二维拉普拉斯方程的边值问题分析
拉普拉斯方程、水平集方法等
拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
定义三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：上面的方程常常简写作：或其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：Δφ = 0其中Δ称为拉普拉斯算子.拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得φ在D的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。
从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
二维拉普拉斯方程狄利克雷边界条件（u(r=2)=0、u(r=4)=4sin(5*θ)）下的环形拉普拉斯方程（r=2、R=4）图形两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
解二维LAPLACE方程DIRICHLET问题直接边界积分方程的GALERKIN..
摘要Laplace方程是最典型，最简单但应用广泛的椭圆型偏微分方程。
用边界元法解边值问题，由不同的边界归化方法可以得到不同的边界积分方程，数值求解边界积分方程也有好几种方法。
本文考虑用Green公式和基本解推导得出直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题，该直接边界积分方程是第一类Fredholm积分方程。
对二维问题，一般的带对数积分核第一类Fredholm积分方程并不总是唯一可解的，特别是对外边值问题，解在无穷远处的形态有很大的影响。
人们在用直接边界元方法进行计算时，并不刻意去考虑积分方程的可解性，但可解性的问题是不能回避的，这涉及到原问题的解与边界积分方程的解的等价性问题。
事实上，对内边值问题，第一类Fredholm直接边界积分方程的可解性条件是自然得到满足的，本文对此做了验证。
对外边值问题，考虑到二维Dirichlet 问题的解应当在无穷远处有界，故解的边界积分表达式要做修正，对积分方程的解要有约束，这样去解边界积分方程得出的解才等同于原问题的解。
一般来说，直接边界积分方程可以很方便的用配点法求解，还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道。
本文采用Galerkin边界元方法求解直接边界积分方程，是为了验证这两种方法的效率和精度，且Galerkin法易于进行收敛性分析。
Galerkin 边界元方法是把积分方程转化为等价的边界变分方程，经用边界元离散后，通过求解线性代数方程组和计算解的离散的积分表达式求得原问题的数值解，该方法需要在边界上计算重积分。
本文推出了第一重积分的解析计算公式，对外层积分则采用高斯数值积分。
对外边值问题，第一类Fredholm积分方程的解要附加在边界上积分为零的条件，本文采用Lagrange乘子放松这个约束，求解扩展的变分方程时，可同时得出解在无穷远的值。
本文采用常单元和线性元这两种离散方式，分别用Fortran90编写了计算程序，对误差与边界元的数量的关系做了数值实验。
二维拉普拉斯方程的边值问题解析
n y
n y
(ane a bne a
n1
n
) sin a
x
仍然满足方程和齐次边界条件(32).
(37)
再应用非齐次边界条件 u(x,0) f (x), u(x,b) g(x),
(31)
5
则有关系式
n
(an bn )sin
n1
a
x f ( x),
n b
(ane a
n1
bne
n a
b
)
s
in
则有
1 Rr Rt r ,
Rrr
(Rtt
1) 1 rr
Rt
(
1 r2
)1 r2ຫໍສະໝຸດ Rtt1 r2Rt ,
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
Rtt n 2 R 0
Rn Cnent Dnent . 再将 t ln r 代入还原得
原方程通解为
Rn (r ) Cnr n Dnr n .
8
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
(0 r r0 ),
(39)
u |rr0 f ( ).
(40)
练习：验证拉普拉斯方程 uxx u yy 0 在极坐标
系下的形式为
urr
1 r
u
r
1 r2
u
0
提示：作极坐标变换
x r cos, y r sin,
r x2 y2 , u r
x
arctan y .
3
(3)当 0 时，问题(36)有非平凡解。
此时 对应的
n
( n
a
)2,
nx
X n (x) Bn sin a
2.3二维拉普拉斯方程的边值问题
6
u rr
1 r
0
ur
1 r
2
u 0 ( 0 r r0 ),
u | r r f ( ).
A 0
(4 1) B0 ,
0
其中A 0 , B 0 是任意常数。 只有当 A 0 0 时，函数 才满足周期性条件。因此，当 0 时，问题(41) ( ) B . 的解为 2 0 代入问题(42)中的方程 r R ' ' rR ' R 0 , 再将 R 0 ( r ) C 0 ln r D 0 , 其通解为 其中C 0 , D 0 是任意常数。只有当 C 0 0 时，函数 R 0 才满足有界性条件。 | R ( 0 ) | . 因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R 0 ( r ) D 0 . 1 从而得原方程(39)的一个非0解 u ( r , ) B D a .
2
' ' 0 .
由于温度函数 u ( r , ) 是单值的，所以当 从 变到 2 时，u ( r , 2 ) u ( r , ) 成立， 从而有
( 2 ) ( ).
同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度 应该是有界的，因而 | u ( 0 , ) | R (r ) 应满足条件
2 2
( n 1, 2 , )
解 作变换 r e t 则有
Rr Rt 1 r ,
t ln r
R rr ( R tt 1 r ) 1 r Rt ( 1 r
2.2二维拉普拉斯方程的边值问题
u
y = 0 = f ( x ),
⇒∑
n =1
∞
{ An + Bn } sin
⇒ A + B = 2 a f (ξ ) sin nπ ξdξ n n ∫
a
0
a
u
y =a
= g (x). ⇒
∑
⇒
n =1
∞
nπb nπb nπx { An exp[ ] + Bn exp[− ]} sin = g ( x). a a a
真空静电势满足拉普拉斯方程： 真空静电势满足拉普拉斯方程：
方程
∆u ( x, y ) = 0
边界条件
或
∂ 2u ∂ 2 u + 2 =0 2 ∂x ∂y
云、地、导线。
导线的表面是等势面，取其为电势零点： 导线的表面是等势面，取其为电势零点： 零点
u u
x 2 + y 2 =a 2
= f 有限
a为导线半径
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + + 2 =0 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
⇒
R' ' Φ + R' Φ / ρ + RΦ' ' / ρ 2 = 0
ρ 2 R' ' / R + R' ρ / R + Φ ' ' / Φ = 0
ρ R ' ' / R + R ' ρ / R = −Φ ' ' / Φ = λ
nπb nπb 2 nπξ An exp[ ] + Bn exp[− ] = ∫ g ( x) sin dξ a a a0 a
二维laplace方程dirichlet问题直接边界积分方程的galerkin解法
二维laplace方程dirichlet问题直接边界积分方程的galerkin解法二维Laplace方程是一个非常典型的偏微分方程，在实际工程领域中应用非常广泛。
其中，Dirichlet问题是一种典型的边界条件，在许多实际问题中常常需要使用直接边界积分方程的Galerkin解法来求解。
Galerkin方法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法，它通过将方程的解表示成一组特殊函数的线性组合，然后通过求解一组线性方程组来求解问题。
当然，在求解二维Laplace方程时，我们需要先将方程转化为边界积分方程，然后再运用Galerkin方法求解。
下面是二维Laplace方程Dirichlet问题直接边界积分方程的Galerkin解法的具体步骤：第一步，将二维Laplace方程转化为边界积分方程。
对于Dirichlet问题，我们可以通过定义边界上的势函数来将Laplace方程转化为边界积分方程。
具体来说，我们可以写出边界上的势函数u(x)：u(x) = ∫ f(y)G(x,y)ds(y)其中，f(y)是边界上的已知函数，G(x,y)是方程的格林函数，s(y)是边界上的曲面元素。
利用Green第一恒等式可以证明，该势函数u(x)满足Laplace方程，且在边界上满足给定的Dirichlet条件，即u(x) = f(x)。
第二步，选择基函数。
为了应用Galerkin方法求解问题，我们需要选择一组特殊函数作为基函数。
一般来说，我们可以选择分段线性函数、分段多项式函数或者N次样条函数等作为基函数。
第三步，确定权函数。
在Galerkin方法中，我们需要定义一个权函数作为线性组合的系数。
对于二维Laplace方程的边界积分方程，我们可以选择δ函数（Dirac函数）作为权函数，即：∫ w(x)u(x)dm(x) = ∫ w(x)∫ f(y)G(x,y)ds(y)dm(x)其中，w(x)是δ函数，m(x)是边界的度量，即曲面元素。
二维拉普拉斯方程的基本解
二维拉普拉斯方程的基本解一、引言二维拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，广泛应用于物理、工程等领域。
本文将介绍二维拉普拉斯方程的基本解，包括定义、性质及求解方法。
二、定义二维拉普拉斯方程是指以下形式的偏微分方程：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0$$其中，$u=u(x,y)$是未知函数，$x,y$是自变量。
三、性质1. 线性性：二维拉普拉斯方程是线性偏微分方程，即满足叠加原理。
2. 均匀性：若$u=u(x,y)$是二维拉普拉斯方程的解，则$cu=cu(x,y)$也是其解，其中$c$为任意常数。
3. 最大值原理：设$D$为平面上一个有界区域，如果在$D$内有一个点$(x_0,y_0)$使得在该点处的函数值最大（或最小），则该函数在整个区域内的函数值都不会超过（或低于）该点处的函数值。
4. 无穷远边界条件：当$x^2+y^2\rightarrow \infty $时，解趋近于常数。
四、求解方法1. 分离变量法假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则可以将二维拉普拉斯方程化为两个一维的常微分方程：$$\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-\lambda$$其中，$\lambda$为常数。
然后分别解出$X(x)$和$Y(y)$，再将其乘起来即可得到原方程的解。
2. 用格林函数求解格林函数是指满足以下条件的函数$G(x,y;x_0,y_0)$：（1）在$x\neq x_0$或$y\neq y_0$时，它满足二维拉普拉斯方程；（2）在$x=x_0$且$y=y_0$时，它满足以下边界条件：$$G(x,y;x_0,y_0)=\begin{cases}1 & \text{$x=x_0$, $y=y_0$}\\0 & \text{其他情况}\end{cases}$$利用格林函数可以求出任意一个边值问题的解。
拉普拉斯方程的格林函数法
则 u(M 0)u (M ) n(4整r 1 M 理M 课0 件v)d S
19
2v0，in
令G(M,M0)41rM1M0 v, 其中调和函数v满足v4r1MM0
则 u(M0)u(M)G ndS.
称 G ( M ,M 0 ) 为 三 维 L a p l a c e 方 程 狄 氏 问 题 的 格 林 函 数 。 这 种 由 格 林 函 数 或 其 导 数 的 积 分 来 表 示 解 的 方 法 称 为 格 林 函 数 法 。
的 值 来 表 示 。
2） 若 M0为 外 或 边 界 上 的 点 ， 类 似 推 导 有
u(M)nrM 1M0
1 rMM0
u ndS 24uu(0 (M ， M00 M ))， ， 0在 M M 00在 在 外 上 内
整理课件
13
3 ） 若 u C 2 ( ) C 1 ( ) ， 且 2 u = F , 我 们 可 以 得 到 类 似 公 式
取 v1,则 可 得 牛 曼 问 题 u n=f有 解 的 必 要 条 件 是 fdS0
整理课件
14
（3）平均值公式
定 理 ： 设 函 数 u(M )在 区 域 内 调 和 的 ， M 0(x0,y0,z0)为 其 中 任 一 点 ，
Ka表 示 以 M 0(x0,y0,z0)为 中 心 ， 以 a为 半 径 且 完 全 落 在 内 部 的 球 面 ，
整理课件
15
（4）Laplace方程解的唯一性问题
定 理 ： 狄 氏 问 题 在 C 2 ( )C 1 ( ) 内 解 唯 一 ， 牛 曼 问 题 除 相 差 一 个
常 数 外 解 也 是 唯 一 确 定 的 。
证明：
设 u1,u2为 上 述 两 类 问 题 的 解 ， 则 它 们 的 差 vu1u2必 是 原 问 题 的 满 足 零 边 界 条 件 的 解 ， 即 对 于
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(33)
将(33)代入方程(30),分离变量得
X ''( x) Y ''( y)
X(x) Y( y)
其中 是常数。 因此我们得到两个常微分方程
2
X ''(x) Y ''( y)
X (x) Y (y)
X ''(x) X (x) 0, (34) Y ''( y) Y ( y) 0, (35)
9
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
(0 r r0 ),
u |rr0 f ( ). 设方程(39)的解为
u(r,) R(r)(), 代入方程(39)得
R'' 1 R' 1 R'' 0
分离变量则有
r
r2
r 2R''rR' ''
R
其中比值 为常数。
(39) (40)
10
由此可得两个常微分方程 r 2 R''rR'R 0,
则有
1 Rr Rt r ,
Rrr
(Rtt
1) 1 rr
Rt
(
1 r2
)
1 r2
Rtt
1 r2
Rt ,
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
Rtt n 2 R 0
Rn Cnent Dnent . 再将 t ln r 代入还原得
原方程通解为
Rn (r ) Cnr n Dnr n .
'' 0. ( 2 ) ( ).
(41)
r 2 R''rR'R 0, | R(0) | .
n
a
x
g( x),
利用傅里叶系数公式得
2 a
n
an bn a 0 f ( x)sin a xdx,
(n 1, 2,).
n b
ane a
n b
bne a
2 a
a
n
g( x)sin
0
a
xdx,
由上式解出 an , bn , 代回(37)式即得问题(30)-(32) 的解。
6
补充知识点： 欧拉(Euler)方程的一般形式
Y ( y) Cne a Dne a
(n 1, 2,).
4
这样我们就可以得到方程(30)满足齐次边界
条件(32)的一系列特解
n y
un ( x, y) (ane a
n y
bne a
n
) sin a
x
(n 1, 2,),
由于方程(30)和边界条件(32)是齐次的，因此
u( x, y)
求板内稳恒状态下的温度分布规律。 我们用 u(x, y) 来表示板上点 (x, y) 处的温度，即
1
解下列定解问题：
uu(xxx,0)uyy
0 (0 x f (x), u(x,b)
a, 0 y g(x),
b),
u(0, y) 0, u(a, y) 0.
(30) (31) (32)
应用分离变量法，设 u(x, y) X (x)Y (y),
(n 1, 2,)
7
二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题
考察一半径为 r0 的圆形模板稳恒状态下的温度
分布问题，设板的上下两面绝热，圆周边界上的 温度已知为 f () (0 2 ), 且 f (0) f (2 ).
试求稳恒状态下的温度分布规律。 由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯， 并且区 域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程 采用极坐标形式更方便。 我们用 u(r, )来表示圆形薄板内 (r, )点处的温度 则所述问题可以表示成下列定解问题：
8
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
(0 r r0 ),
(39)
u |rr0 f ( ).
(40)
练习：验证拉普拉斯方程 uxx u yy 0 在极坐标
系下的形式为
urr
1 r
u
r
1 r2
u
0
提示：作极坐标变换
x r cos, y r sin,
r x2 y2 , u r
x
arctan y .
'' 0.
由于温度函数 u(r,) 是单值的，所以当 从
变到 2 时，u(r, 2 ) u(r, ) 成立，
从而有
( 2 ) ( ).
同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度
应该是有界的，因而 | u(0, ) | 成立，由此知
R(r)应满足条件
| R(0) | .
11
这样，我们就得到两个常微分方程的定解问题
n y
n y
(ane a bne a
n1
n
) sin a
x
仍然满足方程和齐次边界条件(32).
(37)
再应用非齐次边界条件 u(x,0) f (x), u(x,b) g(x),
(31)
5
则有关系式
n
(an bn )sin
n1
a
x f ( x),
n b
(ane a
n1
bne
n a
b
)
s
in
由齐次边界条件 u(0, y) 0, u(a, y) 0
(32)
X (0) X (a) 0,
下面求解常微分方程边值问题 X ''(x) X (x) 0, X (0) X (a) 0, (36)
的非0解。
(1)当 0 时，问题(36)没有非平凡解。
(2)当 0 时，问题(36)也没有非 ur ry u y
u xx (urr rx ur x ) rx ur rxx (u r rx u x ) x u xx
u yy (urr ry ur y ) ry ur ryy (u r ry u y ) y u yy
2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题
对于某些特殊区域上的拉普拉斯方程边值问题， 也可以应用分离变量法来求解。
一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 考察一矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题。
设薄板上下两面绝热，板的两边 (x 0, x a) 始终保持0度，另外两边 (y 0, y b) 的温度分别 为 f (x) 和 g(x).
3
(3)当 0 时，问题(36)有非平凡解。
此时 对应的
n
( n
a
)2,
nx
X n (x) Bn sin a
(n 1, 2,).
接着考虑方程 Y ''( y) Y ( y) 0,
(35)
将 n 代入方程(35)可得
其通解为
Y ''( y) ( n )2Y ( y) 0,
a
n y
n y
x n y(n) P1 x n1 y(n1) Pn1 xy' Pn y f ( x).
其中 P1 Pn 是常数， f (x) 是已知函数。
问题：求满足如下欧拉(Euler)方程的函数 R(r)
r 2 Rrr rRr n2 R 0, (n 1, 2,)
解 作变换 r et
t ln r