高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用学案 新人教A版选修2-3
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第2课时课堂探究教案新人教B版选修2_3
1.2.2 组合课堂探究探究一 组合数性质的应用组合数的两个性质中的性质1主要应用于简化运算，性质2从右到左两个组合数合为一个，实现了从繁到简的化简过程，主要应用于组合数的化简和证明，性质2的变形一般为C m －1n ＝C m n ＋1－C m n ，它为某些项的相互抵消提供了方便．【典型例题1】 (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ C y x ＝C 2y x ，3C y ＋1x ＝11C y －1x .(2)证明：C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2＋…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m .思路分析：(1)解答的突破口在“C y x ＝C 2y x ”，因为等号两边是下标相同的两个组合数，故由组合数的性质1可得y ＝2y 或y ＝x －2y .(2)的证明应灵活应用C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .(1)解：因为C y x ＝C 2y x ，所以y ＝2y 或y ＝x －2y .若y ＝2y ，则y ＝0，y －1＜0，不合题意，舍去．所以y ＝x －2y ，即x ＝3y ，代入3C y ＋1x ＝11C y －1x ，得3C y ＋13y ＝11C y －13y ，即3·(3y )！(y ＋1)！(2y －1)！＝11·(3y )！(y －1)！(2y ＋1)！. 化简得y 2－5y ＝0，所以y ＝0(舍去)或y ＝5，所以x ＝15.所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝5. (2)证明：左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1 ＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1＝C 3n ＋4＋C 4n ＋4＋…＋C m －1n ＋m －1…＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，所以原式成立．探究二 与几何有关的组合问题解答与几何图形有关的组合问题，其解题方法与一般组合问题的求解方法基本相同，只要把几何图形中的隐含条件看作组合应用题中的限制条件即可．计算时可用直接法，也可以用间接法，当限制条件较多的情况下，需要进行分类计算．【典型例题2】 α，β是两个平行平面，在α内取四个点，在β内取五个点．(1)这些点最多能确定几条直线？几个平面？(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？思路分析：注意题中关键字“最多”，理解其含义，分类完成计算．解：(1)在9个点中，除了α内的四点共面和β内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定的平面和直线才能达到最多，此时，最多能确定直线C29＝36条；又因三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定C24C15＋C14C25＋2＝72个平面．(2)同理，在其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多，此时最多能作C34C15＋C24C25＋C14C35＝120个三棱锥．探究三排列与组合综合应用解答排列组合综合性问题的一般思路方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”．总的来说是：①整体分类；②局部分步；③辩证地看元素的位置；④一些具体问题要把它抽象成组合模型．【典型例题3】有五张卡片，正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起，共可组成多少个不同的三位数？思路分析：组成不同的三位数应保证以下两点：(1)0不能作百位；(2)每张卡片都有正、反两种可能．解答本题可根据0和1两个特殊值分类，也可利用排除法．解法1：从0和1两个特殊值考虑，可分三类：第一类，取0不取1，可先从另四张卡片中任选一张作百位，有C14种方法；0可在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，因此可组成不同的三位数C14·C12·C13·22个．第二类，取1不取0，同上分析可组成不同的三位数C24·22·A33个．第三类，0和1都不取，可组成不同的三位数C34·23·A33个．综上所述，可组成不同的三位数共C14·C12·C13·22＋C24·22·A33＋C34·23·A33＝432(个)．解法2：任取三张卡片可以组成不同的三位数C35·23·A33个，其中0在百位的有C24·22·A22个，这是不合题意的，故不同的三位数共有C35·23·A33－C24·22·A22＝432(个)．点评对于含有附加条件的排列组合问题的处理策略是：(1)以元素为主，特殊元素优先考虑；(2)以位置为主，特殊位置优先考虑；(3)间接法，暂不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的部分．探究四易错辨析易错点：对题意理解不够，造成遗漏或重复【典型例题4】从1～9这九个数字中，取出5个数字作排列，并把五个位置自右至左编号，则奇数数字必在奇数位置上的排列有多少个？错解：从1,3,5,7,9五个奇数数字中取3个排列在奇数位置上，有A35种方法，再由2,4,6,8四个偶数数字取2个排列在偶数位置上，有A24种方法，故符合题意的排列共有A35·A24＝720(个)．错因分析：致错原因是没有仔细审读题意，误以为“奇数位置上必是奇数”．而题设“奇数数字必在奇数位置”是指：①如果有奇数数字，则它们必须在奇数位置上；②如果奇数数字不是3个，甚至没有时，则奇数位置上也可以不是奇数；③偶数位置上一定是偶数．正解一：1,2，…，9中只有四个偶数数字，故排列中至少有一个奇数数字，一奇四偶的排列可按下列程序得到：从五个奇数数字中选取1个放在三个奇数位置中的一个上，再把4个偶数数字排在剩下的四个位置上，因此一奇四偶的排列有C15·C13·A44种，类似地，二奇三偶的排列有C25·C23·A22·A34种；三奇二偶的排列有A35·A24种，因此适合题意的排列个数是C15·C13·A44＋C25·C23·A22·A34＋A35·A24＝2 520.正解二：转换思考角度，将本题解释为“偶数位置上的数字必是偶数”，由题意知：只有两个偶数位置，应从四个偶数中选取2个排列在这两个偶数位置上，有A24种排法，再从剩下七个数字中选取3个排列在其余三个位置上，有A37种排法，故适合题意的排列个数是A24·A37＝2 520.。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合的综合应用导学案 新人教A版选修2
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1.2。
2组合的综合应用【学习目标】 明确排列与组合的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题；能运用所学的排列组合知识，正确地解决实际问题。
【重点难点】重点：能正确认识组合与排列的联系与区别。
难点：理解组合的意义，正确地解决实际问题.。
【使用说明与学法指导】1。
课前用20分钟预习课本P 26内容并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学.2.独立思考,认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑.【问题导学】1.下列问题中是组合问题的个数是（ 2 ） （ ）①从全班50人中选出5名组成班委会;②从全班50人中选出5名分别担任班长，副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2,3，…，9中任取出两个数求积；④从1，2,3，…，9中任取出两个数求差或商．2。
求值：173213nnn n C C -++.解 由错误!，解得错误!≤n ≤错误!.又n ∈N ＊，∴n ＝6，故原式＝C 错误!＋C 错误!＝C 错误!＋C 错误!＝313。
要从12人中选出5人去参加一项活动，下列要求，有多少种不同选法？（1）A ，B ，C ，3人都参加;(2)A ，B ,C,3人都不参加；(3)A ，B ,C ，3人中只有一个参加．解 (1）只需再从A ,B ，C 之外的9人中选择2人，所以有方法C 错误!＝36（种)．(2）由于A ，B ，C 三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有选法C 错误!＝126（种)．(3)可分两步：先从A ，B ,C 三人中选出一人，有C 错误!种选法；再从其余的9人中选择4人,有C 错误!种选法．所以共有选法C 错误!C 错误!＝378（种)．4.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛．（1）如果4人中男生和女生各选2人,有多少种选法？(2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？(3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法?解 （1）从男生中选2人，从女生中选2人，共有C 错误!C 错误!＝60(种)选法；（2）男生中的甲与女生中的乙必须在内，只需从除2人外的其余7人中再选2人，有C 2，7＝21(种）选法；(3)从反面考虑，只要9人中选4人,减去不含男生甲和女生乙的情况，有C 错误!－C 错误!＝91（种）选法；（4)从反面考虑，只要所有情况减去全是男生和全是女生的情况，有C 4，9－C 44－C 错误!＝120（种)选法．【合作探究】问题1：四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？解：（1）根据分步计数原理：一共有 种方法；问题2：四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种?解：（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素，有 种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法,所以， 一共有 ＝144种方法4425624C 34A 24C 34A问题3：(3）马路上有编号为1，2，3，…,10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯． 故 所求方法总数为 种方法【深化提高】5.(1) 以AB 为直径的半圆上，除A 、B 两点外，另有6个点，直径AB 上另有4个点，共12个点，以这12个点为顶点共能组成多少个四边形？(2） 在角A 的一边上有五个点（不含A ），另一边上有四个点(不含A ），由这十个点(含A ）可构成多少个三角形？解 (1)分类讨论:A 、B 只含有一个点时,共有2（C 错误!＋C 错误!C 错误!）＝160（个）；既含A 又含B 时，共有C 26＝15（个);既不含A 也不含B 时，共有C 错误!－1－C 错误!C 错误!＝185(个)．所以共有160＋15＋185＝360(个)．(2）含A 点时,可构成C 错误!C 错误!＝20(个)三角形；不含A 点时，可构成C 错误!C 错误!＋C 错误!C 错误!＝70(个）三角形．故 共有20＋70＝90(个)三角形．【学习评价】●自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差3620C●当堂检测（3选2填或2选2填1解答）A组（你一定行）：1。
(新人教版)新版高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用学案 新人教A版选修2-3【提
第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)C513－C511＝825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A．210种 B．420种 C．56种 D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205 B．110 C．204 D．200考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205. 类型三 分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为C 26C 24C 22A 33＝15×6×16＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C 36C 23C 11＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C 46C 12C 11A 22＝15×22＝15.反思与感悟 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m pA kk. 跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本． 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60(种)不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30(种)不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90(种)不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360(种)不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90(种)不同的分配方法．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C24＝4＋6＝10(种)．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种 B．84种 C．35种 D．21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36 C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个 B．36个 C．100个 D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C37种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C34种方法．故不同的安排方案共有C37C34＝7×6×53×2×1×4＝140(种)．5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．一、选择题1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A．30种 B．33种 C．37种 D．40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C35＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有C24C15＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．24种 B．14种 C．28种 D．48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35考点组合的应用题点 与几何有关的组合问题 答案 A解析 可以分为两类：a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为C 25C 14；a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为C 15C 24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C 25C 14＋C 15C 24，故选A.4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A ．C 25C 26种 B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种考点 排列组合综合问题 题点 排列与组合的综合应用 答案 B解析 先从5名男选手中任意选取2名，有C 25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C 26A 22，即A 26种．所以共有C 25A 26种．5．将标号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A ，B 的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B解析 由题意知，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18(种)．6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 B 解析 分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 24＝6(种)选取方法． 第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C 26＝15(种)选取方法． 由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 A解析 首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点 排列组合综合问题 题点 分组分配问题 答案 D解析 用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法． 二、填空题9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种． 考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题 答案 10解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C 13C 23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C 33＝1(种)选法． 共有选法9＋1＝10(种)．10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A34＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C23A24＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．三、解答题12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类．精品试卷第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．欢迎下载。
高中数学第一章计数原理1_2排列与组合1_2_2排列的应用教案新人教B版选修2-3
摆列的应用教课目的：掌握解摆列问题的常用方法教课要点：掌握解摆列问题的常用方法教课过程一、复习引入：1．摆列的观点：说明：（ 1）摆列的定义包含两个方面：①拿出元素，②按必定的次序摆列；（ 2）两个摆列同样的条件：①元素完整同样，②元素的摆列次序也同样2．摆列数的定义：注意差别摆列和摆列数的不一样：“一个摆列”是指：从n 个不一样元素中，任取m 个元素依据必定的次序排成一列，不是数；“摆列数”是指从n 个不一样元素中，任取m（ m n ）．．．．．个元素的全部摆列的个数，是一个数因此符号A n m只表示摆列数，而不表示详细的摆列3．摆列数公式及其推导：A n m n(n 1)(n 2)(n m1) （ m, n N , m n）全摆列数：n (1)(2) 21! （叫做n的阶乘）A n n n n n二、方法研究：例 2 某小组 6 个人排队照相纪念．(1)若分红两排照相，前排 2 人，后排 4 人，有多少种不一样的排法？(2)若分红两排照相，前排 2 人，后排 4 人，但此中甲一定在前排，乙一定在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人一定在一同，有多少种不一样的排法？(4)若排成一排照相，此中甲必在乙的右侧，有多少种不一样的排法？(5)若排成一排照相，此中有 3 名男生 3 名女生，且男生不可以相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不一样的排法？技术小结：解摆列问题问题时，当问题分红互斥各种时，依据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后序次时，依据乘法原理，可用地点法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单了然时，可经过求差清除采纳间接法求解；此外，摆列中“相邻”问题能够用“捆绑法”；“分别”问题可能用“插空法”等．解摆列问题和组合问题，必定要防备“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——地点法反面了然——清除法相邻摆列——捆绑法分别摆列——插空法讲堂小节：本节课学习了摆列、摆列数的观点，摆列数公式的推导讲堂练习：1、六人按以下要求站一排，分别有多少种不一样的站法？(1) 甲不站两头；(2)甲、乙一定相邻；(3) 甲、乙不相邻；(4) 甲、乙之间恰间隔两人；(5) 甲、乙站在两头；(6) 甲不站左端，乙不站右端．2。
高中数学第一章1.2排列与组合1.2.1排列问题导学案
1.2.1 排列问题导学一、排列数公式的应用活动与探究11．计算：(1)2A 34＋A 25；(2)A 88A 58． 2．化简：A m n ＋m A m －1n ．迁移与应用1．(2013江苏南京模拟)方程：A 42x ＋1＝140A 3x 的解是__________．2．化简A m －1n －1·A n －m n －m A n －1n －1＝__________．应用排列数公式时应注意以下几个方面：(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．二、排列的概念与简单的排列问题活动与探究21．判断下列问题是否为排列问题：(1)从1,2,3,4,5中任取两个数相加，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相减，其结果有多少种不同的可能？(3)有12个车站，共需要准备多少种普通票？(4)从10个人中选2人分别去植树和种菜，有多少种不同选法？(5)从10个人中选2人去参加座谈会，有多少种不同选法？2．(1)若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面(旗的颜色无重复)，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示__________种不同的信号．迁移与应用1．某年全国足球联赛共有12个队参加，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共进行比赛__________场．2．判断下列问题是否是排列问题，若是排列问题，求出对应的排列数．(1)从1,2,3,4,5中任取两个数组成两位数，有多少个这样的两位数？(2)若一个班级有40名同学，从中选5人组成学习小组，有多少种选法？(3)8种不同的菜种，任选4种种在不同的土地上，有多少种不同的种法？解决排列问题的步骤：(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题．(2)注意排列对元素或位置有无特殊要求．(3)借助排列数公式计算．三、排队问题活动与探究3有4个男生和3个女生排成一排．(1)男生甲必须站在中间有多少种排法？(2)男生甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同排法？(3)甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同排法？(4)三个女生要排在一起有多少种不同排法？(5)三个女生两两不能相邻有多少种不同排法？(6)三个女生顺序一定，共有多少种不同排法？迁移与应用1．三位老师和三位学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法总数为( )A ．720B ．144C ．36D ．122．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( )A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏．(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．四、数字的排列问题活动与探究4用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？迁移与应用1．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )A ．120个B ．80个C ．40个D ．20个2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )A ．72B ．96C ．108D ．144不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．答案：课前·预习导学【预习导引】1．排成一列 所有不同排列 A m n预习交流1 (1)提示：排列的定义包括两个方面：①取出元素；②按一定顺序排列． 两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的顺序也相同．排列是按一定顺序排列的一列元素，而排列数是一个数，并不表示具体的排列．(2)提示：ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA ．2．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1) n ！(n －m )！预习交流2 (1)提示：B(2)提示：(2n )！A n n ＝(2n )！n ！＝(2n )！(2n －n )！＝A n 2n ，故选B ． 课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 1．思路分析：按公式将排列数写成连乘形式计算．解：(1)2A 34＋A 25＝2×4×3×2＋5×4＝48＋20＝68．(2)A 88A 58＝8×7×6×5×4×3×2×18×7×6×5×4＝6． 2．解：A m n ＋m A m －1n ＝n ！(n －m )！＋m ×n ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1)×n ！＋m ×n ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1＋m )n ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！(n －m ＋1)！＝A m n ＋1． 迁移与应用 1．x ＝3 解析：根据原方程，x (x ∈N *)应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1≥4，x ≥3，解得x ≥3．根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －2)，x ≥3，两边同除以4x (x －1)，得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)．即4x 2－35x ＋69＝0．解得x ＝3或x ＝534(因x 为整数，故应舍去)． ∴原方程的解为x ＝3．2．1 解析：A m －1n －1·A n －m n －m A n －1＝(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！×(n －m )！×1(n －1)！＝(n －1)！(n －m )！×(n －m )！×1(n －1)！＝1． 活动与探究2 思路分析：判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系． 解：(1)两数相加，由加法交换律知与两数顺序无关，所以(1)不是排列问题．(2)两数相减，要确定谁是被减数，谁是减数，与顺序有关，所以(2)是排列问题．(3)票中要确定哪一个车站为起点站，哪一个车站为终点站，与顺序有关，所以(3)是排列问题．(4)要从选出的2人中确定谁去植树，谁去种菜，与顺序有关，所以(4)是排列问题．(5)只需从10人中选出2人即可，与顺序无关，所以(5)不是排列问题．2．(1)思路分析：直接运用排列的概念求值．B 解析：不同的选派方案有A 46＝6×5×4×3＝360种．(2)思路分析：如果把3面旗看做3个元素，那么“表示信号”这件事则是从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的排列问题．15 解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A 13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A 23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A 33种不同方法；根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A 13＋A 23＋A 33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．迁移与应用 1．132 解析：将参加比赛的12个队看作12个元素，每一场比赛即为从12个不同元素中任取2个元素的一个排列(设排在前面的队为主场比赛)．总共比赛的场次，就是从12个不同元素中任取2个元素的排列数：A 212＝12×11＝132．2．解：(1)选取的两个数，要确定哪一个数在十位，哪一个数在个位，与顺序有关，是排列问题，且有A 25＝5×4＝20个这样的两位数．(2)只需选出5人即可，与顺序无关，不是排列问题．(3)选取的4种菜种，与4块不同的地对应，与顺序有关，是排列问题，故有A 48＝8×7×6×5＝1 680种不同的种法．活动与探究 3 思路分析：本题都涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置．相邻问题(如(4))可用捆绑法，不相邻问题(如(5))可用插空法．解：(1)由于甲的位置已确定，其余6人可随意排列，共有A 66＝720种排法．(2)由于甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余5人中选两人来站，共有A25种排法，剩下的人有A55种排法，共有A25·A55＝2 400种不同排法．(3)甲站排头有A66种排法，乙站排尾有A66种排法，但两种情况都包含了“甲站排头且乙站排尾”的A55种排法，故共有A77－2A66＋A55＝3 720种排法．(4)先把女生看成一个元素，与其他4个男生共5个元素来排有A55种排法，再排三个女生有A33种排法，共有A55·A33＝720种不同排法．(5)先排4个男生，有A44种排法，形成5个空位，将3个女生插入5个空位中，有A35种排法，因此共有A44·A35＝1 440种不同排法．(6)在7个位置上任意排列7名学生共有A77种排法．由于女生的顺序一定，且在所有不同排法中，女生的某一顺序均会有A33种情况，因此三名女生顺序一定的排法共有A77A33＝840种．迁移与应用1．B 解析：先将老师排好有A33种排法，形成4个空位，将3个学生插入4个空位中，有A34种排法，∴共有A33·A34＝144种排法．2．A 解析：分类完成：①甲排周一，乙、丙只能从周二至周五中选2天排，有A24种排法；②甲排周二，乙、丙有A23种排法；③甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A22种排法，∴共有A24＋A23＋A22＝20种排法．活动与探究4 思路分析：该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有A35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个(有A14种)，十位和百位从余下的数字中选(有A24种)，于是有A14·A24个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A14·A24个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：A35＋A14·A24＋A14·A24＝156个．(2)五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有A45个；个位上的数字是5的五位数有A14·A34个．故满足条件的五位数共有A45＋A14·A34＝216个．(3)比1 325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A14·A35个；第二类：形如14□□，15□□，共有A12·A24个；第三类：形如134□，135□，共有A12·A13个；由分类加法计数原理知，比1 325大的四位数共有：A14·A35＋A12·A24＋A12·A13＝270个．迁移与应用1．C 解析：①当十位是3时，个位与百位从1,2中选有A22种选法；②当十位是4时，个位与百位有A23种选法；③当十位是5时，个位与百位有A24种选法；④当十位是6时，个位与百位有A25种选法，则共有A22＋A23＋A24＋A25＝2＋6＋12＋20＝40种，故选C．2．C 解析：第一步，先将2,4,6全排，有A33种排法．第二步，将1,3,5分别插入2,4,6排列产生的前3个空中，若1,3相邻且不与5相邻，有A22A23种排法，若1,3,5均不相邻，有A33种排法．故总的排法有A33(A22A23＋A33)＝108种．故选C．当堂检测1．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是( ) A．1 260 B．120 C．240 D．720答案：D 解析：由题意知有310A＝10×9×8＝720种分法．故选D．2．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有( )种．A．16 B．12 C．20 D．10答案：A 解析：先选一人参加物理竞赛有14A种方法，再从剩下的4人中选1人参加数学竞赛，有14A 种方法，共有1144A A 16⋅=种方法．3．657645A A A -＝( ) A ．12B ．24C ．30D ．36答案：D 解析：657645A A 76543265432A 5432-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ＝7×6－6＝36．4．五人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有__________种．答案：36 解析：五人全排列有55A 种排法，甲、乙相邻有种排法，甲、丙相邻有2424A A 种排法，甲、乙相邻且甲、丙相邻有2323A A 种排法，故所有排法有52424235242423A A A A A A A 36--+=种．5．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有__________个．答案：144 解析：先排奇数位有44A 种，再排偶数位有33A 种，∴共有4343A A 144=种．6．(2013浙江高考，理14)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)．答案：480 解析：如图六个位置．若C 放在第一个位置，则满足条件的排法共有55A 种情况；若C 放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A ，B ，再在余下的3个位置排D ，E ，F ，共2343A A ⋅种排法；若C 放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A ，B ，其余位置排D ，E ，F ，则共有2323A A ⋅种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A ，B ，再在其余3个位置排D ，E ，F ，共有2333A A ⋅种排法；若C 在第4个位置，则有23232333A A A A ⋅+⋅种排法；若C 在第5个位置，则有2343A A 种排法；若C 在第6个位置，则有55A 种排法．综上，共有523232354333232(A A A A A A A )480+++=种排法．。
高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.1 第2课时 排列的综合应用学案 新人教A版选修2-3
第2课时排列的综合应用学习目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)[自主预习·探新知]1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(n，m∈N*，m≤n)A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！＝1.2．排列应用题的最基本的解法(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．3．解简单的排列应用题的基本思想[基础自测]1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )A．6 B．8C．9 D．12C[由A2n＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.【导学号：95032035】48[从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A34种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A34＝48个．] 3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．24[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A44＝24种．]4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．186[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A37－A34＝186(种)．][合作探究·攻重难]无限制条件的排列问题(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【导学号：95032036】[思路探究](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．[解](1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A35＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．[规律方法]1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．[跟踪训练]1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．720[问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.]排队问题有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起．(4)全体排成一行，男、女各不相邻．(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．(6)排成前后二排，前排3人，后排4人.【导学号：95032037】[思路探究] 分析题意，确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素[解] (1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择．有A 13种，其余6人全排列，有A 66种．由分步乘法计数原理得A 13A 66＝2 160种．(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A 16种，余下的6个位置全排列有A 66种，但应剔除乙在最右边的排法数A 15A 55种．则符合条件的排法共有A 16A 66－A 15A 55＝3 720种．(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A 33种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A 55种排法，共有A 33A 55＝720种．(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有A 33A 44＝144种．(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N ，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有A 77＝N ×A 33，∴N ＝A 77A 33＝840种． (6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A 77＝5 040种．注意：解(6)时易出现A 33A 44的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻．[规律方法]1．排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列．对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住．2．元素相邻和不相邻问题的解题策略2．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间，乙必在两端；(2)甲不在左端，乙不在右端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)男生不全相邻．[解] (1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有：2×7×A77＝70 560种(2)按甲在不在右端分类讨论．甲站右端的有：A88种；甲不在右端的有：7×7×A77种；共有：A88＋7×7×A77＝A77×(8＋49)＝287 280种．(3)(捆绑法)A22·A44·A55＝5 760种．(4)(插空法)先排4名男生有A44种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A44·A55＝2 880种排法．(5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A99－A44·A66＝345 600种．数字排列问题1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？[提示]偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?[提示]在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？(3)不大于4310的四位偶数.【导学号：95032038】[思路探究]这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[解](1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A13种填法，第二步再填十万位，有A14种填法，第三步填其他位，有A44种填法，故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有A14种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A13种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A44种排法，故共有A14A13A44＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的六位数为3A55个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A44个，故满足条件的六位奇数共有A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A55个，0在十万位且5在个位的六位数有A44个．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A55个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504(个)．(3)用直接法①当千位上排1,3时，有A12·A13·A24个．②当千位上排2时，有A12·A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A13个；形如41××的有A13·A12个，形如43××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12·A13·A24＋A12·A24＋2A13＋A12·A13＋2＝110(个)．[当堂达标·固双基]1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )A．36 B．120C．720 D．240C[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.]2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种B．360种C．480种D．720种C[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A55＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．144[先排奇数位有A44种，再排偶数位有A33种，故共有A44A33＝144个．]4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．24[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．]5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？[解]法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240种．法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240种．。
(部编本人教版)【精品资料】版高中数学 第一章1.2 排列与组合 1.2.1 第2课时 排列的综合应用学案 新人教A
第2课时排列的综合应用学习目标 1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题．知识点排列及其应用1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！(n－m)！.A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤类型一无限制条件的排列问题例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？考点排列的应用题点无限制条件的排列问题解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A37＝7×6×5＝210(种)不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法．反思与感悟典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数．排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”．即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素可以重复选取．跟踪训练1 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？考点排列的应用题点无限制条件的排列问题解(1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A35＝5×4×3＝60(种)．(2)由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步乘法计数原理得共有5×5×5＝125(种)报名方法．类型二排队问题命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题例2 3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题解(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288(种)排队方法．(2)三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A55种排法．故有A33·A55＝720(种)排队方法．(3)先安排女生，共有A44种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A35种排法，故共有A44·A35＝1 440(种)排法．(4)排好男生后让女生插空，共有A33·A44＝144(种)排法．反思与感悟处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．跟踪训练2 某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2个唱歌节目互不相邻；(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题解(1)先排唱歌节目有A22种排法，再排其他节目有A66种排法，所以共有A22·A66＝1 440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A66·A27＝30 240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A22种排法，故所求排法共有A44·A35·A22＝2 880(种)排法．命题角度2 元素“在”与“不在”问题例3 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不能在两端；(2)甲、乙必须在两端；(3)甲不在最左端，乙不在最右端．考点排列的应用题点元素“在”与“不在”问题解(1)先考虑甲有A14种方案，再考虑其余5人全排列，故N＝A14·A55＝480(种)；(2)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余4人全排列，故N＝A22·A44＝48(种)；(3)方法一甲在最左端的站法有A55种，乙在最右端的站法有A55种，且甲在最左端而乙在最右端的站法有A44种，共有A66－2A55＋A44＝504(种)站法．方法二以元素甲分类可分为两类：a.甲站最右端有A55种，b.甲在中间4个位置之一，而乙不在最右端有A14·A14·A44种，故共有A55＋A14·A14·A44＝504(种)站法．反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底．不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．跟踪训练3 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？考点排列的应用题点 元素“在”与“不在”问题解 6门课总的排法是A 66，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有A 55种排法；数学排在最后一节，有A 55种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有A 44种排法．因此符合条件的排法有A 66－2A 55＋A 44＝504(种)． 命题角度3 排列中的定序问题例4 将A ，B ，C ，D ，E 这5个字母排成一列，要求A ，B ，C 在排列中的顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)．则有多少种不同的排列方法？ 考点 排列的应用 题点 排列中的定序问题解 5个不同元素中部分元素A ，B ，C 的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法． 方法一 (整体法)5个元素无约束条件的全排列有A 55种，由于字母A ，B ，C 的排列顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”排列方式的排列有A 55A 33×2＝40(种)．方法二 (插空法)若字母A ，B ，C 的排列顺序为“A ，B ，C ”，将字母D ，E 插入，这时形成的4个空中，分两类：第一类，若字母D ，E 相邻，则有A 14·A 22种排法； 第二类，若字母D ，E 不相邻，则有A 24种排法． 所以有A 14·A 22＋A 24＝20(种)不同的排列方法．同理，若字母A ，B ，C 的排列顺序为“C ，B ，A ”，也有20种不同的排列方法． 因此，满足条件的排列有20＋20＝40(种)．反思与感悟 在有些排列问题中，某些元素有前后顺序是确定的(不一定相邻)，解决这类问题的基本方法有两种：(1)整体法，即若有m ＋n 个元素排成一列，其中m 个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m ＋n 个元素排成一列，有A m ＋nm ＋n 种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n 个元素的位置不动，把这m 个元素交换顺序，有A m m种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有A m ＋nm ＋n A mm种满足条件的不同排法．(2)插空法，即m 个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m 个元素，只有一种排法，然后把剩下的n 个元素分类或分步插入由以上m 个元素形成的空隙中．跟踪训练4 用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件． 考点 排列的应用 题点 排列中的定序问题答案210解析若1,3,5,7的顺序不定，有A44＝24(种)排法，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的124 .故有124A77＝210(个)七位数符合条件．类型三数字排列问题例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数．考点排列的应用题点数字的排列问题解(1)第一步，排个位，有A13种排法；第二步，排十万位，有A14种排法；第三步，排其他位，有A44种排法．故共有A13A14A44＝288(个)六位奇数．(2)方法一(直接法)：十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A55个；第二类，当个位不排0时，有A14A14A44个．故符合题意的六位数共有A55＋A14A14A44＝504(个)．方法二(排除法)：0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．(3)分三种情况，具体如下：①当千位上排1,3时，有A12A13A24个．②当千位上排2时，有A12A24个．③当千位上排4时，形如4 0×2,4 2×0的各有A13个；形如4 1××的有A12A13个；形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)．反思与感悟数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．跟踪训练5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)能被5整除的五位数；(2)能被3整除的五位数；(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{a n}，则240 135是第几项．考点排列的应用题点数字的排列问题解(1)个位上的数字必须是0或5.个位上是0，有A45个；个位上是5，若不含0，则有A44个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A13种排法，其余各位有A34种排法，故共有A45＋A44＋A13A34＝216(个)能被5整除的五位数．(2)能被3整除的条件是各位数字之和能被3整除，则5个数可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}两种情况，能够组成的五位数分别有A55个和A14A44个．故能被3整除的五位数有A55＋A14A44＝216(个)．(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A55个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个，有3A44个数，∴240 135的项数是A55＋3A44＋1＝193，即240 135是数列的第193项．1．6位学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )A．36 B．120 C．240 D．720考点排列的应用题点无限制条件的排列问题答案 D解析不同的排法有A66＝6×5×4×3×2×1＝720(种)．2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种 B．360种 C．480种 D．720种考点排列的应用题点元素“在”与“不在”问题答案 C解析第一步：排甲，共有A14种不同的排法；第二步：排其他人，共有A55种不同的排法，因此不同的演讲次序共有A14A55＝480(种)．3．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( ) A．144个 B．120个 C．96个 D．72个考点排列的应用题点数字的排列问题答案 B解析当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有2A34＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A34＝72(个)，所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．4．5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种．考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案86 400解析第1步，先排5位母亲的位置，有A55种排法；第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：母亲____母亲____母亲____母亲____母亲____，共有A56种排法．由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有A55·A56＝86 400(种)．5．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案24解析分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2(种)排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2(种)排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A33＝6(种)排法．则共有2×2×6＝24(种)排法．求解排列问题的主要方法：一、选择题1．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是( ) A．1 260 B．120 C．240 D．720考点排列的应用题点排列的简单应用答案 D解析相当于3个元素排10个位置，有A310＝720(种)不同的分法．2．要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )A．20 B．16 C．10 D．6考点排列的应用题点排列的简单应用答案 B解析不考虑限制条件有A25种选法，若a当副组长，有A14种选法，故a不当副组长，有A25－A14＝16(种)选法．3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9!考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案 C解析利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A33·(A33)3＝(3！)4.故选C.4．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A．8种 B．16种 C．18种 D．24种考点排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 A解析 可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有A 12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有A 12种；第三步，余下的两个位置排公益宣传广告，有A 22种．根据分步乘法计数原理，不同的播放方式共有A 12·A 12·A 22＝8(种)，故选A.5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n }，则a 72等于( )A ．1 543B ．2 543C ．3 542D ．4 532 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 答案 C解析 首位是1的四位数有A 34＝24(个)， 首位是2的四位数有A 34＝24(个)， 首位是3的四位数有A 34＝24(个)， 由分类加法计数原理得，首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个)． 由此得a 72＝3 542.6．在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A 只能出现在第一步或最后一步，工序B 和C 在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有( ) A ．34种 B ．48种 C ．96种 D ．144种 考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题 答案 C解析 由题意可知，先排工序A ，有2种编排方法；再将工序B 和C 视为一个整体(有2种顺序)与其他3个工序全排列共有2A 44种编排方法．故实施顺序的编排方法共有2×2A 44＝96(种)．故选C.7．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )A ．210个B ．300个C ．464个D ．600个 考点 排列的应用 题点 数字的排列问题 答案 B解析 由于组成没有重复数字的六位数，个位小于十位的与个位大于十位的一样多，故有5A 552＝300(个)．8．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙被安排在相邻两天值班，丙不在10月1日值班，丁不在10月7日值班，则不同的安排方案共有( )A．504种 B．960种 C．1 108种 D．1 008种考点排列的应用题点元素“在”与“不在”问题答案 D解析由题意知，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班的方案共有A22A66＝1 440(种)，其中满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班的方案共有A22A55＝240(种)，满足甲、乙两人被安排在相邻两天值班且丁在10月7日值班的方案共有A22A55＝240(种)，满足甲、乙两人安排在相邻两天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有A22A44＝48(种)．因此满足题意的方案共有1 440－2×240＋48＝1 008(种)．二、填空题9．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案72解析甲、乙两人相邻共有A22A44种排法，则甲、乙两人之间至少有一人共有A55－A22A44＝72(种)排法．10．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有________种参赛方案．考点排列的应用题点元素“在”与“不在”问题答案240解析方法一从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A45种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A35种方法，此时有2A35种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A45＋2A35＝240(种)．方法二从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A25种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A24种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A25A24＝240(种)．方法三(排除法)：不考虑甲的约束，6个人占4个位置，有A46种安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有2A35种，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A46－2A35＝240(种)．11．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题答案24解析把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A44＝4×3×2×1＝24(种)．三、解答题12．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．考点排列的应用题点排列的简单应用解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．四、探究与拓展13．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．(用数字作答)考点排列的应用题点数字的排列问题答案40解析第一步，让1,2必相邻有A22种排法；第二步，在5个位置上任取1个位置排有5种方法；第三步，在与1,2相邻的一个位置上排有2种方法；第四步，在下一个位置上仍有2种方法；第五步，其余2个位置只有1种排法．故共有A22×5×2×2×1＝40(种)．14．高一年级某班的数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在某一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数、理、化三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则不同的排法种数为多少？考点排列的应用题点元素“相邻”与“不相邻”问题解分两类：第1类，数学课在上午第一节或第四节共A12种排法，体育课在下午共A12种排法，理、化课安排在上午一节，下午一节有2A22种排法，其余两门在剩下的位置安排共A22种．由分步乘法计数原理知，共有A12×A12×2A22×A22＝32(种)排法．第2类，数学课安排在上午第二节或第三节，共A12种排法，体育课安排在下午有A12种排法，理、化课安排在上午一节和下午一节，共A22种排法，其余两门在余下的位置安排共A22种排法．由分步乘法计数原理知，共有A12×A12×A22×A22＝16(种)排法．综上，由分类加法计数原理知，排法种数为N＝32＋16＝48.。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时 组合的综合应用 新人教A版选修
2．若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不 同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．60 种 B．63 种 C．65 种 D．66 种 解析：和为偶数共有 3 种情况，取 4 个数均为偶数的
取法有 C44＝1(种)，取 2 奇数 2 偶数的取法有 C25C24＝ 60(种)，取 4 个数均为奇数的取法有 C45＝5(种)，故不同
(3)整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要 做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步 计数原理．
1．在直角坐标系xOy平面上，平行直线x＝m(m＝
0，1，2，3，4)，与平行直线y＝n(n＝0，1，2，3)组成
的图形中，矩形共有( )
A．100个
B．60个
C．48个
Hale Waihona Puke D．20个解析：在两类平行直线中各取两条，即构成一个矩形， 所以，所求矩形共有 C25C24＝10×6＝60(个)．
的取法共有 1＋60＋5＝66(种)．
答案：D
π 3．从 0，1， 2， 2 ， 3，2 这六个数字中，任取两
个数字作为直线 y＝xtan α＋b 的倾斜角和截距，可组成
________条平行于 x 轴的直线． 解析：要使得直线与 x 轴平行，则倾斜角为 0，截距
在 0 以外的五个数字均可．故满足条件的直线有 C15＝
(5)甲、乙、丙三人至少 1 人参加． 解：(1)不同的选法有 C512＝792(种)． (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的 9 人中 选 2 人，不同的选法共有 C29＝36(种)． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的 9 人中 选 5 人，不同的选法共有 C59＝126(种)．
(1)分成 1 本、2 本、3 本三组； (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1 本，一个人 2 本，一个人 3 本； (3)分成每组都是 2 本的三个组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人 2 本．
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第2课时组合的综合应用学习目标：1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)[自主预习·探新知]1．组合的有关概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合数用符号C m n表示，其公式为C m n＝A m nA m m＝n n－1·n－2…n－m＋1m！.(m，n∈N*，m≤n)，特别地C0n＝C n n＝1.2．组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素．不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．3．应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．(4)结论：根据计算结果写出方案个数．[基础自测]1．以下四个命题，属于组合问题的是( )A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开两辆车往返甲、乙两地C[从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]2．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )【导学号：95032059】A．A45种B．45种C．54种D．C45种D[由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C45种．]3．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )A．C310种B．A310种C．A13A27种D．C13C27种D[每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C13种选法；第二步，选男工，有C27种选法．故共有C13C27种不同的选法．]4．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．10[从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C35＝10个子集．][合作探究·攻重难]无限制条件的组合问题(1)要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？(2)要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？(3)要选2人去参赛，有多少种不同选法？【导学号：95032060】[思路探究]首先要分清是组合还是排列问题，与顺序有关即为排列，与顺序无关即为组合，一定要理解清楚题意．[解](1)从6名男生中选2人的组合数是C26＝15种．(2)分两步完成，先从6名男生中选2人，再从4名女生中选2人，均为组合．C26·C24＝90种．(3)从10名学生中选2名的组合数C210＝45种．[规律方法]解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．1．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有( )A．70个B．80个C．82个D．84个A[分两类分别求即可，共有C24C15＋C14C25＝30＋40＝70.]2．若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)【导学号：95032061】140[第一步，安排周六有C37种方法，第二步，安排周日有C34种方法，所以不同的安排方案共有C37C34＝140种．]有限制条件的组合问题参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？[思路探究]可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．[解](1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种)．∴不同的取法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种．或者C335－C234＝C334＝5 984种．∴不同的取法有5 984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2 100种．∴不同的取法有2 100种．(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式N＝C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种．∴不同的取法有2 555种．(5)选取3名的总数有C335，因此选取方式共有N＝C335－C315＝6 545－455＝6 090种．∴不同的取法有6 090种．[规律方法]常见的限制条件及解题方法1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．3．某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[解](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法；根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185种抽调方法．法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185种抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115种抽调方法．分组(分配)问题(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.【导学号：95032062】[思路探究](1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．[解](1)根据分步乘法计数原理得到：C26C24C22＝90种．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C 26C 24C 22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A 33种方法．根据分步乘法计数原理可得：C 26C 24C 22＝x A 33，所以x ＝C 26C 24C 22A 33＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C 16C 25C 33＝60种方法．(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C 16C 25C 33A 33＝360种方法．(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C 26C 24C 22＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C 16C 25C 33A 33＝360种方法；③“1、1、4型”，有C 46A 33＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．[规律方法]1．分清是分组问题还是分配问题，是解题的关键．2．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等．(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n 组均匀，最后必须除以n ！.(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．36 [分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有C 24·C 12·C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 24·C 12·C 11A 22·A 33＝36(种)．]排列、组合的综合应用1．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？[提示] 共有C 24＝4×32＝6(个)不同结果． 完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．2．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？[提示] 共有A 24－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．3．完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？[提示]由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A24种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C12C13C13＝18(种)不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有A24＋C12C13C13＝30(种)不同的结果．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.【导学号：95032063】[思路探究](1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任四科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．[解](1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种．(2)除去该女生后，先选后排，有C47·A44＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A44＝3 360种．(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种．[规律方法]解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1．按事情发生的过程进行分步．2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．5．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )A．360 B．520 C．600 D．720C[分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C12C35A44＝2×10×24＝480种选法．第二类，甲、乙都参加时，则有C25(A44－A22A33)＝10×(24－12)＝120种选法．所以共有480＋120＝600种选法．][当堂达标·固双基]1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )A．120 B．84 C．52 D．48C[间接法：C38－C34＝52种．]2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )【导学号：95032064】A．60种B．20种C．10种D．8种C[四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C35＝10.]3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种B[分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C14＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10种，故选B.]4．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．225[在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225个．]5．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选.【导学号：95032065】[解](1)一名女生，四名男生，故共有C15C48＝350种选法．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22C311＝165种选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C12C411＋C22C311＝825种选法．或采用间接法：C513－C511＝825种．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C25C38＋C15C48＋C58＝966种选法．。