y=ax2+bx+c图像与性质1试用

你知道是怎样配 方的吗？
配 方
(1)―提”：提出二次项系数； （3）“化”：化成顶点式。
( 2 )“配”：括号内配成完全平方
1 (x―6) 2 +3 y= — 2
老师提示:
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
新知应用 1 2－6x +21图象 二次函数 y= —x 2 的 画法： (1)“化” ：化成顶点式 ； (2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶 点坐标； (3)“画”：列表、描点、连线。
1 2 你能说出二次函数y=—x －6x＋21 2 图像的特征吗？
1 2 如何画出 y x 6 x 21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函 1 2 数 y x 6 x 21也能化成这样的形式吗? 2
1 2 y x 6 x 21 2
例1：指出抛物线: y x 5 x 4 的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
2
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
方法归纳
1
配方法
2
公式法
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
1 2
①y=2x2-5x+3②y=－
请画出草图:
x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)
3
－9
－6
抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向： a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 ⑵ a，b决定抛物线对称轴的位置: b (对称轴是直线x = －— ) 2a ① a，b同号＜＝＞ 对称轴在y轴左侧； ② b=0 ＜＝＞ 对称轴是y轴； ③ a，b异号＜＝＞ 对称轴在y轴右侧
老师提示:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
数绝对值一半 a 2a 2a a 的平方 2 b 4ac b 2 整理:前三项化为平方形 a x 2 2a 4a 式,后两项合并同类项 2
b 4ac b 2 a x .化简:去掉中括 2a 4a 号
2+bx+c 二次函数y=ax
的图象和性质
y
x
一般地，抛物线y=a(x-h) +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
2
上加下减 y=ax 左加右减
2
y=a(x-h) +k
2
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是直线X=h ； 1.当a﹥0时，开口向上
（C ）
2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 （B） A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a 的值是 （ ） A • A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立 的是 （B） y 2-4ac>0 - b <0 A.b B. 2a
【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置：
① c＞0 ＜＝＞图象与y轴交点在y轴的正半轴上 ② c=0 ＜＝＞图象过原点； ③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在y轴的负半轴上
2 b 4ac b ⑷顶点坐标是（ ， 2a 4a
）。
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。 b
值 y=
当x=－ — 时,y有最大(最小) 2a
x
1 y ( x 6) 2 3 2
… …
3
7.5
4
5
5
3.5
6
3
7
3.5
8
5
9
7.5
… …
y
10
5
O
5
10
x
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
y ax bx c
2
2
配方
b a( x x) c a b b 2 b 2 2 a[ x x ( ) ( ) ] c a 2a 2a 2 b 4ac b 2 a x 2a 4a
o
A 7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ C）
y o x o y x o y x o y x
-3
x
o B -3
x
o C -3
x
o D -3
x
A
B
C
D
函数y=ax² +bx+c的图象和性质： b 4ac-b2 对称轴： 直线x=- b 顶点坐标： - ， （ 2a 4a ） 2a -b± b2-4ac 与y轴交点： ，c） 与x轴交点： （0 （ ，0） 2a 增减性 开口 最 值 x<- b x>- b 当x= - b 时， 向 2a 2a 2a a>0 上 4ac-b2 y有最小值： 4a x<- b x>- b 当x= - b 时， 2a 2a 2a 向 a>0 4ac-b2 下 y有最大值： 4a
b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. y ax2 bx c 例.求次函数 c y=ax² +bx+c的对 2 b 提取二次项系数 a x x 称轴和顶点坐标． a a 配方:加上再 2 2 2 b b b c 减去一次项系 1.配方: a x x
3.顶点坐标是 (h,k) 。
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
开口方 向
对称轴
顶点坐标 （－3，5）
向上 直线x=–3
向下 直线x=1 （1，－2）
向上 直线x=3 （3，7 ） 向下 直线x=2 （2，－6）
______________________
2 4ac－b
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示，x= 1 为该图象的对称轴，根
3
据图象信息你能得到关于系数a，b，c的 一些什么结论？ y
1 3 .
. -1
1
x
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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1 o x D. 4ac-b2 >0-1 4a 5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向 下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（ B ） A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18
C.a&#数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四 象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 y y y (C ) y
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
b y ax bx c的对称轴是:x 2a 2 b 4ac b 顶点坐标是:( , ) 2a 4a
2
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
y 3x 4 x 1 y 2 x x 3
2 2