随机型存储模型
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随机运筹学-6随机库存论
定期订货策略下订货时间固定，而每次订货的数 量是不确定的。
2、定点订货策略
定点订货策略是指确定一个固定的订货点，每当 库存下降到订货点时就组织订货。
定点订货策略下每次订货数量确定，而订货时间 是不确定的。因此，要保证按订货点订货，要求 必须对库存进行连续的监控或记录。
3、定期与定点相结合的策略 定期与定点相结合的策略是指每隔一定时间对库
四、库存管理的任务
（一）库存的系统分析
最简单的库存系统至少由补货环节、仓储环节、 市场环节所组成。
如果以仓储环节为中心，补货环节可以是上游供 应商，也可以是本企业内部的前置车间或工序， 市场环节可以是终端顾客，也可以是下游企业， 还可以是本企业内部的后续车间或工序。
库存管理的对象是对整个库存系统进行管理，补
例2 已知某地有一天将有许多人聚集。盒饭的需 求量是一个离散型随机变量。若卖出一盒，将获 利1元；若不能卖出一盒，损失0.2元。问应订购多 少盒才能使获利最大？
需求 100 200 300 400 500 600 700 800 量/ 盒
概率 0.01 0.02 0.1 0.25 0.2 0.2 0.17 0.05
（二）影响库存系统成本的主要因素
1、货物补充的批量
对于补货活动，成本主要受补货批量的影响。一 般地，补货批量越大，规模效益可使边际成本下 降得越多。
2、货物补充的时机
对于出货活动，它与市场相关联。一方面，通过 实施出货活动直接获得收益；另一方面，如果市 场产生了需求而因补货不能及时满足需求时，不 仅不能获得收益，而且还可能会招致惩罚成本。 缺货成本主要受补货时机的影响，如果迟迟不补 货，致使货源紧缺，则缺货惩罚成本就会升高。
卡可供出售，共赚k•Q元，无滞销损失。因此，盈 利期望值为
2、定点订货策略
定点订货策略是指确定一个固定的订货点，每当 库存下降到订货点时就组织订货。
定点订货策略下每次订货数量确定，而订货时间 是不确定的。因此，要保证按订货点订货，要求 必须对库存进行连续的监控或记录。
3、定期与定点相结合的策略 定期与定点相结合的策略是指每隔一定时间对库
四、库存管理的任务
（一）库存的系统分析
最简单的库存系统至少由补货环节、仓储环节、 市场环节所组成。
如果以仓储环节为中心，补货环节可以是上游供 应商，也可以是本企业内部的前置车间或工序， 市场环节可以是终端顾客，也可以是下游企业， 还可以是本企业内部的后续车间或工序。
库存管理的对象是对整个库存系统进行管理，补
例2 已知某地有一天将有许多人聚集。盒饭的需 求量是一个离散型随机变量。若卖出一盒，将获 利1元；若不能卖出一盒，损失0.2元。问应订购多 少盒才能使获利最大？
需求 100 200 300 400 500 600 700 800 量/ 盒
概率 0.01 0.02 0.1 0.25 0.2 0.2 0.17 0.05
（二）影响库存系统成本的主要因素
1、货物补充的批量
对于补货活动，成本主要受补货批量的影响。一 般地，补货批量越大，规模效益可使边际成本下 降得越多。
2、货物补充的时机
对于出货活动，它与市场相关联。一方面，通过 实施出货活动直接获得收益；另一方面，如果市 场产生了需求而因补货不能及时满足需求时，不 仅不能获得收益，而且还可能会招致惩罚成本。 缺货成本主要受补货时机的影响，如果迟迟不补 货，致使货源紧缺，则缺货惩罚成本就会升高。
卡可供出售，共赚k•Q元，无滞销损失。因此，盈 利期望值为
数学建模论文 两种随机存贮管理模型的建立和求解
两种随机存贮管理模型的建立和求解摘 要：本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。
采用连续的时间变量更合理地描述了问题，简化了模型的建立。
模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。
针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计，解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。
通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种（m 种）存贮模型，论证了目标函数的独立变量为21m -个,使模型更加清晰、求解方便。
类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理，给出了证明，指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。
讨论了销售速率具有随机性时的存贮模型，实际当中调整修正订货点的方法，以及仓库最大存贮量的一种预测办法。
最后指出了模型的优缺点。
0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。
无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。
存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。
因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。
问题1 某商场销售的某种商品。
市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ；每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为2c ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为3c ，且32c c ≤；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为4c ；每次订货，设货物在X 天后到达，交货时间X 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为0Q ，每次到货后使这种商品的存贮量q 补充到固定值Q 为止，且Q Q <0；在销售过程中每当存贮量q 降到L 时即开始订货。
请你给出求使总损失费用达到最低的订货点*L （最优订货点）的数学模型。
问题 2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据，按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点*L 。
随机性存储模型
r0
r0
r Q 1
经化简后得
Q
kP(Q 1) hP(r) h P(r) 0
r0
rQ2
k
1
Q
P(r)
Q
h
P(r)
0
r0
r0
Q P(r)
k
r0
kh
同理从②推导出
Q1 P(r)
k
r0
kh
用以下不等式确定Q的值， 这一公式与(13-25)式完全相同。
Q1
k
Q
P(r)
P(r)
r0
PE(r)
P(rQ)(r)dr Q
0QC1(Q-r)(r)drKQ
常量（平均因 盈缺 利货 ）失去失 销的 售期 机望 会因 值 损滞销受到值 损失常的量期望
记
E [C (Q ) ]
PQ (rQ )(r)d rC 10 Q (Q r)(r)d rKQ
• 为使赢利期望值极大化，有下列等式：
订购量为2千张时，损失的可能值：
当市场需求量为(千张) 0 1 2
3 4 5
滞销损失(元) (-400)×2=-800 (-400)×1=-400 0(元) (以上三项皆为供大于需时 滞销损失) (-700)×1=-700 (-700)×2=-1400 (-700)×3=-2100 (以上三项皆为供小于需时， 失去销售机会而少获利的损失)
•
3.2 模型六：需求是连续的随机变量
• 设 货物单位成本为K，货物单位售价为P， 单位存储费为C1，需求r是连续的随机变量， 密度函数为Φ(r)，Φ(r)dr表示随机变量在r与 r+dr之间的概率，其分布函数
a
F(a) 0 (r)dr,(a 0)
存储论-随机性存储模型1
右端=2825+850*100+45*(2+2+0)+1250*(3+2)=94255 左端：s=80时 左端=940250<94255
ks r s C1 ( s r ) p(r ) r s C2 (r s) p(r )
所以s=80, 存储策略为
(b) 每阶段期初检查存储， I>s，不订货； 否则，订货，Q=S-I
第6页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(5)
模型五: 需求是离散型随机变量
设: 需求r 的取值为 r0, r1, …, rm, ri<ri+1 对应概率为p(r0),p(r1),…,p(rm) , ∑p(ri)=1 其余与模型四相同： 货物单位成本k, 存储费为C1；缺货费C2；订货费C3
(1) ri从小到大排列; (2) S只从ri 中取值,记为Si; (3) 从
r Si1
C2 k p(r ) N r S p(r ) i C1 C2
确定S=Si 若本阶段订货量为Q=S-I
第9页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(8)
例1 设某公司用塑料作原料制成产品出售。已知每箱塑料 购价为800元，订购费为60元，每箱存储费为40元、缺货费 为1015元，原有存储量10箱，已知对原料需求的概率：
0 S S
C2 k F ( S ) (r )dr 0 C1 C2
S
C2 k 因为 1 C1 C2
称F(S)为临界值，记为
C2 k N C1 C2
第5页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(4)
则本阶段的存储策略为
ks r s C1 ( s r ) p(r ) r s C2 (r s) p(r )
所以s=80, 存储策略为
(b) 每阶段期初检查存储， I>s，不订货； 否则，订货，Q=S-I
第6页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(5)
模型五: 需求是离散型随机变量
设: 需求r 的取值为 r0, r1, …, rm, ri<ri+1 对应概率为p(r0),p(r1),…,p(rm) , ∑p(ri)=1 其余与模型四相同： 货物单位成本k, 存储费为C1；缺货费C2；订货费C3
(1) ri从小到大排列; (2) S只从ri 中取值,记为Si; (3) 从
r Si1
C2 k p(r ) N r S p(r ) i C1 C2
确定S=Si 若本阶段订货量为Q=S-I
第9页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(8)
例1 设某公司用塑料作原料制成产品出售。已知每箱塑料 购价为800元，订购费为60元，每箱存储费为40元、缺货费 为1015元，原有存储量10箱，已知对原料需求的概率：
0 S S
C2 k F ( S ) (r )dr 0 C1 C2
S
C2 k 因为 1 C1 C2
称F(S)为临界值，记为
C2 k N C1 C2
第5页
随机性存储模型—(S,s)型存储策略(4)
则本阶段的存储策略为
随机存储问题的(s,S)概率模型
随机存储问题的（ｓ，Ｓ）概率模型作者：高云峰来源：《商场现代化》2008年第33期[摘要] 随机模型作为一种概率模型，在问题中如果必须考虑随机因素对研究对象的影响时，有着不可替代的优势。
本文研究随机存储问题，针对问题本身特点，在合理假设基础上，建立了随机存储问题的（s,S）概率模型，进行求解，并给出评注。
[关键词] 存储问题随机变量（s,S）随机存储策略一、随机存储问题简介存储论是运筹学的重要分支之一，现实生活中到处都可以碰到存储问题。
如某商场购进某种批发商品，买的数量越多，价格越便宜，获利越大，但买得越多，占用资金越多，占用库存越大，且如果太多还会造成积压，又要削价处理，人力物力都受损，如果一次进货太少，价格高，订货费增加，又易发生缺货现象，失去销售机会而减少利润，这就产生了进多少商品使商场获利最大的问题，也就是一个存储问题。
又如某工厂按现有人员编制每年可生产一定数量的某种产品，而生产这种产品需用一定数量的某种原材料，这种原材料不需每日供应，但不得缺货，缺货将导致停工待料，影响生产计划，每次订购原材料需要费用，定购次数越多，费用越大，但为节约订购费用又不能订购次数太少，订购次数少，势必每次订购原材料多，每月的原材料保管费就增大，那么最佳的订购量和订货次数又是多少呢？这仍是存储问题。
像商品进货这类问题，由于需求具有随机性，称这类存储问题为随机存储问题；像工厂进原材料这类问题，需求是确定的，这类问题称为确定性存储问题。
二、（s,S）型随机存储问题提出及分析商店在一周内的销售量是随机的，每逢周末经理要根据存货的多少决定是否订购货物，以供下周销售。
适合经理采用的一种简单的策略是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货量不少于s时就不订货，当存货少于s时则订货，且订货量使得下周初的存量达到S。
这种策略称为（s,S）随机存储策略。
为使问题简化，只考虑订货费、储存费、缺货费和商品购进价格，存储策略的优劣以总费用为标准。
第七章 存储模型----Inventory Models
（二）优化准则 – t时间内平均费用最小。由于问题是线性的，
因此，t时间内平均费用最小，总体平均费 用就会最小。
（三）目标函数
根据优化准则和存储策略，该问题的目标函数就是t时 间内的平均费用， 即 C=C（t）；
（1）t时间内订货费 t时间内订货费= 订购费 + 货物成本费 = c3+KRt
（其中K为货物单价） （2）t时间内存储费 存储费 = 平均存储量×单位存储费×时间
一、模型假设
(1）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R； （2）当存储量降至零时，可立即补充，不会造成损失；
（3）每次订购费为c3，单位存储费为c1，且都为常数； 二、存储状态
存储量
Q
斜率－R
0.5Q
t
时间T
三、存储模型
（一）存储策略
– 该问题的存储策略就是每次订购量，即问 题的决策变量Q，由于问题是需求连续均 匀且不允许缺货，变量Q可以转化为变量t， 即每隔t时间订购一次，订购量为Q=Rt。
第三节 经济生产批量模型
----Economic Production Lot Size Model
– 经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间 模型。
一、模型假设
1) 需求是连续均匀的。设需求速度为常数R； 2) 每次生产准备费为c3，单位存储费为c1，且都为常数； 3) 当存储量降至零时开始生产，单位时间生产量（生产率）
存储量
S
O
Q－S 时间T
t1
t2
T
三、存储模型
1．存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；
2．优化准则：T时期内，平均费用最小；
3．费用函数：
（1）不缺货时间 （2）缺货时间 （3）总周期时间
因此，t时间内平均费用最小，总体平均费 用就会最小。
（三）目标函数
根据优化准则和存储策略，该问题的目标函数就是t时 间内的平均费用， 即 C=C（t）；
（1）t时间内订货费 t时间内订货费= 订购费 + 货物成本费 = c3+KRt
（其中K为货物单价） （2）t时间内存储费 存储费 = 平均存储量×单位存储费×时间
一、模型假设
(1）需求是连续均匀的。设需求速度为常数R； （2）当存储量降至零时，可立即补充，不会造成损失；
（3）每次订购费为c3，单位存储费为c1，且都为常数； 二、存储状态
存储量
Q
斜率－R
0.5Q
t
时间T
三、存储模型
（一）存储策略
– 该问题的存储策略就是每次订购量，即问 题的决策变量Q，由于问题是需求连续均 匀且不允许缺货，变量Q可以转化为变量t， 即每隔t时间订购一次，订购量为Q=Rt。
第三节 经济生产批量模型
----Economic Production Lot Size Model
– 经济生产批量模型也称不允许缺货、生产需要一定时间 模型。
一、模型假设
1) 需求是连续均匀的。设需求速度为常数R； 2) 每次生产准备费为c3，单位存储费为c1，且都为常数； 3) 当存储量降至零时开始生产，单位时间生产量（生产率）
存储量
S
O
Q－S 时间T
t1
t2
T
三、存储模型
1．存储策略：一次生产的生产量Q，即问题的决策变量；
2．优化准则：T时期内，平均费用最小；
3．费用函数：
（1）不缺货时间 （2）缺货时间 （3）总周期时间
第04章 订购决策模型(EOQ)(采购与仓储)
2
Q 1/2Q
储量 平均 存量 t t t t
可比性原则
单位相同，时间相同；目标函数的含义相同 由于系统存量具有周期性，因此只需研究一个周期 Q 不同，周期长度 t 也不同，因此目标函数应为单位时间内的总
费用
单位时间内总费用 单位时间平均订购费 单位时间的存储费 C 1 DC 1 C (Q ) QC CQ t 2 Q 2
( 6)
当 r 由 0.5 增大到 2 时
C (rQ ) 1.25 ~ 1.25 C (Q )
0 0
当 r=1.1 比值仅为 1.0045，可见灵，正常生产每日需600个，每 个存储费 Cs =0.01 元/周，订购费每次为 Cd =50 元，问：(1) 经济订货量为多少？(2)一年订购几次？(一年按 52 周计)， (3) 一年的存储费和订购费各是多少？ 解： 以周为时间单位，每周按 5 天计，则 D=5600=3000个/周 (1)由(3)式得
7
（2）允许缺货模型
允许缺货，但到货后补足缺
货，故仍有 Q=Dt 储量 Q 为订货量，q 为最大缺货 H 量；t 是订货周期，t1 是不 缺货期， t2 是缺货期；最 Q 大存储量为 H=Q-q Cq 为单位缺货损失费，其 q 它费用参数符号同不允许缺 0 货模型
不缺货时间 t
1
t2 t1 t t
q s s q s q s q s d q s s s q
2
2
d
Q
0
2 DC C
s
d
C C C
s q
q
(8)
最优缺货量 q 2 DC C C (C C )
0 d s q s q
Q 1/2Q
储量 平均 存量 t t t t
可比性原则
单位相同，时间相同；目标函数的含义相同 由于系统存量具有周期性，因此只需研究一个周期 Q 不同，周期长度 t 也不同，因此目标函数应为单位时间内的总
费用
单位时间内总费用 单位时间平均订购费 单位时间的存储费 C 1 DC 1 C (Q ) QC CQ t 2 Q 2
( 6)
当 r 由 0.5 增大到 2 时
C (rQ ) 1.25 ~ 1.25 C (Q )
0 0
当 r=1.1 比值仅为 1.0045，可见灵，正常生产每日需600个，每 个存储费 Cs =0.01 元/周，订购费每次为 Cd =50 元，问：(1) 经济订货量为多少？(2)一年订购几次？(一年按 52 周计)， (3) 一年的存储费和订购费各是多少？ 解： 以周为时间单位，每周按 5 天计，则 D=5600=3000个/周 (1)由(3)式得
7
（2）允许缺货模型
允许缺货，但到货后补足缺
货，故仍有 Q=Dt 储量 Q 为订货量，q 为最大缺货 H 量；t 是订货周期，t1 是不 缺货期， t2 是缺货期；最 Q 大存储量为 H=Q-q Cq 为单位缺货损失费，其 q 它费用参数符号同不允许缺 0 货模型
不缺货时间 t
1
t2 t1 t t
q s s q s q s q s d q s s s q
2
2
d
Q
0
2 DC C
s
d
C C C
s q
q
(8)
最优缺货量 q 2 DC C C (C C )
0 d s q s q
chap9-存储论
9.1 存储系统概述
4）生产费（买价） 如果库存不足需要补充，可选外购或自行生产。外购时需支 付买价（当有折扣时更要考虑买价）；自行生产时，这里的生产 费用专指与生产产品的数量有关的费用如直接材料、直接人工、 变动的制造费用。
上述费用构成了存储系统中最重要的几种费用。实际问题中有时是很难 将它们绝对分离开的，但这些都是应用中的技术问题，根据不同的情况才能 进行详细的分析。在这里只是从原则上对它们进行大致的分类。尽管在实际 存储管理中，可能还会涉及到其他各种名目的费用，但一般情况下，存储问 题的费用总归是由上述三种费用所组成，并且它们与存储总费用（Inventory Cost）有线性关系，且与下列一些存储系统中的变量有着密切联系。
因此为保证及时供应，就要提前订货，提前的时间称之为“提前 订货时间”，提前订货时间可以是确定的，也可以是随机的。 9.1.3 存储系统的费用及变量 系统的决策者可以通过控制订货时间的间隔和订货量的多少 来调节系统的运行，使得在某种准则下系统运行达到最优。为此 要明确该系统所发生的费用和有关的决策变量。 存储系统的费用 费用是存储管理的一个重要经济指标，存储系统必须按最经 济的原则运行，为了建立存储模型必须了解各类存储系统费用的 构成情况。
划调整的损失费，或加班突击所增加的额外开支，未能完成合同任务而使需 方损失给供方带来的赔款损失费等，还可能是因为无货满足顾客而降低服务 质量、损失信誉及潜在盈利机会，丧失顾客而造成销售不良的损失等等。总 之，这是由于缺货而未能满足需求而带来的各种损失的费用表现。在有些情 况下是不允许缺货的。如战争中缺少军械、弹药等将造成人员重大伤亡乃至 战败，血库缺血将造成生命危害等，这时的缺货费可视为无穷大。
9.1 存储系统概述
存储论，又称库存理论，是运筹学中发展较早的分支，早在 1915年，哈李斯（F. Harris）针对银行货币的储备问题进行了详 细的研究。到了20世纪50年代，人们开始应用系统理论来研究和 解决库存问题，存储论成了运筹学的一个独立分支。存储是系统 随机聚散现象，存储的作用在于缓冲调节供求之间的不平衡，以 避免由需求大于供应而造成的损失；但存储也有损失，需要支付 存储费用。 库存（Inventory or Stock）表示用于将来目的的资源暂时处 于闲臵状态，库存的存在主要是由供需双方在时间、空间和数量 上的不确定性所引起。存储管理是物流活动的重中之重，丰田生 产方式认为：“库存是万恶之源”，强化库存量的控制可以改善 经营管理，达到减少资金占用，获得更多利润的目的。这里先给 出存储理论的一些基本概念。 9.1.1 存储问题的引入
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Q 当订货量
总收益期望值为
Q xi
xi Q
x
f (Q ) =
精品课程《运筹学》
+
xi Q
( P b
Q xi
1
p1 ) x i ( p 0 p1 b1 )Q P ( x i )
i
( P R ) x
( p 0 R )Q P ( x i )
表7.4.2
需求量 概率 累积 概率
14
0.1
0.10
15
0.15
0.25
16
0.12
0.37
17
0.12
0.49
18
0.16
0.65
19
0.18
0.83
20
0.10
0.93
21
0.07
1.00
精品课程《运筹学》
第四节 随机型存储模型
解：
k k h
18
=
6 6 2
=0.75
19
可以看出 所以 Q
i
精品课程《运筹学》
第四节 随机型存储模型
解之： P ( x i )
i 1 r 1 R b R
P ( xi )
i 1
r
（7.4.2）
2)总收益期望值最大的订货量 当订货量Q 时,收益为
Px p 0 Q p1 (Q x ) b1 (Q x )
x
式中 P 为货物的卖出价， 为积压品的处理价（ b1 为积压品仓储成本。
精品课程《运筹学》
第四节 随机型存储模型
利用 E ( w(Q )) 是 Q 的连续、可微函数，要求 dE ( w ( Q )) =0即可得出 Q 应满足下面方程： Q dQ ( x ) dx = P p 0 （7.4.6） b P 0 并且可验证此为最优解。 当模型中期末的存货在当期必须处理时： Q * ( x ) dx = k （7.4.7） Q 满足 k h 0 如果缺货时还要付出费用 R P ，则 Q （7.4.8) Q 满足 ( x ) dx = R p 0
x x!
=
5 x0
180 180 100
5 x!
x
=
0.6428
6 x0 5x x!
查泊松分布表，
精品课程《运筹学》
=0.6159， e 5=0.7621， e
5
即最好准备6件零件。
第四节 随机型存储模型
例7.4.2 某货物的需求量在14至21件之间，
每卖出一件可赢利6元，每积压一件，损 失2元，问一次性进货多少件，才使赢利 期望最大？
解：由题知
p0
=752元 ， =40元， b
由
R 1400元。
P ( x i ) 0.45 P ( x i ) ，
i 1 i 1 3
临界值 R p 0 =0.45。
R b
4
S =
x4
=82吨。
精品课程《运筹学》
第四节 随机型存储模型
如 Q 0 =40吨，则需补充42吨货物。此时期望
0
b R
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第四节 随机型存储模型
例7.4.3 某时装商店计划冬季到来之前订购一
批款式新颖的皮制服装。每套皮装进价是1000 元，估计可以获得80％的利润，冬季一过则只 能按进价的50％处理。根据市场需求预测，该 皮装的销售量服从参数为1／60的指数分布， 求最佳订货量。 解：已知 p 0 1000，P 1800， p1 =500， k 800， h 500
第四节 随机型存储模型
分布函数及密度函数都已知。
④初始库存量为零，且固定订购费也为零． ⑤决策准则是使期望总费用达到最小或期望总收 益最大 。 下面分别就离散型与连续型两种情况进行讨论
1.离散型随机模型设
在一个时期 T 内 ，需求量 x 是一个非负的 随机变量，假设 x 的取值为 x1 , x 2 , , x n ，相应 的概率P ( x ) 已知，最优存储策略是使在 T 内 精品课程《运筹学》 i
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第四节 随机型存储模型
盈利的期望为 Q E ( w(Q )) = PE (x) -{P ( x Q ) ( x )dx b(Q x ) ( x )dx Qp 0 } Q 0 （7.4.5） 上式后部分的期望，分别是因缺货失去销售 机 会出现损失、因滞销出现仓储费及购买价， 而 max E ( w(Q )) = PE (x) - minE (C (Q )) 易看出：求盈利最大与求损失期望最小是等价的
第四节 随机型存储模型
总费用的期望值最小或收益最大。 设 b 为供过 于求时单位产品总成本（存储成本及买价）、 R 为供不应求时单位产品总成本（缺货成本）。 1)总费用的期望值最小的订货量 一个时期内的订货费为零（或常数），单位产品 的获得成本已包括在 b 中。当需求为 时， 市场上实际卖出产品数量将为 min Q, x 本期的缺货量为 max 0, x Q ，
x
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第四节 随机型存储模型
库存量 max
0, Q x 。因此总费用最小的订
i
货模型只包括上述两项费用
f (Q ) b (Q x i ) P ( xi ) R ( xi Q ) P ( xi ) （7.4.1）
Q x 由于取 xxQi 离散值，所以不能用求导的办法而 * 采用边际分析法求极值。为此最佳订货量 Q 应满足 * Q* Q 时 ⑴ f (Q ) f (Q )，当 ⑵ f (Q * ) f (Q ) ，当 Q * Q 时
（7.4.3）
第四节 随机型存储模型
求其最优解，与（7.4.2）相同。 报童问题:报童每天售报数量是一个随机变 量。报童每售出一份报纸赚 k 元，如报纸未 能售出，每份赔 h 元。报童每日售出报纸份 数 x i 的概率 P 根据以往的经验是已知的， 问报童每日最好准备多少份报纸? 由于报纸的份数只能取整数，所以 f (Q * ) f (Q * 1) 与 f (Q * ) f (Q * 1) 同时成立
=0.6154 57（件）
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第四节 随机型存储模型
§4.2 多时期库存模型 多时期库存模型是考虑时间因素的一种随机动
态库存模型，与单时期库存模型的不同之处在 于：每个周期的期末库存货物对于下周期仍然 可用。最常用的是 s, S 策略。
1．需求是随机离散的多时期(s，S)库存模型
模型的特点在于订货的机会是周期出现。假设在 一个阶段的开始时原有库存量为 Q 0 ，若供不 应求，则需承担缺货损失费；若供大于求，
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则多余部分仍需库存起来，供下阶段使用 。 当本阶段开始时，按订货量 Q ，使库存水 平达到 S Q 0 Q ，则本阶段的总费用应 是订货费、库存费和缺货费之和。 设货物的单位成本为p 0 ，单位库存费为 b ，缺 货损失为 R ，每次订货费为 a ，需求为 i ， x 概率分布为 P ( x i ) ，为方便可设x i x i 1 。 解得 r 2 （7.4.9) r 1
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p 1 为货物购买价，
p ）， 1 p 0
第四节 随机型存储模型
此时，收益的期望值为 ( P b1 p1 ) xi ( p 0 p1 b1 )Q P( xi )
时，收益为 Px p 0 Q R ( x Q ) R 式中为缺货成本，收益的期望值为： ( P R ) xi ( p0 R )Q P ( xi )
费用为42652元. 2.需求是随机连续的多时期( s, S )模型 设货物的单位成本为 p 0 ，单位库存费为 b ，单 位缺货损失费为 R ，每次订货费为a ，假定滞 后时间为零，需求 x 是连续的随机变量，概 率密度为 (x) ，期初库存量为 Q0 ，订货量为Q。 确定 Q ，使总费用的期望值最小。
第四节 随机型存储模型
信誉，将以每台3400元向其他商店进货后再 卖给顾客，每次订购费为400元，设期初 无库存，试确定最佳订货量及 S 值。 解：由题知 p 0 =3000， b =40， =400， R =3400， 临界值 3400 3000 =0.1163 40 3400
第四节
随机型存储模型
§4.1 单时期的随机模型 §4.2 多时期库存模型
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第四节 随机型存储模型
确定型存储问题中，货物的需求是确定的， 订货费用和计划期的存储费用都是已知的，甚 至缺货的成本都作为常数来考虑。 随机型存储问题最重要的特点是需求（速 度）量是随机的 ，订货策略较复杂，实际的 库存管理中，订货策略多种多样 ：按订单发出 的条件来分，可分为警戒点订货法和定期订货 法；按照订货量来分，可分为定量订货法与补 充订货法。
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现考虑的费用有订购费、库存费、缺货损失费。
解之 称
R p0 R b
( x ) dx
0
S
R p0 R b
（7.4.10）
为临界值，由上式可定出 S ，再由 可确定最佳订货量。
Q S Q0
例7.4.4某商场经销一种电子产品，根据历史资料， 该产品的销售量服从在区间[50，100]的均匀分 布，每台产品进货价为3000元，单位库存费为 40元，若缺货，商店为了维护自己的 精品课程《运筹学》
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第四节 随机型存储模型
§4.1 单时期的随机模型
单时期随机需求问题中最典型的是所谓报童问 题，在一个时期只订货一次以满足整个时期的需
总收益期望值为
Q xi
xi Q
x
f (Q ) =
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+
xi Q
( P b
Q xi
1
p1 ) x i ( p 0 p1 b1 )Q P ( x i )
i
( P R ) x
( p 0 R )Q P ( x i )
表7.4.2
需求量 概率 累积 概率
14
0.1
0.10
15
0.15
0.25
16
0.12
0.37
17
0.12
0.49
18
0.16
0.65
19
0.18
0.83
20
0.10
0.93
21
0.07
1.00
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解：
k k h
18
=
6 6 2
=0.75
19
可以看出 所以 Q
i
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解之： P ( x i )
i 1 r 1 R b R
P ( xi )
i 1
r
（7.4.2）
2)总收益期望值最大的订货量 当订货量Q 时,收益为
Px p 0 Q p1 (Q x ) b1 (Q x )
x
式中 P 为货物的卖出价， 为积压品的处理价（ b1 为积压品仓储成本。
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利用 E ( w(Q )) 是 Q 的连续、可微函数，要求 dE ( w ( Q )) =0即可得出 Q 应满足下面方程： Q dQ ( x ) dx = P p 0 （7.4.6） b P 0 并且可验证此为最优解。 当模型中期末的存货在当期必须处理时： Q * ( x ) dx = k （7.4.7） Q 满足 k h 0 如果缺货时还要付出费用 R P ，则 Q （7.4.8) Q 满足 ( x ) dx = R p 0
x x!
=
5 x0
180 180 100
5 x!
x
=
0.6428
6 x0 5x x!
查泊松分布表，
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=0.6159， e 5=0.7621， e
5
即最好准备6件零件。
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例7.4.2 某货物的需求量在14至21件之间，
每卖出一件可赢利6元，每积压一件，损 失2元，问一次性进货多少件，才使赢利 期望最大？
解：由题知
p0
=752元 ， =40元， b
由
R 1400元。
P ( x i ) 0.45 P ( x i ) ，
i 1 i 1 3
临界值 R p 0 =0.45。
R b
4
S =
x4
=82吨。
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如 Q 0 =40吨，则需补充42吨货物。此时期望
0
b R
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例7.4.3 某时装商店计划冬季到来之前订购一
批款式新颖的皮制服装。每套皮装进价是1000 元，估计可以获得80％的利润，冬季一过则只 能按进价的50％处理。根据市场需求预测，该 皮装的销售量服从参数为1／60的指数分布， 求最佳订货量。 解：已知 p 0 1000，P 1800， p1 =500， k 800， h 500
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分布函数及密度函数都已知。
④初始库存量为零，且固定订购费也为零． ⑤决策准则是使期望总费用达到最小或期望总收 益最大 。 下面分别就离散型与连续型两种情况进行讨论
1.离散型随机模型设
在一个时期 T 内 ，需求量 x 是一个非负的 随机变量，假设 x 的取值为 x1 , x 2 , , x n ，相应 的概率P ( x ) 已知，最优存储策略是使在 T 内 精品课程《运筹学》 i
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盈利的期望为 Q E ( w(Q )) = PE (x) -{P ( x Q ) ( x )dx b(Q x ) ( x )dx Qp 0 } Q 0 （7.4.5） 上式后部分的期望，分别是因缺货失去销售 机 会出现损失、因滞销出现仓储费及购买价， 而 max E ( w(Q )) = PE (x) - minE (C (Q )) 易看出：求盈利最大与求损失期望最小是等价的
第四节 随机型存储模型
总费用的期望值最小或收益最大。 设 b 为供过 于求时单位产品总成本（存储成本及买价）、 R 为供不应求时单位产品总成本（缺货成本）。 1)总费用的期望值最小的订货量 一个时期内的订货费为零（或常数），单位产品 的获得成本已包括在 b 中。当需求为 时， 市场上实际卖出产品数量将为 min Q, x 本期的缺货量为 max 0, x Q ，
x
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第四节 随机型存储模型
库存量 max
0, Q x 。因此总费用最小的订
i
货模型只包括上述两项费用
f (Q ) b (Q x i ) P ( xi ) R ( xi Q ) P ( xi ) （7.4.1）
Q x 由于取 xxQi 离散值，所以不能用求导的办法而 * 采用边际分析法求极值。为此最佳订货量 Q 应满足 * Q* Q 时 ⑴ f (Q ) f (Q )，当 ⑵ f (Q * ) f (Q ) ，当 Q * Q 时
（7.4.3）
第四节 随机型存储模型
求其最优解，与（7.4.2）相同。 报童问题:报童每天售报数量是一个随机变 量。报童每售出一份报纸赚 k 元，如报纸未 能售出，每份赔 h 元。报童每日售出报纸份 数 x i 的概率 P 根据以往的经验是已知的， 问报童每日最好准备多少份报纸? 由于报纸的份数只能取整数，所以 f (Q * ) f (Q * 1) 与 f (Q * ) f (Q * 1) 同时成立
=0.6154 57（件）
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第四节 随机型存储模型
§4.2 多时期库存模型 多时期库存模型是考虑时间因素的一种随机动
态库存模型，与单时期库存模型的不同之处在 于：每个周期的期末库存货物对于下周期仍然 可用。最常用的是 s, S 策略。
1．需求是随机离散的多时期(s，S)库存模型
模型的特点在于订货的机会是周期出现。假设在 一个阶段的开始时原有库存量为 Q 0 ，若供不 应求，则需承担缺货损失费；若供大于求，
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第四节 随机型存储模型
则多余部分仍需库存起来，供下阶段使用 。 当本阶段开始时，按订货量 Q ，使库存水 平达到 S Q 0 Q ，则本阶段的总费用应 是订货费、库存费和缺货费之和。 设货物的单位成本为p 0 ，单位库存费为 b ，缺 货损失为 R ，每次订货费为 a ，需求为 i ， x 概率分布为 P ( x i ) ，为方便可设x i x i 1 。 解得 r 2 （7.4.9) r 1
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p 1 为货物购买价，
p ）， 1 p 0
第四节 随机型存储模型
此时，收益的期望值为 ( P b1 p1 ) xi ( p 0 p1 b1 )Q P( xi )
时，收益为 Px p 0 Q R ( x Q ) R 式中为缺货成本，收益的期望值为： ( P R ) xi ( p0 R )Q P ( xi )
费用为42652元. 2.需求是随机连续的多时期( s, S )模型 设货物的单位成本为 p 0 ，单位库存费为 b ，单 位缺货损失费为 R ，每次订货费为a ，假定滞 后时间为零，需求 x 是连续的随机变量，概 率密度为 (x) ，期初库存量为 Q0 ，订货量为Q。 确定 Q ，使总费用的期望值最小。
第四节 随机型存储模型
信誉，将以每台3400元向其他商店进货后再 卖给顾客，每次订购费为400元，设期初 无库存，试确定最佳订货量及 S 值。 解：由题知 p 0 =3000， b =40， =400， R =3400， 临界值 3400 3000 =0.1163 40 3400
第四节
随机型存储模型
§4.1 单时期的随机模型 §4.2 多时期库存模型
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第四节 随机型存储模型
确定型存储问题中，货物的需求是确定的， 订货费用和计划期的存储费用都是已知的，甚 至缺货的成本都作为常数来考虑。 随机型存储问题最重要的特点是需求（速 度）量是随机的 ，订货策略较复杂，实际的 库存管理中，订货策略多种多样 ：按订单发出 的条件来分，可分为警戒点订货法和定期订货 法；按照订货量来分，可分为定量订货法与补 充订货法。
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现考虑的费用有订购费、库存费、缺货损失费。
解之 称
R p0 R b
( x ) dx
0
S
R p0 R b
（7.4.10）
为临界值，由上式可定出 S ，再由 可确定最佳订货量。
Q S Q0
例7.4.4某商场经销一种电子产品，根据历史资料， 该产品的销售量服从在区间[50，100]的均匀分 布，每台产品进货价为3000元，单位库存费为 40元，若缺货，商店为了维护自己的 精品课程《运筹学》
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§4.1 单时期的随机模型
单时期随机需求问题中最典型的是所谓报童问 题，在一个时期只订货一次以满足整个时期的需