应用统计学 第五章 方差分析
-10 109 80 21
342225 60355 125316 20984
113
27
(10)
11332 ST 91363 fT 24 1 23 37876.0417, 24 505177 11332 SA fA 3 1 2 9660.0833, 8 24 Se ST SA 37876.0417 9660.0833 28215.9584, fe 3(8 1) 21
)
1 n
r
mi
i 1
i
r
mi ai
i 1
0
SA
r r
SA
i 1
mi ( yi.
y)
2 i
Ti 2 1 mi
T2 n
16 March 2012
38
4 10
6
16 March 2012
39
6
mi
mi A1 A2 A3 A4 12 18 14 12 13 19 17 21 24 30 2 3 3 2
Ti 30 39 57 54
SA / fA S e / fe
H0
16 March 2012
22
2 (1) Se /
E (S A )
2
(3) ~
1)
2
(n r)
r 2
E(Se )
a i2
i 1
(n r) H0
2
(r
m
2
SA/ (2) SA Se
~ 2(r 1)
16 March 2012
23
fe
2 F
H0
F W={F F (fA ,fe)}
X )]2
( X ij
i 1 j 1 p q
X )2
i 1 j 1
(Xi. X )
16 March 2012 j i 1
(X .j
1
X )2
54
p q
2
i 1 j 1 p q
( X ij
Xi. X .j
X )( X . j
X)
2
i 1 j 1
p q
i.
1 m
m ij j 1
,
1 r
r i. i 1
16 March 2012
15
yij
yi.
(
i
ij
) (
i
i
)
ij
i
7
yij – y i
yi.
y
(
i
i.
) (
)
ai
i.
8 i
yi.
y
16 March 2012
16
k y =(y1+ …+ yk )/k
Q ( y1 y)
2
y1 , y2 , …, yk
2
fe=n r
16 March 2012
19
r
SA
m
i 1
( yi.
y )2
A fA=r 1
16 March 2012
20
1 SA Se
ST
ST =SA +Se , fT =fA +fe 9
9
16 March 2012
21
4
Q MS=Q/fQ
SA MSA= SA /fA
F MSA M Se
Se MSe= Se /fe
X ij'
A1 A2 A3
11.0 2.8 4.3 12.8 4.5 6.1 7.6 1.5 1.4 8.3 0.2 3.6 4.7 5.5 9.3 10.3
16 March 2012
46
8
F
155.64 85.34 240.98 2 13 15 77.82 6.56 11.86 * *
0.01
F
Ai
i
1yi .
ˆ2
t
MSe
/2
( fe ) / m ,
yi .
t
/2
( fe ) / m
(11)
16 March 2012
33
3
2 A
1
2
3
194 1000 1024.25, 8 585 1000 1073.125, 8 354 1000 1044.25, 8
2
16 March 2012
34
ˆ2
16 March 2012
4
A A1, A2, A3 yij
Ai 60 i=1, 2, 3, j=1, 2, , 10
A j
16 March 2012
5
2
1 A, r r A1, A2,…, Ar r
16 March 2012
6
1)
N( i , i 1, 2,…, r
2 i
)
2) 3)
:
2 1
M Se
1 3 4 3 .6 1 7 1
ˆ
1343.6171 36.6554
0.05
t /2( fe )=
t0.025( 21 )=2.0796 ˆ t0.025 (21) / 8 26.9509 0.95 1 :1024.25 26.9509 = [997.2891, 1051.2109], 2 :1073.125 26.9509 = [1046.1741, 1100.0759], 3 :1044.25 26.9509 = [1017.2891, 1071.2109].
51
A
H 01 :
1
2
p
0
H 11 ;
i
0, i 1,
B
,p
H 02 :
1
2
q
0
H12 ;
j
0, j 1,
,q
16 March 2012
52
H 01
A
H 02
B
ij
ij
i
ij
j
H 01 H 02
X ij
H 01
H 02
X i.
16 March 2012
1 q
q
X ij
j 1
(i 1,2,
, p),
16 March 2012
r m
13
2
A1 A2
y11 y12 … y1m y21 y22 … y2m
T1 T2
y1 y2
Ar
yr1 yr2 … yrm
Tr T
yr
y
16 March 2012
14
yij yij y
yij y ( yij yi. ) ( yi. y)
y
6
1 n
r m ij i 1 j 1
1 m ST
r
Ti
i 1
2
10
SA
16 March 2012
26
2
1 4 2
1000
m
-1000 A1 A2 A3 73 107 93 9 92 29 60 1 2 90 22 12 74 32 9 122 29 28 1 48
Ti 194 585 354
2 Ti
2 y ij j 1
37636
10024
fA
3
F SA Se ST
16 March 2012
fA=r 1
MSA= SA/fA MSe= Se/fe
F
MSA/ MSe
fe=n r
fT=n 1
24
F >F (fA ,fe) F F (fA ,fe) A
A
16 March 2012
25
r
m 2 yij
ST
i 1 j 1
T2 n T2 n
SA Se
k
( yk
y)
2 i 1
( yi
y )2
k
16 March 2012
17
Q k
k
( yi
i 1
y)
0
y1 y , …, yk y Q
k 1 f fQ=k 1 Q
16 March 2012
18
yij
r
m
ST
i 1 j 1
( y ij
fT=n 1
y )2
r
m
Se
i 1 j 1
( y ij
yi . )
B2 X 12 X 22
Bq
X 1q X 2q
Xi.
X 1. X 2.
A1 A2
Ap
X.j
X p1
X p2
X pq
X .q
X p.
X .1
X .2
X
( Ai , B j )(i 1,2,
, p, j 1,2,
, q)
16 March 2012
49
X ij
ij i
q ij j 1 p ij i 1
N(
3 4
16 March 2012
44
5 —— 7
A1 A2
231.0 220.8 224.3
232.8 224.5 226.1
227.6 218.5 221.4
228.3 220.2 223.6
224.7
225.5
229.3
230.3
A3
?
16 March 2012
45
220
' ( X ij
X ij 220)
1
1
, .
16 March 2012
2
1 A1 A2 24 60 A3
16 March 2012
3
1
A A1 A2 A3
1073 1107 1093 1009 1092 1029 1060 990 1080 1001 1109 1021 1002 1090 1022 1012 1074 1032 1009 1122 1029 1028 1001 1048
统计学：5方差分析
统计学
ST管AT理IST者ICS层次水平的不同是否会导致评分的显著差异？ (第三版)
一家管理咨询公司为 高、中、初级管 理者提供人力资 源讲座。听完讲 座后随机抽取不 同层次管理者大 满意度评分，取 0.05 的 显 著 性 水 平，检验管理者 层次水平的不同 是否会导致评分 的显著差异？
高级 7 7 8 7 9
统计学
STATISTICS (第三版)
第 5 章 方差分析
5.1 方差分析的基本原理 5.2 单因素方差分析 5.3 双因素方差分析
7-1
2008年8月
统计学
STATISTICS (第三版)
学习目标
方差分析的基本思想和原理 单因素方差分析 多重比较 双因素方差分析的方法
7-2
2008年8月
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
1. 正态性(normality)。每个总体都应服从正态分布， 即对于因子的每一个水平，其观测值是来自正态 分布总体的简单随机样本
2. 方差齐性(homogeneity variance)。各个总体的方 差必须相同，对于分类变量的k个水平，有 12=22=…=k2
3. 独立性(independence)。每个样本数据是来自因 子各水平的独立样本(该假定不满足对结果影响较 大)
7-5
2008年8月
统5.1计学方差分析的基本原理
STATISTICS (第三版)
方差分析的基本假定
如果原假设成立，即H0 ：m1=m2=……=mk
自变量对因变量没有显著影响
每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一正态总体
中级 8 9 8 10 9 10 8
初级 5 6 5 7 4 8
(整理)统计学教案习题05方差分析
第五章 方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容 1．方差分析基本思想（1） 多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2） 多组均数比较的检验假设与F 值的意义。
（3） 方差分析的应用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t 检验法；Dunnett-t 检验法；SNK-q 检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想 1． 基本思想方差分析（analysis of variance ，ANOV A ）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean ，SS ）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS 组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F 分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups ），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS 组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
统计学实验—SPSS与R软件应用与实例-第5章方差分析-SPSS
2020/7/23
《统计学实验》第5章方差分析
5-16
【统计理论】
注意到 i j 0与 j i 0是等价的。因此
该假设中共有r(r 1)/ 2个不同的成对比较。
多重比较的特点是它同时对多个成对假设进 行比较。多种比较的思想有两种，一是寻找每一 个成对假设的检验统计量，给出检验临界值，通 过比较界定显著程度；二是使用同时置信区间 (simultaneous confidence interval)的概念。
5-6
5.1 单因素方差分析
【例5.1】(数据文件为li5.1.sav)为研究咖啡因对人 体的影响，进行如下的试验：咖啡因剂量取三个 水平：0 mg, 100mg, 200mg。挑选同一年龄，体 质大致相同的30名健康的男大学生进行手指叩击 训练。训练结束后，对每个水平随机的选定其中 10个人，在服用咖啡因2小时后，请每个人做手指 叩击，记录下每分钟叩击的次数。该试验进行双 盲试验，即试验者和生物学家均不知道他们接受 的是哪一种剂量的咖啡因，只有统计人员知道。 试验数据如下表：
（数据来源：费宇等,《统计学》第5章,高等教育 出版社,2019）
(1)给定显著性水平 0.05 ,比较试验中咖啡因用量是
否对人体神经功能有显著影响？
(2)如果有显著差异，在0.05的显著性水平下，说明试 验中咖啡因用量在哪些水平上有显著差异?
2020/7/23
《统计学实验》第5章方差分析
5-8
【统计理论】
2020/7/23
《统计学实验》第5章方差分析
5-13
【统计理论】
为了检验 H 0 ，定义F统计量
F M S A S S A /(r 1 )~F (r 1 ,n r r) M S ES S E /(n r r)
5章 方差分析
3、检验两个或多个因素间有无交互作用。
应用条件（P63）
1、各个样本是相互独立的随机样本； 2、各个样本来自正态总体； 3、各个处理组的总体方差方差相等， 即方差齐。
不满足应用条件时处理方法
1、进行变量变换，以达到方差齐或 正态的要求；
H0:三种卡环抗拉强度的总体均数相等；各区组 卡环抗拉强度的总体均数相等
H1:三种卡环抗拉强度的总体均数不全相等；各 区组卡环抗拉强度的总体均数不全相等
0.05
2、计算F值
方差分析表
──────────────────────────
变异来源 SS
V
MS
F
──────────────────────────
2、如果方差分析无差别，分析结束。
多样本均数之间的多重比较
两两比较，又称基于方差分析的后续 检验（post hoc test）。
LSD-t检验和SNK检验
多个样本均数的比较一般分为两种情况:
①证实性实验研究:在设计阶段就根据研究目的或专业 知识决定某些均数间的两两比较，例如多个处理组与 对照组的比较，处理后不同时间与处理前的比较等。
MS组内 2
1 nA
1 nB
a 指样本均数排序后，比较的两组间包含的组数。
例5-3，SNK多重比较：
处理组
甲组
乙组
丙组
丁组
xi
ni
组次
0.2913 8 1
1.0200 8 2
2.1488 8 3
2.2650 8 4
S xA xB
MS组内 2
统计学之方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
《统计学》-第5章-习题答案
第五章方差分析思考与练习参考答案1.试述方差分析的基本思想。
解答：方差分析的基本思想是，将观察值之间的总变差分解为由所研究的因素引起的变差和由随机误差项引起的变差，通过对这两类变差的比较做出接受或拒绝原假设的判断的。
2.方差分析有哪些基本假设条件？如何检验这些假设条件？解答：（1）在各个总体中因变量都服从正态分布；（2）在各个总体中因变量的方差都相等；（3）各个观测值之间是相互独立的。
正态性检验：各组数据的直方图/峰度系数、偏度系数/Q-Q图，K-S检验*等方差齐性检验：计算各组数据的标准差，如果最大值与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。
最大值和最小值的比例等于1.83<2。
也可以采用Levene检验方法。
独立性检验：检查样本数据获取的方式，确定样本之间无相关性。
3.对三个不同专业的学生的统计学成绩进行比较研究，每个专业随机抽取6人。
根据数据得到的方差分析表的部分内容如表5-21。
请完成该表格。
如果显著性水平α=0.05，能认为三个专业的考试成绩有显著差异吗？表5-21 不同专业考试成绩的方差分析表差异源SS df MS F组间193.0 ________ ________ ________组内819.5 ________ ________总计1012.5 ________解答：表5-21 不同专业考试成绩的方差分析表差异源SS df MS F组间193.0 ____2_ __ ____96.5____ 1.766321组内819.5 ____15____ 54.63333总计1012.5 __ 17____查f为三个专业的成绩无显著差异。
根据以下背景资料和数据回答4-7题。
为测试A、B、C、D、E五种节食方案，一位营养学家选择了50名志愿者随机分成五组，每组采用一种方案测量两个月后每个人的降低的体重，得到的实验数据如表5-22。
表5-22 不同节食方案的降低的体重（公斤）序号 方案A 方案B 方案C 方案D 方案E 1 6.5 2.9 8 5.1 11.5 2 11.6 5.5 11.9 2.5 13.2 3 7.7 4.3 8.5 1.5 11 4 8.7 3.6 8.9 2.2 13.1 5 8.4 3.9 9.1 1.4 13.8 6 4.1 6.7 11.4 3.1 12.8 7 8.7 4.5 12.6 5.4 12 8 6.6 1.7 12.4 1.9 11.5 9 7.1 6.5 9.4 4.1 14.6 10 8.9 5.4 10.6 3.6 13.74.不同节食方案的实验效果的描述统计资料如表5-23。
SPSS统计分析_第五章__方差分析
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1
一、方差分析的概念
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处 理方法对实验结果的影响。通常是比较不同 实验条件下样本均值间差异。 方差分析是检验两个或多个样本均数间差异 是否具有统计意义的一种统计学方法。
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2
方差分析主要用于均数差别的显著性检验、 分离各有关因素并估计其对总变异的作用、 分析因素间的交互作用和方差齐性检验；
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12
① 比较第二组的均值与第一组的均值是否有显 著性差异。
② 比较第三组的均值与第一组的均值是否有显 著性差异。 前两项研究的是A、B两因素的主效应。
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13
③ 除了比较第四组的均值与第一组的均值是否 有显著性差异外还要研究A药对B药的疗效 是否有影响。若A药对B药疗效无影响，那 么除抽样误差外，第四组与第二组均值之差 应该等于第三组均值减去第一组均值。但是 实际上（2.1－1.2）=0.9；（1.0－0.8） =0.2。竞相差0.7，该差值几乎与第一组均 值相同。 0.7的差值包括抽样误差和A、B药 的相互作用。
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27
使用系统默认值进行单因素方差分析只能得 出是否有显著性差异的结论，本例数据量少， 哪两组之间差别最大，哪种饲料使猪体重增 加更快，几乎是可以看出来的。实际工作中 往往需要两两的组间均值比较。这就需要使 用 One-way ANOVA进行单因素方差分析时 使用选择项从而获得更丰富的信息，使分析 更深入。
6
二、方差分析中的术语
因素与处理（Factor and Treament） 水平（Level） 单元（Cell） 因素的主效应和因素间的交互效应 均值比较 协方差分析
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第五章方差分析[统计学经典理论]
第五章方差分析•如果要检验两个总体的均值是否相等，我们可以用t检验。
当要检验多个总体的均值是否相等，则需要采用方差分析。
•方差分析是R.A.Fister发明的，它是通过对误差的分析研究来检验两个或多个正态总体均值间差异是否具有统计意义的一种方法。
•由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动，造成波动的原因可分成两类，一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果造成影响的可控因素，方差分析认为不同处理组的均值间的差异基本来源有两个：•组内差异：由随机误差造成的差异，用变量在各组的均值与该组内变量值之差平方和的总和表示，记作SSE。
•组间差异：由因素中的不同水平造成的差异，用变量在各组的均值与总均值之差平方和的总和表示，记作SSA。
•方差分析的基本思想是：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
•方差分析的三个条件：•被检验的各总体均服从正态分布；•各总体的方差皆相等；•从每一个总体中所抽出的样本是随机且独立的；方差分析的基本步骤：建立原假设H0：两个或多个总体均值相等。
将各不同水平间的总离差分成两个部分：组间差异SSA组内差异SSE构造检验统计量： F= MSA / MSE判断：在零假设为真时，F～F[(k-l),(n-k)]的F分布。
若各样本平均数的差异很大，则分子组间差异会随之变大，而F值也随之变大，故F检验是右尾检验。
当检验统计量F大于临界值时则拒绝原假设；或者根据 p值来判断，若p<α，则拒绝原假设§5.1 单因素方差分析（One-Way ANOVA过程）One-Way ANOVA过程用于进行两组及多组样本均数的比较，即成组设计的方差分析，如果做了相应选择，还可进行随后的两两比较，甚至于在各组间精确设定哪几组和哪几组进行比较。
5.1.1 界面说明【Dependent List框】选入需要分析的变量，可选入多个结果变量（应变量）。
统计学教案习题05方差分析
第五章方差分析一、教学大纲要求（一）掌握内容1．方差分析基本思想（1）多组计量资料总变异的分解，组间变异和组内变异的概念。
（2）多组均数比较的检验假设与F值的意义。
（3）方差分析的应用条件。
2．常见实验设计资料的方差分析（1）完全随机设计的单因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（2）随机区组设计资料的两因素方差分析：适用的资料类型、总变异分解（包括自由度的分解）、方差分析的计算、方差分析表。
（3）多个样本均数间的多重比较方法： LSD-t检验法；Dunnett-t检验法；SNK-q检验法。
（二）熟悉内容多组资料的方差齐性检验、变量变换方法。
（三）了解内容两因素析因设计方差分析、重复测量设计资料的方差分析。
二、教学内容精要(一) 方差分析的基本思想1．基本思想方差分析（analysis of variance，ANOVA）的基本思想就是根据资料的设计类型，即变异的不同来源将全部观察值总的离均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）和自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的交互作用）加以解释，如各组均数的变异SS组间可由处理因素的作用加以解释。
通过各变异来源的均方与误差均方比值的大小，借助F分布作出统计推断，判断各因素对各组均数有无影响。
2．分析三种变异（1）组间变异：各处理组均数之间不尽相同，这种变异叫做组间变异（variation among groups），组间变异反映了处理因素的作用（处理确有作用时 ），也包括了随机误差（ 包括个体差异及测定误差 ）, 其大小可用组间均方（MS组间）表示，即 MS 组间= 组间组间ν/SS ， 其中，SS 组间=21)(x xn ki ii -∑= ，组间ν=k -1为组间自由度。
k 表示处理组数。
田间统计第5章_方差分析(第1节)
在计算处理内平方和时，kn个离均差
( xij xi ) 要受k个条件的约束，即
(x
j 1
n
ij
xi ) 0 （i=1,2,…,k）
故处理内自由度为资料中观测值的总个数
减 k ，即 kn - k 。 处理内自由度记为 dfe
dfe=kn-k=k(n-1)
因为
nk 1 (k 1) (nk k ) (k 1) k (n 1)
F 分布密度曲线是随自由度df1、df2的
变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df1、 df2的增大逐渐趋于对称，如图3-15所示。
特点：1、F分布的平均数μ F=1； 2、取值范围[0，+∞]； 3、只有一尾概率，右尾概率； 4、F分布是一组曲线系，当V1、V2都 趋近于+∞时，F分布趋于对称分布。
（二）、F检验
用 F 值出现概率的大小推断一个总
体方差是否大于另一个总体方差的方法
称为F检验(F-test)。F检验是一尾检验。
对于单因素完全随机设计试验资料的方差
分析:
无效假设H0：μ1=μ2=…=μk
备择假设HA：各μi不全相等 或 假设 H0：σt2=σe2 对 HA：σt2﹥σe2， F=MSt / MSe，也就是要判断处理间均方
j
Hale Waihona Puke LSDa t a ( dfe ) S xi x j
t ( df e ) 为在F 检验中误差项自由度下，显著水平
为α的临界t 值， S x x 为均数差数标准误， i j
S xi x j
2MS e / n
MS e 为F 检验中的误差均方，n为各处理的重复数。
当显著水平α=0.05和0.01时，从t 值表中查出