中学几何研究

椭圆、双曲线各有一个中心并且为有穷远点，而抛 物线的中心为无穷远点。
2019/12/26
椭圆、抛物线和双曲线的演变规律
(1) 椭圆的两焦点连线先演变成抛物线轴上自焦点出 发的射线(曲线中心由有穷远点演变成右边无穷远点),
继而演变成双曲线轴上自焦点出发的两条无重合的 射线(曲线中心右边无穷远点演变成左边的有穷远点) ;
抛物线的中心在抛物线轴上无穷远处；双曲线有中 心，并且双曲线任一支都可以看作由椭圆（固定不同 的焦点）演变而成。于是得到相关命题：
2019/12/26
命题1 过抛物线上任意的两条平行弦中点的直线必 与对称轴平行或者重合。
命题2 双曲线上每一支上任意两条平行弦的中点所 连直线必通过双曲线的中心。
2019/12/26
方法三 用P179页定理判别。
2019/12/26
第四节 射影几何与平面解析几何
本节射影几何的观点来分析和处理平面解析几何中 的一些问题。
1.椭圆、双曲线和抛物线性质的相关性 射影几何观点认为，椭圆、抛物线和双曲线与无穷 远直线分别有零个交点、一个交点和两个交点。
或者说，无穷远直线与椭圆、抛物线和双曲线 “相 离”、“相切”、“相交”。
2019/12/26
结论1（函数图像的中心对称问题）函数y=f(x) 的 图像关于点P(a,b)的对称曲线方程为
F(2a-x,2b-f(x))=0. 结论2 如果曲线方程 F(x,y) = 0 与曲线方程 F(2a-x,2b-f(x)) = 0 相同，则曲线F(x,y) = 0 本身关于 点 M(a,b) 对称。 于直结F 线x论A22AAB32 x(A（x+ BBy函Cy), 数+y CA图22AB=2 像(Ax0 B的y (CA)轴 ,B对0. 不称同问时题为）0曲) 对线称F(的x,曲y)线= 方0 关程 为
2019/12/26
第三节 曲线的生成与类型的判别
1. 曲线的生成 曲线的生成有各种方式，如定义方式、作图方式、
特征条件方式、再生方式、解决方式。在平面解析几 何中，曲线主要是由定义方式和特征条件方式生成的。
1)与定点、定直线有关的生成问题。（8个命题） 2)与定点、定直线、定圆配合生成的问题。
（2个命题） 3)同型生成问题。 （2个命题） 4)与定面积关系式的生成问题。 （2个命题）
2019/12/26
2、曲线形状类型的判别
实系数二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,(A2+B2+C2≠0) (1)
方法一，利用坐标轴的平移和旋转变换，把它化为
圆锥曲线的标准方程后，再确定它所表示的曲线的形
状和位置。 方法二，利I2 14用2BA 不2BC ,变量
2A B D 1 I3 8 B 2C E .
(2)椭圆的右顶点先演变成抛物线轴上的无穷远点, 继 而演变成双曲线的左顶点。
(3)椭圆内部含焦点区域(或外部不含焦点区域),先演变 成抛物线的右側含焦点区域(或左側不含焦点区域), 继而演变成双曲线左右两支含焦点区域(或左右两支不 含焦点区域)。
2019/12/26
按此规律，可以从一种曲线上存在的某些几何元素的 性质I1 =A+B/2,
2019/12/26
当 I2 >0时，若I1·I3 < 0，则为椭圆; 若 I3 =0, 则为点椭圆。
当 I2 < 0时， 若I3 ≠0，则为双曲线; 若 I3 =0, 则为两相交直线。
当I2 =0 时，若I3 ≠0， 则为抛物线; 若I3 = 0， 则为两平行直线或两重合直线或无轨迹。
2019/12/26
也可以证明逆否命题: 1/) 坐标不满足方程的一切点都不在曲线上; 2/)不在曲线上的点的坐标都不满足方程。
求曲线的方程，一般由五个步骤。 这五个步骤和列方程解应用题的步骤完全类似。 详细见P176。
2019/12/26
2、方程与函数 一元函数y=f(x)可以看成二元方程F(x,y)=y-f(x)=0， 函数 y= f(x) 的图象就是二元方程 F(x,y)=y-f(x)=0 表示的曲线。 利用这种特殊关系，可以方便地讨论一些问题。 例如，某些函数图像的对称问题，可以化归为解析 几何中曲线的对称问题，有以下结论。
例1 过椭圆上任意任意两条平行弦中点的直线必过 椭圆的中心。 分析 抛物线也有平行弦，但没有中心。按照演变规律
(1) 椭圆的两焦点连线先演变成抛物线轴上自焦点出 发的射线(曲线中心由有穷远点演变成右边无穷远点), 继而演变成双曲线轴上自焦点出发的两条无重合的射线 (曲线中心右边无穷远点演变成左边的有穷远点) ;
第八章 平面解析几何研究与解题 第一节 坐标系和坐标变换
1.平面仿射坐标系 平面仿射坐标系:两条坐标轴之间的夹角可以取00到 900之间的值，两轴上的单位长度可以不相同。 平面直角坐标系是平面仿射坐标系的特例。 2.极坐标系 3.直角坐标与极坐标系的关系
2019/12/26
第二节 曲线，方程，函数
前者用到圆的切线垂直与过切点的半径这个性质，这是一 个纯度量性质，只为圆所有。因此，这种求切线的方法不能推广 到椭圆、双曲线和抛物线的情形。
后者用到直线与曲线有重合交点，这条性质是射影性质，对 所有圆锥曲线都成立，包括圆在内。如果改为求与圆有重合交点 的直线方程，就可以推广到椭圆、双曲线和抛物线了。
1、曲线与方程
定义 设有一条曲线L和一个方程
F(x,y)=0
(1)
如果曲线L上的任何点的坐标都满足方程(1)，并且 坐标满足方程(1)的一切点都在曲线L上，则称方程(1) 是曲线L的方程，而曲线L是方程(1)的轨迹或者图形。
要证明一个方程是某一条曲线的方程，必须证明：
1)曲线上的任何点的坐标都满足方程(轨迹的纯粹性） 2)坐标都满足方程的一切点都在曲线上(轨迹的完备性)
2. 圆的命题的推广
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。有关圆的命题，哪些 可以推广到椭圆，哪些甚至还能推广到双曲线和抛物线。而哪些 只能对圆的成立，不能推广？
例如，求圆的切线方程可以归结为求与过切点的半径垂直的 直线方程，而求圆锥曲线的切线方程则归结为求与曲线有重合交 点的直线方程。二者是不同的。