数学建模捕鱼模型
9.生物数学捕鱼模型
• 捕捞效应会使被食鱼增长，所以不正确的 治虫，会使害虫增加，而天敌减少。 • 学习本模型，使学生认识到，生物种群的 发展是有规律的,在没有人为的干扰情况下， 该种群是处于平衡状态的，这是生物种群 千百万年以来所保持的规律性。正确的理 解生态平衡的概念和在捕鱼——被捕鱼系 统中的捕鱼效应。 • 由捕鱼效应还可以得到一个启示，看问题 不能表面化。喷洒农药治虫本来是正确的
•
本内容的难点，在于理解一维系统平衡点 的稳定性概念。 二、Volterra模型：这是一个生态问题，研究 捕鱼与被捕鱼系统的生态变化。上世纪20 年代，意大利生物统计学家D’Ancona，在 统计第一次世界大战期间，亚德利亚海中 被食鱼和鲸鲨鱼（掠肉鱼）比数的奇异变 化。在捕鱼减少的情况下，鲨鱼的比数意 外的上升。（鲨鱼比例为何如此上升？） 他让数学家Volterra把这一生态现象给以科 学的解释。
N N 故最大捕捞量为 m x0 2 2 4
二、Volterra模型 • 2.1问题的提出：1924年，意大利生物统计 学家Dancona在作生物统计工作是发现这 一问题。 • 在阜姆对亚德利亚海中的两种鱼的数量进 行统计。对捕获的鱼的种类及数量进行记 录。 • 他把鱼分成两种：鲨鱼，被食鱼，作为一 个捕食者——被捕食者系统。
•
Volterra通过建立捕鱼与被捕鱼系统模型， 科学的解释D’Ancona提出的问题。 • 1.在一个捕鱼被捕鱼系统中，如果没有外部 因素干与，两个种群的数量都按周期变化， 周期相同。这种现象就是生态平衡。 • 2.如果有人为干扰（即有捕捞时），捕捞可 增加被食鱼，减少鲨鱼，即会使被食鱼的 比数增大。此称为捕捞效应。
模型九、生物数学模型
这部分讲述两个模型： 一、 捕鱼模型 二、 Volterra模型 一、 捕鱼模型：在鱼类增殖的情况下进行捕 捞，研究捕捞系数多大时，鱼类增殖是稳 定的，并研究在稳定增殖情况下的最大捕 捞量。 学习该模型的目的，使人们认识到：为 了保护鱼类资源，实现可持续发展战略。 捕捞应有一定限制（如休渔期的规定）， 以免过渡捕捞破坏渔业资源。
鱼群捕捞问题数学建模
问题一鱼群捕捞问题一、问题的提出大量的海洋生物（例如鱼、虾等）为人类所消费。
如果捕捞率大于自然增长率，则海洋生物群将减少，甚至可能导致某种群的灭绝。
许多国际机构极为关心这类问题，他们想知道能否捕捞某种特定的种群，如果允许捕捞应有什么样的限制。
试建立一个数学模型，它将有助于这些机构作出敏感性的决定。
假设某种鱼（海洋生物中的一个种群）分4个年龄组，称1龄鱼，……，4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。
渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。
常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。
二、问题的假设与分析1. 问题假设（1）鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的。
（2）查阅有关鳀鱼的资料发现，鳀鱼一般在每年8月开始产卵，从而可以假设鱼群每年在8月底瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕。
（3）龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3。
（4）4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。
（5）连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。
2. 问题分析 （1）符号说明x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4； n ：每年的产卵量； k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4； （2）对死亡率的理解题中给出鱼的自然死亡率为0.8（/年），它指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，由假设知，它是一个与环境等其它因素无关的常数；另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。
数学建模实验报告最优捕鱼策略
最优捕鱼策略一.实验目的：1、了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法；2、通过最优捕鱼策略建模案例，使用MATLAB软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。
二.实验内容：（最优捕鱼策略）生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。
考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，…，4龄鱼的某种鱼。
该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。
而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。
使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。
该鱼群本身有如下数据：1．各年龄组鱼的自然死亡率为（1/年），其平均质量分别为,,,（单位：g）；2．1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为ⅹ105（个），3龄鱼为其一半；3．卵孵化的成活率为ⅹ1011/（ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）；有如下问题需要解决：1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,,,（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。
三. 模型建立假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的；b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3；c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。
d 、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。
（且可设x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n ：每年的产卵量；k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；）进而可建立模型如下：max （total （k ））=⎰⎰+3/203/2043)(99.22)(42.0dt t kx dt t kx)(8.0)(11t x dtt dx -= t ∈[0，1]，x1（0）= n ×n +⨯⨯11111022.11022.1 )(8.0)(22t x dt t dx -= t ∈[0，1]，x2（0）= x1（1）)()42.08.0()(33t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1） . )(8.0)(33t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x3（32-）= x3（32+）)()8.0()(44t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）)(8.0)(44t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x4（32-）= x4（32+）)]32()32(5.0[10109.1435++⨯=x x n四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）1. 先建立一个的M 文件：function y=buyu(x);global a10 a20 a30 a40 total k;syms k a10;x1=dsolve('Dx1=*x1','x1(0)=a10');t=1;a20=subs(x1);x2=dsolve('Dx2=*x2','x2(0)=a20');t=1;a30=subs(x2);x31=dsolve('Dx31=-+*k)*x31','x31(0)=a30');t=2/3;a31=subs(x31);x32=dsolve('Dx32=*x32','x32(2/3)=a31');t=1;a40=subs(x32);x41=dsolve('Dx41=-+k)*x41','x41(0)=a40');t=2/3;a41=subs(x41);x42=dsolve('Dx42=*x42','x42(2/3)=a41');t=2/3;a31=subs(x31);nn=*10^5**a31+a41);Equ=a10-nn**10^11/*10^11+nn);S=solve(Equ,a10);a10=S(2,1);syms t;k=x;t3=subs(subs(int*k*x31,t,0,2/3)));t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));total=*t3+*t4;y=subs((-1)*total)2.再建立一个的M文件：global a10 a20 a30 a40 total;[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);ezplot(total,0,25);xlabel('');ylabel('');title('');format long;ktotal=-mtotal;a10=eval(a10)a20=eval(a20)a30=eval(a30)a40=eval(a40)format shortclear五．结果分析1．鱼总量与时间图：x 10405101520252.可以看出捕捞强度对收获量的影响：实验输出数据：y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =y =+011k =total =+011a10 =+011a20 =+010a30 =+010a40 =+007则k=时，最高年收获量为total=×1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：×1011×1010×1010×107六．实验总结本次实验的目的是了解差分方程（递推关系）的建立及求解，以及掌握用差分方程（递推关系）来求解现实问题的方法。
微分方程竞赛模型(捕鱼模型)共33页
(3) “自然死亡率(1/年) ”. 注意, 这是一个有量纲的
量, 它既不是简单的百分率又不是简单的变化速率.
实际上它是百分比率的变化率. 它应该理解为以每年
死亡80%的速率减少, 并不是在一年内恰好死亡80%.
另外, 题目中没有说明四龄以上的鱼如何处理. 我们
可以假设这种鱼只活到四龄, 以后它就死掉了. 也可
[N(t) N(t+ ∆t)]/ ∆t qN(t) 这个关系应该对任何时间间隔∆t都成立。
8
于是, 令∆t→0就得到方程 dN/dt qN, 捕捞系数应该理解为满足这个关系的量q. 如果直接把 它理解为捕捞的百分率是不恰当的.
(2)“季节性集中繁殖”. 题目中说产卵孵化期是每年 的最后四个月, 而且是集中繁殖, 那末假设时间服从均 匀分布是不合适的(这时鱼类个体每1.2分钟产一个卵). 在不失生物学的真实的前提下, 使模型分析尽量简单 的假设应该是假设: 鱼群的个体在后四个月的第一天 集中一次产卵.
23
所以 (1)当 1.221011时 , 若 n (T )1.221011时 ,n 关 于 T 单 调 递 增 ; 若 n (T )1.221011时 ,n 关 于 T 单 调 递 减 .
这表明无论 n(T) 初值如何 , 最后必将趋于1.221011,
即, 达到(N1, N2, N3, N4)平衡状态.
h i 0 2 3 E i N i ( t ) d t r E i E iN 0 [ 1 e 2 3 ( r E i ) ] ,i 3 , 4 (1)
在后四个月，只有存活率起作用，因而微分方程为
dNi dt
rNi ,
得
N i(t) N 0e r t (2)
N0为第八个月末的 i 龄鱼总数。
捕鱼模型总结
捕鱼模型总结引言捕鱼模型是一种模拟渔业资源管理和捕鱼活动的工具，它可以帮助渔业管理者和研究人员了解鱼类种群的动态变化，并制定合理的捕捞政策以保护渔业资源。
本文将对捕鱼模型的基本原理、应用场景以及优缺点进行总结和分析。
捕鱼模型的基本原理捕鱼模型是一种基于数学模型的仿真工具，它通常包括以下几个基本要素：1.鱼类种群：捕鱼模型通过建立数学模型来描述鱼类种群的数量、增长率、死亡率等相关特征。
常用的模型包括Logistic模型、Lotka-Volterra模型等。
2.捕捞活动：捕鱼模型考虑了捕捞活动对鱼类种群的影响，包括捕捞强度、捕捞效率等参数。
这些参数可以通过历史数据、实地观测或专家经验进行估计。
3.环境因素：捕鱼模型还考虑了环境因素对鱼类种群的影响，如水温、氧气含量等。
这些因素可以通过气象数据、水质监测等进行获取。
通过将鱼类种群、捕捞活动和环境因素结合起来，捕鱼模型可以模拟和预测鱼类种群的动态变化，从而为渔业管理者提供科学依据和决策支持。
捕鱼模型的应用场景捕鱼模型广泛应用于渔业资源管理和保护的领域，其主要应用场景包括：1.渔业资源评估：捕鱼模型可以通过分析鱼类种群的动态变化，评估渔业资源的可持续利用能力和容量。
这有助于制定合理的渔业管理政策，保护渔业资源的可持续发展。
2.捕捞政策制定：捕鱼模型可以模拟不同捕捞政策对鱼类种群的影响，从而为渔业管理者提供科学决策依据。
渔业管理者可以通过调整捕捞强度、捕捞季节等参数，实现渔业资源的合理管理和保护。
3.捕捞预警系统：捕鱼模型可以通过实时监测鱼类种群的数量和动态变化，提供捕捞预警信息。
当鱼类种群数量下降或过度捕捞时，预警系统可以及时提醒渔业管理者采取相应措施，以避免资源的过度捕捞和破坏。
捕鱼模型的优缺点捕鱼模型作为一种模拟工具，具有以下优点：1.科学决策支持：捕鱼模型可以基于数学模型和实时数据，为渔业管理者提供科学决策支持，帮助其制定合理的捕捞政策和资源管理措施。
数学建模—最佳捕鱼方案
三、 符号说明
;当k 1 x ：表示 i 龄鱼第 j 年的年初（或年末）的鱼量（ k 0或1， 当k 0时， 表示年初 时表示年末。 i 1,2,3,4; j 1,2, ） 条 ； r ：表示各年龄组鱼群的死亡率： 0.8(1 年) ； ：表示 4 龄鱼的捕捞强度系数，则 3 龄鱼的捕捞强度系数为 0.42 ； n ：产卵总量 个 ； Z：捕鱼总重量 g ； xij t ：表示第 j 年 t 时刻 i 龄鱼的数量 条 ； j ：表示第 j 年的捕鱼总量；
4
年 收 获 总 量 （ g）
4.2 4.15 4.1 4.05 4 3.95 3.9 3.85
x 10
11
3.8 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
死 亡 率 （ 1/ 年 ）
由上图可直观地看出：死亡率与年收获总量成正比例关系，即当死亡率增加时， 年收获总量则减少；反之，增加。由此可知，死亡率对年收获总量有显著的影响。 2．对模型中捕捞强度系数 的灵敏度分析 模型中其它因素不变， 只考虑 从 10 变到 19 时最大的年收获总量的变化情况， 分析 的变化对模型的影响（见下图）
年 收 获 总 量 （ g）
3.95 x 10
11
3.9
3.85
3.8
3.75
3.7
3.65
3.6
3.55
3.5 10
11பைடு நூலகம்
12
13
14
15
16
17
18
19
4龄 鱼 的 捕 捞 强 度 系 数
由上图可直观地看出：捕捞强度系数也是影响年收获总量的重要因素，年收获总量 随捕捞强度系数的增加而增加。只是增长速率逐渐减慢。 七、 模型评价与推广 模型的评价： 优点：1. 本文建立的模型与实际相联系，考虑到一些实际情况，从而使模型较贴近实 际；通用性.，推广性较强。 2．模型方便、直观，可以实现计算机模拟。 缺点： 1．模型虽然考虑到了很多因素，但为了建立模型，忽略了一些影响因素，具有 一定的局限性。 2．在建模过程中，简化了一些因素，得到了最优方案可能与实际有一定的出入。 模型的推广： 模型建立思想不但适合捕鱼方面，而且适合其它相关方面，只需稍加改动即可。
捕鱼模型
最优捕鱼策略1、基本假设如下:(1) 只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞, 鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出。
(2) 各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。
(3) 所有的鱼都在每年最后的四个月内完成产卵和孵化的过程。
孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼, 进入一龄鱼组。
(4) 产卵发生于后四个月之初, 产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后。
(5) 相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的, 也就是说, 第k 年底第i 年龄组的鱼的条数等于第k+ 1 年初第i+ 1 年龄组鱼的条数。
(6) 四龄以上的鱼全部死亡。
(7) 采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数, 比例系数为捕捞强度系数。
2、符号和数据符号t——时间(以年计) , t∈R + ;k ——年份, k= 0, 1, 2 , ⋯N (k)i ——第k+ 1 年初i 龄鱼总条数,N (k )i ∈R + ;x i ( t) ——t 时刻i 年龄组的鱼群的大小;r——鱼的自然死亡率;f i——i 年龄组鱼的产卵力;w i——i 年龄组鱼的平均重量;E i——i 年龄组的捕捞强度系数;ai——i 龄鱼的生育率, 即平均每条i 龄鱼在一年内生育的鱼数, ai≥0 ;bi——i 龄鱼的存活率, 即i 龄鱼经过一年后到i+ 1 龄鱼数与原鱼数之比, 0<bi< 1, i= 1, 2, 3 ;n——年产卵总量;b0——卵成活率;R ——净繁殖率, 它表示平均每条鱼一生所产卵并成活为1 龄鱼的条数。
3、解题过程（1）设 N (k ) = {N (k )1 , N (k)2 , N (k)3 , N (k)4 }T;X ( t) = {x 1 ( t) , x 2 ( t) , x 3 ( t) , x 4 ( t) }T;(f 1, f 2, f 3, f 4) T= (0, 0, 0. 5 c0, c0) T;{W 1,W 2,W 3,W 4}T= (5. 07, 11. 55, 17. 86,22. 99) T;(E 1, E 2, E 3, E 4) T = (0, 0, 0. 42E , E ) , 称E 为捕捞努力量;r= 0. 8, S= 2/3 (产卵时刻) , c0= 1. 109×105,c1= 1. 220×1011, c2= exp (- r) = 0. 449 33 , c3= exp(- r S) = 0. 586 65 .（2）鱼生长期是连续的, 组建微分方程组模型:d X ( t)/d t= f (X ) , t∈[ 0, + ∞) .来描述鱼死亡随时间连续发生并具有季节性的繁殖和捕捞。
数学建模——最优捕鱼模型
最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联. 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比. 分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.二.问题分析1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3．假设每尾鱼都均衡生长；4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5．假设鱼为球体.四．符号表示五．模型建立与求解模型一. 鱼苗尾数的相对减少率为常数r . 由相对减少率的定义得()()()t t t t n n rn t +∆-=-∆ 即()()()00lim lim t t t t t t n n rn t +∆∆→∆→-=-∆ 即()t dn rn dt=- 解得0rt n n e -=模型二. 假设鱼为球体，体积为V ，表面积为S ，半径为R ，重量为G ，初始重量为0G ，鱼的密度为ρ;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为1k ），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为2k ）. 由343V R π=，2=4S R π，G V ρ=得2233S G ρ⎛⎫= ⎝⎭令23=b ρ⎛⎫ ⎝⎭又由于12=-dG k S k G dt,=0t ，0G G =所以231-11322+k t k b k b G e k k ⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦模型三. 控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用(t)n 表示，捕捞能力（E ）可以用尾数的相对减少率1dn n dt表示，从T 时刻开始捕捞，使得捕捞量W 能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.此时，-(t)0(t)=-at n n e En-0-0(e )11=-=-=a e at at d n dn E n dt n dt所以，--00(t)==1+(1+)at aT T Tan e an W En dt dt e a a a ∞∞=⎰⎰ 则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.模型四. 建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数(t)n ，还取决于鱼的重量G .即(t)TW En Gdt ∞=⎰所以，231--0113(t)22=+1+at k t T T an e k b k b W En Gdt e dt a k k ∞∞⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦⎰⎰ 可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T .感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。
数学建模案例——最佳捕鱼方案
最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。
根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。
由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。
其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。
由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。
关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。
一． 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。
捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二． 模型假设1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。
2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。
6.5捕鱼业的持续收获 数学建模
1、问题陈述
对于一个渔场，若渔民们捕捞过度，可能 会导致鱼类资源枯竭。若捕捞的量过少，可 能经济效益比较少。如何控制捕捞力度，能 使鱼类资源持续发展下去？
6.4微分方程稳定性理论简介 6.4微分方程稳定性理论简介
对于形如 x′(t ) = f ( x) ⋯ (4) 效 益 模 型 ： E R = (1 − 2 PN
C ) ⋯ ⋯ ⋯ (5) 捕捞过度：ES =r (1 − PN
二、捕鱼业的效益模型
1、模型假设 (1)设捕鱼的成本与捕捞率成正比，比例系数 (1)设捕鱼的成本与捕捞率成正比，比例系数 为C。 (2)鱼的销售单价为常数P (2)鱼的销售单价为常数P (3)单位时间所获利润为R(E) (3)单位时间所获利润为R(E) (4)独家捕捞 (4)独家捕捞
定义1 衡点。 称 f ( x ) = 0的 根 x0为 上 述 微 分 方 程 的 平
定 义2 解满 足
如果当x(t )充分接近x0时，微分方程的 lim x(t ) = x0
t →∞
则 称平 衡点 是稳定 的， 否则 称是 不稳定 的。
二、捕鱼业的产量模型
logistic模 （1）设鱼量的增加符合logistic模型，设r为固有 增长 率，N 为环境允许 的最大鱼量。 设鱼量的增 长率为r ( x), x(t )为t时刻鱼场的鱼量。
（2）设单位时间的捕鱼量为h( x), 与渔场的数量x(t ) 成正比，E为比例系数，即h( x) = Ex(t ), 称E为捕捞 率。
（3）独家捕捞。
x x′(t ) = rx(1 − ) − Ex N
⋯ ⋯ ⋯ (1)
E x0 = N (1 − ) ⋯ ⋯ ⋯ (2) r
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1. 在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长服从Logistic 规律，而单位时间捕鱼数
量为常数h 。
（1） 分别就h>rN/4,h<rN/4,h=rN/4这三种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况。
（2） 如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同。
2. 与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型:
.
()ln
N t rx x
x =,其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同。
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex 。
讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量 m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*o x 。
解： 1．
模型为.
()(1)x
x F x rx h N
==-
-。
（1）平衡点由F （x ）=0确定；当h<rN/4时，有2个平衡点1x (<N/2),2x (>N/2).经判断得1x 不稳定，2x 稳定。
当h=rN/4时，平衡点0x =N/2。
由/0()0F x =不能判断其稳定性，但因为对于x>0x 及x<0x 均有F （x ）<0,及.
x <0,所以0x 不稳定。
若将h=rN/4代入模型求解，可得()2
N N
x t rt c =
++，其中c 由初始值确定，若x （0）<N/2,t 趋近于无穷时，x(t)不会趋向N/2，即0x 不稳定。
(2)由图可知，要获得最大持续产量，应使池场鱼量x>N/2,且尽量接近N/2。
2.
模型为.
()ln
N
x F x rx Ex x
==-，如上图所示，有两个平衡点：x=0和/0E r x Ne =。
可证x=0不稳定，0x 稳定
（与E 和r 的大小无关）。
最大持续产量为/m h rN e =，相对应的m E r =， *0/x N e =。
绘制算法流程图
——学习一种经典算法（例如求解最短路问题的Dijkstra 算法），绘制出该算法的流程图。
解：最短路问题的Floyd 算法：Floyd 算法的基本思想是：问题分解，先找出最短的距离.然后在考虑如何找出对应的行进路线。
用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i 到j 的最短距离不外乎存在经过i 与j 之间的k 和不经过k 两种可能，所以可以令k=1，2，3，...，n(n 是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i 到k 与k 到j 的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i 到j 经过k 的最短距离。
所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i 出发经过k 再到j 的距离要比原来的i 到j 距离短，自然把i 到j 的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k 查完了，d(ij)就是目前的i 到j 的最短距离。
重复这一过程，最后当查完所有的k 时，d(ij)里面存放的就是i 到j 之间的最短距离了。
基本流程图为下：。