最小值得a的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=2x﹣5lnx﹣，，f′（1）=﹣1，又f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣1=0；（2）=．当a=时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞时，当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当0＜a＜时，当时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（3）f（x）≥g（x）等价于ax﹣（2a+1）lnx﹣≥﹣2alnx﹣，即ax﹣lnx≥0，分离参数a得，．令，若存在x∈，使不等式f（x）≥g（x）成立，即a≥h（x）min．，当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数．而h（）=﹣e，h（e2）=．∴h（x）在上的最小值为﹣e，∴a≥﹣e．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，是压轴题．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．考点：椭圆的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到a=2，b=1，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，0）（﹣2≤m≤2），设直线l的方程是y=（x﹣m）与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由短轴长为2，离心率为，则b=1，=，a2﹣b2=c2，解得a=2，c=，即有椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），∴直线l的方程是y=（x﹣m），联立椭圆x2+4y2=4，⇒2x2﹣2mx+m2﹣4=0（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，∴x1+x2=m，x1x2=，∴|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=（x1﹣m）2+（x1﹣m）2+（x2﹣m）2+（x2﹣m）2=====5（定值）．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．20．（13分）对于数列A：a1，a2，a3（a i∈N，i=1，2，3），定义“T变换”：T将数列A变换成数列B：b1，b2，b3，其中b i=|a i﹣a i+1|（i=1，2），且b3=|a3﹣a1|．这种“T变换”记作B=T（A）．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C：c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问A：2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设A：a1，a2，a3，B=T（A）．若B：b，2，a（a≥b），且B的各项之和为2012．（ⅰ）求a，b；（ⅱ）若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．考点：递归数列及其性质；数列的函数特性；数列的求和．专题：新定义．分析：（Ⅰ）首先要弄清“T变换”的特点，其次要尝试着去算几次变换的结果，看一下有什么规律，显然只有当变换到数列的三项都相等时，再经过一次“T变换”才能得到数列的各项均为零，否则“T变换”不可能结束．（Ⅱ）中（i）的解答要通过已知条件得出a是B数列的最大项，从而去掉绝对值符号得到数列A是单调数列，得到答案．（ii）的解答要抓住B经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，且最大项减少12，从而数列和减少24，经过6×83+4=502次变换后使得各项的和最小，于是k的最小值为502．解答：（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列A：2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形．…（3分）（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B的各项之和为2012，且a≥b，所以a为B的最大项，所以|a1﹣a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1．…（5分）当a1≥a2≥a3时，可得由a+b+2=2012，得2（a1﹣a3）=2012，即a=1006，故b=1004．…（7分）当a3≥a2≥a1时，同理可得a=1006，b=1004．…（8分）（ⅱ）方法一：由B：b，2，b+2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：b﹣2，b，2；2，b﹣2，b﹣4；b﹣4，2，b﹣6；b﹣6，b﹣8，2；2，b﹣10，b﹣8；b﹣12，2，b﹣10．由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006=12×83+10，所以，数列B经过6×83=498次“T变换”后得到的数列为8，2，10．接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过498+4=502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502．…（13分）方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．若数列B的三项为x+2，x，2（x≥2），则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x，x﹣2，2（不考虑顺序）．所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列B：1004，2，1006经过502次“T变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．…（13分）点评：此题需要较强的逻辑思维能力及计算能力，通过计算发现和归纳出其规律，进而得出答案．。
北京市东城区20172018学年高一下学期期末考试数学试卷Word版含答案
北京市东城区2017-2018学年放学期高一期末考试数学试卷一、选择题：本大题共本试卷共100 分，考试时长120 分钟。
第一部分（选择题共24分）8 小题，每题 3 分，共 24 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项是吻合题目要求的.1.不等式 x2 2x 3的解集是A.x |1x3B.x |3x1C.x | x3或x 1 D.x | x1或x32.为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西游记》若干套，假如每班每学期可以随机领取两套不一样的书本，那么该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为A. 2B.1C.1D.1 32463.已知 a b 0 ，则A.a2abB.ab b2C.a2b2D.a2b24.某商品销售量 y（件）与销售价格 x（元 / 件）负相关，则其回归方程可能是A.y10x200B.y10 x200C.y10x200D.y10 x200→→→→→5. 已知非零向量OA ,OB 不共线，且 BM = 1 BA ，则向量 OM =3A.1→2→B.2→1→3OA +OB3OA +OB 33C.1→2→D.1→4→3OA -OB3OA -OB 336.阅读下面的程序框图，运转相应的程序，那么输出的S 的值为A. -1B. 0C. 1D. 37. 已知a n是等差数列，公差 d 不为零，前n 项和是S n，若a3, a4, a8成等比数列，则A.a1d0,dS30B.a1d0,dS30C.a1d0,dS30D.a1d0,dS308.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有以下问题：“今有女子善织，日趋功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（ 1 匹=40尺，一丈=10尺），问日趋几何？”其意思为：“有一女子善于织布，每日比前一天更加用功，织布的速度也愈来愈快，从第二天起，每日比前一天多织同样量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三丈，问每日增添多少尺布？”若一个月按30 天算，则每日增添量为A. 1尺 B.8 尺 C.16尺 D.16尺2152931第二部分（非选择题共 76分）二、填空题（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）9.某学院 A， B， C 三个专业共有 1200 名学生，为了检查这些学生勤工俭学的状况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120 的样本。
北京市2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷(二)
北京市2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：（每题5分，共12题，共60分）.1．已知集合A={1，2}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{2}B．{1，2，2，4}C．D．{1，2，4}2．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}3．已知函数f（x）=x3﹣2x，则f（3）=（）A．1B．19C．21D．354．函数的定义域为（）A．（5，+∞）B．[﹣1，5）∪（5，+∞）C．[﹣1，5）D．[﹣1，+∞）5．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）6．cos300°=（）A．B．﹣C．D．7．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．8．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=（）A．B．C．D．9．已知tanα=2，tanβ=3，则tan（α+β）=（）A．1B．﹣1C．D．）的图象，只需把余弦曲线y=cosx上的所有的点10．为了得到函数y=cos（x+（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．函数f（x）=的最小正周期为（）y xA．B．πC．2πD．4π12．如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离（米）与时间（秒）满足函数关系y=Asin （ωx+φ）+2则有（）A．ω=，A=3B．ω=，A=5C．ω=，A=5D．ω=，A=3二、填空题（每题5分，共4题，满分20分）13．函数14．15．已知tanθ=2，则的定义域是．=．=．16．已知，且，则sinxcosx=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知全集U=R，集M={x|x﹣3≥0}，N={x|﹣1≤x＜4}．（1）求集合M∩N，M∪N；（2）求集合∁UN，（∁UN）∩M．18．已知函数f（x）=x2﹣2x，设．（1）求函数g（x）的表达式，并求函数g（x）的定义域；（2）判断函数g（x）的奇偶性，并证明．19．已知（1）；，求（2）．20．已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．（1）求sinα、cosα、tanα的值；（2）求21．已知函数（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间22．已知函数的值．．上的最小值和最大值．（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为（Ⅰ）求的值；．（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．参考答案一、单项选择题：1．D．2．B．3．B．4．D．5．B．6．C．7．A8．A9．B．10．A．11．D．12．A．二、填空题13．答案为：[4，+∞）14．答案为：4．15．答案为：3．16．答案为：．三、解答题17．解：（1）∵M={x|x﹣3≥0}={x|x≥3}，N={x|﹣1≤x＜4}．∴M∩N={x|3≤x＜4}，M∪N={x|x≥﹣1}；（2）∵全集U=R，M={x|x≥3}，N={x|﹣1≤x＜4}，∴∁M={M|x≥4或x＜﹣1}，U则∁N∩M={x|x≥4}．U18．解：（1）由f（x）=x2﹣2x，得f（x+1）=x2﹣1，所以，，定义域为{x|x∈R，且x≠0}；（2）结论：函数g（x）为奇函数．证明：由（1）知，g（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，并且，，所以，函数g（x）为奇函数．19．解：（1）由，得，∴；（2）由，得，∴∴，，．20．解：（1）已知角α的终边与单位圆交与点P（，）．∴x==，r=1，∴sinα=；cosα=；tanα=；（2）==．21．解：（1）设由解得，则y=sinz+2的单调递增区间为，，所以，函数f（x）的单调递增区间为；（2）由（1），∵，∴；∴∴，故得函数f（x）在区间上的最小值为，最大值为4．22．解：（Ⅰ）==．∵f（x）为偶函数，∴对x∈R，f（﹣x）=f（x）恒成立，∴即．，整理得．∵ω＞0，且x∈R，所以．又∵0＜φ＜π，故∴由题意得．．，所以ω=2．故f（x）=2cos2x．∴．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．∴当即．（k∈Z），（k∈Z）时，g（x）单调递减，因此g（x）的单调递减区间为（k∈Z）．。
北京市东城区2017 — 2018学年度第一学期期末数学试卷及答案
东城区2017–-2018学年度第一学期期末教学统一检测高一数学 2018.1本试卷共4页，共100分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(选择题 共39分)一、 选择题：本大题共13小题,每小题3分,共39分.在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1. 设全集x x U {=是小于9的正整数}，A=}3,2,1{，则U A ð等于（ ）A.}8,7,6,5,4{B.}8,7,6,5,4,0{C.}9,8,7,6,5,4{D.}9,8,7,6,5,3{ 2. 函数sin 2y x π⎛⎫=+⎪4⎝⎭的周期是（ ） A.πB. 2πC.2π D.4π 3. 已知函数)(x f 是奇函数，它的定义域为{ 1 <<2-1 }x x a ，则a 的值为（ ）A.1-B. 0C.21D. 14. 在同一平面直角坐标系内，2x y =与2log ()y x =-的图象可能是（ ）A .B. C. D.5. 函数32()f x x x =+的零点的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 36.如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，已知点P 的坐标为(－35，45)， 则tan 2α=（ ）A.2425 B.2425-C.247D.247- 7．函数[]cos ,，y x x π⎛⎫=+∈-ππ ⎪2⎝⎭是（ ）A.增函数B. 减函数C. 偶函数D.奇函数8．把ππsin sin 44x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化简为（ ）x B.x C. x D.x9. 函数113sin(),[0,]66y x x ππ=+∈的单调递减区间是（ ） A. ]611,6[ππB . ]6,0[πC.566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. ]34,3[ππ10.若)3cos ()x x x ϕϕ+-∈-ππ，，，则ϕ等于（ ）A. 3π-B.3π C.5π6D.5π-611.已知 220.2log 0.3,log 3,log 0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系为（ ） A.a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >> 12.已知()(2),,(1,)()当时，为增函数f x f x x R x f x =-∈∈+∞(1),(2设，a f b f ==(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. c b a >>13. 渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏．若不及时处理，打上来的鱼会很快地失去新鲜度（以鱼肉里含有三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度. 三甲胺是一种挥发性碱性氨，是胺的类似物，它是由细菌分解作用产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）. 已知某种鱼失去的新鲜度h 与时间t （分）满足的函数关系为t a m t h ⋅=)(，若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼会失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼会在多长时间后开始全部失去全部新鲜度（已知lg 2=0.3，结果取整数）（ ） A ．33分钟 B. 43分钟 C. 50分钟 D. 56分钟第二部分(非选择题 共61分)二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.14. 函数()2f x x =的最小值是．15．已知幂函数)(x f ，它的图象过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么)8(f 的值为 ． 16．函数y =的定义域用集合可表示为 .17. 红星学校高一年级开设人文社科、英语听说、数理竞赛三门选修课, 要求学生至少选修一门．某班40名学生均已选课， 班主任统计选课情况如下表，由统计结果分析该班三科都 选报学生有 人.三、解答题：本大题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分10分)已知函数2,10(),01,1 2.≤，≤，≤≤x x f x x x x x -<⎧⎪=<⎨⎪-⎩（Ⅰ）求23f ⎛⎫-⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）作出函数的简图；（Ⅲ）由简图指出函数的值域．19. (本题满分10分)已知函数()sin()4f x x π=-.（Ⅰ）若()f α=，求sin cos αα-的值； （Ⅱ）设函数2()2[()]cos(2)6g x f x x π=++，求函数()g x 的值域.20. (本题满分10分)已知函数()2sin 2,0.63f x x x ππ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭. （Ⅰ）列表，描点，画函数()f x 的简图，并由图象写出函数()f x 的单调区间及最值； （Ⅱ）若()()1212,(),f x f x x x =≠，求()12f x x +的值.21. (本题满分10分)珠宝加工匠人贾某受命单独加工某种珠宝首饰若干件，要求每件首饰都按统一规格加工. 单件首饰的原材料成本为25（百元）. 单件首饰设计的越精致，做工要求就越高，耗时也就）与其售价间的关系满足越多，售价也就越高，单件首饰加工时间t（单位：时，t N图1（由射线AB上离散的点构成）. 首饰设计得越精致，就越受到顾客喜爱，理应获得的订单就越多，但同时，价格也是一个不可忽视的制约顾客选择的因素，单件首饰加工时间t （时）与预计订单数的关系满足图2（由线段MN和射线NP上离散的点组成），原则上，单价首饰的加工时间不能超过55小时. 贾某的报酬为这批首饰销售毛利润的5%，其他成本概不计算.图1 图2（Ⅰ）如果贾某每件首饰加工12小时，预计会有多少件订单；（Ⅱ）设贾某生产这批珠宝首饰产生的利润为S，请写出加工时间t（小时）与利润S之间的函数关系式，并求利润S最大时，预计的订单数.注：利润S =（单件售价材料成本）订单件数贾某工资毛利润=总销售额-材料成本22. (本题满分9分) 已知函数21()11x x xf x x x x --=++-+，()()3g x f x =- . （Ⅰ）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数()g x 在(1,)+∞上单调性；（Ⅲ）若22(27)(244)f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 取值范围.东城区2017–-2018学年度第一学期期末教学统一检测高一数学参考答案及评分标准 2018.1三、解答题：本大题共5小题，共49分.18. 解：（Ⅰ）2233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；2111224f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；-------------------------------------6分 （Ⅱ） 简图如下图所示：-------------------------------------------8分（Ⅲ） 由（Ⅱ）的图象知，函数的值域是[-2，1]． ------------------------------10分 19．解：（Ⅰ）∵()3f α=. ∴sin()43πα-=. αα=∴ 2sincos 3αα-=. ---------------------------------------6分 （Ⅱ）2()2sin ()cos(2)46g x x x ππ=-++1cos(2)cos(2)26x x ππ=--++11sin 22sin 22x x x =--32sin 212x x =-+ 13(cos 22)12x x =+)13x π=++. ∵ 1cos(2)13，x π-≤+≤∴1)113x π≤++≤∴ 函数()g x的值域为[11.--------------------------------10分20.解：（I ）作出函数f （ 由图象可知，函数f （x ）的单调递增区间是0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦π；单调递减区间是2,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ；当6x =π时，()f x 取得最大值1；当23x =π时，()f x 取得最小值-1. ----------------7分 （II ） 若()()1212()f x f x x x =≠，由（I ）中简图知，点()()11,x f x 与点()()22,x f x 关于直线6x =π对称，123x x π∴+=.于是()121sin 2.3362f x x f ⎛⎫⎛⎫+==⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ---------------------------------------10分 21.解：（I ）预计订单函数45,010;()55,1055.t t f t t t ⎧+≤≤=⎨-+<≤⎩ ∴(12)125543f =-+=. ----------------------------------------6分（II ）预计订单函数45,010;()55,1055.t t f t t t ⎧+≤≤=⎨-+<≤⎩ 售价函数为()2550g t t =+ ∴利润函数为(2550-25)(45)(15%),010;()(2550-25)(55)(15%),1055.t t t S t t t t ⎧++-≤≤=⎨+-+-<≤⎩95(1)(45),010;495(1)(55),1055.4t t t t t t ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩2295(495),010;495(5455),1055.4t t t t t t ⎧++≤≤⎪⎪=⎨⎪---<≤⎪⎩ 故利润最大时，t =27,此时预计的订单数为28件. ----------------------------------------10分22.解：（I ）函数g (x )为奇函数.证明如下：函数g (x )的定义域:{0,且1,且1},x x x x ≠≠≠-111()()3,11g x f x x x x ---=-=++-+； 111111111(),(),111111g x g x x x x x x x x x x ----=++=++-=++----++--+； ()()g x g x ∴-=-，故()g x 为奇函数. ------------------------------------------------3分（II ）()g x 在(1,)+∞上单调递增.1212+任取，（1，），且x x x x ∈∞<，12111222111111()()()1111则g x g x x x x x x x -------=++-++-+-+1212121111111111x x x x x x ------=-+-+---++121212121212(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x ---=++--++ 12121212111()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥--++⎣⎦.1212+，（1，）,x x x x ∈∞<12()0,x x ∴-<1210(1)(1)x x >--，1210x x >，1210(1)(1)x x >++， 12()()0,g x g x ∴-<即12()()g x g x <，故()g x 在(1,)+∞上单调递增. ----------6分（III ） 由()()3f x g x =+，故()f x 在(1,)+∞上单调递增.又2276m m -+≥， 22442m m -+≥恒成立，故2227244m m m m -+≥-+，即2230m m --≤，解得13m -≤≤. -----------------------------------9分注：若学生有其他解法，可参考给分.。
2017-2018学年北京二中高一(上)期末数学试卷(精编含解析)
2017-2018学年北京二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.cos600° 等于（ ）A.B. C.D.1232‒32‒122.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（ ）A. 第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C. 第三或第四象限角D. 第一或第四象限角3.终边在直线上的角的集合为（ ）y =‒33xA. B. {α|α=k ⋅360∘+120∘,k ∈Z}{α|α=k ⋅360∘+150∘,k ∈Z}C. D. {α|α=k ⋅180∘+120∘,k ∈Z}{α|α=k ⋅180∘+150∘,k ∈Z}4.在△ABC 中，，，则等于（ ）⃗BC=⃗a ⃗CA=⃗b ⃗AB A. B.C. D. ⃗a+⃗b‒⃗a‒⃗b⃗a‒⃗b⃗b‒⃗a5.扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其中心角的弧度数是（ ）A. 1或4B. 1或2C. 2或4D. 1或56.如果，那么tanα等于（ ）cos(α+π2)=‒513，α∈(π2，π)A.B.C.D.‒512512‒1251257.设是不共线的两个向量，已知，则（ ）⃗a，⃗b ⃗BA=⃗a+2⃗b，⃗BC=4⃗a‒4⃗b，⃗CD=‒⃗a+2⃗b A. A 、B 、D 三点共线 B. A 、C 、D 三点共线C. A 、B 、C 三点共线D. B 、C 、D 三点共线8.函数f （x ）=cos2x +2sin x 的最小值和最大值分别为（ ）A. ，1B. ，2C. ，D. ，‒3‒2‒332‒2329.若θ∈[，]，sin2θ=，则sinθ=（ ）π4π2378A. B.C. D.3545743410.函数f （x ）=A sin （ωx +φ）（其中ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了π2得到f （x ）的图象，则只要将g （x ）=sin2x 的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度π3π3C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度π6π611.已知函数y =sin x +a cos x 的图象关于对称，则函数y =a sin x +cos x 的图象的一条对称轴是（ ）x =5π3A.B.C.D. x =11π6x =2π3x =π3x =π12.在△ABC 中，若，则cos B 等于（ ）4a ⃗BC+2b ⃗CA +3c ⃗AB=⃗0A.B.C. D.‒1124‒293611242936二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）13.函数 y =tan （ 3x + ） 的定义域为______．π314.设α为第四象限角，其终边上的一个点是，且，则sin x =______．P(x ，‒5)cosα=24x15.计算：sin -cos =______．π12π1216.已知tanα=2，则=______，sin 2α+2sinαcosα=______．sinα‒3cosαsinα+cosα17.函数的单调增区间是______．y =1‒2cosx 18.在△ABC中，a 2+c 2=b 2+ac ，tan A =，则B =______，tanC =______．3419.△ABC 中，，则c =______，△ABC 外接圆半径为______．cosA =‒17，a =8，b =720.已知f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于对称，在区间M(3π4，0)上是单调函数，则φ=______，ω=______．[0，π2]三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）21.f （x ）=x ．3sinxcosx ‒cos 2（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和函数的对称中心；（Ⅱ）求函数f （x ）在[0，π]上的单调增区间．22.已知α为锐角，．sin(α+π3)=35（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）求的值．sin(2α+π6)23.在△ABC 中，b cos C +c cos B =4a cos B ．（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若a +c =7，△ABC 的面积为，求b ．1524.△ABC 中，其内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）求函数的最大值及此时cos B ；y =7cos 2B2+4sin(B +π4)+42cos 2B2（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：a +c ≤3b ．答案和解析1.【答案】D【解析】解：cos600°=cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-，故选：D．由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵cosθ•tanθ=sinθ＜0，∴角θ是第三或第四象限角，故选C．根据cosθ•tanθ＜0和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断角θ所在的象限．本题的考点是三角函数值的符号判断，本题化简后能比较直接得出答案，一般此类题需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”对角的终边位置进行判断．3.【答案】D【解析】解：当角的终边在第二象限时，角的集合为{α|α=k•360°+150°，k∈Z}={α|α=2k•180°+150°，k∈Z}．当角的终边在第四象限时，角的集合为{α|α=k•360°+330°，k∈Z}={α|α=（2k+1）•180°+150°，k∈Z}．∴终边在直线上的角的集合为{α|α=2k•180°+150°，k∈Z}∪{α|α=（2k+1）•180°+150°，k∈Z}={α|α=k•180°+150°，k∈Z}．故选：D．分别写出终边在射线（x＜0）与射线（x＞0）上的角的集合，取并集得答案．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查终边相同角的集合，是基础题．4.【答案】B【解析】解：=-=--=-（）=，故选：B．利用减法的三角形法则可得答案．本题考查向量的减法及其几何意义，属基础题．5.【答案】A【解析】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则由题意可得，解得或，当时，其中心角的弧度数α==4；当时，其中心角的弧度数α==1故选：A．设扇形的半径为r，弧长为l，由题意可得r和l的方程组，解方程组代入α=计算可得．本题考查扇形的面积公式，涉及圆心角和弧长半径的关系，属基础题．6.【答案】A【解析】解：，可得sinα=，cosα=，tanα=．故选：A．利用诱导公式求出正弦函数值，然后求解正切函数值即可．本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．7.【答案】B【解析】解：∵，∴，又，∴=．∴A、C、D三点共线．故选：B．由已知可得，由共线向量基本定理得答案．本题考查向量的加减法法则，考查平面向量共线的条件，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵，∴当时，，当sinx=-1时，f min（x）=-3．故选：C．用二倍角公式把二倍角变为一倍角，得到关于sinx的二次函数，配方整理，求解二次函数的最值，解题时注意正弦的取值范围．三角函数值域及二次函数值域，容易忽视正弦函数的范围而出错．高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可9.【答案】D【解析】解：由θ∈[，]，得2θ∈[，π]，又sin2θ=，∴cos2θ=-=-，∵cos2θ=1-2sin2θ，sinθ＞0，∴sinθ==，故选：D．由θ的范围求出2θ的范围，再由平方关系求出cos2θ，根据倍角的余弦公式变形求出sinθ的值．本题考查了平方关系和倍角的余弦公式的应用，注意角的范围确定，以及三角函数值的符号问题，是中档题．10.【答案】C【解析】解：由图可知，A=1，，∴，即ω=2．由五点作图的第三点可知，+φ=π，得φ=（|φ|＜），则f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．∴为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度．故选：C．由已知函数的图象求出函数解析式，然后看自变量x的变化得答案．本题考查由函数的部分图象求函数解析式，考查了函数图象的平移，解答的关键是利用五点作图的某一点求初相，是基础题．11.【答案】A【解析】解：y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），（令tan∅=a）又图象关于对称，∴+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，∴函数y=-sinx+cosx=sin（x+θ），（tanθ=-）其对称轴方程是x+θ=kπ+，k∈z，即x=kπ+-θ又tanθ=-，故θ=k1π-，k1∈z故函数y=asinx+cosx的图象的对称轴方程为x=（k-k1）π++=（k-k1）π+，k-k1∈z，当k-k1=1时，对称轴方程为x=故选：A．函数y=sinx+acosx变为y=sin（x+∅），tan∅=a又图象关于对称，+∅=kπ+，k∈z，可求得∅=kπ-，由此可求得a=tan∅=tan（kπ-）=-，将其代入函数y=asinx+cosx化简后求对称轴即可．本题考查三角恒等变形以及正弦类函数的对称性质，是三角函数中综合性比较强的题目，比较全面地考查了三角函数的图象与性质．12.【答案】A【解析】解：在△ABC中，利用三角形法则：，所以：，整理得：，所以：4a=3c=2b，所以：．故选：A．直接利用向量的线性运算求出三角形的三边关系，进一步利用余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算和余弦定理的应用．13.【答案】{x|x≠kπ3+π18}(k∈Z)【解析】解：函数有意义，则：，据此可得：，即函数的定义域为：．故答案为：．利用函数的解析式，使得求解正切的角的终边不落在y轴上即可，据此得到关于x的不等式，求解不等式即可求得最终结果．本题考查了函数定义域的求解，正切函数的性质等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．14.【答案】-104【解析】解：α为第四象限角，其终边上的一个点是，∴x ＞0．∵=，求得x=，则sinx==-，故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得x 的值，从而求得sinx 的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15.【答案】-22【解析】解：sin -cos =×（sin cos -sin cos ）=sin （-）=sin （-）=-．故答案为：-．由特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值得解．本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．16.【答案】；‒1385【解析】解：∵tanα=2，∴=；sin 2α+2sinαcosα===．故答案为：．把要求值的式子化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．17.【答案】[2k π+，2k π+π]，k ∈Zπ3【解析】解：由1-2cosx≥0得cosx≤，由复合函数单调性的关系得要求的单调增区间，即求y=1-2cosx 的递增区间，即求y=cosx 在cosx≤时的递减区间，即2kπ+≤x≤2kπ+π，k ∈Z ，即数的单调增区间是[2kπ+，2kπ+π]，k ∈Z ，故答案为：[2kπ+，2kπ+π]，k ∈Z ．根据复合函数单调性之间的关系，结合余弦函数的单调性进行求解即可．本题主要函数单调区间的求解，结合复合函数单调性的关系进行转化是解决本题的关键．18.【答案】；-5π33【解析】解：△ABC 中，a 2+c 2=b 2+ac ，则：，所以：B=，所以：tanB=，tanA=，则：tanC=-tan （A+B ）=-=-5．故答案为：，直接利用余弦定理和三角函数关系式的恒等变变换求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变变换及相关的运算问题的应用．19.【答案】3；733【解析】解：∵，∴由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，可得：64=49+c 2-2×，可得：c 2+2c-15=0，∴解得：c=3或-5（舍去），∵sinA==，∴设△ABC 外接圆半径为R ，则由正弦定理R===．故答案为：3，．由已知利用余弦定理可求得c 2+2c-15=0，即可解得c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，设△ABC 外接圆半径为R ，则由正弦定理即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.【答案】；2或π223【解析】解：由题意，f （x ）是偶函数．则φ=，k ∈Z ．∵0≤φ≤π，∴φ=．那么f （x ）=cos （ωx ）图象关于对称，在区间上是单调函数．∴=，k ∈Z 又，即T≥π∴=2．故得ω=2或故答案为：，2或．根据f （x ）是偶函数．则φ=，图象关于对称，在区间上是单调函数即可求解．本题考查正弦函数的对称性，求得其对称中心为：=，k ∈Z 及，是关键，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=x =，3sinxcosx ‒cos 232sin2x ‒12cos2x ‒12=sin(2x ‒π6)‒12∴，当k =1时，取得最小值，即：最小正周期为π，T =2kπ2=kπ对称中心设为，，，(x 0，‒12)2x 0‒π6=kπx 0=kπ2+π12(k ∈Z)∴对称中心为；(kπ2+π12，‒12)，(k ∈Z)（Ⅱ）f （x ）的单调增区间为，2kπ‒π2≤2x ‒π6≤2kπ+π2(k ∈Z)化简得，kπ‒π6≤x ≤kπ+π3(k ∈Z)当k =0时，增区间为，[‒π6，π2]当k =1时，增区间为，[5π6，11π6]∴f （x ）在[0，π]上的单调增区间为，．[0，π3][5π6，π]【解析】（Ⅰ）利用三角函数间的关系式可化简f （x ）=sin （2x-），利用正弦函数的性质可求得f （x ）的最小正周期和函数的对称中心；（Ⅱ）由f （x ）的单调增区间为，进一步化简计算即可得到它的单调增区间．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的周期性与单调性，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）为锐角，，∴α+∈（，π），∴sin （α+）=-=-，sin(α+π3)=35π33π4π31‒cos 2(α+π3)45∴sinα=sin[（α+）-]=sin （α+）cos -cos （α+）sin =+=．π3π3π3π3π3π335⋅1245⋅3243+310（Ⅱ）=sin （2α+-）=sin[2（α+）-]=-cos2（α+）=-[1-2]=-（1-2•）=-．sin(2α+π6)2π3π2π3π2π3sin 2(α+π3)925725【解析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，求得sin （α+）的值，再利用两角差的正弦公式，求得sinα的=sin[（α+）-]值．（Ⅱ）把2α+变为2（α+）-，再利用诱导公式、二倍角公式，求得的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式的应用，属于基础题．23.【答案】（本小题满分12分）（Ⅰ）∵b cos C +c cos B =4a cos B ，∴sin B cos C +sin C cos B =4sin A cos B ，∴sin （B +C ）=4sin A cos B ，∴sin A =4sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴．cosB =14（Ⅱ）∵，cosB =14，sinB =154∵，可得：ac =8，a +c =7，12acsinB =15∴，cosB =a 2+c 2‒b 22ac =(a +c )2‒2ac ‒b 22ac =72‒2×8‒b 22×8=14∴．b =29【解析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA=4sinAcosB ，结合sinA≠0，可求cosB 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB 的值，利用三角形面积公式可求ac 的值，进而根据余弦定理可求b 的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．24.【答案】解：（Ⅰ），y =7cos 2B 2+4sin(B +π4)+42sin 2B 2=7(1+cosB 2)+4(22sinB +22cosB)+42(1‒cosB 2)=72cosB +22sinB +72+22=92sin(B +φ)+72+22由于：，tanϕ=728∴，y max =92+72+22=8+22，{tanφ=728sin(B +φ)=1则：cosB =79（Ⅱ）证明：，cosB =79=a 2+c 2‒b 22ac 化简得9b 2=9（a +c ）2-32ac ，∴，9b 2≥9(a +c )2‒32(a +c 2)29b 2≥（a +c ）2，∴3b ≥a +c ，∴a +c ≤3b ．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值． （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用余弦定理和基本不等式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，余弦定理和基本不等式的应用．。
2017-2018学年北京市十一学校高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年北京市十一学校高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共13小题，共52.0分）1.有下列命题：①函数的图象与y=|x2-1|的图象恰有3个公共点；②函数y=3x-x5-1有3个零点；③若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x+1）与y=g（x-1）的图象也关于直线y=x对称；④函数f（|x|-1）的图象是由函数f（x）的图象水平向右平移一个单位后，将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到的．其中错误的命题有______．（填写所有错误的命题的序号）2.已知下列四个命题：①等差数列一定是单调数列；②等差数列的前n项和构成的数列一定不是单调数列；③已知等比数列{a n}的公比为q，则“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“0＜q＜1”；④记等差数列的前n项和为S n，若S2k＞0，S2k+1＜0，则数列S n的最大值一定在n=k处达到．其中正确的命题有______．（填写所有正确的命题的序号）3.已知{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，则其前13项和S13=______．4.已知a=3π，b=eπ，c=e3，则a，b，c按从小到大的顺序排序为______．5.已知函数f（x）=（2m2+m）x m是定义在[0，+∞）上的幂函数，则f（4x+5）≥x的解集为______．6.已知下列四个命题：①若a＞b，c＞d，则＞；②若a＞b且＜，则a，b同号；③“x＞0，y＞z”是“xy＞xz”的充要条件；④“xy＞0”是“|x|+|y|=|x+y|”的充要条件．其中正确的命题是______．（填写所有正确的命题的序号）7.贾同学、王同学、文同学三人在操场踢球，每次传球，传球者将球随机将传给另外两位同学之一，足球最开始在文同学脚下，则：①n次传球之后，共有______种可能的传球方法；②n次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有______种．8.已知函数f（x）是偶函数，且对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，当0≤x≤１时，f（x）=x2-1，则g（x）=f（x）-log7|x|有______个零点．9.的最小值为______．10.已知实数a，b，c满足a+b+c=3，a2+2b2+2c2=6，则c的取值范围是______．11.函数f（x）=ln（-x2-x+2）的单调增区间是______．12.已知数列{a n}中，，若，则a2017=______．13.已知{a n}是各项均正的等比数列，其前n项和为S n，a1=32，，则a n=______．二、解答题（本大题共5小题，共48.0分）14.已知是偶函数．（1）求m的值；（2）已知不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．15.已知{a n}是公差不为0的等差数列，且a1=1，a2，a4，a8成等比数列，数列{b n}满足b1=-2，．（1）求数列{a n}和{b n}通项公式；（2）求数列{b n}前n项和S n．16.已知a，b，c均为正数，且a+b+c=4，求证下列不等式，并说明等号成立条件．（1）；（2）．17.已知数列{a n}满足∈，且，，＞．（1）当a1=2时，写出{a n}的通项公式（直接写出答案，无需过程）；（2）求最小整数m，使得当a1≥m时，{a n}是单调递增数列；（3）是否存在a1使得{a n}是等比数列？若存在请求出；若不存在请说明理由．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2S n=na n+1-2n．设．（1）求{a n}的通项公式（2）猜测b n与的大小关系并证明．答案和解析1.【答案】①③【解析】解：①分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象，可得x＞1和x＜-1时，各有一个交点；当-1＜x＜1时，y=1-x2和y=1+0.1x，联立可得x2+0.1x=0，即x=0或x=-0.1，则有两个交点；函数的图象与y=|x2-1|的图象共有4个公共点；②函数y=f（x）=3x-x5-1，由f（0）=0，可得x=0为零点；由f（-1）＞0，f（-）=+-1＜0，且f（x）在（-1，-）递减，可得f（x）在（-1，-）有一个零点；由f（1）=1＞0，f（2）=9-32-1＜0，且f（x）在（1，2）递减，可得f（x）在（1，2）有一个零点；则函数y有3个零点；③若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，可取f（x）=x3，g（x）=x，则函数y=f（x+1）=（x+1）3的反函数为y=x-1，而g（x）=（x-1），不互为反函数，函数y=f（x+1）与y=g（x-1）的图象不关于直线y=x对称；④函数f（|x|-1）的图象是由函数f（x）的图象水平向右平移一个单位后，将所得图象在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧部分图象，并保留右侧部分而得到．综上可得①③错误；②④正确．故答案为：①③．分别画出函数的图象与y=|x2-1|的图象，即可判断①；运用函数的零点存在定理，即可判断②；由互为反函数的图象特点，举例即可判断③；运用函数图象平移变换和对称变换，即可判断④．本题考查函数的图象的交点和函数的零点个数问题、图象对称性和平移变换，考查数形结合思想方法，属于基础题．2.【答案】④【解析】解：对于①，等差数列不一定是单调数列，也可以是常数列，①错误；对于②，等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列，如非零常数列是等差数列，其前n项和是等差数列，∴②错误；对于③，等比数列{a n}的公比为q，a1＞0时，“{a n}是单调递减数列”的充要条件是“０＜q＜1”；a1＜0时显然不成立，③错误；对于④，等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S2k＞0，S2k+1＜0，即＞0，＜0，∴a1+a2k＞0，a1+a2k+1＜0．由等差数列{a n}的性质可得：a1+a2k=a k+a k+1，a1+a2k+1=2a k+1；∴a k+a k+1＞0，a k+1＜0，∴a k＞0，a k+1＜0，∴d＜0，则当n≥k+1时，a n＜0；因此S1，S2，…，S2k中数值最大的是S k，则数列S n的最大值在n=k处取得，④正确．综上，正确的命题序号是④．故答案为：④．①，等差数列不一定是单调数列；②，等差数列的前n项和构成的数列也可能是单调数列；③，等比数列{a n}的公比为q，分a1＞0和a1＜0时是否成立即可；④，利用等差数列的前n项和定义与等差数列项的性质，判断即可．本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题，是综合题．3.【答案】65【解析】解：{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，∴3a7=15，∴a7=5，∴S13=a7×13=65故答案为：65根据等差数列的性质，以及数列前n项和的公式即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础试题．4.【答案】c＜b＜a【解析】解：由y=e x是增函数，得b=eπ＞c=e3，由y=xπ是增函数，得a=3π＞b=eπ，故c＜b＜a，故答案为：c＜b＜a．根据指数函数以及幂函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是一道基础题．5.【答案】，【解析】解：由题意得：2m2+m=1，解得：m=-1（舍）或m=，故f（x）=在[0，+∞）递增，f（4x+5）≥ｘ，即≥ｘ，故或，，解得：-≤x≤５故答案为：．求出m的值，求出f（x）的解析式，关于x的不等式组，解出即可．本题考查了幂函数的定义，解不等式问题，是一道常规题．6.【答案】②【解析】解：①若a＞b，c＞d，则不正确，比如a=2，b=1，c=-1，d=-2，可得=；②若a＞b且，则a，b同号正确，由于-=＜0，由a-b＞0，可得ab＞0，即ab同号；③“ｘ＞0，y＞z”是“xy＞xz”的充要条件不正确，应为充分不必要条件，由x＞0，y＞z可得xy＞xz，反之不成立；的充要条件不正确，应为充分不必要条件，④“xy＞0”是“|x|+|y|=|x+y|”由xy＞0，可得|x|+|y|=|x+y|，反之不成立．故答案为：②．举a=2，b=1，c=-1，d=-2，可判断①；运用不等式性质化简可得ab＞0，可判断②；运用充分必要条件的定义，可判断③，④．本题考查不等式的性质和充分必要条件的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．7.【答案】2n；【解析】解：每次传球都有两种方法，所以n次传球之后，共有2n种可能的传球方法，设n次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有a n种，则有2a n+2a n-1=2n，（n≥２），n≥２），即-=-（-），（n≥２），∴-=（-）n（-），（∵a1=0，∴a n=，故答案为：2n；每次传球都有两种方法，所以n次传球之后，共有2n种可能的传球方法，设n次传球之后，足球回到文同学脚下的传球方法有a n种，则有2a n+2a n-1=2n，（根据数列的递推公式即可求出通项公式）本题考查了数列的递推公式，考查了转化能力，属于中档题8.【答案】 4【解析】解：对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，故函数f（x）的对称中心是（1，0），令g（x）=f（x）-log7|x|=0，得f（x）=log7|x|，函数g（x）的零点个数即函数f（x）和y=log7|x|的交点个数，由函数f（x）是偶函数，当0≤x≤１时，f（x）=x2-1，画出函数f（x）和函数y=log7|x|的图象，如图示：，结合图象，函数f（x）和函数y=log7|x|的图象有4个交点，故函数g（x）有4个零点，故答案为：4．根据函数的对称性以及函数的奇偶性画出函数的图象，结合图象求出函数的零点个数即可．本题考查了函数的零点问题，考查函数的奇偶性，对称性以及数形结合思想，转化思想，是一道中档题．9.【答案】【解析】解：由设=t，t≥则x2=t2-2．那么f（x）转化为g（t）=根据勾勾函数的性质，可得“当t=”时，g（t）取得最小值为：．故答案为：．利用换元法，结合勾勾函数的性质即可求解．本题考查了函数的最值的求法，利用到了勾勾函数的性质．属于基础题．10.【答案】，【解析】解：由a+b+c=3得，a+b=3-c，由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2，由柯西不等式可得≥（a+b）2=（3-c）2，即9-3c2≥（3-c）2，化简得2c2-3c≤０，解得，因此，c的取值范围为，故答案为：．a+b+c=3得，a+b=3-c，由a2+2b2+2c2=6可得a2+2b2=6-2c2，利用柯西不等式得9-3c2≥（3-c）2，解出c的范围即可．本题考查利用柯西不等式求参数的取值范围，对等式进行合理变形与配凑，是解本题的关键，属于中等题．11.【答案】，【解析】解：由-x2-x+2＞0，得x2+x-2＜0，解得-2＜x＜1．函数t=-x2-x+2在上为增函数，而外层函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（-x2-x+2）的单调增区间是．故答案为：．先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递增区间．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．12.【答案】【解析】解：数列{a n}中，，若，则a2=2a1-1=-1=，a3=2a2-1=-1=，a4=2a3=，a6=2a5-1=-1=，…可得数列{a n}为最小正周期为3的数列，则a2017=a672×3+1=a1=，故答案为：．由分段数列的解析式，求得数列的前几项，可得数列{a n}为最小正周期为3的数列，计算可得所求值．本题考查数列的周期和运用，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】26-n【解析】解：∵{a n}是各项均正的等比数列，其前n项和为S n，a1=32，，∴=，且q＞0，解得q=，∴a n=32×（）n-1=26-n．故答案为：26-n．利用等比数列通项公式列出方程，求出q=，由此能求出a n．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.【答案】解：（1）?x，f（x）=f（-x），即，∵对x∈R恒成立，∴．（2）由题意得对x∈R恒成立，∵函数y=log4x在（0，+∞）上单调递增，∴4x+1≥a?2x对x∈R恒成立，即对R恒成立，∵，当且仅当，即x=0时等号成立，∴a≤２，又∵a?2x＞0，∴a＞0，即a的取值范围是（0，2]．【解析】（1）由题意可得：?x，f（x）=f（-x），化简整理即可得出．（2）由题意得对x∈R恒成立，根据函数y=log4x在（0，+∞）上单调递增，可得4x+1≥a?2x＞0对x∈R恒成立，即0＜对R恒成立，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了对数函数的单调性、方程与不等式的解法、基本不等式的性质、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：（1）设{a n}公差为d，由题意知：（1+3d）2=（1+d）（1+7d），即d2-d=0，解得d=0（舍）或d=1，∴a n=n．∴ ，两边同除以2n+1得：，又，∴数列{}是以-1为首项，为公差的等差数列，即，∴ ．（2）2S n=-2×21-22+……+（n-4）？2n-1+（n-3）？2n-1，作差得：S n=2-（2+22+……+2n-1）+（n-3）？2n=2-+（n-3）？2n=4+（n-4）？2n．【解析】（1）设{a n}公差为d，由题意知：（1+3d）2=（1+d）（1+7d），化简解得d，可得a n．可得，两边同除以2n+1得：，又，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】证明：（1）因为a，b，c＞0，且a+b+c=4，所以（-1）（-1）（-1）=??≥=8，当且仅当时等号成立；（2）因为a，b，c＞0，且a+b+c=4，可令2a+b+c=u，2b+c+a=v，2c+a+b=t，u，v，t＞0，则u+v+t=16，所以[（2a+b+c）+（2b+c+a）+（2c+a+b）]（++），≥３?3=9，即有++≥，当且仅当时等号成立．【解析】（1）化简变形不等式的左边，再由二元均值不等式和不等式的性质，可得证明，及等号成立的条件；（2）令2a+b+c=u，2b+c+a=v，2c+a+b=t，u，v，t＞0，则u+v+t=16，运用三元均值不等式，以及不等式的性质，可得证明，及等号成立的条件．本题考查不等式的证明，注意运用变形和基本不等式，考查运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n }满足∈，且，，＞．当a 1=2时，为偶数为奇数．（2）当a 1=1时，a 2=2，a 3=4，a 4=2，{a n }不单调递增；当a 1=2时，由（1）知{a n }不单调递增；当a 1=3时，a 2=4，a 3=4，a 4=2，{a n }不单调递增；当a 1=4时，a 2=6，a 3=8，a 4=10，当a 1=5时，a 2=8，a 3=12，a 4=18，由此猜测当a 1≥４时，{a n }是单调递增数列．下面用数学归纳法证明一个更强得猜想：当a 1≥４时，a n ≥２n+2，1°当n=1时，猜想成立；2°假设当n=k （k ≥１，k ∈N *）时，猜想成立，即a k ≥２k+2，当n=k+1时，因为a k ≥２k+2＞k ，所以a k+1=2（a k -k ）≥２（k+2）=2（k+1）+2，即n=k+1时，猜想扔成立．由1°，2°及数学归纳法知，当a 1≥４时，a n ≥２n+2，此时因为a n ＞n ，所以a n+1=2（a n -n ），所以a n+1-a n =a n -2n ≥２，由此当当a 1≥４时，{a n }是单调递增数列．（3）由（2）知，a 1=1，2，3，4时，{a n }不是等比数列．当a 1≥４时，a n ≥２n+2＞2，因此a n +1=2（a n -n ），可求出通项公式为，所以不存在a 1使得{a n }是等比数列．【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式．（2）利用猜想法进行归纳证明．（3）根据（2）得出结论．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数学归纳法的应用．18.【答案】解：（1）2S n=na n+1-2n，当n≥２时，2S n-1=（n-1）a n-2（n-1），两式相减得：2a n=na n+1-（n-1）a n-2，即na n+1=（n+1）a n+2（n≥２），等式两边同除以n（n+1）得：，因为2=2S1=a2-2，所以a2=4，所以，又因为，所以是恒为3的常数列，所以，即a n=3n-2．由于因为a n单调递增，则，＞=＞=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用放缩法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，放缩法在数列求和中的应用．。
东城区2017-2018第一学期期末数学统练文科答案定稿
东城区2017-2018学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）C （5）A （6）D （7）B （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）2i - （10）y =?（11）1- （12）6， （13）[4,)-+∞，(,1)-∞-或[0,3)（14）1(2 （点M 的坐标只需满足222x y +=，(1,0)(0,1)x ∈- 或y x =±，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞ ） 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ． 因为354222a a a +==，所以41123a d ==+．解得3d =． 又因为241565b b bb b qb ===，所以12q b ==．所以31n a n =-，2n n b =，*n ∈N ． ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，31n a n =-，2n n b =．因此312n n n n c a b n =-=--数列{}n a 前n 项和为2(231)322n n n n+-+=．数列{}n b 的前n 项和为12(12)2212n n =+---． 所以，数列{}n c 的前n 项和为213222n n n ++-+，*n ∈N ． ………13分（16）（共13分） 解：（Ⅰ）当1a =时，2()cos 2cos 1f x x x x =⋅+-2cos2x x =+2sin(2)6x π=+.因为122x p p ＃， 所以63627x p p +?p £． 所以，当262x p +=p ，即6x p=时，()f x 取得最大值2， 当2676x p +=p ，即2x p=时，()f x 取得最小值为1-. ………6分（Ⅱ）因为2()cos 2cos 1(01)f x ax ax ax a =?-<?，所以()2cos 22sin(2)6f x ax ax ax p+=+． 因为()f x 的图象经过点(,2)3π， 所以22sin()236a ππ+=，即2sin()136a ππ+=． 所以22362a +k πππ+=π． 所以13()2a k k =+∈Z ． 因为01a <?， 所以12a =． 所以()f x 的最小正周期2π21T==π． ……13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于7%为事件A ，由图可知，这五年中有201220132014，，这三年城镇居民收入实际增速大于7%，所以3()5P A =. ……5分（Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B ，这五年中任选两年，有(2012,2013)，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)，(2013,2014)，(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)，(2015,2016)共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以9()10P B =. ………10分 （Ⅲ）从2014开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. ………13分 （18）（共14分）解：（Ⅰ） 因为AB AD ⊥，AB AP ⊥，AD AP A = ，所以AB ⊥平面PAD ． 因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ． ………5分 （Ⅱ）连接PE ．因为△PAD 为等边三角形，E 为AD 中点， 所以PE AD ⊥． 因为AB ⊥平面PAD ， 所以AB PE ⊥．因为AB AD A = ，所以PE ⊥平面ABCD ．所以13P ABCD ABCD V S PE -=⨯⨯梯形．在等边△PAD 中，sin 60PE PA =⋅︒=(12)232ABCD S +⨯==梯形，所以11333P ABCD ABCD V S PE -=⨯⨯=⨯=梯形 ………9分 （Ⅲ）棱PB 上存在点M ，使得EM ∥平面PCD ，此时点M 为PB 中点．取BC 中点F ，连接,,MF ME EF ．因为E 为AD 中点， 所以EF ∥CD ． 因为EF ⊄平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD ． 因为M 为PB 中点，所以MF ∥PC ． 因为MF ⊄平面PCD ， 所以MF ∥平面PCD ． 因为MF EF F = ， 所以平面MEF ∥平面PCD ． 因为ME ⊂平面MEF ，所以ME ∥平面PCD ． ………14分（19）（共14分）解：（Ⅰ）因为函数()ln f x x x =，所以1'()ln ln 1f x x x x x=+⋅=+, '(1)ln111f =+=.又因为(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. ………4分 （Ⅱ）函数()ln f x x x =定义域为(0,)+∞， 由（Ⅰ）可知，'()ln 1f x x =+.令'()0f x =解得1ex =. ()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递增区间是()e+∞，； ()f x 的单调递减区间是1(0,)e. ………9分（Ⅲ）当1e e x ≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x≥+”. 令1()ln g x x x =+，1[,e]ex ∈， 22111'()x g x x x x -=-=，1[,e]ex ∈.当1(,1)e x ∈时，'()0g x <，所以()g x 在区间1(,1)e单调递减. 当(1,e)x ∈时，'()0g x >，所以()g x 在区间(1,e)单调递增. 而1()ln e e e 1 1.5eg =+=->，11(e)ln e 1 1.5e e g =+=+<. 所以()g x 在区间1[,e]e上的最大值为1()e 1eg =-.所以当e 1a ≥-时，对于任意1[,e]ex ∈，都有()1f x ax ≤-. ………14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）由题意，得2221,1,,b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=． ………4分（Ⅱ）设00(,)Q x y ，(,2)P m ，则220012x y +=．① 当0m =时，点(0,2)P ，Q点坐标为(或，122S ==．② 当0m ¹时，直线OP 的方程为2y x m=．即20x my -=， 直线QF 的方程为(1)2my x =--． 点00(,)Q x y 到直线OP 的距离为d，||OP =所以，000011|||2|||222mS OP d x my x y =⋅⋅=⨯-=-． 又00(1)2my x =--，所以202200000000(1)2212||||||1121x y x x S x x x x x --+=+=+=⨯--- 00001111|1|(|1|)212|1|x x x x =⨯-+=-+--0x ≥<01)x ≠， 当且仅当001|1||1|x x -=-，即00x =时等号成立，综上，当00x =时，S 取得最小值1. ………13分。