静定梁内力图
静定梁的内力
静定梁的内力8.1 弯曲变形的概述弯曲是工程和生活实际中最常见的一种基本变形。
杆件由于受到某种作用,其轴线由直线变成曲线,这种变形称为弯曲。
以弯曲为主要变形的杆件在工程中称为梁。
梁是在工程中应用非常广泛的一种构件。
如阳台挑梁(图8.1)、桥式吊车梁(图8.2)、火车轮轴(图8.3),以及水利工程中的闸门立柱(图8.4)等。
图8.1图8.2图8.3图8.4工程中常见的梁,其横截面通常采用对称形状,如矩形、圆形、工字形及T形等,按照其截面形状可以相应地将其称为矩形截面梁、圆形截面梁以及工字形截面梁等。
建筑工程中以矩形截面梁最为常见,而在钢结构中以工字形截面梁较为常见。
在预制钢筋混凝土构件中存在T形截面梁;现浇钢筋混凝土结构中的矩形截面梁当考虑现浇板作为其翼缘时,在计算模式上也可称为T形截面梁。
上述各种截面的梁其横截面都具有一个竖向对称轴y(图8.5)。
该竖向对称轴与梁轴线所构成的平面称为纵向对称面(图8.6)。
图8.5图8.6具有纵向对称平面的梁,若其所受外力(荷载和支座反力)全部位于纵向对称平面内,则梁弯曲过程中轴线将始终保持在该纵向对称面内,这种弯曲称为平面弯曲。
本章只讨论平面弯曲梁。
梁的分类方式是多种多样的。
按照梁的轴线形状可以分为直梁和曲梁;按照梁的轴线与水平线的关系可以分为平梁和斜梁;按照梁的跨数可以分为单跨梁和多跨梁。
按照梁所在的几何不变体系是否有多余约束又可分为超静定梁和静定梁。
本章主要讨论单跨以及多跨平直静定梁在发生平面弯曲时其横截面上的内力。
8.2 单跨静定梁的内力计算1)剪力和弯矩内力与梁的强度、刚度等有着密切的关系。
内力可以随外力的增加而增大,内力越大,梁的变形也越大,当内力超过一定限度时,梁就会发生破坏。
讨论梁的强度、刚度问题,必须先求出梁的内力。
建筑力学通常研究的是梁横截面上的内力。
梁的内力与外力相关,要计算内力必须先统计梁上承受的外力作用。
统计出梁上的外力后,梁横截面上的内力可用截面法求得。
梁的内力图
作图示梁的内力图：梁：由支座支承，承受的外力以横向力和剪力为主，以弯曲为主要变形的构件称为梁。
1、从功能上分，有结构梁，如基础地梁、框架梁等；与柱、承重墙等竖向构件共同构成空间结构体系，有构造梁，如圈梁、过梁、连系梁等，起到抗裂、抗震、稳定等构造性作用。
2、梁按照结构工程属性可分为：框架梁、剪力墙支承的框架梁、内框架梁、梁、砌体墙梁、砌体过梁、剪力墙连梁、剪力墙暗梁、剪力墙边框梁。
3、从施工工艺分，有现浇梁、预制梁等。
地梁4、从材料上分，工程中常用的有型钢梁、钢筋混凝土梁、木梁、钢包砼梁等。
5、梁依据截面形式，可分为：矩形截面梁、T形截面梁、十字形截面梁、工字形截面梁、匚形截面梁、囗形截面梁、不规则截面梁。
6、从受力状态分，可分为静定梁和超静定梁。
静定梁是指几何不变，且无多余约束的梁。
超静定梁是指几何不变，且有多余约束的梁。
7、梁按照其在房屋的不同部位，可分为：屋面梁、楼面梁、地下框架梁、基础梁。
所以梁很复杂。
部分梁定义：1.地梁（DL）：地梁也叫基础梁、地基梁，简单地说就是基础上的梁。
一般用于框架结构和框-剪结构中，框架柱落在地梁或地梁的交叉处。
其主要作用是支撑上部结构，并将上部结构的荷载转递到地基上。
2.框架梁（KL）：框架梁是指两端与框架柱相连的梁，或者两端与剪力墙相连但跨高比不小于5的梁。
框架梁可以分为：a、屋面框架梁（WKL）：屋面框架梁指的是框架结构屋面最高处的框架梁；b、楼层框架梁（KL）：楼层框架梁指的是各楼面的框架梁；c、地下框架梁（DKL）：地下框架梁指设置在基础顶面以上且低于建筑标高正负零(室内地面)以下并以框架柱为支座，不受地基反力作用，或者地基反力仅仅是地下梁及其覆土的自重产生，不是由上部荷载的作用所产生，这样的地下梁，称为地下框架梁。
3.圈梁（QL）：圈梁是沿建筑物外墙四周及部分内横墙设置的连续封闭的梁。
其目的是为了增强建筑的整体刚度及墙身的稳定性。
在房屋的基础上部的连续的钢筋混凝土梁叫基础圈梁，也叫地圈梁；而在墙体上部，紧挨楼板的钢筋混凝土梁叫上圈梁。
第6章-梁的内力PPT课件
（3）计算截面C稍右处的剪力FsR、弯矩MCR。
M C
MCR
A
l/2
FA
Fy 0
FsR
ql FsRFA2 0
MCF0
解之得：
FsR
ql 4
M CR MFA2 lq 2 l4 l0
精选PPT课M件CR 0
14
建筑力学
❖ 计算剪力和弯矩的规律
(1) 梁内任一截面上的剪力，其大小等于该截面左侧(或右侧) 梁上所有外力的代数和；梁内任一截面的弯矩，其大小等 于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力对于该截面形心之矩的
★ 由平衡方程 F得y ，0
F s x F s x d s x F q x d 0 x
dFsx qx
dx
（9-1）
几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载
集度的大小。
精选PPT课件
23
建筑力学
★ 由平衡方程 MC 得，0
M x dx M M x F sx d q x x d d 2 x 0 x
(3)列出各段的剪力方程和弯矩方程：各段列剪力方程和弯矩方程时， 所取的坐标原点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一 致。
(4) 画剪力图和弯矩图：先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或 弯矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或弯矩方 程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然后描点并画出整个 全梁的剪力图(或弯矩图)
解之得： Fs 4kN 精选PPTM 课件144 kNm
12
[例]
简支梁受均布荷载q和集中力偶M=ql2/4的作用，如图所示。求截面C 的剪力和弯矩。
M
q
梁的内力分析
FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算： （1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所 有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负） 以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生 正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则 向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负） 以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩， 反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生 正弯矩，反之为负。
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受 力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。
静定结构的内力计算图文
30 30
4m
4m
4m
4m
12kN
12kN 12kN
M 图（kN·m）
9kN
9kN
2kN/m
7kN
5kN
9kN
4.5kN
7.5kN
39
第40页/共76页
作业
习题3-5、3-6、3-9 习题3-10、3-12
40
第41页/共76页
§3-3 三铰拱
41
第42页/共76页
一、 概述
1、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
AC段受力图：
q
MC
t
C
FNC
FQC
n
x
FAY
FAYSinα
（2）求内力方程：
MC = 0 Ft = 0 Fn= 0
M = 1 qlx 1 qx2 (0 x l) 22
FN
=
q(1 l 2
x) sin
(0 x l)
FQ
=
q(1 2
l
x) cos
(0 x l)
FAYcosα
FAY
M中 =162 / 8 6.23/ 2 =1.385kN.m(下拉)
弯矩图见下图。
1kN/m
6.23 D
C 1.385
6.23 E
1.385kN A
4.5kN
M 图(kN.m)
B 1.385kN
1. 5kN
38
第39页/共76页
例：主从刚架弯矩图。
12kN
2kN/m
36 36
6m
12 42 30
F
F
曲梁
拱
f / l : 高跨比（1～1/10）
4.4.5 用区段叠加法作静定梁的内力图解析
【例 9.11】简支梁受荷载P和q作用如图9.22(a)所示。试用叠加法画梁的弯矩
【解】将作用在梁上的荷载分为P与q两组。 先分别画出P、q单独作用下的弯矩图，如图9.22(b)、(c)所示。然后将这
两个弯矩图的相应纵坐标叠加起来，如图9.22(a)所示，就是简支梁在集中荷 载P和均布荷载q
【例 9.12】外伸梁受荷载作用如图9.23(a)所示，试用叠加法画梁的弯矩图。
用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出MA 和MB。
区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下：
▲ 首先把杆件分成若干段，求出分段点上的弯矩 值，按比例标在杆件相应的点上，然后每两点间 连以直线。
▲ 如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是 杆件的弯矩图。如果分段杆件的中间还有荷载作用， 那么在直线上还要叠加上荷载单独在相应简支梁上 产生的弯矩图形。
4.4.5 用区段叠加法作 梁的弯矩图
学习目标：学会用叠加法作内力图
叠加法画弯矩图
根据叠加原理来绘制内力图的方法称为叠加法。 用叠加法画弯矩图，绘图时先把作用在梁上的 复杂的荷载分成几组简单的荷载，分别作出各简单 荷载单独作用下的弯矩图，然后将它们相应的纵坐 标叠加，就得到梁在复杂荷载作用下的弯矩图。例 如图9.21(a)、(b)、(c)所示。 用叠加法画弯矩图时，一般先画直线形的弯矩 图，再叠画上曲线形的弯矩图。
图9.23
二、用区段叠加法画弯矩图
对图示简支梁把其 中的AB段取出，其隔 离体如图所示：
把AB隔离体与相 应的简支梁作一对 比：
Fp
q
A
L
q
MA
A
FQAB
q MA
显然两者是完全
A
相同的。
MA
A
结构力学第3章静定梁的内力计算
精品课件
简支梁在两支座端有外力偶作 用时，梁两端截面有等于该端 力偶的弯矩，无外力偶在端部 作用时端部截面的弯矩为零。 所以简支梁两端支座处的弯矩 值竖标可直接绘出。
精品课件
注意：
❖ 图的叠加是弯矩竖标的叠加，而 不是图形的简单叠加。 ❖ 每叠加一个弯矩图，都以紧前一 次弯矩图外包线为新基线，并由此 基线为所叠加的弯矩图的拉压分界 线。见图3-1-6。
精品课件
❖ 又由于区段AB两端的轴力在 弯曲小变形的假设下对弯矩不 产生影响
❖ 所以从弯矩图的角度说， (a)右、(b)右两受力图是相 同的。
精品课件
区段AB的弯矩图可以利用与简支 梁相同的叠加法制作。其步骤相 类似：
➢ 求出直杆区段两端的弯矩值， 在杆轴原始基线相应位置上画出 竖标，并将两端弯矩竖标连直线。
1)求支座反力
去掉支座约束，以整体为隔离 体，由静力平衡条件得
MB 0
MA 0
精品课件
F A y 7 1(1 4 4376)3k0N m(↑)
F B y7 1(1 44471)3k3N m (↑)
FAx=0 FAy=30kN
q=14kN/m
精品课件
(a) FBy=33kN
2)计算控制截面弯矩值
取D截面以左（下侧受拉）
精品课件
➢ 在新的基线上叠加相应简支 梁与区段相同荷载的弯矩图。 （相应简支梁，指与所考虑区段 等长且其上荷载也相同的，相应
于该区段的简支梁）
上述方法即为直杆区段弯矩图的 叠加法。
精品课件
例3-1-3 计算图示简支梁，并作 弯矩图和剪力图。
q=14kN/m
1m 1m
静定梁和刚架内力分析
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M
(-)
(c)
x
2.作剪力图和弯矩图：
由剪力方程可知，当 0 <x <l，时（即 AB 段上），剪力为 常数，因此剪力图为一条水平的直线；由弯矩方程可知，AB 梁段上沿着轴线方向弯矩呈线性变化，因此，弯矩图为一条斜 直线，只需求出两个端截面上
F A FQ x m m l
在列平衡方程求解内力时，需事先确定截面内力的方向， 而此时截面内力为未知力，因此，一般假定截面内力沿其正向 作用，则计算得到的正负号就是该截面内力的正负号。 另外，在利用截面法求解前，通常先确定支座反力，因支 座反力并无正负规定，在求支反力前可任意假设正方向。
若结果为正，则表示支反力实际方向与假设方向相同；
上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。
其中外力对横截面形心之矩正负号选取规律为： （1）力——不论横截面左侧还是右侧，只要向上就取正，
反之取负；
（2）力偶——横截面左侧顺时针或右侧逆时针取正，反之 取负。 利用上述结论，可以不画分离体的受力图、不列平衡方 程，直接得出横截面的剪力和弯矩。这种方法称为直接法。 直接法将在以后求指定截面内力中被广泛使用。
2
求梁指定截面上的内力的方法： 剪力：梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧梁段 上所有外力在平行于截面方向投影的代数和。 其中外力正负号选取规律为： 横截面左侧梁段上向上的外力取正，横截面右侧梁段上
向下的外力取正；反之取负。
简记为左上右下取正，反之取负。
弯矩：梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧梁段
若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即 上部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。 此规律可简化记为“下凸弯矩正”或“左顺，右逆弯矩 正” ，相反为负。
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(下拉）
注意：外力矩的正负是为了区分它的两种不同的转向。
§3.2 内力图形状特征
• 内力图的形状特征
⑴在自由端、铰结点、铰支座处的截面上无集中力 偶作用时，该截面弯矩等于零（如图1-(a)C右截面、 图1-(b)A截面），有集中力偶作用时，该截面弯矩 等于这个集中力偶，受拉侧可由力偶的转向直接确 定（如图1-(a)C左截面和D截面）。
§3.4 多跨静定梁
• 1、从几何构造看，多跨静定梁由基本部分及 附属部分组成。
• 将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力 的称为基本部分, 不能独立平衡其上外力的称 为附属部分。附属部分是支承在基本部分的。
• 图示多跨静定梁中ABC，DEFG是基本部 分， CD，GH是附属部分。其层次图如图所
•
⑵在刚结点上，不仅要满足力的投影平衡，各杆
端弯矩还要满力矩平衡条件∑M=0。尤其是两杆相 交刚结点上无外力偶作用时，两杆端弯矩等值，同 侧受拉（如图1-(a)结点B、图1-(b)结点B）。
⑶定向支座、定向连接处Q=0，Q=0段M图平行 轴线（如图1-(a)AB杆端、图1-(b)BC、CD段）。
⑷内力图与荷载的对应关系见表3-1。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
QA°
MB
QB
NB
MB
QB°
MB
• 首先求出两杆端弯矩，连一虚线， •然后以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间荷 载作用下的弯矩图。
例题 2
叠加法举列
ql
q
A
B
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F
E
ql
1 ql2 2
ql2/2
ql²/8
ql
l/2
l/2
l
的几何组成特点和受力特点。
学习内容
梁的反力计算和截面内力计算的截面法和直接法； 内力图的形状特征；
叠加法，多跨静定梁的几何组成特点和受力特点； 静定梁的弯矩图和剪力图绘制。
§3.1 截面内力计算
• 1、平面杆件的截面内力分量及正负规定：
轴力N (normal force) 截面上应力沿轴线切向的合力以拉力为正。 剪力Q (shearing force)截面上应力沿轴线法向的合力 以绕隔离体
2、受力特点：由构造层次图可得到多跨静定梁的 受力特点为：力作用在基本部 分时附属部分不受 力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都 受力。
3、计算步骤：多跨静定梁可由平衡条件求出全 部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算 附属部分，再算基本部分。
例题 3
多跨静定梁举例
多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。 多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。
M图 ql
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/4
ql2/8
10kN/m ↓↓↓↓↓↓↓
2m
60kN.m
2m
2m
55 30
20 30 5 m/2 m
m/2
15kN 2m
30 M 图 (kN.m)
8kN
4kN/m
16kN.m
A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
G
BC
E
F
1m 1m
2m
RA=17kN
2m
1m 1m
RB=7kN
26
28
30
4
M图（kN.m） 8
4
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
8
7 23
8 8
注意： ①弯矩图叠加是竖标相加，不是图形的拼合； ②要熟练地掌握简支梁在跨中荷载作用下的弯矩 图； ③利用叠加法可以少求或不求反力，就可绘制弯 矩图； ④利用叠加法可以少求控制截面的弯矩； ⑤问题越复杂外力越多，叠加法的优越性越突出。
M2＝ 50×5 －125 －141×0.707×5
＝－375kN.m
+
所以：M2＝375kN.m （左拉） N1=141×0.707=100kN
45° 141kN
125kN.m 5m
5m
Q1= 50 +5×5 －141×0.707 =－25kN (取外力矩逆时针转向为正方向)
M1=125 +141×0.707×10 －50×5 －5/2×5²=812.5kNm
弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩 之和。弯矩及外 力矩产生相同的受拉边。
例题 1
截面计算举列
求截面1、截面2的内力
5kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
N2=50－141×cos45o =－50kN Q2= －141×sin45°＝－100kN (取外力矩顺时针转向为正方向)
1 2
50kN
§3.3 叠加法绘弯矩图
• 首先求出两杆端弯矩，连一虚线，然后 以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间 荷载作用下的弯矩图。
MA
1、简支梁情况
弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合 MA
M(x)=M′(x)+M °(x)
MA
竖标M°M、M′都垂直杆
轴AB，而不是垂直虚线
AB。
q
MB
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
q
qa
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
a
a
a
2a
qa
a
a
a
qa
2qa qa
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa/2
qa/2
qa/2
-3qa/4
9qa/↓
a
a
2qa
qa ＋ qa －
M′
＋
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M°
MB
MB
M′
MA
M M°
MB
2、直杆段情况
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
直杆、小变形情况 下，轴力对弯矩无 影响。
图 c 中的简支梁
MA
NA
(b)
QA
MA
与图 b 中的杆段受力 (c)
相同。因此，结构中
的任意直杆段都可以
采用叠加法作弯矩图， MA 作法如下：
顺时针转为正。 弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的力矩。不规
定正负，但弯矩图画在拉侧。
2、截面内力计算的基本方法是截面法，也可直接 由截面一边的外力求出内力。内力的直接算式为：
轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和 。
剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和 ，如外力绕截面 形心顺时针转动，投影取正否则 取负。
第三章 静定梁内力图
• 学习目的和要求
• 不少静定结构直接用于工程实际，另外，它 还是静定结构的计算基础。所以静定结构的内 力计算是十分重要的，是结构力学的重点内容 之一。通过本章学习要求达到：
1. 熟练掌握截面内力计算和内力图的形状特征。 2. 熟练掌握截绘制弯矩图的叠加法。 3. 熟练掌握截静定梁内力图的绘制和多跨静定梁