泊松方程边界元解法
泊松方程求解
泊松方程求解泊松方程是一种重要的常微分方程，也称作“梯度偏微分方程”，它一般用来描述解析物理场的分布情况，是数学物理学等多个学科的重要工具。
它是1807年由于法国数学家泊松首先提出的，有着深远的历史和文化价值。
由于泊松方程在自然科学中的广泛应用，为了正确地求解这一方程，对于研究者们来说有着特别重要的意义。
二、求解的原理及方法泊松方程的形式一般如下：$frac{partial^2f}{partialx^2}+frac{partial^2f}{partial y^2}=0$它的求解原理可由泊松定理推导得出：泊松定理：若$f(x,y)$满足$frac{partial ^2f}{partialx^2}+frac{partial ^2f}{partial y^2}=0$，则存在实常数$lambda$，使$f(x,y)=e^{lambda x}e^{lambda y}$是它的解。
将泊松定理引入泊松方程的求解，易得得出：$f(x,y)=e^{lambda x}e^{lambda y}$为它的解，其中$lambda$是函数$f(x,y)$的常数。
三、应用实例(1) 一维泊松方程设电场强度$E$满足一维泊松方程：$frac{partial^2E}{partial x^2}+frac{partial ^2E}{partial y^2}=0$ 根据泊松定理，得出解：$E=Ae^{lambda x}+Be^{lambda y}$其中，$A$和$B$是常数，$lambda$是函数$E$的常数。
(2) 二维泊松方程设温度$T$满足二维泊松方程：$frac{partial ^2T}{partialx^2}+frac{partial ^2T}{partial y^2}=0$根据泊松定理，得出解：$T=Ce^{2lambda x}+De^{2lambda y}$ 其中，$C$和$D$是常数，$lambda$是函数$T$的常数。
四、计算机求解(1)值计算在计算机上，求解泊松方程最常用的方法是对方程进行数值计算，即以格点数值的方式，将求解的区域离散为一系列的小正方形，把每个格点处的函数变量替换为它所在小正方形上的参数，然后基于格点数值技术，穷举出每个格点处的函数变量，从而求解出该方程。
泊松方程边值问题的弱形式
泊松方程边值问题的弱形式泊松方程是一种常见的偏微分方程，用于描述在无外力作用下，保持平衡的物理系统。
该方程在众多科学和工程领域中具有重要的应用，如电场分布、热传导和流体流动等。
泊松方程的基本形式如下：∇^2 Φ = f其中，Φ是待求函数，表示系统中某一物理量的势能或众多物理量之一，f是已知函数，表示泊松方程右侧的源项。
而边值问题是在给出了方程的某些边界条件条件下，求解泊松方程的解。
泊松方程的弱形式是一种通过假设解Φ与一个测试函数v之间的内积为零来定义的方程形式。
这可以通过将原方程乘以一个测试函数v，并对整个域Ω进行积分得到。
这样的话，泊松方程的弱形式可以表达为：∫∇^2 Φ v dV = ∫f v dV根据格林第一公式，上述弱形式可以写作：-∫∇Φ ∇v dV + ∫f v dV = 0通过将第一项应用于分部积分并丢弃边界积分项，我们可以将弱形式进一步简化为：∫∇Φ ∇v dV = ∫f v dV这样，泊松方程的弱形式就变成了一个求解一个变分问题的形式，其中Φ和v都是函数空间中的元素。
此时，我们可以使用适当的数学方法来求解这个边值问题。
对于给定的边界条件，我们可以选择合适的测试函数v，并将其施加在泊松方程的弱形式中。
然后，我们使用数学工具和算法对其进行离散化，转化为线性或非线性代数方程组，并求解出Φ的近似解。
泊松方程边值问题的弱形式在数学和工程领域中具有广泛的应用。
例如，在电场的模拟和建模中，可选择Φ为电势，f为电荷密度，以求解电场分布。
在热传导中，可将Φ视为温度场，f为热源密度，以求解温度分布。
此外，该方法还可应用于流体流动中的速度场、压力场等问题的求解。
总之，泊松方程边值问题的弱形式为求解复杂的偏微分方程提供了一种更便捷和高效的途径。
通过合适的方法和算法，我们可以将边值问题转化为数值方程，并求解出所需物理量的近似解，从而更好地理解和应用泊松方程。
泊松方程基本积分公式
泊松方程基本积分公式泊松方程是数学中的一个重要方程，描述了二维或三维空间中的梯度场。
在物理学和工程学中，泊松方程的应用非常广泛，涉及到电场、热传导、流体力学等领域。
本文将介绍泊松方程的基本积分公式及其在实际问题中的应用。
泊松方程的基本形式为：∇²φ = f其中，φ是待求解的标量场，f是已知的源项，∇²是拉普拉斯算子。
为了求解这个方程，通常需要给出适当的边界条件。
在一些特殊情况下，泊松方程可以通过分离变量法求解，但在实际问题中，通常需要使用数值方法进行求解。
对于二维情况下的泊松方程，可以利用格林公式将其转化为边界积分的形式。
格林公式是一个重要的数学定理，用于将曲面积分转化为区域的边界积分。
格林公式的基本形式为：∬(∂u/∂x - ∂v/∂y)dxdy = ∮(udx + vdy)其中，u和v是实数域上的可微函数，∂u/∂x和∂v/∂y是它们的偏导数，∮表示曲线C的环绕一周的积分。
利用格林公式，我们可以将二维泊松方程转化为边界积分的形式：φ(x,y) = ∮(G(x,y;x',y')f(x',y')dy')其中，G(x,y;x',y')是泊松方程的基本格林函数，表示在点(x',y')处的点源对于点(x,y)处的势场贡献。
通过求解边界上的积分，我们可以得到泊松方程的解。
在实际问题中，泊松方程的解决方案往往不止一个，因为在求解过程中需要给出适当的边界条件。
例如，在电场问题中，边界条件可以是电势在导体表面上的给定值。
根据边界条件的不同，我们可以得到不同的解。
泊松方程的基本积分公式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在电场问题中，可以利用泊松方程求解电势分布。
在热传导问题中，可以利用泊松方程求解温度分布。
在流体力学中，可以利用泊松方程求解流场的速度分布。
这些应用都需要使用泊松方程的基本积分公式进行求解。
总结起来，泊松方程的基本积分公式是求解泊松方程的重要工具。
泊松方程求解
Q
1 2
2 (1 2
Q
2 (1 2 )r
Q
2 (1 2 )r
)c c
上半空间 下半空间
2
(1
2)
4
Q
(1
2
)r
(r a)
导体球面上面电荷分布：
1
1
1
r
ra
1Q 2 (1 2 )a 2
下半球面上均匀分布
2
2
2
r
ra
2Q 2 (1 2 )a2
上半球面上均匀分布
束缚电荷分布：
QR
4R3
(R a)
利用
P 0
n (E2 E1),
E
QP
(0
1)Q
3．两种均匀介质（ 1 和
2 ） 充满空间，一半
2
a
径 a 的带电Q导体球放
在介质分界面上（球心
在界面上），求空间电
Q
1
势分布。
解：外边界为无穷远，电荷分布在有限区 0 导体上Q 给定，所以球外场唯一确定。
其他实例：
P1
(0 1
1) 1
左半空
Q
间电势？
P2
(0 1
1) 2
球壳外
Q
空间电
势？
空介所间质以也分可具界考有面虑对上球称外E性电1 。场E而仍2 在具，
有球对称性。
确定常数 r
0
d1 d2 0
在介质分界面上 1 S 2 S
c1 c2 c
Q
S1
1
1
r
dS
ra
S2
2
2
r
dS
ra
S1
1
泊松方程的解法及应用
泊松方程的解法及应用泊松方程是关于无限大区域内的某个标量势函数的二阶偏微分方程。
它在物理学和工程学中广泛应用，例如在电场、热传导、流体力学和弹性力学等领域。
本文将介绍泊松方程的解法及其在实践中的应用。
一、泊松方程的定义与基本性质泊松方程是具有如下形式的偏微分方程：∇²u = -ρ其中u是标量势函数，ρ是源项，∇²是拉普拉斯算子。
这个方程可以通过库伦定律推导出电力学中的几乎所有问题，是许多物理学领域研究的基础。
泊松方程有一些基本性质。
首先，它是线性的，也就是说，如果两个不同的源项ρ₁和ρ₂产生的标量势函数分别是u₁和u₂，那么对于常数a和b，它们的线性组合a u₁ + b u₂是对应于线性组合aρ₁ + bρ₂的标量势函数。
其次，它是反演对称的，也就是说，如果标量势函数u满足泊松方程，那么-u也满足泊松方程。
二、泊松方程的解法在实际应用中，我们需要求解泊松方程，以便计算出场的分布。
泊松方程的解法通常可以分为两种：1. 分离变量法分离变量法是将u(x, y, z)表示为三个独立变量x, y, z的函数的积的形式，即u(x, y, z) = X(x) Y(y) Z(z)，然后将泊松方程代入并对每个独立变量进行求导，最终得到连个常微分方程和一个初值问题，可由此得到标量势函数u的解析解。
2. 数值解法当求解泊松方程的解析解十分困难或不可能时，可以通过求解离散化的差分方程来得到数值解。
一般使用有限差分法、有限元法或谱方法，这些方法分别将无限大区域内的标量势函数划分为有限数量的子域，并在子域内使用数值技巧求解差分方程。
三、泊松方程在工程学中的应用泊松方程在物理学和工程学中的应用广泛，下面将介绍其中两个重要的应用：电势分布和热传导问题。
1. 电势分布在电场问题中，泊松方程描述了电场中的电势分布。
假设我们有一个电荷分布ρ(x, y, z)，根据库伦定律，它产生了电场。
泊松方程可以帮助我们计算出哪些区域具有高电势、低电势以及电压梯度等性质。
边界元法
表 量曲E面外(外r)其 n它，电且荷为产已生知的量电。位(5移.9矢)式量把在边曲界面面上上的的法未向分知
电荷之间的关系以及与其它已知电荷之间的关系联系在
一起。
(先r)用的边分界 布，元再法取解积T＝分l方的程(5式.8()5式.9计)，算求区得域面V'电内荷的密场度。
如果考查区内只有带电导体而无其它电荷分布，应去
( yi ( yi ( yi ( yi
y j ) yi y j )2
y j ) yi y j )2
, ,
x
i
a cos
i
0.5
N
,
yi
a sin
i
0.5 ,
N
(5.13)
(5.12)式的这 8 个线性代数方程是齐次的，必有一个方程是不独
立的。我们还差一个方程。把(5.10)式在 r=0 处作相似的离散处
r V ' S'
得：T (r )
1
4
V'
(r') dV '
R
1
4
S'
(r' )n'
R R3
1 R
(r' )
n'
dS'
(6)
当r V '时T 1的这个公式在电动力学教科书中都能找到。(6) 式 场就(r是)与与边泊界松上方的程场对应(r的')及格林(函r'数) 联积系分在形一式起解。。它把区域内的
T (r)
1
4
V '
泊松方程边界元解法
(2.2)式和(2.3)式的解可以写成
(2.13)
(2.14)
由(2.13)式在边界上离散,根据边界条件,求出边界上的u和 的值,知道边界上全
部u值和 的值,再由(2.14)式可求得区域内任一点 的u值。
[1]Bebbai.C.A.,《边界元法的工程应用》(张治强译),陕西科学技术出版社(1985)。
[2」Milne一Thoosn,L.M.,《理论流体动力学》(李裕立等译),北京,机械工业出版社
(1984).
如果令
那么由格林公式,(2.2)式和(2.3)式的区域积分可以写成
（2.4）
如果再令
那么(2.4)式的区域积分又可写成
（2.5）
如此类推,(2.2)式和(2.3)式的区域积分可写成
（2.6）
（2.7）
为拉普拉斯方程基本解,这里称为一阶拉普拉斯算子基本解, 称为j阶拉普拉斯算子基
本解.下面求 表达式.由于
二、泊松方程边界元解法
泊松方程
，（2.1）
式中 为己知函数.如果 位于边界上,文【1】给出其解为
（2.2）
如果 位于区域内,文【l】给出
（2.3）
式中 为本解,
对于二维问题，
文【1】给出的（2.2）式和（2.3）式仍含有区域积分 ，这区域积分虽不含有求解的未知数u，但仍需要对区域进行离散数值积分.
那么可求得
(2.8)
又由
可得
(2.9)
比较 , 和 的表达式,可以看出 有下列形式,即
(2.10)
下面确定系数 和 ,
所以有
（2.11）
比较（2.7）式，（2.10）式和（2.11）式，有：
泊松方程边值问题的弱形式
泊松方程边值问题的弱形式1. 引言泊松方程是数学中一类重要的偏微分方程，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在解决泊松方程时，常常需要考虑边界条件，即在给定区域内的边界上已知函数值或导数值。
为了求解这类问题，我们需要将泊松方程转化为一种更容易处理的形式，即弱形式。
本文将详细介绍泊松方程边值问题的弱形式，并讨论其求解方法。
2. 泊松方程及其边值问题泊松方程是描述标量函数u(x, y)满足的偏微分方程，可以表示为：∇^2u(x, y) = f(x, y)其中∇^2表示拉普拉斯算子，f(x, y)为已知函数。
对于给定区域Ω内的边界∂Ω上的函数g(x, y)，我们可以定义一个边值问题：•在Ω内找到一个函数u(x, y)，使得满足泊松方程∇^2u(x, y) = f(x, y)•在∂Ω上满足边界条件u(x, y) = g(x, y)3. 弱形式推导我们将泊松方程的强形式转化为弱形式，以便于使用变分法进行求解。
首先，我们将泊松方程乘以一个测试函数v(x, y)，并在整个区域Ω上进行积分：∫(Ω) ∇^2u(x, y)·v(x, y) dΩ = ∫(Ω) f(x, y)·v(x, y) dΩ根据格林公式，可以将左边的积分转化为边界上的积分：∫(Ω) ∇^2u(x, y)·v(x, y) dΩ = ∫(∂Ω) (∇u(x, y)·n)(v(x, y)) ds -∫(Ω) (∇u(x, y))·(∇v(x, y)) dΩ其中n是边界的外法向量，ds表示边界面元素。
由于我们已知在边界上满足边界条件u(x, y) = g(x, y)，因此第一项可以简化为：∫(∂Ω) (∇u(x, y)·n)(v(x, y)) ds = ∫(∂Ω) (g(x, y)(∇v(x,y))·n ) ds将以上结果代入原方程，得到泊松方程的弱形式：•对于所有测试函数v(x,y)，满足：∫(Ω)(∇u)(x, y)·(∇v)(x, y) dΩ = ∫(Ω) f(x, y)v(x, y) dΩ + ∫(∂Ω) (g(x, y)(∇v)(x,y))·n ds4. 弱形式的求解在得到泊松方程的弱形式后，我们可以使用变分法进行求解。
泊松方程的求解1非线性泊松方程离...
第三章一维PN结的模拟主要内容(3.2)-(3.8)为了能可靠地进行半导休器件的数值模拟，保证计算过程中不至于因数3．1．4方程的归一化4. 归一化边界条件：归一化以后的边界条件可写为，N(0) + p(0) –n(0) = 0(3.23a)N(L) + p(L) –n(L) = 0(3.23b)n(0) p(0) = 1(3.23c)n(L) p(L) = 1(3.23d)3.1基本方程及边界条件)23.3()(ln )()23.3()0(ln )0(f L p V L e n A −==ϕϕ3.2网格划分及差分离散3．2．1 有限差分法基本概念1．离散数值分析法：对函数所在区间分离成小区间后求值，故称离散分析过程。
其中包括有限差分法和有限元法。
有限差分法具有如下优点：♥差分格式简洁。
典型的是三点、五点和七点差分格式。
♥适于处理边界不太复杂的问题。
大多数半导体器件（如MOS器件、双极器件）的边界是简单的。
♥编制程序方便。
差分格式是规格化的，对半导体器件而言，只须列出器件内部格点和边界格点的为数有限的差分格式。
1721，按照通常的差分方法，中点分形式为，电流密度方程的差分离散(3.18)图3.3重新回到坐标系，以格点）代入式(3.27)，则可得到(3.27)2125(3.27c) 的求解可以有两种方法。
（方程：在求解方程时，认为n 方法的收敛速度，因此比前者应用(3.35c) 的具体形式为，(3.27c)(3.35c)(3.40)(3.40)二阶以上高次项，得3．3．4 电流连续性方程的求解将电位和空穴浓度视为固定值时，离散电子电流连续性方程(3.35a)重写为，由于产生复合项的影响，上式是关于n 的非线性方程，同样可以通过牛顿迭代法求解，n 的初值由非线性泊松方程的解根据式(3.47)得到。
类似地，由空穴电流连续性方程可求得空穴的分布。
3．3 PN 结稳态特性求解的非耦合法)48.3(0)]1(),(),1([(=+−K n K n K n F n (3.35a)3．4 PN结稳态特性求解的耦合法3．4．1 耦合法求解的基本思想1．基本思想非耦合的Gummel方法是建立在方程之间的弱耦合假设基础上的。
泊松方程的推导
泊松方程的推导泊松方程是数学中的一类偏微分方程，描述了物理系统中的势能分布。
它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有重要的应用。
本文将从基本概念出发，逐步推导泊松方程的表达式和求解方法。
我们来了解一下泊松方程的定义。
泊松方程是指具有以下形式的偏微分方程：∇²φ = f，其中∇²表示拉普拉斯算子，φ是待求解的函数，f是已知的函数。
泊松方程可以用来描述许多物理系统中的平衡状态，比如电势、温度和流体静压力等。
为了推导泊松方程，我们首先考虑一个二维情形。
假设我们有一个平面上的区域Ω，且函数φ在Ω上满足泊松方程。
我们希望找到一个函数u(x, y)，使得u满足以下条件：1. u在Ω上连续可微；2. u在Ω的边界上满足一定的边界条件。
为了满足这些条件，我们引入一个辅助函数v(x, y)，定义为：v(x, y) = u(x, y) - φ(x, y)。
根据辅助函数v的定义，我们可以得到以下两个结论：1. 辅助函数v满足拉普拉斯方程∇²v = 0；2. 辅助函数v在Ω的边界上满足边界条件v = 0。
现在，我们的目标是找到满足上述条件的辅助函数v。
为此，我们可以利用格林公式，将拉普拉斯方程在Ω内部积分，得到：∫∫Ω(∇²v)dxdy = ∫∫∂Ω(∇v·n)dS，其中∂Ω表示Ω的边界，n表示边界的外法向量，dS表示面积元素。
根据边界条件v = 0，上式右侧为0。
因此，我们得到：∫∫Ω(∇²v)dxdy = 0。
为了进一步推导，我们可以将拉普拉斯算子表示为二阶偏导数的形式，即∇²v = ∂²v/∂x² + ∂²v/∂y²。
将这个表达式代入上式，得到：∫∫Ω(∂²v/∂x² + ∂²v/∂y²)dxdy = 0。
根据积分的线性性质，我们可以将上式分解为两个积分：∫∫Ω(∂²v/∂x²)dxdy + ∫∫Ω(∂²v/∂y²)dxdy = 0。
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(1984).
二、泊松方程边界元解法
泊松方程
，（2.1）
式中 为己知函数.如果 位于边界上,文【1】给出其解为
（2.2）
如果 位于区域内,文【l】给出
（2.3）
式中 为求解区域,S为 边界,S的单位外法线为n， 为拉普拉斯方程基本解,
对于二维问题，
文【1】给出的（2.2）式和（2.3）式仍含有区域积分 ，这区域积分虽不含有求解的未知数u，但仍需要对区域进行离散数值积分.
那么可求得
(2.8)
又由
可得
(2.9)
比较 , 和 的表达式,可以看出 有下列形式,即
(2.10)
下面确定系数 和 ,
所以有
（2.11）
比较（2.7）式，（2.10）式和（2.11）式，有：
即
由于 =1， =-0，所以有
（2.12）
从(2.12)式看到， 随j增加很快趋于零,如果 的高阶微分不发散,那么n取适当大，
如果令
那么由格林公式,(2.2)式和(2.3)式的区域积分可以写成
（2.4）
如果再令
那么(2.4)式的区域积分又可写成
（2.积分可写成
（2.6）
（2.7）
为拉普拉斯方程基本解,这里称为一阶拉普拉斯算子基本解, 称为j阶拉普拉斯算子基
本解.下面求 表达式.由于
那么(2.6)式的区域积分就可以略去，一般取n=4就可以得到满意的解。这样(2.1)式对应的
(2.2)式和(2.3)式的解可以写成
(2.13)
(2.14)
由(2.13)式在边界上离散,根据边界条件,求出边界上的u和 的值,知道边界上全
部u值和 的值,再由(2.14)式可求得区域内任一点 的u值。
[1]Bebbai.C.A.,《边界元法的工程应用》(张治强译),陕西科学技术出版社(1985)。