2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学理科试题

绝密★启用前2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学理科试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知实数a ，b 满足()()14a bi i i +⋅+=，其中i 是虚数单位，若4z a bi =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{}4|50A x x x =+-<，1|3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()A B =R I ð（ ）A ．14,35⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．14,35⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦3．已知实数a ，b 满足11122ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．11a b> B ．22log log a b > C <D ．sin sin a b >4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）……装…………………线…………○……※※不※※要※※在※※装※……装…………………线…………○……A．2)96π+B．1)96π+C．2)96π+D．1)96π+5．下列函数中，既是奇函数，又在()1,+∞上单调递减的是（）A．()f x x=B．1()ln||f xx=C．1()f x xx=--D．3()6f x x x=-6．已知正方形ABCD内接于圆O，点E是AD的中点，点F是BC边上靠近B的四等分点，则往圆O内投掷一点，该点落在CEF△内的概率为（）A．12πB．1πC．78πD．74π7．伟大的法国数学家笛卡儿()15961650Descartes～创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD中，//AB CD，90BAD∠︒＝，60BCD∠︒＝，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若2AB=，AD=，则EB EF⋅=u u u r u u u r（）………○…………装………………订……………○……学校:___________姓名：_________________考号：………○…………装………………订……………○……A ．73B ．113C ．79D ．1198．已知函数()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的周期为23πB ．函数()f x 的一条对称轴为9x π=-C ．函数()f x 在10,9ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 的最小值为4-9．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．sin xxB ．3sin x xC ．2cos 2x xD ．2cos2x x 10．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为365，则判断框中可以填（ ）A ．4i >B ．5i >C ．6i >D ．7i >11．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与E的渐近线交于,B C 两点，若20BC BA +=u u u r u u u r r，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．y =B ．4y x =±C ．y =D ．2y x =±12．已知数列{}n a 满足()2125752*13333n n na a a n N -⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭L .令()*15n n n n T a a a n N ++=+++∈L ，则n T 的最小值为（ ）A ．20B ．15C ．25D ．30第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．二项式62x ⎛ ⎝的常数项为a，则(12720a x dx -+=⎰__________. 14．已知点(,)x y 满足34626x y x y x y -<⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则yx 的取值范围为__________.15．已知A ，B两点分别为椭圆22184x y +=的左焦点与上顶点，C 为椭圆上的动点，则ABC V 面积的最大值为__________. 16．已知0x R ∃∈，使得不等式00002x x x e mx e m <+-能成立，则实数m 的取值范围为__________. 三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin 2cos cos b c A aB Cπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+. （1）求A 的大小； （2）若a =3b c +=+ABC V 的面积.18．在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72.…外…………○……………订…………………○……学校:_______________考号：_________…内…………○……………订…………………○……（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数； （2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，求ξ的分布列及期望19．已知三棱柱111ABC A B C -中，1222AA AB AC ===，90BAC ∠=︒，1120BAA ∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面1AB C ；（2）若11B C AA =，求平面11AB C 与平面1BCB 所成二面角的余弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y O a b a b+=>>过点12⎫-⎪⎭，()()0000,0A x y x y ≠，30y ++=的距离为2，过点A 的直线l 与x ，y 轴的交点分别为M 、N ，且2AN MA =u u u r u u u r.（1）证明：||MN 为定值；（2）如上图所示，若A ，C 关于原点对称，B ，D 关于原点对称，且BD NM λ=u u u r u u u u r，求四边形ABCD 面积的最大值.21．已知函数()ln f x a x x =-，且函数()f x 在1x =处取到极值. （1）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数2()g()(01)()x m x m f x x -=<<+，且函数()g x 有3个极值点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，证明：131ln 22x x +⎛⎫>- ⎪⎝⎭.22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4(2cos sin )ρθθ=+.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求曲线C 关于直线l 对称曲线的参数方程. 23．已知定义在R 上的函数()||f x x =. （1）求(1)(24)f x f x ++-的最小值M ； （2）若a ，0b >且2a b M +＝，求22114a b +的最小值.参考答案1．B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义，即可求得答案. 【详解】实数,a b 满足()()14a bi i i +⋅+=其中i 是虚数单位，∴4()a b a b i i -++=，可得04a b a b -=⎧⎨+=⎩解得2a b ==.422z a bi i =+-=-+,则在复平面内,复数z 所对应的点()2,2-位于第二象限 故选：B . 【点睛】本题主要考查了根据复数相等求参数和复数的几何意义，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】求出集合A ，B 的补集，再计算即可. 【详解】{}24|5401,5A x x x ⎛⎫=+-<=- ⎪⎝⎭，1|3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，1,3R C B ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭则()14,35R A C B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭I ， 故选:B . 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】首先利用指数函数的性质得到a ，b 的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案. 【详解】Q 11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由指数函数的单调性, 可得：0a b >>对于A ，由0a b >>，可得11a b<，故A 错误； 对于B ，由0a b >>，可得22log log a b >，故B 正确；对于C ，由0a b >>>C 错误；对于D ，根据sin y x =图象可得，由0a b >>，sin a 与sin b 的大小无法确定，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体由一个圆锥、一个圆柱、一个长方体组成的组合体，利用表面积计算公式即可得出. 【详解】由三视图可知，该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体.∴该几何体的表面积为：2212114611)96ππππ⨯⨯⨯+⨯-⨯=+.故选:D . 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，三视图还原直观图是解题关键，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】根据题意，逐项判断即可. 【详解】对于A ，其在定义域上为增函数，不符合题意； 对于B ，其在定义域上为偶函数，不符合题意；对于C ，其是奇函数，又在(1,)+∞上单调递减，符合题意；对于D ，(2)4f =-，3(3)3189f =-=，其在(1,)+∞上不为减函数，不符合题意. 故选：C . 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，对于简单基本初等函数的性质要熟练掌握，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】根据已知可分别求解圆的面积及CEF △面积，根据几何概型概率公式，即可求解. 【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为4416⨯＝，CEF △的面积为111163224147222-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，因为圆的直径2R =R =8π， 根据几何概型概率公式可得78P π=. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率，意在考查数学计算和应用能力，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】过B 作BM DC ⊥于M ，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可. 【详解】过B 作BM DC ⊥于M ，故2AB DM ==，因为BM AD ==60BCD ∠=︒， 故1CM =，则32DF =()()EB EF EA AB ED DF EA ED AB DF ⋅=+⋅+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r37(1)2=23=-+⨯ 故选:A .【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积，考查计算求解能力，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】化简()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-，可得()4sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐项判断，即可求得答案. 【详解】()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-1cos33422xx -=+⨯-32cos3x x =-4sin 36x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ，函数()f x 的周期为：23T π=,故A 说法正确； 对于B ，Q 9x π=-时，4sin 4936f πππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴9x π=-是函数()f x 的一条对称轴，故B 说法正确；对于C ，当109x ππ-≤≤-时， 21193666x πππ-≤-≤-此时()f x 不单调，故C 说法错误； 对于D ， ()4sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭Q ∴函数()f x 的最小值为4-，故D 说法正确，故选：C. 【点睛】解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】根据图像可得函数的定义域不为0，并根据图像的变化趋势，逐项判断，即可求出结论. 【详解】 若sin ()x f x x =，则()()32f f ππ> ，不符合题意，故A 不正确；若3sin ()xf x x =，当(0,]x π∈时，2323sin cos sin ()x x x x f x x -'=，当[,],()02x f x ππ'∈<，当22sin cos (3tan )(0,),()2x x x x x f x xπ-'∈= 3,tan y x y x ==Q 在(0,)2π存在唯一交点，其横坐标设为0x00(0,),3tan ,()0,(,),3tan ,()02x x x x f x x x x x f x π''∈>>∈<<，而()f x 在2x π=连续，()f x ∴递增区间是0(0,)x ，递减区间是0(,)x π，所以3sin ()xf x x=在(0,]x π∈存在为唯一的最大值点，满足题意；若2cos 2()xf x x =，则当0x →时，()f x →+∞，故选项C 不正确；由图象可知，函数的定义域中不含0，故D 不正确. 故选:B . 【点睛】本题考查函数图像的辨析，考查函数的性质，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】根据条件进行模拟运算，寻找成立的条件进行判断即可. 【详解】模拟程序的运行，可得0S =，1i = 执行循环体，302.5S =，2i =，不满足判断框内的条件，执行循环体，315S =，3i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，327.5S =，4i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，340S =，5i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，352.5S =，6i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，365S =，7i =此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为365. 则判断框内的件为6i >【点睛】本题考查补全程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 11．D 【解析】直线l:y=-x+a 与渐近线1:0l bx ay -=交于2,a ab B a b a b ⎛⎫⎪++⎝⎭,直线l:y=-x+a 与渐近线2:0l bx ay +=交于2,a ab B a b a b ⎛⎫⎪--⎝⎭,A (),0a ,因为20BC BA u u u r u u u r r +=,所以3AC AB =u u u r u u u r ,223,2,a a a a b a a b a b ⎛⎫∴-=-∴=∴ ⎪-+⎝⎭双曲线E 的渐近线方程为2y x =±,故选D. 点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入20BC BA u u u r u u u r r+=中,通过化简计算,即可得到a,b 的关系式,结合双曲线中222c a b =+,即可求得离心率. 12．B 【解析】 【分析】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则可计算出25752n n nS -=-.然后应用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…即可计算出数列{}n a 的通项公式，可得数列{}n a 是一个等差数列.然后应用等差数列性质整理15n n n n T a a a ++=++⋯+，再根据绝对值的特点可得n T 的最小值.依题意，由()2125752*13333n n na a a n N -⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭L ，可得：212575233n n na a a --+++=L .设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则25752n n nS -=-. 当1n =时，21151751352a S ⨯-⨯==-=.当2n ≥时，2215755(1)75(1)40522n n n n n n n a S S n -⎡⎤----=-=---=-⎢⎥⎣⎦. 1n =也满足上式，故405n a n =-，*n N ∈.数列{}n a 是以35为首项，﹣5为公差的等差数列，12345n n n n n n n T a a a a a a +++++∴=+++++53||15|112|n n a a n +=+=-∴当5n =或6n =时，n T 取得最小值5615T T ==.故选:B . 【点睛】本题考查数列的前n 项和求通项、等差数列的性质、绝对值性质，考查计算求解能力，属于中档题. 13．2π【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式可得a ，再利用微积分基本定理及其性质即可得出. 【详解】366621661(2)(()23k k kkk k k k T C x C x ---+==-，令3602k -=，解得4k =.52027T a ∴==.27121201111((2a x x dx x dx ----∴⎰=⎰+=+⎰10-=+，11-表示函数y =x 轴围成的面积，即为221(0)x y y +=≥在x轴上方的半圆面积，112π-=，12720(2a x dx π-∴+=⎰.故答案为:2π. 【点睛】本题考查二项展开式定理、定积分定理以及几何意义，考查计算求解能力，属于基础题. 14．[]2,1- 【解析】 【分析】首先画出可行域，利用z 的几何意义：区域内的点与原点连线的斜率，因此求最值即可. 【详解】由已知得到平面区域如图：yz x=表示区域内的点与原点连接的直线斜率， 由2646x y x y +=⎧⎨-=⎩解得(2,2)A ，由346x y x y -=⎧⎨-=⎩解得(1,2)B -当与(2,2)A 连接时直线斜率最大为1， 与(1,2)B -连接时直线斜率最小为﹣2， 所以yx的取值范围为[-2,1]. 故答案为:[-2,1].【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用目标函数的几何意义数形结合求最值，属于基础题.15． 【解析】 【分析】由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，进而求出直线AB 的方程，及||AB 的长度，当三角形ABC 的面积最大时为过C 点的直线与直线AB 平行且与椭圆相切，设过C 的直线方程与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值，即可求解. 【详解】由椭圆方程可得(0,)(2,0),||2,B A AB -=∴ 所以直线AB 的方程为：20x y -+=，由题意可得当过C 的直线与直线AB 平行且与椭圆相切时， 两条平行线间的距离最大时，三角形ABC 的面积最大， 设过C 点与AB 平行的切线方程l 为：0x y m -+=，直线l 与直线AB 的距离为d =联立直线l 与椭圆的方程可得：22280x y x y m⎧+-=⎨=-⎩ ， 整理可得：223280y my m -+-=，()2241280m m ∆=--=，可得212m =，解得m =±，所以当m =-2d ==+ 这时ABC S V 的最大值为：max 1||2AB d⋅1(22=⋅=. 故答案为:. 【点睛】本题考查椭圆内接三角形面积最值、直线与椭圆的位置关系，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题. 16．1m <或324m e >. 【解析】 【分析】由题意可得()()000121x m x ex ->-，分别01x=，01x >，01x <，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，结合能成立思想可得所求范围. 【详解】 不等式00002x x x emx e m <+-，即为()()000121x m x e x ->-，若01x =则不等式显然不成立；当01x >时，可得()000211x e x m x ->-，设(21)()1x e x f x x -=-，2(23)()(1)x xe x f x x -'=- ， 则()f x 在31,2（）时递减，在3,2+∞（）递增，即有()f x 在32x =处取得最小值324e ， 由题意可得324m e >，又当01x <时，可得()000211x e x m x -<-，设(21)()1x e x f x x -=- ，则()f x 在(0,1)时递减， 在(,0)-∞递增，即有()f x 在0x =处取得最大值1， 由题意可得1m <，综上可得m 的范围是1m <或324m e >， 故答案为:1m <或324m e >. 【点睛】本题以不等式能成立为背景，考查应用导数求函数的最值，分类讨论分离参数是解题关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 17．（1）13π；（2【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得2B C A +＝，然后结合三角形的内角和定理即可求解；（2）由已知结合余弦定理可求bc ，然后结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）()sin 2cos cos b c A aB Cπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+Q . ()cos cos cos b c A a B a C ∴+=+，cos 0,02A A π>∴<<，sin cos sin cos sin cos sin cos B A C A A B A C +=+，即sin()sin()B A A C -=-，所以B A A C -=-，或B A A C π-+-=或B A A C π-+-=- 即2B C A +=，或B C π-=（舍去），或B C π-=-（舍去）， 又因为A B C π++=，故13A π=， （2）由余弦定理可得，22216()26222b c b c bc bc bc +-+--===，2bc ∴=，11csin (222ABC S b A ==⨯+=△. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、两角和差正弦公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.18．（1）茎叶图见解析，中位数为：86；（2）分布列见解析，94【解析】 【分析】（1）由这12名学生的测试成绩能绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并求出该组数据的中位数.（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望E （）ξ. 【详解】（1）绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，如下：该组数据的中位数为：8686862+=. （2）抽取的12人中，成绩不低于76分的有9人，从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数， 则ξ的可能取值为0，1，2，3，333121(0)220C P C ξ===，129331227(1)220C C P C ξ===， 2193312108(2)220C C P C ξ===，3931284(3)220C P C ξ===，ξ∴的分布列为：数学期望127108849()01232202202202204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查茎叶图做法、离散型随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题. 19．（1）答案见解析.（2）7【解析】 【分析】（1）要证AB ⊥平面1AB C ，只需求证1AB AB ⊥，结合已知，即可求得答案； （2）以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以1AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面11AB C 的法向量1n r 和平面1BCB 的法向量2n r ，根据121221cos ,n n n n n n ⋅=⋅r r r r r r ，即可求得答案. 【详解】（1）Q 1120BAA ︒∠=,∴160ABB ︒∠=.在1ABB △中,111,2AB BB AA ===,由余弦定理得22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=,∴22211BB AB AB =+, ∴1AB AB ⊥.又Q 90BAC ︒∠=,∴AC AB ⊥,又Q 1AC AB A ⋂=,∴AB ⊥平面1AB C .（2）由（1）1AB =，1AC = 又Q 112B C AA ==在1AB C V 中，可得()()()12212AB AA AC =+∴1AB AC ⊥又1AB AB ⊥∴1AB ⊥平面ABC ；由（1）得AB ⊥平面1AB C ， 又Q 90BAC ∠=︒∴以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以1AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则()()1(00,,00,0,1,0,(0,1,0)0,B C A B1(,,)C x y zQ 11BB CC =u u u r u u u u r,又Q 1(BB =-u u u r∴((,1,)x y z -=-解得：11x y z ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，故1(1,1C =-∴111(1,1(1,1,0),(1AB AC BC BB ==-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r设平面11AB C 法向量为()1111,,n x y z =r由1111n AB n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u v u u u v u u v u u u u v ，可得111100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v故：111100x y =-+=⎪⎩取11y =，则1(1,1,0)n =r设平面1BCB 法向量为()2222,,n x y z =r由221n BC n BB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u v r u u v u u u v ，可得22100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v r u u u v r故：222200x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取21x =可得：221,y z ==21,1,3n ⎛= ⎝⎭u u rQ 122121cos ,n n n n n n ⋅==⋅r rr rr r7===∴平面11AB C与平面1BCB所成二面角的余弦值7.【点睛】本题主要考查了线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．（1）证明见解析；（2）4.【解析】【分析】（1）其上顶点(0,)b30y++=的距离为2，求出b，点12-）代入椭圆方程，可求出椭圆方程，设经过点A的直线方程为：()00y y k x x-=-，可得0,0yM xk-（），()000,N y kx-.利用2AN MA=u u u r u u u r，可得02yxk=-，利用两点之间的距离公式可得MN；（2）由（1）得直线BD的方程为02yy xx=-，与椭圆方程联立求出||BD，由点到直线距离公式，求出A到直线BD距离，求出四边形ABCD面积的关于00,x y的表达式，结合00,x y关系，由基本不等式求出最大值.【详解】（1）其上顶点(0,)b30y++=的距离为2，322b+∴=，解得1b=.又椭圆2222:1(0)x yO a ba b+=>>过点12⎫-⎪⎭，23114a∴+=，解得24a=.∴椭圆的标准方程为：2214xy+=.点A 在椭圆上，220014x y ∴+=.设经过点A 的直线方程为：()00y y k x x -=-， 可得00,0y M x k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()000,N y kx -. 2AN MA =u u u r u u u r Q ，002y x k ∴-=即02k x y =-.3MN ∴===为定值.（2）由（1）得直线MN 斜率为02k x y =-， ,BD NM BD λ=∴u u u u u r u u u u r Q 方程为02y y x x =-， 即0020y x x y +=，220044x y +=，联立0022214y y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22022004,||16x x x x y =∴=+，||BD ∴==点A 到直线BD 的距离为003||2x y d ==，||ABCD S BD d =⋅==Y 202222022200002200009416116116()()54x y x y x y y x y x +=++=++≥ 当且仅当20202,4x y =，即2083x =时，等号成立，3,04,4ABCD S ≥<≤∴≤Y ， 四边形ABCD 面积的最大值为4. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、平行四边形的面积，利用基本不等式求最值，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算，属于较难题. 21．（1）y =-1；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，由()01f '=求解a 值，则曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程可求；（2）求出函数()g x 的解析式，由2()211()1m x m nx x g x n x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=，根据已知()0g x '=有 三个解，2ln 10x x m +-=存在两个不同于m 的零点， 设()2ln 1h x x xm=+-，求出m 取值范围，结合()h x 的函数特征，可判断213,,x m x x =是函数()h x 的两个零点，构造函数13()2ln ,()()x x x x x x ϕϕϕ=-=，研究()x ϕ的单调性，把证明131ln 22x x +⎛⎫>-⎪⎝⎭转化为证明()11)x x ϕϕ>即可. 【详解】（1）()ln f x a x x =-，()1af x x'=- ， Q 函数()f x 在1x =处取到极值，(1)10f a '∴=-=，即1a =.则()ln f x x x =-，(1)1f =-，∴曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y =-；（2）222()()()()(01)()11x m x m x m g x m f x x nx x x nx---===<<++-，函数的定义域为(0,)+∞且1x ≠，2221()2112()ln ()()11m x m nx x m x x m x x g x n xn x⎛⎫-+----⋅⎪⎝⎭'∴==令()2ln 1h x x x m =+-，22()x m h x x -'∴=， ()h x 在0,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；()2h m是()h x 的最小值；()g x Q 有三个极值点123x x x <<， 2ln 1022m m h ⎛⎫∴=+< ⎪⎝⎭，得m <.m ∴的取值范围为⎛ ⎝，当0m <<时，()2ln 0h m m =<，(1)10h m =-<， 2x m ∴=；即1x ，3x 是函数()h x 的两个零点.112221n 1021n 10m x x m x x ⎧+-=⎪⎪∴⎨⎪+-=⎪⎩，消去m 得1113332ln 2ln x x x x x x -=-； 令()2ln x x x x ϕ=-，()2ln 1x x ϕ'=+，()x ϕ'的零点为x =，且13x x <<. ()x ϕ∴在⎛ ⎝上递减，在⎫+∞⎪⎭上递增.要证明131ln 22x x +⎛⎫>-⎪⎝⎭，即证13x x +>，等价于证明31x x >，即()31x x ϕϕ⎫-⎪⎭>.()()13x x ϕϕ=Q ，∴即证()11x x ϕϕ⎫>⎪⎭.构造函数()()F x x x ϕϕ⎫=--⎪⎭，则0F =； ∴只要证明在⎛ ⎝上()F x 单调递减， 函数()x ϕ在⎛ ⎝单调递减； x Qx减小，x ϕ⎫⎪⎭增大，x ϕ⎫-⎪⎭减小，x ϕ⎫∴--⎪⎭在⎛ ⎝上是减函数.()x x ϕϕ⎫∴-⎪⎭在⎛ ⎝上是减函数.∴当0a <<时，13x x +> . 即131ln 22x x +⎛⎫>-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调性、极值最值、零点、不等式证明，构造函数是解题的关键和难点，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于难题.22．（1）C ：22(4)(2)20x y -+-=，l ：240x y -+=；（2）46x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数） 【解析】 【分析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，可得曲线C 的直角坐标方程；由代入法可得直线l 的普通方程；（2）由圆关于直线的对称为半径相等的圆，由点关于直线对称的特点，解方程可得所求曲【详解】（1）4(2cos sin )ρθθ=+，得24(2cos sin )ρρθθ=+由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，曲线C 的直角坐标方程为2284x y x y +=+， 即为22(4)(2)20x y -+-=；直l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去t ，可得240x y -+=；（2）设曲线22:(4)(2)20C x y -+-=关于直线l 对称曲线为圆22()()20x a y b -+-=，由22144224022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-+=⎪⎩可得46a b =-⎧⎨=⎩ ， 则曲线C 关于直线l 对称曲线方程为22(4)(6)20x y ++-=，其参数方程为46x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩ （θ为参数）. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，普通方程和参数方程互化，以及圆关于直线对称方程等基础知识，意在考查直观想象、查逻辑推理能力，属于中档题. 23．（1）3；（2）89【解析】 【分析】（1）去绝对值化简函数，然后结合函数的单调性，即可求解函数的最值， （2）结合基本不等式及二次函数的性质可求.解：（1）因为()||f x x =.所以(1)(24)|1||24|f x f x x x ++-=++-， 当-1x ≤时，()33f x x =-单调递减， 当12x -<<时，()5f x x =-+单调递减，当2x …时，()33f x x =-单调递增， 故当2x =时，函数取得最小值3M =； （2）若a ，0b >且23a b +=，2a b ∴+ (9)8ab …， 当且仅当2a b ＝即32a =，34b = 时，等号成立，则 2222222222114(2)4914444()b a a b ab a b a b a b ab ab ++-+===- ， 令1t ab =，98≥t ，而294t y t =-的开口向上，对称轴方程为29t =，在8,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 当89t =，取得最小值89，22114a b ∴+的最小值为89. 【点睛】本题考查分类讨论求绝对值函数的最值，以及应用基本不等式、二次函数的性质求最值，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.。