高一年级段数学培优教材---平面向量(word文档有答案)

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平面向量教材课后习题答案

平面向量教材课后习题答案平面向量教材课后习题答案随着数学教育的发展，教材的重要性不言而喻。

作为学生来说，教材中的习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

而对于平面向量这一概念来说，习题的解答更是锻炼思维和应用知识的重要手段。

本文将为大家提供一些平面向量教材课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、基本概念题1. 设向量A = (3, 4) ，B = (-2, 5)，求A + B的坐标表示。

答案：A + B = (3 + (-2), 4 + 5) = (1, 9)。

2. 已知向量A = (2, -1)，求A的模长。

答案：|A| = √(2^2 + (-1)^2) = √5。

二、向量运算题1. 设向量A = (3, 4)，B = (-2, 5)，求A - B的坐标表示。

答案：A - B = (3 - (-2), 4 - 5) = (5, -1)。

2. 已知向量A = (2, -1)，求向量A的负向量。

答案：-A = (-2, 1)。

三、向量共线与垂直题1. 设向量A = (1, 2)，B = (2, 4)，判断向量A与向量B是否共线。

答案：向量A与向量B共线，因为它们的坐标成比例关系。

2. 设向量A = (1, 2)，B = (-2, 1)，判断向量A与向量B是否垂直。

答案：向量A与向量B不垂直，因为它们的内积不为0。

A·B = 1*(-2) + 2*1 = 0。

四、向量投影题1. 已知向量A = (3, 4)，B = (1, 2)，求向量A在向量B上的投影长度。

答案：向量A在向量B上的投影长度为|A|cosθ，其中θ为A与B的夹角。

由向量内积的性质可知，cosθ = (A·B) / (|A||B|)。

所以，投影长度为|A|cosθ =|A|(A·B) / (|A||B|) = (3*1 + 4*2) / √(3^2 + 4^2) = 11 / 5。

2. 已知向量A = (2, 3)，B = (1, -1)，求向量A在向量B上的投影向量。

高中数学：复习课(三) 平面向量 Word版含答案

复习课(三)平面向量平面向量的概念及线性运算1．题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题．2．向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用．[典例] (北京高考)在△ABC中，点M，N满足u u u u rAM＝2u u u u rMC，u u u rBN＝u u u rNC.若u u u u rMN＝x u u u rAB＋yu u u rAC，则x＝________；y＝________.[解析]∵u u u u rAM＝2u u u u rMC，∴u u u u rAM＝23u u u rAC.∵u u u rBN＝u u u rNC，∴u u u u rAN＝12(u u u rAB＋u u u rAC)，∴u u u u rMN＝u u u u rAN－u u u u rAM＝12(u u u rAB＋u u u rAC)－23u u u rAC＝12u u u rAB－16u u u rAC.又u u u u rMN＝xu u u rAB＋yu u u rAC，∴x＝12，y＝－16.[★答案★]12－16[类题通法]向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．[题组训练]1．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝()A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D u u u rAB＝(－8,8)，u u u rAC＝(3，y＋6)．∵u u u rAB∥u u u rAC，∴－8(y＋6)－24＝0.∴y ＝－9.2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外， |u u u r BC |2＝16，|u u u r AB ＋u u u r AC |＝|u u u rAB －u u u r AC |，则|u u u u rAM |＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C 由|u u u r BC |2＝16，得|u u u rBC |＝4.∵|u u u r AB ＋u u u r AC |＝|u u u r AB －u u u rAC |＝|u u u r BC |＝4， |u u u r AB ＋u u u r AC |＝2|u u u u r AM |， ∴|u u u u rAM |＝2.3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且uuu r OP ＝3uuu r OA －uuu rOB2，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：选B 由于2uuu r OP ＝3uuu r OA －uuu rOB ，∴2uuu r OP －2uuu r OA ＝uuu r OA －uuu r OB ，即2u u u r AP ＝u u u r BA ， ∴u u u r AP ＝12u u u rBA ，则点P 在线段AB 的反向延长线上．平面向量的数量积1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题．2．解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，二是利用坐标运算，即a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法．[典例] (1)(福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D.32(2)(四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|u u u r AB |＝6，|u u u r AD |＝4.若点M ，N 满足u u u u rBM ＝3u u u u r MC ，u u u u r DN ＝2u u u r NC ，则u u u u r AM ·u u u u rNM ＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得 k ＝－32.(2)如图所示，由题设知：u u u u r AM ＝u u u r AB ＋u u u u r BM ＝u u ur AB ＋34u u u r AD ， u u u u r NM ＝u u u r NC －u u u ur MC ＝13u u u r AB －14u u u r AD ，∴u u u u r AM ·u u u u r NM ＝⎝⎛⎭⎫u u u r AB ＋34 u u u r AD ·⎝⎛⎭⎫13 u u u r AB －14 u u u r AD ＝13|u u u r AB |2－316|u u u r AD |2＋14u u u r AB ·u u u r AD －14u u u r AB ·u u u r AD ＝13×36－316×16＝9. [★答案★] (1)A (2)C [类题通法](1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行计算．[题组训练]1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：选C ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )， ∴c 2＝(a ＋b )2，即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴19＝4＋9＋12cos 〈a ，b 〉， ∴cos 〈a ，b 〉＝12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°.2．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且u u u r AD ·u u u r AB ＝u u u r AD ·u u u rAC ，则u u u r AD ·u u u rAB 的值为( )A ．0B ．－4C ．8D ．4解析：选D 由u u u r AD ·u u u r AB ＝u u u r AD ·u u u r AC ，得u u u r AD ·(u u u r AB －u u u r AC )＝0，即u u u r AD ·uuur CB ＝0，所以u u u r AD ⊥uuur CB ，即AD ⊥CB .又AB ＝4，∠ABC ＝30°，所以AD ＝AB sin 30°＝2，∠BAD＝60°，所以u u u r AD ·u u u r AB ＝AD ·AB ·cos ∠BAD ＝2×4×12＝4.3．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________．解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1. ★答案★：14．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若u u u r AC ·u u u rBE ＝1，则AB 的长为________．解析：设|u u u r AB |＝x ，x ＞0，则u u u r AB ·u u u r AD ＝12x .又u u u r AC ·u u u r BE ＝(u u u r AD ＋u u u r AB )·⎝⎛⎭⎫u u u r AD －12 u u u r AB ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. ★答案★：12平面向量与三角函数的综合问题1．题目以解答题为主．主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算，所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质．2．解决此类问题，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题．[典例] (广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.[类题通法]在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．[题组训练]1．设a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，且a ∥b ，则锐角x 为( ) A.π3 B.π4 C.π6D.π12解析：选B 因为a ∥b ，所以sin x cos x －12＝0，所以sin 2x ＝1，又x 为锐角，所以0<2x <π，所以2x ＝π2，x ＝π4，故选B.2．设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数ƒ(x )＝a ·(a ＋b )． (1)求函数ƒ(x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)∵ƒ(x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴ƒ(x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知ƒ(x )≥32⇔32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )． ∴使ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .1．设P ，Q 是线段AB 的三等分点，若uuu r OA ＝a ，uuu r OB ＝b ，则uuu r OP ＋uuu rOQ ＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．2(a ＋b ) D.13(a ＋b ) 解析：选A 如图，uuu r OP ＝uuu r OA ＋u u u r AP ，uuu r OQ ＝uuu r OB ＋uuu r BQ ， ∵u u u r AP ＝－uuu r BQ ， ∴uuu r OP ＋uuu r OQ ＝uuur OA ＋uuu r OB ＝a ＋b .2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D. 5解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D. 3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2，∵|a |＝1，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝22，∴向量a 与向量b 的夹角为π4，故选B.5．在△ABC 中，(u u u r BC ＋u u u r BA )·u u u rAC ＝|u u u r AC |2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 由(u u u r BC ＋u u u r BA )·u u u r AC ＝|u u u r AC |2，得u u u r AC ·(u u u r BC ＋u u u r BA －u u u rAC )＝0，即u u u r AC ·(u u u r BC ＋u u u r BA ＋u u u r CA )＝0，∴2u u u r AC ·u u u r BA ＝0，∴u u u r AC ⊥u u u r BA ，∴A ＝90°.故选C.6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2D ．6解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝⎛⎭⎫－1－3－32＝3， ∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b )⊥a ，则|b |＝________.解析：∵a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，∴a －2b ＝(－3,3－2t )．∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，∴b ＝(1,2)，∴|b |＝12＋22＝ 5.★答案★： 58．已知平面向量a 与b 的夹角等于2π3，如果|a |＝2，|b |＝3，那么|2a －3b |＝________.解析：|2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 2π3＋9×32＝133，∴|2a －3b |＝133.★答案★：1339．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π. ★答案★：⎣⎡⎦⎤π3，π10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61，即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13. 11．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R . (1)求|a ＋tb |的最小值及相应的t 值； (2)若a －tb 与c 共线，求实数t . 解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，∴a ＋tb ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋tb |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755，当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋tb |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －tb ＝(－3,2)－t (2,1)＝(－3－2t,2－t )，又a －tb 与c 共线，c ＝(3，－1)， ∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0. 解得t ＝35.12．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值范围．解：(1)令n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，2·x 2＋y 2cos 3π4＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0，∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)．∴|n ＋b |＝cos 2x ＋(sin x －1 )2＝2－2sin x ＝2(1－sin x ). ∵－1≤sin x ≤1，∴0≤|n ＋b |≤2.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan 8π3的值为( ) A.33B ．－33C. 3D ．－ 3解析：选D tan8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 2．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则uuu r OA ＋uuu r OB ＋u u u r OC ＋u u u rOD 等于 ( )A ．u u u u r OMB ．2u u u u r OMC ．3u u u u r OMD ．4u u u u r OM解析：选D 依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以uuu r OA ＋u u u r OC ＝2u u u u r OM ，uuu r OB ＋u u u r OD ＝2u u u u r OM ，所以uuu r OA ＋u u u r OC ＋uuu r OB ＋u u u rOD ＝4u u u u r OM ，故选D.4．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵点(sin α，sin 2α)在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＞0，sin 2α＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，2sin αcos α＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α＜0.∴α在第二象限． 5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．6．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( ) A.225B ．－25 C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0成中心对称( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0，其中离⎝⎛⎭⎫－π12，0最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可． 9．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图2所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π4x .∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35C.35D ．－45解析：选B 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a,4b,5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35. 11．如图，在四边形ABCD 中，|u u u r AB |＋|u u u r BD |＋|u u u r DC |＝4，|u u u r AB |·|u u u rBD |＋|u u u r BD |·|u u u r DC |＝4，u u u r AB ·u u u r BD ＝u u u r BD ·u u u r DC ＝0，则(u u u r AB ＋u u u r DC )·u u u rAC 的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．2 2解析：选A ∵u u u r AC ＝u u u r AB ＋u u u r BD ＋u u u r DC ，u u u r AB ·u u u r BD ＝u u u r BD ·u u u rDC ＝0，∴(u u u r AB ＋u u u r DC )·u u u r AC＝(u u u r AB ＋u u u r DC )·(u u u r AB ＋u u u r BD ＋u u u r DC )＝u u u r AB 2＋u u u r AB ·u u u r BD ＋u u u r AB ·u u u r DC ＋u u u r DC ·u u u rAB ＋u u u r DC ·u u u r BD ＋u u u r DC 2＝u u u r AB 2＋2u u u r AB ·u u u r DC ＋u u u rDC 2.∵u u u r AB ·u u u r BD ＝0，u u u r BD ·u u u r DC ＝0， ∴u u u r AB ⊥u u u r BD ，u u u r DC ⊥u u u r BD ，∴u u u r AB ∥u u u r DC ， ∴u u u r AB ·u u u r DC ＝|u u u r AB ||u u u rDC |， ∴原式＝(|u u u rAB |＋|u u u r DC |)2.设|u u u r AB |＋|u u u r DC |＝x ，则|u u u r BD |＝4－x ，|u u u rBD |·x ＝4，∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2，∴原式＝4，故选A.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A ∵函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，∴θ＝π2，∴y ＝2cos ωx ，排除C 、D ；y ＝2cos ωx ∈[－2,2]，结合题意可知T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2，排除B ，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把★答案★填在题中的横线上)13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若u u u r AC ＝λu u u r AE ＋μu u u rAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设u u u r AB ＝a ，u u u rAD ＝b ，则u u u r AF ＝a ＋12b ，u u u r AE ＝12a ＋b ，u u u r AC ＝a ＋b ，代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.★答案★：4314．在平面直角坐标系 xOy 中，已知uuu r OA ＝(－1，t )，uuu rOB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴u u u r AB ⊥uuu r OB ，∴uuu r OB ·u u u rAB ＝0.又u u u r AB ＝uuur OB －uuu r OA ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. ★答案★：515．已知ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝22(sin α＋cos α)＝7210. ★答案★：721016．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12； ③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确． ★答案★：④三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0，即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α ＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α )(sin α＋cos α ) ＝sin α＋cos αsin α－cos α ＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2.解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22(cos α－sin α)1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图；解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表： x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－221．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x ＋2sin π4＋x2·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2. (1)若f (α)＝22，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f (x )的值．解：f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)由f (α)＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. ∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12.(2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 又∵sin x 2＝45，∴cos x 2＝35.∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2425，cos x ＝－1－sin 2x ＝－725. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝1725.22．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最值．解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又ƒ⎝⎛⎭⎫11π6＝0，得A sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝ 4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝4⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。

高中数学-平面向量(含详细答案)

＝
－
２３
→ＡＢ
Ｄ.Ａ→Ｑ＝Ｂ→Ｐ
２. 答案Ｄ
３.( 教材习题改编) 如图ꎬＤꎬＥꎬＦ分别是△ＡＢＣ各边的中点ꎬ则下
列结论错误的是
( )
Ａ.Ｅ→Ｆ＝Ｃ→Ｄ
Ｂ.→ＡＢ与Ｄ→Ｅ共线
Ｃ.Ｂ→Ｄ与Ｃ→Ｄ是相反向量
Ｄ.→ＡＥ＝
１２
｜ →ＡＣ｜
３. 答案Ｄ根据向量的有关概念可知ꎬＥ→Ｆ＝Ｃ→Ｄꎬ→ＡＢ∥Ｄ→ＥꎬＢ→Ｄ
(２) ①是错误的ꎬ两个向量起点相同ꎬ终点相同ꎬ则两个向量
相等ꎻ但两个向量相等ꎬ不一定有相同的起点和终点. ②是错误的ꎬ ｜ａ｜＝｜ｂ｜ ꎬ但ａꎬｂ方向不确定ꎬ所以ａꎬｂ的方向
不一定相等或相反.
③是正确的ꎬ因为→ＡＢ＝Ｄ→Ｃꎬ所以｜ →ＡＢ｜＝｜Ｄ→Ｃ｜且→ＡＢ∥Ｄ→Ｃꎻ又
( )
( ２) 零向量与任意向量平行.
( )
(３) 若ａ∥ｂꎬｂ∥ｃꎬ则ａ∥ｃ.
( )
(４) 若向量→ＡＢ与向量Ｃ→Ｄ是共线向量ꎬ则ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点在一条
直线上.
( )
(５) 当两个非零向量ａꎬｂ共线时ꎬ一定有ｂ＝ λａꎬ反之成立.
( )
(６) 在△ＡＢＣ
①若两个向量相等ꎬ则它们的起点相同ꎬ终点相同ꎻ ②若｜ａ｜＝｜ｂ｜ ꎬ则ａ＝ｂ或ａ＝－ｂꎻ
③若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是不共线的四点ꎬ且→ＡＢ＝Ｄ→Ｃꎬ则ＡＢＣＤ为平
行四边形ꎻ ④ａ＝ｂ的充要条件是｜ａ｜＝｜ｂ｜且ａ∥ｂꎻ ⑤已知 λꎬμ 为实数ꎬ若 λａ＝ μｂꎬ则ａ与ｂ共线. 其中真命题的序号是 . 答案 (１)Ｄ (２)③

平面向量知识点+例题+练习+答案

五、平面向量1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a ｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

平面向量(含答案)

平面向量学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．.若向量(1,2),(4,5)BA CA == ，则BC =A. (5,7)B. (3,3)--C. ()3,3D. ()5,7--2．已知向量2(1,1),(,2),x x ==+a b 若,a b 共线,则实数x 的值为（）A.1-B.2C.1或2-D.1-或23．已知向量(1,2),(2,)a b m ==- ，若//a b ，则|23|a b + 等于( )A B ． C ．．4．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB = ，13CD CA CB λ=+ ，则λ=（） A.23 B.13 C.13- D.23- 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( )A. 2-B. 12-C. 12D. 2 6．已知||6a = ，||3b = ，12a b ⋅=- ，则向量a 在向量b 方向上的投影是（） A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．27．已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ，若//AB OC ，则实数m 的值为（）A ．15B ．-3C ．35-D ．17- 8．平面向量a 与b 的夹角为60°，1||),0,2(==b a ,则|2|b a +等于( )A B ．C ．4D ．129．已知(3,4)a = ,(1,2)b = ,则a b -= ． 10．已知平面向量)1,3(=a ，)3,(-=x b ，且b a ⊥，则x 的值为 .11．已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，向量c ＝2a ＋b ．则向量c 的模为．12．已知向量()()cos45,sin30,2sin 45,4cos60,b c =︒︒=︒︒ 则b c ⋅= ．13．向量a ，b 满足则a 与b 的夹角为．14．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||c = //c a ，求：c 的坐标（2）若||b = 2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角 15．已知平面向量(cos ,sin )a ϕϕ= ，(cos ,sin )b x x = ，(sin ,cos )c ϕϕ=- ，其中0ϕπ<<，且函数()()cos ()sin f x a b x b c x =⋅+⋅ 的图象过点)1,6(π．（1）求ϕ的值；（2）将函数)(x f y =图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =在[0,]2π上的最大值和最小值．16．已知向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-= ，设函数()f x m n = （1）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是,,a b c ，且满足2b ac =，求()f B 的取值范围．17．向量)sin ,1(x m a +=→，))6cos(4,1(π+=→x b ，设函数→→⋅=b a x g )(，（R m ∈，且m 为常数）（1）若x 为任意实数，求)(x g 的最小正周期；（2）若)(x g 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,0π上的最大值与最小值之和为7，求m 的值.18(1,)b y = ,已知//a b ，且有函数)(x f y =. （1）求函数)(x f y =的周期；（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为C B A ,,，若有3)3(=-πA f ，边7=BC ,721sin =B ，求AC 的长及ABC ∆的面积. 19．已知向量x ),1,(sin -=)23,(cos x =，)()(x f ⋅+=（1）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的值域：（2）锐角A B C ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若1023)2(,27,245===B f b c a ，求边c a ,.参考答案1．B【解析】试题分析：()3,3BC BA AC =+=-- 考点：向量的坐标运算.2．D.【解析】试题分析：∵2(1,1),(,2)x x ==+a b ，,a b 共线,∴根据向量共线的充要条件知1×x 2-1×(x+2)=0，∴x=-1或2,选D.考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．3．C【解析】试题分析：由//a b 可得()40221-=⇒=-⨯-⨯m m ，所以()54641628,432=+=+⇒--=+.考点：向量的坐标运算.4．A【解析】试题分析：2AD DB = ，即()2C D C A C B C D -=- ，解得1233CD CA CB =+ ，23λ∴=，故选A.考点：平面向量的线性表示5．C【解析】试题分析：因为，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，所以，(1,2),(,1)OB AC m =-=- ，又//OB AC ，所以，11,122m m -==-，选C. 考点：平面向量的概念，共线向量.6．A【解析】试题分析：向量a 在向量b方向上的投影是θcos ⋅（θ是a ，b 的夹角），θcos ⋅=-4.考点：向量的数量积运算.7．B ．【解析】试题分析：由题意知(3,1)AB OB OA =-= ，(2,1)OC m m =+ ，又//AB OC ，则3(1)120m m ⨯+-⨯=，即3m =-.考点：两向量平行的充要条件.8．B【解析】试题分析：因为，(2,0),a = 所以，||2a = ，2220|2|444421cos60412,|2|a b a a b b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=+= B. 考点：平面向量的数量积、夹角、模9．(2,2)【解析】试题分析：根据向量的减法等于横坐标、纵坐标分别对应相减，得到(31,42)(2,2).a b -=--= .向量的加减及数乘类似实数运算，一般不会出错，只需注意对应即可.考点：向量的减法运算10．1【解析】试题分析：b a ⊥10330=⇒=-⇒=⋅⇒x x b a .考点：平面向量数量积运算.11．【解析】试题分析：｜c ｜2＝（2a ＋b ）2＝4a 2＋4a·b＋b 2＝4＋4×1×2×cos60°＋4＝12，即｜c ｜＝考点：平面向量数量积、向量的模.12．2．【解析】试题分析：由向量数量积的坐标运算公式得112sin 45cos454sin30cos6024222b c ⋅=︒︒+︒︒=⨯⨯= ．考点：1．向量数量积的坐标运算公式；2．三角函数式求值．13．23π．【解析】试题分析：由题意解得1a b ⋅=- ，则1cos ,2a b =- ，即a 与b 的夹角为23π．考点：1．平面向量数量积运算；2．向量夹角公式．14．（1）(2,4)或(2,4)--；（2）π.【解析】试题分析：（1）设(,)c x y = ，利用两个已知条件||c = //c a 列出关于,x y 的方程组，解出,x y 即可；（2）由2a b + 与2a b - 垂直得(2)(2)0a b a b +⋅-= ，对此式进行化简，可求出a b ⋅ ，又,a b 的模易知，利用向量数量积的定义则可求出a 与b 的夹角.试题解析：设(,)c x y = 由//||c a c =及 2212022,4420y x x x y y x y ⋅-⋅===-⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或所以，(2,4)(2,4)c c ==-- 或 7分（2）∵2a b + 与2a b - 垂直，∴(2)(2)0a b a b +⋅-=即222320a a b b +⋅-= ；∴52a b ⋅=- ∴cos 1||||a b a b θ⋅==- ，∵[0,]θπ∈∴θπ= 14分考点：向量的数量积、向量的模、向量的平行与垂直.15．（1）3πϕ=；（2）最小值12，最大值1．【解析】试题分析：（1）根据向量的数量积的坐标运算，求出,a b b c ⋅⋅ 代入：()()c o s ()s f x a b x b c x=⋅+⋅ 整理便得()cos(2)f x x ϕ=-，再根据()f x 过点)1,6(π可得ϕ的值；（2）将函数)(x f y =图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，便将函数)(x f y =中的x 换成12x 便得函数)(x g y =的解析式：()cos()3g x x π=-. 由02x π≤≤得033236x πππππ-≤-≤-=.结合cos y x =的图象可得()cos()3g x x π=-在[0,]2π上的最大值和最小值. 试题解析：（1） cos cos sin sin cos()a b x x x ϕϕϕ⋅=+=- 1分cos sin sin cos sin(b c x x x ϕϕϕ⋅=-=- ()x -ϕ 2分()()cos ()sin f x a b x b c x ∴=⋅+⋅cos()cos sin()sin x x x x ϕϕ=-+-cos()x x ϕ=--cos(2)x ϕ=-， 4分即()cos(2)f x x ϕ=- ∴()cos()163f ππϕ=-=，而0ϕπ<<， ∴3πϕ=． 6分（2）由（1）得，()cos(2)3f x x π=-，于是1()cos(2())23g x x π=-，即()cos()3g x x π=-． 9分当[0,]2x π∈时，336x πππ-≤-≤，所以1cos()123x π≤-≤， 11分即当0x =时，()g x 取得最小值12，当3x π=时，()g x 取得最大值1． 13分考点：1、向量的坐标运算；2、三角变换；3、三角函数的图象变换；4、三角函数的最值16．（1）3π、π；（2）(1,0]-. 【解析】试题分析：（1）先由平面向量数量积的坐标表示得到()f x ，然后由三角函数的倍角公式进行降次，再将函数()f x 的解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式.令()0f x =，在区间[]0,π解得3x π=或π，即得到零点3π、π；（2）由条件及余弦定理，通过基本不等式可得1cos 2B ≥，又根据角B 是三角形内角，从而得到其范围，再代入即可得()f B 的取值范围.试题解析：因为向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-= ，函数()f x m n = .所以21cos ()cos cos 2222x x x x f x x +=-=-111cos sin()22262x x x π=--=--3分（1）由()0f x =，得1sin()62x π-=. =+266x k πππ-∴， 5=+266x k k Z πππ-∈或， =+23x k ππ∴， =+2x k k Z ππ∈或，又[]0,x π∈，3x π∴=或π.所以()f x 在区间[]0,π上的零点是3π、π. 6分（2）在ABC ∆中，2b ac =，所以222221cos 2222a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-==≥=. 由1cos 2B ≥且(0,)B π∈，得(0,],3B π∈--666B πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦从而，10分 11sin()(,]622B π-∈-∴， 1()sin()(1,0]62f B B π=-+∈-∴ 12分考点：1.数量积的坐标表示；2.余弦定理；3.三角函数的性质.17．（1）T π=；（2）2m =.【解析】试题分析：(1)借助向量数量积运算，利用两角和与差公式化为一角一函数()2sin(2)6g x x m π=++，可求函数周期；(2)由x 的范围求出26x π+的范围，借助函数图象求出函数最值.试题解析：（1）()14sin cos()14sin (cos cos sin sin )666g x a b m x x m x x x πππ=⋅=+++=++-2cos2x x m ++2sin(2)6x m π=++ 5分所以T π=.（2）因为03x π≤<，所以52666x πππ≤+<， 9分所以6x π=时，()2max g x m =+；0x =时，min ()1g x m =+ 12分所以217,2m m m +++==. 14分考点：1.函数的性质：周期、最值；2.三角函数的化简.18．（1）2π;（2）2AC =,S =. 【解析】试题分析：（1）利用//的充要条件得出)(x f y =，再化简成sin()y A x B ωϕ=++类型求周期；（2）先由条件3)3(=-πA f 求出角A ,再由正弦定理B AC A BC sin sin =求AC ，然后只需求出AB 或sin C 即可求ABC ∆的面积.试题解析：解：由//得0)cos 23sin 21(21=+-x x y 3分即 )3sin(2)(π+==x x f y 5分（1）函数)(x f 的周期为π2=T 6分（2）由3)3(=-πA f 得3)33sin(2=+-ππA 即23sin =A ∵ABC ∆是锐角三角形∴3π=A 8分由正弦定理：BAC A BC sin sin =及条件7=BC ,721sin =B 得2237217sin sin =⋅=⋅=A B BC AC ， 10分又∵A AC AB AC AB BC cos 2222⋅⋅-+=即2122472⨯⨯⋅-+=AB AB 解得3=AB 11分 ∴ABC ∆的面积233sin 21=⋅⋅=A AC AB S 12分考点：1、平面向量与三角函数结合，2、正弦定理与余弦定理综合运用，3、三角形面积公式.19．（1）1[22-；（2）8c a ==. 【解析】试题分析：（1）先利用倍角公式、两角差的正弦公式将解析式化简，将已知x 代入，求值域；本卷由【在线组卷网】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

高一数学平面向量试题答案及解析

高一数学平面向量试题答案及解析1.在中，，是边上任意一点（与不重合），若，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：过A作AO⊥BC，交BC于点O，以BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0），∵|AB|2=|AD|2+|BD|×|DC|，∴a2+b2=a2+d2+（d-b）（c-d），即d2-b2+（d-b）（c-d）=0，∴（d+b）（d-b）+（d-b）（c-d）=0，即（d-b）（b+c）=0，∵D与B不重合，∴d≠b，即d-b≠0，∴b+c=0，即b=-c，∴B与C关于y轴对称，∴AB=AC，则△ABC为等腰三角形．得到∠B=∠C=75°2.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．3.向量，若，则实数的值为．【答案】【解析】【考点】向量的数量积的坐标运算及向量模4.已知为锐角，，且，则为．【答案】或【解析】因为，，故为或．【考点】平行向量的坐标表示5.已知向量，向量，若，则实数的值是（）A．B．C．4D．【答案】C【解析】，所以【考点】1．数量积的坐标表示；2．两向量垂直的充要条件6.已知是所在平面上一点，满足，则点（）A．在与边垂直的直线上B．在的平分线所在直线上C．在边的中线所在直线上D．以上都不对【答案】A【解析】移项得设AB边的中点为D，则所以O在与边垂直的直线上，选A．【考点】向量加减法的几何意义，数量积的性质．7.如图，在四边形中，，且，，记向量则= （）A．B．C．D．【答案】B【解析】作于，与，由题意，且，记向量，，故选B．【考点】（1）向量在几何中的应用（2）向量的加法及其几何意义8.如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界），若，且点落在第Ⅲ部分，则实数满足（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由于点落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知与方向相反，与相反，，故选D．【考点】向量加减呼和运算及其几何意义9.已知向量a＝（1,2），b＝（x＋1，－x），且a⊥b，则x＝（）A．2B．C．1D．0【答案】C【解析】两向量垂直坐标满足【考点】向量垂直的判定10.设R，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．10【答案】B【解析】由得：，解得：，所以，，则，所以。

平面向量（附例题_习题及答案）

平⾯向量（附例题_习题及答案）向量的线性运算⼀．教学⽬标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3.理解向量线性运算的⼏何意义、向量共线的含义、平⾏向量基本定理；4.理解平⾯向量基本定理，掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰、平⾯向量的坐标运算；5.理解⽤坐标表⽰平⾯向量的共线条件。

⼆．知识清单1.向量基本概念（1）向量的定义：既有⼜有称为向量；（2）向量的⼤⼩（或称模）：有向线段的表⽰向量的⼤⼩；（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量；（4）共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平⾏向量），叫做相等向量。

2.向量的线性运算（1）向量的加法a.向量加法的三⾓形法则、平⾏四边形法则和多边形法则。

b.向量加法满⾜的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).（2）向量的减法a.定义：a-b=a+(-b)，即减去⼀个向量相当于加上这个向量的相反向量。

⼀个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即AB=OB-OA。

b.三⾓形法则：“共始点，连终点，指向被减”。

（3）数乘向量a.定义：⼀般地，实数λ和向量a的乘积是⼀个向量，记作λa.b.数乘向量满⾜的运算律：（λ+µ）a=λ（µa）=λ（a+b）=3.向量共线的条件与轴上向量坐标运算（1）向量共线的条件平⾏向量基本定理：如果，则；反之，如果，且，则⼀定存在，使。

（2）轴上向量的坐标运算4. 向量的分解与向量的坐标运算（1）平⾯向量基本定理如果是⼀平⾯内的的向量，那么该平⾯内的任⼀向量a，存在，使。

（2）平⾯向量的正交分解定义：把⼀个向量分解为，叫做把向量正交分解。

（3）向量的坐标表⽰在平⾯直⾓坐标系中，分别取与x轴、y轴⽅向相同的两个_______作为基底。

对于平⾯内的任⼀个向量，由平⾯向量基本定理可知，有且只有⼀对实数x，y使得____________，这样，平⾯内的任⼀向量a都可由__________唯⼀确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表⽰，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。

217.高一数学人教A版必修四教案：第二章平面向量 Word版含答案

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．
例2、若等边的边长为，平面内一点M满足 ,则 ________.
练习：1、在中， =90°AC=4，则等于（）
A、-16 B、-8 C、8 D、16
（三）坐标运算
例3、 , ,则（）
A. B. C. D.
练习：1、设向量 , ,则下列结论中正确的是
(A) (B) (C) (D) 与垂直
（四）平行垂直
注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
① 是整式时，定义域是全体实数．
② 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③ 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
三、重点难点
教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题.
教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.
四、教学设想

高一年段数学培优教材第五讲平面向量

高一年段数学培优教材第五讲平面向量知识要点：1．零向量、单位向量、相反向量、共线向量（即平行向量）、相等向量等概念。

2．若()()2211,,,y x b y x a ==→→，则λ=(11,y x λλ);θcos ||||→→→→⋅=⋅b a b a =2121y y x x +;→→→→=⇔≠b a b a λ)0(//01221=-⇔y x y x (λ>0→→b a 与同向;λ<0反向)非零向量0=⋅⇔⊥→→→→b a b a 02121=+⇔y y x x22)()(||A B A B y y x x AB -+-==,2211y x a +==cos ><,222221212121y x y x y y x x +⋅++,在3．||||(OB OA +=λ则P 在∠AOB 平分线上;4．→1e 和→2e 是平面一组基底（不共线）,则该平面任一向量→→→+=2211e e a λλ(21,λλ唯一) 5.定比分点的向量表示：→→=BC AB λ，则有→→→+++=OC OA OB λλλ111，（A 、B 、C 三点共线）6.O 为△ABC 的重心，则0=++→→→OC OB OA7.已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则·b =︱︱·︱b ︱cos θ,其中︱b ︱cos θ称为向量b 在方向上的投影.典型例题：例1：（1）．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（2）．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（） A ．00a b = B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b +=例2：（1）．设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（）A ．030 B ．060 C ．075 D ．045B C（2）．设，a b 是非零向量，若函数f （x ）=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线，则必有（） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b（3）.设OA =（2，5），=（3，1），OC =（6，3），在OC 上是否存在点M ，使 MB MA ⊥，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.例3：（1）．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（）A 外心B 内心C 重心D 垂心（2）．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB AC|AB ||AC |+)，),[∞+∈λ0，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心例4：（1）．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为．（2）.已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0例5：已知点A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈(23,2ππ)。

高中数学----平面向量(含答案)

平面向量一、选择填空题1（海淀理6）已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120 ，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为（） A ．︒60 B ．︒90 C ．︒120D ． ︒1502（石景山理3）AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4)AB = ，(1,3)AC = ，则AD =（） A. (2,4) B. (3,7) C. (1,1) D. (-1,-1)3（通州理12在）边长为1的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅的取值范围是．4（西城理9）已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．5(改编)已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 垂直，则实数k = _____．6(东城理)已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++=，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）57（石景山理5）已知O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =8(朝阳理11)如右图，在三角形ABC 中，D ，E 分别为B C ，AC 的中点，F 为AB 上的点，且B 4A A F = . 若A Dx A F y A E=+ ，则实数x = ，实数y = .9（丰台理）已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则|2|+=a bABC DE · · F(A) 2(C)(D)10已知向量=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（）（A ）1)- （B ）(1,- （C ）(1)-（D ）(-11（海淀理）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF（A ）1123AB AD - （B ）1142AB AD+（C ）1132AB DA + （D ）1223AB AD- 12．已知向量a =（1，k ），=b （2，1），若a 与b 的夹角大小为︒90，则实数k 的值为_____ A ．1- B ．1C ．2-D ．2的坐标是_____14．已知向量=a （1，0），=b （0，1），b a c λ+=（∈λR ），向量d 如图所示.则（）A ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 垂直B ．存在0λ>，使得向量c 与向量d 夹角为︒60 C ．存在0λ<，使得向量c 与向量d 夹角为30︒D ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 共线15（京高考理13）向量a ，b ，c R μ∈），则λμ=16（怀柔14）手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝．17（西城10）在矩形ABCD中，AB =1BC =，E 是CD 上一点，且1AE AB ⋅=，则AE AC ⋅ 的值为（）A ．3B ．2CD18（石景山）已知(31)OA =，，(04)OB =，，(4)OC x =，，且AC AB ⊥，则x = .19（海淀）已知向量(,1),(4,)x x a b ==，若向量a 和b 方向相同，则实数x 的值是（）（A ） 2- （B ） 2 （C ） 0 （D ）8520（海淀）已知向量,a b 满足||2=a ，||1=b ，且a （a+b ）=3，则,<>=a b （）（A ）60° （B ）75° （C ）90° （D ）120°21（海淀）如图所示，点C 在线段BD 上，且3BC CD =，则AD =（）（A ）32AC AB - （B ）43AC AB -（C ）4133AC AB - （D ）1233AC AB -22（海淀）若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为 A.12-B.12C.1-D. 1 23（西城11）如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______．24（朝阳13）在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=．25（朝阳8）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是A.1[1,]4--B.11[,]24-- C.[1,0]- D.1[,0]2-26在四边形ABCD 中，“存在R k ∈，使得C D K B A =，C B k D A=”是“四边形ABCD 为平行四边形”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件C27（房山理8）对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅ αβαβββ，若平面向量,a b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角(0,)3θπ∈，且 a b 和 b a 都在集合{|}2n n ∈Z 中，则 a b = （） A.21B. 1C. 23D. 1或23 28（海淀8）已知动点111(,cos )P x x ，222(,cos )P x x ，O 为坐标原点，则当1211x x -≤≤≤时，下列说法正确的是（）（A ）1OP 有最小值1 （B ）1OP有最小值，且最小值小于1（C ）120OP OP ? 恒成立（D ）存在12,x x 使得122OP OP?二、解答题1（昌平理）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 22π≤θ≤π-. （Ⅰ）当b a ⊥时，求θ的值;（Ⅱ）求||b a +的取值范围.2（石景山19）已知向量)k =a ，(01)=-，b，(1=c .（Ⅰ）若⊥a c ，求k 的值；（Ⅱ）当1=k 时，λ-a b 与c 共线，求λ的值；（Ⅲ）若=m ，且m 与c 的夹角为150︒，求2 m +c .3（西城19）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，2(0)AB a a =>.（Ⅰ）当点P 是弧 AB 上靠近B 的三等分点时，求AP AB ⋅的值；（Ⅱ）求AP OP '⋅的最大值和最小值.4(海淀）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,3)A ，(5,1)B ，(2,1)P ，点M 是直线OP上的一个动点. （Ⅰ）求PB PA -的值；（Ⅱ）若四边形APBM 是平行四边形，求点M 的坐标；（Ⅲ）求A M .B M的最小值.平面向量参考答案：（一） 1.B 2. D 3．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4. -1 5. 946. B7.A8. 2,19.C 10. D 11. D 12. C 13.（3，-3） 14. D 15. 4 16. 936- 17.B 18. 6 19.B 20.D 21.C 22.A 23. -2324. 4 25.D 26.A 27.D 28.A27【解析】因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅ ,且a b 和b a都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a = ,||12cos ||b a θ= ,所以2||cos 2cos ||a ab b θθ== ,且211(0,),cos 1,2cos 2322πθθθ∈∴<<∴<< 故有312a b = 或,选D.28【解析】解：1OP =x x 1221cos +=x x n 1221si 1-+（[]1,11-∈x ）将x 1看成自变量，1OP 看成x 1的函数，则1OP是关于x 1的偶函数。

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高一年段数学培优教材--平面向量（1）一、基础知识： 1．向量的运算：①加法运算：;AB BC AC +=设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212(,)a b x x y y +=++ ②减法运算：;AB AC CB -=设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212(,)a b x x y y -=-- ③实数与向量的积运算：向量a λ与a 的关系；设(,),a x y =则(,)()a x y R λλλλ=∈ 22||,||||||a x y a a λλ=+=⋅ 22||a a a a =⋅= ④向量的数量积运算： ||||cos (a b a b θθ⋅=⋅⋅是a 与b 的夹角）；设1122(,),(,)a x y b x y ==则1212a b x x y y ⋅=+2．向量的关系：①不等关系： ||||||||||||a b a b a b -≤±≤+ ||||||a b a b ⋅≤⋅ （注意等号的条件） ②设1122(,),(,),0a x y b x y b ==≠ 则a b ⇔,a b λ=12210a b x y x y ⇔-=12120;0a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⊥⇔+=3．平面向量的基本定理：如果12,e e 是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量a ，有且只有一对实数,λμ，使12a e e λμ=+。

相关结论：如果12,e e 是同一平面内的不共线向量，且120e e λμ+=，则0λμ== 点O 、A 、B 、C 在同一平面内，A 、B 、C 共线的充要条件是：(1)OA xOB yOC x y =++=4．常用公式： 22222()2()()a b a a b b a b a b a b±=±⋅++⋅-=- ABC ∆中，M 为BC 边的中点，G 为重心，则10;();02AB BC CA AM AB AC GA GB GC ++==+++=二、综合应用：例1：求证：三角形的三条中线交于一点。

例2：设ABC∆外心为O，取点M，使OA OB OC OM∆的垂心，且此三角形的++=，求证M是ABC外心、垂心、重心在一条直线上。

例3：在三角形ABC中，点M分AB所成的比为2，点N分AC所成的比为3，设线段CM和BN2交于点P，直线AP和BC的交点为Q，且,AP AQ==，用,a b表示;AB a AC b例4：已知O 为ABC ∆内一点，150,90AOB BOC ∠=∠=，设,,,OA a OB b OC c ===且||2,||1,||3a b c ===，试用,a b 表示c 。

例5：（1）已知ABC ∆三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++=，则点P 在（）A ABC ∆内部B ABC ∆外部 C 在直线AB 上D 在直线AC 上（2）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ([0,).||||AB AC OP OA AB AC λλ=++⋅∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心（3）在四边形ABCD 中，设AB a =，BC b =，CD c =，DA d =，若a b b c c d d a ⋅=⋅=⋅=⋅，则该四边形一定是（）A 矩形B 正方形C 菱形D 等腰梯形三、强化训练：1．已知A 、B 、C 三点在同一直线上，O 在直线外，OA a =，OB b =，OC c =，且存在实数k ，使250a kb c -+=成立，求点C 分BA 所成的比λ及k 的值。

FH MD CB A2．若P 分有向线段AB 所成的比为,(1)λλ≠-，则有1OA OBOP λλ+=+。

3．已知(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时：（1）ka b +与3a b -平行？平行时是否同向？（2）ka b +与3a b -垂直？4．如图，在平行四边形ABCD 中,1,4AH HD BF MC BC ===,设,,AB a AD b ==以,a b 为基底表示,,,AM MH AF MD5．设O 为ABC ∆内一点，且满足230OA OB OC ++=，求:ABC AOC S S ∆∆6．ABC ∆中，M 是AB 的中点，E 是CM 的中点，延长AE 交BC 于F ，作MH ∥AF ，求证：BH= HF =FC 。

7．如图，在平面斜坐标系,60xOy xOy ∠=︒中，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12op xe ye =+，其中12,e e 分别为与x 轴y 轴同方向的单位向量，则p 点斜坐标为(,)x y . 若p 点斜坐标为（2，－2），求p 到O 的距离|PO|；8．已知向量(,),(,2)=表示。

v f u==-的对应关系用()u x y v y y x（1）证明：对任意向量,a b及常数,m n，恒有()()()+=+成立；f ma nb mf a nf b（2）设(1,1),(1,0)f a f b的坐标。

==，求向量(),()a b（3）求使()(,)(,=为常数)的向量c的坐标。

f c p q p q高一年级数学培优教材 ----平面向量（2）例1：（1）点P 是ABC ∆的外心，且PA PB PC +=，则角C 的大小为_________________（2）在ABC ∆中，||||||0BC GA AC GB AB GC ++=，其中G 为ABC ∆的重心，则ABC ∆的形状是___（3）设ABC ∆的外心为O ，H 是它的垂心，求证：OH OA OB OC =++（4）已知O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，求证：点O 是ABC ∆的垂心。

（5）O 为ABC ∆所在平面内的一点，则O 为ABC ∆的垂心的充要条件是：OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅例2：已知向量(cos a θ=，sin )θ，(cos b β=，sin )β，且a 与b 之间有关系式：||3||ka b a kb +=-，其中k ＞0．（1）证明：()()a b a b +⊥- ；（2）试用k 表示a b ⋅例3：已知平面上的三个向量,,a b c 的模均为1，它们相互之间的夹角都是120，（1）求证：()a b c -⊥ （2）若||1,()k a b c k R ++>∈，求k 的取值范围。

例4：已知向量13(3,1),(,)2a b =-=，存在实数,k t ，使得向量2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，（1）试将k 表示为t 得函数()k f t =；（2）求2k t t+得最小值。

例5．已知向量(cos ,sin ),(sin 2,1cos 2),(0,1),(0,)a x x b x x c x π==-=∈ （1）向量,a b 是否共线？（2）求函数()||()f x b a b c =-+⋅的最大值。

例6：在Rt △ABC 中，已知90A ∠=， BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问PQ BC 与的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大？并求出这个最大值.强化训练：1．已知ABC ∆满足2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则ABC ∆的形状是（） A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形2．已知,,为非零的平面向量. 甲：,:,a b a c b c ⋅=⋅=乙则甲是乙的（）条件 A ．充分条件但不是必要 B ．必要条件但不是充分 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要3．已知平面上直线l 的方向向量43(,),55e =-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是'O 和'A ，则O A λ''=e ，其中λ= （） A ．115B ．115-C ．2D ．－24．已知12,e e 是夹角为45的两个单位向量，12122,2,a e e b e e =+=-则,a b 的夹角为___________5．如果向量a 与b 的夹角为θ，那么我们称a b ⨯为向量a 与b 的“向量积”，a b ⨯是一个向量，它的长度||||||sin a b a b θ⨯=，如果||3,||2,2a b a b ==⋅=-，则||a b ⨯=______________6．对于n 个向量123,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅，若存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k ⋅⋅⋅，使得11220n n k a k a k a ++⋅⋅⋅+=成立，则称向量123,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅是“线性相关”的。

按此规定，能说明123(1,0),(1,1),(2,2)a a a ==-=“线性相关”的实数123,,k k k 的一组取值为____________________7．设向量(cos 23,cos 67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒⋅=则 ___________8．已知向量(1,1)m =，向量n 与m 的夹角为34π，且1m n ⋅=-，则n =______________9．在ABC ∆内求一点P ，使222AP BP CP ++的值最小。

10．已知(1,3),(1,1),a b c a b λ===+，是否存在实数λ，使a 与c 的夹角为锐角？说明你的理由。

11．已知向量(),(),||cos ,sin cos ,sin a b a b ααββ→→→→==-. （1）求()cos αβ-的值；（2）若5,,130,0sin sin 22ππαββα=-<<-<<且求的值12．已知向量,()1(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )f x a b a x x b x x =⋅-==定义函数.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调减区间；（3）画出函数75,[,]1212()()g x f x x ππ∈-=的图象，由图象研究并写出()g x 的对称轴和对称中心.高一年级数学培优教材--平面向量（1）参考答案例1：略例2：22()()()()0AM BC OM OA OC OB OC OB OC OB OC OB ⋅=--=+-=-=0,0,GA GB GB OA OG OB OG OC OG ++=∴-+-+-=∴3,3,,,OA OB OC OG OM OG O M G++=∴=∴三点共线。