梁内力图规律
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浅谈静定梁内力图的一种简便画法
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物线 。 解 ： ． 梁 的支 座反 力 １求 ４确定控制截面 ， 制截面的剪力值 、 ． 求控 弯矩值 ， 并作图。 取整体为研究对象 ， 出受力图（ 画 如上ａ 图示 ） 支座反力大 ， 小 为
Ｆ ＡＹ ：
当内力图为水平直线时 ， 只要确定一个截 面的内力值就可 以
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大 学 时代 ・ ０ ６年 ０ Ｂ２ ０ ４
浅 谈 静 定 梁 内力 图的 种简便 画法
一
罗银 燕
（ 长沙职 工大学
湖 南 长沙
４０ １ ） １０ ５
摘 要 ： 画单跨静定梁的 内 图是建筑力学和工程力学 的重点和难点， 力 本文介 绍的简便法是运用计算 面积 的方法 来计算控制截 面的内力值 ， 从而画 出梁的内力 图。
３作 梁的 剪力 图 ． 从左往右作剪力图
二、 举例说明
例５ ３一外伸梁如图ａ — 所示， 试作 出梁的剪力图和弯矩图。
ｍ
梁的左端点的剪力值等于该处集中力 ， 且剪力正负与集中力 方向一致。即集 中力方向向下， 剪力画在基线下方 ， 为负值 ； 集中 力方向向上， 剪力画在基线上方 ， 为正值。 从左往右作剪力图时，若梁上无荷载 ，剪力图画水平线 ， 剪 力值 为左端点剪力大小 ； 若梁上有均布荷载时， 剪力图画斜直线 ， 且该段右端点剪力值等于该段左端点剪力值ｑ（ ｌ均布荷载向下 ， 取 负号 ， 均布荷载向上 ， 取正号，为该段均布荷载长度）若遇到集 中 ｌ ； 力Ｐ 集中力右侧截面剪力值等于左侧剪力值Ｐ Ｐ ， （ 向下取 负值 ， 向 上取正值 ）若遇到集中力偶 ， ； 剪力图无变化 ， 梁的右端点剪力值
直接用外力计算截面上内力的规律法 ， 具体方法是 ： ｃ 截面剪力值等于３ Ｎ， Ｋ 为负值。ｃ 段上无荷载 ， Ａ 剪力图画水 内力进行分析， （】 １ 用外力直 接求截 面上 剪 力的规律
梁的内力图—剪力图和弯矩图(23)
6kN
1
1
A 2mΒιβλιοθήκη 6kN m2 q 2kN m 3 4
5
B
2
34
5
C
3m
3m
FQ1 6kN M1 6 2 12kNm FQ2 6 13 7kN M 2 6 2 12kNm
FA 13kN
问题：最大内力的数
FB 5kN
FQ3 6 13 23 1kN
变化的（有的大、有的小）。
一、 梁的内力图—剪力图和弯矩图
1 、剪力方程和弯矩方程
由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置
变化而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点取 在梁左端，向右为正向, 坐标x表示截面位置，则FQ和M
就随x的变化而变化，V和M就是x的函数，这个函数式就 叫剪力方程和弯矩方程。
南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 陈德先 教师
授课 12造价与建 班级 筑
授课 时间
2013/
学 时
4
课 剪力图和弯矩图 题
课型 新授课
教学 方法
讲练结合法
教学 熟练列出剪力方程和弯矩方程、并绘制剪力图和弯矩图； 目的 利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯
矩图.
教学 剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和荷载集度的微分关系及其 重点 应用.
l，求梁剪力、弯矩方程的微分，并画剪力、弯矩图。
q
解 :1.建立剪力、弯矩方程
A x
B
l
FQ x
ql ql 2/2
FQ (x) qx M (x) qx x qx2
22
2.对剪力、弯矩方程取微分
dM (x) dx
梁弯矩图梁内力图(剪力图和弯矩图)
各种荷载作用下双铰抛物线拱计算公式 表2-23
注：表中的K为轴向力变形影响的修正系数。
（1）无拉杆双铰拱
1）在竖向荷载作用下的轴向力变形修正系数
式中 Ic——拱顶截面惯性矩；
Ac——拱顶截面面积；
A——拱上任意点截面面积。
当为矩形等宽度实腹式变截面拱时，公式I＝Ic/cosθ所代表的截面惯性矩变化规律相当于下列的截面面积变化公式：
简单载荷梁力图（剪力图与弯矩图）
梁的简图
剪力Fs图
弯矩M图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁
表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征
某一段梁上的外力情况
剪力图的特征
弯矩图的特征
无载荷
水平直线
斜直线
集中力
突变
转折
集中力偶
无变化
突变
均布载荷
斜直线
抛物线
零点
极值
表3 各种约束类型对应的边界条件
2）三跨等跨梁的力和挠度系数 表2-12
注：1．在均布荷载作用下：M＝表中系数×ql2；V＝表中系数×ql； 。
2．在集中荷载作用下：M＝表中系数×Fl；V＝表中系数×F； 。
3）四跨等跨连续梁力和挠度系数 表2-13
注：同三跨等跨连续梁。
4）五跨等跨连续梁力和挠度系数 表2-14
注：同三跨等跨连续梁。
注：1．在均布荷载作用下：M＝表中系数×ql2；V＝表中系数×ql； 。
2．在集中荷载作用下：M＝表中系数×Fl；V＝表中系数×F； 。
[例1] 已知二跨等跨梁l＝5m，均布荷载q＝11.76kN/m，每跨各有一集中荷载F＝29.4kN，求中间支座的最大弯矩和剪力。
注：表中的K为轴向力变形影响的修正系数。
（1）无拉杆双铰拱
1）在竖向荷载作用下的轴向力变形修正系数
式中 Ic——拱顶截面惯性矩；
Ac——拱顶截面面积；
A——拱上任意点截面面积。
当为矩形等宽度实腹式变截面拱时，公式I＝Ic/cosθ所代表的截面惯性矩变化规律相当于下列的截面面积变化公式：
简单载荷梁力图（剪力图与弯矩图）
梁的简图
剪力Fs图
弯矩M图
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁
表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征
某一段梁上的外力情况
剪力图的特征
弯矩图的特征
无载荷
水平直线
斜直线
集中力
突变
转折
集中力偶
无变化
突变
均布载荷
斜直线
抛物线
零点
极值
表3 各种约束类型对应的边界条件
2）三跨等跨梁的力和挠度系数 表2-12
注：1．在均布荷载作用下：M＝表中系数×ql2；V＝表中系数×ql； 。
2．在集中荷载作用下：M＝表中系数×Fl；V＝表中系数×F； 。
3）四跨等跨连续梁力和挠度系数 表2-13
注：同三跨等跨连续梁。
4）五跨等跨连续梁力和挠度系数 表2-14
注：同三跨等跨连续梁。
注：1．在均布荷载作用下：M＝表中系数×ql2；V＝表中系数×ql； 。
2．在集中荷载作用下：M＝表中系数×Fl；V＝表中系数×F； 。
[例1] 已知二跨等跨梁l＝5m，均布荷载q＝11.76kN/m，每跨各有一集中荷载F＝29.4kN，求中间支座的最大弯矩和剪力。
分析两跨连续梁内力重分布规律例题[详细]
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于是
M B P
·l 8.9 5 22.25kN.m
2
2
MBu = MB +MB = 101.23 + 22.25 = 123.48（kN·m）
上面计算说明：当减小跨中截面配筋，使 D 点先出现塑
性铰，MDu = 84 kN·m时，需要增大支座截面配筋使 MBu = 123.48 kN·m，才能使连续梁承受同样的最大外 加荷载Pu = 116.59 kN，如图（h）。
面弯矩MBu 不变。连续梁就像两跨简支梁一样工作.
当跨中截面 D 点也出现塑性铰时，结构形成了可变机构， 这时结构才真正达到其承载能力极限，如图（e）。
MD = MDu－MD = 97.16－80.62 = 16.52（kN·m）
P M D 16.52 13.23kN
1/ 4 ·l 1/ 45
性理论认为，这时连续梁已达到承载力极限，弯矩分布 如图（c）。实际上结构并未丧失继续承载的能力，只 是B点出现了塑性铰，此时
MD = 0.156PeL= 0.156×103.36×5 = 80.62（kN·m） < MDu
说明结构仍能继续承载。
在继续加载时，B 点因形成塑性铰出现转动，并保持截
从上面分析，可以得出如下一些具有普遍意义的结论：
（1）塑性材料构成的超静定结构，达到结构承载能力 极限状态的标志不是一个截面的屈服，而是结构形成了 破坏机构。
（2）塑性材料超静定结构的破坏过程是，首先在一个 或几个截面上出现塑性铰，之后，随着外荷载的增加， 塑性铰在其它截面上陆续出现，直到结构的整体或局部 形成破坏机构为止。
（5）超静定结构的塑性内力重分布，在一定程度上， 可以由设计者通过改变截面配筋来控制。
（6）钢筋混凝土受弯构件在内力重分布过程中，构件 变形及塑性铰区各截面的裂缝开展都较大。为满足使用 要求，通常的作法是控制内力重分布的幅度，使构件在 使用荷载下不发生塑性内力重分布。
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
结构力学 第3章静 定梁、平面刚架受力分析
工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁 受均布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用 q’ 表示。
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q
cos
第3章
[例题] 试绘制图示斜梁内力图。
q
B
C
A
α
D VB
HA
l/3 l/3
l/3
VA
（1）求支座反力：
解：
X 0 MB 0 MA 0
HA 0
VA
ql 6
()
VB
ql 6
()
校核：
Y
qj 6
qj 6
ql 3
0
第3章
（2）AC段受力图：
（3）AD段受力图：
HAcosα HAsinα
HA VAsinα
VA VAcosα
MC
C
NC
α QC
HAcosα
dx
d2M dx2
q(x)
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其凹下去的曲 线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两 侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
解：
10KN/m A HA=0
4m VA=26.25kN
30KN.m
20KN
C
D
B
E
2m
2m
32.5 2.5
3m VB=33.75KN 60
（1）计算支座反力
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q
cos
第3章
[例题] 试绘制图示斜梁内力图。
q
B
C
A
α
D VB
HA
l/3 l/3
l/3
VA
（1）求支座反力：
解：
X 0 MB 0 MA 0
HA 0
VA
ql 6
()
VB
ql 6
()
校核：
Y
qj 6
qj 6
ql 3
0
第3章
（2）AC段受力图：
（3）AD段受力图：
HAcosα HAsinα
HA VAsinα
VA VAcosα
MC
C
NC
α QC
HAcosα
dx
d2M dx2
q(x)
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
（2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其凹下去的曲 线象锅底一样兜住q(x)的箭头。
（3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两 侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
解：
10KN/m A HA=0
4m VA=26.25kN
30KN.m
20KN
C
D
B
E
2m
2m
32.5 2.5
3m VB=33.75KN 60
（1）计算支座反力
建筑力学 材料力学 梁的内力
x
②写出内力方程 Q( x ) YO P
M ( x) YO x M O P( x L)
x
③根据方程画内力图。
q
解：①写出内力方程
L Q(x) ○ x – qL
qL2 2
Q( x ) qx
1 M ( x ) qx2 2
②根据方程画内力图
⊕ M(x) x
x
Q(x)
2
106 .30 1.855rad
3.14 1 0.01 7800 9.8 [3.14 0.52 1 0.52(1.855 sin106.3)] 1000 9.8 2
9 (kN/m)
q — 均布力
§4–3 一、弯曲内力：
举例
梁的内力及其求法
目
录
§4–1 工程中的弯曲问题 §4–2 梁的荷载和支座反力 §4–3 梁的内及其求法 §4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
§4–5 弯矩、剪力、荷载集度间的关系
§4–1 工程中的弯曲问题 一、弯曲的概念
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
mB (Fi ) 0 , 1 2 qLx2 M 2 q( x2 a) 0 2
图（a） B M2 x2 Q2
1 M 2 q( x2 a)2 qLx2 2
图（c）
§4–4 内力图 — 剪力图和弯矩图
一、 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q( x ) M M (x)
Q Q 图 特 征
水平直线
Q Q
斜直线
Q
梁的内力
MA=0
MC=FA×2=30×2kN·m=60kN·m
CD段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MC和MD左 MD左=FA×4-F×2=(30×4-20×2)kN·m=80kN·m
D截面：有逆时针方向的集中力偶M作用，弯矩图向上突变M=40kN·m
MD右=MD左-M=(80-40)kN·m=40kN·m
截面上必有弯矩M，且M=FAC。当左段梁若平衡，横截面 上必有两个内力分量：平行于横截面的竖向内力Fs以及位 于荷载作用面的内力偶M。内力Fs称梁横截面内的剪力， 而内力偶M称为梁横截面内的弯矩。
Fs
C
A
M
FA
x
若以右段梁为研究对象，由作用力与反作用力定律可知，
右段梁横截面上的内力值仍为Fs和M，指向与左段梁横截面
MBF0
F 6 M q 4 2 F A 8 0
解之得：
FA 30kN FB 30kN
（2）画剪力图
从左向右作图，全梁分为A端、AC段、C端、CD段、DB段和B端。
31
FA=30kN AC段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FC左=FA右=30kN C端：有向下的集中力F作用，剪力图向下突变F=20kN
Mx=FA x-qx2/2= 81/32qa2
BC段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MB和MC。
MC 0
29
剪力图与弯矩图
30
[例] 如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。
F=20kN M=40kN
FA
FB
解：（1）计算支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得：
MAF0
F B 8 M F 2 q 4 6 0
M144 kNm
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2.弯矩图与荷载的关系
• （1）在均布荷载作用的区段，M图为抛物 线。
(2)当q(x)朝下时，M图为上凹下凸 当q(x)朝上时，M图为上凸下凹。
(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中 力向下，则M图向下转折；反之，则向上转折。
(4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针 方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之， 由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。
3. 弯矩图与剪力图的关系
•(1)当FS图为斜直线时，对应梁段的M图为 二次抛物线。当FS图为平行于x轴的直线时， M图为斜直线。
(2) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之， 弯矩具有极值的截面上，剪力不一定等于零。 左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。
不同载荷类型对应内力图的特点
无均布载荷 均布载荷
q=0
q≠0
集中力 F
集中力偶 M
剪力图 水平直线 斜直线
剪力图 有突变
无特殊 变化
弯矩图
斜直线
二次抛物线
弯矩图 有尖角
弯矩图 有突变
• 例题1 简支梁如图所示， • 试用剪力和弯矩的规律作
此梁的剪力图和弯矩图。
解： 1. 求约束反力 FAY=FBY=15KN
2. 画FS图 各控制点处的FS值如下：
• 作业 P163 6-7
ห้องสมุดไป่ตู้
BD段： 段内有向下均布荷载，M图为下凸抛物线，
MB=－8KN.m，ME=－4×1×0.5=－2KN.m, MD=0
小结
• 运用内力图规律作剪力图和弯矩图的步骤 是：1求支座反力。
• 2 将梁按荷载作用情况分分成几段，初 步分析各段的内力图形，并画出大致图形。
• 3 计算各控制截面的内力大小，并把计 算结果标在图形中。
•FSA右=FSC左=15kN
•FSC右=FSD=15 kN －10kN=5kN
•FSD=5kN
FSB左=－15kN
3. 画M图
MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－10kN×2m=40kN.m M-D右= 15kN×4m－5kN×4m×2m=20 kN.m MB=0
•ME=15 KN× 3m－5 KN× 3m× 1.5m=22.5KN.m
• 例题9.8 一外伸梁如图示。试用试用剪力 和弯矩的规律作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束力
FAY=5KN FBY=13KN
2.画内力图 (1)剪力图 ACB段：FS图为一水平直线 FSA右=FSC=FSB左=－5kN BD段：FS图为右下斜直线。
FSB右=4kN/m×2m=8kN，FSD=0
作梁的剪力图 (2) 弯矩图
AC段：FS<0，故M图为一右上斜直线 MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m
CB段：FS<0,故M图为一右上斜直线，在C处弯矩有
突变。 MC右=－5kN×2m+12kN.m MB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.m
1.剪力图与荷载的关系
(1)在均布荷载作用的区段，当x坐标自左向右取时， 若q方向向下，则FS图为下斜直线； 若q方向向上，FS图为上斜直线
(2)无荷载作用区段，即q(x)=0， FS图为平行x轴的直线。 (3)在集中力作用处，FS图有突变，突变方向与外力一致， 且突变的数值等于该集中力的大小。 (4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FS图是连续无 变化。