学生对于影响标准差因素的理解——从Robert CdelMas的研究谈起

２８数学通报２００８年第４７卷第４期学生对于影响标准差因素的理解
——从ＲｏｂｅｒｔＣ．ｄｅｌＭａｓ的研究谈起
何莎莎
（上海市育才中学２０１８０１）
１研究的意义
进入２０世纪９０年代，我们国家提出素质教育和创新教育的方针，在教学中强调“应用能力”和动手能力．２００２年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》［１３中在规定数学教学目的时就提到：使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必需的代数、几何、概率统计微积分初步的基础知识……．张奠宙先生等也根据这个大纲提出的十个方面的数学能力中就提到：数据化时代，数据无处不在．能够用数理统计方法指导行动决策．Ｌ２０
而在统计教学中，我们许多教师只教会学生背诵和熟练套用公式，对于一些统计中的概念却轻描淡写或只字不提．我们国内做过中学生关于统计中一些概念理解方面调查研究的人更是少之又少，其实这一块正是我们原来课程设置和课堂教学的薄弱环节之一．
在统计中，标准差这个概念的理解无疑是至关重要的．我们的学生是如何去归纳影响标准差大小的因素这个问题看似很小，却是既有趣又意义深远．ＲｏｂｅｒｔＣ．ｄｅｌＭａｓ是一位教育心理学博士，也是美国Ｍｉｎｎｅｓｏｔａ大学在统计学方面很有成就的教授．他开展过许多有关概率统计方面的课题研究，其中包括许多学生在标准差概念方面理解的课题．２００４年在丹麦的哥本哈根召开的第十届ＩＣＭＥ（ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｇｒｅｓｓｏｎＭａｔｈｅ—ｍａｔｉｃａｌＥｄｕｃａｔｉｏｎ，国际数学教育大会）会议上他展示了近期研究的学生对于影响标准差因素的理解Ｌ３ｊ，这一研究成果对于我们在国内中学生中展开相应的研究很有借鉴作用，对于我们教师如何在统计的课堂教学中加深和渗透学生对于概念的理解、提升教学策略都很有帮助．笔者对这一研究成果进行了翻译，悃水平有限有理解不当之处请读者见谅．
２研究方法
在研究中ｄｅｌＭａｓ设计了两份问卷对于１２位刚学过介绍性统计课程的大学生进行了测试和访谈．确切地说，第一份问卷是由５组游戏组成．每组游戏中提供一些柱形（ｂａｒｓ），要求学生动手尝试把它们摆放到合适的位置使得产生最大的标准差和最小的标准差．并且从游戏１到游戏５，提供的柱形数目在增多从而也不断加大着游戏的难度．我们可以从下图中看到提供的５个游戏装置：
当学生摆放好一个装置之后，设计好的程序会使得在窗口界面中自动计算和显示出相应的平均数和标准差的值，这样也使得学生可以在不断的尝试、验证、比较和修改中确定自己最终的方案，也在试误中加深对这个概念的理解，形成自己的解决策略．譬如在ｇａｍｅ１中，有许多学生最终
得到了这样的一种正确的放置结果：
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第二份问卷是给出１０组测试，每组测试题是两幅图，请被测的学生比笺因３馊漠嘤魁烬蟆童羲ｉ嚣肯编鹱驯耻鼢箩酌两月嘲博禅ｇ半秦；善寸日勘篙剩囊。

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也是数学教育的一个显
著特点．
基础的数学教育不是知识的简单积累，而是一些如识数那样的“飞跃”过程．完成了一个这样的过程，即使以后忘掉很多，也不可能回到完全不懂的状态；反之，如果没有完成一个过程，即使当时考试通过了，以后也完全可能回到没有学过的状态．华罗庚先生所教导的“由薄到厚，由厚到薄”的过程，其中的“由厚到薄”就是要对学过的东西进一步消化，使之成为自己的东西，这样才完成一个“飞跃”．例如，学完一本厚厚的解析几何，如果最终掌握了数与形的关系，一生都不会忘，即使后来其中很多概念和定理都忘了，仍然是合格的．如果把初等几何拆成一个一个定理地教，而且不是连续地教，结果学生很快会全部忘光，因为不能完成一个飞跃．即使在高等教育中也常看到这样的情形，例如对于一个学过复变函数论的学生，不用出难题，只要问几个诸如“复变可微函数与实变可微函数有什么不同”之类极简单的问题，立刻就可以看出他是否学通了．强制性的灌输，死记硬背等，不但对数学教育毫无用处，而且还会造成心理上的厌恶．满堂灌式的教学的弊病是众所周知的，但可能对某些课程（如外语）还有些用处，目前这种教学方式还很普遍．受这种教学方式危害最大的就是数学教育．
人们常说数学是抽象的．其实，“抽象”并非为数学所专有，科学中规律的精确表述总是较为抽象的，只是数学因为历史长而抽象得更厉害而已．例如，“５棵树”、“３个人”等已经含有数的概念，但只有抽象成“数”才达到精确的科学表述．另一方面，抽象的概念只有通过大量具体的例子才能准确理解，例如离开“５棵树”、“３个人”之类就不能识数．上面还说到，数学教育还包含能力的培养．对抽象概念的理解和对能力的培养，很
多是通过做习题，包括应用题，此外还有问题研究、建模
、数学竞赛和一些游戏等。

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形或那些具有较高频数的柱形有关．ｇａｍｅ５中多数学生利用了平衡的策略，采取了两种不同的方法把频数近乎相等的柱形放在左右两端．但是具有奇数个柱形的装置在分布的中心明显地出现一个放了最高柱形的峰尖，那些其他的柱形就按照高度在最高柱形的左右两边交替的排列，产生了近乎对称的分布产生了最小标准差，而没有按高度交替放置的自然得不到满意的答案．（见ｇａｍｅ５图ａ和图ｂ）
对称的钟形图标准差更大．她的理由是：“右手那边的图有更多的柱形、有更多的频数、分布的范围更广”．这个学生对于影响标准差因素的理解就涉及到了“极差”这样一个概念，并且找到了问卷１和问卷２在设计中一个重要的区别：在问卷１中提供的柱形是不变的，游戏中需要作不同的位置摆放；而问卷２的每组测试中两幅图的柱形数目或总频数不一定完全相同．（见ｔｅｓｔ８图ａ和图ｂ）
３．５和标准差有关的几个基本概念的协调能力
要正确理解标准差的概念以及影响其大小的因素这就涉及到几个基本概念：频数（Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ，以下简称Ｆ）、值（Ｖａｌｕｅ，以下简称Ｖ）、平均数（Ｍｅａｎ，以下简称Ｍ）、偏差（Ｄｅｖｉａｔｉｏｎ，以下简称Ｄ）．在第一部分的游戏和第二部分的测试访谈中发现学生对这四个基本概念有了一定的理解，并且能够发现它们之间的一些相互影响作用，具备了对这些基本概念进行协调（Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ，以下简称Ｃ）的能力．譬如Ｃ—ＭＶ就揭示学生了解了平均数的位置依赖于值的位置，这一点也暗示了学生
其实上面的两个分布都体现了最高柱形放具备了对于偏差Ｄ这个概念的理解；Ｃ—ＭＶＦ说在中间的策略，也都体现了把频数比较多的柱形明了有些学生更深入的发现各个值所对应的频数放在中间的原则，这两条策略被不少学生采用了．
也影响着平均数的大小和位置；具备Ｃ—ＶＦｓｄ这但在细节方面即如何使装置显得更力Ⅱ对称（或者
类理解层次的说明学生知道在这背后隐藏的一个说成为更漂亮的钟形分布）却只有２个学生考虑位置原则：柱形问的相对位置一旦确定，它们的绝到，这个比率是不高的．
对位置并不影响标准差的大小；Ｃ—Ｄｓｄ说明学生３．４问卷２中突现的其他策略——分布范围广、
知道偏差的大小直接影响了平均数的大小，譬如柱形多可能导致标准差大。

一些柱形不是紧挨着而是散开的，这样柱形之间在完成问卷１后，学生对于对称的钟形分布就如有了“裂缝或鸿沟”，这样偏差就大标准差也产生最小标准差这条策略印象非常深刻．于是在大；具备了Ｃ—ＤＦｓｄ理解层次的真正做到能把上问卷２的ｔｅｓｔ８中左手边的图ａ是ｕ形分布，右述的四个基本概念进行综合协调，对ＭＶ的协调手边的图ｂ是钟形分布．于是几乎所有的学生都就是理解了偏差Ｄ，又能结合频数Ｆ，具有这样协错误地认为在ｔｅｓｔ８中右手边的分布图具有更小调概念能力的学生往往对影响标准差大小因素能的标准差，只有一个学生的答案是相反的即认为
做出正确的判断．
（下转３４页）。