作图示梁的内力图
梁的内力图—剪力图和弯矩图(23)
6kN
1
1
A 2mΒιβλιοθήκη 6kN m2 q 2kN m 3 4
5
B
2
34
5
C
3m
3m
FQ1 6kN M1 6 2 12kNm FQ2 6 13 7kN M 2 6 2 12kNm
FA 13kN
问题：最大内力的数
FB 5kN
FQ3 6 13 23 1kN
变化的（有的大、有的小）。
一、 梁的内力图—剪力图和弯矩图
1 、剪力方程和弯矩方程
由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置
变化而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点取 在梁左端，向右为正向, 坐标x表示截面位置，则FQ和M
就随x的变化而变化，V和M就是x的函数，这个函数式就 叫剪力方程和弯矩方程。
南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 陈德先 教师
授课 12造价与建 班级 筑
授课 时间
2013/
学 时
4
课 剪力图和弯矩图 题
课型 新授课
教学 方法
讲练结合法
教学 熟练列出剪力方程和弯矩方程、并绘制剪力图和弯矩图； 目的 利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯
矩图.
教学 剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和荷载集度的微分关系及其 重点 应用.
l，求梁剪力、弯矩方程的微分，并画剪力、弯矩图。
q
解 :1.建立剪力、弯矩方程
A x
B
l
FQ x
ql ql 2/2
FQ (x) qx M (x) qx x qx2
22
2.对剪力、弯矩方程取微分
dM (x) dx
梁的内力分析
FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算： （1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所 有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负） 以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生 正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则 向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负） 以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩， 反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生 正弯矩，反之为负。
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受 力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
梁的内力与应力(图片版)
σ=FbA，其中F为作用在梁上的力，b 为梁的宽度，A为梁的横截面积。
描述
正应力表示梁在承受拉伸或压缩时， 截面上产生的应力。
剪应力
剪应力
与截面相切的应力，主要由于剪 切而产生。
描述
剪应力表示梁在承受剪切时，截面 上产生的应力。
公式
τ=FsA，其中Fs为作用在梁上的剪 力，A为梁的横截面积。
弯曲应力
致梁发生断裂或严重变形。
强度失效的原因可能包括材料缺 陷、设计不当或制造工艺问题等。
弯曲失稳
弯曲失稳是指梁在受到垂直于 轴线的横向力作用时，发生弯 曲变形并最终失去稳定性。
弯曲失稳通常发生在梁的长度、 跨度较大或支撑不足时，导致 梁发生过大弯曲和扭曲。
弯曲失稳的原因可能包括梁的 刚度不足、支撑条件不当或外 力过大等。
。
混凝土
适用于桥梁、房屋和基础设施 等需要承受较大荷载且稳定性
要求较高的场合。
木料
适用于临时建筑、小型建筑和 家庭装修等需要较低承载能力
的场合。
其他材料
如铝合金、玻璃钢等，适用于 特殊场合和特定需求。
优化设计
截面优化
根据梁的跨度、承载能力和稳定性要求，选择合适的截面尺寸和 形状，以减小材料用量和提高承载能力。
梁的内力与应力(图片 版)
目录 CONTENT
• 梁的简介 • 梁的内力 • 梁的应力 • 梁的强度与稳定性 • 梁的设计与优化 • 梁的案例分析
01
梁的简介
梁的种类
01
02
03
简支梁
简支梁是两端支撑在支座 上的单跨梁，其载荷作用 在跨中位置。
连续梁
连续梁是多跨梁，载荷可 以作用在任意位置。
悬臂梁
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图
1.7 为向下倾斜的直线.
最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C
截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.
27 +
例题3-4-2 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m ,如图 所示.试用简
易法作此梁的剪力图和弯矩图. 解：（1） 计算梁的支反力
FRA FRB 0.5 100 1.6 80kN
（1）梁的载荷集度函数、剪力函数和弯矩函数之间的 微分关系
（2）利用微分关系的绘制简单梁的内力图 （3）利用微分关系绘制多跨静定的内力图 （4）根据梁的内力图反推梁的荷载图 2.5 应用叠加原理绘制梁的内力图（待学习） 2.6 刚架和组合变形杆件的内力分析（待学习）
2.4 利用微分关系绘制梁的内力图
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
发生在剪力图有转折的截面处或杆件的端部.
2）梁上最大弯矩 Mmax可能发生在均布荷载作用区段 内FS(x) = 0 的截面上; 或发生在杆件中部弯矩发生
转折或突变处，或发生在杆件的端部。
将梁分为 AC、CD、DB 三段.
AC和DB上无荷载，CD 段有向下的
均布荷载.
（2）剪力图 AC段 水平直线
FSA右 FRA 80kN
CD段 向右下方的斜直线
FRA
A C
0.2 1
FS
(kN)
80
q
FRB
B
D
1.6
2
+
FSC FRA 80kN
FSD FRB 80kN
结构力学 第三章 静定结构
MBC=1kN· m
B
MBE= 4kN· m
MBA=5kN· m
FP1=1kN FP2=4kN
• 用计算中未使 用过的隔离体平衡 条件校核结构内力 计算是否正确。
5kN· m
1kN
3kN
FP3=1kN
2、简支刚架
• 解: • （1）、求支座 反力 • ∑y=0 • FCy =80kN(↑) • ∑m0=0 • FAx=120kN(←) •∑x=0 •FBx=80kN(→)
§3-2 静定多跨梁
•
由中间铰将若干根梁（简单梁） 联结在一起而构成的静定梁，称为静 定多跨梁。
1、几何组成：
• 基本部分+附属部分。 • （1）、基本部分：不依赖其它部分， 本身能独立承受荷载并维持平衡。 • （2）、附属部分：依赖于其它部分而 存在。
2、层叠图和传力关系
（1）、附属部分荷载 传 基本部分或 支撑它的附属部分。 • （2）、基本部分的荷载对附属部分无 影响，从层叠图上可清楚的看出来。 •
练习: 分段叠加法作弯矩图
q
A B
C
1 2 ql 4
l
q
1 ql 2
ql
l l l
例题
4kN· m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN· m
（2）集中力偶作用下
4kN· m 2kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
4kN· m
例题
3m
8kN· m
2kN/m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
FP2=4kN
q=0.4kN/m
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
求支座反力的顺序；中间铰接处和刚接处剪力图和弯矩图的特点。
（4）根据梁的内力图反推梁的荷载图
内力图与荷载图的对应关系；微分关系的应用。
2.4（1）梁的荷载集度函数、剪力 函数和弯矩函数之间的微分关系
设梁上作用有任意分布荷载，
其集度 q = q (x) 规定 q (x)向上为正. 将 x 轴的坐标原点取在梁的左端. 假想地用坐标为 x 和 x+dx的两
算出截面C上的剪力为 (3-
24)kN=-5kN,即可确定这条
4m
斜直线（如图所示）. FS/kN 3
M=10kN·m C 2m
F=2kN FRB
B
D
2m
2
x
截面C和B之间梁上无分布载荷,
剪力图为水平线.
5
截面B上有一集中力FRB,从B的左侧到B得右侧,建立了图发生突然变化, 变化的数值即等于FRB.故FRB右侧截面上的剪力为(-5+7)kN=2kN.
x1
等号右边积分的几何意义是x1 , x2两横截面间分布荷载图的面积.
dM ( x) dx
FS
(
x)
若横截面x= x1，x=x2 间无集中力偶作用则得
M ( x2 ) M ( x1 )
x2 x1
FS
(
x
)dx
等号右边积分的几何意义是 x1 , x2两个横截面间剪力图的面积.
例题3-4-1 一简支梁受两个力F作用,如图所示.已知 F= 25.3kN,
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
材料力学内部习题集及答案
第二章 轴向拉伸和压缩2-1一圆截面直杆，其直径d ＝20mm,长L =40m ，材料的弹性模量E =200GPa ，容重γ＝80kN/m 3,杆的上端固定，下端作用有拉力F =4KN ，试求此杆的：⑴最大正应力； ⑵最大线应变； ⑶最大切应力；⑷下端处横截面的位移∆。
解：首先作直杆的轴力图⑴最大的轴向拉力为232N,max 80100.024*********.8N 44d F V F L F ππγγ=+=+=⨯⨯⨯⨯+= 故最大正应力为：N,maxN,maxN,maxmax 222445004.8=15.94MPa 3.140.024F F F Addσππ⨯====⨯⑵最大线应变为:64maxmax915.94100.7971020010E σε-⨯===⨯⨯ ⑶当α（α为杆内斜截面与横截面的夹角）为45︒时，maxmax 7.97MPa 2ασττ===⑷取A 点为x 轴起点，2N (25.124000)N 4d F Vx F x F x πγγ=+=+=+故下端处横截面的位移为：240N 0025.1240001d d (12.564000)2.87mm LL F x x x x x EA EA EA+∆===⋅+=⎰⎰2-2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长△L 。
已知杆横截面面积为A ，长度为L ,材料的容重为γ。
解：距离A 为x 处的轴力为 所以总伸长2N 00()L d d 2LL F x Ax L x x EA EA Eγγ∆===⎰⎰ 2-3图示结构，已知两杆的横截面面积均为A =200mm 2,材料的弹性模量E =200GPa 。
在结点A 处受荷载F 作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为ε1＝4×10－4，ε2＝2×10－4，试确定荷载P 及其方位角θ的大小。
解:由胡克定律得 相应杆上的轴力为取A 节点为研究对象，由力的平衡方程得解上述方程组得2-4图示杆受轴向荷载F 1、F 2作用，且F 1＝F 2＝F ，已知杆的横截面面积为A ，材料的应力－应变关系为ε＝c σn，其中c 、n 为由试验测定的常数。
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a
Fa
F
a m
4
kN
3
m
kN
2
F
Fa
kN
kNm
5
4
25
.2
3
kN
kNm
作图示梁的内力图
kN 3A C
D
B
kN F B 2=E m
kN 5.4m kN ⋅2kN F A 10=m 1m
2m
2m
156
.1=x 3
2
3
44
.272
2
kN
kNm
q
L
L
A
B
C
qL
qL/2
qL/2
qL
2
qL )
(kN F s
2
qL )
(kN F N
2
2qL 2
2qL )
(kNm M
l 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F ，已知b ＝120mm ，h ＝180mm 、l ＝2m ，F ＝1.6kN ，
试求B 截面上a 、b 、c 各点的正应力。
2l F
2l A B
C
b
h
6
h 2
h a b
c
FL
FL
M B 2
1=12
3
bh I Z =
Z
a
B a I y M =
σ12
3213bh h FL
=MPa
65.1=0
=b σZ
c
B c I y M =
σ12
2213bh h FL
=MPa 47.2=（压）
T 形截面简支梁在中点承受集中力F ＝32kN ，梁的长度L ＝2m 。
T 形
截面的形心坐标y c ＝96.4mm ，横截面对于z 轴的惯性矩I z ＝1.02×108mm 4。
求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
2
l 2
l A
B
F
4
m ax
FL M =kNm 16=4.9650200m ax -+=+y
mm 6.153=mm
y
4.96m ax
=-z
y
C 150
50
200
50
4
.96Z
I My +
+=
m ax m ax
σMPa 09.24=Z
I My --=
m ax
m ax
σ
MPa
12.15=
M z 的三根直梁，其截面组成方式如图所示。
图（a ）的截面
为一整体；图（b ）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c ）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。
三根梁中的最大正应力分别为σmax （a ）、σmax （b ）、σmax （c ）。
关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。
；；；)()()()()()()()()()()()()()()()(m ax m ax m ax m ax m ax m ax m ax m ax m ax m ax m ax m ax c b a D c b a C c b a B c b a A σσσσσσσσσσσσ==== d
d
d
2
d 2
d d
2d 2
d (a)
(b)
(c)
z
3
3m ax 66
)(d M d M a z
z ==σz
3
2m ax 66
.22)(d M d d M b z z
=⋅=σz z
32m ax 126
22)(d M d d M c z z
=⋅⎪⎭⎫
⎝⎛=σB
,剪力为F s ,欲求m--m 线上的切
应力,则公式中, ____ .b
I S F Z z
s *=τA 、为截面的阴影部分对轴的静矩，
；*
z S z 'δ4=b B 、为截面的阴影部分对轴的静矩，；
*z S z 'δ=b C 、为截面的阴影部分对轴的静矩，
；*z S z δ4=b D 、为截面的阴影部分对轴的静矩，；
*z
S z δ=b z 'm
m
z
s
F y
δ
δ
4D 若对称弯曲直梁的弯曲刚度EI 沿杆轴为常
量,其变形后梁轴_____.
A 、为圆弧线，且长度不变。
B 、为圆弧线，而长度改变。
C 、不为圆弧线，但长度不变。
D 、不为圆弧线，且长度改变。
A。
A 矩形；
B 菱形；
C 正方形；D三角形。
B
T形截面铸铁材料悬臂梁受力如图，轴Z为中性轴，横截面合理布置的方案应为。
A B C D A。