材料力学专题一梁的内力和内力图
材料力学专题一梁的内力和内力图
专题一 梁的内力和内力图例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。
解：1）求反力kN 5=A F ，kN 4=B F2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。
0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。
0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。
一般取外力比较简单的一段进行分析。
②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。
③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。
图1(a)(b)(c)(d) (e)例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。
解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++==取C 截面左段研究，, 2SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB BF F M Fl ==(b) 求A 、B 处约束反力如图(d)所示，l M F F e B A /==取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l++=-=-=取C 截面左段研究，, 22e e SC A A e A M Ml F F M M F l +=-=-=-⨯=取B 截面右段研究，, 0e SB B B MF F M l=-=-=(c) 求A 、B 处约束反力 取A +截面右段研究，233, 22248SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取C -截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q --=⨯==-⨯⨯=-取C +截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==图2 (b) (a) qB (c) B图(d)例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
第6章-梁的内力PPT课件
（3）计算截面C稍右处的剪力FsR、弯矩MCR。
M C
MCR
A
l/2
FA
Fy 0
FsR
ql FsRFA2 0
MCF0
解之得：
FsR
ql 4
M CR MFA2 lq 2 l4 l0
精选PPT课M件CR 0
14
建筑力学
❖ 计算剪力和弯矩的规律
(1) 梁内任一截面上的剪力，其大小等于该截面左侧(或右侧) 梁上所有外力的代数和；梁内任一截面的弯矩，其大小等 于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力对于该截面形心之矩的
★ 由平衡方程 F得y ，0
F s x F s x d s x F q x d 0 x
dFsx qx
dx
（9-1）
几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载
集度的大小。
精选PPT课件
23
建筑力学
★ 由平衡方程 MC 得，0
M x dx M M x F sx d q x x d d 2 x 0 x
(3)列出各段的剪力方程和弯矩方程：各段列剪力方程和弯矩方程时， 所取的坐标原点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一 致。
(4) 画剪力图和弯矩图：先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或 弯矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或弯矩方 程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然后描点并画出整个 全梁的剪力图(或弯矩图)
解之得： Fs 4kN 精选PPTM 课件144 kNm
12
[例]
简支梁受均布荷载q和集中力偶M=ql2/4的作用，如图所示。求截面C 的剪力和弯矩。
M
q
材料力学 内力与内力图.
5
RA
74
qa
RB 4 qa
（2）求剪力与弯矩
FQ1 RA 5qa / 4 M 2 M1 RA a 5qa2 / 5
FQ3 FQ2 RA qa qa/ 4
M 3 2aRA qa a 3qa2 / 2
FQ4 qa RB
3qa 4
,
M4
5qa 2 4
图
(3) 弯矩的数值标在受拉边，轴力、
刚 架
剪力画在里侧和外侧均可，但需 标出正负号；
内 力
(4) 注意节点处的平衡关系。
图
例:绘刚架内力图
解：一）求支反力：
MA 0:
8kN
1m D
2m C
E
q=1kN/m 4m 3m
RB
81 811 3
5kN
X 0:
4q RAx 1 0 RAx 3k N
静定梁的基本形式1求支反力211面上的内力梁的剪力与弯矩剪力弯矩剪力f的符号规定弯矩m的符号规定左上右下为正上压下拉上凹下凸为正例61求梁112233和44截面上的剪力和弯矩
弯曲内力
§6-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
一. 弯曲的概念
1.工程实例 桥梁，屋梁，车轴都 是最常见梁的例子。 2.定义
当作用在杆件上的载荷和 支反力都垂直于杆件轴线 时，杆件的轴线因变形由 直线变成了曲线，此变形 称为弯曲变形。
N3 RAy 3k N Q( x3 ) RAx qx3
8kN
DN13m
2m C
M (x3 ) EQ( x3X)2
q=1kN/m 4Xm3 3m
(3) 1x3 3 x3
M
( x2
)
RAx x3
1 2
第六章 梁的内力图--剪力图和弯矩图
一、列剪力方程、弯矩方程，作梁的剪力图、弯矩图 梁内各截面上的剪力和弯矩一般都随截面的位置而变 化，以横坐标 x表示梁横截面的位置，反映梁的剪力、弯 矩值随 x值变化的方程分别就是剪力方程 Q(X) 和弯矩方程 M(X)。
根据剪力方程和弯矩方程可分别绘制剪力图和弯矩图， 其画法与轴力图相似。 用平行于梁轴的坐标 x表示横截面的位置，垂直于梁 第 六 轴的纵坐标表示相应截面的剪力或弯矩。一般习惯把正剪 章 建 直 力画在 X 轴的上方，负剪力画在 X 轴下方；而把弯矩图画在 筑 梁 力 弯 梁受拉的一侧。 学 曲
第 六 章 直 梁 弯 曲
建 筑 力 学
第三 节 梁的内力图—剪力图和弯矩图(1)
第 六 章 直 梁 弯 曲
建 筑 力 学
第三 节 梁的内力图—剪力图和弯矩图(1)
第 六 章 直 梁 弯 曲
建 筑 力 学
第三 节 梁的内力图—剪力图和弯矩图(1)
第 六 章 直 梁 弯 曲
建 筑 力 学
第三 节 梁的内力图—剪力图和弯矩图(1)
建 筑 力 学
第三 节 梁的内力图—剪力图和弯矩图(1)
二、在集中力偶作用下梁的内力图： 例6－6简支梁AB在C截面处作用有集中力偶m(如图)，试画出梁 的剪力图和弯矩图
绝对值等于该集中力偶的力偶矩。
第 六 章 直 梁 弯 曲
建 筑 特点：在集中力偶作用处V图无变化，M图发生突变，突变的力 学
第三 节 梁的内力图—剪力图和弯矩图(1)
建 筑 力 学
第三 节 梁的内力图—剪力图和弯矩图(1)
在集中力作用下梁的内力图的特点： 在梁上只有集中力作用时，集中力把梁分为若干段 无荷载作用区。 在无荷载作用区：V图是与x轴平行的直线；M图是 斜直线。 在集中力作用处：V图发生突变，突变的绝对值等 于该集中力；M图发生转折。
建筑力学 材料力学 梁的内力
x
②写出内力方程 Q( x ) YO P
M ( x) YO x M O P( x L)
x
③根据方程画内力图。
q
解：①写出内力方程
L Q(x) ○ x – qL
qL2 2
Q( x ) qx
1 M ( x ) qx2 2
②根据方程画内力图
⊕ M(x) x
x
Q(x)
2
106 .30 1.855rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52 1 0.52(1.855 sin106.3)] 1000 9.8 2
9 (kN/m)
q — 均布力
§4–3 一、弯曲内力：
举例
梁的内力及其求法
目
录
§4–1 工程中的弯曲问题 §4–2 梁的荷载和支座反力 §4–3 梁的内及其求法 §4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
§4–5 弯矩、剪力、荷载集度间的关系
§4–1 工程中的弯曲问题 一、弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Q2
1 M 2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
§4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
一、 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q( x ) M M (x)
Q Q 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q
梁的内力图2-2-3-1
注：最后利用规律3、4、5校核 规律3 规律
例： 画出 V图和 M 图。 图和 解：1、求反力 由∑MA= 0，FB= 148 kN. ， ∑MB= 0，FA= 72 kN. ， 2、判断各段V、M图形状 判断各段V 分段 q V M AC q=0 水平线 斜直线 CB q=c＜0 ＜ 下斜直线 下凸曲线 下凸曲线 BD q=c＜0 ＜ 下斜直线 下凸曲线 下凸曲线 A FA
0
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程， 分段建立方程，依方程而作图。
0 x x
M
二 、列方程法画内力图（基本方法） 列方程法画内力图（基本方法） 列方程法画内力图 例：简支梁受均布荷载作用，如图示， 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1 、求支座反力 (利用结构对称 利用结构对称 性简化计算； 性简化计算；悬臂结构可不求反力）
2
、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标， 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标， 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘 制表示V(x) M(x)的图象 V(x)和 的图象。 制表示V(x)和M(x)的图象。这种图象分别称为 剪力图和弯矩图，简称V图和M 剪力图和弯矩图，简称V图和M图。 绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧， 绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧， 负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x 负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下 负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。 拉的一侧。 V
A FA V
(kN)
1
梁 弯矩图 梁 内力图 (剪力图与弯矩图)
简单载荷梁内力图（剪力图与弯矩图）表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
常用截面几何与力学特征表表2-5标准标准标准标准标准标准标准注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
实用文档2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
[解] M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－0.188×29.4×5）＝（－36.75）＋（-27.64）＝－64.39kN ·m V B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－0.688×29.4）＝（－36.75）＋（－20.23）＝－56.98kN[例2] 已知三跨等跨梁l ＝6m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩。
梁弯矩图梁内力图(剪力图与弯矩图)
简单载荷梁内力图（剪力图与弯矩图）表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
常用截面几何与力学特征表表2-5注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
.\2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
[解] M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－0.188×29.4×5）＝（－36.75）＋（-27.64）＝－64.39kN ·m V B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－0.688×29.4）＝（－36.75）＋（－20.23）＝－56.98kN[例2] 已知三跨等跨梁l ＝6m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩。
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专题一 梁的内力和内力图
例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。
解：1）求反力
kN 5=A F ，kN 4=B F
2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。
0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F
0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M
3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。
0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F
0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M
4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F
0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=
5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=
【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。
一般取外力比较简单的一段进行分析。
②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。
③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。
例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。
解：, A F M +==, 2C Fl
M = 取B -SB B M Fl =
(b) 求A 、B 处约束反力
如图(d)所示，l M F F /==
, e A M F M l =-取B 截面右段研究，, 0e
SB B B M F F M l
=-=-= (c) 求A 、B 处约束反力
取A +
截面右段研究，2
33, 22248
SA A l ql l l ql F q M q +
+=⨯==-⨯⨯=-
图1 (d) 图2 (b) (a) q B (c) B
图(d)
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(a) (b) (c)
图4
取C -截面右段研究，2, 22248
SC C l ql l l ql F q M q --
=⨯==-⨯⨯=-
取C +
截面右段研究，2
, 22248
SC C l ql l l ql F q M q +
+=⨯==-⨯⨯=-
取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==
例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：(a ) 求支反力
0=∑C M ： 0310126=⨯--⋅Ay F ， kN 7=Ay F
0=∑Y ： 010=-+By Ay F F ， kN 3=By F 列内力方程，
⎩⎨
⎧<<-<<=63
kN 330 kN 7)(S x x x F ， ⎩⎨⎧≤≤≤≤⋅-⋅-=63 30 m kN )6(3m kN 127)(x x x x x M 作剪力图和弯矩图。
(b ) 求支反力
0=∑B M ：02212=⋅+-⋅l
ql ql l F Ay ， F Ay =0 0=∑Y ：0=-⋅-+ql l q F F By Ay ，ql F By 2=
列内力方程
作剪力图和弯矩图。
例4利用内力方程作图4(a)所示 简支梁的剪力图和弯矩图。
解：AC 段有：x x q 5)(=
25.210)(x x F S -=，
（0<x <2） 36
510)(x x x M -=，
（0≤x ≤2）
其剪力图和弯矩图如图(b)(c)所示。
由于结构是对称的，荷载也是对称的，
BC 段与AC 段的F S 图是反对称的，M 图 是对称的，据此特点可方便地作出AC 段
的剪力图和弯矩图。
例5试用剪力、弯矩与荷载集度之间的微分关系判断图5所示各梁的内力图形态，画出剪力图和弯矩图。
解：(a ) 根据微分关系：()()x F x
x M S d d = 和 ()()q x x M x x F ==22S d d d d AC 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。
CB 段：q 为常数，且0>q ，F S 图从左到右为向上的斜直线，M 图为向下凹的抛物线。
在C 截面处，F S 图连续，M 图光滑。
(b)
图3
(a)
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求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。
(b ) 求支反力
0=∑A M ： ()022
1322
=⋅⋅-+⋅a q qa a F By
， 3qa F By = 0=∑Y ： 02=⋅-+a q F F By Ay ， 35qa
F Ay = 判断内力图形态并作内力图
AC 段：q 为常数，且q <0，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线，在
距A 端a 3
5
截面处，M 取极大值。
CB 段：0=q ，F S 图为水平直线，且F S <0，M 图从左到右为向下的斜直线。
在C 截面处，F S 图连续，M 图光滑。
求得几处特殊截面的内力值后即可作出梁的剪力图与弯矩图。
(c) 求支反力
0=∑A M ：()022132=⋅-⋅⋅-⋅a qa a q a F By ， qa F By = 0=∑Y ： 02=-⋅-+qa a q F F By Ay ， qa F Ay 2= 判断内力图形态并作内力图
AC 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。
C
截面处，有集中力F 作用，F S 图突变，M 图不光滑。
CD 段：q 为常数，且0<q ，F S 图从左到右为向下的斜直线，M 图为向上凸的抛物线。
DB 段：0=q ，Q F 图为水平直线，且F S <0； M 图从左到右为向下的斜直线。
(d)求支反力
0=∑B M ： 0462
1
862=⨯⨯--⋅Ay
F ，kN 33.9=Ay F 0=∑Y ： 046=⨯-+By Ay F F ， kN 67.14=By F 判断内力图形态，作内力图
F S 图：AD 段，0=q ，为水平直线；
DB 段，0<q ，从左到右为向下的斜直线。
M 图：AC 段，0=q ，且F S >0，从左到右为向上的斜直线； C 截面处，有集中力偶e M 作用，有突变；
CD 段，0=q ，且F S >0，从左到右为向上的斜直线，且ab c b //'； DB 段，0<q ，为向上凸的抛物线，且c b '与ce 在c 点相切；
在距D 端m 9
22
截面处，F S =0，M 取极大值17.93kN •m 。
例6试用叠加法画出图6所示梁的弯矩图。
解：(a)
(b)
(a)
(b) (c)
图5 (d)。