初中函数图像及性质.pdf
第2讲 一次函数的图像及性质(讲义)解析版
2
（1）当 x 取何值时， y = 2 ? （2）当 x 取何值时， y > 2 ? （3）当 x 取何值时， y < 2 ? （4）当 x 取何值时， 0 < y < 2 ?
2 （4）令 0 < 1 x - 3 < 2 ，解得： 6 < x < 10 ．
2 【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解． 例 10.已知函数 f (x) = -3x + 1 ．
（1）当 x 取何值时， f (x) = -2 ? （2）当 x 取何值时， 4 > f (x) > -2 ? （3）在平面直角坐标系中，在直线 f (x) = -3x + 1 上且位于 x 轴下方所有点，它们的横 坐标的取值范围是什么?
A． x < 0
B． x > 0
C． x < 2
D． x > 2 ．
【答案】A
【分析】根据题意在函数图像中寻找 y > 3 时函数图像所在的位置，发现此时函数图像对
应的 x 范围是小于零，从而得出答案
【详解】解：∵由函数图象可知，当 x＜0 时函数图象在 3 的上方，
∴当 y＞3 时，x＜0．
故选：A．
【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系． 例 8.已知 y = kx + b(k ¹ 0) 的函数图像如图所示：
（1）求在这个函数图像上且位于 x 轴上方所有点的横坐标的取值范围； （2）求不等式 kx + b £ 0 的解集．
初三二次函数的图像与性质
初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。
在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。
本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。
它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。
当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。
其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。
【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。
解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由于$a>0$，所以抛物线开口向上。
考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。
首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。
因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。
接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。
将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。
因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。
它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
(完整版)基本初等函数图像及性质大全(初中高中)
一、一次函数与二次函数 （一）一次函数一次k kxb k 0函数k ， bk 0k符号b 0b 0b 0b 0b 0b 0y y y y y y图象OxOxOx性质y 随 x 的增大而增大（二）二次函数（1）二次函数分析式的三种形式 O xOxOxy 随 x 的增大而减小①一般式： f ( x) ax 2 bx c(a0) ②极点式： f (x)a( x h) 2 k (a 0)③两根式： f ( x) a( x x 1)( x x 2 )(a 0)（ 2）求二次函数分析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的极点坐标或与对称轴相关或与最大（小）值相关时，常使用极点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，采用两根式求 f (x) 更方便．（3）二次函数图象的性质f xax 2 bx c a0 a 0 a 0图像xbxb2 a2 a定义域,对称轴xb2a极点坐标b 4 ac b 22 a,4 a值域4 ac b 2,,4 acb 24 a4 a, b 递减, b递加2a 单一区间2 ab递加 b, 递减,2 a2 a①. 二次函数f ( x) ax2 bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x b , 极点坐标2a是 ( b , 4ac b2 )2a 4a②当 a 0 时，抛物线张口向上，函数在( , b] 上递减，在 [ b , ) 上递加，当 x b 2a 2a 2a4ac b20 时，抛物线张口向下，函数在( b] 上递加，在 [b)时， f min ( x) ；当 a , , 4a 2a 2a上递减，当x4ac b2b时， f max (x)4a．2a二、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x 叫做幂函数，此中x 为自变量，是常数．（2）幂函数的图象过定点：全部的幂函数在(0,) 都有定义，而且图象都经过点(1,1)．三、指数函数（1）根式的观点：假如 x na, a R, x R, n 1，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．（2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的 正分数指数幂 的意义是： a n 0, m, n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．m m1)m (a 0, m, n②正数的 负分数指数幂 的意义是： an(1)nn (N , 且 n 1) ．0 的负aa分数指数幂没存心义． （3）运算性质①a ra sa r s(a 0, , )r sa rs(a 0, r , s R)r s R ② ( a )③ (ab )rrb r( a 0, b 0, r )a R（4）指数函数函数名称指数函数定义函数 y a x( a且 a 1) 叫做指数函数a 10 a 1yy a xya xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ，即当 x 0 时， y 1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数 在 R 上是减函数a x1 ( x 0) a x 1 ( x 0) 函数值的 a x 1 ( x 0)a x1 ( x 0) 变化状况a xa x1 (x 0)1 ( x 0)a 变化对图象的影响 在第一象限内， a 越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低．四、对数函数（1）对数的定义： ① 若a xN (a0, 且a1)，则 x 叫做以 a为底 N的对数，记作 x log a N ，此中 a 叫做底数， N 叫做真数．② 负数和零没有对数．③ 对数式与指数式的互化：x log a Na xN (a 0, a 1, N0) ．（2）几个重要的对数恒等式：log a 1 0 ， log a a 1， log a a bb ．（3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log 10 N ；自然对数： ln N ，即 log e N （此中 ）． （4）对数的运算性质假如 a 0, a 1, M 0, N 0 ，那么①加法： log a M log a Nlog a (MN )②减法： log a M log a Nlog a MN③数乘： n log a M log a M n(n R)④alog aNN⑤ log bMnnlog a M ( b 0, n)⑥换底公式： loga logb N0, 且 b 1)abRN(blog b a（5）对数函数函数名称对数函数定义函数 y log a x( a 0 且 a 1) 叫做对数函数a 10 a 1yx 1yx 1y log a xy log a x图象(1,0)O (1,0)xOx定义域 (0, ) 值域R过定点 图象过定点 (1,0) ，即当 x1 时， y0 ．奇偶性非奇非偶单一性在 定义域 上是增函数 在 定义域 上是减函数log a x 0 ( x 1)log a x 0 ( x 1) 函数值的 log a x 0 ( x 1)log a x 0 ( x 1) 变化状况log a x 0 (0x 1)log a x0 (0 x 1)五、反函数 （1）反函数的观点设函数 yf (x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 yf ( x) 中解出 x ，得式子 x ( y) ．假如对于 y 在 C 中的任何一个值，经过式子x( y) ， x 在 A 中都有独一确立的值和它对应，那么式子 x( y) 表示 x 是 y 的函数， 函数 x( y) 叫做函数 y f (x) 的反函数， 记作 x f1( y) ，习惯上改写成 yf 1 ( x) ．（ 2）反函数的求法①确立反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 y f ( x) 中反解出 xf 1 ( y) ；③将 x f1( y) 改写成 y f 1 (x) ，并注明反函数的定义域．（3）反函数的性质①原函数 yf ( x) 与反函数 y f1( x)的图象对于直线y x对称．②函数 yf (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1(x) 的值域、定义域．③若 P(a,b) 在原函数 y f ( x) 的图象上，则 P ' (b, a) 在反函数 y f1( x) 的图象上．④一般地，函数 yf ( x) 要有反函数则它一定为单一函数．六、三角函数的图像和性质 （一）正弦与余函数的图像与性质函数y cosxy sin x图像定域义 RR值域1,11,1最值x2k 时 ,y 最大 ， k Zx2k 时, y 最大，k Z112x2k 时, y 最小， Zx2k 时, y 最小 ，Z1 k1k2单一性在每个 [2 k, 2k ] 上递加 22在每个 [2k,32 k ] 上递减在每个 [ 2k ,2 k ]上递加在每个 [2 k ,2k ] 上递减奇偶性 奇函数偶函数周期性 是周期函数， 2 为最小正周期 是周期函数， 2 为最小正周期 对称性对称中心 (k ,0)，对称中心 (k ,0) ，2对称轴 : xk ,( k Z )对称轴 : x k ,( kZ )22. 正切与余切函数的图像与性质函数 图像y tan x y cot x定域义{ x | x R 且 xk ,k Z} { x | x R 且xk ,k Z}2值域 RR单一性在每个 (k ,k )上递加 在每个 ( k ,k )上递减2 2k Zk Z奇偶性 奇函数奇函数周期性 是周期函数， 为最小正周期是周期函数， 为最小正周期对称性对称中心 (k,0)对称中心 (k,0)2 2七、反三角函数的图像与性质1.反正弦与反余函数的图像与性质反正弦函数yarcsin x 反余弦函数 y arccosx函数是y cos x， x 0, 的反函数ysin x ， x ,2是 2 的反函数图像定域义1,1 1,1值域,2 0,2单一性在[ 1, 1]上递加在[ 1, 1]上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0) 对称中心 (0, )2 2.反正切与反余切函数的图像与性质函数arctan x 反余切函数 y arccot x反正切函数 y是y tan x， x ( , ) 的反函数是y cot x， x 0,的反函数2 2图像定域义( , , ) ( , , )值域2 2 0,,单一性在 ( , , )上递加在( , , )上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心（ 0， 0）对称中心（0，π /2）。
常用函数性质及图像
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时， 直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1)解析式：y=kx（k 是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时， 图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b (k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k ≠0)（2）必过点：（0，b）和（-kb，0）（3）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><0b k 直线经过第一、二、四象限⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（-kb，0）走向k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0，y 随x 的增大而减小。
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
人教版九年级数学上册第节二次函数的图像和性质
你能说出二次函数y=—x －6x＋21 (共46张PPT)人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT)
拱峦芦人蝉差终尺奇袱壕径砂蛹蜗桌峙瓢钝蚌硼绚驱碑印卫续决隙薪箍苏人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质
yax2 bxc的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:(
b
4acb2
,
)
2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标：
y3x24x1 y2x2x3
函数y=ax²+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么？
yax2 bxc的对称轴是:x b 2a
顶点坐标是:(
b
4acb2
,
)
2a 4a
2.抛 物 线 y=2x2+bx+c的 顶 点 坐 标
(共46张PPT)人教版九年级数学上册第22章第1节二次函数的图像和性质(共46张PPT) ⑴a决定抛物线的开口方向：
当x=
时,y有最大(最小)值
当Байду номын сангаас﹤0时，开口
，
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：
b=-8 c= 6 D. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
向上 直线x=3 （3，7 ）
(3)“画”：列表、描点、连线。
a+b+c=0 D.
y1(x6) 3 求二次函数y=ax²+2bx+c的对称轴和顶点坐标． 2 (3)都有最(大或小)值.
第三象限 D.
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
常用函数图像
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
初中数学 八年级下册 19-2-2-2一次函数的图像与性质(课件)
y=-
1
连线.
0.5x+1 - O
我们用同样的方法也可以画出 1 -
函数y=-0.5x+1的图象：
1
点(0，1)
y=2x-1 12 x
点(1，0.5)
x
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
两点确定了一条直线， 那函数上的其它点是不 是都在这条直线上呢？
y=-
y
0.5x+1 1
点(0，1)
对函数图象有什么影响？
知识点 2 一次函数的性质
分别画出下面四个函数的图象.
y=x+1
y=-x+1
y=2x+1
y=-2x+l
观 察 观察图象，填写表格.
y=kx+b
b>0 k＞0 b=0
b<0 b>0 k＜0 b=0 b<0
图象经过的象限
一、二、三
一、三 一、三、四 一、二、四
二、四 二、三、四
y=2x-1
-O 1 2 x
11 点(1，0.5)
x
0
1
y=2x-1
-1
1
y=-0.5x+1
1
0.5
①y=2x-1
y=-
y 点(0.5，
0)
令x=-0.5，此时y= -2 点的坐标为 (-0.5，-2)
0，；.5x+1
1
y=2x-1
令x=0.5，此时y= 0 ， 点的坐标为 (0.5，0) .
-O 1 2 x
y和x的变化
y随x的增大 而增大
y随x的增大 而减小
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函数的定义
一、自变量与应变量
在数学中，通常我们用y x 来表示的式子描述函数解析式。
那么y 随着x 变化而变化，则我们把x 叫做自变量，y 叫做应变量，即y 是x 函数。
一次函数的图像及性质
一、一次例函数定义
形如()0≠+=k b kx y 这样的函数叫一次函数。
二、正比例函数
当一次函数()()叫正比例函数。
时，中000≠==≠+=k kx y b k b kx y 三、正比函数性质
1、正比例函数图像为恒过坐标原点()0,0和点()b ,0的直线。
且与y 轴的截距是b ，与y 轴的交点坐标为()b ,0。
2、当0>k 时，正比例kx y =的函数图像过一、三象限，
的增大而增大。
随x y 3、当0<k 时，正比例kx y =的函数图像过二、四象限，
的增大而减小。
随x y 四、一次函数图像及性质
1、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=>>00 过一、二、三象限。
2、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=<>00 过一、三、四象限。
3、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=><00 过一、二、四象限。
4、的图像时，一次函数，当b kx y b k +=<<00 过二、三、四象限。
五、一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积公式
设一次函数()0≠+=k b kx y 与坐标轴所围成的三角形为为多少？则AOB AOB ∆∆S
k
b b k b y x A B 22121S 2
AOB =
⋅−=⋅=
∆
六、用函数的观点看不等式
设两个一次函数111b x k y +=和222b x k y +=的交点 为点()00,y x ，如图可知 （1）当o x x >时，21y y >； （2）当o x x =时，21y y =； （3）当o x x <时，21y y <。
反比例函数图像及性质
一、反比例函数定义
形如()0≠=k x k
y 这样的函数叫反比例函数。
k 叫比例系数()为常数k 。
二、反比例函数的图像 反比例函数图像为双曲线。
三、反比例函数的性质
2、当0>k 时，反比例函数x k
y =
的图像分布在一、三象限。
3、当0<k 时，反比例函数x
k
y =的图像分布在二、四象限。
四、反比例函数图像上的点。
点()00,y x p 在反比例函数()0≠=k x
k
y 的图像上k y x =⋅⇔00
五、反比例函数图像上图形面积与比例系数k 的关系
1
2
2b x k +
21k S x k y OAB ==∆中如上图所示、在k
S x k y OABC ==四边形中如上图所示、在2k
S x k
y ABC ==∆中如上图所示、在3
OCD OAB S S x k y ∆∆==中如上图所示、在4
二次函数图像及性质
一、二次函数定义
形如()02≠++=a c bx ax y 这样的函数 叫做二次函数。
二、二次函数的图像
二次函数的图像是抛物线。
如右图所示 三、二次函数的性质
1、二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像恒过点()c ,0，且与y 轴的截距为c ；
2、当0>a 时，二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像抛物线开口向上，且有最小值；
3、当0<a 时，二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像抛物线开口向上，且有最
大值；
4、二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线a
b
x 2−=最值为a b ac y 442−=
四、二次函数的形式
1、三点式：已知二次函数图像上三点，求函数解析式如下
已知点()11,y x A 、()22,y x B 、()33,y x C 在一个二次函数图像上，则求该二次函数解析式。
解：设这个二次函数解析式为c bx ax y ++=2，
把题中三点分别代入解析式得
⎪⎪⎨⎧=++=++2222
2112
1y c bx
ax y c bx ax ⎪⎪⎨⎧==
=
c b a 解得(A )
2)
33,y x
然后把c b a 、、的值分别带入假设的解析式中，此题得解。
2、两点式：已知二次函数图像与x 轴的两个交点， 求函数解析式如下
已知二次函数图像与x 轴的交点分别为点()0,1x A 与点()0,2x B ，求函数解析式如下
解：设这个二次函数解析式为()()21x x x x a y −−=，然后利用多项式乘法展开后合并同类项，降幂排列的()21212x ax x x x a ax y ++−=，通常考出两点式的题型，
a 的值会很容易求出。
3、顶点式：已知二次函数的对称轴与最值求二次函数解析式如下 已知二次函数的对称轴为直线h x =， 最值(最大值或者最小值)为k 。
则它 的解析式为()k h x a y +−=2
，这种题
型中a 的也很容易求出。
4、顶点式的变形考法，也就是通常常考内容，利润问题和最值问题。
解决这类问题时，一般分为3个步骤: （1） 列出二次函数解析式
（2） 把这个二次函数解析式配方成顶点式的形式 （3） 根据顶点式直接可以写出当h x =时，
○1当0>a 时，k y =m in ；○2当0<a 时，k y =m ax ；
求两个函数图像的交点
求两个函数图像交点的题型，通常都是把这两个函数解析式联立成方程组，然后解次方程组，求得的方程组的对应x 的值与相应y 的值，正好就构成两个函数图像的其中一个交点的坐标。
归纳为：方程组的解就是图像的交点，图像的交点就是方程组的解。
)。