NOIP 2009复赛试题——细胞分裂 解题分析
题目分析
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一、读懂题意
对于任意一种细胞，期分裂的速度 是指数形式增长的，如：1,si, si2, si3, si4,…
Hanks 博士手里现在有 种细胞，编号从 博士手里现在有N 种细胞，编号从1~N，一个第 ， i 种细胞经过 秒钟可以分裂为 个同种细胞（Si 为正 种细胞经过1 秒钟可以分裂为Si 个同种细胞（ 整数）。 整数）。 现在他需要选取某种细胞的一个放进培养皿， 现在他需要选取某种细胞的一个放进培养皿，让其自 由分裂，进行培养。一段时间以后，再把培养皿中的 由分裂，进行培养。一段时间以后， 所有细胞平均分入M 个试管，形成M 份样本， 所有细胞平均分入 个试管，形成 份样本，用于实 验。 试管数M 很大， 试管数 很大，普通的计算机的基本数据类型无法存 储这样大的M 但万幸的是， 总可以表示为m1 储这样大的 值，但万幸的是，M 总可以表示为 次方， 其中m1， 的m2 次方，M = m1^m2 ，其中 ，m2 均为基本数 据类型可以存储的正整数。 据类型可以存储的正整数。
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【输入输出样例 2】
cell.in 2 24 1 30 12 cell.out 2 输入输出样例2 说明】 【输入输出样例 说明】 种细胞最早在3 秒后才能均分入24 个试管，而第2 第 1 种细胞最早在 秒后才能均分入 个试管，而第 种 最早在2 秒后就可以均分（ 最早在 秒后就可以均分（每 试管144/(241)=6 个）。故实验最早可以在 秒后开始。 ）。故实验最早可以在 秒后开始。 故实验最早可以在2 试管
【输出】 输出】
【数据范围】 数据范围】
对于所有的数据， 对于所有的数据，有1 ≤N≤ 10000，1 ≤m1 ≤ 30000，1 ≤m2 ≤ 10000， ， ， ， 1 ≤ Si ≤ 2,000,000,000。 。
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【输入输出样例 1】
cell.in 1 只有一种细胞 21 2个试管 1个细胞1秒钟可以分裂分裂成3个 3 cell.out -1 输入输出样例1 说明】 【输入输出样例 说明】 秒钟，细胞分裂成3 经过2 秒钟， 经过 1 秒钟，细胞分裂成 个，经过 秒钟，细胞分裂成 9 个，……，可以看出无论怎么分裂，细胞的个数都是 ，可以看出无论怎么分裂， 奇数，因此永远不能分入2 个试管。 奇数，因此永远不能分入 个试管。
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第2个疑问
对于每种细胞，如果它能够用来做实验（ sik mod M =0 ），那么用它来做试验的最早开始时间t应如何计算？
设：M的算术分解式为:p1a1*p2a2*p3a3*…ptat ，p1,p2,p3,…,pt 为M
的互不相同的质因数；且p1,p2,p3,…,pt 在Si的算术分解 式为的指数为b1,b2,b3,…bt,则 T=max{tt, 1≦i≦t} 期中，若ai mod bi =0， 则令tt=ai div bi,否则令tt=ai div bi +1
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枚举每一种细胞，计算其kmin的值, 东华初级中学 其中最小的就是题目所求。
输入输出
【输入】 输入】
输入文件名为 cell.in，共有三行。 ，共有三行。 第一行有一个正整数 N，代表细胞种数。 ，代表细胞种数。 第二行有两个正整数 m1，m2，以一个空格隔开，m1^m2即表示试 ， ，以一个空格隔开， 即表示试 管的总数M。 管的总数 。 个正整数， 个数Si 表示第i 种细胞经过1 第三行有 N 个正整数，第i 个数 表示第 种细胞经过 秒钟可以分 裂成同种细胞的个数。 裂成同种细胞的个数。 共一行，为一个整数， 输出文件 到实验 能够开始所经过的最少时间（单位为秒）。 ）。如果无论 能够开始所经过的最少时间（单位为秒）。如果无论 Hanks 博士选 择哪种细胞都不能满足要求，则输出整数-1。 择哪种细胞都不能满足要求，则输出整数 。
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由此可知，对于任意一种细胞 (si)，要想能够用它来试验， 东华初级中学 必然存在k,使得sik mod M =0
一、读懂题意
由此可知，对于任意一种细胞(si)， ， 要想能够尽早用它来试验，计算出 使得sik mod M =0 的最小kmin值。
注意，整个实验过程中不允许分割单个细胞， 注意，整个实验过程中不允许分割单个细胞，比如某 个时刻若培养皿中有4 个细胞， 个时刻若培养皿中有 个细胞，Hanks 博士可以把它 们分入2 个试管，每试管内2 然后开始实验。 们分入 个试管，每试管内 个，然后开始实验。但如 果培养皿中有5个细胞 博士就无法将它们均分入2 个细胞， 果培养皿中有 个细胞，博士就无法将它们均分入 个 试管。此时，博士就只能等待一段时间， 试管。此时，博士就只能等待一段时间，让细胞们继 续分裂，使得其个数可以均分， 续分裂，使得其个数可以均分，或是干脆改换另一种 细胞培养。 细胞培养。 为了能让实验尽早开始， 为了能让实验尽早开始，Hanks 博士在选定一种细胞 开始培养后，总是在得到的细胞“ 开始培养后，总是在得到的细胞“刚好可以平均分入 M 个试管”时停止细胞培养并开始实验。 个试管”时停止细胞培养并开始实验。 现在博士希望知道，选择哪种细胞培养， 现在博士希望知道，选择哪种细胞培养，可以使得实 验的开始时间最早。 验的开始时间最早。
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第一个疑问
对于每种细胞，什么条件下才存在 使得s 对于每种细胞，什么条件下才存在k ，使得 ik mod M =0？
假设：M的算术分解式为p1a1*p2a2*p3a3*…ptat ，p1,p2,p3,…,pt 为M
的互不相同的质因数； 使得s 则使得 ik mod M=0成立的条件是： p1,p2,p3,…,pt 也是Si 使得 的质因数。
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M的素数分解过程
t1:array[1..30000] of longint; fillchar(t1,sizeof(t1),0); temp:=m1; for i:=2 to temp do begin while temp mod i=0 do begin inc(t1[i],m2); mm1:=temp; temp:=temp div i; end; if temp=1 then break; end;
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细胞种类:2种 试管数M:24个=2*2*2*3=23*3 第1种细胞s1=30=2*3*5 第2种细胞s2=12=2*2*3=22*3 思考：如果s2=9,结果会怎样？
输入样例分析
又如： 又如： 1 210 1 280
细胞种类:1种 试管数M:70个=2*3*5*7 第1种细胞s1=280=23*5*7
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NOIP2009普及组复赛试题解题报告
NOIP2009xx组复赛试题解题报告xx1、多项式输出本题只是一个基本知识点考核的一个题目，主要是看参赛选手的细心程度，无算法体现。
先定义一个系数的数组a[105]。
首先这一题解题的大的方向需要考虑两点，多项式系数a[i]大于零和小于零两种情况，因为系数为零时不输出该项，而大于零的要求输出含有“+”号，小于零的直接输出。
然后在分项进行处理：第一项要单独处理，在处理第一项时有3种情况如下：If (a[i]==1)Else if (a[i]==-1)Else if (a[i]!=0)接着对第二项到第n-1项进行处理这里在循环里面处理又有（a[i]>0 && a[i]!=1）（a[i]==1）（a[i]<0&& a[i]!=-1）（a[i]==-1）这四种情况分别讨论。
然后对a[n-1]项进行处理，同上面的循环里的处理方法只要注意幂指数为1的时候不需要输出就可以了，省略幂指数。
最后对常数项处理，分两种情况，a[n]>0和a[n]<0两种情况分别讨论最终即可解出本题。
参考程序如下：#include"stdio.h"main(){FILE *fin,*fout;int i,a[105],n;fin=fopen("poly.in","r");fout=fopen("poly.out","w");fscanf(fin,"%d",&n);for(i=0;i<=n;i++)fscanf(fin,"%d",&a[i]);if(a[0]==1)fprintf(fout,"x^%d",n);else if(a[0]==-1)fprintf(fout,"-x^%d",n);else if (a[0]!=0)fprintf(fout,"%dx^%d",a[0],n);for(i=1;i<n-1;i++){if(a[i]>0 && a[i]!=1) fprintf(fout,"+%dx^%d",a[i],n-i);if (a[i]==1)fprintf(fout,"+x^%d",n-i);if(a[i]<0 && a[i]!=-1)fprintf(fout,"%dx^%d",a[i],n-i);if (a[i]==-1)fprintf(fout,"-x^%d",n-i);}if(a[n-1]>0 && a[n-1]!=1)fprintf(fout,"+%dx",a[n-1]);if(a[n-1]==1)fprintf(fout,"+x");if(a[n-1]<0&&a[n-1]!=-1)fprintf(fout,"%dx",a[n-1]);if(a[n-1]==-1)fprintf(fout,"-x");if(a[n]>0)fprintf(fout,"+%d",a[n]);if(a[n]<0)fprintf(fout,"%d",a[n]);fclose(fin);fclose(fout);}2、分数线划定本题就是一个基本的简单排序题目，由于数据范围比较小，不需要用到快排或者其他排序，只要会一种基本的排序即可，比如用最熟悉的冒泡就可以完成该题的所有测试数据。
NOIP普及组历届试题分析
对于100%的数据，3 ≤ n ≤ 100 测验题给出的正整数大小不超过10,000。
试题分析
题意大意：给你n个数，在这n个数中，找 到满足A+B=C的C的个数，注意不是这个 等式的个数。
样例中，1,2,3,4有1+2=3，1+3=4两个。
由于本题数据规模n<=100，我们可以直接
枚举C, A, B，三层循环解决问题。
扫雷游戏 (noip2015普及组第二题)
输入样例 1 33 *?? ??? ?*? 输入样例 2 23 ?*? *??
输出样例 1 mine.out *10 221 1*1 输出样例 2 mine.out 2*1 *21
对于 100%的数据，1≤n≤100，1≤m≤100
问题分析：
本题也是简单的枚举类试题。 我们从雷区的第一行第一列(1,1)开始，判断它周围 有多少个地雷。 由于本题读入的是字符，读入时需要注意： readln(n,m); for i=1 to n do begin for j=1 to m do read(a[i][j]); readln; end;
比例简化 (noip2014普及组第二题)
在社交媒体上，经常会看到针对某一个观点同意与 否的民意调查以及结果。例如，对某 一观点表示 支持的有 1498 人，反对的有 902 人，那么赞同与 反对的比例可以简单的记为1498:902。 不过，如果把调查结果就以这种方式呈现出来，大 多数人肯定不会满意。因为这个比例的数值太大， 难以一眼看出它们的关系。对于上面这个例子，如 果把比例记为 5:3，虽然与 真实结果有一定的误差， 但依然能够较为准确地反映调查结果，同时也显得 比较直观。 现给出支持人数 A，反对人数 B，以及一个上限 L， 请你将 A 比 B 化简为 A’比 B’，要求在 A’和 B’均 不大于 L 且 A’和 B’互质（两个整数的最大公约数 是 1）的前提下，A’/B’ ≥ A/B 且 A’/B’ - A/B 的值 尽可能小。
Noip2007、2009普及组复赛答案
Noip2007普及组复赛答案1——奖学金typeaa=recordy,s,w:integer;end;bb=recordf,h:integer;end;var a:array[1..300]of aa;b:array[1..5]of bb;n,i,j,k,t:integer;f:boolean;beginreadln(n);for i:=1 to 5 dowith b[i] do beginf:=0;h:=0;end;for i:=1 to n do beginwith a[i] do read(y,s,w);j:=1;f:=true;t:=a[i].y+a[i].s+a[i].w;while (j<=5)and f do beginif (t>b[j].f)or((t=b[j].f)and(a[i].y>a[b[j].h].y)) then begin for k:=5 downto j+1 do beginb[k].f:=b[k-1].f;b[k].h:=b[k-1].h;end;b[j].f:=t;b[j].h:=i;f:=false;end else if (t=b[j].f)and(a[i].y=a[b[j].h].y) then beginfor k:=5 downto j+2 do beginb[k].f:=b[k-1].f;b[k].h:=b[k-1].h;end;b[j+1].h:=i;b[j+1].f:=t;f:=false;end;j:=j+1;end;for i:=1 to 5 dowith b[i] do writeln(h,' ',f);end.Noip2007普及组复赛答案2——纪念品var a:array[1..30000]of byte;b:array[1..30000]of boolean;w,n,i,zu,k,ma,t:integer;beginreadln(w);readln(n);for i:=1 to 30000 do b[i]:=true;for i:=1 to n do read(a[i]);zu:=0;for i:=1 to n do beginma:=0;t:=0;if b[i] then for k:=i+1 to n doif (a[i]+a[k]<=w)and(a[i]+a[k]>ma)and b[i] and b[k] then begin ma:=a[i]+a[k];t:=k;end;if t<>0 then beginb[i]:=false;b[t]:=false;zu:=zu+1;end;end;for i:=1 to n do if b[i] then zu:=zu+1;writeln(zu);end.Noip2007普及组复赛答案3——守望者的逃离var maxs,mintime,t,m,s,t1,m1,s1:longint;procedure aa(m1,s1,t1:integer);beginif (s1>0)and(t1>0) then begins1:=s1-m1 div 10*60;t1:=t1-m1 div 10;m1:=m1 mod 10;m1:=m1+4;t1:=t1-1;aa(m1,s1,t1);m1:=m1-4;aa(m1,s1,t1);end else beginif maxs<s-s1 then maxs:=s-s1;if (t1>=0)and(mintime>t-t1) then mintime:=t-t1;end;end;beginreadln(m,s,t);maxs:=0;mintime:=2000000;t1:=t;m1:=m;s1:=s;aa(m1,s1,t1);if maxs<s then beginwriteln('No');writeln(maxs);end else beginwriteln('Yes');writeln(mintime);end;end.(pascal语言)Noip2007普及组复赛答案4——Hanoi双塔问题2007年11月21日星期三18:40var a:array[1..62]of integer;i,j,n:integer;f:boolean;beginreadln(n);for i:=2 to 62 do a[i]:=0;a[1]:=2;for i:=2 to n do beginfor j:=1 to 62 doa[j]:=a[j]*2;a[1]:=a[1]+2;for j:=1 to 62 doif a[j]>9 thenbegina[j+1]:=a[j+1]+1;a[j]:=a[j] mod10;end;end;f:=false;for i:=62 downto 1 dobeginif a[i]<>0 thenf:=true;if f then write(a[i]);end;writeln;end.(pascal语言)Noip2007普及组复赛答案4——Hanoi双塔问题2007年11月21日星期三18:40var a:array[1..62]of integer;i,j,n:integer;f:boolean;beginreadln(n);for i:=2 to 62 do a[i]:=0;a[1]:=2;for i:=2 to n do beginfor j:=1 to 62 doa[j]:=a[j]*2;a[1]:=a[1]+2;for j:=1 to 62 doif a[j]>9 thenbegina[j+1]:=a[j+1]+1;a[j]:=a[j] mod10;end;end;f:=false;for i:=62 downto 1 dobeginif a[i]<>0 thenf:=true;if f then write(a[i]);end;writeln;end.问题转述：给出一个一元多项式各项的次数和系数，按照规定的格式要求输出该多项式。
noip第十五届(2009年)信息学奥赛初赛试题答案
第十五届（2009年）信息学奥赛初赛试题答案一.单项选择题（共10题，每题1.5分，共计15分，每题有且仅有一个正确答案。
）1 、关于图灵机下面的说法哪个是正确的：答案（C）A）图灵机是世界上最早的电子计算机。
B）由于大量使用磁带操作，图灵机运行速度很慢。
C）图灵机只是一个理论上的计算模型。
D）图灵机是英国人图灵发明的，在二战中为破译德军的密码发挥了重要作用。
最早的计算机是ENIAC图灵机是计算机模型，没有运行速度，更谈不上磁带操作图灵机是英国人阿兰图灵提出的理论，阿兰图灵本人在二战中破译德军密码系统发挥重要作用，而不是图灵机发挥作用。
图灵是英国著名的数学家和逻辑学家，被称为计算机科学之父、人工智能之父，是计算机逻辑的奠基者，提出了“图灵机”和“图灵测试”等重要概念。
人们为纪念其在计算机领域的卓越贡献而设立“图灵奖”。
1936年，阿兰.图灵提出了一种抽象的计算模型── 图灵机(Turing Machine)。
图灵的基本思想是用机器来模拟人们用纸笔进行数学运算的过程，他把这样的过程看作下列两种简单的动作：在纸上写上或擦除某个符号；把注意力从纸的一个位置移动到另一个位置；“图灵机”不是一种具体的机器，而是一种思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算机装置，用来计算所有能想像得到的可计算函数。
装置由一个控制器和一根假设两端无界的工作带（起存储器的作用）组成。
工作带被划分为大小相同的方格，每一格上可书写一个给定字母表上的符号。
控制器可以在带上左右移动，它带有一个读写出一个你期待的结果。
外行人看了会坠入云里雾里，而内行人则称它是“阐明现代电脑原理的开山之作”，并冠以“理想计算机”的名称。
“图灵机”更在电脑史上与“冯·诺依曼机”齐名，被永远载入计算机的发展史中。
回顾20世纪科学技术的辉煌发展时，不能不提及20世纪最杰出的数学家之一的冯·诺依曼（美籍匈牙利人）。
20世纪40年代，冯·诺依曼在参与世界上第一台计算机-ENIAC的研制小组工作时，发现ENIAC有两个致命的缺陷：一是采用十进制运算，逻辑元件多，结构复杂，可靠性低；二是没有内部存贮器，操纵运算的指令分散存贮在许多电路部件内，这些运算部件如同一副积木，解题时必须像搭积木一样用人工把大量运算部件搭配成各种解题的布局，每算一题都要搭配一次，非常麻烦且费时。
NOIP2009提高组解题报告
[原创]NOIP2009提高组解题报告{继续供大牛BS}2009-11-21 10:46 P.M.第一题：水题，按照题目要求去枚举。
注意，同一个字母加密后的字母是一样的，加密后一样的字母原字母也是一样的。
vars1,s2,s3:string;a,b:array['A'..'Z']of char;i:longint;c:char;procedure main;beginreadln(s1);readln(s2);readln(s3);fillchar(a,sizeof(a),' ');fillchar(b,sizeof(b),' ');for i:=1 to length(s1) doif ((a[s1[i]]<>' ')and(a[s1[i]]<>s2[i]))or((b[s2[i]]<>' ')and(b[s2[i]]<>s1[i])) thenbeginwriteln('Failed');exit;endelsebegina[s1[i]]:=s2[i];b[s2[i]]:=s1[i];end;for c:='A' to 'Z' doif a[c]=' ' thenbeginwriteln('Failed');exit;end;for i:=1 to length(s3) dowrite(a[s3[i]]);writeln;end;beginassign(input,'spy.in');reset(input);assign(output,'spy.out');rewrite(output);main;close(input);close(output);end.第二题：数论题，分解质因数。
noip2009普及组初赛试题解析
2009年第十五届全国青少年信息学奥林匹克联赛初赛试题（普及组二小时完成）●● 全部试题答案均要求写在答卷纸上，写在试卷纸上一律无效●●一. 单项选择题（共20题，每题1.5分，共计30分。
每题有且仅有一个正确答案。
）1、关于图灵机下面的说法哪个是正确的：A) 图灵机是世界上最早的电子计算机B) 由于大量使用磁带操作，图灵机运行速度很慢。
C) 图灵机是英国人图灵发明的，在二战中为破译德军的密码发挥了重要作用。
D) 图灵机只是一个理论上的计算模型。
【分析】选择DA最早的计算机是ENIACB图灵机是计算机模型，没有运行速度，更谈不上磁带操作C图灵机是英国人阿兰图灵提出的理论，阿兰图灵本人在二战中破译德军密码系统发挥重要作用，而不是图灵机发挥作用。
2、关于计算机内存，下列说法哪个是正确的：A) 随机存储器（RAM）的意思是当程序运行时，每次具体分配给程序的内存位置是随机而不确定的。
B) 1MB内存通常是指1024*1024字节大小的内存。
C) 计算机内存严格说来包括主存（memory）、高速缓存（cache）和寄存器（register）三个部分。
D) 一般内存中的数据即使在断电的情况下也能保留2个小时以上。
【分析】选择B1MB=1024KB=1024*1024BA中RAM不是位置随机，而是随时访问，所谓“随机存取”，指的是当存储器中的消息被读取或写入时，所需要的时间与信息所在的位置无关。
C中高速缓存和寄存器的物理实现是集成在CPU中，这两部分不属于冯诺依曼体系中的五大部分的任意一个部分。
D中2秒都保留不住马上丢失3、下列关于BIOS的说法哪个是正确的：A) BIOS是计算机基本输入输出系统软件的简称。
B) BIOS包含了键盘、鼠标、声卡、显卡、打印机等常用输入输出设备的驱动程序。
C) BIOS一般由操作系统厂商来开发完成。
D) BIOS能提供各种文件拷贝、复制、删除以及目录维护等文件管理功能。
【分析】选A其实bios=Basic Input Output System。
全国信息学奥林匹克联赛(NOIP2009)复赛
全国信息学奥林匹克联赛（NOIP2009）复赛提高组（请选手务必仔细阅读本页内容）三．编译命令（不包含任何优化开关）五．注意事项1、文件名（程序名和输入输出文件名）必须使用小写。
2、C/C++中函数main()的返回值类型必须是int，程序正常结束时的返回值必须是0。
3、全国统一评测时采用的机器配置为：CPU 1.9GHz，内存1G，上述时限以此配置为准。
各省在自测时可根据具体配置调整时限。
1.潜伏者(spy.pas/c/cpp)【问题描述】R国和S国正陷入战火之中，双方都互派间谍，潜入对方内部，伺机行动。
历经艰险后，潜伏于S国的R国间谍小C终于摸清了S国军用密码的编码规则：1、S国军方内部欲发送的原信息经过加密后在网络上发送，原信息的内容与加密后所的内容均由大写字母‘A’—‘Z’构成（无空格等其他字母）。
2、S国对于每个字母规定了对应的“密字”。
加密的过程就是将原信息中的所有字母替换为其对应的“密字”。
3、每个字母只对应一个唯一的“密字”，不同的字母对应不同的“密字”。
“密字”可以和原字母相同。
例如，若规定‘A’的密字为‘A’，‘B’的密字为‘C’（其他字母及密字略），则原信息“ABA”被加密为“ACA”。
现在，小C通过内线掌握了S国网络上发送的一条加密信息及其对应的原信息。
小C 希望能通过这条信息，破译S国的军用密码。
小C的破译过程是这样的：扫描原信息，对于原信息中的字母x（代表任一大写字母），找到其在加密信息中的对应大写字母y，并认为在密码里y是x的密字。
如此进行下去直到停止于如下的某个状态：1、所有信息扫描完毕，‘A’—‘Z’所有26个字母在原信息中均出现过并获得了相应的“密字”。
2、所有信息扫描完毕，但发现存在某个（或某些）字母在原信息中没有出现。
3、扫描中发现掌握的信息里有明显的自相矛盾或错误（违反S过密码的编码规则）。
例如某条信息“XYZ”被翻译为“ABA”就违反了“不同字母对应不同密字”的规则。
2009年中国数学奥林匹克试题及解答
2009中国数学奥林匹克解答一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O.过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ⋅=⋅；（2）若EM FN EN FM ⋅=⋅，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接EQ ，MQ ，FR ，MR ，则11,22EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形，所以OQM ORM ∠=∠，由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以ABD ACD ∠=∠，于是图122EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，所以EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠，故EQM MRF Δ≅Δ，所以EM ＝FM ，同理可得EN ＝FN ，所以EM FN EN FM ⋅=⋅．（2）答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有EM FN EN FM ⋅=⋅，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则11,22NS OD EQ OB ==，所以NS OD EQ OB=．①CB又11,22ES OA MQ OC==，所以ES OAMQ OC=．②而AD∥BC，所以OA ODOC OB=，③由①，②，③得NS ES EQ MQ=．因为2NSE NSA ASE AOD AOE∠=∠+∠=∠+∠，()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB∠=∠+∠=∠+∠+°−∠(180)2AOE EOB AOD AOE=∠+°−∠=∠+∠，即NSE EQM∠=∠，所以NSEΔ～EQMΔ，故EN SE OAEM QM OC==（由②）．同理可得，FN OAFM OC=，所以EN FN EM FM=，从而EM FN EN FM⋅=⋅．CB二、求所有的素数对（p ，q ），使得q p pq 55+．解：若pq |2，不妨设2=p ，则q q 55|22+，故255|+q q ．由Fermat 小定理，55|−q q ，得30|q ，即5,3,2=q ．易验证素数对)2,2(不合要求，)3,2(，)5,2(合乎要求．若pq 为奇数且pq |5，不妨设5=p ，则q q 55|55+，故6255|1+−q q ．当5=q 时素数对)5,5(合乎要求，当5≠q 时，由Fermat 小定理有15|1−−q q ，故626|q ．由于q 为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以313=q ．经检验素数对)313,5(合乎要求．若q p ,都不等于2和5，则有1155|−−+q p pq ，故)(mod 05511p q p ≡+−−．①由Fermat 小定理，得)(mod 151p p ≡−，②故由①，②得)(mod 151p q −≡−．③设)12(21−=−r p k ，)12(21−=−s q l ，其中s r l k ,,,为正整数．若l k ≤，则由②，③易知)(mod 1)1()5(5)5(1112121)12)(12(2)12(21)12(2p r r q s r s p s lkl kl −≡−≡==≡=−−−−−−−−−−，这与2≠p 矛盾！所以l k >．同理有l k <，矛盾！即此时不存在合乎要求的),(q p ．综上所述，所有满足题目要求的素数对),(q p 为)3,2(，)2,3(，)5,2(，)2,5(，)5,5(，)313,5(及)5,313(．三、设m ，n 是给定的整数，n m <<4，1221+n A A A "是一个正2n +1边形，{}1221,,,+=n A A A P "．求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数．解先证一个引理：顶点在P 中的凸m 边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．事实上，设这个凸m 边形为m P P P "21，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设221π<∠P P P m ，则)13(2122−≤≤>∠−=∠m j P P P P P P m m j ππ，更有)13(211−≤≤>∠+−m j P P P j j j π．而321P P P ∠+11P P P m m −∠>π，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理．由引理知，若凸m 边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．在凸m 边形中，设顶点i A 与j A 为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设i A 与j A 的劣弧上包含了P 的r 条边（n r ≤≤1），这样的),(j i 在r 固定时恰有12+n 对．（1）若凸m 边形的其余2−m 个顶点全在劣弧j i A A 上，而j i A A 劣弧上有1−r 个P 中的点，此时这2−m 个顶点的取法数为21−−m r C ．（2）若凸m 边形的其余2−m 个顶点全在优弧j i A A 上，取i A ，j A 的对径点i B ，j B ，由于凸m 边形在顶点i A ，j A 处的内角为锐角，所以，其余的2−m 个顶点全在劣弧j i B B 上，而劣弧j i B B 上恰有r 个P 中的点，此时这2−m 个顶点的取法数为2−m r C ．所以，满足题设的凸m 边形的个数为))()()(12()12()()12(11111111121211221∑∑∑∑∑==−−+−−−=−=−−=−−−−+−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=++nr nr m rm r m r m rn r m r n r m r nr m rm r C C CCn C C n CCn ))(12(111−−+++=m nm n C C n ．四、给定整数3≥n ，实数n a a a ,,,21"满足1min 1=−≤<≤j i nj i a a ．求∑=nk k a 13的最小值．解不妨设n a a a <<<"21，则对n k ≤≤1，有k n a a a a k k n k n k 2111−+≥−≥++−+−，所以()∑∑=−+=+=n k kn k nk ka a a13131321()()()∑=−+−+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+=n k k n k kn k k n k a a a a a a 121211414321()∑∑==−+−+≥+≥n k nk k n k k n a a 13131218181．当n 为奇数时，222113313)1(412221−=⋅⋅=−+∑∑−==n i k n n i nk ．当n 为偶数时，32113)12(221∑∑==−=−+n i nk i kn ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=∑∑==21313)2(2ni nj i j )2(4122−=n n ．所以，当n 为奇数时，2213)1(321−≥∑=n a nk k，当n 为偶数时，)2(3212213−≥∑=n n a nk k ，等号均在n i n i a i ,,2,1,21"=+−=时成立．因此，∑=nk k a 13的最小值为22)1(321−n （n 为奇数），或者)2(32122−n n （n 为偶数）．五、凸n 边形P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n ，存在一种染色方式，使得对于这n 种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形P 的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？解当n 3≥为奇数时，存在合乎要求的染法；当n 4≥为偶数时，不存在所述的染法。
2009年生物奥赛试题解析
10.10．同源染色体联会后发生的实际双交换，往往不同于理论双交换的数量。
试分析下列选项哪一个正确（）A．若染色体某一区段发生了负干扰时，就意味着这一区段的实际双交换率低于理论双交换率，但却有双交换发生B．这一区段未发生双交换时，由于计算公式失效，显示出负干扰值C．当这一区段发生的双交换率高于理论双交换率时，所获得的并发率大于lD．这一区段的实际双交换率与理论双交换值相等时，由于计算公式中理论双交换值有系数0.5，所获得的并发率就呈现大于1 的数值命题意图：考查基因的连锁与交换率、交换值、干扰和并发率等相关内容。
解析：从理论上讲，除着丝点外，沿染色体的任何一点都有发生交换的可能。
但邻近的两个单交换间往往存在影响。
一个单交换发生后，在它邻近再发生第二个单交换的机会就会减少，这种现象称为干扰。
干扰程度的大小用并发系数（并发率）来表示，并发率等于实际双交换值除以理论双交换值。
并发率经常变动于0~1 之间。
干扰值=1-并发率。
如果同源染色体在一处发生了交叉，而其近旁则可发生频率较预期更高的交叉，这种现象称为负干扰。
负干扰是交换干扰的反义词，指并发率大于1 的情况，此时实际双交换指值大于理论双交换值。
当某一区段不发生双交换时，并发率=0，干扰值=1。
当实际双交换率与理论双交换值相等，并发率=1。
参考答案：C。
11.11．关于罗伯逊易位，以下哪一种陈述是正确的（）A．罗伯逊易位也可以叫做中心粒融合，其结果导致两条(近)端中心粒染色体的近似完全融合B．罗伯逊易位发生在两条只有单臂（或两臂长度比例极其悬殊）的染色体之间，造成（近似的）染色体合并C．罗伯逊易位发生在两条等臂（或两臂长度比例接近1）的染色体之间，造成（近似的）染色体合并D．上述A 和C 都是正确的命题意图：考查罗伯逊易位的概念。
解析：染色体易位是指染色体上某一区段移接到其非同源染色体上。
罗伯逊易位又称为着丝粒融合，发生在两近端着丝粒染色体（长臂与短臂相差较大的染色体）之间，两染色体都在着丝粒附近断裂，然后两长臂结合在一起形成一条较大的染色体，两短臂不能稳定的存在而丢失。
NOIP2009普及组解题报告 V1.0
NOIP2009普及组复赛试题解题报告孙禹达1、多项式输出(poly)问题描述：给定n和n+1个整数，求对应表达式。
解题思路：送分的水题，主要注意细节处理问题，其中有以下几点细节：1.系数为1不输出系数，为-1要输出负号。
2.系数为0不输出。
3.一次项不输出^1。
4.开头若为负数要输出负号。
处理好这些细节，AC应该很容易。
建议时间：15-25 min。
一般第一个题可能都很快写完，但是作为水题是不可以丢分的，所以花大约10分钟写完后再花10分钟调试，如果耽误时间过多不利于写之后的难题。
2、分数线划定（score）问题描述：给出录取人数n及所有面试者成绩和考号。
求出分数线和实际录取人数，以成绩从大到小排序，若成绩相同则考号从小到大的规律输出录取人考号与成绩。
解题思路：主要考察排序，看数据范围5<=n<=5000，对应任何一种排序都可以轻松AC，但是对于难度系数不高的题还是要注意细节问题，首先是分数线问题，先对成绩进行排序（这个时候也可以顺便对考号排序），将m*1.5得到的结果对应向下取整，那么这个人的成绩就是分数线，但是这个分数线内可能有重分的现象出现，所以根据题的要求要把这些人全部算上得出实际人数，然后按照顺序输出即可，如果前面没有对考号进行排序则应再将考号排序。
建议时间：15-25min。
没有任何考察难点，所以在保证不失分的情况下尽量节省时间，将该拿的分拿到即可，此题不用纠结于排序的方式，挑最熟练的写，只要可以得分写的猥琐点也没有事（我就是冒泡，写的非常简单但是节省时间）。
3、细胞分裂（cell）问题描述：给出m1，m2以及若干个个si，求si^a mod m1^m2=0中a的最小值。
若无解，输出-1。
解题思路：首先一看就能想出暴力的方法，就是枚举。
这样的得分是50分，如果暂时想不出思路可以先把暴力写完，能拿的分先拿上。
然后观察题，发现m1^m2的值非常大，无法对其进行计算，所以要通过一些数学手段来简化这个式子。