第一讲——二次根式(2)

二次根式①我们知道，正数a 有两个平方根，即“a ±”，其中正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作a ，0的平方根也叫做0的算术平方根.．②注意：当a 是正数或0（又叫做非负数）时，a 表示a 的算术平方根．③负数没有平方根，因此负数算术平方根也不存在．也就是说：在a 中，a 必须大于或等于0，a 没有意义。

二．范例学习，加深理解例：x 是怎样的实数时，式子7-x 有意义？三、随堂练习，巩固提高（1）x 是怎样的实数时，式子12+x 在实数范围内有意义？ （2）x 是怎样的实数时，式子122+x 在实数范围内有意义？（3）x 是怎样的实数时，式子121-x 在实数范围内有意义？四、合作探究，领会新知 1、一般地，我们有()2a =a （a ≥0）()23.0 ()275 2727⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-把下列各式写成平方差的形式，再分解因式（1） 192-x （2） 32-a （3）742-a （4）162a －1活动关注：（1）实数意义； （2）二次根式中()2a =a 的应用； （3）因式分解中公式（平方差公式）的应用 五、专题突破，解决问题 1、问题牵引（1）问题：2a 等于什么？（2）教师引导：提示学生取a 的一些值分别计算对应的2a 的值，然后再从中寻找规律，注意a 的值是不受限制的 .2、引入二次根式的性质：（1）当a ≥0时，2a =a ；（2）当a < 0时，2a －a 知识联系：从绝对值的概念中可以得出()()()⎪⎩⎪⎨⎧-==000|| a a a a a a a2a =|a |，因此在以后的人简中也可以进行知识过渡，将二次根式2a 问题转化到|a |的问题上来，这种数学化归的思想在解题中常常遇见，根式化简中经常会碰到 七、课堂总结，提高认识本节课先给了二次根式的定义，然后讨论简单的二次根式中字母取值范围问题，接下来又从算术平方根的意义出发，学习了二次根式的简单性质：一是a （a ≥0）是一个非负数； 二是()2a =a （a ≥0）； 三是()2a =a （a ≥0），2a =—a （a <0）22.2.1二次根式的乘法填空（1）94⨯= （2）94⨯= （3）2516⨯= （4）2516⨯= 参考上述结果用“>”“<”“=”填空94⨯ 94⨯ 2516⨯ 2516⨯二次根式的乘法法则ab b a =∙（a ≥0，b ≥0）引导关注： a ≥0，b ≥0 这个条件，若没有这个条件，上述法则不成立，因为当0,0<<b a 时，虽然ab 有意义，而a 、b 在实数范围内却没有意义，乘法法则显然不能成立。

范例学习，提高认知 例1：计算（1）714⨯ （2）10254⨯ 四．继续探究，拓展延伸 1．例2：计算（1）b a 10253⨯ （2） xy x 11010-∙课堂演练（1）x x 153⋅ （2）x xy 12∙（3）b aa b ∙五．逆向思维，专题讨论 乘法法则：ab b a =∙（a ≥0，b ≥0）六．范例学习、加深理解 1．例3：化简（1）8125⨯=（2）52105210200022⨯⨯=⨯⨯= 例4：化简 （1）229y x （2）224y a a +七．随堂练习，巩固新知 1）化简（1） 2243+ （2） 221213- （3）212x（4）()221+c ab （5）246y x x +2）一个长方形的长6=a cm ，宽3=b cm ，求这个长方形的面积3）设直角三角形的两条直角边分别是b ，，c a c ，b a 求如果斜边是124,,== 八．课堂总结，提高认识本节主要学习了二次根式的乘法法则以及积的算术平方根性质，并围绕这两个结论进行简单的二次根式化简和运算，这里化简是将根号内能开得尽方的因式或因数开出来，运算是指简单的二次根式相乘，不包括所得结果的根号内出现分式和分数的性况，这里提出公式a 、b 均为非负数，如果没有特殊说明，所有字母都表示正数，当然还要注意产生字母只表示正数的片面认识22.2.2 二次根式的除法填空（1）=94;=94 （2）=2516;=2516参考上述结果,用“>”、“>”、“=”填空94 9425162516引入法则:二次根式除法法则b aba =（a ≥0，b>0）二、范例学习，领会新知例1、计算（1） 672（2）61211÷三．随堂练习，理解新知1．（1）计算下列各式7324-531513÷课堂演练,化简（1）7324- （2）b a a+2四:逆向思维,情境合一除法法则:b aba=（a ≥0，b>0）导入新知:请同学观察上面的式子,由于这是一个等式,因式可以将b aba =写成b a b a =（a ≥0，b>0）,通过逆向思考,我们得到了商的算术平方根的性质,商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,满足b a , （a ≥0，b>0）五.范例学习,加深理解 1.例2 化简（1）49151（2）1007 （3）24925b a 六、随堂练习2．探究时空已知6969--=--x x x x ，且x 为偶数，求()145122-+++x x x x 的值 七、课堂总结，提高认识本节内容是以二次根式的除法法则以及商的算术平方根的性质为主线展开的，主要是进行简单的二次根式的化简与计算，并从中引出简单的分母有理化内容，本节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开得尽方的情况，分母有开不尽方的情况在下节介绍.22．2．3 最简二次根式1．计算：（1）32（2）2723 （3）2782．合作探究问题牵引：如果把732.13≈，能不能求出31、27的似值呢？二.范例学习,加深理解例1:把下列各式化成最简二次根式（1）1253（2）4442y x y x + （3）228y x三．随堂练习，巩固深化1．把下列各式化成最简二次根式（1）32 （2）232b a （3）5.1（4）34 （5）c ba 220 （6）2281x x 2．在Rt △ABC 中，∠C=090，AC=2.5cm ，BC=6cm ，求AB 的长 四、辨析理解，讨论交流1．例题：下列计算是否正确？（1）31219141+=+ （2）3294+=+ （3）212214= （4）592952= （5）xy y x y x y x +=+22222．探研时空观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式()()()12121212121211121-=--=-+-⨯⨯=+()()()2323232323231231-=--=-+-⨯=+同理可得：341+=34-……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：()12002200120021341231121+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++五、课堂总结、提高认识 1．本节课内容较为简单，就是要求学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法，明确怎样的二次根式才能称得上是最简二次根式，并且知道遇到二次根式，一般应把它先化简，这 会给解决问题带来方便.2．将一个二次根式化简成最简二次根式只有以下两种： （1）如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.（2）如果被开方数整式和整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简第三课时作业优化设计1．化简24x x += ()0>x2．21a a a +-化简二次根式后的结果为3．计算=+2241314．当的值为求时|2|4422x x x ，x -+->5．如果化为最简二次根式是那么是二次根式，，y x y)0(>（ ）A)0(>y yxB)0(>y xy C)0(>y yxyD 以上都不对6．把()()1111----a a a 中根号外的移入根号内得（ ）A1-a B a -1 C 1--a D a --1 7．在下列各式中，化简正确的是（ ）A 15335= B22121±=Cb a b a 24= D123-=-x x x x8．化简3623-的结果是（ ）A2361-B 2121- C22- D 以上答案都不对 22.3.1 二次根式的加减法（一）计算：2324+ （2） 计算：2712+导入概念：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式导入方法：（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配率进行加减运算，（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再考虑进行加减运算.范例学习，加深理解例：下列各式中，哪些是同类二次根式？b a b xy 26,8,32,3,271,501,75,222．迁移探究教师归纳：二次根式相加减，第一步是把各个二次根式化成最简二次根式，第二步就是合并同类二次根式，学习中可以对整式的加减进行.探研时空：（1）4832714122+-（2）x xx x 1246932-+ （3）已知：的值求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+--+x y x x x y x y x x y x y x 51932,01064422222课堂总结，提高认识本节课从研究、解决问题的实际需要出发，得出一个新概念——同类二次根式，在所给出的二次根式中，哪些是同类二次根式，能熟练准确地化二次根式为最简二次根式，对于二次根式的加减首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了，整式实际就是去括号与合并同类项，二次根式加减也是如此，注意加法运算律仍然适用，应注意：该化简的没有化简，如结果中有212+；（2）化简得不正确；（3）不该合并却合并了，如532=+第一课时作业优化设计 计算：=+123在是同类二次根式的有与中a ，a a ，a ，a ，，，3812,2.03,32932753181252-计算二次根式的结果是y x x x 9735+--以下二次根式①12;②22;③32;④27中，与3是同类二次根式的是（ ）A ①和②B ②和③C ①和④D ③和④5、下列各式：①;36333=+ ②1771=；③22862==+；④22324=其中错误的有（ ）A 3个B 2个C 1个D 0个6．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈455451354180,236.25求的值，（结果精确到0.01）7．先化简，再求值2723,3644362==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，y x xy y x x xy x y x 其中8．求证：的根是方程是0613353225325=-+++---x x x x22.3.2 二次根式的加减法（二）课堂小测计算：（1）123319483+-；（2）())512(2048-++；（3）x xx x 1246932-+ 如图22.3-1所示的Rt △ABC 中，∠C=090，点P 从点B 开始沿BA 边以每秒1厘米的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以每秒2厘米的速度向点C 移动，请同学们探究：几秒后△PDQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）2．例2：要焊接如图22.3-2所示的钢架，大约需要多少钢材？（精确到0.1m ） 三、随堂练习，加深理解 1．设三角形三边是C a 、、b、c周长是（1）如果C ，，c ，b a 求982724507=== （2）如果b m ，m ，，c m ，，b a 求10916040===2．如图22.3-3在平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，E 在AB 上，DE=AE=EB=a ，求平行四边形ABCD 的周长C.3．探究时空 若最简根式不是最简二与根式23226234b b ab b a ba +-+-，首先将它化简成62||+-b a b ，再由同类二次根式的定义得11346223==+=+-=-，b a b ，a b a ，b a 解出第二课时作业优化设计1．张村有一个长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽是2倍，它的面积是1600㎡，鱼塘的宽是 m2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，那么这个等腰直角三角形的周期性长是 .（结果用二次根式）3．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长度应为（结果用最简二次根式表示）A 25 B50 C 52 555．小刚想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 长方形木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线上又是钉上了一根木条，木条的长应为（结果用最简二次根式表示）A cm 10013 B1300cm C 1310cm D cm 1355．若最简二次根式12221042332---n m m 与是同类二次根式，求m 、n 的值6．同学们，我们过去曾经学过完全平方公式222b ab a +±，你一定熟练掌握了，今天又是学习了二次根式，那么所有的正数（包括0），都可以看作是一个数的平方，如233=，()255=你知道是谁的二次根式呢？下面 我们来观察：()()22312221212212222-=+-=+⨯⨯-=-反之，()2121222223-=+-=-()212223-=-12223-=-∴请你阅读上面事例，解答下面的算式（1）223+ （2）324+ （3）n -4（2）n m b a ±=+2，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？说明理由二、范例学习，加深理解 1．例1：计算 （1）()386⨯+ （2）()222364÷-2．例2：计算 （1）()()5365-+ （2）()()710710-+补充练习（1）635278⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2） ()()322565-+ （3）()()23322332-+ （4）()254+()()by ax bx ax 5252)5(+-应用拓展，解决问题例3：化简x x x x xx xx -++++++-+1111 2．课堂演练（1）313- （2） 332- （3） b b--11 （4）3121+第三课时作业优化设计1．22321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-的计算结果是 （用最简根式表示） 2．()()()2132321321--+-的计算是 （用最简二次根式表示）3．若=++-=12122x x ，x 则 4．已知223223-=+=，b a ，则=-22ab b a5．若等于则化简y xy x ，y x 240312÷⨯=-+-（ ）A 22B 22 C2 D 16．化简8162322+-的结果是（ ）A 229B 227- C 29 D27- 7．计算（1）2231⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- （2）()23774-（3）2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a （4）()()22yx yx -++复习与小结二次根式：a (a ≥0)的式子：()a a ；a a ==22||（a ≥0）运算法则加减法首先要化简二次根式，但二次根式的被开方数不含分母，不含能开得尽的因数，然后合并被开方数相同的二次根式乘法：b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）除法：b a ba =（a ≥0，b>0） 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时要考虑字母的取值范围，运算结果化成最简二次根式二次根式的运算主要研究二次根式的乘除和加减，对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并注意：二次根式运用算结果应尽可能化简 范例学习，加深理解1．例1：下列各式中，正确的是（ ）A 416±= B525-=C3273-=- D()27272-=-2．例2：计算()()()23212324818---+课堂演练1．当x 时，x x -24有意义 2．化简a a 1-= ，()=-22x3．已知=+--<<20b aa b b ，a 化简4、分母有理化=aa 31，=-yx 15．比较大小：23-322643-6．化简=+-yx yx7．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）Ax 9 B 92-x C9xD()29+x8．下列各组的两个式中，x 的取值范围相同的是（ ）A |1|1++x x 与 B2121++++x x x x 与C()1123--x x 与 D ()112--x x 与9．计算：()22321412218----+10．计算：a bb a ab b3123233÷⎪⎭⎫ ⎝⎛- 11．已知化简并求值，，y x 483==：()()222222+++-+-+-+++-+xyy x x y yx y x xy y x yx xy y x12．？yx y x ，y x y x ，x 、、等于多少呢那么且都是实数+-=+-++-2204232|12|课时作业优化设计1．使113-+-x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 1≤x ≤3B 1< x ≤3C x ≥ 1D x < 32.若0<x 则||2x x -等于 （ ） A 0 B -2x C 2x D 0或2x3．若化简得则b a ，b a 300-><（ ） A ab a -- B ab a - C ab - D ab a4．的结果为则y y m ，y y 211+=-（ ）A 22+m B22-m C 2+m D2-m5．若512±+的平方根是x ,则=+14x 6．x 时，式子4||35-+x x有意义.7．若成立的条件是且x xy y x ，xy -=≠2208．若41411022-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<x x x x ，x 则等于9．计算（1）631205315÷⨯（2）a a a a a a 10834333273123++-10．已知x 、y 是实数，且的值求y x x x x y 65,329922++--+-=。