第二章内力与内力图
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第二章内力与内力图详解
例：如左图，求n-n面的内力。 左半部分
Fx 0
FN FP
右半部分：
Fx 0 FN FP
左右两部分的力方向相反，但是同一内力， 因此规定内力由变形确定正负号，是标量。
§2-1 横截面上内力与内力分量
P2
P1
m
P4
P1
P2
m
P3 P2
P3
m P5
(a)
P1
y FR
m
M
C x
zm
(c)
P3
m
(b)
第二章 内力与内力图
§2-1 横截面上内力与内力分量 §2-2 轴向拉压杆的内力与内力图 §2-3 扭转圆轴的内力与内力图 §2-4 平面弯曲梁的内力与内力图 §2-5 平面刚架和曲杆的内力图
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤
❖ 将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分； ❖ 画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力； ❖ 由静平衡条件确定内力大小。
传动轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶
MA
9549
PA n
9549 36 300
1146N.m
M B MC 350N.m；M D 446N.m
2)由外力偶分段，用截面法分别求每段
轴的扭矩即为1-，由
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m
B
C
A
350
700
446 x
D
扭矩图例2
10kN 30kN.m 20kN.m
A
2m B
10kN.m
D C
M x (kN.m)
10
A
B
20
C
第二章 杆件的内力分析
约定：土木类弯矩图画在曲杆受拉一侧
§2-2 平面刚架和平面曲杆的内力图
二、平面曲杆的内力图
例 第 二 章 杆 件 的 内 力 分 析
§2-3 用简易法作梁的剪力图和弯矩图
弯矩、剪力、分布载荷集度之间的微分关系
A
P
m
B
规定分布载荷集度方向向上为正。
x
dx dx
C
q q (x )
FY
0
FS (x )
11 kN
10 kN m
2 kN m
总结：内力正负号规定
第 二 章 杆 件 的 内 力 分 析
T FN Fs F N F N N
+ Fs
§2-2 平面刚架和平面曲杆的内力图
一、平面刚架的内力图
*刚架：由若干根杆刚性联结而成的结构 *平面刚架：组成刚架的各杆均在同一平面内
外力也作用在刚架所在平面
M( x )
M( x dx ) M dM
FS (x dx ) FS dFS
FS qdx (FS dFS ) 0 dFS ( x ) q (x ) dx
剪力对x的一阶导数等于作用在该截 面处的分布载荷集度。
mc 0
M dM M FS dx q (dx ) 2 0
梁上外力情况
dFS 0 dx
剪力图 剪力图平行x轴
FS
弯矩图
dM FS 0 dx dM FS 0 dx
M
M 0 M 0 M 0
x
FS 0
x
无分布载荷
(q 0 )
M
dFS q dx
FS
FS 0
FS
x
x
材料力学基本第二章 内力与内力图
CB段： BA段：
FN x1 0
FQ x1 F
M x1 Fx1
FN x2 F
FQ x2 0
M x2 F a
0 x1 a
0 x1 a
0 x1 a 0 x2 l
0 x2 l
0 x2 l
2.绘制剪力图和弯矩图
五、平面曲杆的内力图
平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力的符号规定为：弯矩以使曲杆轴线曲率增加者为正，轴力和剪力的符 号规定与前面的相同。
2.6 结论与讨论
结
结论
论 与
• 一个重要概念
讨 论
• 三个微分方程
结
• 一套方法
论
讨论
结
论
与
比较前面三个梁的受力、剪力
讨 论
和弯矩图的相同 之处和不同
之处，从中能得到什么重要结
讨
论？
论
FQ
结
论
与
讨
FQ
论
讨
FQ
论
确定控
结 论 与 讨
制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎
论 样确定弯矩
图上极值点
讨 处的弯矩数
4. 在梁的某一截面上剪力为零，则在这一截面上弯矩有极值。
5. 在梁的某一截面上若作用有集中力，则此处剪力图有突变，突变的值 恰好等于集中力的数值。
6. 在梁的某一截面上若作用有集中力偶，则剪力图不发生变化，但此处 弯矩图会发生突变，突变的值恰好等于集中力偶的数值。
二、剪力、弯矩与载荷集度之间的积分关系
AD段 MeD T3 0
C
d) T3
D
T /Nm
T3 MeD 1018.6 N m e)
1018.6 (+)
材料力学--第2章杆件的内力与内力图
轴力图的画法
画轴力图的步骤：求约束反力、求控制截面上的轴 力、画轴力图。 求任一横截面轴力的简便方法：任一横截面上的轴 力等于该截面一侧杆件上所有外力（包括反力）的代数和； 外力背离截面产生拉力，外力指向截面产生压力。 在分布轴向外力作用下，轴力图为斜直线或曲线。 没有分布轴向外力作用时，整个杆件轴力图为平行于杆件
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上 的内力──扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截 面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心 的合力矩，称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
Me Me
Me
Mx
n
－ 右手螺旋定则
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线 方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在 轴上的外力偶矩。 当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴
D
E
2
FA
40kN
FN2
F
x
0， FN2 FA 40 0， FN2 50kN(拉)
第2章 杆件的内力和内力图
求CD段内的轴力
◎ 轴力与轴力图
FA
A
40kN B
55kN
25kN
20kN
C
3
D
E
FN3
25kN
20kN
F
x
0， FN3 25 20 0， FN3 5kN(压)
第2章 杆件的内力和内力图
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： FN2 B FB FN3 C FC C FC FN4 FN 2F 5F
◎ 轴力与轴力图
第二章 杆件的内力分析
A
FAY
x1
M /l
C
l
x2
B
FBy
FBY
M ＝0， F
A
y
0
M FAy＝M / l FBy＝ -M//ll 2．写出剪力和弯矩方程
Ma / l
AC：
M x1 ＝Mx1 / l
CB：
Mb / l M（）＝M（l） 0 0
0 x1 a FQ x2 ＝M / l 0 x2 b M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
FN F
即轴力的值
若取m-m截面右段，解得的轴力相同。
由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线 重合。所以称为轴力。
7
目录
三、轴力正负号：使杆拉为正、压为负。
F
F FN F F FN
FN F
F FN F F FN F
在截面附近取微椴
FN
+
FN
FN _ FN
四、轴力图：表示轴力沿杆件轴线 的变化规律的图形。
F5
1、截 2、取
m
F4 F4
F1 F2
F5
m
F3 F3
3、代 4、平
F1 F2
2
目录
例2-1
悬臂梁受集中力作用，试求梁的内力中截面上的内力。
F
n
解：1.用n-n截面截断梁
2.取截面以左为研究对象
a F
n
a
3.将去掉的部分的作用用 内力表示
4.建立平衡方程
y
Fy＝0
- F FQ 0 FQ F M Fa
M
x
2章-杆件的内力与内力图-拉压、扭转
§ 2.1 基本概念
2.1.1 内力的概念
《物理学》：指微粒之间的相互作用力，由于这 个作用力的不同，使物体呈现出不同的形态。
《静力学》中：物体之间的相互约束力，称为内约 束力。
此处讲解的内力：在物理学内力的基础上， 变形体在外因的作用下（荷载、温度变化……）， 发生变形，体内各点发生相对位移，从而产生抵 抗变形的相互作用的附加内力，简称内力
4. 建立FN－x坐标系，画轴力图
FN－x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方 向，FN坐标轴垂直于x轴。
将所求得的各控制面上的轴力标在FN－x坐标 系中，得到a、和c四点。因为在A、之间以及 、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的 轴力分别与A（或）截面以及C（或）截面相同 。这表明a点与点心”之间以及c点之间的轴力 图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力 图。
Mx
z Mz
FR M FNx FQy FQz Mx My Mz
FNx——轴力 FQy、 FQz——剪力 Mx——扭矩
My、MZ——弯矩
2.1.2 内力与外力的关系——截面法 1 弹性变形体的平衡原理 2 求内力的方法——截面法
应用平衡的概念，不仅可以确定 构件的支座反力，而且还可以确定构件 上任意横截面上的受力-内力及其沿构 件轴线方向的变化规律，以找出最危险 的截面。
面上的轴力均为正方向（拉力）， 并考察截开后下面部分的平衡。
3. 应用截面法求控制面上的轴力
用 假 想 截面 分 别 从 控 制 面 A、 B'
、B"、 C处将杆截开，假设横截面
FA
FNA 上的轴力均为正方向（拉力），并考
察截开后下面部分的平衡，求得各截
A
A 面上的轴力：
内力与内力图
常见载荷作用下剪力图和弯矩图的特点
若一段梁上无载荷（即q=0），则剪力图为水平直线，弯 矩图为倾斜直线。剪力为正时，弯矩图为向右上方倾斜的 直线，剪力为负时则弯矩图向右下方倾斜，剪力为零时弯 矩图成为水平直线。 若一段梁上作用着均布载荷，则剪力图为斜直线，弯矩图 为二次抛物线。若均布力方向向下，则剪力图为向右下方 倾斜的直线，弯矩图为开口向下的抛物线，抛物线的顶点 的剪力等于零的截面。 在集中力作用的截面上，剪力图有突变，变化值等于该集 中力的大小，弯矩图上由出现折角。 在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图上有突 变，变化值等于该集中力偶的力偶矩的大小。
2
ql
五 弯矩、剪力与载荷集度间的关系
在例3中，将弯矩方程对x求一阶导数，得
dM qx F Q dx
将剪力方程对x求一阶导数，得
dF Q dx
q
也就是说，弯矩方程对x的一阶导数等于剪力方程；剪力方程对x的一阶导数 等于载荷集度。这一关系并非只存在于该问题中，而是普遍成立的一个规律。 根据导数的几何意义，以上关系表明：弯矩图上某点的切线的斜率，等于对 应截面上的剪力；剪力图上某点切线的斜率等于对应截面上的载荷集度。根 据这一规律，还可得到常见载荷下剪力图和弯矩图的特点。
例4
例4 外伸梁受力如图所示，试画出其剪力图和弯矩图。
解：（1）根据梁的平衡条件求出梁的支座反力。
FA
qa 4
FB
3qa 4
例1 杆件受力如图所示,求指定截面上的轴力并画出轴力图。
• • • • • • • • • • • • • • 解：（1）用截面法求内力。 沿截面1-1截开，由左侧一段的平衡，有 FN1+10=0 所以 FN1=-10（kN） 沿截面2-2截开，由左侧一段的平衡，有 FN2-40+10=0 所以 FN2=40-10=30（kN） 沿截面3-3截开，由右侧一段的平衡，有 -FN3+20=0 所以 FN3=20（ kN ） （2）根据计算结果作出轴力图。 （3）讨论：由以上计算过程可以看出，将 平衡方程中的外力都移至等号右端，则有 FN=ΣFie 也就是说，横截面上的轴力，等于其左侧 （或右侧）一段杆上所有外力的代数和。掌 握这一关系，有利于快速计算轴力并画出轴 力图。
第2-3章 杆件的内力和内力图及应力变形
B
C
2
FN 1
y
F
FN 1 28.3 103 1 A1 202 106 4 90106 Pa 90MPa
FN 2 20 103 2 2 6 A2 15 10 89 106 P a 89MP a
目录
FN 2 45° B
F
x
例 已知简单构架：杆1、2截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许
超静定结构的求解方法： 1、列出独立的平衡方程
例题2.7
F 0 F 0
x y
FN1 FN 2 2FN1 cos FN 3 F
l1
l3
2、变形几何关系
l1 l2 l3 cos
3、物理关系
l1 FN 1l F l l3 N 3 E1 A1 cos E3 A3
FN 2 45° B
F
Fx 0
x
F
FN1 cos45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
FN 2 20kN
目录
y
0
FN1 28.3kN
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A 1
45°
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
例 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
m 0.3，拧紧后，l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力
(b) 螺栓的横向变形 d
解：1) 求横截面正应力
l 7.41 10-4 l
E 148.2 MPa
π
p
FR
FR d Fsin
C
2
FN 1
y
F
FN 1 28.3 103 1 A1 202 106 4 90106 Pa 90MPa
FN 2 20 103 2 2 6 A2 15 10 89 106 P a 89MP a
目录
FN 2 45° B
F
x
例 已知简单构架：杆1、2截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许
超静定结构的求解方法： 1、列出独立的平衡方程
例题2.7
F 0 F 0
x y
FN1 FN 2 2FN1 cos FN 3 F
l1
l3
2、变形几何关系
l1 l2 l3 cos
3、物理关系
l1 FN 1l F l l3 N 3 E1 A1 cos E3 A3
FN 2 45° B
F
Fx 0
x
F
FN1 cos45 FN 2 0 FN1 sin 45 F 0
FN 2 20kN
目录
y
0
FN1 28.3kN
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A 1
45°
FN1 28.3kN
FN 2 20kN
2、计算各杆件的应力。
例 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
m 0.3，拧紧后，l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力
(b) 螺栓的横向变形 d
解：1) 求横截面正应力
l 7.41 10-4 l
E 148.2 MPa
π
p
FR
FR d Fsin
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解：1)由杆件静平衡计算外力
Fx 0 F2 4kN
2)由外力分段，每段内力计算：
a)截面法求AC段轴力。沿截面1-1
(a)
处截开，取左段如图(b)
Fx 0 FN1 F1 0
FN1 F1 2.5kN
(b)
b)求BC段轴力。从2-2截面处截开，
取右段，如图14-1-3所示
(c)
Fx 0 FN 2 F3 0
例：如左图，求n-n面的内力。 左半部分
Fx 0
FN FP
右半部分：
Fx 0 FN FP
左右两部分的力方向相反，但是同一内力， 因此规定内力由变形确定正负号，是标量。
§2-1 横截面上内力与内力分量
P2
P1
m
P4
P1
P2
m
P3 P2
P3
m P5
(a)
P1
y FR
m
M
C x
zm
(c)
P3
m
(b)
内力的计算
❖ 截面法
如左图
内力的表示
❖ 轴力图----形象表示轴力沿轴线变化的情况 为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的坐标轴 表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个坐标轴表示轴 力的大小，这样得到的图形称为轴力图
一、由轴力方程绘制轴力图
例 如图（a），F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。
外力 无外力偶 集中力偶
me
均匀分布力偶
mq
l
扭矩图
不变
突变。
方向：右手螺旋法则，四指指向外 力偶方向，拇指离开为正；
大小：集中力偶大小 me
在分布力的起始和终止截面，扭矩 没有突变。
以斜直线渐变。
方向：右手螺旋法则，四指指向外 力偶方向，拇指离开为正；
大小：m q l
扭矩图例1
M x (N.m)
B
C
A
350
700
446 x
D
扭矩图例2
10kN 30kN.m 20kN.m
A
2m B
10kN.m
D C
M x (kN.m)
10
A
B
20
C
Dx
10
§2-4平面弯曲梁的内力与内力图
弯曲梁的概念及其简化
杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到垂 直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线变为 曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的变形称 为平面弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。
第二章 内力与内力图
§2-1 横截面上内力与内力分量 §2-2 轴向拉压杆的内力与内力图 §2-3 扭转圆轴的内力与内力图 §2-4 平面弯曲梁的内力与内力图 §2-5 平面刚架和曲杆的内力图
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤
❖ 将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分； ❖ 画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力； ❖ 由静平衡条件确定内力大小。
FN 2 F3 1.5kN
3)图（d）为AB杆的轴力图
A
B C
2.5kN(0 x a)
(d)
FN 1.5kN(a x a b)
外力 无外力
集中力F
均匀分布力 q L
二、由外力直接绘制轴力图
轴力图
不变
突变。 方向：拉正压负； 大小：集中力大小F 在分布力的起始和终止截面，轴力 没有突变。 以斜直线渐变。 方向：拉正压负； 大小：qL.
M B MC M x2 0 M x2 700N.m
M D M x3 0 M x3 446N.m
3)画扭矩图 d)
350N.m(BC段) M x 700N.m(CA段)
446N.m( AD段)
M x1
M x3
M x2MLeabharlann x (N.m)BCA
350
700 d)
446 x
D
二、由外力直接绘制扭矩图
传动轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶
MA
9549
PA n
9549 36 300
1146N.m
M B MC 350N.m；M D 446N.m
2)由外力偶分段，用截面法分别求每段
轴的扭矩即为1-1、2-2、3-3截面上的
扭矩，如图a)、b)、c)，由
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m
P2 P3
y
P1
My
m
FQy
C
FQz m
FN
z Mz
Mx
x
(d)
一、基本变形—(轴向)拉伸、压缩
载荷特点：受轴向力作用
变形特点：各横截面沿轴 向做平动
内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN
其中：FN P
轴力正负规定：拉正压负。
即拉伸变形为正，压缩变形为负。
二、基本变形---剪切
▪ 载荷特点：作用力与截面平 行（垂直于轴线）
轴力图例1
F1=500N F2=420N F3=280N F4=800N
A
B
C
DE
FN (N )
920
640 500
A
B
C
DE x
-160
轴力图例2
§2-3扭转圆轴的内力与内力图
扭转变形的定义
❖ 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转 ❖ 以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴 ❖ 本课程主要研究圆截面轴
▪ 变形特点：各横截面发生相 互错动
▪ 内力特点：内力沿截面方向 （与轴向垂直），简称 剪力FQ
剪力正负规定：左上右下正；或顺正逆负。
左上：指研究体的左截面（右半边物体）剪力向下
三、基本变形---扭转
▪ 载荷特点：受绕轴线方向力偶 作用（力偶作用面平行于横截 面）
▪ 变形特点：横截面绕轴线 转动
▪ 内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩 Mx或T
功率、转速和扭矩的关系
Me
9549
P n
扭矩图
其中：
M为外力矩(N.m) P为功率(kW) n转速(r/min)
❖ 仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，即 为扭矩图。
一、由扭矩方程绘制扭矩图
例 如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功 率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速Pn n=300r/min.试画
小结：基本变形产生的内力
变 形 产生内力名称 表示符号 ± 规 定 应力
拉、压 剪切 扭转
弯曲
轴力 剪力 扭矩 剪力 弯矩
FN
拉＋ 压－
σ
FQ
无
τ
M x 右手螺旋法则 τ
FQy FQz 顺＋ 逆－
τ
M z M y 笑＋ 哭－
σ
§2-2 轴向拉压杆件的内力与内力图
定义
❖ 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为 轴向拉伸或压缩
Mx
其中：M x M
扭矩正负规定：右手螺旋法则，拇指离开截面为正， 指向截面为负。
四、基本变形---弯曲（平面）
▪ 载荷特点：在梁的对称截 面内，作用有力或力偶。
▪ 变形特点：梁的横截面绕 某轴转动一个角度。 中性轴（面）
▪ 内力：作用面垂直横截面的 一个力偶，简称弯矩M
▪ 内力沿截面方向（与轴向垂 直），简称 剪力 FQ 弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的弯矩为正。 （形象记忆：笑正哭负）