【精品卷】2020年黑龙江省哈师大附中高三高考数学四模试题(有答案解析)
2024年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学四模试卷+答案解析
2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，x，，则()A.2B.3C.4D.52.若，是夹角为的两个单位向量，与垂直，则()A.0B.2C.D.3.某种酸奶每罐净重单位：服从正态分布随机抽取1罐，其净重在179g与之间的概率为()注：若，，，A. B. C. D.4.等差数列的前n项和记为，若，，则()A.51B.102C.119D.2385.过点作圆的切线PA，A为切点，，则的最大值是()A. B. C. D.6.已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，I为的内心，记，，的面积分别为，，，且满足，则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.37.某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是()A.该校2023年与2022年的本科达线人数比为6：5B.该校2023年与2022年的专科达线人数比为6：7C.2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了D.2023年该校不上线的人数有所减少8.如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线与直线的夹角为，则点Q的轨迹长度为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，内角A，B，C分别对应边a，b，c则下列命题中正确的是()A.若，则为钝角三角形B.若，，，则的面积为C.在锐角中，不等式恒成立D.若，，且有两解，则b的取值范围是10.已知函数，则下列说法正确的是()A.的极值点为B.的极值点为1C.直线是曲线的一条切线D.有两个零点11.已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是()A.4为的一个周期B.8为的一个周期C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
哈尔滨师范大学附属中学2020届高三数学下学期第四次模拟试题理含解析
所以 。
将一个底面半径为 ,高为 的圆锥的底面与几何体为 的底面放在同一水平面上，则过 的水平截面截圆锥所得截面的半径为 ，截面面积为 ,根据祖暅原理可知，该圆锥与几何体 的体积相等，
所以几何体 的体积为 .
故答案为： ； 。
【点睛】本题考查了导数 几何意义，考查了祖暅原理，考查了圆锥的体积公式，属于中档题。
则试验的全部结果表示为 ，对应的是图中的矩形 ，
面积为 ；
事件 的结果表示为 ，对应的是图中的梯形ABCD（不包含CD），它的面积为 .
由几何概型的概率公式得 。
故选：C。
【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平。
10。 已知函数 的图象向左平移 个单位长度后,图象关于 轴对称，设函数 的最小正周期为 ，极大值点为 ，则 的最小值是（ ）
服用 药物患病比例低于未服药物的患病比例，所以A不正确；
服用 药物对预防该疾病有一定效果,所以B不正确；
在对 药物的试验中,患病小动物小于总数的 ,所以C不正确；
药物 实验显示不服药与服药的患病的差异较药物 实验显示明显大,该疾病的预防作用 药物比 药物更有效，所以D正确。
故选：D.
【点睛】本题主要考查了等高条形图的应用问题,属于基础题。
（Ⅰ)证明: ;
(Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】 （1). （2）。
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出直线 的方程，利用两个圆的面积作差可得 ，将一个底面半径为 ，高为 的圆锥的底面与几何体为 的底面放在同一水平面上,可以计算得到该圆锥与几何体 在所有等高处的水平截面的面积相等，再根据圆锥的体积公式可求得结果。
2020年黑龙江省哈师大附中高考数学模拟试卷(理科)(6月份)
2020年黑龙江省哈师大附中高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1. 复数z =−i+i 2+i 41−i，则复数|z|＝（ ）A.12 B.√22 C.√52 D.322. 若全集U ＝R ，集合A ＝{x|y ＝lg (6−x)}，B ＝{x|2x >1}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A.(2, 3)B.(−1, 0]C.[0, 6)D.(−∞, 0]3. 已知数列{a n }是等比数列，a 3＝12，a 5a 6＝6a 11，则a 9＝（ ） A.24√2 B.48 C.192 D.7684. △ABC 中，D 是BC 边的中点，|AB →|=3，|AC →|=4，则AD →⋅BC →=( ) A.0 B.−72C.72D.2525. 为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为A 校、B 校、C 校．现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、A 校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（ ）A.测试成绩前200名学生中A 校人数超过C 校人数的2倍B.测试成绩前100名学生中A 校人数超过一半以上C.测试成绩前151∼200名学生中C 校人数最多33人D.测试成绩前51∼100名学生中A 校人数多于B 校人数6. 著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如：函数f(x)=x 2|e x −1|的图象大致是（ ）A. B.C. D.7. 运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为35，则判断框中可以填（ ）A.i ≥4？B.i ≥5？C.i ≥6？D.i ≥7？8. 已知f(x)是定义在R 上单调递增的奇函数，若a =f(2−13)，b =−f(log √312)，c =f(log √23)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b9. 已知三棱锥P −ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PA ⊥平面ABC ，PA ＝BC ＝2，sin ∠BAC =13，则球O 的表面积为（ ） A.40√10π3B.172πC.80πD.40π10. 设函数f(x)=sin (ωx +π3)(ω>0)，已知f(x)在[0, 2π]有且仅有5个零点，则ω的取值范围是（ ） A.[73,176)B.(73,176]C.(73,176)D.[73,176]11. 已知双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F 2，A 和B 为双曲线上关于原点对称的两点，且A 在第一象限．连结AF 2并延长交E 于P ，连结BF 2，PB ，若△BF 2P 是以∠BF 2P 为直角的等腰直角三角形，则双曲线E 的离心率为（ ） A.√52 B.√5 C.√102D.√1012. 已知数列{a n }中的前n 项和为S n ，S n ＝(−1)n a n +12n +2n −6，且a n +λ⋅(−1)n+1>0对任意n ∈N ∗恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A.(−74,234)B.[2, 234)C.(−74,6)D.(−2,234)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上已知函数f(x)=ln x x−ax 2，若曲线y =f(x)在(1, f(1))处的切线与直线2x −y +1=0平行，则a =________．设m =∫ π2−π2cos xdx ，则二项式(x +m x 2)5的展开式中x 2的系数是________．如图是古希腊数学家希波克拉底所研究的弓月形的一种，此图是以BC ，AB ，AC 为直径的三个半圆组成，BC ＝2，点A 在弧BĈ上，若在整个图形中随机取一点，点取自阴影部分的概率是P ，则P 的最大值是________．棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1内部有一圆柱OO 1，此圆柱恰好以直线AC 1为轴．有下列命题：①圆柱OO 1的母线与正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所有的棱所成的角都相等； ②正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所有的面与圆柱OO 1的底面所成的角都相等；③在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1内作与圆柱OO 1底面平行的截面，则截面的面积S ∈(0,√32]； ④圆柱OO 1侧面积的最大值为3√28π． 其中正确的命题是________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.图中组合体由一个棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1和一个四棱锥S −ABCD 组成(SD ⊥平面ABCD ，S ，D ，D 1三点共线，SD ＝2)，E 是DD 1中点． (Ⅰ)求证：SB // 平面EA 1C 1；(Ⅱ)点F 在棱SB 上靠近S 的三等分点，求直线EF 与平面EA 1C 1所成角的正弦值．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC只能满足以下三个条件中的两个：①cos(A−C)+cos B=acb2；②函数f(x)＝P sin(ωx−A)(P、ω>0)的部分图象如图所示：③m→=(cos C,√3),n→=(−1,2)，满足m→∥n→．(Ⅰ)请指出△ABC满足哪两个条件，并证明；(Ⅱ)若sin B<sin C，点D为线段AB上的点，且CD＝2，求△ACD面积的最大值．某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据．数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据(Ⅰ)依据数据一将下面男高中生身高在[170−180)（单位：cm）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在[170−180)（单位：cm）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）(Ⅱ)依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；(Ⅲ)说明残差平方和或相关指数R2与线性回归模型拟合效果之间关系．（只需写出结论，不需要计算）参考公式：b=∑ni=1(x i−x¯)(y i−y¯)∑n i=1(x i−x¯)2=∑−i=1n xiyinx¯⋅y¯∑n i=1x i2−nx¯2，a=y¯−b x¯．参考数据：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852−5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．（4）728×165＝120120．已知动圆M经过点N(0, 2)，且动圆M被x轴截得的弦长为4，记圆心M的轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的标准方程；(Ⅱ)过x轴下方一点P(m, n)向曲线C作切线，切点记作A、B，直线OP交曲线C于点Q，若直线AB、OP的斜率乘积为−2，点Q在以AB为直径的圆上，求点P的坐标．已知函数f(x)＝e x+e−x，其导函数为f′(x)．(Ⅰ)讨论函数g(x)=f′(x)x在定义域内的单调性；(Ⅱ)已知a>1，设函数ℎ(x)＝f(x)−(2+ax2)．①证明：函数ℎ(x)在(0, +∞)上存在唯一极值点x0；②在①的条件下，当1<a <e−e −12时，求ℎ(x 0)的范围．选考题：共10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =t sin α （t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2=21+sin θ． (Ⅰ)写出直线l 和曲线C 的普通方程；(Ⅱ)若点P(1, 0)，直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，且|PA|⋅|PB|＝||PA|−|PB||，求tan α． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝x 2−2x +3．(Ⅰ)若a ，b ∈R +，且a +b ＝2，求f(a)+f(b)的最小值； (Ⅱ)若|x −a|<2，求证：|f(x)−f(a)|<4(|a|+2)．参考答案与试题解析2020年黑龙江省哈师大附中高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.【答案】B【考点】复数的模【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】∵z=−i+i2+i41−i =−i−1+11−i=−i1−i=−i(1+i)(1−i)(1+i)=12−12i，∴|z|＝|12−12i|=√(12)2+(−12)2=√22．2.【答案】D【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】求出集合A，B，从而求出∁U B，图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)，由此能求出结果．【解答】∵全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg(6−x)}＝{x|x<6}，B＝{x|2x>1}＝{x|x>0}，∴∁U B＝{x|x≤0}．∴图中阴影部分表示的集合为：A∩(∁U B)＝{x|x≤0}．3.【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】设等比数列的公比为q，由已知利用等比数列的通项公式可得a1＝6q，q3＝2，进而即可求解．【解答】设等比数列的公比为q，由于a3＝12，可得：a1q2＝12，①由于a5a6＝6a11，可得：a12q9＝6a1q10，可得a1＝6q，代入①可得：q3＝2，所以a9＝a1q8＝6q9＝6×23＝48．4. 【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据D是BC的中点即可得出AD→⋅BC→=12(AB→+AC→)⋅(AC→−AB→)，然后根据|AB→|=3,|AC→|=4进行数量积的运算即可求出答案．【解答】如图，∵D是BC的中点，|AB→|=3,|AC→|=4，∴AD→⋅BC→=12(AB→+AC→)⋅(AC→−AB→)=12(AC→2−AB→2)=12×(16−9)=72．5.【答案】D【考点】频率分布直方图【解析】A，由饼状图知测试成绩前200名学生中A校人数超过C校人数的2倍；B，由条形图知测试成绩前100名学生中，A校人数超过一半以上；C，由条形图知测试成绩前151∼200名学生中，C校人数最多为33人；D，由条形图知测试成绩前51∼100名学生中，A校人数不一定比B校多．【解答】对于A，由饼状图知，测试成绩前200名学生中A校占46%，C校占20%，所以前200名学生中A校人数超过C校人数的2倍，选项A正确；对于B，由条形图知，测试成绩前100名学生中，A校人数约为25+29＝54，所以A校人数超过一半以上，选项B正确；对于C，由条形图知，测试成绩前151∼200名学生中，A校人数约为17人，所以C校人数最多为33人，选项C正确；对于D，由条形图知，测试成绩前51∼100名学生中，A校人数约为25人，所以B校人数最多也可以是25人，A校人数不一定比B校多，选项D错误．6.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据题意，分析函数的值域排除C，分析函数的变化趋势排除A、B；即可得答案．【解答】根据题意，f(x)=x 2|e−1|，其定义域为{x|x≠0}，当x≠0时，x2>0，|e x−1|>0，则有f(x)>0，必有f(x)>0，函数的图象在x轴上方，排除C，当x→−∞时，x2→+∞，|e x−1|→1，则有f(x)→+∞，排除A，当x→+∞时，f(x)→0，排除B，7.【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得：i＝0，n＝0，S＝0执行循环体，i＝1，n＝1，S＝1不满足判断框内的条件，执行循环体，i＝2，n＝3，S＝4不满足判断框内的条件，执行循环体，i＝3，n＝6，S＝10不满足判断框内的条件，执行循环体，i＝4，n＝10，S＝20不满足判断框内的条件，执行循环体，i＝5，n＝15，S＝35由题意，此时满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为35．故判断框中条件可以是i≥5？，8.【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由对数的性质可得b＝f(log√32)，由对数、指数的性质判断2−13、log√32和log√23的大小，结合函数的单调性，可得答案．【解答】根据题意，b=−f(log√312)=f(log√32)，0<2−13<20＝1=log√3√3<log√32<2=log√22<log√23，又由f(x)是定义在R上单调递增的奇函数，则有c>b>a，9.【答案】【考点】球的表面积和体积类比推理球内接多面体【解析】首先利用正弦定理求出△ABC的外接圆的半径，进一步求出三棱锥P−ABC的外接球的球心，最后利用勾股定理求出外接球的半径和球的表面积．【解答】如图所示：由于PA⊥平面ABC，PA＝BC＝2，sin∠BAC=13，则△ABC的外接圆的半径满足2R=BCsin∠BAC=213=6，解得R＝3，三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面，设外接球的半径为r，所以r=√R2+(PA2)2=√10，所以球O的表面积为S=4⋅π(√10)2=40π．故选：D．10.【答案】A【考点】正弦函数的图象【解析】结合正弦函数的五点作图法即可求解．【解答】∵f(x)在[0, 2π]有且仅有5个零点，令ωx+π3=5π可得x=14π3ω≤2π，解可得，ω≥73，令ωx+π3=6π可得x=17π3ω>2π，解可得，ω<176故73≤ω<176．11.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】设双曲线的半焦距为c ，|BF 2|＝|PF 2|＝t ，首先判断四边形AF 1BF 2为平行四边形，可得∠F 1AF 2＝90∘，连接PF 1，运用双曲线的定义，在直角三角形AF 1F 2和直角三角形PAF 1中，运用勾股定理，化简可得a ，c 的关系式，即可得到所求离心率． 【解答】设双曲线的半焦距为c ，|BF 2|＝|PF 2|＝t ，由|OA|＝|OB|，|OF 1|＝|OF 2|，可得四边形AF 1BF 2为平行四边形， 则|AF 1|＝|BF 2|＝t ，且∠F 1AF 2＝90∘，连接PF 1，由双曲线的定义可得|PF 1|＝|PF 2|+2a ＝t +2a ， 又|AF 2|＝|AF 1|−2a ＝t −2a ，在直角三角形AF 1F 2中，可得t 2+(t −2a)2＝4c 2，① 在直角三角形PAF 1中，可得t 2+(2t −2a)2＝(t +2a)2， 化为t ＝3a ，代入①可得9a 2+a 2＝4c 2， 即有c =√102a ，即e =ca =√102． 12. 【答案】 B【考点】 数列的求和 数列递推式【解析】先由题设条件推导出数列{a n }相邻两项之间的关系式，然后求出通项公式，再根据a n +λ⋅(−1)n+1>0对任意n ∈N ∗恒成立，求得λ的取值范围即可． 【解答】（2）当n ＝2k ，k ∈N ∗时，有a 2k+1＝−a 2k+1−a 2k −(12)2k+1+2，即2a 2k+1＝−a 2k −(12)2k+1+2＝(12)2k+1−4，整理得：a 2k ＝6−(14)k ．∵ a n +λ⋅(−1)n+1>0对任意n ∈N ∗恒成立，∴ 当n ＝2k −1，k ∈N ∗时，有a 2k−1+λ＝(14)k −2+λ>0恒成立，即λ>2−(14)k 恒成立⇒λ≥2(1)当n ＝2k ，k ∈N ∗时，有a 2k −λ＝6−(14)k −λ>0恒成立，即λ<6−(14)k 恒成立⇒λ<6−14=234． 综合以上，知：2≤λ<234．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上 【答案】−12【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件，解方程可得a 的值． 【解答】 解：函数f(x)=ln x x−ax 2则f ′(x)=1−ln x x 2−2ax ，∴ 曲线y =f(x)在(1, f(1))处的切线的斜率为k =1−2a ， 由切线与直线2x −y +1=0平行，可得1−2a =2， 解得a =−12. 故答案为：−12．【答案】 10【考点】二项式定理及相关概念 【解析】先利用微积分基本定理求出m 的值，然后写出展开式的通项，进而求出x 2的系数． 【解答】∫ π2−π2cos xdx =sin x|−π2π2=sin π2−sin (−π2)=2．故二项式为(x +2x 2)5，其展开式的通项为：T k+1=C 5k x 5−k ⋅(2x2)k =2kC 5k ⋅x 5−3k ，令5−3k ＝2，得k ＝1，故x 2的系数为21×C 51=10． 【答案】2π+2 【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设两个小圆的半径分别是r 1，r 2，大圆半径为R ，根据几何概型结合均值不等式计算得到答案即可． 【解答】设两个小圆的半径分别是r 1，r 2，大圆半径为R ＝1，则(2R)2＝(2r 1)2+(2r 2)2， 即R 2=r 12+r 22=1；根据几何概型：P =12πr 12+12πr 22+2r 1r 2−12πR 212πr 12+12πr 22+2r 1r 2=4r 1r 2πr12+πr 22+4r 1r 2≤4r 1r 22πr1r 2+4r 1r 2=2π+2，当r 1＝r 2时等号成立． 【答案】 ①②④ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】通过计算AC 1与过A 的三条棱所成角的大小判断①，根据各平面法向量夹角判断②，根据计算最大截面面积判断③，设圆柱底面半径为r ，根据相似比计算圆柱高，代入侧面积公式判断④． 【解答】对于①，连接A 1C 1，则cos ∠A 1AC 1=AA 1AC 1=√3=√33， 同理可得cos ∠BAC 1=√33，cos ∠DAC 1=√33， ∴ AC 1与过A 的三条棱所成角均相等，又圆柱OO 1的母线与AC 1平行，正方体的其他棱都与AB ，AD ，AA 1中的其中一条平行， 故圆柱OO 1的母线与正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所有的棱所成的角都相等，故①正确； 对于②，连接BD ，A 1B ，A 1D ，则可知AC 1⊥平面A 1BD ， ∴ 圆柱OO 1的底面与平面A 1BD 平行，∵ AC 1→为平面A 1BD 的法向量，AA 1→为正方体上下面的法向量，AB →为正方体左右平面的法向量，AD →为正方体前后面的法向量，由①可知|cos <AC 1→，AA 1→>|＝|cos <AC 1→，AB →>|＝|cos <AC 1→，AD →>|， 故平面A 1BD 与正方体所有面所成角都相等，故②正确；对于③，若平行圆柱底面的截面为正六边形EFGHKL ，其中正六边形的各顶点均为正方体棱的中点，则正六边形的面积为√34×(√22)2×6=3√34，故③错误； 对于④，当圆柱侧面积最大时，圆柱底面圆周上必有一点M 在AB 1上，连接OM ，则OM ⊥AC 1且OM 为圆柱底面半径，设OM ＝r ，由Rt △AOM ∽Rt △AB 1C 1可知：OMB1C 1=AO AB 1，即r =√2，∴ AO =√2r ，故圆柱的高为AC 1−2AO =√3−2√2r ， ∴ 圆柱的侧面积为S 侧＝2πr ⋅(√3−2√2r)＝−4√2π(r −√68)2+3√2π8≤3√2π8，④正确． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 【答案】（1）证明：连接DB 1，连接D 1B 1 交A 1C 1 于O ，则D 1O ＝OB 1． ∵ D 1E ＝ED ，∴ EO // DB 1，又SD // BB 1，SD ＝BB 1，∴ 四边形SDB 1B 是平行四边形，得SB // DB 1，故SB // EO ． ∵ SB ⊄平面EA 1C 1，EO ⊂平面EA 1C 1， ∴ SB // 平面EA 1C 1；（2）以D 1为坐标原点，分别以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 则A 1(2, 0, 0)，C 1(0, 2, 0)，E(0, 0, 1)，F(23, 23, 103)．A 1C 1→=(−2,2,0)，A 1E →=(−2,0,1)，EF →=(23,23,73)．设平面EA 1C 1的一个法向量为n →=(x,y,z)，由{n →⋅A 1C 1→=−2x +2y =0n →⋅A 1E →=−2x +z =0 ，取x ＝1，得n →=(1,1,2)．设直线EF 与平面EA 1C 1所成角为θ． 则sin θ＝|cos <n →,EF →>|=|n →⋅EF →||n →|⋅|EF →|=23+23+143√6⋅√9+9+9=√6⋅√3=3√3819． ∴ 直线EF 与平面EA 1C 1所成角的正弦值为3√3819．【考点】直线与平面平行 直线与平面所成的角【解析】(Ⅰ)由已知证明四边形SDB 1B 是平行四边形，得SB // DB 1，由平行公理得SB // EO ，再由直线与平面平行的判定可得SB // 平面EA 1C 1；(Ⅱ)以D 1为坐标原点，分别以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出EF →与平面EA 1C 1的一个法向量，再由两向量所成角的余弦值可得直线EF 与平面EA 1C 1所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：连接DB 1，连接D 1B 1 交A 1C 1 于O ，则D 1O ＝OB 1． ∵ D 1E ＝ED ，∴ EO // DB 1，又SD // BB 1，SD ＝BB 1，∴ 四边形SDB 1B 是平行四边形，得SB // DB 1，故SB // EO ． ∵ SB ⊄平面EA 1C 1，EO ⊂平面EA 1C 1， ∴ SB // 平面EA 1C 1；（2）以D 1为坐标原点，分别以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． 则A 1(2, 0, 0)，C 1(0, 2, 0)，E(0, 0, 1)，F(23, 23, 103)．A 1C 1→=(−2,2,0)，A 1E →=(−2,0,1)，EF →=(23,23,73)．设平面EA 1C 1的一个法向量为n →=(x,y,z)，由{n →⋅A 1C 1→=−2x +2y =0n →⋅A 1E →=−2x +z =0 ，取x ＝1，得n →=(1,1,2)．设直线EF 与平面EA 1C 1所成角为θ．则sin θ＝|cos <n →,EF →>|=|n →⋅EF →||n →|⋅|EF →|=23+23+143√6⋅√9+9+9=√6⋅√3=3√3819．∴直线EF与平面EA1C1所成角的正弦值为3√3819．【答案】得到：P＝2，T2=π2，故T＝π，所以ω=2ππ=2．所以f(x)＝2sin(2x−A)．当x=π3时，sin(2×π3−A)=1，由于A∈(0, π)，所以2π3−A∈(−π3,2π3)，所以2π3−A=π2，解得A=π6．所以C=π−π6−π4=7π12或C=π−π6−3π4=π12③m→=(cos C,√3),n→=(−1,2)，满足m→∥n→．所以2cos C=−√3，整理得C=5π6．所以满足①②两个条件．（2）由于sin B<sin C，所以b<c，整理得B<C．所以C=7π12，由于A=π6，C=7π12，B=π4，在△ADC中，由余弦定理22=b2+AD2−2b⋅AD⋅√32≥(2−√3)b⋅AD，所以b⋅AD≤4×(2+√3)，所以S△ACD=12⋅b⋅AD⋅sinπ6=14⋅b⋅AD≤2+√3．此时b＝AD=√6+√2．此时的最大值为2+√3【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式余弦定理【解析】(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出B的值，进一步利用三角函数的关系式和正弦型函数的性质的应用求出结果．(Ⅱ)利用余弦定理和三角形面积公式和基本不等式的应用求出最值．【解答】（1）满足①②两个条件，证明如下：①cos(A−C)+cos B=acb2，整理得cos(A−C)−cos(A+C)=2sin A sin C=sin A sin Csin2B，所以sin B=√22，解得B=π43π4．②函数f(x)＝P sin(ωx−A)(P、ω>0)的部分图象【答案】身高在[170，1的总人数为：20+60+100+100+80+20+10+10＝400，体重在[55−的频率为：60400=0.15，体重在[70−的频率为：80400=0.2，平均体重为：52.5×0.05+57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.25+72.5×0.2+77.5×0.05+82.5×0.025+87.5×0.025≈66.4，((1)因为r＝0.99→1，线性相关很强，故可以用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关，x¯=145+155+165+175+1855=165，y¯=45+75+60+53.6+66.45=60，b=∑−i=18xiyi8x¯⋅y¯∑−i=18xi28x¯2=38608+175×66.4−5×165×601000=0.728，a=y¯−b x¯=60−0.728×165=−60.12，所以回归直线方程为：y=0.728x−60.12，((2)残差平方和越小或相关指数 R 2 越接近于1，线性回归模型拟合效果越好．【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）计算总人数得到频率，补充频率直方图并计算平均值得到答案．（2）根据 r ＝0.99→1 得到线性相关很强，再利用回归方程公式计算得到答案． （3）直接根据残差平方和或相关指数 R 2 的定义得到答案． 【解答】身高在[170，1 的总人数为：20+60+100+100+80+20+10+10＝400， 体重在[55− 的频率为：60400=0.15，体重在[70− 的 频率为：80400=0.2，平均体重为：52.5×0.05+57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.25+72.5×0.2 +77.5×0.05+82.5×0.025+87.5×0.025≈66.4，((1)因为 r ＝0.99→1，线性相关很强，故可以用线性回归直线来 刻画中学生身高与体重的相关， x ¯=145+155+165+175+1855=165，y ¯=45+75+60+53.6+66.45=60，b =∑−i=18 xiyi 8x ¯⋅y ¯∑−i=18 xi 28x ¯2=38608+175×66.4−5×165×601000=0.728，a =y ¯−b x ¯=60−0.728×165=−60.12， 所以回归直线方程为：y =0.728x −60.12，((2)残差平方和越小或相关指数 R 2 越接近于1，线性回归模型拟合效果越好．【答案】（1）设M(x, y)，依题意，y 2+22＝[x 2+(y −2)2]2， 化简可得，曲线C 的标准方程为x 2＝4y ；（2）设由点P 向曲线C 作切线，切点为(x 0, y 0)， 又由曲线C 的方程可得y ′=12x ，则切线方程为y −x 024=12x 0(x −x 0)，将P(m, n)代入可得，x 02−2mx 0+4n =0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{△=4m 2−16n >0x 1+x 2=2m x 1x 2=4n ，由x 12=4y 1,x 22=4y 2作差可得，k AB =x 1+x 24=m 2，又k OP =nm ，∴ k OP k AB =nm ⋅m 2=−2，解得n ＝−4，因此，点P 到x 轴的距离为4． 【考点】 轨迹方程 【解析】(Ⅰ)设M(x, y)，根据题设条件建立关于x ，y 的关系式，化简整理即可求得曲线C 的方程； (Ⅱ)求得切线方程为y −x 024=12x 0(x −x 0)，将P(m, n)代入可得，x 02−2mx 0+4n =0，由此可得k AB =x 1+x 24=m 2，又k OP =n m，结合题意建立方程，解出即可．【解答】（1）设M(x, y)，依题意，y 2+22＝[x 2+(y −2)2]2， 化简可得，曲线C 的标准方程为x 2＝4y ；（2）设由点P 向曲线C 作切线，切点为(x 0, y 0)， 又由曲线C 的方程可得y ′=12x ，则切线方程为y −x 024=12x 0(x −x 0)，将P(m, n)代入可得，x 02−2mx 0+4n =0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{△=4m 2−16n >0x 1+x 2=2m x 1x 2=4n ，由x 12=4y 1,x 22=4y 2作差可得，k AB =x 1+x 24=m2，又k OP =n m，∴ k OP k AB =nm ⋅m 2=−2，解得n ＝−4，因此，点P 到x 轴的距离为4． 【答案】（1）∵ f(x)＝e x +e −x ， ∴ f ′(x)＝e x −e −x ，g(x)=f ′(x)x=e x −e −xx(x ≠0)，则g ′(x)=(x−1)e x +(x+1)e −xx 2，设p(x)＝(x −1)e x +(x +1)e −x ，则p′(x)＝x(e x −e −x )， 当x >0时，p′(x)>0；当x <0时，p′(x)>0， ∴ p(x)单调递增，又p(0)＝0，∴ g(x)的减区间为(−∞, 0)，增区间为(0, +∞)；（2）①证明：ℎ(x)＝f(x)−(2+ax 2)＝e x +e −x −ax 2−2，则ℎ′(x)＝e x −e −x −2ax ， 令φ(x)＝e x −e −x −2ax ，则φ′(x)＝e x +e −x −2a ， 令φ′(x)＝0，即e 2x −2ae x +1＝0， 由x >0，e x >1，m =ln (a +√a 2−1)， ∴ φ(x)在(0, m)递减，在(m, +∞)递增， ∴ ℎ′(x)在(0, m)递减，在(m, +∞)递增，又{ℎ(2m)=e 2m −e −2m −4am 2a =e m −e −m，∴ (e m +e −m )(e m −e −m −2m)>0， ∴ 存在x 0∈(m, 2m)，使得ℎ′(x 0)＝0，从而有，ℎ(x)在(0, x 0)递减，ℎ′(x)在(x 0, +∞)递增，函数ℎ(x)在(0, +∞)上存在唯一极值点x 0； ②ℎ(x 0)=e x 0−e −x 0−2ax 0=0，2a ∈(2, e −e −1)， g(x 0)=e x 0−e −x 0x 0在(0, +∞)递增，g(1)＝e −e −1，∴ 0<x 0<1， ℎ(x 0)=ex 0+e−x 0−ax 02−2=ex 0+e−x 0−x 02⋅e x 0−e −x 02x 0−2=e x 0(1−x 02)+e −x 0(1+x 02)−2，设k(x)=e x(1−x2)+e−x(1+x2)−2(0<x <1)，则k ′(x)=e x (1−x)−e −x (1+x)2<0，∴ k(x)在(0, 1)上递减， ∴ ℎ(x 0)的取值范围为(e2+32e−2,0)．【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)依题意，求得g(x)的解析式，求导，进而得出其单调性情况；(Ⅱ)①求得ℎ(x)的解析式，求导可得ℎ′(x)＝e x −e −x −2ax ，令φ(x)＝e x −e −x −2ax ，再次求导可得即可得证；②依题意，ℎ(x 0)=e x 0−e −x 0−2ax 0=0，2a ∈(2, e −e −1)，0<x 0<1，再利用导数求其取值范围即可． 【解答】（1）∵ f(x)＝e x +e −x ，∴ f ′(x)＝e x −e −x ，g(x)=f ′(x)x=e x −e −xx(x ≠0)，则g ′(x)=(x−1)e x +(x+1)e −xx 2，设p(x)＝(x −1)e x +(x +1)e −x ，则p′(x)＝x(e x −e −x )， 当x >0时，p′(x)>0；当x <0时，p′(x)>0， ∴ p(x)单调递增，又p(0)＝0，∴ g(x)的减区间为(−∞, 0)，增区间为(0, +∞)；（2）①证明：ℎ(x)＝f(x)−(2+ax 2)＝e x +e −x −ax 2−2，则ℎ′(x)＝e x −e −x −2ax ， 令φ(x)＝e x −e −x −2ax ，则φ′(x)＝e x +e −x −2a ， 令φ′(x)＝0，即e 2x −2ae x +1＝0， 由x >0，e x >1，m =ln (a +√a 2−1)， ∴ φ(x)在(0, m)递减，在(m, +∞)递增， ∴ ℎ′(x)在(0, m)递减，在(m, +∞)递增，又{ℎ(2m)=e 2m −e −2m −4am 2a =e m −e −m，∴ (e m +e −m )(e m −e −m −2m)>0， ∴ 存在x 0∈(m, 2m)，使得ℎ′(x 0)＝0，从而有，ℎ(x)在(0, x 0)递减，ℎ′(x)在(x 0, +∞)递增，函数ℎ(x)在(0, +∞)上存在唯一极值点x 0； ②ℎ(x 0)=e x 0−e −x 0−2ax 0=0，2a ∈(2, e −e −1)， g(x 0)=e x 0−e −x 0x 0在(0, +∞)递增，g(1)＝e −e −1，∴ 0<x 0<1， ℎ(x 0)=ex 0+e−x 0−ax 02−2=ex 0+e−x 0−x 02⋅e x 0−e −x 02x 0−2=e x 0(1−x 02)+e −x 0(1+x 02)−2，设k(x)=e x(1−x2)+e−x(1+x 2)−2(0<x <1)，则k ′(x)=e x (1−x)−e −x (1+x)2<0，∴ k(x)在(0, 1)上递减，∴ ℎ(x 0)的取值范围为(e2+32e −2,0)．选考题：共10分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】（1）直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =t sin α （t 为参数，α为直线l 的倾斜角），当α=π2，转换为直角坐标方程为x ＝1．当α≠π2时，转换为直角坐标方程为y ＝tan α(x −1)． 曲线C 的极坐标方程为ρ2=21+sin 2θ，根据{x =ρcos θy =ρsin θ转换为直角坐标方程为x 22+y 2=1．（2）将直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =t sin α 代入x 22+y 2=1，得到(1+sin 2α)t 2+2sin αt −1＝0， 所以t 1+t 2=−2sin α1+2sin 2α，t 1t 2=−11+2sin 2α由于|PA|⋅|PB|＝||PA|−|PB||，所以|t 1+t 2|=|−2sin α1+2sin 2α|=|t 1t 2|=|−11+2sin 2α|， 解得cos α=±12，故tan α=±√3． 【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把直线的参数方程转换为普通方程，进一步把曲线的极坐标方程转换为普通方程． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =t sin α （t 为参数，α为直线l 的倾斜角），当α=π2，转换为直角坐标方程为x ＝1．当α≠π2时，转换为直角坐标方程为y ＝tan α(x −1)．曲线C 的极坐标方程为ρ2=21+sin 2θ，根据{x =ρcos θy =ρsin θ转换为直角坐标方程为x 22+y 2=1．（2）将直线l 的参数方程为{x =1+t cos αy =t sin α 代入x 22+y 2=1，得到(1+sin 2α)t 2+2sin αt −1＝0， 所以t 1+t 2=−2sin α1+2sin 2α，t 1t 2=−11+2sin 2α 由于|PA|⋅|PB|＝||PA|−|PB||， 所以|t 1+t 2|=|−2sin α1+2sin 2α|=|t 1t 2|=|−11+2sin 2α|，解得cos α=±12， 故tan α=±√3．[选修4-5：不等式选讲]【答案】（1）因为函数f(x)＝x 2−2x +3，a ，b ∈R +，且a +b ＝2，所以f(a)+f(b)＝a 2+b 2−2(a +b)x +6＝(a +b)2−2ab +2＝6−2ab ≥6−2(a+b 2)2=4，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， 所以f(a)+f(b)的最小值为4． （2）证明：因为|x −a|<2，所以|f(x)−f(a)|＝|(x 2−a 2)−2(x −a)|＝|x −a||x +a −2|<2|x +a −2|＝2|(x −a)+2a −2|<2|x −a|+4|a|+4，所以|f(x)−f(a)|<4(|a|+2)． 【考点】二次函数的性质不等式的证明 二次函数的图象【解析】(Ⅰ)根据基本不等式即可求出最小值， (Ⅱ)根据绝对值三角不等式即可证明． 【解答】（1）因为函数f(x)＝x 2−2x +3，a ，b ∈R +，且a +b ＝2，所以f(a)+f(b)＝a 2+b 2−2(a +b)x +6＝(a +b)2−2ab +2＝6−2ab ≥6−2(a+b 2)2=4，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以f(a)+f(b)的最小值为4． （2）证明：因为|x −a|<2，所以|f(x)−f(a)|＝|(x 2−a 2)−2(x −a)|＝|x −a||x +a −2|<2|x +a −2|＝2|(x −a)+2a −2|<2|x −a|+4|a|+4，所以|f(x)−f(a)|<4(|a|+2)．。
2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学四模试卷(理科)
2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|log2x≥1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，4）D．（0，2]2．（5分）已知复数z=1−i+2a1−i（i为虚数单位，a∈R），z在复平面上对应的点在第四象限，则a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，2）3．（5分）近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是（）A．乡村游人数逐年上升B．相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C．近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D．从2016年开始，乡村游人数明显增多4．（5分）在等比数列{a n}中，a1＝2，a5＝8a2，则数列{a n}前7项的和S7＝（）A．253B．254C．255D．2565．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出x的值为（）A ．123B ．125C ．127D ．1296．（5分）已知α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，①若n ⊥β，α∥β，m ⊥α，则m ∥n ；②若m ∥α，α⊥β，n ⊥β，则m ∥n ；③若n ⊥β，α∥β，m ∥α，则m ⊥n ；④若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥n ．在上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．（5分）已知函数f(x)=2x cosx 4x +a是偶函数，则函数f （x ）的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．12D ．3 8．（5分）已知α为锐角，若cos(α+π4)=35，则tan2α＝（ ）A ．710B ．310C ．13D ．7249．（5分）已知双曲线C.x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，圆O ：x 2+y 2﹣a 2﹣b 2＝0与双曲线的一个交点为P ，若|PF 1|=√3|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3+12C ．2D ．√3+110．（5分）把函数f(z)=cos(ωx +π3)(ω＞0)的图象向左平移π6个单位后得到函数g （x ）的图象，函数g （x ）图象的一条对称轴为直线x =π6，若函数f （x ）在(π3，2π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A ．2或5B ．2或3C ．2D ．511．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC （记△ABC 所在的平面为底面）内接于球O ，P A ：PB ：PC＝1：2：3，当三棱锥P ﹣ABC 侧面积最大时，球O 的体积为56√143π．则此时△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 12．（5分）若不等式mxe mx 2≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1e 2，+∞)B ．[12e ，+∞)C ．(1e ，+∞)D ．[√e +∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知x ，y 满足{x −y ≥0x +y −2≥0x ≤2，则z ＝2x +y 的最小值为 ．14．（5分）已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=√3，若a →⊥(3a →−4b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为 ．15．（5分）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中只有S 7最小，则S 15﹣2S 130．（填“＞”或“＝”或“＜”）16．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 与抛物线的准线分别相交于点P ，Q ，则|PQ |的最小值为 ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17\～2117．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知√3b ＝（a cos C +c cos A ）tan A ．（1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积为√3，且a =√6，求b ，c ．18．（12分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，O 为AB 的中点，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点，DC ＝AC ＝BC =√2，AB ＝2，DO ⊥平面ABC ．（1）求证：平面OEF ∥平面BCD ；（2）求二面角D ﹣OE ﹣F 的余弦值．19．（12分）“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元．（1）求一位献爱心参与者不能获奖的概率；（2）若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为B ，∠OBF ＝30°，点A （−√2，√62）在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，与x 轴相交于点M ，与y 轴的正半轴相交于点N ，T 为线段PQ 的中点，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值n ，请判断直线l 是否过定点，求实数n 的值，并说明理由．21．（12分）已知函数f （x ）＝2xe x ﹣ax ﹣alnx （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线l 过点（0，﹣2e ﹣1），求实数a 的值；（2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ，y =sinβ，（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方。
东北三省三校2020届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
高考资源网（ ） 您身边的高考专家
版权所有@高考资源网 - 1 - 三省三校第四次模拟（内部）
数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}2|40=-<A x x x ，{}2|log 1B x x =≥，则A B =（ ）
A. ()0,∞+
B. [)2,+∞
C. ()0,4
D. (]
0,2 【答案】A
【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合A ，解对数不等式求得集合B ，由此求得A B .
【详解】由()2440x x x x -=-<，解得04x <<，所以()0,4A =.由22log 1log 2x ≥=，
解得2x ≥，所以{}|2B x x =≥.所以()0,A
B =+∞.
故选：A 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题. 2. 已知复数211a z i i
=-+-（i 为虚数单位，a R ∈），z 在复平面上对应的点在第四象限，则a 的取值范围是（ ） A. ()2,0-
B. ()1,1-
C. ()1,+∞
D. ()1,2- 【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数除法运算化简z ，根据z 在复平面上对应的点在第四象限列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.
【详解】()()()
()()212111111111a i a z i i i a i a a i i i i +=-+=-+=-++=++---+， 由题意知1010a a +>⎧⎨-<⎩
，所以11a -<<. 故选：B。
2020年东北三省三校(辽宁省实验中学、哈师大附中、东北师大附中)高考数学四模试卷(理科) (解析版)
2020年高考数学四模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|log2x≥1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，4）D．（0，2]2．已知复数z=1−i+2a1−i（i为虚数单位，a∈R），z在复平面上对应的点在第四象限，则a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，2）3．近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是（）A．乡村游人数逐年上升B．相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C．近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D．从2016年开始，乡村游人数明显增多4．在等比数列{a n}中，a1＝2，a5＝8a2，则数列{a n}前7项的和S7＝（）A．253B．254C．255D．2565．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出x的值为（）A．123B．125C．127D．129 6．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，①若n⊥β，α∥β，m⊥α，则m∥n；②若m∥α，α⊥β，n⊥β，则m∥n；③若n⊥β，α∥β，m∥α，则m⊥n；④若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥n．在上述四个命题中，真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．47．已知函数f(x)=2x cosx4x+a是偶函数，则函数f（x）的最大值为（）A．1B．2C．12D．38．已知α为锐角，若cos(α+π4)=35，则tan2α＝（）A．710B．310C．13D．7249．已知双曲线C.x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，圆O：x2+y2﹣a2﹣b2＝0与双曲线的一个交点为P，若|PF1|=√3|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．√2B．√3+12C．2D．√3+110．把函数f(z)=cos(ωx +π3)(ω＞0)的图象向左平移π6个单位后得到函数g （x ）的图象，函数g （x ）图象的一条对称轴为直线x =π6，若函数f （x ）在(π3，2π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．2或5B ．2或3C ．2D ．511．已知三棱锥P ﹣ABC （记△ABC 所在的平面为底面）内接于球O ，PA ：PB ：PC ＝1：2：3，当三棱锥P ﹣ABC 侧面积最大时，球O 的体积为56√143π．则此时△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1512．若不等式mxe mx 2≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[1e 2，+∞) B ．[12e，+∞) C ．(1e，+∞)D ．[√e+∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知x ，y 满足{x −y ≥0x +y −2≥0x ≤2，则z ＝2x +y 的最小值为 ．14．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=√3，若a →⊥(3a →−4b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为 ．15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中只有S 7最小，则S 15﹣2S 13 0．（填“＞”或“＝”或“＜”）16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 与抛物线的准线分别相交于点P ，Q ，则|PQ |的最小值为 ． 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17\～2117．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知√3b ＝（a cos C +c cos A ）tan A ． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积为√3，且a =√6，求b ，c ．18．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，O 为AB 的中点，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点，DC ＝AC ＝BC =√2，AB ＝2，DO ⊥平面ABC ． （1）求证：平面OEF ∥平面BCD ； （2）求二面角D ﹣OE ﹣F 的余弦值．19．“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元．（1）求一位献爱心参与者不能获奖的概率；（2）若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望． 20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为B ，∠OBF ＝30°，点A （−√2，√62）在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，与x 轴相交于点M ，与y 轴的正半轴相交于点N ，T 为线段PQ 的中点，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值n ，请判断直线l 是否过定点，求实数n 的值，并说明理由． 21．已知函数f （x ）＝2xe x ﹣ax ﹣alnx （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线l 过点（0，﹣2e ﹣1），求实数a 的值；（2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ，y =sinβ，（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin（θ−π4）=3√22．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P在曲线C上，且点P到直线l的距离最小，求点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若x∈[﹣2，2]时，f（x）≥mx恒成立，求实数m的值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|log2x≥1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．[2，+∞）C．（0，4）D．（0，2]【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，∴A∪B＝（0，+∞）．故选：A．2．已知复数z=1−i+2a1−i（i为虚数单位，a∈R），z在复平面上对应的点在第四象限，则a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．（﹣1，1）C．（1，+∞）D．（﹣1，2）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．解：因为z=1−i+2a1−i=1﹣i+2a(1+i)(1−i)(1+i)=1﹣i+a（1+i）＝1+a+（a﹣1）i；由题意可得：1+a＞0且a﹣1＜0；即﹣1＜a＜1；故选：B．3．近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是（）A ．乡村游人数逐年上升B ．相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C ．近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D ．从2016年开始，乡村游人数明显增多 【分析】根据所给柱状图，逐一对照分析即可解：从柱状图可看出，乡村游人数逐年上升，故A 正确；2015年乡村游增长人数为250﹣180＝70万人，2014年乡村游增长人数为180﹣150＝30万人，由70180＞30150，故B 正确；近8年乡村游人数平均数为110+150+180+250+330+510+720+9508=400＞330，即近8年乡村游人数的平均数大于2016年乡村游人数，故C 错误； 从2016年开始，乡村游人数增长速度明显加快，故D 正确． 故选：C ．4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 5＝8a 2，则数列{a n }前7项的和S 7＝（ ） A ．253B ．254C ．255D ．256【分析】根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝8a 2，变形分析可得q 的值，进而计算可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ， 又由a 5＝8a 2，变形可得a 5a 2=8，即a 5a 2=q 3=a5a 2=8，变形可得q ＝2；则数列{a n }前7项的和S 7=a 1(1−q 7)1−q=254；故选：B ．5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出x 的值为（ ）A．123B．125C．127D．129【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得x＝2执行循环体，x＝3不满足判断框内的条件x＞100，执行循环体，x＝7不满足判断框内的条件x＞100，执行循环体，x＝127此时，满足判断框内的条件x＞100，退出循环，输出x的值为127．故选：C．6．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，①若n⊥β，α∥β，m⊥α，则m∥n；②若m∥α，α⊥β，n⊥β，则m∥n；③若n⊥β，α∥β，m∥α，则m⊥n；④若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥n．在上述四个命题中，真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得到答案． 解：①若n ⊥β，α∥β，则n ⊥α， 而m ⊥α，则m ∥n ； 故①正确；②若m ∥α，α⊥β，n ⊥β，则m ∥n 或m ⊥n ； 故②错误；③若n ⊥β，α∥β，m ∥α，则m ⊥n ； 故③正确；④若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ∥n ， 故④错误； 故选：B ．7．已知函数f(x)=2xcosx4x +a是偶函数，则函数f （x ）的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．3【分析】根据题意，由偶函数的定义可得2−x cos(−x)4−x +a=2x cosx 4x +a，变形可得a 的值，即可得f （x ）的解析式，据此分析可得答案．解：根据题意，函数f(x)=2x cosx4x +a 是偶函数，则有2−x cos(−x)4−x +a =2x cosx 4x+a， 变形可得：a （4x ﹣1）＝4x ﹣1，分析可得a ＝1；则f （x ）=2xcosx 4x +a =cosx2x +2−x ，又由当x ＝0时，cos x 取得最大值为1，同时2x +2﹣x 取得最小值2， 则此时f （x ）取得最大值12；故选：C ．8．已知α为锐角，若cos(α+π4)=35，则tan2α＝（ ）A ．710B ．310C ．13D ．724【分析】由已知利用同角三角函数关系式可求sin （α+π4）的值，从而利用sin α＝sin[（α+π4）−π4]，可求sin α，cos α，即可得解tan α的值，利用二倍角的正切函数公式即可求解tan2α的值．解：∵a 为锐角，且cos （α+π4）=35，α+π4∈（π4，3π4），∴sin （α+π4）=45，∴sin α＝sin[（α+π4）−π4]＝sin （α+π4）cos π4−cos （α+π4）sin π4=45×√22−35×√22=√210，cos α=√1−sin 2α=7√210∴tan α=sinαcosα=17， ∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×171−(17)2=724． 故选：D ．9．已知双曲线C.x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，圆O ：x 2+y 2﹣a 2﹣b 2＝0与双曲线的一个交点为P ，若|PF 1|=√3|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√3+12C ．2D ．√3+1【分析】设|PF 2|＝x ，则|PF 1|=√3x ，由于圆O ：x 2+y 2﹣a 2﹣b 2＝0可化简为x 2+y 2＝c 2，是以O 为圆心，c 为半径的圆，所以PF 1⊥PF 2，由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即3x 2+x 2＝4c 2，解得c ＝x ；由双曲线的定义知，|PF 1|﹣|PF 2|＝2a =(√3−1)x ，解得a =√3−12x ，最后由离心率e =ca 代入化简即可得解．解：设|PF 2|＝x ，则|PF 1|=√3x ，∵圆O ：x 2+y 2﹣a 2﹣b 2＝0，即x 2+y 2＝a 2+b 2＝c 2，是以O 为圆心，c 为半径的圆， ∴PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即3x 2+x 2＝4c 2， ∴c ＝x ，由双曲线的定义知，|PF 1|﹣|PF 2|＝2a =(√3−1)x ，∴a =√3−12x ，∴离心率e =c a =√3−12x =√3+1．故选：D ．10．把函数f(z)=cos(ωx +π3)(ω＞0)的图象向左平移π6个单位后得到函数g （x ）的图象，函数g （x ）图象的一条对称轴为直线x =π6，若函数f （x ）在(π3，2π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．2或5B ．2或3C ．2D ．5【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论．解：把函数f(z)=cos(ωx +π3)(ω＞0)的图象向左平移π6个单位后，得到函数g （x ）＝cos （ωx +ωπ6+π3）的图象， ∵函数g （x ）图象的一条对称轴为直线x =π6， ∴ω•π6+ω•π6+π3=k π，即ω＝3k ﹣1，k ∈Z ①．若函数f （x ）在(π3，2π3)上单调递增，则12⋅2πω≥2π3−π3，∴ω≤3②． 根据①②，综合所给的选项，可得ω的取值范围是ω＝2， 故选：C ．11．已知三棱锥P ﹣ABC （记△ABC 所在的平面为底面）内接于球O ，PA ：PB ：PC ＝1：2：3，当三棱锥P ﹣ABC 侧面积最大时，球O 的体积为56√143π．则此时△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】设PA ＝x ，PB ＝2x ，PC ＝3x ，可知当三棱锥P ﹣ABC 三个侧面的面积之和最大时，PA ，PB ，PC 两两垂直，由球的体积求出外接球的半径，再由长方体对角线长与棱长的关系求得x ，则三条侧棱长可求，进一步求得△ABC 的面积． 解：设PA ＝x ，PB ＝2x ，PC ＝3x ，当三棱锥P ﹣ABC 三个侧面的面积之和最大时，PA ，PB ，PC 两两垂直， 有43πR 3=56√143，得R =√14． 又由PA 2+PB 2+PC 2＝4R 2，有14x 2=4×(√14)2，得x ＝2． 此时AB =2√5，AC =2√10，BC =2√13． 由cos ∠BAC =2×25×210=√210，sin ∠BAC =7√210．∴△ABC 的面积为12×2√5×2√10×7√210=14．故选：C ．12．若不等式mxe mx 2≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A．[1e2，+∞)B．[12e，+∞)C．(1e，+∞)D．[√e+∞)【分析】当x＝e时，me•e me2≥1，可得m＞0，①当0＜x≤1时，不等式显然成立，②当x≥1时，问题可转化为mx2e mx2≥xlnx，两边取对数有ln（mx2）+mx2≥lnx+ln （lnx），令g（x）＝x+lnx，可得g（mx2）≥g（lnx），由函数g（x）单调递增，有mx2≥lnx，得m≥lnx2，令h（x）=lnx2，只需要m大于等于h（x）的最大值即可．解：当x＝e时，me•e me2≥1，可得m＞0，①当0＜x≤1时，lnx＜0，mxe mx2＞0，不等式显然成立，②当x≥1时，不等式mxe mx2≥lnx，可化为mx2e mx2≥xlnx，两边取对数有ln（mx2）+mx2≥lnx+ln（lnx），令g（x）＝x+lnx，可得g（mx2）≥g（lnx），又由函数g（x）单调递增，有mx2≥lnx，得m≥lnx x2，令h（x）=lnxx2，有h′（x）=x−2xlnxx4=1−2lnxx3（x≥1），由h′（x）＞0，有1＜x＜√e，可得函数h（x）的递增区间为（1，√e），减区间为（√e，+∞），有h（x）max＝h（√e）=ln√e(√e)2=12e，故实数m的取值范围为[12e，+∞）．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知x，y满足{x−y≥0x+y−2≥0x≤2，则z＝2x+y的最小值为3．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移，可得当x＝y＝1时，z＝2x+y取得最小值为3．解：作出不等式组{x−y≥0x+y−2≥0x≤2表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（2，2），C（2，0）设z＝F（x，y）＝2x+y，将直线l：z＝2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z 最小值＝F （1，1）＝3 故答案为：314．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=√3，若a →⊥(3a →−4b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为π6．【分析】根据a →⊥(3a →−4b →)可得出a →⋅(3a →−4b →)=0，进行数量积的运算即可求出a →⋅b →=3，从而可得出cos ＜a →，b →＞的值，进而得出a →与b →的夹角． 解：∵|a →|=2，|b →|=√3，a →⊥(3a →−4b →)，∴a →⋅(3a →−4b →)=3a →2−4a →⋅b →=12−4a →⋅b →=0， ∴a →⋅b →=3，∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=32√3=√32，且0≤＜a →，b →＞≤π，∴a →与b →的夹角为π6．故答案为：π6．15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中只有S 7最小，则S 15﹣2S 13 ＞ 0．（填“＞”或“＝”或“＜”）【分析】由题意可知a 7＜0，a 8＞0，由等差数列的前n 项和公式结合等差数列的性质可得S 15＞0，S 13＜0，则答案可求．解：由题意，S 6＞S 7＜S 8，则a 7＜0，a 8＞0．S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7＜0，S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8＞0． ∴S 15﹣2S 13＞0． 故答案为：＞．16．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 与抛物线的准线分别相交于点P ，Q ，则|PQ |的最小值为 4 ． 【分析】设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），直线l 的方程为x ＝my +1，将其与抛物线的方程联立，消去x ，写出韦达定理可得{y 1+y 2=4m y 1y 2=−4，x 1x 2=y 12y 2216=1；写出直线OA 的方程为y =y 1x 1x ，从而得点P （﹣1，−y 1x 1），同理可得点Q （﹣1，−y2x 2），记抛物线的准线与x 轴的交点为D ，则有|PD |•|QD |=|y 1y2x 1x 2|=41=4，然后根据均值不等式有，|PQ |＝|PD |+|QD |≥2√|PD|⋅|QD|=4，故而得解． 解：根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，焦点F （1，0），设点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），直线l 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1y 2=4x ，得y 2﹣4my ﹣4＝0，∴{y 1+y 2=4my 1y 2=−4，x 1x 2=y 12y 2216=1，∵直线OA 的方程为y =y1x 1x ，∴令x ＝﹣1，则y =−y 1x 1，∴P （﹣1，−y1x 1），同理可得，Q （﹣1，−y2x 2），记抛物线的准线与x 轴的交点为D ，则有|PD |•|QD |=|y 1y2x 1x 2|=41=4，由|PQ |＝|PD |+|QD |≥2√|PD|⋅|QD|=4，可知|PQ |的最小值为4．故答案为：4．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17\～2117．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知√3b ＝（a cos C +c cos A ）tan A ． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积为√3，且a =√6，求b ，c ．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A ，进而可求A ； （2）由已知结合三角形的面积公式可求bc ，然后结合余弦定理即可求解． 解：（1）∵√3b ＝（a cos C +c cos A ）tan A ，由正弦定理可得，√3sin B ＝（sin A cos C +sin C cos A ）tan A ＝sin （A +C ）tan A ＝sin B tan A ， 因为sin B ≠0， 故tan A =√3， 因为A ∈（0，π）， 故A =π3，（2）S △ABC =12bcsinA =√34bc =√3，∴bc ＝4，因为cos A =b 2+c 2−a 22bc =12，∴b 2+c 2＝10，∴（b +c ）2＝10+2×4＝18， 则b +c ＝3√2， 由{b +c =3√2bc =4， 解可得{b =√2c =2√2或{b =2√2c =√2．18．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，O 为AB 的中点，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点，DC ＝AC ＝BC =√2，AB ＝2，DO ⊥平面ABC ． （1）求证：平面OEF ∥平面BCD ； （2）求二面角D ﹣OE ﹣F 的余弦值．【分析】（1）先证明OE ∥平面BCD 及EF ∥平面BCD ，进而可证平面OEF ∥平面BCD ； （2）建立空间直角坐标系，求得平面ODE 及平面OEF 的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可．解：（1）证明：∵AO ＝OB ，AE ＝EC ，AF ＝FD ， ∴OE ∥BC ，EF ∥CD ，∵OE 不在平面BCD 内，BC 在平面BCD 内， ∴OE ∥平面BCD ；∵EF 不在平面BCD 内，CD 在平面BCD 内， ∴EF ∥平面BCD ；又EF ∩OE ＝E ，且都在平面OEF 内， ∴平面OEF ∥平面BCD ；（2）如图，连接CO ，由AC ＝BC ，AO ＝OB ，有CO ⊥AB ，在△AOC 中，OC =√AC 2−AO 2=√2−1=1，可得AO ＝OB ＝OC ＝OD ＝1， ∵OD ⊥平面ABC ，可得OB ，OC ，OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，B(1，0，0)，A(−1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，1)，E(−12，12，0)，F(−12，0，12)， 设平面OED 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，OE →=(−12，12，0)，OD →=(0，0，1)，有{OE →⋅m →=−12a +12b =0OD →⋅m →=c =0，则可取m →=(1，1，0)，同理可求得平面OEF 的一个法向量为n →=(1，1，1)，∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n→|m →||n →|=√63，∴二面角D ﹣OE ﹣F 的余弦值为√63．19．“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元．（1）求一位献爱心参与者不能获奖的概率；（2）若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望． 【分析】（1）设“献爱心参与者中奖”为事件A ，求出献爱心参与者中奖的概率． （2）设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X ，则X ＝100，80，60，﹣100，由此能求出X 学校所得善款的数学期望，由此能求出募捐所得善款的数学期望． 解：（1）“一位献爱心参与者不能获奖”记为事件A ， 则P （A ）=C 63C 93=521；（2）设一位献爱心参与者参加活动，企业所得善款为X 元， 则X ＝100，80，60，﹣100， 则P （X ＝100）=C 63C 93=521，P （X ＝80）=C 31C 62C 93=1528，P （X ＝60）=C 32C 61C 93=314， P （X ＝﹣100）=C 33C 93=184，故若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为E （X ）＝100×521+80×1528+60×314+100×184=2353，故此次募捐所得善款的数学期望为2353×300＝23500（元）．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，上顶点为B ，∠OBF ＝30°，点A （−√2，√62）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，与x 轴相交于点M ，与y 轴的正半轴相交于点N ，T 为线段PQ 的中点，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值n ，请判断直线l 是否过定点，求实数n 的值，并说明理由．【分析】（1）由题意可知a ＝2c ，b =√3c ，所以椭圆C 的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，把点A 的坐标代入求出c 的值，进而求出a ，b 的值，即可得到椭圆C 的坐标方程； （2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx +m ，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得x 1x 2+y 1y 2，和点T ，点M ，点N 的坐标，代入7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →化简整理得7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →=−21[4k 2+(4−m 2)]4k 2+3，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值，则必有4﹣m 2＝3，可得m ＝1，故直线l 过定点（0，1），实数n 的值为﹣21．解：（1）设点F 的坐标为（c ，0），由|OF |＝c ，|OB |＝b ，|BF |＝a ，∠OBF ＝30°，有a ＝2c ，b =√3c ，可得椭圆C 的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，代入点A 的坐标有12c 2+12c 2=1，解得c ＝1， ∴椭圆C 的坐标方程为x 24+y 23=1；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ＞0），联立方程{x 24+y 23=1y =kx +m，消去y 后整理得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，∴x 1+x 2=−8km 4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，由△＝64k 2m 2﹣4（4k 2+3）（4m 2﹣12）＞0，得4k 2﹣m 2+3＞0， ∴y 1+y 2＝（kx 1+m ）+（kx 2+m ）＝k （x 1+x 2）+2m =−8k 2m 4k 2+3+2m =6m4k 2+3，y 1y 2＝（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=k 2(4m 2−12)4k 2+3−8k 2m 24k 2+3+m 2=3m 2−12k 24k 2+3，∴x 1x 2+y 1y 2=7m 2−12k 2−124k 2+3，点T 的坐标为（−4km 4k 2+3，3m 4k +3），点M 的坐标为（−mk ，0），点N 的坐标为（0，m ），∴OM →+ON →=(−mk ，m)，∴OT →⋅(OM →+ON →)=4m 24k 2+3+3m 24k 2+3=7m 24k 2+3， ∴7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →＝7OP →⋅OQ →−4OT →⋅(OM →+ON →) ＝7（x 1x 2+y 1y 2）−28m 24k 2+3=7(7m 2−12k 2−12)4k 2+3−28m 24k 2+3=7(3m 2−12k 2−12)4k 2+3=7[−12k 2+(3m 2−12)]4k 2+3=−21[4k 2+(4−m 2)]4k 2+3，若7OP →⋅OQ →−4OT →⋅OM →−4OT →⋅ON →为定值，必有4﹣m 2＝3，解得m ＝±1，由m ＞0可得m ＝1，故直线l 过定点（0，1），实数n 的值为﹣21． 21．已知函数f （x ）＝2xe x ﹣ax ﹣alnx （a ∈一、选择题）．（1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线l 过点（0，﹣2e ﹣1），求实数a 的值；（2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f ′（1）＝4e ﹣2a ，再求出f （1）＝2e ﹣a ，由直线方程点斜式写出切线方程，代入已知点的坐标求解a 值； （2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝2（x +1）e x ﹣a −ax=(x+1)(2xe x −a)x．当a≤0时，f （x ）单调递增，最多只有一个零点；当a ＞0时，令g （x ）＝2xe x ﹣a （x ≥0），利用导数可知存在x 0∈（0，a ），使得g （x 0）＝0，有x 0e x 0=a2，函数f （x ）的减区间为（0，x 0），增区间为（x 0，+∞）．由f （x 0）＜0，得a ＞2e ．然后证明当x ＞lna 时，f （x ）＞0．即可说明函数f （x ）有两个零点．由此可得实数a 的取值范围． 解：（1）由f ′（x ）＝2（x +1）e x ﹣a −ax ，得f ′（1）＝4e ﹣2a ， 又f （1）＝2e ﹣a ，∴切线l 的方程为y ﹣（2e ﹣a ）＝（4e ﹣2a ）（x ﹣1），代入点（0，﹣2e ﹣1）， 有﹣2e ﹣1﹣（2e ﹣a ）＝﹣（4e ﹣2a ），解得a ＝﹣1． 故实数a 的值为﹣1；（2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）．由f ′（x ）＝2（x +1）e x ﹣a −ax =（x +1）（2e x −ax ）=(x+1)(2xe x −a)x．①当a ≤0时，f ′（x ）＞0，此时f （x ）单调递增，最多只有一个零点； ②当a ＞0时，令g （x ）＝2xe x ﹣a （x ≥0）．由g ′（x ）＝2（x +1）e x ＞0，可知函数g （x ）单调递增，又g （0）＝﹣a ＜0， g （a ）＝2ae a ﹣a ＝a （2e a ﹣1）＞0，可得存在x 0∈（0，a ），使得g （x 0）＝0， 有x 0e x 0=a2，可知函数f （x ）的减区间为（0，x 0），增区间为（x 0，+∞）． 若函数f （x ）有两个零点，必有f （x 0）=2x 0e x 0−ax 0−alnx 0 ＝a ﹣a （x 0+lnx 0）=a −aln(x 0e x 0)=a −aln a2＜0，得a ＞2e ． 又由f （e ﹣a ）＞﹣ae ﹣a ﹣alne ﹣a =a 2−a e a =a(ae a −1)e a ＞0． 令h （x ）＝x ﹣lnx ，有h ′（x ）＝1−1x=x−1x，令h ′（x ）＞0， 可得x ＞1，故函数h （x ）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），有h （x ）≥h （1）＝1．当x ＞lna 时，e x ＞a ，f （x ）＝x （2e x ﹣a ）﹣alnx ＞ax ﹣alnx ＝a （x ﹣lnx ）≥a ＞0． 可得此时函数f （x ）有两个零点．由上可知，若函数f （x ）有两个零点，则实数a 的取值范围是（2e ，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ，y =sinβ，（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin（θ−π4）=3√22．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，且点P 到直线l 的距离最小，求点P 的坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为：{x =√3cosβ，y =sinβ，（β为参数），转换为直角坐标方程为x 23+y 2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin （θ−π4）=3√22．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x ﹣y +3＝0．（2）设点P （√3cosα，sinα）为曲线上一点，所以点P 到直线的距离d =√3cosα−sinα+3|√1+1=|2cos(α+π6)+3|2，当cos （α+π6）＝﹣1时，即α=5π6时， 点P 到直线l 的距离的最小值为√22，且P （−32，12）． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣|x |． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥mx 恒成立，求实数m 的值．【分析】（1）由题意可得|x ﹣2|﹣|x |≥1，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）可得f （﹣2）＝2，f （2）＝﹣2，结合不等式f （x ）≥mx 恒成立，可得m 的值，检验即可得到结论．解：（1）不等式|x ﹣2|﹣|x |≥1等价为{x ≥2x −2−x ≥1或{0＜x ＜22−x −x ≥1或{x ≤02−x +x ≥1， 解得x ∈∅或0＜x ≤12或x ≤0，则原不等式的解集为{x |x ≤12}；（2）x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥mx 恒成立，由f （﹣2）＝2，f （2）＝﹣2，可得{f(2)≥2m f(−2)≥−2m ，即{−2≥2m 2≥−2m， 解得﹣1≤m ≤﹣1，故m ＝﹣1，当m ＝﹣1时，且﹣2≤x ≤2时，f （x ）+x ＝|x ﹣2|+x ﹣|x |＝2﹣x +x ﹣|x |＝2﹣|x |≥0， 故实数m 的值为﹣1．。
2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学四模试卷(理科)(含答案解析)
2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数为虚数单位，，z在复平面上对应的点在第四象限，则a的取值范围是A. B. C. D.3.近年来，某市立足本地丰厚的文化旅游资源，以建设文化旅游强市，创建国家全域旅游示范市为引领，坚持以农为本，以乡为魂，以旅促农，多元化推动产业化发展，文化和旅游扶贪工作卓有成效，精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况，绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是A. 乡村游人数逐年上升B. 相比于前一年，2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率C. 近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数D. 从2016年开始，乡村游人数明显增多4.在等比数列中，，，则数列前7项的和A. 253B. 254C. 255D. 2565.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出x的值为A. 123B. 125C. 127D. 1296.已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，若，，，则；若，，，则；若，，，则；若，，，则．在上述四个命题中，真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D. 47.已知函数是偶函数，则函数的最大值为A. 1B. 2C.D. 38.已知为锐角，若，则A. B. C. D.9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆O：与双曲线的一个交点为P，若，则双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.10.把函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，函数图象的一条对称轴为直线，若函数在上单调递增，则的取值范围是A. 2或5B. 2或3C. 2D. 511.已知三棱锥记所在的平面为底面内接于球O，PA：PB：：2：3，当三棱锥侧面积最大时，球O的体积为则此时的面积为A. 12B. 13C. 14D. 1512.若不等式恒成立，则实数m的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足，则的最小值为______．14.已知平面向量，若，则向量与的夹角的大小为______．15.设为等差数列的前n项和，已知在中只有最小，则______填“”或“”或“”16.已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB与抛物线的准线分别相交于点P，Q，则的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知．求角A的大小；若的面积为，且，求b，c．18.如图，在三棱锥中，O为AB的中点，E为AC的中点，F为AD的中点，，，平面ABC．求证：平面平面BCD；求二面角的余弦值．19.“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某大型企业为帮扶贫困职工，设立“扶贫帮困基金”，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球六个，红球三个，每位献爱心的参与者投币100元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个摸完球后将球放回，若有一个红球，奖金20元，两个红球奖金40元，三个全为红球奖金200元．求一位献爱心参与者不能获奖的概率；若该次募捐有300位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望．20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右焦点为F，上顶点为B，，点在椭圆C上．求椭圆C的标准方程；动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，与x轴相交于点M，与y轴的正半轴相交于点N，T 为线段PQ的中点，若为定值n，请判断直线l是否过定点，求实数n的值，并说明理由．21.已知函数．若曲线在点处的切线l过点，求实数a的值；若函数有两个零点，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为：，为参数，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求曲线C和直线l的直角坐标方程；若点P在曲线C上，且点P到直线l的距离最小，求点P的坐标．23.已知函数．求不等式的解集；若时，恒成立，求实数m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：因为；由题意可得：且；即；故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：从柱状图可看出，乡村游人数逐年上升，故A正确；2015年乡村游增长人数为万人，2014年乡村游增长人数为万人，由，故B正确；近8年乡村游人数平均数为，即近8年乡村游人数的平均数大于2016年乡村游人数，故C错误；从2016年开始，乡村游人数增长速度明显加快，故D正确．故选：C．根据所给柱状图，逐一对照分析即可本题考查学生合情推理的能力，考查统计图的使用，属于中档题4.答案：B解析：解：根据题意，设等比数列的公比为q，又由，变形可得，即，变形可得；则数列前7项的和；故选：B．根据题意，设等比数列的公比为q，由，变形分析可得q的值，进而计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式，注意求出公比q的值，属于基础题．5.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出x的值为127．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：解：若，，则，而，则；故正确；若，，，则或；故错误；若，，，则；故正确；若，，，则，故错误；故选：B．利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得到答案．本题考查空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，着重考查线面垂直与线面平行的判定与性质及面面平行与垂直判定与性质，属于中档题．7.答案：C解析：解：根据题意，函数是偶函数，则有，变形可得：，分析可得；则，又由当时，cos x取得最大值为1，同时取得最小值2，则此时取得最大值；故选：C．根据题意，由偶函数的定义可得，变形可得a的值，即可得的解析式，据此分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，关键是求出a的值，属于基础题．8.答案：D解析：解：为锐角，且，，，，，．故选：D．由已知利用同角三角函数关系式可求的值，从而利用，可求，，即可得解的值，利用二倍角的正切函数公式即可求解的值．本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系的运用，考查了两角差的正弦函数公式的应用，属于基础题．9.答案：D解析：解：设，则，圆O：，即，是以O为圆心，c为半径的圆，，，即，，由双曲线的定义知，，，离心率．故选：D．设，则，由于圆O：可化简为，是以O为圆心，c为半径的圆，所以，由勾股定理得，即，解得；由双曲线的定义知，，解得，最后由离心率代入化简即可得解．本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：把函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，函数图象的一条对称轴为直线，，即，．若函数在上单调递增，则，．根据，综合所给的选项，可得的取值范围是，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题．11.答案：C解析：解：设，，，当三棱锥三个侧面的面积之和最大时，PA，PB，PC两两垂直，有，得．又由，有，得．此时，，．由，．的面积为．故选：C．设，，，可知当三棱锥三个侧面的面积之和最大时，PA，PB，PC两两垂直，由球的体积求出外接球的半径，再由长方体对角线长与棱长的关系求得x，则三条侧棱长可求，进一步求得的面积．本题考查多面体外接球的体积，考查多面体表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：B解析：解：当时，，可得，当时，，，不等式显然成立，当时，不等式，可化为，两边取对数有，令，可得，又由函数单调递增，有，得，令，有，由，有，可得函数的递增区间为，减区间为，有，故实数m的取值范围为．故选：B．当时，，可得，当时，不等式显然成立，当时，问题可转化为，两边取对数有，令，可得，由函数单调递增，有，得，令，只需要m大于等于的最大值即可．本题考查导数的综合应用，恒成立问题，属于中档题．13.答案：3解析：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，设，将直线l：进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值故答案为：3作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时，取得最小值为3．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.答案：解析：解：，，，，且，与的夹角为．故答案为：．根据可得出，进行数量积的运算即可求出，从而可得出的值，进而得出与的夹角．本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：由题意，，则，．，．．故答案为：．由题意可知，，由等差数列的前n项和公式结合等差数列的性质可得，，则答案可求．本题考查数列的函数特性，考查等差数列的前n项和，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题．16.答案：4解析：解：根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，焦点，设点A、B的坐标分别为，，直线l的方程为，联立，得，，，直线OA的方程为，令，则，，同理可得，，记抛物线的准线与x轴的交点为D，则有，由，可知的最小值为4．故答案为：4．设点A、B的坐标分别为，，直线l的方程为，将其与抛物线的方程联立，消去x，写出韦达定理可得，；写出直线OA的方程为，从而得点，同理可得点，记抛物线的准线与x轴的交点为D，则有，然后根据均值不等式有，，故而得解．本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及曲线与直线联立，还利用了均值不等式解决最值问题，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．17.答案：解：，由正弦定理可得，，因为，故，因为，故A，，，因为，，，则，由，解可得或．解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A，进而可求A；由已知结合三角形的面积公式可求bc，然后结合余弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18.答案：解：证明：，，，，，不在平面BCD内，BC在平面BCD内，平面BCD；不在平面BCD内，CD在平面BCD内，平面BCD；又，且都在平面OEF内，平面平面BCD；如图，连接CO，由，，有，在中，，可得，平面ABC，可得OB，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OB，OC，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面OED的一个法向量为，，有，则可取，同理可求得平面OEF的一个法向量为，，二面角的余弦值为．解析：先证明平面BCD及平面BCD，进而可证平面平面BCD；建立空间直角坐标系，求得平面ODE及平面OEF的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可．本题考查面面平行的判定定理以及利用空间向量求解二面角问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．19.答案：解：“一位献爱心参与者不能获奖”记为事件A，则；设一位献爱心参与者参加活动，企业所得善款为X元，则，80，60，，则，，，，故若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为，故此次募捐所得善款的数学期望为元．解析：设“献爱心参与者中奖”为事件A，求出献爱心参与者中奖的概率．设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X，则，80，60，，由此能求出X学校所得善款的数学期望，由此能求出募捐所得善款的数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算、互斥事件概率计算公式求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．20.答案：解：设点F的坐标为，由，，，，有，，可得椭圆C的标准方程为，代入点A的坐标有，解得，椭圆C的坐标方程为；由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，联立方程，消去y后整理得，，，由，得，，，，点T的坐标为，点M的坐标为，点N的坐标为，，，，若为定值，必有，解得，由可得，故直线l过定点，实数n的值为．解析：由题意可知，，所以椭圆C的标准方程为，把点A的坐标代入求出c的值，进而求出a，b的值，即可得到椭圆C的坐标方程；由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，和点T，点M，点N的坐标，代入化简整理得，若为定值，则必有，可得，故直线l过定点，实数n的值为．本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：由，得，又，切线l的方程为，代入点，有，解得．故实数a的值为；函数的定义域为．由．当时，，此时单调递增，最多只有一个零点；当时，令．由，可知函数单调递增，又，，可得存在，使得，有，可知函数的减区间为，增区间为．若函数有两个零点，必有，得．又由．令，有，令，可得，故函数的增区间为，减区间为，有．当时，，．可得此时函数有两个零点．由上可知，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是．解析：求出原函数的导函数，得到，再求出，由直线方程点斜式写出切线方程，代入已知点的坐标求解a值；函数的定义域为，当时，单调递增，最多只有一个零点；当时，令，利用导数可知存在，使得，有，函数的减区间为，增区间为由，得然后证明当时，即可说明函数有两个零点．由此可得实数a的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定，训练了利用导数求最值，考查转化思想方法，考查推理论证能力及运算求解能力，属难题．22.答案：解：曲线C的参数方程为：，为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的极坐标方程为根据转换为直角坐标方程为．设点为曲线上一点，所以点P到直线的距离，当时，即时，点P到直线l的距离的最小值为，且解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：不等式等价为或或，解得或或，则原不等式的解集为；时，恒成立，由，，可得，即，解得，故，当时，且时，，故实数m的值为．解析：由题意可得，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；可得，，结合不等式恒成立，可得m的值，检验即可得到结论．本题考查绝对值不等式的解法和函数恒成立问题解法，注意运用特值法和检验法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
黑龙江省哈三中 2020届高三第四次模拟(理科数学)含答案
a
2 n
an .
2
(1) 数 an 的 公式C
(2) 若 bn
2 an
1
,
anan 1
数
bn 的前 n 和 Tn .
18.（本小题满分 12 分）
如图,
P ! ABCD 的 面 ABCD 是 , 平 面 PAD 平 面 ABCD ,
PA PD 2 , 且 PA PD , 点 N 为 BC 中点.
(1) 证 ：平面 PAB 平面 PCD C (2) 直线 PB 和平面 PAD 所成的角为 45 ，
字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案
无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第 I 卷 （选择题, 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
4 3
,
将正方体割去部分后,
剩余几何体的三视图如图所示, 则剩余几何体的体积为
23
A.
27
43
B.
27
16 3
C.
27
2
D.
3
正视图
侧视图
俯视图 数学试卷（理工类） 第 3页 共 8 页
11. 若实数 a, b 满足 2 lg( 1 2) lg a lg b , 则 ab 的最小值为 ab
A. 2
xy5
A. 2
B. 4
C. 11
D. 14
5sin x x3 6. 函数 f (x) 5x 5!x 的图象大致为
y
y
－1 o
【附15套精选模拟试卷】黑龙江省哈师大附中2020年高三第四次模拟考试文科数学试卷含解析
A．
B．
C．
D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函
数”为:设 ，用 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数,例如:
,
，已知函
数
,则函数
的值域为( )
A． B． C．
D．
12．直线 y＝kx＋3 与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4 相交于 M，N 两点，若 MN 2 3 ，则 k 的取值范围是( )．
A．[ 3 , 0]? 4
B．(－∞， 3 ]∪[0，＋∞) 4
[ 3 , 3] C． 3 3
[ 2 , 0] D． 3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2x y 4 0,
x y m 0,
13．若实数 x, y 满足不等式组 y 0,
，且 z x 2 y 的最小为 0 ，则实数 m ______．
AF CE 3 ，且平面 ADF 底面 ABCD，平面 BCE 底面 ABCD ．
证明： EF 平面 ADF ；求二面角 A EF C 的余弦值． 19． （12 分）如图所示，在底面为梯形的四棱锥 S﹣ABCD 中，已知 AD∥BC，∠ASC＝60°，AD DC 2 ，
SA＝SC＝SD＝2．求证：AC⊥SD；求三棱锥 B﹣SAD 的体积．
6．若
x,
y
满足约束条件
x
y
1
，则目标函数
z
x
2y
的最小值为（
）
2x y 2
A．2 B．1 C．-2 D．-1
7．已知 A, B 是圆 O : x2 y2 16 的两个动点， AB 4,OC 5 OA 2 OB ，若 M 分别是线段 AB 的 33
黑龙江省哈三中2020届高三第四次模拟数学(文)试题含答案
俯 数学试卷（文史类） 第 3页 共 8 页
12. 定义：N{ f (x) g(x)} 表示 f (x) g(x) 的解集中整数的个数．若 f (x) | log2 (x 1) | ， g(x) a(x 3)2 2 ，且 N{ f (x) g(x)} 2 ，则实数 a 的取值范围是
《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰, 其
中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．哈三中图书馆中正好
有这十本书,但是书名中含有“算”字的书都已经借出，现在小张同学从剩余的书中任
借两本阅读, 那么他借到《数书九章》的概率为
.
16. 已知直线 l 为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且 l 与椭圆 C : x 2 y 2 1 a2 b2
S N
.
它表示:在受噪声干扰的信道中,
最大信息传递速率 C 取决于
信道带宽W , 信道内信号的平均功率 S , 信道内部的高斯噪声功率 N 的大小, 其中
S 叫做信噪比. 当信噪比比较大时, 公式中真数中的1可以忽略不计. 按照香农公式,
N S
若不改变带宽W , 而将信噪比 从 1000 提升至 4000, 则 C 大约增加了 N
a b 0相交于 P, Q 两点, 点 B 为椭圆上异于 P, Q 的任意一点，若直线 BP 和
BQ的斜率之积为 1 , 则椭圆 C 的离心率为
.
4
数学试卷（文史类） 第 4页 共 8 页
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分 12 分）
字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年黑龙江省哈师大附中高三高考数学四模试题
一、单选题
1．已知命题:p x ∀∈R ，e 1x x +，则（）
A ．:p x ⌝∀∈R ，e 1x x <+，且p ⌝为真命题
B ．:,e 1x p x x ⌝∀∈<+R ，且p ⌝为假命题
C ．000:,e 1x p x x ⌝∃∈<+R ，且p ⌝为真命题
D ．000:,e 1x p x x ⌝∃∈<+R ，且p ⌝为假命题 2．已知x ，y R ∈，i 为虚数单位，若(3)i 2(57)i x y x y y -++=-+-，则i x y -=( ) A ．35i +
B ．45i -+
C ．35i -
D ．45i --
3．已知O 为ABC ∆内一点，且有23
OA OC BC +=，则OBC ∆和ABC ∆的面积之比为（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23
4．已知数列{}n a 是等比数列，n S 表示其前n 项和.若32a =，423S S =，则5a 的值为（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．2或4
5．“|1|2x -<”是“3x <”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知12,F F 分别是双曲线()22221:0,0x y C a b a b
=->>的左、右焦点，以线段12,F F 为直径的圆与双曲线C 的右支交于,P Q 两点.若212PQF π∠=
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2
B
C 1
D 1
7．在2231()2
x y y y x y x ====，，四个函数中，当1201x x <<<时，使1212()()()22
x x f x f x f ++>恒成立的函数个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
8．2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI 芯片,在业界标准的
ResNet -50测试中,含光800推理性能达到78563lPS ,比目前业界最好的AI 芯片性能高4倍;能效比500 IPS /W ,是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中,集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域,增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图,则下面结论中正确的是( )
A ．2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加
B ．2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降
C ．2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高
D ．2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110%
9．函数1()sin cos 212
f x x x =+-()x R ∈的最小值是（ ） A ．14- B ．12- C ．52- D ．72
- 10．谢尔宾斯三角形是一种分形，其具体操作是取一个实心的三角形沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，去掉中间的那一个小三角形，然后对其余三个小三角形重复以上步骤，得到如下的系列图称之为谢尔宾斯：三角形．在第五个图形中，若随机的投入一个质点，则质点落入“空白”处的概率为（ ）
A ．34
B ．4164
C ．78
D ．175256
11．设全集U =R ，已知23{|
0}2x A x x +=>-，{||1|2}B x x =-<，则()U A B =（ ） A ．3
(,1)2-- B ．(12]-， C ．(23]， D ．[2)3，
12．已知圆22:4C x y +=，直线:60l x y -+=，在直线l 上任取一点P 向圆C 作切线，切点为
,A B ，连接AB ，则直线AB 一定过定点（ ）
A ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．(1,2)
C ．(2,3)-
D ．44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
二、双空题
13．已知函数21()(2)1ax bx c x f x f x x ⎧++≥=⎨--<-⎩
，其图象在点(1,(1))f 处的切线方程为__________，则它在点(3,(3))f --处的切线方程为__________．
三、填空题
14．已知X 的分布列为
设23Y X =+，则E (Y )的值为________
15．已知等差数列{}n a ，{}n b 前n 项和分别为n S 和n T ，若
2113n n S n T n -=+，则1591326812
a a a a
b b b b ++++++=__________． 16．已知函数f （x ）=1x x
-（x ∈（-1，1）），有下列结论： （1）∀x ∈（-1，1），等式f （-x ）+f （x ）=0恒成立；
（2）∀m ∈[0，+∞），方程|f （x ）|=m 有两个不等实数根；
（3）∀x 1，x 2∈（-1，1），若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；
（4）存在无数多个实数k ，使得函数g （x ）=f （x ）-kx 在（-1，1）上有三个零点
则其中正确结论的序号为______．
四、解答题
17．已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，点A 为抛物线上任意一点，AF 的最小值为1． （1）求p 的值；
（2）若点(),4B m 在抛物线C 上，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q （P ，Q 与点B 不重合）两点，直线BP ，BQ 与抛物线C 的准线相交于M ，N 两点，求以线段MN 为直径的圆所过的定点．
18．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，
且底面ABCD 为平行四边形，若60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =
（1）求证：PA BD ⊥；
（2）若45PCD ∠=︒，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．
19．己知向量33x x a sin cos ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，，33x x b cos ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，函数()f x a b =⋅． （1）求函数f （x ）的对称中心；
（2）如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为B ，试求B 的范围及此时函数()f B 的值域．
20．选修4－5：不等式选讲
（Ⅰ）求不等式22x x +≥
（Ⅱ）已知实数00m n >>，，求证：222()a b a b m n m n
+++. 21．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{x =2t y =1+t
（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中.曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ+π4).
（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由.
22．某班5 名学生的数学和物理成绩(单位:分)如下表:
(1)画出散点图;
(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回直线方程;
(3)一名学生的数学成绩是96分,试预测他的物理成绩. 附：1
2
1,,2n i i
i n i x y nxy b a y bx
x nx
i ==-==--∑∑ 23．
已知函数()()ln 2f x x ax =-+在（0，1）内是增函数．
（1）求实数a 的取值范围;
（2）若1b >，求证：()()()
1ln 2ln 2ln 11b b b b b -++-+>+．
参考答案
1．D
命题的否定在否定结论的同时量词作相应改变，求导易得p 为真命题，
易得000:,e 1x p x x ⌝∃∈<+R ,
令()1x f x e x =--,则()1x f x e =-',
所以当0x <时,()0f x '<,()f x 递减;当0x >时,()0f x '>,()f x 递增,
所以0x = 时,min ()(0)110f x f ==-=,即()e 10x f x x =--≥恒成立,所以命题p 为真命题,则p ⌝为假命题.
故选D ．
本题考查了命题及其真假的判断,属基础题.
2．C
由复数相等列x,y 的方程组求解即可
由题2357x y x y y -=-⎧⎨+=-⎩,解得35x y =⎧⎨=⎩
，∴x yi 35i -=- 故选C
本题考查相等复数，熟记复数的基本概念与性质是关键，是基础题.
3．C
取AC 中点，利用向量中线定理，得到中线与BC 平行，三角形的面积比转化为边长比. 设D 是AC 的中点，则2OA OC OD +=， 又因为23OA OC BC +=
， 所以223
OD BC =,3BC OD =，//OD BC ， 所以12
OBC DBC ABC ABC S S DC S S AC ∆∆∆∆=== 故选：C
本题主要考查向量基本定理，属于基础题.
4．D
利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3＝2，S 4＝3S 2，。