有效非线性光学系数
(完整版)非线性光学作业(第4章)答案
第四章1、试求出42m 晶体在o+e e 相位匹配方式下的有效非线性光学系数. 答：对于42m 晶体非零张量元素有：d 14=d 25，d 36 所以[d]=[000d 14000000d 2500000d 36] 所以(d eff )II =[−cosθcosφ−cosθsinφsinθ][d][ −12cosθsin2φ12cosθsin2φ0−sinθcosφsinθsinφcosθcos2φ]=[000−d 14cosθcosφ−d 25cosθsinφd 36sinθ][ −12cosθsin2φ12cosθsin2φ0−sinθcosφsinθsinφcosθcos2φ]=d 14cosθcosφsinθcosφ−d 25cosθsinφsinθsinφ+d 36sinθcosθcos2φ =12(d 14+d 36)sin2θcos2φ2、推导（4.5-7）式.(参量下转换过程中， ω2和ω3光波光子通量随距离z 变化的关系式： 答：能流密度：S ω=2μ0kω|E(ω)|2 光子通量：N ω=S ωℏω=2k|E(ω)|2μ0ℏω2特征长度：l m =[12c 2(ω22ω32k2k 3)−12|χeff (2)|E (ω1,0)]−1将（4.5-5）式带入光子通量N ω中得到N ω2(z)， 并注意到N ω3(0)l M2=2k 3|E(ω3,0)|2μ0ℏω32([12c2(ω22ω32k 2k 3)−12|χeff (2)|E (ω1,0)]−1)2=2ω22μ0ℏk 2c 4|χeff (2)|2|E(ω3,0)|2|E (ω1,0)|2 以及曼利-罗关系：N ω2+N ω3=常数=N ω3(0)得：N ω3(z )=N ω3(0)−N ω2(z)=N ω3(0)1+(Δkl m 2)2−sin 2{[1l m2+(Δk 2)2]12z}1+(Δklm 2)23、简并情况下参量振荡的角度调谐公式推导. 答：简并时：n 1o =n 2o =n o ，ω1=ω2=12ω3=ω 相位匹配条件：12ωn 3e (θ0)=2ωn o新旧震荡之间有如下改变：n 3e (θ0)→n 3e (θ0)+△n 3；n o →n o +△n o ；ω→ω+△ω 新的匹配条件：ω3(n 3e (θ0)+△n 3)=2(ω+△ω)(n o +△n o )，略去△ω△n o 项△ω=ω3△n 3−2ω△n o2n o又因为：△n o =∂n o∂ω|ω△ω；△n 3e (θ0)=∂n 3∂θ|θ0△θ所以：△ω△θ=ðωðθ=ω3∂n 3∂θ|θ02n 0+2ω∂n 0∂ω|ω； 另有公式1(n 3(θ))2=cos 2θ(n o )2+sin 2θ(n e )2⇒∂n 3∂θ|θ0=−n 3e2(θ)2sin2θ[1(n 3e )2−1(n 3o )2]得到：ðωðθ=ω3∂n 3∂θ|θ02n o +2ω∂no ∂ω|ω=ω3−n 3e 2(θ)2sin2θ[1(n 3e )2−1(n 3o )2]2n o +2ω∂n o∂ω|ω4、推导参量振荡器的温度调谐关系（4.6-56）式，并讨论简并情况。
光学材料中的光学非线性效应
光学材料中的光学非线性效应光学非线性效应是指光在介质中传播时，与介质发生相互作用而引起的光学现象。
与线性光学现象不同，光学非线性效应具有非线性响应特性，可以产生各种有趣的光学现象和应用。
在光学材料中，光学非线性效应是一个重要的研究领域，具有广泛的应用前景。
一、光学非线性效应的基本原理光学非线性效应的基本原理是介质中电子和光场之间的相互作用。
在光学材料中，当光场的强度足够强时，光场会对材料中的电子产生作用力，使电子发生位移和加速度变化，从而引起介质的折射率和吸收系数的变化。
这种变化与光场的强度呈非线性关系，即光学非线性效应。
二、光学非线性效应的分类光学非线性效应可以分为三类：光学非线性吸收效应、光学非线性折射效应和光学非线性散射效应。
1. 光学非线性吸收效应是指介质对光的吸收系数随光场强度的变化而发生非线性变化。
这种效应常见于强光照射下的材料，例如光纤、半导体等。
光学非线性吸收效应可以用于光学开关、光学存储和光学限幅等应用。
2. 光学非线性折射效应是指介质的折射率随光场强度的变化而发生非线性变化。
这种效应常见于非线性光学晶体和液晶材料中。
光学非线性折射效应可以用于光学调制器、光学隔离器和光学干涉仪等应用。
3. 光学非线性散射效应是指光在介质中传播时，与介质中的非线性效应相互作用而发生散射现象。
这种效应常见于非线性光纤和非线性光学晶体中。
光学非线性散射效应可以用于光学放大器、光学频率转换和光学混频等应用。
三、光学非线性效应的应用光学非线性效应具有广泛的应用前景，尤其在光通信、光信息处理和光储存等领域。
1. 光通信：光学非线性效应可以用于光纤通信系统中的光学开关和光学调制器，实现光信号的调制和开关控制。
这些器件具有高速、大容量和低能耗的特点，可以提高光通信系统的传输性能。
2. 光信息处理：光学非线性效应可以用于光学逻辑门、光学存储器和光学计算器等光学信息处理器件。
这些器件可以实现光信号的逻辑运算、存储和计算，具有快速、并行和高效的特点。
非线性光学(NonlinearOptics)非线性极化率张量(Nonlinear
• 为了找出 中C3和 为ω的AC电场驱动下电子运动方程的近似解。
acceleration 驱动电场：
电子位移： 且满足：
damping
restoring force
尝试解
二、光学非线性的物理起源
• 此时单位时间内减少的光子数目为
，即净吸收速率。
• 随着光束在介质中的传播，其强度逐渐减小：定义z处的光强为I(z)，dz内光强的变化 为dI ，此时有 。 • 由于光束强度定义为单位时间在单位面积上通过的能量（W m-2），有 ，即 。
• 进一步得到
。
二、光学非线性的物理起源
Resonant nonlinearities 共振非线性
Non-resonant nonlinearities 非共振非线性
• 进一步得到
。 • 此时在频率2ω处的偏振为 • 另外在频率2ω处的偏振由频率为ω的驱动电场转换而来，可得到 。
。
• 由上面三式，最终得到
的非简谐项C3成正比。 Miller’s Rule
，即二阶非线性极化率与运动方程中
•当ω趋近于ω0时，
三、二阶非线性
晶体对称性效应 • 比如，中心对称晶体 (centrosymmetric)具有反转对称性，在施加单一电场 时，非线 性偏振 况不变。 的分量可表示为 ，即电场方向反转时情
• 另外，由晶体的反转对称性，在场方向不变而反转晶体时，所有的物理过程相同。
在晶体的坐标轴变化下，所有的 和 的分量变化符号，从而得到
• 在光波的AC电场驱动下，电子在正周期的位移要小于负周期的位移。
非线性光学理论及应用
非线性光学理论及应用光学是研究光线的传播、反射、折射和干涉等现象的科学。
而非线性光学则是在介质中，当光强足够强时，光可以与介质的原子或分子发生相互作用，使光的传播和性质发生非线性变化的现象。
非线性光学理论的建立和发展，为我们认识和研究光的本质提供了新的途径和工具。
一、非线性光学的基本理论非线性光学是在麦克斯韦方程组的基础上进行研究的。
（1）非线性极化非线性光学的基本性质是介质的非线性极化，即介质在高光强下的电介质常数不再是一定的常数，而是与电场强度的高次幂相关的非线性函数。
假设光由强度为E的电场驱动，在非线性介质中传播，描述光束传播的方程为非线性波动方程：▽^2E-1/c^2∂^2E/∂t^2=(4π/c^2)∂^2PNL/∂t^2其中，PNL表示非线性极化，并可表达为PNL=χ(2)EE+χ(3)EEE+χ(4)EEEE+...其中，χ(n)为非线性极化系数，其中n表示相应于n次光强的非线性极化。
当光强小，电介质常数不再是非线性函数，介质具有线性特性。
（2）非线性效应非线性光学效应包括三个方面：非线性极化、非线性色散和自相位调制。
非线性极化是非线性光学效应的主要表现形式，包括二次和三次非线性极化。
其中二次非线性极化是倍频和混频实现的基础，三次非线性极化是各种非线性光学效应的基础，包括自相位调制、和谐共振等。
（3）非线性光学效应的数学描述非线性光学效应的数学描述可以通过复数形式进行分析，即将电场分为实部和虚部，每个信号都可以表示为一个频率ω和一个空间轴的函数，即E=E0exp(iωt-ikz)其中，E0为振幅，ω为角频率，k为波矢量，z为传播距离。
振幅E0可以分为实部和虚部表示：E0=Aexp(iΦ)其中，A和Φ分别是幅度和相位，可以看作是非线性光学效应的输出信号。
二、非线性光学的应用非线性光学应用广泛，包括在光通信、光储存、光信息处理、光测量等领域。
下面介绍一些典型的应用。
（1）倍频和混频倍频是通过二次非线性极化实现的，原理是将一个频率为ω的激光束通过非线性晶体，将其升频到2ω，可以被应用于全固态激光器。
激光用非线性光学晶体元件性能测量方法-最新国标
激光用非线性光学晶体元件性能测量方法1 范围本文件规定了非线性光学晶体元件低温相偏硼酸钡（β-BaB2O4，简称BBO）、三硼酸锂（LiB3O5，简称LBO）、磷酸二氢钾（KH2PO4，简称KDP）、磷酸钛氧钾（KTiOPO4，简称KTP）、铌酸锂（LiNbO3，简称LN）、硫镓银（AgGaS2，简称AGS）、碘酸钾（KIO3）的质量测试方法。
本文件适用于BBO、LBO、KDP、KTP、LN、AGS和KIO3晶体元件。
能满足本文件要求的其它非线性光学晶体元件也可参照使用。
2 规范性引用文件下列文件中的内容通过文中的规范性引用而构成本文件必不可少的条款。
其中，注日期的引用文件，仅该日期对应的版本适用于本文件；不注日期的引用文件，其最新版本（包括所有的修改单）适用于本文件。
GB/T 11297.1 激光棒波前畸变的测量方法GB/T 16601.4 激光器和激光相关设备激光损伤阈值测试方法第4部分：检查、探测和测量3 主要测试项目物理性能散射、光学不均匀性、特定波长吸收、紫外截止波长、I类相位匹配波长、有效非线性光学系数、倍频转换效率、弱吸收系数、双折射率、激光损伤阈值、减反膜剩余反射率、波前畸变。
加工质量尺寸公差、角度偏差、平行度、平面度、垂直度、有效通光孔径、膜层牢固度、膜层的抗高湿性能、膜层的抗温度冲击、粗糙度、崩边、崩口及崩裂、倒角、表面疵病。
4 测试的环境要求洁净等级：10000级温度：（23±2）℃湿度：（55±5）%5 测试方法散射5.1.1 测试原理利用单晶元件内部的包络、气泡等缺陷对激光束的散射作用，观测单晶元件内部质量。
当激光通过元件的光路被散射变粗或出现发散光，表明元件存在包络、气泡等缺陷。
5.1.2 测试条件样品：单晶元件的激光入射面、出射面及观测面抛光。
环境：在暗室内测量。
5.1.3 测试仪器He-Ne激光器（波长632.8nm，功率40mW～50mW，光斑直径大于等于2mm），三维调节平台，带标尺的50倍显微镜。
非线性光学和拉曼效应
非线性光学和拉曼效应非线性光学和拉曼效应是光学领域中的重要研究课题，涉及到光与物质相互作用的非线性现象和物质结构的研究。
本文将从理论原理、实验方法和应用领域三个方面对非线性光学和拉曼效应进行探讨。
一、非线性光学的理论原理非线性光学是指在光与物质相互作用时，光的传播性质不再服从线性关系的光学现象。
在弱光条件下，光在物质中的传播可以近似看作线性过程，但当光强度增加时，光与物质之间的相互作用将引发非线性效应。
非线性光学的理论基础是麦克斯韦方程和非线性极化理论。
通过非线性极化理论，可以描述非线性介质在强光作用下的光学响应。
非线性极化过程涉及到电场的高阶项，包括二阶、三阶或更高阶的非线性极化。
这些非线性极化项在光传播中引起了光与物质之间相互耦合的新效应，如自聚焦、自调制、和二次谐波产生等。
二、非线性光学的实验方法在实验研究中，常用的非线性光学技术包括光学非线性系数测量、非线性光谱分析和相位共轭等。
光学非线性系数的测量可以通过光束自聚焦测量、自相位调制和自转折实验等方法来进行。
这些方法基于非线性极化效应，在不同的实验条件下综合考虑光功率、波长和样品性质等因素，可以定量地得到非线性光学系数。
非线性光谱分析是研究非线性光学材料的重要手段之一，包括二次谐波产生、差频产生、和和频产生等过程。
通过对非线性光谱的测量和分析，可以揭示材料的非线性光学性质和结构信息。
相位共轭是一种通过非线性光学效应实现的光学成像技术。
它利用非线性介质的反常色散和光学响应特性，通过波前共轭原理来抵消传输光束中的扭曲和散射，实现高分辨率成像。
三、拉曼效应的基本原理拉曼效应是光的散射过程中的非弹性散射现象，其原理可由量子力学解释。
当光与物质相互作用时，光子与物质的振动模式发生相互作用，产生散射光，其频率与物质的振动频率相关。
拉曼效应包括斯托克斯拉曼散射和反斯托克斯拉曼散射两种。
斯托克斯拉曼散射是指散射光的频率比入射光的频率低，而反斯托克斯拉曼散射则是指散射光的频率比入射光的频率高。
06 第四章 二阶非线性光学效应
1 2
3 2
在具有反演对称性的晶体中，二次谐波产生在电偶极 矩近似下是禁止的，而三次谐波产生总是允许的。在 可忽略泵浦场损耗的范围内，三次谐波产生的理论也 与和频理论类似。在实验上，可用两块非线性晶体串 连起来构成一个有效的三次谐波发生器。
1 2 3
k k1 k 2 k 3
曼利－罗（M-R）关系：
dS1
1
dS2
2
dS
dS3
3
N
dN1 dN2 dN3
光子流密度
1 N 2 N 3 N C
1 2 3
3. 和频的产生
和频产生：频率为 1和 2 的激光束在非线性晶体 中相互作用，产生非线性极化强度 P ( 2) ( 3 1 2。 ) 该极化强度是振动偶极矩的集合，起着频率为 3的 辐射源的作用。为了使能量有效地从频率 1 和 2的 泵浦波转移到频率为 3 的生成波，在和频产生中 必须满足能量和动量守恒，即：
( 2) ( 2) 0 ( 2 (,0) E0 ) E 0 ( ) eff E
(1) ( 2) 2 (,0) E0
1. 折射率椭球几何法
E0 0 E0 0
x2 y2 z 2 2 2 1 2 nx n y nz
一、小信号近似理论处理
二、大信号理论处理
dE (1 , z ) i12 ( 2 ) * ikz E ( , z ) E ( , z ) e eff 2 3 dz k1c 2
2 dE (2 , z ) i2 ( 2) * ikz E ( , z ) E ( , z ) e eff 1 3 dz k2c 2
硼酸铋
硼酸铋(BIBO)
硼酸铋（BIBO）是一种新开发的非线性光学晶体。
它具有较大的有效非线性光学系数，高损伤阈值及不易潮解等特性。
其非线性光学系数大概是LBO的3.5~4倍，BBO的1.5~2倍，是一种可用来产生蓝光的优良倍频晶体。
福晶公司所提供的BIBO单晶是由顶部籽晶法生长的。
福晶公司可快捷地提供各种尺寸的高品质BIBO晶体（最大尺寸可达到10X10X15 mm3）。
表一. BIBO的化学和结构特性：
表二. 线性和非线性光学特性:
BIBO晶体的品质保证规范
波前畸变:小于λ/8 @ 633nm
尺寸公差：(W±0.1mm)x(H±0.1mm)x(L±0.5mm/-0.1mm) (L≥2.5mm)
(W±0.1mm)x(H±0.1mm)x(L±0.1mm/-0.1mm) (L<2.5mm) 通光孔径: 大于90% 中央直径
光洁度:10/5 to MIL-PRF-13830AB
平行度: 小于20 arc seconds
垂直度: 5 arc minutes
角度偏差: △θ≤±0.25°,△φ≤±0.25°
品质保证期: 一年内正常使用。
损伤阈值[GW/cm2 ]: >0.3 for 1064nm, TEM00, 10ns, 10HZ
关键词：。
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§2.4 有效非线性光学系数
由上节的讨论可以看到，为了高效率率地产生二次谐波，除了采用具有高非线性介质外，还应满足相位匹配条件。
在实际工作中，人们引入了有效非线性系数
eff d 的概念，并指出，为了有效地产生二次谐波，希望eff d 愈大愈好。
2.4.1 有效非线性极化率
在求解三波混频的耦合波方程时，引入了有效非线性极化率()
2
eff χ。
例如
()
()()
()()()
()
()()()()
223312122
312312;,;,eff
a a a a a a μαβμαβμαβ
χωχωωωωωχωωωωωω=⋅-:=-∑ (2.4.1-1)
有效非线性极化率除表征介质的非线性特性外，还与混频光场的偏振方向有
关。
有效非线性极化率实际上表示了频率为1ω和2ω的两个单位光电场，通过二阶极化率张量()
()2312;,χ
ωωω-产生频率为3ω的非线性极化强度在()3a ω
方向上的
投影。
耦合波方程的解与有效非线性极化率有关，而不与非线性极化率张量中每个元素单独发生关系。
从物理上来看这是很显然的，因为所产生的非线性极化强
度中只有与()3a ω 方向一致的分量才与()3a ω
偏振方向的入射光波发生耦合，而
与()3a ω 偏振方向垂直的分量与()3a ω
偏振方向的入射光波不发生耦合。
用耦合波方程解释 ： ()()()()323333i k
z
E z i a P z e z n c ωω-∂=⋅∂ (2.4.1-2) 2.4.2 几种非线性匹配方式：
为在晶体中达到相位匹配，参与非线性相互作用的三个光波应取特定的偏振
方向。
在晶体坐标系中的示意图：
o偏振光的单位矢量矩阵为：
sin
cos
o
a
φ
φ
⎛⎫
⎪
=- ⎪
⎪
⎝⎭
，e偏振光的单位矢量矩阵为：
k
z 光轴
o光
e光
非线性晶体
图 1 实验室坐标系中非线性晶体中光轴、波矢及光场偏振方向示意图图 2 晶体坐标系中波矢、o光和e光偏振方向方位取向图
cos cos cos sin sin e a θφθφθ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
2.4.3 有效非线性光学系数计算
在非线性光学中，除了采用非线性极化率张量()
2χ
描述非线性作用外，习惯上，
特别对实验工作者采用非线性光学系数d 描述非线性相互作用。
d 与()
2χ 有如下关系。
()()()21212,,d μαβμαβχωωωω= (2.4.3-1) ()()()2,2,d μαβμαβχωωωω= (2.4.3-2)
用d
代替三波混频中的()2χ同样可得到有效非线性光学系数（倍频系数）。
()()()211'e f f d a d a a ωωω=⋅:
(2.4.3-3)
由本征对易对称性()()2;,2;,d d μεβμβαωωωωωω-=- 设定：1,2,3μ=
()()()()1
2
3
4
5
6
xx
yy zz yz zy zx xz xy yx l αββα==
二阶极化率张量元由三个脚标简化为两个脚标()
2
l μχ
用二次谐波非线性光学系数()2;,l d μωωω-表示，其张量形式为：
111213141516212223242526313233343536d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ (2.4.3-4)
在完全克莱曼对称近似下，d
张量中18个元素减少到10个。
1226d d = 3224d d = 362514d d d == 3115d d = 3423d d = 3513d d =等
111213141516162223241412152433231314d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
(2.4.3-5)
例如42m 类晶体KDP
在空间对称作用下，独立元素会进一步减少。
有效非线性系数用eff d 用矩阵运算表示：
()()()
'
211'11'
111112131415
16'112222122232425
26''
11113132333435
36''1111''11112eff
x x y y z z x y
z y z z y z x x z
x y y x d a d a a a a a a d d d d d d a a a a a d d d d d d a a a a d d d d d d a a a a a a a a ωωω=⋅:⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫
⎪ ⎪⎡⎤= ⎪⎣⎦ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
+ ⎪ ⎪+⎝⎭
(2.4.3-6)
42m 类晶体四种相互作用方式的有效非线性光学系数eff d 计算如下：
(1) 42m 类晶体1类匹配()o o e →作用方式：
()221112131415162122232425
263132333435
36sin cos 0cos cos cos sin sin 00sin 2eff
d d d d d d d d d d d d d d d d d d d φφθφθφθφ⎛⎫ ⎪
⎪⎛⎫ ⎪
⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
(2.4.3-7)
()()221414363636sin cos 000000cos cos cos sin sin 000000000000sin 20cos cos cos sin sin 0sin 2sin sin 2eff
d d d d d d φφθφθφθφθφθφθφθφ
⎛⎫ ⎪
⎪⎛⎫ ⎪
⎪=-- ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
⎛⎫ ⎪
=-- ⎪
⎪-⎝⎭
=- (2.4.3-8)
(2) 42m 类晶体II 类匹配()e o e →
()()1414361414361cos sin 221cos sin 2000002cos cos cos sin sin 00000000000sin cos sin sin cos cos 2sin cos cos cos cos sin sin sin sin cos cos 2eff
d d d d d d d θφθφθφθφθθφθφθφθφθφθφθθφθφ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
-⎛⎫ =-- ⎝⎭1436143611
sin 2cos 2sin 2cos 2221
()sin 2cos 22d d d d θφθφθφ⎪
⎪
⎪=
+=+ (2.4.3-9)
克莱曼对称下，1436d d =，14sin 2cos2eff d d θφ= (3) 42m 类晶体I 类匹配()e e o → 作用方式
()()2222142143621414236214cos cos sin sin 00000sin sin cos 000000sin 2sin 00000
sin 2cos cos sin 2sin 2sin sin cos 0sin 2cos cos sin 2sin 2sin eff d d d d d d d d θφθφθφ
φ
θφθφθφθφφφθφθφθφ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪
⎪=- ⎪
⎪- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
-⎛⎫
⎪
=-- ⎪
⎪⎝⎭
=-+21414sin 2cos sin 2cos 2d d θφθφ
= (2.4.3-10) (4) 42m 类晶体II 类匹配()o e o → 作用方式：
()()1414361414361411cos sin 221cos sin 2000002sin cos 000000000000sin cos sin sin cos cos 2sin cos sin cos 0sin sin cos cos 211
sin sin 222eff
d d d d d d d d d θφθφφφθφθφθφθφφφθφθφθφ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪- ⎪
⎪
⎪⎝⎭
-⎛⎫ ⎪
=- ⎪
⎪⎝⎭
=--414sin sin 2sin sin 2d θφθφ
=- (2.4.3-12) 42m 类晶体四种相互作用和有无克莱曼对称下的有效非线性光学系数
表2 42m 类晶体的有效非线性系数
可见在Kleinman 对称近似下，无论正轴负轴晶体， 还是I 类匹配或II 类匹配，有下列关系成立：
()()()()
eff eff eff eff d o o e d o e o d e e o d o e e +→=+→+→=+→ (2.4.3-13)
上面两式也可由Kleinman 对称性和极化率张量的完全对易对称性证明。