解析几何期末试卷A卷
大学解析几何考试题及答案详解
大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。
2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。
对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。
二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。
答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。
将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。
2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。
答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。
这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。
三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。
大连理工大学线性代数与解析几何A卷答案(2014.6)
姓名：__________大 连 理 工 大 学 学号：__________课 程 名 称： 线性代数与解析几何 试卷： A 考试形式： 闭卷院系：__________ 授课院（系）： 数学科学学院 考试日期： 2014年6月16日 试卷共 6 页 _____ 级_____ 班装 得 分 一、（每小题4分，共40分）填空题1.已知222222222222kk k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A , 则3(6)(2)k k =+-A . 2. 设1300250000200003--⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A , 则1530021001000210003-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 订 3. 设123,,a a a 是一线性无关的向量组，若向量组122313,,k k -++a a a a a a 线性相关， 则k 需满足条件1-1k =或4. 矩阵111022021113-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的行最简形为1-10000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5. 已知25141001k -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 有三个线性无关的特征向量，则=1k 线6. 设1231233,2223p k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b ，方程组=Ax b 无解，则,p k 应满足关系2k p =7. 过点0(1,2,3)P ，且垂直于直线4010x y z y z +++=⎧⎨--=⎩的平面的一般式方程为230x y z -++-=8. 已知二次型10()9000T k f k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x x 为正定二次型，则k 需满足条件03k <<9. 在空间直角坐标系Oxyz 中，设22a i j k =+- ，b i j =+，则a 与b 的夹角为π410. 设[]1234,,,=A a a a a ，123,,a a a 线性无关，且412323=++a a a a ， 则齐次线性方程组=Ax 0的通解为[]1,2,3,1Tk -得 分 二、（每小题2分，共10分）单项选择题1.方阵A 是降秩矩阵的充要条件是（ D ）（A ）()()r r <AB B （B ）方程组=Ax b 有无穷多个解 （C ）存在非零矩阵B ，使得≠AB O （D ）存在非零矩阵B ，使得=AB O 2.设,A B 都是n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，且,,≠≠+=+A E B E AB E A B ， 则必有（ A ）（A ） 0,0-=-=A E B E （B ） 0,0-=-≠A E B E （C ） 0,0-≠-≠A E B E （D ） 0,0-≠-=A E B E 3.设矩阵,,A B P 都是n 阶方阵，若=B AP ，且P 可逆，则（ B ） （A ）矩阵A 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （B ）矩阵A 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 （C ）矩阵P 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵P 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价4.已知123,,ηηη是齐次线性方程组=Ax 0的基础解系，则该方程组的基础解系还可选用（ C ）（A ）122331,,ηηηηηη--- （B ）与123,,ηηη等秩的向量组 （C ）122331,,ηηηηηη+++ （D ）与123,,ηηη等价的向量组5.设对称矩阵111111111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，200000000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，则A 与B （ B ） （A ）合同且相似 （B ）合同但不相似（C ）不合同但相似 （D ）不合同且不相似得 分 三、（8分）已知210120,2,001**⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ABA BA E 求.B解：由2**=+ABA BA E ，得(2),(2)*-=-=A E BA E A E B A A11(2)3-=-B A E A10100102100,(2)100001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A E A E12012103001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦B 得 分 四、（8分）求向量组[][][]1231,1,0,1,3,2,2,4,2,1,2,3,TTT===a a a[]41,0,2,1T=--a 的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
大一解析几何期末考试试题
是
。
x �2 y �1 z
6. 直线
�
� 与 z 轴的夹角为
1 05
7.
x2
曲面
�
y2
�
z2
� 1 是由
4
4
曲线绕
8. 曲面 z � xy 被 yoz 坐标面截得的曲线方程为
图形是
。
。 轴旋转而产生的。
，
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__________级 _________系 ___________专业 _____________班 姓名____________ 考号或学号_______ ——————————————密——————————————封——————————————线————————————
____________________________________________________________________________________________________________
9. 二次曲面 y2 � x2 � 2z 关于 4
轴对称。
10.二次曲线 2x2 � 5xy � 2 y2 � 6x � 3y � 5 � 0 的中心为
a � �1,�2,4�和 b � �2m,1,5�垂直，则 m =
。
�x2 � y2 � a2
3.方程组
� �
x
2
�
z2
�
a2
所表示的图形是
。
�x � y � z � 0
4. 直线 l ： �
与平面� : 3x � 2y � 0 的位置关系是
。
�2x � y � z � 0
� � 5. 过 点 M a,b, c 且 与 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 的 夹 角 分 别 为 �, � ,� 的 直 线 的 对 称 式 方 程
解析几何期末试卷A参考答案及评分标准.
解析几何期末试卷A 参考答案及评分标准一、（10分）写出下列方程在空间所表示的图形名称.1．1321222-=++z y x 虚椭球面 2．0222=++-z y x 二次锥面（圆锥面）3．1321222=++-z y x 单叶双曲面4．y z x 22122=+ 椭圆抛物面 5．y x 22= 抛物柱面 .二、（10分）试证：对于给定的四个向量}3,5,1{=a ，}2,4,6{--=b ，}7,5,0{-=c ，}35,27,20{--=d ，总可以确定三个实数l ，m ，n ，使得a l ，b m ，c n ，d 构成封闭折线.证明：假设a l ，b m ，c n ，d构成封闭折线，则=+++d c n b m a l （4分）于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+--=-+0357230275450206n m l n m l m l （6分） 解出 2=l ，3=m ，5=n所以命题成立. （10分）三、（15分）设向量a ，b ，c 两两互相垂直，1||=a ，2||||==c b ，并且向量c b a r -+=，证明：1,cos ,cos ,cos 222>=<+><+><c r b r a r. 证明：因为22)(c b a r -+=)(2222c b c a b a c b a ⋅-⋅-⋅+++=， 由题设条件可得3||=r ， （5分） 于是31||||,cos =⋅>=<a r a r a r，32||||,cos =⋅>=<b r b r b r ，32||||,cos -=⋅>=<c r c r c r（12分） 所以1,cos ,cos ,cos 222>=<+><+><c r b r a r （15分） 四、（10分）试求经过点)1,2,4(-P 和x 轴的平面方程. 解：由于平面过x 轴，可设为0=+Cz By （5分）以)1,2,4(-代入，得 02=+-C B于是 B ：C ＝1：2 （8分）故所求平面方程为02=+z y （10分）五、（10分）试求经过点)1,0,1(-P ，并且与直线1l ：321z y x ==和2l ：431221-=-=-z y x 都相交的直线的方程.解：过)1,0,1(-P 与直线1l 的平面方程为321010001000=-------z y x即02=+-z y x （4分） 过)1,0,1(-P 与直线2l 的平面方程为412312011321=-------z y x即 022=--+z y x （8分）∴所求直线方程为 ⎩⎨⎧=--+=+-02202z y x z y x （10分）六、（10分）证明直线1l ：01123-==-z y x 与2l ：10211zy x =-=+是异面直线. 证明： 1l 的方向向量 }0,1,2{， 2l 的方向向量 }1,0,1{ （4分） 取 1l ， 2l 上的点 )1,0,3(， )0,2,1(- （6分）计算7110120120)1(3≠=----所以 1l 与 2l 是异面直线. （10分）七、（10分）试求到定点与定直线的距离之比等于常数0>λ的点的轨迹方程，并根据λ的取值范围，说明轨迹的形状（注：假定定点不在定直线上）. 解：设定点不在定直线上，建立坐标系，使定直线为x 轴，定点为),0,0(c C ，（0≠c ）. 设动点为),,(z y x P ，则由假设可知),(),(轴x P d C P d λ=， 即 22222)(z y c z y x +=-++λ 平方，得 02)1()1(222222=+--+-+c cz z y x λλ（5分）①当1=λ时，得 0222=+-c cz x即)2(22cz c x -= 此为抛物柱面. （8分）②当1≠λ时，得2222222221)1)(1()1(λλλλλ-=---+-+c c z y x ， 则当1>λ时，此为单叶双曲面；当 10<<λ时，此为椭球面. （10分）八、（10分）试求单叶双曲面∑：11649222=-+z y x 上，经过点)0,2,0(M 的两条直母线方程.解：∑上两族直母线：λ族：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=+)21()43()21()43(1221y z x y z x λλλλ μ族：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=+)21()43()21()43(1221y z x y z x μμμμ将 )0,2,0(M 分别代入，可得 02=λ， 01=μ （6分）分别代入，可得所求直线方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+021043y z x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-043021z x y 即 ⎩⎨⎧=-=+02034y z x⎩⎨⎧=-=-02034y z x .（10分）九、（15分）在欧氏平面上，将方程0844222=+--+-y x y xy x 化成标准型，作出其图形，说明原方程表示什么曲线.解：由 022cot 122211=-=a a a θ得4πθ=于是 0tan 121111=+='θa a a 2tan 122222=-='θa a a 22sin cos 231313-=+='θθa a a0cos sin 231323=+-='θθa a a原方程化为： 04222=+'-'x y 配方0)2(222=-'-'x y 作平移变换 ⎩⎨⎧'=''-'=''y y x x 2 原方程化为x y ''=''222. （5分） 所以原方程表示抛物线. （10分）作图 （15分）。
解析几何期末复习题
解析几何期末复习题一、选择题1、已知直线06:21=++y m x l ，023)2(:2=++-m my x m l ，m 为何值时，若1l //2l 则m 的值为（ ）（A ）0 （B ）-1 （C ）0或1 （D ）0或-12、直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N两点，若MN ≥k 的取值范围是（ ）A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B. []304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦ ，，C.33⎡-⎢⎣⎦， D.203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3、以椭圆221169144xy+=的右焦点为圆心，且与双曲线221916xy-=的渐近线相切的圆的方程是（ ） A. 221090x y x +++= B. 221090x y x +--= C. 221090x y x +-+= D. 221090x y x ++-=4、椭圆22221()x y a b ab+=>>0的右焦点F ，A 点的坐标为2(,0)ac，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( ) A. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.02⎛ ⎝⎦D.)1,1二、填空题5、已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值是________．6、已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为___________.7、已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA ，PB 是圆012222=+--+y x y x 的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为 . 8、从双曲线22135xy-=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点P ，T为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -＝_________三、解答题9、已知：以点C (t, 2t)(t∈R , t≠ 0)为圆心的圆与x轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点．（Ⅰ）求证：△OAB的面积为定值；（Ⅱ）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程．10、已知点(2,0),(2,0)A B-，P是平面内一动点，直线P A、P B斜率之积为3 4 -.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)过点1(,0)2作直线l与轨迹C交于E F、两点，线段E F的中点为M,求直线M A的斜率k的取值范围.11、已知(2, 0)B为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A-，(2, 0)∆面积的最大值为A，B的动点，且A P B（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线A P与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线A P绕点A转动时，试判断以B D 为直径的圆与直线P F的位置关系，并加以证明．12、如图，椭圆的中心在原点，其左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，过1F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，与抛物线交于C 、D 两点．当直线l 与x轴垂直时，C D AB=（Ⅰ）求椭圆的方程；（II ）求22F A F B ⋅的最大值和最小值．答案与提示：1.D ；2. A ；3. C ；4. B ；5. 7；6. 221927xy-=7.；8. -提示：由21211||||||||22M O M F M F M F ==，及双曲线的定义，得12211||||||||(2)22M O M F M F M F a -=-=⨯-=（），又11||||||||M F M T TF M T =+= ，所以1|||3.M O M F - 9、解：（1）O C 过原点圆 ，2224tt OC+=∴．设圆C 的方程是 22224)2()(tt ty t x +=-+-令0=x ，得t y y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021==1142422||||O A B S O A O B t t∆∴=⋅=⨯⨯=，即：OAB ∆的面积为定值．（2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=．t t 212=∴，解得：22-==t t 或当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x ．10、解: (Ⅰ)设P 点的坐标为(,)x y ，依题意，有3(2)224y y x x x ⋅=-≠±-+ .化简并整理，得221(2)43xyx +=≠±.∴动点P 的轨迹C 的方程是221(2)43xyx +=≠±. …………………………4分(Ⅱ)依题意，直线l 过点1(,0)2且斜率不为零，故可设其方程为12x m y =+.由方程组2212143x m y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去x ，并整理得224(34)12450m y m y ++-=. 设),(),,(2211y x F y x E ,),(00y x M , 122334m y y m ∴+=-+ ，∴1202322(34)y y m y m +==-+∴00212234x m y m =+=+, 020244y m k x m ∴==-+. ………………8分① 当0=m 时，0k =； …………………………………………9分② 当0≠m 时, 144k m m=+44|4|4||8||m m mm +=+≥ 110484m m∴<≤+.10||8k ∴<≤. 1188k ∴-≤≤且0k ≠ .综合①、②可知，直线M A 的斜率k 的取值范围是1188k -≤≤. ……………………12分11、解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，(,0)F c ．由题意知解得b =，1c =．故椭圆C 的方程为22143xy+=，离心率为12．……6分（Ⅱ）以B D 为直径的圆与直线P F 相切．证明如下：由题意可设直线A P 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，B D 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k--=+．所以2026834k x k-=+，00212(2)34k y k x k=+=+． ……………………………10分因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±.直线P F x ⊥轴，此时以B D 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线P F 相切．当12k ≠±时，则直线P F 的斜率0204114PF y k k x k==--.所以直线P F 的方程为24(1)14k y x k=--．⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+点E 到直线P F的距离d =322228142||14|14|k k k k kk +-==+-．又因为||4||BD k = ，所以1||2d B D =．故以B D 为直径的圆与直线P F 相切．综上得，当直线A P 绕点A 转动时，以B D 为直径的圆与直线P F 相切．………14分 12、解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F -．设椭圆的方程：)0(12222>>=+b a by ax ．解方程组241y xx ⎧=-⎨=-⎩得C （-1，2），D （1，-2）．由于抛物线、椭圆都关于x 轴对称，∴11||||||||F C C D F A AB ==，1||2F A =，∴(1,2A ．∴221112ab +=又1222==-c b a ，因此，2211112b b+=+，解得21b =并推得22a =．故椭圆的方程为2212xy += ． …………4分（Ⅱ）由12(1,0),(1,0)F F -点①若AB 垂直于x 轴，则)22,1(),22,1(---B A ，22(2,(2,)22F A F B ∴=-=--，2217422F A F B ⋅=-= …………………………………………9分②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为)1(+=x k y由⎩⎨⎧=-++=022)1(22y x x k y 得 0)1(24)21(2222=-+++k x k x k0882>+=∆k，∴方程有两个不等的实数根．设),(11y x A ，),(22y x B .2221214kkx x +-=+, 222121)1(2kkx x +-=⋅………………………………11分),1(),,1(222112y x B F y x A F -=-=∴)1)(1()1)(1()1)(1(21221212122+++--=+--=⋅x x k x x y y x x B F A F22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++= 22222221)214)(1(21)1(2)1(k kkkkkk +++--++-+==)21(29272117222k kk +-=+-12110,121,0222≤+<≥+≥kk k]27,1[22-∈⋅∴B F A F ，所以当直线l 垂于x 轴时，B F A F 22⋅取得最大值27当直线l 与x 轴重合时，B F A F 22⋅取得最小值1-。
高中解析几何试题及答案
高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。
答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。
2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。
答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。
3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。
答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。
由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。
又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。
将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。
因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。
4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。
答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。
5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。
答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。
大一期末解析几何考试题
4.已知矢量 的模为 且矢量 在矢量 与 的夹角平分线上。求矢量 的坐标。（10分）
2.试证明对于任意四个矢量 ，当 不共面时有
8.以下方程中，可以化为截距式的是（）。
（A） （B）
（C） （D）
9.空间曲线L： 对 坐标面的射影柱面为（）
（A） （B）
（C） （D）
10.柱面 的母线方向矢量为（）。
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（每小题1分,共10分）
1.方程组 所表示的图形是。
2.设 是两两垂直的右旋单位矢量组，则 。
4.已知 =1， =5， =3，则 为（）。
（A）64（B）16（C）36（D）576
5.若三矢量 不共面，则与 相等的是（）
（A） （B） （C） （D）
6.参数方程 （ 为参数）的普通方程是（）
(A) (B)
(C) (D)
7.在空间直角坐标系下，方程 =0表示（）。
（A） 轴与 轴（B）一定点（C） 轴（D）两个平面
一、单项选择题(每小题3分，共30分)
1.设 则（）
(A) 共线(B) 共线
(C) 共线(D) 共线
2.对于二矢量 ，等式 成立的充要条件是（）
（A） 与 垂直（B） 与 均为
（C） 与 中有一个为 （D） 与 共线
3.若点A（-2，1，3），B（-2，-1，-3），则点A与点B关于（）对称。
（A） 面（B） 轴（C） 轴（D）原点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3.设 不共线， 与 所成的角为 ，则< <。
4.已知点M 和N ，则 的单位矢量的坐标为。
大学课程《解析几何》专业期末试题A卷及答案
《解析几何》期末考试试卷A适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 2011.7 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 .2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为 .3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标为 . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为 . 6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 , , .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 . 13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程 .15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 .16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= ,()a b c ⨯⨯= .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程 ,.二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程. 4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型.三、 求证两条直线异面122:101x y z l +-==-2321:151x y z l -+-==，并求公垂线方程. （9分）四、画图题(每题5分,共10分)1.作出两个曲面z =,224z x y -=+所围立体的图形.2. 作出由三个坐标面, 曲面22z x y =+和平面1x y +=所围的立体图形.《解析几何》期末考试试卷A 答案适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 2011.7 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分二. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 3412,,131313⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为. 3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = （-10，10，-5） .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标（-2，3，-5） . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为222(2)(1)(1)6x y z -+-++= .6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 拄面 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 112212cot 2a a a α-=时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 1I , 2I , 3I .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 （0，3，0） .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 单叶双曲面 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 2sin ρϕ= . 13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 5/3 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程0x y +=. 15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 （-2，1） . 16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= -2 ,()a b c ⨯⨯= （5，0，5） .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程0220x z x y z +=⎧⎨---=⎩,10x z y -=⎧⎨+=⎩. 二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.(3,4,0)s = 2分 (3,1,2)n =- 1cos 14s n s n θ⋅== 5分 12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与3240x y z -++=解方程组得（-2，-2，0） 7分2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.212121ijks =--(3,0,3)= 3分取一点45(,,0)33- 4分 参数方程为433535x t y z t ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩5分方向余弦cos α=，cos 0β=，cos ν= 7分3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程.2242x y z ⎧+=⎨=⎩， 224x y += 7分4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.平面束1(1)0x y z y λ--+-+=，(1,1,)n λλ=-+，1(1,1,2)n =- 3分 10n n ⋅=， 3312913I λ-=-=-，得0l ：3210210x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩， 6分 2224174210x y z y -++-= 10分5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型. 23113I -=-=8 3分， 中心型 4分。
解析几何试题
解析几何试题山东财政学院2005—2006学年第一学期期末考试《解析几何》试卷(A )一、填空（40分，每题4分）1. 设向量{3,6,1},{1,4,5},{3,4,12},a b c =--=-=-a b c + 那么向量在上的射影为.2．设{2,1,1},{1,2,1},,a b e a b =-=-单位向量同时垂直于与那么e ＝ .3．球面的中心在点(1,3,2),-而且球面通过原点，那么该球面的方程为 . 4．点(1,1,1)到平面x+3y -2=0的距离是 . 5. 点(0,0,1)到直线z y x =+=-2121的距离是 . 6．直线的与直线21123212-+=-=-=+=-z y x z -y x 距离是 .7. 过直线?=-=-113y x y x 和点(0,2,0)的平面是 .8．准线是9122x +y =z =，母线方向是（1，2，3）的柱面方程为 .（请用x,y,z 的一个方程表示） 9．直线0y z y z x -=??=?绕轴和轴旋转所生成的旋转曲面的方程分别为和 .10．中心二次曲线346843022x xy y x y -+--+=的中心为 ,线心二次曲线44632022x xy y x y -++-+=的中心直线的方程为 . 二．已知四面体的体积V ＝5，它的三个定点为(2,1,1),(3,0,1),(2,1,3)A B C --，又知它的第四个定点D 在y 轴上，试求点D 的坐标和从定点D 所引出的高的长h.三.,,a b c d设是三个两两垂直的非零向量，试证明任意向量可表示成222a d b d c d d a b c a b c=++四试求通过点(1,0,4)M -,垂直于平面34100,x y z π-+-=：13:312x y zl +-==且与直线平行的平面方程。
五. 求过点0(1,1,1)M 且与直线50:0x y z l x y z --=??+-=?垂直相交的直线的方程。
解析几何-期末考试试题3套卷
说明：1.试题集中填写（或打印）在方格内，字迹须工整清晰，答题纸另附；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核、签字；3.学生接到试卷后，应先检查是否有缺页，如有及时报告监考老师更换。
解析几何期末考试试题（A3）卷
八、（12分）已知二次曲线 化简其方程，写出相应的坐标变换公式，并作出它的图形.
七、(10分)在双曲抛物面 上求平行于平面 的直母线方程
4、平面 的法式化因子 为.
5、二次曲线 的主方向为，主直径为．
三、（8分）证明 ．
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
合计
得分
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个正确答案，把你认为是正确答案的代号，填在题后的括号内．（每小题4分,共20分）
1、如果 , ,若 ，则k为（）
A. ；B. ；C. ；D. .
2、二次曲线 属于（）
A.抛物型；B.椭圆型；C.双曲型；D.不能确定.
3、直线 与平面 的相关位置为（）
A．垂直；B．平行；C．相交；D．直线在平面上.
4、过点M(2，－3，－5)且与平面 垂直的直线为（）.
A． ；B． ；
C． ；D． .
说明：1.试题集中填写（或打印）在方格内，字迹须工整清晰，答题纸另附；2.试题须经教研室或系（部）领导认真审核、签字；3.学生接到试卷后，应先检查是否有缺页，如有及时报告监考老师更换。
解析为何值时，二次曲线 为中心直线（）
A.a=1.b=4；B.a=2,b=8；C.a=3.b=10；D.a=4,b=12.
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杭州师范大学理学院2014-2015 学年第一学期期末考试
==
26
,|,
-+-=的距离为。
3)到平面10
x y z
2、 下列叙述正确的是
（ ）
（A ）(,,)(,,)a b c c b a =；
（B ）222
222+1x y z a b c
-=-是直纹曲面；
（C ）三向量a 、b 、c 的混合积等于以a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积； （D ）如果0a ≠且a ∥b ，则存在数λ使得 b a λ=。
3、 向量(0,1,3),(4,2,3),αβ==若γ
与,αβ均垂直，且与z 轴所成角为锐角，
||=26γ，则向量γ的坐标为 （ ）
（A ）(6,24,8)-- (B)(6,24,8) (C)(6,24,8)-- (D) (6,24,8)
-
4、 直线
12
101
x y z +-==
与平面10x y +-=的夹角为 （ ）
（A ）
3π （B ）3π或23π （C ）6π （D ）6
π或
56π
5、 平面12(22)(342)0x y z x y z λλ+++++-=，如在z 轴上的截距为2，则12:λλ=
（ ）
（A ） 2:3 （B ）3:2 （C ）-2:3 （D ）-3:2
6、 点(2,1,1)M -和坐标原点在平面1:3210x y z π+-+=和2:31120x y z π+++=的
（ ）
（A ）同一个二面角内； （B ）相邻二面角内； （C ）对顶二面角内； （D ）不能确定。
7、 曲线22
2201
y z b c x -=⎧⎪⎨⎪=⎩
绕y 轴旋转所得到的曲面叫做
（ ）
（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）圆锥面 （D ）圆柱面
三、计算题（共50分）
1、已知四面体ABCD 的三个顶点为(1,0,1)A ，(1,1,5)B -，
(1,3,3)C ---，(0,3,4)D ,求此四面体的体积。
（7分）
2、求通过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩
且与平面4820:1x y z π--+=成4π
角的平面方程。
（7
分）
3、已知向量3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求向量,a b 的夹角。
（6
分）
4、已知异面直线120
:1,00
:10
x y l z x y l z -⎧+==⎧⎨
=+-⎩⎨
=⎩，求1l 和2l 间的距离及公垂线方程。
（8分）
5、求单叶双曲面222
14916
x y z +-=的过点(2,3,4)M - 的直母线方程。
（8分）
6、过点(2,1,3)A -与直线12
10:
2
l x y z --==
-相交且垂直的直线方程。
（7分） 7、求顶点为(1,2,4)A ，轴与平面22110x y z ++-=垂直，且经过点(1,0,1)P -的圆锥
面方程（7分） 四、证明题（共14分）
1、 （本题
7分）设点O 是平面上正多边形12
n A A A 的中心，证明：
120n OA OA OA +++
=
2、 （本题7分）证明：设点M 在三角形ABC 内（包括三边），则存在非负实数
,,k l m 使得
,OM kOA lOB mOC =++ 1k l m ++=。