线性代数复习题带参考答案(一)
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数习题1(附答案)
线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分,共20分) 1.设五阶矩阵 123230,2A A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是3阶方阵,122,1A A ==，则 A = .2.设 123,,a a a 线性无关,若 112223331,,b a ta b a ta b a ta =+=+=+ 线性无关,则 t 应满足条件 .3.向量组112α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201γ线性 关4.如果矩阵 14000400x x x x A x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是不可逆的， 则 x = . 5.设 n 阶(3n ≥)矩阵 1111a a a a a a A aa a a aa⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩为 1n -, 则 a 必为 二.单项选择题(每小题4分,共20分)1. 设 ,A B 为同阶可逆矩阵， 则 ( ) (A) .A B B A = (B) 存在可逆矩阵 ,P 使 1.P AP B -= (C) 存在可逆矩阵,C 使 .TC AC B = (D)存在可逆矩阵P 和,Q 使 .PAQ B = 2.设A,B 都是n 阶非零矩阵,且 0A B =,则A 与B 的秩是 ( ). (A) 必有一个等于零. (B) 都小于n.(C) 都等于n. (D) 一个小于n, 一个等于n.3. 设n 元齐次线性方程组 0A x =中 ()R A r =, 则0A x = 有非零解的充要条件是 ( )(A) r n =. (B) r n ≥. (C) .r n < (D) .r n >4. 若 向量组,,a b c 线性无关,,,a b d 线性相关, 则 ( )(A) a 必可由 ,,b c d 线性表示. (B) b 必不可由 ,,a c d 线性表示. (C) d 必可由 ,,a b c 线性表示. (D) d 必不可由 ,,a b c 线性表示.5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A ，则12A 等于 ( ) (A ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101111 (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10121 (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11121(D ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1201212三.(14分) 设 3521110513132413D --=----D 的(,)i j 元的余子式和代数余子式依次记作,,ij ij M A 求11121314112131.A A A A M M M M ++++++及 四. (10分) 已知 21311122,20,13225A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦求 X AX B =使.五.(10分) 判定下列向量组的线性相关性, 求出它的一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.()()()()()123451,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,141,2,2,0,2,1,5,10a a a a a =-===-=六.(10分) 用基础解系表示下面方程组的全部解:12341234123422124522x x x x x x x x x x x x a+-+=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩七(16分) 已知A 是n 阶方阵,且满足 220(A A E E +-=是n 阶单位阵). (1) 证明 A E + 和 3A E - 可逆,并求逆矩阵； (2) 证明 2A E +不可逆线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分, 共24分) 1．144。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
线性代数复习题含答案
（C ）a +a ,a +a ,a +a （D ）a −a ,a −a ,a −a
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
分析：（A ）含有0 的向量组一定线性相关，0 +0a2 +0a3 0 ；
分析：∵A 的特征值是 1，2，−3 ．
∴ A −E 0 ， A −2E 0 ， A +3E 0 ．
∴ （A ）A −E ，（D ）A −2E ，（C ）A +3E 不可逆．
二． 填空题
1． 已知a31a21a13a5k a44 是 5 阶行列式中的一项且带正号，则i 5 ，k 2 ．
⎪ 21 1 22 2 2n n 2
⎨
⎪
n n−1 n−2 2 1 n n−1 n−2 2 1
共交换了n −2 次；……；r 与r 交换，共交换了 1 次．
2 1
( )
（A ）D D （B ）D =−D （C ）D =−1 2 D （D ）D =−1 D
（C ）一定无解 （D ）不能确定是否有解
分析：系数行列式D 0 =⇒R A <n ，方程组无解或无穷多解
( )
( ) ( )
) 1 ( ) 1
⎛a11 a12 a13 ⎞
2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1
分析：r 依次与r ,r ,,r ,r 交换，共交换了n −1次（r 移到第 1 行）；r 依次与r ,,r ,r 交换，
1 2 3
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（A ）0,a ,a （B ）a ,2a ,a
(完整版)线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于（ )A。
m+n B. —(m+n） C. n-m D. m—n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A。
130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C。
13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D。
120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3。
设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6 B。
6C。
2 D. –24。
设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC,则必有( ）A。
A =0 B. B≠C时A=0C. A≠0时B=C D。
｜A|≠0时B=C5。
已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ )A. 1 B。
2C。
3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则( ）A。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1(α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-βs）=0D。
有不全为0の数λ1，λ2，…,λs和不全为0の数μ1，μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07。
设矩阵Aの秩为r，则A中( ）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r—1阶子式全为0C。
(完整版)线性代数习题集带答案
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
线性代数习题1(附答案)
线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分,共20分) 1.设五阶矩阵 123230,2A A A A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是3阶方阵,122,1A A ==，则 A = .2.设 123,,a a a 线性无关,若 112223331,,b a ta b a ta b a ta =+=+=+ 线性无关,则 t 应满足条件 .3.向量组112α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201γ线性 关4.如果矩阵 14000400x x x x A x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是不可逆的， 则 x = . 5.设 n 阶(3n ≥)矩阵 1111a a a a a a A aa a a aa⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩为 1n -, 则 a 必为 二.单项选择题(每小题4分,共20分)1. 设 ,A B 为同阶可逆矩阵， 则 ( ) (A) .A B B A = (B) 存在可逆矩阵 ,P 使 1.P AP B -= (C) 存在可逆矩阵,C 使 .TC AC B = (D)存在可逆矩阵P 和,Q 使 .PAQ B = 2.设A,B 都是n 阶非零矩阵,且 0A B =,则A 与B 的秩是 ( ). (A) 必有一个等于零. (B) 都小于n.(C) 都等于n. (D) 一个小于n, 一个等于n.3. 设n 元齐次线性方程组 0A x =中 ()R A r =, 则0A x = 有非零解的充要条件是 ( )(A) r n =. (B) r n ≥. (C) .r n < (D) .r n >4. 若 向量组,,a b c 线性无关,,,a b d 线性相关, 则 ( )(A) a 必可由 ,,b c d 线性表示. (B) b 必不可由 ,,a c d 线性表示. (C) d 必可由 ,,a b c 线性表示. (D) d 必不可由 ,,a b c 线性表示.5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A ，则12A 等于 ( ) (A ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101111 (B ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10121 (C ) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11121(D ) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1201212三.(14分) 设 3521110513132413D --=----D 的(,)i j 元的余子式和代数余子式依次记作,,ij ij M A 求11121314112131.A A A A M M M M ++++++及 四. (10分) 已知 21311122,20,13225A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦求 X AX B =使.五.(10分) 判定下列向量组的线性相关性, 求出它的一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.()()()()()123451,1,2,4,0,3,1,2,3,0,7,141,2,2,0,2,1,5,10a a a a a =-===-=六.(10分) 用基础解系表示下面方程组的全部解:12341234123422124522x x x x x x x x x x x x a+-+=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩七(16分) 已知A 是n 阶方阵,且满足 220(A A E E +-=是n 阶单位阵). (1) 证明 A E + 和 3A E - 可逆,并求逆矩阵； (2) 证明 2A E +不可逆线性代数复习题1（广工卷）一．填空题(每小题4分, 共24分) 1．144。
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线性代数考试题库及答案第三章 向量一、单项选择题1. 321,,ααα， 21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式m =1321βααα,n =2321ααβα,则行列式)(21321=+ββαααn m a +)( n m b -)( n m c +-)( n m d --)(2. 设A 为n 阶方阵，且0=A ,则（ ）。
成比例中两行（列）对应元素A a )( 线性组合中任意一行为其它行的A )b ( 零中至少有一行元素全为A c )( 线性组合中必有一行为其它行的A )d (3. 设A 为n 阶方阵，n r A r <=)(，则在A 的n 个行向量中（ ）。
个行向量线性无关必有r a )( 个行向量线性无关任意r )b (性无关组个行向量都构成极大线任意r c )(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r )d (4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）n r A r a <=)()(n A b 的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（A c 的伴随矩阵存在）（A d5. n 维向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是( ))(a s ααα,,,21 都不是零向量)(b s ααα,,,21 中任一向量均不能由其它向量线性表示 )(c s ααα,,,21 中任意两个向量都不成比例 )(d s ααα,,,21 中有一个部分组线性无关6. n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( ))(a s ααα,,,21 中至少有一个零向量 s b ααα,,,)(21 中至少有两个向量成比例 s c ααα,,,)(21 中任意两个向量不成比例s d ααα,,,)(21 中至少有一向量可由其它向量线性表示7. n 维向量组)3(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是( )s k k k a ,,,)(21 存在一组不全为零的数使得02211≠++s s k k k ααα s b ααα,,,)(21 中任意两个向量都线性无关s c ααα,,,)(21 中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示 s d ααα,,,)(21 中任一部分组线性无关8. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r ,则( )s a ααα,,,)(21 中至少有一个由r 个向量组成的部分组线性无关 s b ααα,,,)(21 中存在由1+r 个向量组成的部分组线性无关 s c ααα,,,)(21 中由r 个向量组成的部分组都线性无关 s d ααα,,,)(21 中个数小于r 的任意部分组都线性无关9. 设s ααα,,,21 均为n 维向量,那么下列结论正确的是( ))(a 若02211=++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性相关 )(b 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关,则对任意不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211=++s s k k k ααα)(d 若000021=++s ααα ,则s ααα,,,21 线性无关10. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ）14433221,,,)(αααααααα++++a 线性无关 14433221,,,)(αααααααα----b 线性无关 14433221,,,)(αααααααα-+++c 线性无关 14433221,,,)(αααααααα--++d 线性无关11. 若向量β可被向量组s ααα,,,21 线性表示，则（ ）)(a 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(b 存在一组全为零的数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(c 存在一组数s k k k ,,,21 使得s s k k k αααβ ++=2211 )(d 对β的表达式唯一12. 下列说法正确的是（ ）)(a 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(b 若有不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211≠++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关)(c 若s ααα,,,21 线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 )(d 任何1+n 个n 维向量必线性相关13. 设β是向量组T )0,0,1(1=α，T )0,1,0(2=α的线性组合，则β=（ ）T a )0,3,0)(( T b )1,0,2)(( T c )1,0,0)(( T d )1,2,0)((14. 设有向量组()T4,2,1,11-=α，()T2,1,3,02=α，()T 14,7,0,33=α，()T0,2,2,14-=α，()T 10,5,1,25=α，则该向量组的极大线性无关组为（ ）321,,)(αααa 421,,)(αααb 521,,)(αααc 5421,,,)(ααααd15. 设T a a a ),,(321=α，T b b b ),,(321=β，T a a ),(211=α，T b b ),(211=β，下列正确的是（ ）;,,)(11也线性相关线性相关，则若βαβαa 也线性无关；线性无关，则若11,,)(βαβαb 也线性相关；线性相关，则若βαβα,,)(11c 以上都不对)(d二、填空题1. 若T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α线性相关，则t=▁▁▁▁。
2. n 维零向量一定线性▁▁▁▁关。
3. 向量α线性无关的充要条件是▁▁▁▁。
4. 若321,,ααα线性相关，则s ααα,,,21 )3(>s 线性▁▁▁▁关。
5. n 维单位向量组一定线性▁▁▁▁。
6. 设向量组s ααα,,,21 的秩为r,则 s ααα,,,21 中任意r 个▁▁▁▁的向量都是它的极大线性无关组。
7. 设向量T )1,0,1(1=α与T a ),1,1(2=α正交，则=a ▁▁▁▁。
8. 正交向量组一定线性▁▁▁▁。
9. 若向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，则s ααα,,,21 的秩与t βββ,,,21 的秩▁▁▁▁。
10. 若向量组s ααα,,,21 可由向量组t βββ,,,21 线性表示，则),,,(21s r ααα ▁▁▁▁),,,(21t r βββ 。
11. 向量组()Ta 0,0,1,11=α，()Ta 0,1,1,22=α，()Ta 1,1,1,33=α的线性关系是▁▁▁▁。
12. 设n 阶方阵(),,,,21n A ααα =321ααα+=,则=A ▁▁▁▁.13. 设T y )21,,0(1-=α，T x )0,0,(2=α，若βα和是标准正交向量，则x和y 的值▁▁▁▁.14. 两向量线性相关的充要条件是▁▁▁▁.三、计算题1. 设T )1,1,1(1λα+=，T )1,1,1(2λα+=，T )1,1,1(3λα+=，T),,0(2λλβ=，问（1）λ为何值时，β能由321,,ααα唯一地线性表示？（2）λ为何值时，β能由321,,ααα线性表示，但表达式不唯一？ （3）λ为何值时，β不能由321,,ααα线性表示？2. 设T )3,2,0,1(1=α，T )5,3,1,1(2=α，T a )1,2,1,1(3+=α，T a )8,4,2,1(4+=α，T b )5,3,1,1(+=β问：（1）b a ,为何值时，β不能表示为4321,,,αααα的线性组合？ （2）b a ,为何值时，β能唯一地表示为4321,,,αααα的线性组合？3. 求向量组T )4,0,1,1(1-=α，T )6,5,1,2(2=α，T )2,5,2,1(3=α，T )0,2,1,1(4--=α，T )14,7,0,3(5=α的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
4. 设T )1,1,1(1=α，T )3,2,1(2=α，T t ),3,1(3=α，t 为何值时321,,ααα线性相关，t 为何值时321,,ααα线性无关？5. 将向量组T )0,2,1(1=α，T )2,0,1(2-=α，T )2,1,0(3=α标准正交化。
四、证明题1. 设2131222112,3,ααβααβααβ-=-=+=，试证321,,βββ线性相关。
2. 设n ααα,,,21 线性无关，证明13221,,,αααααα+++n 在n 为奇数时线性无关；在n 为偶数时线性相关。
3. 设βααα,,,,21s 线性相关，而s ααα,,,21 线性无关，证明β能由s ααα,,,21 线性表示且表示式唯一。
4. 设321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关，求证4α不能由321,,ααα线性表示。
5. 证明：向量组)2(,,,21≥s s ααα线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。
6. 设向量组s ααα,,,21 中01≠α，并且每一个i α都不能由前1-i 个向量线性表示),,3,2(s i =，求证s ααα,,,21 线性无关。
7. 证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。
8.设s αααα,,,,210 是线性无关向量组，证明向量组s ααααααα+++020100,,,, 也线性无关。
第三章向量参考答案一、 单项选择1.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.b 10.c 11.c 12.d 13.a 14.b 15. a 二、填空题1. 52.相关3. 0≠α4.相关5.无关6.线性无关7. -18.无关 9.相等 10. ≤ 11.线性无关 12. 0 13. 21,1±=±=y x14.对应分量成比例 三、解答题1. 解：设332211αααβx x x ++=则对应方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++2321321321)1()1(0)1(λλλλλx x x x x x x x x其系数行列式)3(1111111112+=+++=λλλλλA（1）当3,0-≠≠λλ时，0≠A ，方程组有唯一解，所以β可由3,21,ααα唯一地线性表示;（2）当0=λ时，方程组的增广阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110111A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→000000000111，31)()(<==A r A r ，方程组有无穷多解，所以β可由3,21,ααα线性表示，但表示式不唯一;（3）当3-=λ时，方程组的增广阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=921131210112A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→18000123303121，)()(A r A r ≠，方程组无解，所以β不能由3,21,ααα线性表示。