NO.910第二章静电场泊松方程和拉普拉斯方程
第2章 静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程讲解
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
一个旋度方程和 一个散度方程。
同时，场量的散度与该场的标量源密度有关， 旋度与该场的矢量源密度有关。
9
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
静电场是守恒场
E d l 0（静电场的环流定理） C
静电场强的环路积分为零。
5
因此，电场强度
E
可以用一个标量
函数——电位函数的负梯度表示。
E
同时，静电场又是一个有散场， 静止电荷是静电场的散度源。
6
因此，可以从静电场的性质总结出：
在各向同性、均匀、线性的媒质中
2
y 2
2
z 2
圆柱坐标系：2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
球坐标系：
2
1 r2
r
r 2
r
1
r2 sin
sin
r2
1
sin 2
10
二、泊松方程和拉普拉斯方程 1、泊松方程 2、拉普拉斯方程
11
1、泊松方程
D E
E
（介质方程） （电场与电位的关系） D (E)
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
一次积分
静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程
0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
7
介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2
1.1 拉普拉斯方程与泊松方程
泊松方程和拉普拉斯方程Poisson's equation and Laplace's equation势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
物理化学泊松方程
物理化学泊松方程泊松方程是物理化学中一种重要的偏微分方程，描述了电势场中的电荷分布和电势之间的关系。
它是电场的基本方程之一，也是研究电子结构、电解质溶液等领域的基础。
我们来了解一下泊松方程的基本形式。
在三维空间中，泊松方程可以表示为：▽²Φ = -ρ/ε₀其中，▽²Φ表示拉普拉斯算子作用于电势Φ得到的结果，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
这个方程建立了电势分布和电荷分布之间的关系，通过求解该方程，我们可以得到电势场的分布情况。
泊松方程的物理意义可以从两个方面理解。
首先，它描述了电势场中的电荷分布情况。
当电荷密度ρ为零时，泊松方程退化为拉普拉斯方程，描述了无电荷的电势场分布情况。
其次，泊松方程还可以用于求解电势场中的电荷分布。
通过已知的电势分布，可以反推出电荷分布情况，这在研究电子结构、电解质溶液等问题时非常有用。
泊松方程在物理化学中的应用非常广泛。
例如，在固体物理中，泊松方程被用来研究电子在晶格中的运动和能带结构；在电解质溶液中，泊松方程被用来研究电位分布和电解质浓度之间的关系。
此外，泊松方程还可以应用于电容器、半导体、生物电势等领域。
为了求解泊松方程，我们需要给定边界条件。
边界条件可以是电势值的固定值，也可以是电势梯度的固定值。
根据边界条件的不同，可以得到不同形式的泊松方程解。
对于一些复杂的情况，如非线性泊松方程、含时泊松方程等，求解起来可能更加困难，需要借助数值计算方法或近似方法。
泊松方程是物理化学中一种重要的方程，描述了电势场中的电荷分布和电势之间的关系。
通过求解泊松方程，可以得到电势场的分布情况，从而揭示了电势和电荷分布之间的联系。
泊松方程在固体物理、电解质溶液等领域有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点，并且把这些商加在一起，其总和即P点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离rk的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数ε=8.854o×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，ζ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
第二章静电场
第二章 静 电 场§ 2-1 算 子 计 算 式 的 建 立静电场的电场强度E 可由下式求得 φ-∇=E (2-1)式中是φ静电位，∇ 是梯度算子。
∇ 在恒定介电常数ε和体电荷密度ρ的区域内，静电位满足泊松(Poisson)方程ρφ=∇-2/ε (2-2)式中2∇是拉普拉斯算子。
为得到唯一解，必须加上φ的边界条件。
换言之，必须规定算子的定义域。
现在我们来研究电菏在无界空间中的场。
常数=φr 当∞→r （2-3） 式中r 是在有限区域内每个ρ与坐标原点的距离。
微分算子的算式为 ρφ=L （2-4）式中2∇=εL （2-5）定义域是使拉普拉斯算子存在的函数Φ，而且按照式（2-3），在无限远处，φr 有界。
此问题的以知解是z d y d x d Rz y x z y x ''''''=⎰⎰⎰περ4),,(),,(φ（2-6）式中R=222)()()(z z y y x x '-+'-+'-是由原点),,(z y x '''到场点()z y x ,,的距离。
因此，L 的逆算子是⎰⎰⎰'''=-R z d y d x d L πε411（2-7）应记住，只有在式（2-3）的边界条件下，式（2-7）才是式（2-5）的逆算子。
如果边界条件改变，1-L 也改变。
此外，将式（2-5）选定为L ,式(2-7)选定为1-L 是任意的，如果需要的话，也可以将符号倒换。
静电问题（ε是常数）的适当内积⎰⎰⎰=dxdydzz y x z y x ),,(),,(,ϕφφϕ（2-8）式中积分在全空间范围内进行。
容易证明，式（2-8）满足式(1-2) .(1-3)和(1-4)的假设。
现在要证明对于此内积，L 是自伴的。
为此，列出式（1-5）的左方τϕφεϕφd L )(,2∇-=⎰⎰⎰（2-9）式中τd =dxdydz 。
静电场的Laplace方程和Poisson方程(精)
边界条件当然不限于以上三类,还可以有各式各样的边界 条件，甚至是非线性边界条件。
除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
（P159）
（定解问题所需边界条件的数目？）
三类定解问题
定解问题有微分方程(泛定方程)和定解条件组成. 定解条件主要是由初始条件和边界条件组成.根据定解 条件的情况,可以把定解问题分成三类:
二阶线性偏微分方程
把函数 u 的所有自变量（包含空间坐标和时间）依次记作
x1 , x2 ,
, xn ,二阶偏微分方程如果可以写成如下形式:
a u
i, j
n
ij xi x jFra bibliotek biuxi cu f 0
i
n
如果 aij , bi , c, 是线性的.如果 齐次的.
f
只是 1
x , x2 ,
, xn 的函数,则该方程
f 0 ,则称该方程是齐次的;否则称为非
(1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶． (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数． (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以上的方程称为非线性方程． (4)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (5)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
t ,
u x x, t | x l t k
1
又如杆的纵振动问题,若一端受有外力,且单位面积上所受的力 为
静电场的两个基本方程
静电场的两个基本方程
静电场是我们日常生活中经常遇到的一种物理现象。
静电场表现
为电荷的作用，当电荷与各种物质相互作用时，就会产生一种静电场。
静电场可以用两个基本方程来描述。
第一个基本方程是高斯定理，它说明了静电场的电通量密度与电场强度之间的关系。
高斯定理可以
表示为：
∮S E·dS = Q/ε0
其中∮S E·dS表示电场E在某个由曲面S包围的体积内的通量积分，Q表示该体积内的总电荷量，而ε0则是自由空间的电常数。
该定理表明，一个具有总电荷量Q的物体所产生的电场E在它周围形成的
球面上的电通量是Q/ε0。
第二个基本方程是泊松方程式，它可以用来计算电势在某些区域
中的值。
泊松方程式可以表示为：
∇2Φ = -ρ/ε0
其中∇2Φ表示电势Φ在某个区域内的拉普拉斯算子，而-ρ/ε0则是该区域内的电荷体密度。
这个方程可以帮助我们确定电场强度E
与电势Φ之间的关系。
通过这两个基本方程，我们可以计算静电场的各种参数。
除了能
够帮助我们解决一些实际问题，例如静电吸附和静电放电问题外，对
于研究物质的性质和性能也有很大的指导意义。
总之，静电场是电荷的作用所形成的一种物理现象，而高斯定理和泊松方程式是研究和计算静电场相关参数的重要基本方程，为我们理解和应用静电场提供了重要的工具和指导。
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第二章 静 电 场
［解］ 因为同轴圆柱是轴对称结构, 故只有沿半径ρ方向的电 场。图(a) 结构中, 电场垂直于介质与空气的交界面, 根据两介质交 界面上法向分量电通量密度相等的边界条件, 可知道不同介质内D 的表示式相同。而在图(b)结构中, 电场平行于介质与空气交界面, 由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件, 得知不同介质内E 的表示式相同。
即 1E1n 2 E2n
结论: 当ε1≠ε2时, E的法向分量不连续, 其原因是交界面上有束缚面电荷密度
第二章 静 电 场
二. E满足的边界条件
静电场的无旋性: E dl 0 l
nˆ (E1 E2 ) 0 或 E1t E2t
结论： 在介质交界面上,电场强度的切向分量始终连续
2U
c 1
1n
b
(C / m)
a 0 c
内导体带电量为+ρl ，外导体带电量为-ρl
第二章 静 电 场
(2) 图(b)结构: 当φ=0时,
E1 E2
当0< φ< φ1
D1
l1 1
ˆ
E1
D1
l1 1
ˆ
当φ1< φ< 360。时
D2
(2
l2 1 )
y
vd 2 80
(V )
根据公式 E d yˆ 可求得三个区域的电场分布:
dy
E1
vd 2 0
yˆ
(V / m)
d y 2
E2
v y 0
yˆ
(V / m)
d yd
2
2
E3
vd 2 0
yˆ
(V / m)
yd 2
第二章 静 电 场
ˆ
E2
D2
0
(2
l2 1)0
ˆ
b
b
U0 a E1 dl a E2 dl
第二章 静 电 场
所以
b
U
l1 d ,
a 1
l1
1U
1n b
a
b
U
l2
d ,
a (2 1)0
因而得
E1
E2
U
1n
b
a
l2
(2
2.6 分界面上的边界条件
※ 场量在不同媒质分界面上各自满足的关系
将场量在分界面上分解成:
法向normal分量 (以下标n表示) ----- 垂直于分界面
切向tangency分量 (以下标t表示) ----- 平行于分界面
E
nˆEn
tˆEt
nˆ
n
tˆ
t
D nˆDn tˆDt (nˆEn tˆEt )
由静电场基本方程的积分形式: D dS q S
E dl 0
l
两种不同媒质分界面的边界条件
第二章 静 电 场
两种不同媒质分界面的边界条件
法向边界条件
S D dS q
切向边界条件
l E dl 0
(1) 图(a)结构: 当ρ=c时,
D1n D2n
D1 D2
令内、外导体表面上单位长度电量分别为+ρl、-ρl(C/m), 根 据高斯定理可得
第二章 静 电 场
a＜ρ＜c时,
D1
l 2
ˆ
(C / m2 )
E1
D1
l 2
ˆ
(V / m)
c＜ρ＜b时,
D2
l 2
2
n
第二章 静 电 场
四、介质分界面上电场方向的关系
当两种介质分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则
边界条件:
D1n D2n
E1t E2t
改写: 两式相除:
1E1 cos1 2E2 cos2 E1 sin1 E2 sin2
tg1 1 r1 tg2 2 r2
r2
2
r
0
将上述两个方程分别积分两次可得φ1、φ2的通解:
1
v 6 0
r2
A r
B
2
C r
D
第二章 静 电 场
(2) 根据边界条件, 求出积分常数A、B、C、D:
边界条件是: ;
①r=a, φ1=φ2; ;
②r=a,
0
1
r
0
2
r
;
③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ;
第二章 静 电 场
一. D满足的边界条件
法向边界条件
S D dS q
第二章 静 电 场
高斯通量定理
D dS q
S
D1 nˆS D2 nˆS q S S
n (D1 D2 ) S
或 D1n D2n S
结论: 若两种媒质交界面上有自由电荷, 则D的法向分量不连续 若界面上无自由电荷分布，即在ρS=0时:
第二章 静 电 场
拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式
2
直角坐标系中:
2
aˆx
x
aˆ y
y
aˆ z
z
aˆx
x
aˆ y
y
aˆz
z
2 2 2
2x 2y 2z
第二章 静 电 场
(2) 由边界条件确定常数: 边界条件为:
①
yd 2
时, φ1=φ2;
0
d1
dy
0
d2
dy
(交界面上无自由面电荷);
②y=0, φ2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考 点, 这里选择y=0处为参考点。
第二章 静 电 场
③由场分布的对称性, φ2(y)=φ2(-y) ;
D E E E E 2
D E
E
当 场中无电荷分布
(即 0)的区域:
2
电位 满足的泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 拉普拉斯算子
第二章 静 电 场
三 . 电位φ满足的边界条件
D1n D2n S
1
1
n
2
2
n
s
E1t E2t 1 2
(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体;
1
n
s
(2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即ρs2
------静电场的折射定理
电场方向在 交界面上的曲折
第二章 静 电 场
边界条件
• 构成边值问题必不可少的条件; • 判断不同媒质界面两侧场量的大小、方向及连续、突变;
第二章 静 电 场 例 1 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b， 其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电 常数为ε2，如图 所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求内外 导体之间空间的电位移矢量和电场强度。
由条件②、 ③可得:
C4 0,C3 0
由条件①可得
C1
d 2
C2
v 2 0
d 2
2
C1
vd 2 0
C2
vd 2 8 0
1
vd 2 0
y
vd 2 8 0
(V )
2
vd 2 0
y2
(V )
第二章 静 电 场
3
vd 20
23
d 23
dy2
0
d y 2
d yd
2
2
yd 2
第二章 静 电 场 将上面三个方程分别分两次可得
1 C1 y C2
2
v 2 0
y2
C3 y C4
3 C5 y C6
由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)= φ1(-y)，所以我们 只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。
n (D2 D1) 0
或
D2n D1n 0
第二章 静 电 场 ☆ 两种特殊情况
(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体; 静电场中导体内部电场为零, 故
nˆ D1 s或D1n s
(2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则
nˆ (D1 D2 ) 0或D1n D2n
平板形体电荷的几何关系
第二章 静 电 场
［解］设①、 ②、 ③区域的电位函数分别为φ1(y)、φ2(y)、 φ3(y)。
(1) 分别列出三个区域的电位方程。 在①、 ③两个区域内 电位满足拉普拉斯方程, 而第②区域的电位满足泊松方程:
21
d 21
dy2
0
2 2
d 22
dy2
v 0
④r=0, Er=0)。
1
r
0
(因为电荷分布球对称,
球心处场强E1=0,
即
由上述条件, 确定通解中的常数: