史上最权威的数学模拟题-2014高联考研模拟测试卷(数学一)

数学（三）试题
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20.（本题满分 11 分） 设四元齐次线性方程组 ( ) 为
2 x1 3 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 x4 0
而另一个四元其次线性方程组 ( ) 的一个基础解系为
1 (2, 1, a 2,1)T , 2 (1, 2, 4, a 8)T
（B） 3 , 4 线性无关 （D） 2 可由 3 , 4 线性表示
7.设 A, B 是两个随机事件，且 0 P ( A) 1, P ( B ) 0, P ( B | A) P ( B | A) ,则必有 (A) (C)
P ( B | A) P ( A | B ) P ( AB ) P ( A) P ( B )
(C)2 (D)3
(B)1
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上。
数学（三）试题
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9. lim(e 2sin ) ______
n n
1 n
1 n
10.设 x z yf ( x z ) ，其中 f 可微，则 z
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（D）若正项级数
a
n 1

n
收敛，且极限 lim nan 存在，则 lim nan 0
n n
a b b 5.设二阶矩阵 A b a b ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有 b b a
（A） a b 或 a 2b 0 （C） a b 且 a 2b 0 （B） a b 或 a 2b 0 （D） a b 且 a 2b 0
（B） (0, 1)
（C）(1, 2)
（D） (2, 3)
1 1 3 x 2 ln(1 x ) sin x , x 0 2．设 f ( x) 0, x 0 ，则 f ( x) 在 x 0 处（ ） 1 x sin t 2 dt , x 0 x 0
（A）极限不存在 （C）连续但不可导 （B）极限存在但不连续 （D）可导
an 1 1 ，则 an 发散 n a n 1 n
（B）可导，且 f '(0) 0 （D）取极小值
（B）若 an 0( n 1, 2,3,) 且
(a2n1 a2n ) 收敛，则 an 收敛
n 1 n 1
（C）若 an 0 且
an 1 1(n 1, 2,3,) ，则 an 收敛 an n 1
T T
1 (1, 2, 1,3) ,2 (3, 2,5,3) 是齐次 6.设矩阵 A (1 , 2 , 3 , 4 ) 是 5 4 矩阵，
方程组 Ax 0 的基础解系，下列命题中错误的命题是 (A) (C)
1 , 2 , 3 线性相关 4 可由 1 , 3 线性表示
3.设函数 f ( x) 与 g ( x) 在 x 0 的某邻域内连续， 且 lim
x 0
g ( x) f ( x) 2 ，lim 2 1， x 0 x g ( x)
则 f ( x) 在点 x 0 处 （A）不可导 （C）取极大值 4.设关于数项级数的四个命题错误的是 （A）若 lim
(B) P ( A | B ) P ( A | B ) (D) P ( AB ) P ( A) P ( B )
8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N (0,1) , Y 的概率分布为
P{Y 0} P{Y 1}
的间断点个数为 （A）0
1 .记 FZ ( z ) 为随机变量 Z XY 的分布函数，则函数 FZ ( z ) 2
2 2 2 2
值
18.（本题满分 11 分）
证明
arctan x 2 1 ( x 0) ln(1 x) 2
19.（本题满分 10 分）
计算曲பைடு நூலகம்积分 I
2 x dydz 2 y dzdx 3( z
3 3 2 2
2
1)dxdy
其中 是曲面 z 1 x y ( z 0) 的上侧。
2 2
z z y ______ x y
4
11 ． 设 连 续 函 数 f ( x)
满 足 方 程 f ( x) x x 4

x
0
(t x) f (t )dt ， 则
f ( x) _____ 1 x2 展开成 x 的幂级数及其收敛区间为 ____ 12.函数 f ( x) arctan 1 x2
2 2
1 2 S ,则 ET ____ . n
三、解答题：15-23 题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本题满分 9 分） 求极限 lim(sin
x
2 1 cos ) x x x
16.（本题满分 9 分） 设函数 f ( x) 在 [0, ] 上连续，且
（1） 求方程组 ( ) 的一个基础解系； （2） 当 a 为何值时，方程组 ( ) 与 ( ) 有非零公共解；若有非零公共解，求出全 部非零公共解。
21.（本题满分 11 分） 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) (1 a ) x1 (1 a ) x2 2 x3 2(1 a ) x1 x2 的秩为 2
13. 已 知 A 是 4 阶 实 对 称 矩 阵 ， 满 足 A 3 A 4 E 。 若 r ( A 2 E ) 1 ， 则
4 2
A ____
14. 14.已知 X 1 , X 2 , X n 是来自正态总体 N (0, ) 的简单随机样本，样本均值和
2
样本方差分别记为 X 和 S ，记 T ( n 1) X
来自总体 X 的简单随机样本，试求：
ˆ； () 未知参数 的矩估计量 1
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ˆ； () 未知参数 的最大似然估计量 2 ˆ ， ˆ 是否为无偏估计？ () 验证 1 2
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0
f ( x)dx 0 ， f ( x) cos xdx 0 ，证明在
0

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(0, ) 内至少有两个不同的点 , ，使得 f ( ) f ( ) 0 。
17.（本题满分 11 分） 求函数 f ( x, y ) ( x 1) ( y 2) 1 在区域 D : x y 20 上的最大值和最小
2 2 2
() 求 a 的值； () 求正交矩阵 x Qy 把 f ( x1 , x2 , x3 ) 化为标准形； () 求方程 f ( x1 , x2 , x3 ) 0 的解。
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22.（本题满分 11 分） 设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的概率分布的部分数据如下：
Y X 1 1 Pj .
1
0
1
0.1
Pi.
0.02 0.1
已知 EX 0 ,且 X 与 Y 不相关
() 试将分布中的其余数据填入空白处，并说明理由 () 试问 X 与 Y 是否独立 () 求 cov( X , Y 2 )
23.（本题满分 11 分）
x 1 e ,x 0 设随机变量 X 的分布密度为 f ( x, ) ( 0) ，而 X 1 , X 2 , , X n 为 0, x 0
一、选择题：1--8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。 1. 函数 f ( x)
| x | sin( x 3) x( x 1)( x 3) 2
在下列哪个区间内有界.
（A）(－1, 0)