2020-2021学年重庆市三峡名校联盟高二上学期12月联考数学试题 word版

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重庆市三峡名校联盟高三数学12月联考试题理新人教A版

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}==N M ,2,1,0｛x ｜x=2a ,M a ∈｝，则集合=N M A ．{}0B ．{}1,0C ．{}2,1D ．{}2,02．直线10x y -+=与圆22(1)2x y -+=的位置关系是A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心3．曲线2y x =在点(1,1)P 处的切线方程为 A.2y x = B.21y x =- C.21y x =+ D.2y x =- 4．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为 A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 1或2 5. 函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是 A ．（1，2） B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（1，5）6．已知24:ππ<<a p ，x x f q a tan log )(:=在),0(+∞内是增函数，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为S n ，且S 1 S 2、S 4成等比数列，则14a a 等于 A.3 B ．4 C ．6 D.78. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且sin 2sin ,sin A B a bC c--=则角A的大小为A.6π B.4π C.3π D.23π9. 已知,a b R +∈，直线6ax by +=平分圆04222=+--+m y x y x 的周长，则A ．6B ．4C ．3D ．310．定义域为[]b a ,的函数)(x f y =图象上两点),()),(,()),(,(y x M b f b B a f a A 是)(x f y =图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x .已知向量)1(λλ-+=k ≤对任意[]1,0∈λ恒成立，则称函数)(x f 在[]b a ,上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在1,3上“k 阶线性近似”，则实数的k 取值范围为A ．[)+∞,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,121 C ．423,33D ．42+3,33第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20,x y -=则椭圆22221x y a b+=的离心率_________e = 12.观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为______________. 13.知幂函数13()n y xn N *-=∈ 的定义域为(0,)+∞ ，且单调递减，则n =__________.考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答O ，若三题全做，则按前两题给分． 14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O的弦，BA ，DC 的延长线交于点P.若PA =4，PC =5，则 ∠CBD= ．15．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆2=ρ的公共点个数是________．16. （不等式选讲选做题）已知函数2()log (12)f x x x m =++--．若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分13分）已知函数2()ln .f x x x ax =++（1）当3,()a y f x =-=时求函数的极值点；（2）当24,()0(1,)a f x x =-+=+∞时求方程在上的根的个数。

重庆市三峡名校联盟高三数学12月联考试题文新人教A版

说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设全集{}1,2,3,4,5I =，集合{}A=2,3,5，集合{}1,2B =，则()I C B A 为A 、{}2 ;B 、{}3,5 ;C 、{}1,3,4,5;D 、{}3,4,5;2、命题“对任意x R ∈，都有20ax bx c ++<” 的否定为A 、存在0x R ∈，使得2000ax bx c ++≥; B 、不存在x R ∈，使得20axbx c ++≥;C 、存在0x R ∈，使得2000ax bx c ++<; D 、对任意x R ∈，都有 20ax bx c ++≥；3、函数y =的定义域为A 、(2,3)(3,)+∞;B 、(2,)+∞;C 、(3,)+∞;D 、(2,5)(5,)+∞;4、“1sin 2θ=”是“2()6k k z πθπ=+∈”的 A 、充分不必要条件; B 、必要不充分条件;C 、充要条件;D 、既不充分也不必要条件; 5、要得到函数y= sinx 的图象，只需将函数cos()6y x π=-的图象A 、向右平移6π个单位; B 、向右平移3π个单位C 、向左平移3π个单位 ; D 、向左平移6π个单位;6、右图给出的是计算11111352013++++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是 A ．i ≥2013? ; B ．1007i ≤？ C ．2013i <？ ; D ．1007i >？;7、已知x,y 满足约束条件010220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,则12z x y =+的最小值为 A 、12; B 、 34; C 、 1 ; D 、3 ; 8、关于x 的一元二次不等式25500ax x -->的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =24 （左视图） 4（俯视图）23A 、1-;B 、1;C 、19-;D 、19; 9、若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成长度之比为2︰1的两部分线段，则此双曲线的离心率为A 、95 ; B 35 ; C 、98; D 、324 ;10、已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示. 下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④函数()y f x =最多有2个零点。

重庆市名校联盟2021届高三上学期第二次联合测试(12月)数学试题扫描版含答案

=
2n
−1， Sn
=
n2 ………………………………………………（5
分）
（Ⅱ）因为 bn
=
2an +1
−
Sn n
=22n
−n
=
4n
−
n
，
所以 Tn
= (41 + 42 &; 2 +L
+ n)= 4n+1 − 4 − n(n +1) …………………………（10 分）
3
2
18. （本小题满分 12 分）
π
的最小值为
；……………………………（6 分）
uuur uuur u2uur uuur
uuur uuur 2
（Ⅱ）因为 AB ⋅ BC = AB ⋅ BC ⋅ cos (π − B) = − AB ⋅ BC cos B > 0 ，所以 cos B < 0 ，
所以，B 为钝角，A 为锐角，
因为
f
(
A)
=
2 sin
2A
−
π 6
−1
=
1，可得 sin
2A
−
π 6
=
1，
因为 0 < A < π ，∴− π < 2A − π < 5π ，则 2 A − π = π ，解得 A = π ……………………（8
2
6
66
62
3
分）
3
由正弦定理得 b = c = a = sin B sin C sin A
d = |1+ 2×2−4| = 12 + 22
1 5 ，………………………………………（8 分）

2024届重庆好教育联盟金太阳联考高三12月联考数学试题及答案

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该正
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正
四
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柱外接球的表面积为'1%$%)! 如图易证 $!2,"!3则异面直线 $!2 与"3! 所成的角为 "!3 与"3!
所成的角!设
已知函数
f(x)
=
ex
+cosx−1x3−x.
3
(1)当 x∈[3,+∞)时,证明: f(x) < f′(x).
(2)试问 x=0 是否为 f(x)的极值点? 说明你的理由.
【高三数学第 3 页 (共 4 页)】
·24-210C·
22.(12 分) 有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到 n 颗麦穗(假设这 n 颗麦穗的大小均不相同)，最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗，现有如下策略摘麦穗：不摘前 k(1≤k<n)颗麦穗，自第 k+1 颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设 k=tn，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为 P.(取： nk∑nj=−k11j = nklnnk) (1)若 n=4,k=2,求 P; (2)若 n 为无穷大，从理论的角度，求 P 的最大值及 P 取最大值时 t 的值.

重庆市名校联盟2023-2024学年高二上学期第二次联考(12月)数学试卷(含答案)

三峡名校联盟2023年秋季联考高2025届数学试卷（答案在最后）命题人：数学测试卷共4页，满分150分、考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线y =的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.90︒D.不存在【答案】B 【解析】【分析】先求出斜率，进而可求出倾斜角.【详解】直线y =，所以其倾斜角为60︒.故选：B .2.已知空间向量()3,2,1a =，则向量a在坐标平面Oxy 上的投影向量是（）A.()3,2,0 B.()3,0,1 C.()0,2,1 D.()0,2,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的定义可得结果.【详解】根根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(3,2,1)a =在坐标平面Oxy 上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变.所以空间向量(3,2,1)a =在坐标平面oxy 上的投影坐标是：(3,2,0).故选：A.3.若双曲线2212y x m -=的焦点与椭圆22134x y +=的长轴端点重合，则m 的值为（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆以及双曲线的几何性质即可求解.【详解】椭圆22134x y +=的长轴端点为(0,2),(0,2)-，所以双曲线的焦点为(0,2),(0,2)-，故242m m +=⇒=，故选：A4.在三棱锥A BCD -中，若BCD △为正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--等于（）A.ABB.2BDC.0D.2DE【答案】C 【解析】【分析】延长DE 交BC 于F ，得F 是BC 中点，32DF DE =，然后由向量的线性运算求解．【详解】延长DE 交BC 于F ，如图，则F 是BC 中点，32DF DE =，1322AB BC DE AD +-- 0AB BF DF AD AB BF FD AD =+--=++-= ，故选：C．5.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.3412x y =+-表示的圆锥曲线为（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对【答案】B 【解析】3412x y =+-51=>判断.3412x y =+-51=>表示：动点(),P x y 到定点()0,0O 的即可与到定直线34120x y +-=的距离的比为5且大于1，所以其轨迹为双曲线，故选：B6.已知圆2221:C x y b +=与椭圆22222:1(0),x y C a b P a b+=>>为椭圆2C 的右顶点，由点P 作圆1C 的两条切线其夹角为60︒，则椭圆2C 的离心率是（）A.12B.2C.2D.32【答案】C 【解析】【分析】由题意作图，由点(,0)P a 作圆1C 的两条切线,PB PC ，则30OPB ∠=︒,得2a b =，进而得2234a c =，即可得出离心率.【详解】圆2221:C x y b +=的圆心1C 即为(0,0)O ，半径为b ，由题意作图，由点(,0)P a 作圆1C 的两条切线,PB PC，∵两条切线其夹角为60︒，∴30OPB ∠=︒,∴2OP OB =，即2a b =，则222244()a b a c ==-，即2234a c =，得2c e a ==，故选：C.7.已知点P 为圆22(1)(2)1x y -+-=上动点，且x =，则m 的最大值为（）A.0B.45C.115D.【答案】B 【解析】【分析】由x =1m =，即求y x 的最小值，数形结合即可求解.【详解】圆22(1)(2)1x y -+-=，圆心(1,2)，半径为1，则[0,2],[1,3]x y ∈∈，当0x =时，2y =，此时0m =，当2(]0,x ∈时，由x =1m =，即求yx的最小值，即圆上的动点与原点连线的斜率最小，结合图形可知，当直线与圆相切时，取得最小值，又斜率不存在时，0x =，则斜率存在，设直线为y kx =1=，解得34k =，则m 的最大值为45.故选：B8.与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示，已知12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，P 是双曲线右支上一点，Q 是12PF F △的一个旁心，如图2所示，直线PQ 与x 轴交于点M ，若2MQ PQ =，则该双曲线的渐近线方程为（）A.32y x =± B.23y x =±C.43y x =±D.34y x=±【答案】A 【解析】【分析】结合题意，运用三角形旁心的定义得出角相等，结合正弦定理，将角度关系转换为边长关系，再结合题意得到a 、b 、c 之间的关系后即可计算渐近线方程.【详解】双曲线221916x y -=中229,16a b ==，所以3,4a b ==，则225c a b =+=，由三角形得旁心的定义可知12,F Q F Q 分别平分12,PF M PF M ∠∠，在1PF Q △中，111sin sin PF PQPQF PFQ =∠∠，在1MF Q 中，111|sin sin MF MQ MQF MF Q=∠∠∣，因为11πPQF MQF ∠+∠=，11PF Q MF Q ∠=∠，所以11sin sin PQF MQF ∠=∠，11sin sin PF Q MF Q ∠=∠，所以11MQ MF PQ PF =，同理可得22MQ MF PQPF =，所以2112211221322MQ MF MF MF MF c c PQPF PF PF PF a a -======-，而2222222133142c a b b b a a a a +==+=⇒=±，故渐近线方程为：32y x =±.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量()()1,1,,2,1,2m b m a =-=--，则下列结论中正确的是（）A.若2a =，则m = B.若a b ⊥，则1m =-C.不存在实数λ，使得a bλ=D.若1a b ⋅=-，则1m =【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的模的计算公式A 正确，根据向量垂直的条件B 错误，以及共线向量的相关判断C 正确，条件根据向量计算基本法则得出D 错误，即可得出答案.【详解】对于A 中,由2,a =可得2,=解得m =,故A 选项正确；对于B 中,由a b ⊥,可得2120m m --++=，解得1m =,故B 选项错误;对于C 中，若存在实数λ，使得a b λ=则()2,,1112m m λλλ-===--显然λ无解，即不存在实数λ，使得a b λ= 故C 选项正确；对于D 中1a b ⋅=-，则2121m m --++=-，解得0m =，故D 错误.故选：AC10.已知圆22:(1)(1)4C x y -+-=与直线20x my m +--=，下列选项正确的是（）A.圆的圆心坐标为()1,1 B.直线过定点()2,1-C.直线与圆相交且所截最短弦长为D.直线与圆可以相离【答案】AC 【解析】【分析】根据圆的标准方程，可判定A 正确；化简直线为2(1)0x m y -+-=，可判定B 不正确；根据圆的性质和圆的弦长公式，可判定C 正确；根据点()2,1P 在圆内，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，由圆22(1)(1)4x y -+-=，可得圆的圆心坐标为()1,1C ，半径为2r =，所以A 正确；对于B 中，由直线20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，令2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，所以直线恒过点()2,1P ，所以B 不正确；对于C 中，由圆心坐标为()1,1C 和定点()2,1P ，可得1d CP ==，根据圆的性质，当直线与CP 垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短，则最短弦长为=C 正确；对于D 中，由直线恒过定点，且1CP r =<，即点()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以D 不正确.故选：AC.11.如图所示几何体，是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90︒得到，G 是圆弧 CE的中点，H 是圆弧 DF 上的动点（含端点），则（）A.存在点H ，使得EH BD ∥B.存在点H ，使得EH BG ⊥C.存在点H ，使得//EH 平面BDGD.存在点H ，使得EH ⊥平面BDG【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由题意可将图形补全为一个正方体，从而可得//BD EM ，推出矛盾；对于B ，由EF ⊥平面BCNE 可判断；对于CD ，建立空间直角坐标系，设出坐标即可计算判断.【详解】由题意可将图形补全为一个正方体ADMF BCNE -，如图所示:对于A ，因为//BD EM ，若//EH BD ，则//EH EM ，又EH EM E ⋂=，则,EH EM 重合，因为H 是圆弧 DF上的动点，,EH EM 不可能重合，所以//EH BD 不成立，故A 错误；对于B ，因为EF ⊥平面BCNE ，BG ⊂平面BCNE ，所以EF BG ⊥，所以当,F H 重合时，有EH BG ⊥，故B 正确；对于C ，以A 为原点建立空间直角坐标系，设2BC =，则(0,0,2)B ，(2,0,0)D，2)G ，(0,2,2)E ，设(,,0)H m n ，必有224m n +=，故BG = ，(2,0,2)BD =- ，(,2,2)EH m n =--，设面BDG的法向量为(,,)n x y z =，则220x z -=，0+=，解得1x =，1y =-，1z =，故(1,1,1)n =-r，若//EH 平面BDG ，则0EH n m n -=⋅=，解得m n ==H 是 DF的中点，故C 正确；对于D ，由选项C 可知，当EH n λ= 时，EH ⊥平面BDG ，则22m n λλλ=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，解得202m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，又0,0m n ≥≥，所以EH n λ= 不成立，所以不存在点H ，使得EH ⊥平面BDG ，故D 错误.故选：BC12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:2C y px =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点()()2,4P m n n m <射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，且2l 经过点Q ，则（）A.当12p =，1n =时，延长AO 交直线14x =-于点D ，则D 、B 、Q 三点共线B.当12p =，1n =时，若PB 平分ABQ ∠，则4116m =C.AOB ∠的大小为定值D.设该抛物线的准线与x 轴交于点K ，则AKF BKF ∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】对AB ，可代入条件求出抛物线方程后计算出相应的点的坐标，A 选项验证三点纵坐标可得，B 选项中结合条件得到AP AB =计算即可得；对CD ，设出直线AB 方程，联立后得出两点横纵坐标关系后，结合斜率与倾斜角的关系即可得.【详解】如图所示：对A 、B 选项：由()()1122,,,A x y B x y ，1l 平行于x 轴的，当12p =，1n =时，1l 过点()(),11P m m >，所以11y =，把1y =代入抛物线的方程2y x =，解得1x =，即()1,1A ，直线AB 经过焦点1,04⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为()1011114y x --=--，即4310x y --=，联立24310x y y x--=⎧⎨=⎩，得24310y y --=，所以1234y y +=，1214y y =-，因为11211,4y y y ==-，所以214y =-，即B 点纵坐标为14-，代入得B 点横坐标2116x y ==，直线AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得1414x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以D 点坐标为11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由光学性质可知BQ 平行于x 轴，则D 、B 、Q 三点纵坐标都相同，所以D 、B 、Q 三点共线，故A 正确；由光学性质可知AP 平行于x 轴，BQ 平行于x 轴，则//AP BQ ，有APB PBQ =∠∠，PB 平分ABQ ∠，有ABP PBQ ∠=∠，所以APB ABP ∠=∠，AP AB ∴=，即25116m -=，得4116m =，故B 正确；对C 、D 选项：设AB 为2px my =+，()11,A x y 、()22,B x y ，由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 得：2220y pmy p --=，0∆>恒成立，有122y y pm +=，212y y p =-，()()1122221x x m y y p m p +=++=+，设AOx α∠=，BOx β∠=，而11tan OA x k y α==，22tan OB k y x β==-，则()21212212121224tan tan 44OA OBy y y y p k k x x y y y y p αβ-=⋅====-，则tan tan 4αβ=，而()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 3AOB αβαβαβαβ++∠=+==--，并不是定值，故C 错误；直线AK 斜率11112AK y y k p my p x ==++，直线BK 斜率22222BK y y k pmy p x ==++21222121211112111222y y p p p p p y y p my y py py mp y mp y y y y y -======++----+11112221111222222py py y y p y p px p my p my p =-=-=-=-+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即AK BK k k =-，因此AKF BKF ∠=∠，故D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线22x y =的焦点F 到准线l 的距离是__________.【答案】1.【解析】【分析】写出焦点坐标与准线方程即可得到答案.【详解】由已知，抛物线的焦点为1(0,)2，准线为=1x -，故抛物线22x y =的焦点F 到准线l 的距离是1.故答案为：1.【点睛】本题考查抛物线的定义，注意焦点到准线的距离为p ，本题是一道基础题.14.已知椭圆22:1167x y C +=的左焦点为,F A B 、是C 上关于原点对称的两点，且90AFB ∠=︒，则ABF △的周长为___________．【答案】14【解析】【分析】设椭圆的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，根据椭圆的对称性可得四边形1AFBF 为矩形，从而可得28AF BF a +==，12AB FF c ==，得出答案.【详解】设椭圆的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，根据椭圆的对称性可得190AF B ∠=︒,即四边形1AFBF 为矩形所以1BF AF =,126AB FF c ====由椭圆的定义可得128AF AF a +==，所以8AF BF +=所以ABF △的周长为：6814AF BF AB ++=+=故答案为：1415.长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,AB AD AAH ===为1AC 的中点，则直线BH 与AD 所成角的余弦值为________.【答案】23【解析】【分析】以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得1(2,0,0),(1,1,2DA BH ==-- ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12,1AB AD AA ===，且H 为1AC 的中点，可得1(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,2D A B H ，则1(2,0,0),(1,1,2DA BH ==-- ，可得32,2,2DA BH DA BH ⋅=-== ，设直线BH 与AD 所成角为θ，可得2cos cos ,3DA BH DA BH DA BH θ⋅=== ，所以直线BH 与AD 所成角的余弦值为23.故答案为：23.16.设A ，B 是半径为8的球体O 表面上两定点，且60AOB ∠=︒，球体O 表面上动点P 满足34AC AB = ，0PA PC ⋅= ，则动点P 的轨迹为________（在直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线选择）则点P 的轨迹长度为________．【答案】①.圆②.243π7【解析】【分析】先再平面AOB 内求得动点P 的轨迹是一个圆，再转化到空间中，点P 的轨迹是一个球，从而得到两球的交线即为点P 的轨迹．【详解】设以AOB 所在的平面建立直角坐标系，AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，(),P x y ，依题意可得8AB =，则()4,0A -，()4,0B ，由34AC AB = ，则()2,0C ，又0PA PC ⋅= ，即()()()224,2,190x y x y x y ---⨯--=++-=，则点P 的轨迹满足22(1)9x y ++=，故点P 轨迹是以()1,0D -为圆心，半径3的圆，转化到空间中，当点P 绕AB 为轴旋转一周时，PA ，PB 不变，依然满足0PA PC ⋅= ，故空间中点P 的轨迹为以D 为球心，半径为3的球，又点P 在球O 上，故点P 在两球的交线上，其轨迹为圆，球心距为222212cos603823872DO AD AO AD AO =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=，在ODP 中，2222228371cos 22832OP PD OD DPO OP PD +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，设DO 边上的高为h ，由等面积法得11sin 22ODP S OD h OP PD DPO =⋅=⋅∠ ,即7832h =⨯⨯，解得7h =，则点P 的轨迹对应圆的半径为17r =，所以点P 的轨迹长度为11232432π2ππ77r =⨯=．故答案为：圆；243π7．【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时，先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时，可直接求圆周长；当截面只是圆的一部分时，先求圆心角的大小，再计算弧长．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C ，点P 到()1,0F 的距离比P 到y 轴的距离大1（其中点P 的横坐标不小于0）.（1）求曲线C 的方程；（2）F 是曲线C 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，求MF .【答案】（1）24y x=（2）32【解析】【分析】（1）设(),,0P x y x ≥，由条件列式化简可得结果；（2）结合焦点坐标可求得点M 的横坐标，利用焦半径公式可求得结果.【小问1详解】设(),,0P x y x ≥，由题意得1PF x =+，即1x =+，整理可得24y x =，即曲线C 的方程为24y x =；【小问2详解】由抛物线方程得：()1,0F ，准线方程为：=1x -，M 为FN 中点，点N 在y 轴上，M ∴点的横坐标为10122+=，由抛物线定义知：13122MF =+=.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E F =,分别是1,BD B C 的中点.（1）求直线1A E 与平面BDF 所成角的正弦值；（2）求点1A 到平面BDF 的距离.【答案】（1）3（2）3【解析】【分析】（1）根据题目建立空间直角坐标系，求出平面BDF 的法向量，然后利用线面夹角正弦值的计算公式求解即可；（2）由（1）得出平面BDF 的法向量和1A E ，然后利用向量直接求解点到面的距离即可.【小问1详解】由题知，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()1,2,1F ，()12,0,2A ，()1,1,0E ，设直线AE 与平面BDF 所成角为θ，平面BDF 的法向量为()(),,,2,2,0n x y z DB == ，()1,0,1BF =-，则00n DB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得2200x y x z +=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1y z =-=，得平面BDF 的一个法向量为()1,1,1n =- ，向量()1,1,2AE =-- ，则sin 3AE n AE nθ⋅==⋅ .【小问2详解】由（1）知，平面BDF 的一个法向量为()1,1,1n =- ，()11,1,2A E =-- ，所以点1A 到平面BDF的距离为13A E n n ⋅==.19.一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心()0,0O 为圆心，半径为400km 的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km 处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km 的速度做匀速直线运动：（1）运输车将在无人区经历多少小时？（2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？【答案】（1）5小时（2）800km【解析】【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果；（2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果.【小问1详解】以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从()600,0A 出发，点N 处开始进入无人区，到M 处离开无人区，则圆O 方程为222400x y +=，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线AB 的斜率3tan1503k =︒=-，则():6003AB l y x =--，即30y +-=，因为O 到AB l 的距离为300km OO '==,则2MN =⨯==，5=小时.【小问2详解】设运输车至少应离火山口km a 出发才安全，此时运输车的行驶直线刚好与圆O 相切，且直线方程为)3y x a =--30y +-=，则O到直线的距离400d ==，解得800a =，即运输车至少应离火山口800km 出发才安全.20.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)2．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线y kx m =+与双曲线C 交于,P Q 两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明：直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2212y x -=（2）证明见解析，定点()2,0-．【解析】【分析】（1）根据题意可得关于,a b 的方程组，解得2a ，2b 即可得到双曲线C 的方程；（2）联立直线PQ 与双曲线C 的方程，结合韦达定理再化简23MP MQ k k ⋅=-得2m k =，即可得出直线PQ 恒过定点()2,0-．【小问1详解】根据题意可得222222221c e a c a b a b ⎧⎪==⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得21a =，22b =，所以双曲线C 的方程为2212y x -=．【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立2212y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2222220k x kmx m -+++=，()22820m k ∆=-+>，12222km x x k -+=-，212222m x x k +=-，又(1,0)M 所以()()()1212121212111MP MQ kx m kx m y y k k x x x x x x ++⋅=⋅=---++()()()222222222121221212222222221122k m k m m k x x km x x m k k m km x x x x k k +-++++--==+-++++--22()()2()2()3k m k m k m k m k m +--===-++，所以2m k =，所以直线PQ 的方程为()2y k x =+，恒过定点()2,0-．21.如图甲，在矩形ABCD中，2AB AD E ==为线段DC 的中点，ADE V 沿直线AE折起，使得DC O =点为AE 的中点，连接DO OC 、，如图乙.（1）求证：DO OC ⊥；（2）线段AB 上是否存在一点H ，使得平面ADE 与平面DHC所成角的余弦值为7？若不存在，说明理由；若存在，求出AH 的长度.【答案】（1）证明见解析（2）存在，2【解析】【分析】（1）结合余弦定理求得||OC ，结合勾股定理即可证明.（2）以E 为原点，,,EA EB l 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，应用向量法即可求解.【小问1详解】取线段AE 的中点O ，连接,DO OC ，在Rt ADE △中，DA DE ==π4DEA ∠=，,1DO AE DO ∴⊥=，在OEC △中，131,π24OE AE EC OEC ∠====，由余弦定理可得：2122152OC =++⨯=，OC ∴=，在DOC △中，2226==+DC DO OC ，DO OC ∴⊥；【小问2详解】因为,,,DO AE DO OC AE OC O DO AE ⊥⊥=⊂ 、平面,90ABCE AEB ∠=︒，所以DO ⊥平面ABCE ，过E 作DO 的平行线l ，以E 为原点，,,EA EB l 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()1,0,1,1,1,0,2,0,0,0,2,0D C A B -，平面ADE 的法向量()10,1,0n = ，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 的方程为2x y +=，设H 的坐标为()[],2,0,0,2t t t -∈，则()()1,1,0,2,1,1HC t t DC =---=-- ，设平面DHC 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，220,0n HC n DC ⋅=⋅= 所以()()110,20t x t y x y z --+-=-+-=，令1y t =+，则()21,3,1,1,3x t z t n t t t =-=-∴=-+- ，由已知121212cos ,7n n n n n n ⋅〈==〉 ，解之得：32t =或4（舍去），3111,,0,,,0,22222H AH AH ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,，A B 、为椭圆C 的左右顶点，P 为椭圆C 上不同于,A B 的动点，直线,PA PB 的斜率为12,k k 满足1289k k ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）1F 为椭圆C 的左焦点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，记1F MN △的内切圆半径为r ，求r 的取值范围.【答案】（1）22198x y +=（2）80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据点P 在椭圆上及1289k k ⋅=-，得2289b a -=-；再根据椭圆的几何性质可得b =，计算得：29a =即可得出椭圆的方程.（2）先联立直线l 与椭圆C 的方程，表示1MN F S 并变形化简；再通过构造函数，利用函数单调性得出1MNF S范围；最后利用等面积法表示出1MN F S ，即可求出内切圆半径r 的取值范围.【小问1详解】由A B 、为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，得(),0A a -，(),0B a .设点P 坐标为()00,x y .因为P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上不同于,A B 的动点∴22000221()x y x a a b +=≠±，即()2222002b y a x a=-.又 1289k k ⋅=-，00120202200y y k k x a x y x a a ⋅=⋅--=+，∴2289b a -=-.由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,，得：b =.∴29a =，28b =.所以椭圆方程为：22198x y +=.【小问2详解】由题意得：直线l 的斜率不为0；()11,0F -，()21,0F ；且1226NF NF a +==，1226MF MF a +==.设直线l 方程为：1x ty -=，设()()1122,,,M x y N x y .联立方程组221981x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，整理得：()228916640t y ty ++-=.则2122122Δ1016896489t t y y t y y t ⎧⎪=+>⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，∴1121212F MN S F F y y =⨯⨯-△12122y y =⨯-=====++481=+.令1u =≥，函数18y u u =+在[)1,+∞上单调递增，则189u u+≥，所以48160,138u u⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，即1160,3F MN S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦△.因为三角形1F MN 的内切圆半径为r ，所以由等面积法得：()1111142622F MN S NF MF MN r a r ar r =⨯++⨯=⨯⨯==△，则16F MNS r =△.所以80,9r ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.。

重庆市名校联盟2021-2022学年高二上学期第一次联合考试数学试题 Word版含答案

秘密★启用前重庆市名校联盟2021－2022学年度第一次联合考试数学试题（高2023届）（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点N 为BC 的中点，点M在线段OA 上，且OM ＝2MA ，则MN =（）A .121233a b c -- B .111322a b c -++ C .211323a b c -+ D .211322a b c -++2.直线360x -=的倾斜角为（）A .23π B .3π C .6πD .56π 3.已知直线1:10l mx y +-=与直线2:10l x my +-=相互垂直，则实数m 的值是（） A .0 B .1 C .－1 D .1±4.倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2021的直线方程是（） A .20210x y --= B .20210x y -+= C .20210x y +-= D .20210x y ++=5.一束光线，从点A （－3，3）出发，经x 轴反射到圆C ：（x －5）2＋（y －5）2＝4上的最短路径的长度是（）A .2B .2C .2D .26.已知两条异面直线的方向向量分别是(3,1,2),(3,2,1)u v =-=--，则这两条异面直线所成的角θ满足（） A .9sin 14θ=B .1sin 4θ=C .9cos 14θ=D .1cos 4θ=7.已知⊙0的圆心是坐标原点O ，且被直线0x +=截得的弦长为6，则⊙O 的方程为（）A .224x y +=B .228x y +=C .2212x y +=D .2216x y += 8.已知双曲线C 的焦点为12(2,0),(2,0)F F -，点A 在C 上，且关于原点O 的对称点为B ，||AB =12F F ，四边形12AF BF 的面积为6，则双曲线C 的方程为（）A .2213x y -=B .2213y x -= C .222x y -= D .2213y x -=二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{,,}MA MB MC 成为空间的一个基底的是（）A .111345OM OA OB OC =++ B .2MA MB MC =+ C .23OM OA OB OC =++ D . 32MA MB MC =- 10.已知直线:20l kx y k -+=和圆22:9O x y +=，则（） A .直线l 恒过定点（2，0）B .存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C .直线l 与圆O 相交D .若k ＝－1，直线l 被圆O 截得的弦长为11.已知直线l 经过点（3，5），且点A （－2，3），B （4，－1）到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（）A .23210x y +-=B .210x y --=C .220x y ++=D .2360x y -+=12.如图，P 为椭圆221:186x y C +=上的动点，过P 作1C 的切线交圆222:24C x y +=于M ，N ，过点M ，N 作2C 的切线交于点Q ，则（）A .OPQSB .OPQSC .Q 的轨迹方程是2213648x y +=D .Q 的轨迹方程是2217296x y +=第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点A （－2，－2），B （a ，2）且||5AB =，则a 的值为．14.已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y －m ＝0，其中m ∈R ，如果圆C 与圆x 2＋y 2＝1相外切，则m 的值为．15.已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0内有点M （3，1），则以点M 为中点的圆C 的弦所在的直线方程为．16.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截而得到的，若AB ＝4，BC ＝2，13CC =，BE ＝1，则（1）||BF = ；（2）点C 到平面1AEC F 的距离为．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知点A （5，－1）关于x 轴的对称点为()11,B x y ，关于原点的对称点为()22,C x y ．（Ⅰ）求△ABC 中过AB ，BC 边上中点的直线方程；（Ⅱ）求△ABC 的面积． 18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆N 过点（－1，0），（1，0），且圆心N 在直线l ：x ＋y －1＝0上；圆M ：22(3)(4)8x y ++-=．（Ⅰ）求圆N 的标准方程，并判断圆M 与圆N 的位置关系；（Ⅱ）直线MN 上是否存在点B ，使得过点B 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为T ，S （不重合），满足BS ＝2BT ？若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由． 19.（本小题满分12分）如图，AP 是圆柱的母线，正△ABC 是该圆柱的下底面的内接三角形，D ，E ，F 分别为BC ，PB ，AB 的中点，G 是EF 的中点，且AP ＝AC ．（Ⅰ）求证：DG ∥平面P AC ；（Ⅱ）求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）已知双曲线C 与椭圆221126x y +=有相同的焦点，(P -是C 上一点．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记C 的右顶点为M ，与x 轴平行的直线l 与C 交于A ，B 两点，求证：以AB 为直径的圆过点M ．21.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AB ＝2AD ＝2DC ．（Ⅰ）证明：平面P AD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若M 是PB 的中点，求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，其长轴为8，过椭圆上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与x ，y 轴的交点分别为E 、Q ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求△EOQ 面积的最小值．重庆市名校联盟2021－2022学年度第一次联合考试数学试题参考答案（高2023届）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.∵N 为BC 的中点，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，且,,OA a OB b OC c ===，11111,,()()33222MA OA a AB OB OA b a BN BC OC OB c b ∴===-=-==-=-，11211()32322MN MA AB BN a b a c b a b c ∴=++=+-+-=-++，故选D ．2.直线360x -=的方程转换为y =+，所以tan θ=，由于(0,)θπ∈，所以23πθ=，故选A ． 3.因为直线1:10l mx y +-=与直线2:10l x my +-=相互垂直，所以mx 1＋1xm ＝0，解得m ＝0，即实数m 的值是0，故选A ．4.因为倾斜角为45°，所以直线的斜率为k ＝tan45°＝1，又在y 轴上的截距为2021，所以所求直线的方程为y ＝x ＋2021，即x －y ＋2021＝0，故选B ．5.如图1，由圆C 的方程可得圆心坐标C （5，5），半径r ＝2，设A 点关于x 轴对称点(3,3)A --'，连接A C '交x 轴于Q 点，交圆C 于P 点，则A P '为所求的最短距离，证明如下：任取x 轴上一点Q ，则AQ QP A Q QP A P ++''=，当且仅当,,A Q P '三点共线时取等号，所以22A P A C r ''=-==，故选A ．6.∵两条异面直线的方向向量分别是(3,1,2),(3,2,1),33(1)u v u v =-=--∴⋅=⨯+-⨯2(2)2(1)9,||3(u -+⨯-==+=，2||3(v =+-=，，又两条异面所成的角为θ，则||99cos |cos ,|||||1414u v u v u v θ⋅=<>===⋅⋅，故选C ．7.∵⊙O 的圆心是坐标原点O ，且被直线0x -+=截得的弦长为6，设⊙O 的方程为x 2＋y 2＝r 2，则弦心距为22262d r ⎛⎫==∴+= ⎪⎝⎭，解得r 2＝12，可得圆的标准方程为x 2＋y 2＝12，故选C ．8.∵原点O 分别为AB 和12F F 的中点，∴四边形12AF BF 为平行四边形，又12||AB F F =，∴四边形12AF BF 为矩形，∵四边形12AF BF 的面积为6， 126AF AF ∴=，又222222121212121216,||2,42AF AF F F AF AF a a AF AF AF AF +==-=∴=+-=16－12＝4，解得a 2＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为2213y x -=，故选B ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.对于A ，因为111345OM OA OB OC =++，且1111345++≠，利用平面向量基本定理可知：点M 不在平面ABC 内，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；对于B ，因为2MA MB MC =+，利用平面向量基本定理可知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成一个空间基底；对于C ，由23,1231OM OA OB OC =++++≠，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法可知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；对于D ，由32MA MB MC =-，根据平面向量的基本定理可知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成空间的一个基底，故选AC ．10.直线:20l kx y k -+=，即(2)0k x y +-=，则直线恒过定点（－2，0），故A 错误；当k ＝－2时，直线:20l kx y k -+=与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确：∵定点（－2，0）在圆O ：x 2＋y 2＝9内部，∴直线l 与圆O 相交，故C 正确：当k ＝－1时，直线l 化为－x －y －2＝0，即x ＋y ＋2＝0，圆心O 到直线的距离d ==l 被圆O 截得的弦长为=D 正确，故选BCD ．11.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为y －5＝k （x －3），即kx －y ＋5－3k ＝0，∵点A （－2，3），B （4，－1）到直线l 的距离相等，=，解得23k =-或k ＝2，当23k =-时，直线l 的方程为25(3)3y x -=--，整理得2x ＋3y －21＝0，当k ＝2时，直线l 的方程为y －5＝2（x －3），整理得2x －y －1＝0.综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －21＝0或2x －y －1＝0，故选AB ．12.设()(),,,p p Q Q P x y Q x y ，则:186P P MN x yl x y +=，即3424p p x x y y +=，过M ，N 作2C 切线交于Q ，则:24MN Q Q l x x y y +=，所以3,4Q P Q P x x y y ==，即,34Q Q P P x y x y ==，因为点P 为椭圆221:186x y C +=上的动点，所以2234186Q Q x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，可得点Q 的轨迹方程为2217296x y +=，故C 错误・D 正确；因为()(),,3,4P P P P OP x y OQ x y ==，所以()222222Δ111||sin ||||1cos ||||()2OPQ S OP OQ POQ OP OQ POQ OP OQ OP OQ ∠∠==-=-⋅12P P x y ===，因为2222128648P P P P xy x y +=p p y =，所以23P P x y ，所以3OPQS，即OPQS的最A 正确，B 错误，故选AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.∵点A （－2，－2），B （a ，2），且||5,5,1AB a ==∴=或5a =-．14.由圆C ：x 2＋y 2－6x －8y －m ＝0，可得（x －3）2＋（y －4）2＝25＋m ，则圆心C （3，4），半径r =，由圆x 2＋y 2＝1，可得圆心（0，0），半径R ＝1，因为两圆外切，则1=+m ＝－915.圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，即（x －2）2＋y 2＝4，则圆心C （2，0），所以直线MC 的斜率为10132k -==-，则以点M 为中点的圆C 的弦所在的直线的斜率为1k '=-，所以所求直线的方程为y －1＝－1×（x －3），即x ＋y －4＝016.如图2，以D 为原点，DA ，DC ，DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，D 0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），1C （0，4，3）（1）设F （0，0，a ），由1AF EC =，得(2,0,)(2,0,2),2a a -=-∴=，(0,0,2),(2,4,2),||26F BF BF ∴=--∴=．（2）设(,,)n x y z =为平面1AEC F 的法向量，由0n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得40220y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取z ＝1，则11,,14n ⎛⎫=-⎪⎝⎭，又1(0,0,3),CC C =∴到平面1AEC F 的距离1433||11CC n d n ⋅==．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵点A （5，－1）关于x 轴的对称点为()11,,(5,1)B x y B ∴，………………（1分）又∵点A （5，－1）关于原点的对称点为()22,,(5,1)C x y C ∴-，………………（2分） ∴AB 的中点坐标是（5，0），BC 的中点坐标是（0，1）．………………（4分）过（5，0），（0，1）的直线方程是051005y x --=--，整理得x ＋5y －5＝0………………（6分）（Ⅱ）由题意知|||1(1)|2,|||55|10,AB BC AB BC =--==--=⊥，………………（8分）∴△ABC 的面积11||||2101022S AB BC =⋅=⨯⨯=．………………（10分） 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，圆N 的圆心N 也在直线x ＝0上，联立100x y x +-=⎧⎨=⎩，解得x ＝0，y ＝1，∴N （0，1），半径为||r NA ==2分）圆N 的标准方程为x 2＋（y －1）2＝2，又||NM ==4分）而||M N r r MN +===， ∴圆M 与圆N 相外切．………………（6分）（Ⅱ）∵N （0，1），M （－3，4），直线MN 的方程为x ＋y －1＝0，………………（7分）设直线MN 上是存在点B 满足题意，设B （a ，1－a ），由BS ＝2BT 可知，BS 2＝4BT 2，即BN 2－2＝4（BM 2－8），所以BN 2＝4BM 2－30，………………（9分）即a 2＋（1－a －1）2＝4[（a ＋3）2＋（1－a －4）2]－30，整理得a 2＋8a ＋7＝0，解得a ＝－1或a ＝－7，∴B （－1，2）或（－7，8），……………………（11分）当B （－1，2）时，点B 为圆N 与圆M 的公切点，此时T ，S ，B 重合，不符合题意．∵存在点B （－7，8），满足BS ＝2BT ．………………（12分） 19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图3，连接DE ，∵E ，F 分别为PB ，AB 的中点，∴，EF ∥P A ，PA ⊂平面P AC ，EF ⊄平面P AC ，∴EF ∥平面P AC ，………………（2分）∵D ，E 分别为BC ，PB 的中点，∴DE ∥PC ，PC ⊂平面P AC ，DE ⊄平面P AC ，∴DE ∥平面P AC ，………………（4分）又,EF DE ⊂平面DGE ，且EF DE E ⋂=， ∴平面DEG ∥平面P AC ，而DG ⊂平面DEG ， ∴DG ∥平面P AC ．………………（6分）（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，分别以AD ，AP 所在直线为y 、z 轴建立空间直角坐标系， ∵△ABC 是正三角形，且AP ＝AC ，不妨设AP ＝4，(0,0,4),(0,(2,P D B G ∴．(2,23,4),(2,0,0),(1,PB DB DG =-==-．……………………（8分）设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则24020n PB x z n DB x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩取y ＝1，则0,1,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．………………（10分）设直线DG 与平面PBC 所成角为θ，则|||sin |cos ,||1n DG n DG n DG θ-⋅=<>===∣， ∴直线DG 与平面PBC 12分） 20.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由已知设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由已知得a 2＋b 2＝12－6＝6，且22961a b-=，解得a 2＝b 2＝3，∴双曲线C 的方程为22133xy -=．……………………（4分）（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y ＝m （m≠0），与x2－y 2＝3联立解得x =x = 不妨设()),A m Bm ，由（Ⅰ）知点M ，……………………（7分）∴AM ，BM的斜率分别为AM BM k k ==，1AM BM k k ∴==-，………………（10分）所以AM ⊥BM ，故以AB 为直径的圆过点M ．……………………（12分）21.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，∵P A ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴AP ⊥DC ，由题设知，AD ⊥DC ， AP AD A ⋂=，由此得DC ⊥平面P AD ，又DC ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD ．……………………（3分）（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由于P A ＝AB ＝2AD ＝2DC ，设P A ＝2，则A （0，0，0），B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，2），M （0，1，1），则(1,1,0),(0,1,1),(0,1,1),(1,1,0)AC AM BM BC ===-=-，………………（6分）设平面AMC 的一个法向量为()1111,,n x y z =，11111100n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，得1(1,1,1)n =-；………………（8分）设平面BMC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，22222200n BC x y n BM y z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，取21x =，得2(1,1,1)n =．……………………（10分） 121212111cos ,33n n n n n n ⋅-∴=><==⨯，∴平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值为13．………………（12分） 22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2a ＝8，得a ＝4，2c e c b a ==∴==． ∴椭圆方程为221164x y +=．（Ⅱ）设点椭圆上点P 坐标为()00,x y ，切点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， ∵直线AP ，BP 为圆O 的两切线，圆O 方程为x 2＋y 2＝4………………（4分）0OA AP ∴⋅=，()0101,,(,)AP x x y y OA x y =--=， ()()1011010OA AP x x x y y y ∴⋅=-+-=，得到：221010114x x y y x y ⋅+⋅=+=，即10104x x y y ⋅+⋅=，同理可得20204x x y y ⋅+⋅=，………………（6分）所以点()()1122,,,A x y B x y 同时满足直线方程004x x y y ⋅+⋅=，即直线AB 方程为：004x x y y ⋅+⋅=，……………………（8分）令x ＝0，得Q 点坐标为040,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令y ＝0，得E 点坐标为040,x ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001162EOQSx y =⋅，…………………………（10分）因为P 在椭圆上，22220000001,11641644x y x y x y ∴+==+，即EOQ S 最小值为2，当002x y ==12分）。

2021-2022学年重庆市九校联盟高二(上)联考数学试卷(12月份)(附详解)

2021-2022学年重庆市九校联盟高二（上）联考数学试卷（12月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若直线x +2y =0与直线mx −y +5=0垂直，则m =( )A. 1B. 2C. −1D. −22. 双曲线x 2−y 25=1的离心率为( )A. √5B. 2C. √6D. 33. 已知{a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ }是空间的一个基底，下列不能与m ⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，n ⃗ =b ⃗ −c ⃗ 构成空间的另一个基底的是( ) A. a⃗ −c ⃗ B. a⃗ +c ⃗ C. a ⃗ +b ⃗ D. a ⃗ +b ⃗ +c ⃗4. 设直线l 经过圆x 2+y 2−6x +4y =0的圆心和点(4,2)，则l 的一个方向向量的坐标可以为( )A. (−1,4)B. (−1,3)C. (−1,−3)D. (−1,−4)5. 下列四个椭圆中，形状最扁的是( )A. x 220+y29=1 B. x 220+y210=1 C. x 220+y211=1 D. x 220+y212=1 6. 若点P 是双曲线C ：x 29−y 216=1上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则“|PF 1|=6”是“|PF 2|=12”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点M(4,y 0)为C 上一点，若|MF|=2y 0，则C 的准线方程为( )A. x =−2B. y =−2C. x =−3D. y =−38. 在空间直角坐标系O −xyz 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)，平面α的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，则平面α与平面ABC 夹角的正弦值为( ) A. √336B. √36C. √34D. √134二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）A. 直线MN 的倾斜角为45°B. 点M 到直线3x −4y =0的距离为1C. 点N 在直线x +2y −10=0上D. 直线x −y +1=0与直线MN 平行10. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)，BE ⊥平面BCD ，则( )A. 点A 到平面BCD 的距离为23B. AB 与平面BCD 所成角的正弦值为√26C. 点A 到平面BCD 的距离为13D. AB 与平面BCD 所成角的正弦值为√3611. 若双曲线C ：x 2a2−y 24=1(a >0)与圆M ：x 2+y 2=4有4个交点，则C 的渐近线方程可能为( )A. y =±65xB. y =±54xC. y =±23xD. y =±43x12. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2.点M 为C 上不在坐标轴上的任意一点，且MA 1，MA 2，MB 1，MB 2四条直线的斜率之积大于19，则C 的离心率可以是( )A. √33B. √63C. 23D. √73三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：______.(用一般式方程表示)①倾斜角为30°； ②不经过坐标原点．14. 已知椭圆的面积等于πl4，其中l 是椭圆长轴长与短轴长的乘积，则椭圆x 22+y 28=1的面积为______．15. 在正四面体ABCD 中，AB =2，若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 16. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线的一部分．该桥的高度为ℎ米，跨径为1米，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______米．(结果用ℎ，l 表示)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)求直线3x−4y+1=0与x+y−2=0的交点的坐标；(2)求两条平行直线3x−4y−6=0与3x−4y+14=0间的距离．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M，N和P分别是CC1，BC和A1B1的中点．(1)证明：PN//平面ACC1A1；(2)求异面直线AN与PM所成角的余弦值．19.已知F(1−p,0)为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点．(1)求C的方程；)，求直线l的方程．(2)若直线l与交C于M，N两点，且弦MN的中点为A(1,1220.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面为直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA=AD，E为PD的中点．(1)证明：AE⊥平面PCD．AB，求二面角B−PC−D的大小．(2)若AD=CD=1221.已知圆M经过函数y=x2−6x+5的图象与坐标轴的3个交点．(1)求圆M的标准方程；(2)若点P为圆N：x2+(y−2)2=1上一动点，点Q为圆M上一动点，点A在直线y=22. 已知点P 是一个动点，A(−2√2,0)，B(2√2,0)，|PA|−|PB|=4.动点P 的轨迹记为Ω． (1)求Ω的方程．(2)设T 为直线x =1上一点，过T 的直线l 与Ω交于C ，D 两点，试问是否存在点T ，使得TC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OT2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求T 的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为直线x+2y=0与直线mx−y+5=0垂直，所以1×m+2×(−1)=0，解得m=2．故选：B．由直线的垂直关系可得关于m的方程，求解即可．本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】C=1中a=1，b=√5，【解析】解：因为双曲线x2−y25所以c=√a2+b2=√6，=√6．所以e=ca故选：C．结合双曲线的性质先求出c，然后结合离心率公式即可求解．本题主要考查了双曲线的性质的简单应用，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由m⃗⃗⃗ =a⃗−b⃗ ，n⃗=b⃗ −c⃗，两式相加可得m⃗⃗⃗ +n⃗=(a⃗−b⃗ )+(b⃗ −c⃗ )=a⃗−c⃗，所以得a⃗−c⃗与m⃗⃗⃗ ，n⃗是共面向量，故a⃗−c⃗不能与m⃗⃗⃗ =a⃗−b⃗ ，n⃗=b⃗ −c⃗构成空间的另一个基底．故选：A．根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．本题考查了空间向量的共面定理与应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：因为圆x2+y2−6x+4y=0的圆心为(3,−2)，则l的斜率为k=2−(−2)4−3=4，方向向量的坐标可以为(−1.−4)．故选：D．由圆的方程求出圆心坐标，求出直线斜率，即可求出直线方向向量本题考查圆的一般方程，考查学生的运算能力，属于容易题．5.【答案】A【解析】解：由备选答案可得a相同，当椭圆的离心率越大，椭圆最扁，而e=ca =√1−b2a2，所以b越小，离心率越大，故选：A．由椭圆的离心率越大，椭圆越扁，由a，b，c的关系，当a不变时b越小，离心率越大，故选出正确答案．本题考查椭圆的形状与a，b的关系，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：双曲线C：x29−y216=1，由双曲线的定义可知||PF1|−|PF2||=2a，由双曲线的标准方程得，||PF1|−|PF2||=6，由|PF1|=6可推出|PF2|=0(舍去)或|PF2|=12，所以“|PF1|=6”推出“|PF2|=12”；反之，由|PF2|=12可推出|PF1|=6或18，则“|PF1|=6”是“|PF2|=12”的充分不必要条件．故选：C．根据题意结合双曲线的定义可得||PF1|−|PF2||=6，由|PF1|=6可推出|PF2|=0或12，反之，由|PF2|=12可推出|PF1|=6或18，再利用必要条件，充分条件的定义，即可得出答案．本题考查充分必要条件，解题中注意双曲线的定义的应用，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由抛物线的定义及其性质可知，|MF|=y 0+p2=2y 0， ∴y 0=p2， ∴42=2py 0， ∴p =4，即x 2=8y ， ∴C 的准线方程为：y =−2．故选：B ．由抛物线的性质以及|MF|=2y 0，可得p 的值，进而解出C 的准线方程．本题考查了抛物线的定义及其性质，学生的数学运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)，设平面ABC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，可得{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −y =0n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +z =0，不妨x =1，则y =1，z =2，所以n⃗ =(1,1,2) 又平面α的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，平面α与平面ABC 夹角的余弦函数值：√1+1+4⋅√1+1=√36，平面α与平面ABC 夹角的正弦值为：√336．故选：A ．求出平面ABC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值，然后求解平面α与平面ABC 所成角的正弦值．本题考查空间角的求法，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是基中档题．9.【答案】AB【解析】解：因为M(1,2)，N(3,4)，所以k MN =4−23−1=1，所以直线MN 的倾斜角为45°，故A 正确；点M 到直线3x −4y =0的距离为√32+42=1，故B 正确；因为3+2×4−10=1≠0，故点N(3,4)不在直线x +2y −10=0上，故C 错误；故选：AB ．由斜率公式可求得k MN ，从而可得直线MN 的倾斜角，可判断A ；由点到直线的距离公式可判断B ；将点N 的坐标代入直线方程即可判断C ；由点斜式方程求出MN 即可判断D ．本题主要考查直线的倾斜角，点到直线的距离公式，点与直线的位置关系的判断，两直线位置关系的判断，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)，BE ⊥平面BCD ，所以点A 到平面BCD 的距离：|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√4+1+4=13，所以A 不正确；C 正确； AB 与平面BCD 所成角的正弦值为：|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2⋅3=√26，所以B 正确，D 错误；故选：BC ．利用点到平面的距离判断A 、C 的正误；直线与平面所成角求解AB 与平面BCD 所成角的正弦值判断B 、D 的正误即可．本题列出空间直线与平面所成角的求法，点、线、面距离的求法，是中档题．11.【答案】ABD【解析】解：双曲线C ：x 2a 2−y 24=1(a >0)与圆M ：x 2+y 2=4有4个交点，可得a <2，所以双曲线的渐近线方程为：y =±2a x ，2 a >1，所以选项ABD 正确．故选：ABD ．利用双曲线与圆有个交点，推出a 的范围，然后求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想，计算能力，是中档题．12.【答案】AC【解析】解：设M(s,t)为椭圆C 上不在坐标轴上的任意一点，椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，∴s 2a 2+t 2b 2=1，t 2=b 2a 2(a 2−s 2)，s 2=a 2b 2(b 2−t 2)， k MA 1⋅ k MA 2⋅k MB 1⋅k MB 2=t s+a⋅t s−a⋅t−b s⋅t+b s=t 2s 2−a2⋅t 2−b 2s 2，=b 2a 2(a 2−s 2)s 2−a 2⋅t 2−b 2a 2b 2(b 2−t 2)=(b 2a 2)2>19，则a 2<3b 2，所以a <√3b ，∴e =ca=√a 2−b 2a 2<√63，故选：AC ．求得四条直线的斜率，由斜率乘积，转化求得a 和b 的关系，即可求得椭圆离心率；本题考查椭圆的简单几何性质，直线的斜率公式，考查计算能力，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．13.【答案】x −√3y +1=0(答案不唯一)【解析】解：由①可得直线的斜率k =tan30°=√33，由②可得直线y =√33x +b 中的b ≠0，可得直线的一个方程为y =√33x +√33，即x −√3y +1=0．故答案为：x −√3y +1=0(答案不唯一)．由①可得直线的斜率k =√33，由②可得直线y =√33x +b 中的b ≠0，即可求解．本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】4π【解析】解：椭圆x 22+y 28=1，可得2a =4√2，2b =2√2，所以椭圆x 22+y 28=1的面积为：π×4ab 4=π×4√2×2√24=4π．故答案为：4π．求出椭圆的长轴长，短轴长，利用椭圆的面积公式求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．15.【答案】6【解析】解：AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×2cos π3+2×2cos π3=6，故答案为：6．利用向量关系，结合向量的数量积转化求解即可．本题考查空间向量的数量积的运算，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】l 28ℎ【解析】解：根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，该抛物线方程可写为x 2=−2py(p >0)．∵该抛物线经过点(l 2,−ℎ)，代入抛物线方程可得l 24=2ℎp ，解得p =l 28ℎ． ∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为：l 28ℎ．故答案为：l 28ℎ．根据题意建立一个平面直角坐标系，然后根据桥形的特点写出对应的抛物线方程，再将已知点(l2,−ℎ)代入抛物线方程解出p 的值，而桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p ．本题主要考查抛物线在实际中的应用，考查了抛物线的基础知识．本题属基础题． 17.【答案】解：(1)联立{3x −4y +1=0,x +y −2=0,得{x =1,y =1,故所求交点的坐标为(1,1)．(2)两条平行直线3x −4y −6=0与3x −4y +14=0间的距离d =|−6−14|√32+(−4)2=205=4．【解析】(1)联立直线方程，组成方程组，求解即可得到交点坐标．(2)利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查平行线之间距离公式的应用，交点坐标的求法，是基础题．18.【答案】(1)证明：取AC 的中点D ，连接ND ，A 1D .因为N 和P 分别是BC 和A 1B 1的中点，所以ND//AB ，ND =12AB ，A 1P =12A 1B 1，因为A 1B 1//AB ，所以ND =A 1P ，ND//A 1P ，所以四边形NDA 1P 为平行四边形，则PN//A 1D .因为PN ⊄平面ACC 1A 1，A 1D ⊂平面ACC 1A 1，所以PN//平面ACC 1A 1．(2)解：以点A 为坐标原点，分别以AC ，AA 1，AB 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0,0)，M(2,1,0)，N(1,0,1)，P(0,2,1)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−1)，所以cos <AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√6=√36，故A N 与PM 所成角的余弦值为√36．【解析】(1)取AC 的中点D ，连接ND ，A 1D ，推导出四边形NDA 1P 为平行四边形，从而PN//A 1D ，由此能证明PN//平面ACC 1A 1．(2)以点A 为坐标原点，分别以AC ，AA 1，AB 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法能求出AN 与PM 所成角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)因为抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为(p 2,0)，所以1−p =p 2，解得p =23，故C 的方程为y 2=43x ．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{y 12=43x 1,y 22=43x 2, 两式相减得(y 1+y 2)(y 1−y 2)=43(x 1−x 2)，所以k l =y 1−y 2x 1−x 2=43(y 1+y 2)，因为y 1+y 2=2×12=1，所以k l =43．故直线l 的方程为y −12=43(x −1)，即y =43x −56．【解析】(1)利用抛物线的焦点坐标，列出方程，求解p ，得到抛物线方程．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)利用平方差法．求解直线的斜率，然后求解直线l 的方程．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以CD ⊥PA ．又CD//AB ，AD ⊥AB ，所以CD ⊥AD ．因为AD ∩PA =A ，所以CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥AE ．因为PA =AD ，E 为PD 的中点，所以AE ⊥PD ．又CD ∩PD =D ，所以AE ⊥平面PCD ．(2)解：以A 为坐标原点，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ，设AD =2，则P(0,0,2)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，E(1,0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0),PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)．设平面PCB 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x −2y =0,4y −2z =0,令x =1，得n⃗ =(1,1,2)．由(1)知，平面PCD 的一个法向量为AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，则cos〈n ⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=3√6×√2=√32，由图可知，二面角B −PC −D 为钝角，所以二面角B −PC −D 的大小为5π6．【解析】(1)利用线面垂直的判定定理进行证明即可．(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再求夹角即可．本题考查利用向量法解决立体几何的问题，考查了学生的运算运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为函数y =x 2−6x +5的图象与坐标轴的3个交点分别为B(0,5)，C(1,0)，D(5,0)，所以可设M(3,b)，由|MB|=|MC|，得√9+(b −5)2=√4+b 2，解得b =3，则|MC|=√13，故圆M 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=13．(2)设圆N 关于直线y =−2对称的圆为圆E ，则圆E 的方程为x 2+(y +6)2=1．设A(x,−2)，则当A ，E ，M 三点共线时，|AP|+|AQ|取得最小值，且|AP|+|AQ|的最小值为|ME|−√13−1=√92+32−√13−1=3√10−√13−1，此时，k ME =k AE ，即3+63=−2+6x ，解得x =43，故点A 的横坐标为43．【解析】(1)求出函数y =x 2−6x +5的图象与坐标轴的3个交点分别为B(0,5)，C(1,0)，D(5,0)，然后求解圆的圆心与半径，然后推出圆的方程．(2)求出圆N 关于直线y =−2对称的圆E 的方程．设A(x,−2)，则当A ，E ，M 三点共线时，|AP|+|AQ|取得最小值，利用斜率相等，求解A 的横坐标即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)因为|AB|=4√2>4，且|PA|−|PB|=4，所以P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支．由2a =4，2c =4√2，得a =2，c =2√2，b 2=c 2−a 2=4，所以Ω的方程为x 24−y 24=1(x ≥2)．(2)设T(1,t)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，设直线CD 的方程为y −t =k(x −1)，即y =kx +t −k ，联立{y =kx +t −k,x 2−y 2=4,得(k 2−1)x 2+2k(t −k)x +(t −k)2+4=0，则Δ=4k 2(t −k)2−4(k 2−1)[(t −k)2+4]>0，且x 1+x 2=2k 2−2ktk 2−1>0，x 1x 2=(t−k)2+4k 2−1>0，所以TC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|TC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|TD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=(1+k 2)⋅|x 1−1|⋅|x 2−1|=(1+k 2)⋅|x 1x 2−(x 1+x 2)+1|=(t 2+3)(1+k 2)k 2−1．假设存在点T 满足TC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅TD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OT 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(t 2+3)(1+k 2)k 2−1=t 2+1，整理得t 2+k 2+2=0，但t 2+k 2+2≥2>0，所以假设不成立，故不存在满足题意的点T ．【解析】(1)判断P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支．然后求解Ω的方程即可．(2)设T(1,t)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，设直线CD 的方程为y −t =k(x −1)，联立直线与双曲线方程，利用判别式以及韦达定理，结合向量的数量积判断求解即可．本题考查轨迹方程的求法，斜率的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

名校联盟2020-2021学年高二上学期12月联合考试——数学(理)

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重庆市三峡名校联盟2020-2021学年高二上学期12月联考数学试题
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.。

1．已知集合{}{}
=2,1,0,1,2,=|21A B x R y x --∈=- ，则A B ⋂=（） A ．{}0,1 B ．{}0,1,2 C ．{}1,2 D ．{}1
2．斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为（） A ．22y x =- B ．21y x =- C ．21y x =+ D ．22y x =+ 3．设0a b <<，则下列不等式中不．成立的是（） A ．
11a b a >- B ．11
a b
> C ．a b >- D ．a b ->- 4．在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则BE =（）
A ．3144A
B A
C - B ．1344AC AB - C ．3144AB AC +
D ．1344
AB AC +
5．函数()x x
e e
f x x
--=的图象大致是（）
6．若直线1:220l ax y +-=与直线()()2
2:110l x a y a +-++=平行，则a 的值为（）
A ．1a =-
B ．2a =
C ．21a a =-=或
D ．21a a ==-或
7．张衡（78年~139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家。

他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五。

已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 31
-，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（）
A ．9
B ．9.42
C 3
104
D ．310 8．设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上一点，
()1212,13,2
PF PF F PF π
λλ=≤≤∠=
，则椭圆离心率的取值范围为（）
A ．2⎛
⎥⎝
⎦ B ．25⎡⎢⎢⎥⎣⎦
C ．210⎡⎢⎢⎥⎣⎦
D ．10⎡⎫⎪⎢⎪⎢⎣⎭
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

9．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（） A ．若//,m αβα⊂，则//m β B ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥ C ．若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥
D ．若//,//m n αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等
10．已知实数,x y 满足方程22410x y x +-+=，则下列说法正确的是（）
A ．y x -
的最大值为62- B ．22x y +的最大值为743+
C ．
y x 的最大值为3 D ．x y +的最大值为23+ 11．设12,F F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b b
a -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐
近线的垂线，垂足为P 。

若16PF OP =，则下列说法正确的是（）
A ．2F P b =
B ．双曲线的离心率为3
C ．点P 在直线3
x a =
上 D ．双曲线的渐近线方程为3y x =± 12．如图，直三棱柱111
,ABC ABC ABC -∆为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12,,AC AA E F ==分别是11
,AC AC 的中点，D,M 分别是11,AA BB 上的两个动点，则（） A ．FM 与BD 一定是异面直线
B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14
C ．直线11
BC 与BD 所成角为2
π
D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB F
E -的外接球体积为
55
π
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．为了了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元） 6.2 7.1 8.0 t 9.7 根据上表可得回归直线方程0.760.4y x =+，则t =___________________.
14．已知()4,0,cos 5
απα∈-=-，则tan 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
_________________.
15．在三棱锥P ABC -中，90,,,PA ABC BAC D E F ⊥∠=︒平面，分别是,,AB BC CP 的中点，2AB AC PA ===，则直线PA 与平面DEF 所成角为_______________弧度.
16．已知动点P 到定点()2,0F 的距离比到定直线3x =-的距离小1，则点P 的轨迹M 的标准方程为___________________；A 、B 、C 为该轨迹M 上的三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=_________________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

F
E
M
D
C
B
A 1
C 1
B 1
A
17．(本小题满分10分)
已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a += （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足1122,b a b a ==，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .
18．(本小题满分12分)
设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .
已知13,cos 6
b c B ==-.
（1）求sin C 的值；（2）求ABC ∆的面积.
19．(本小题满分12分)
如图，四边形ABCD 为正方形，,2PD ABCD PD DC ⊥==平面点E,F 分别为AD,PC 的中点。

（1）证明：//DF PBE 平面
（2）求点F 到平面PBE 的距离。

20．(本小题满分12分)
一个圆过点()2,0F ，且和直线20x +=相切。

（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点()1,0B -，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P 、Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。

21．(本小题满分12分)
如图，四棱锥P ABCD -中，,PA ABCD ABCD ⊥底面底面是直角梯形
，90,//,,ADC AD BC AB AC AB AC ∠=︒⊥=E 在AD 上，且2AE ED =。

（1）已知点F 在BC 上，且2CF FB =，求证：平面PEF PAC ⊥平面；
（2）若直线PC 与平面PAB 所成的角为45︒，求二面角A PB E --的余弦值。

22．(本小题满分12分)
P A
B C D E F B
A C D P E
F
已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左焦点为()1,0F -，其四个顶点围成的四边形面积为
（1）求曲线E 的方程；
（2）过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C ，D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且()0CO OM λλ=>，求四边形ACBD 面积的取值范围。