03级空间解析几何期末试卷B
2003高二级期末数学复习测试解析几何(2)答案
2003年高二年级期末数学复习测试解析几何（2）1、直线0102=--y x 与双曲线152022=-y x 相交弦长=534，相交弦的中点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛32,316。
2、ABC ∆一边的两端是B （0，6）和C （0，-6）另两边斜率的积是94，则顶点A 的轨迹方程为)0(,1813622≠=-x x y 。
3、双曲线1)()(2020=---b y y a x x 则焦点F 到一渐近线的距离为b 。
4、抛物线0342=+y x 的焦点坐标为)163,0(-，准线是163=y 。
5、抛物线,22x y =则过焦点F 且垂直于对成轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，则=AB 2 ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则 =B A y y -1 。
（B A y y ,分别是A ，B 两点的纵坐标）6、抛物线的顶点是双曲线14491622=-y x 的中心，而焦点是双曲线的左顶点，则抛物线方程为x y 122-=。
7、以抛物线x y 82-=的焦点为圆心，且与该抛物线的准线相切的圆的方程为16)2(22=++y x 。
8、已知点（-2，3）与抛物线)0(,22>=p px y 的焦点的距离为5，则P=4。
9、设双曲线与椭圆1362722=+y x 有共同的焦点，它们的交点中一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。
解法1： 椭圆的两个焦点为)3,0(),3,0(21F F -，且双曲线与椭圆的一个交点为)4,15(M 设双曲线的方程为：)0,0(,12222>>=-b a bx a y则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-=+54115492222222b a b ab a 解之，得 15422=-∴x y 双曲线的方程为： 解法2：同解法1得到双曲线的焦点为)3,0(),3,0(21F F -，且双曲线与椭圆的一个交点为)4,15(M ， 由定义5,432422221==∴==∴=-=b a C a MF MF a 又解法3：双曲线与椭圆同焦点，则设双曲线的方程为：1362722=---λλy x 将两曲线的交点)4,15(M 坐标代入分成中0,3221==∴λλ（舍）15422=-∴x y 双曲线的方程为： 10、若双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-，①求双曲线的方程；②若点),3(m M 在双曲线上，求证21MF MF ⊥；③求21MF F ∆的面积。
空间解析几何练习与答案
空间解析几何与向量代数测试题一、 选择题(每小题6分，共24分 )1．点)1,3,2(-M 关于xoy 平面的对称点是（ ）（A ）)1,3,2(-- （B ）)1,3,2(--- （C ）)1,3,2(-- （D ）)1,3,2(-2．设向量,+=，则必有( )（A ）=- （B ）=+ （C ）0=⋅ （D ）=⨯3．向量{}z y x a a a ,,=，{}z y x b b b ,,=，{}z y x c c c ,,=， 则p n m a -+=34在x 轴上投影是（ ）（A ）x x x c b a -+34 （B ）()x x x c b a -+±34（C ）x x x c b a -+34 （D )y y y c b a -+344．平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=D A （C ）0,0=≠D A （D ）0==C B二、填空题 (每小题6分，共30分 )1．向量{}z y x a a a ,,=与三坐标轴正向夹角分别为γβα,,，则的方向余弦中的=αcos _____________2．平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 之间的距离等于__________3．球面2222R z y x =++与a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线的方程是______________（其中R a <<0）4．设向量a 的方向角3πα=，β为锐角，βπγ-=，且4=，则=___________.5．方程14222=+-z y x 表示的曲面是______________ 三、解答下列各题（46分 ）1．（12分） 求经过原点且垂直于两平面 0352:1=++-z y x π，073:2=--+z y x π的平面方程。
2．（12分）已知ABC ∆的顶点分别为)3,2,1(A ，)5,4,3(B 、)7,4,2(C ，求ABC ∆的面积.3．（10分）设{}1,4,1-=，{}5,4,3-=，求∧),sin(b a4．（12分）一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线 152132-=-+=-z y x ，求它的对称式方程.空间解析几何与向量代数测试题答案一、1．C 解：y x ,坐标不变，z 坐标变为相反数2．C 解：由已知条件得22)()(b a b a +=- ⋅-=⋅∴22 即0=⋅3． A解：由向量的线性运算易得)34,34,34(z z z y y y x x x c b a c b a c b a a -+-+-+=又向量a 在x 轴的投影就是直角坐标系中的坐标x a即 x x a a j =Pr =x x x c b a -+344． A 解：平面必过原点故0=D ；0,}0,0,1{,},,{=⇒⊥==A i i C B A .二、1．222z y x xa a a a ++ 2．1 解：184194221222=++-=d3．⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 解：⎩⎨⎧=+=++a z x R z y x 2222消去z 得：2222)(R x a y x =-++ 与0=z 联立得 ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 4．{}6,6,2- 解：43411)(cos cos ,21cos 22=-=-+=βπβα }6,6,2{}223,223,21{4223cos cos 83cos 2-=-⋅=⇒=-=⇒=⇒a γββ5．单叶双曲面三、解：1． 21,ππ法向量分别为{}5,1,21-=n ，{}1,3,12-=n …………….….4分 所求平面法向量为{}7,7,1421-=⨯=n n n ………………8分 又平面经过原点，故所求平面方程为 02=--z y x ……..………12分2．解：根据向量积的定义，可知三角形的面积A S ABC =∠=∆……………3分 由于{}{}421,2,2,2，，==，因此2642122+-==⨯ ………… 7分于是142)6(4216421222=+-+=+-=∆S ABC …………10分 3．()533018,cos -=-==∧ ………….5分 ()54,sin =∧ ……..…....10分 4．由直线在xoz 面上，可知此直线垂直于y 轴。
08级《线性代数与空间解析几何》试题B参考答案
《线性代数与空间解析几何》试题(B)参考答案与评分标准(090209)一、单项选择（每小题3分，共15分）1.D2.A3.B4.A5.C二、填空题（每小题2分，共10分）1. 3,2. 0,3. 2240x y z ⎧+=⎨=⎩, 4. 43-三、计算题（每小题10分，共30分）1.解 1201120112011001471201120112010001120112001200122322012400000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3 分 向量组的秩为3，一个最大无关组123,,ααα7(22)+ 分 4132ααα=-。
9 分2.解 21111(2)(1)11λλλλλ=+-，3 分12,4λλ≠≠- 当且时方程组有唯一解分2λ=-当时，方程组无解6 分(结论1分，过程1分)1λ=当时，方程组有无穷多解,7 分 通解12111010001x k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9 分 3.解 二次型对应的矩阵为122224242A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1 分 2122||224(2)(7)242I A λλλλλλ---=+-=-+--+，特征值为1232,7λλλ===-3 分12122122222,244000,1,024400001I A λλαα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-→== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时基础解系，5 分 82220117,254011,22450002I A λλα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=--→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭3当时基础解系，7 分222123132,,2273203X CY C f y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===+- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭经过正交化、单位化，正交变换标准型 9 分四、计算题（每小题8分，共24分）1.解，设所求平面的法向量为n ，则12(6,3,2),(4,1,2)n n n n ⊥=-⊥=-2 分12632(4,4,6)412i j kn n n =⨯=-=---取，5 分 所求的平面方程 2230x y z +-=。
2003年全国高中数学联赛试题及解答
2003年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月12日上午8:00-9:40)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2003年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是A. B. C. D.3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A)163(B)83(C)163 3 (D) 8 34．若x∈[－5π12，－π3]，则y=tan(x+2π3)－tan(x+π6)+cos(x+π6)的最大值是(A)125 2 (B)116 2 (C)116 3 (D)125 35．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A)85(B)2411(C)127(D)1256．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为π3，则四面体ABCD 的体积等于(A)32(B)12(C)13(D)33二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是．8．设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于．9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}若A⊆B，则实数a的取值范围是．10．已知a，b，c，d均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a－c=9，则b－d=．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．12．设M n={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…a n|a i只取0或1(i=1，2，…，n－1)，a n=1}，T n是M n中元素的个数，S n是M n中所有元素的和，则limn→∞S nT n=．三、（本题满分20分）13．设32≤x≤5，证明不等式2x+1+2x－3+15－3x<219．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R )与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠P AC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．1997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049解：452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是A. B. C. D.解：曲线方程为x2a+y2b=1，直线方程为y=ax+b．由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB 的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于(A)163(B)83(C)163 3 (D) 8 3解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．4．若x∈[－5π12，－π3]，则y=tan(x+2π3)－tan(x+π6)+cos(x+π6)的最大值是(A)125 2 (B)116 2 (C)116 3 (D)125 3解：令x+π6=u，则x+2π3=u+π2，当x∈[－5π12，－π3]时，u∈[－π4，－π6]，y=－(cot u+tan u)+cos u=－2sin2u+cos u．在u∈[－π4，－π6]时，sin2u与cos u都单调递增，从而y单调递增．于是u=－π6时，y取得最大值1163，故选C．5．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是(A)85(B)2411(C)127(D)125解：由x，y∈(－2，2)，xy=－1知，x∈(－2，－12)∪(12，2)，u=44－x2+9x29x2－1=－9x4+72x2－4－9x4+37x2－4=1+3537－(9x2+4x2)．当x∈(－2，－12)∪(12，2)时，x2∈(14，4)，此时，9x2+4x2≥12．(当且仅当x2=23时等号成立)．此时函数的最小值为125，故选D．6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为π3，则四面体ABCD的体积等于(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1×3×sin π3×2=3． 而四面体ABCD 的体积=16×平行六面体体积=12．故选B ． 二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0解：即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，⇒(|x |－⇒|x |<－5+12，或5－12<|x |<3．∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于 ．解：F 1(－5，0)，F 2(5，0)；|F 1F 2|=25．|PF 1|+|PF 2|=6，⇒|PF 1|=4，|PF 2|=2．由于42+22=(25)2．故∆PF 1F 2是直角三角形55． ∴ S=4．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R }若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．解：A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．解：a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9． ∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．解：如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得．设E 的射影为N ，则 MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．解：由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次．∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n ．∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118．三、（本题满分20分）13．设32≤x ≤5，证明不等式2x +1+2x －3+15－3x <219．NM DC B A解：x +1≥0，2x －3≥0，15－3x ≥0．⇒32≤x ≤5．由平均不等式x +1+x +1+2x －3+15－3x 4≤x +1+x +1+2x －3+15－3x 4≤14+x4．∴ 2x +1+2x －3+15－3x=x +1+x +1+2x －3+15－3x ≤214+x ．但214+x 在32≤x ≤5时单调增．即214+x ≤214+5=219．故证．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R )与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．解：曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t ) ∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ①若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c ≠0，得4x 2+4x +1=0，此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．解：对于⊙O 上任意一点A '，连AA '，作AA '的垂直平分线MN ，连OA '．交MN 于点P ．显然OP +P A=OA '=R ．由于点A 在⊙O 内，故OA=a <R ．从而当点A '取遍圆周上所有点时，点P 的轨迹是以O 、A 为焦点，OA=a 为焦距，R (R >a )为长轴的椭圆C ． 而MN 上任一异于P 的点Q ，都有OQ +QA=OQ +QA '>OA '．故点Q 在椭圆C 外．即折痕上所有的点都在椭圆C 上及C 外．反之，对于椭圆C 上或外的一点S ，以S 为圆心，SA 为半径作圆，交⊙O 于A '，则S 在AA '的垂直平分线上，从而S 在某条折痕上．最后证明所作⊙S 与⊙O 必相交．1︒ 当S 在⊙O 外时，由于A在⊙O 内，故⊙S 与⊙O 必相交； 2︒ 当S 在⊙O 内时(例如在⊙O 内，但在椭圆C 外或其上的点S ')，取过S '的半径OD ，则由点S '在椭圆C 外，故OS '+S 'A ≥R (椭圆的长轴)．即S 'A ≥S 'D ．于是D 在⊙S '内或上，即⊙S '与⊙O 必有交点．于是上述证明成立．综上可知，折痕上的点的集合为椭圆C上及C外的所有点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠P AC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠P AC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．证明：连AB ．∵ ∆PBC ∽∆PDB ， ∴ BD BC =PD PB ，同理，AD AC =PD P A ． ∵ P A=PB ，∴ BD AD =BC AC． ∵ ∠BAC=∠PBC=∠DAQ ，∠ABC=∠ADQ ．∴ ∆ABC ∽∆ADQ ． ∴ BC AC =DQ AQ ．∴ BD AD =DQ AQ．∵ ∠DAQ=∠PBC=∠BDQ ． ∴ ∆ADQ ∽∆DBQ ．∴ ∠DBQ=∠ADQ=∠P AC ．证毕．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．解：当3l 、3m 、3n的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m 104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n 104．即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0)但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)． 下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数， 设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N *，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501． 取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．证明：设点集为V ＝{A 0，A 1，…，A n －1}，与A i 连线的点集为B i ，且|Bi |＝b i ．于是1≤b i ≤n －1．又显然有i ＝0n －1∑b i ＝2l ≥q (q +1)2+2．O Q CD B AP若存在一点与其余点都连线，不妨设b 0＝n －1． 则B 0中n －1个点的连线数l －b 0≥12q (q +1)2+1－(n －1) (注意：q (q +1)＝q 2+q ＝n －1)＝12(q +1)(n －1)－(n －1)+1＝12(q －1)(n －1)+1 ≥12(n －1)+1≥[12(n －1)]+1．(由q ≥2) 但若在这n －1个点内，没有任一点同时与其余两点连线，则这n －1个点内至多连线[n －12]条，故在B 0中存在一点A i ，它与两点A j 、A k (i 、j 、k 互不相等，且1≤i ，j ，k )连了线，于是A 0、A j 、A i 、A k 连成四边形．现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－无公共点对．从而B 0－中点对个数≥i ＝1n －1∑(B i ∩B 0－中点对个数)．即C 2 n －b 0≥i ＝1n －1∑C 2 |B i ∩B 0－|≥i ＝1n －1∑C 2 b i －1＝12i ＝1n －1∑ (b 2i －3b i+2)≥12[1n －1(i ＝1n －1∑b i )2－3i ＝1n －1∑b i +2(n －1)](由平均不等式) ＝12[1n －1(2l －b 0)2－3(2l －b 0)+2(n －1)]＝12(n －1)[(2l －b 0)2－3(n －1)(2l －b 0)+2(n －1)2]＝12(n －1)(2l －b 0－n +1)(2l －b 0－2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2＝(n －1)(q +1)+2)≥12(n －1)[(n －1)(q +1)+2－b 0－n +1][(n －1)(q +1)+2－b 0－2n +2]＝12(n －1)[(n －1)q +2－b 0][(n －1)(q －1)+2－b 0]．(两边同乘以2(n －1)即(n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入)得 q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ① 但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3(b 0≥q +2)≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．② (nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③ 又(nq －q －n +3－b 0)、(nq －q +2－b 0)、q (n －b 0－1)、(q +1)(n －b 0)均为正整数，从而由②、③得， q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)＜(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)． ④ 由①、④矛盾，知原命题成立．又证：画一个n ×n 表格，记题中n 个点为A 1，A 2，…，A n ，若A i 与A j 连了线，则将表格中第i 行j 列的方格中心涂红．于是表中共有2l 个红点，当d (A i )＝m 时，则表格中的i 行及i 列各有m 个红点．且表格的主对角线上的方格中心都没有涂红．由已知，表格中必有一行有q ＋2个红点．不妨设最后一行前q ＋2格为红点．其余格则不为红点(若有红点则更易证)，于是：问题转化为：证明存在四个红点是一个边平行于格线的矩形顶点．若否，则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点．于是，前n －1行的前q ＋2个方格中，每行至多有1个红点．去掉表格的第n 行及前q ＋2列，则至多去掉q ＋2＋(n －1)＝q ＋2＋q 2＋q ＝(q ＋1)2＋1个红点．于是在余下(n －1)×(n －q －2)方格表中，至少有2l －(q ＋1)2－1＝q (q ＋1)2＋2－(q ＋1)2－1＝(q －1)(q ＋1)2＋1＝q 3＋q 2－q 个红点．设此表格中第i 行有m i (i ＝1，2，…，n －1)个红点，于是，同行的红点点对数的总和＝i ＝1n －1∑C 2 m i ．其中n －1＝q 2＋q ．(由于当n ＞k 时，C 2n ＋C 2k ＜C 2 n ＋1＋C 2k －1，故当红点总数为q 3＋q 2－q 个时，可取q 2行每行取q 个红点，q 行每行取q －1个红点时i ＝1n －1∑C 2 m i 取最小值，由下证可知红点数多于此数时更有利于证明．即) 但 q 2C 2q ＋q C 2q －1≤i ＝1n －1∑C 2 m i ．由假设，不存在处在不同行的2个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了q ＋2列，故还余q 2－1列，不同的列对数为C 2 q 2－1)i ＝1n －1∑C 2m i≤C 2 q 2－1． 所以q 2·q (q －1)＋q (q －1)(q －2)≤(q 2－1)(q 2－2)．⇒ q (q －1)(q 2＋q －2)≤(q －1)(q ＋1)(q 2－2)⇒q 3＋q 2－2q ≤q 3＋q 2－2q －2．矛盾．故证．。
2003年全国各地高考试题-解析几何高考题选
2003年解析几何高考题选一、选择题1．与曲线11-=x y 关于原点对称的曲线为（ ）(2003年辽宁1）A ．xy +=11B ．xy +-=11C ．xy -=11D ．xy --=112．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:22=+->=-+-的弦长为32时，则a =（ ）（2003年全国理5） A ．2 B ．22- C ．12- D ．12+3．直线x y 2=关于x 轴对称的直线方程为（ ）（2003年全国文1）A ．x y 21-= B ．x y 21=C ．x y 2-=D ．x y 2=4．抛物线y=ax 2 的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）（2003年天津文2）A ．81 B ．－81 C ．8 D ．－85．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1，F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ）（2003年天津文6）A ．3 B ．26 C ．36 D ．336．在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a byax by ax 与的曲线大致是( ) （2003年北京春文9）7.在x 轴和y 轴上的截距分别为2-，3的直线方程是（ ）（2003年安徽春理1）A.2360x y --=B.3260x y --=C.3260x y -+=D.2360x y -+= 8.圆22460x y x y +-+=截x 轴所得的弦与截y 轴所得的弦的长度之比为( ) （2003年安徽春理3） A. 23B. 32C. 49D.949．已知直线1)0(022=+≠=++yxabc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形（ ）（2003年北京春理10）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在10．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为3032,0,0=+==y x y x ，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）（2003年安徽春理12）A ．95B ．91C ．88D ．75二、填空题1.椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>在第一象限部分的一点P ,以P 点横坐标作为长轴长,纵坐标作为短轴长作椭圆2C ,如果2C 的离心率等于1C 的离心率,则P 的坐标为 （2003年安徽春理15）y yy yx x x x A B C D2、直线y=1与直线3y =+的夹角为 。
2003高二级期末数学复习测试解析几何1
2003年高二年级期末数学复习测试解析几何1
1、求焦距为6，离心率为
5
3的椭圆标准方程为 。
2、两个焦点的坐标是（-2，0）和（2，0），并且经过点P （23,25-）的椭圆方程为 ；的双曲线非方程为 。
3、点M （4,512）为椭圆125222=+y m
x 上一点，则点M 到准线的距离为 。
4、从椭圆的焦点看短轴的两端点的视角为o
60，则椭圆的离心率为 。
5、（1）等轴双曲线的一个焦点是),0,6(1-F 则它的标准方程为 ；渐近线方程为 。
（2）双曲线32822=-y x 的共轭双曲线的渐近线方程为 ；准线方程为 。
6、求以椭圆15
82
2=+y x 的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程为 。
7、通过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点，作x 轴的垂线，则垂线与双曲线交点的坐标为 ，两交点间的距离为 ，交点与两焦点的距离为 。
8、与焦点A （5，0）及定直线5
16:=
x l 的距离之比是5：4的点的轨迹方程为 。
9、根据k 的取值范围说明方程14
92
2=-+-k y k x 所表示的曲线。
10、双曲线的渐近线方程为x y 2
1±
=，焦点在x 轴上，焦距为10，求双曲线的方程。
大学《空间解析几何》期末考试复习
大学《空间解析几何》期末考试复习第一节 空间直角坐标系与向量的概念思考题：1. 求点与轴，平面及原点的对称点坐标. 解：关于轴的对称点为，关于平面的对称点为，关于原点的对称点为.2. 下列向量哪个是单位向量？ （1），（2），（3）. 解：（1）, 不是单位向量. （2）, 是单位向量. （3）, 不是单位向量.3. 自由向量具有什么样的特征？答：自由向量的特征是大小相等，方向相同，但起点不定. 4. 试举几个现实生活中能用向量描述的量？ 答：如力，速度，位移，力矩等.5. 与向量平行的单位向量有几个? 如何去求？试举例说明.答：与向量平行的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向.例如：若={1，1，1}，则与平行的单位向量为),,(z y x M x xOy ),,(z y x M x ),,(1z y x M --xOy ),,(2z y x M -),,(3z y x M ---k j i r ++={}1,0,121-=a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31b 13111222≠=++=r r ∴1)21(0)21(222=-++=a a ∴33)31()31()31(222=++=bb ∴a a a aa a. 习作题：1. 求平行于={1，1，1}的单位向量. 解：与平行的单位向量为.2. 求起点为，终点为的向量的坐标表达式及.解：==,.3. 求点到点之间的距离. 解：距离.4. 求使向量与向量平行.解：由得得. 5. 求与轴反向，模为10的向量的坐标表达式. 解： ==.6. 求与向量={1，5，6}平行，模为10的向量的坐标表达式. 解：, 故 .第二节 向量的点积与叉积{}1,1,131±=±a a aa {}1,1,131±=±a a )1,2,1(A )1,18,19(--B AB ||AB AB j i k j i 2020)11()218()119(--=-+--+--{20,20,0}--2200)20()20(||222=+-+-=AB )15,10,5(1M )45,35,25(2M 775)1545()1035()525(222=-+-+-==d λ}5,1,{λ=a }50,10,2{=b b a //5051012==λ51=λy a a j j 10)(10-=-⋅{0,10,0}-a b }6,5,1{6210==a a a {}6,5,16210100±=±=a b思考题:1. 若为单位向量，则是单位向量吗？答：不一定是.因为,若不垂直，则不是单位向量.2. 向量, 问有关系吗？ 答：, 故.3. 如何求同时垂直于向量的向量？答：因为既垂直于又垂直于，故(为常数). 习作题: 1. 求点的向径与坐标轴之间的夹角.解：设与, , 轴之间的夹角分别为，则, , . , , . 2.求同时垂直于向量和轴的单位向量.解：记, 故同时垂直于向量与轴的单位向量为. 3. 求与平行且满足的向量.a 与b b a ⨯^^),(sin ),(sin b a ba b a b a ==⨯a 与b b a ⨯a a a ⋅=2a a 与2a a a ⋅=2 22||a a =b a 与c b a ⨯a b )(b a c ⨯=λλ)1,2,1(M OMOM x y z γβα,,211)2(11cos 22=++==α22cos ==OM β21cos ==OM γ3π=∴α4π=β3π=γ{}8,6,3-=a y {}3,0,8010863--=-=⨯=kj ij a b a y {}3,0,8731--±=±b b k j i a ++=1=⋅x a x解：因, 故可设，再由得，即，从而.4. ，，，求，，，及，，，.解：依题意，，，，故，，.，，，.5. ，求及. 解：,. 6. 证明向量与向量垂直. 证明：, ， 即与垂直.平面与直线 思考题:1. 写出下列平面方程：（1）平面， （2）过轴的平面,（3）平行与的平面, （4）与，，轴正向截距相等的平面.x a //{}λλλλ,,==a x 1=⋅x a 1=++λλλ31=λ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31x {}0,0,1=a {}0,1,0=b )1,0,0(=c b a ⋅c a ⋅c b ⋅a a ⨯b a ⨯c a ⨯c b ⨯i a =j b =k c =0=⋅=⋅j i b a 0=⋅=⋅k i c a 0=⋅=⋅k j c b 0=⨯=⨯i i a a k j i b a =⨯=⨯j k i c a -=⨯=⨯i k j c b =⨯=⨯}}{{1,2,2,21,1==b a ,b a ⋅b a ⨯6122121=⨯+⨯+⨯=⋅b a }{0,3,3122211-==⨯kj ib a }{1,0,1=a }{1,1,1-=b 01110)1(1=⨯+⨯+-⨯=⋅b a 2π),(^=∴b a a b xOy z zox x y z解：（1）,（2）（为常数）, （3） (为常数), （4） . 2. 用一般式表示空间直线的表达式是否惟一，直线与有何关系？答：用一般式方程表示空间直线的表达式不唯一，因为过两平面相交直线的任意两个不同的平面的联立方程组均可表示这条直线.直线与平行.3. 在什么条件下，可以确定一个平面的方程？答：只要给出的条件能确定平面内的一点和垂直于平面的一个非零向量，即可确定一个平面的方程. 4. 在什么条件下，可以确定一条直线的方程？答：只要给出的条件能确定直线上的一点和平行于直线的一个非零向量，即可确定一条直线的方程.5. 由直线的一般式方程化为直线的点向式方程的关键点及主要步骤是什么？答：关键点是确定直线的方向向量.主要步骤是：①定点，由一般式方程任取直线上一点；②定向，由两平面的法向量的叉积求得直线的方向向量，最后写出点向式方程.0=z 0=+by ax b a ,c y =c a z y x =++)0(>a ⎩⎨⎧=+++=+++0,022221111D z C y B x A D z C y B x A ⎩⎨⎧=-=+32,0y x y x ⎩⎨⎧=+=-032,0y x y x ⎩⎨⎧=-=+320y x y x ⎩⎨⎧=+=-0320y x y x6. 若平面方程为，则满足下列条件的平面有何特点，且作图形：（1）, (2), (3), (4). 答：（1）平面过原点, （2）平面过轴,（3）平面平行于坐标面, （4）平面即为坐标面. 以上各题图形如下：0=+++D Cz By Ax 0=D 0==D A 0==B A 0===D B A 0=++Cz By Ax 0=+Cz By x 0=+D Cz xOy 0=z xOy xyz O(1)( 2)7. 在直线方程中有的分母为零时应如何理解？答：分母为零时，应理解为分子也为零.习作题 ：1. 写出过点且以为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为.2. 求过三点的平面方程. 解：设所求平面方程为,将的坐标代入方程，可得，故所求平面方程为.3. 求过点且与平面平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为,pz z n y y m x x 000-=-=-()3,2,10M {}1,2,2=n ()()()032212=-+-+-z y x ()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 0=+++d cz by ax C B A ,,d c b a -===1=++z y x ()1,0,01243=++z y x }2,4,3{=n从而其方程为, 即 .4. 写出过点且以为方向向量的直线方程. 解：方程为.5. 求过两点的直线方程.解：取直线的方向向量，则直线的方程为. 6. 求过点且与直线平行的直线的方程. 解：依题意，可取的方向向量为，则直线L 的方程为. 7. 求直线的点向式方程.解：令=0，可解得直线上一点,取直线的方向向量,所以直线的点向方程为：.8. 求直线与平面的夹角.解：直线的方向向量，平面的法向量. 设直线与平面的夹角为，则, 故 .()()()0120403=-+-+-z y x 2243=++z y x ()1,1,10M {}2,3,4=a 213141-=-=-z y x ()()2,1,2,1,2,1B A s {}1,1,1AB ==-111211-=--=-z y x ()1,1,1433221-=-=-z y x L L {}4,3,2=s 413121-=-=-z y x ⎩⎨⎧=+-=++032,1z y x z y x z 012(,,0)33M {}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kj i34312111--=-=3132431-=--=-z y x 23121z y x =-=-0=+-z y x {}2,3,2=s {}1,1,1-=n ϕ()()511111232121312sin 222222=+-+⋅++⨯+-⨯+⨯=⋅⋅=ns n s ϕ511arcsin =ϕ第四节 曲面与空间曲线思考题:1. 方程代表何曲面，分别与平面和的交线为何？答：方程代表圆锥面，与平面的交线是坐标面内的两条角平分线，与平面=1 的交线是平面=1内的双曲线，与平面=2的交线是平面=2内的圆.几种常见的二次曲面的名称及直角坐标系下的方程如何？ 答：（1）球面 方程为, （2）柱面 母线平行于轴的柱面方程为，母线平行于轴的柱面方程为，母线平行于轴的柱面方程为,（3）旋转曲面 以轴为旋转轴的旋转曲面的方程为，以轴为旋转轴的旋转曲面的方程为222y x z +=1,0==y x 2=z 222x y z +=0=x ⎩⎨⎧==0,22x y z yOzy⎩⎨⎧+==,1122x z y y z ⎩⎨⎧==+2,422z y x z ()()()2202020R z z y y x x =-+-+-x ()0,=z y f y ()0,=z x g z ()0,=y x h x (),22=+±x z y f y, 以轴为旋转轴的旋转曲面的方程为.投影柱面是如何定义的？其主要用途是什么？答：过空间曲线上的每一点作同一坐标面的垂线所形成的柱面, 称为关于这一坐标面的投影柱面，其主要用途是确定空间曲线的范围. 习作题:指出下列方程所表示的几何图形的名称 ，并画草图.（1） （2）, （3）, （4）.答：（1）平行于轴的直线, （2）母线平行于轴的椭圆柱面, （3）以轴为旋转轴的旋转抛物面, （4）两相交平面. 各题图形如下：()0,22=+±y z x g z ()0,22=+±z y x h C C ⎩⎨⎧=+=-,02,05z x 254322=+y x z y x 422=+022=-x z y z z yzOzxyO5 -2分别求曲线在面及面的投影. 解：消去变量，得, 故曲线在面内的投影曲线为 消去变量，得=1,.故曲线在面内的投影为 .求绕轴旋转所得旋转曲面的方程？ 解：方程为. ⎩⎨⎧=+=1,22z y x z xOy yOz z 122=+y x xOy ⎩⎨⎧==+,1,122zy x x z 12≤y yOz ⎩⎨⎧==0,1x z )11(≤≤-y 2y z =z 22y x z +=x y zO (3)xyz O (4)4.曲线绕轴旋转所得旋转曲面方程及名称为何？ 答：旋转曲面方程为，它称为旋转抛物面.5. 画出曲面与所围空间图形.⎩⎨⎧==0,52y x z x x z y 522=+221y x z --=22y x z +=。
线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准甄选范文
线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准试卷号：B20130314一、单项选择题(将正确答案填在题中括号内，每小题4分, 共20分)1、设),,(),,,(321321b b b B a a a A ==是两个三维向量，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=609406203B A T,则=T AB （B ）().6A ().9B ().15C ().12D 2、下列矩阵中，（ D ）不是正交矩阵。
）（A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001）（B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ）（C ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-21232321）（D ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22222222 3、二次型32232221321232),,(x tx x x x x x x f +++=是正定的，则t 的取值范围是（ C ）（A ）55<<-t (B )55>-<t t 或(C) 66<<-t (D ) 66>-<t t 或4、已知3阶方阵A 的3个特征值分别为10±，，则下列命题不正确的是（C ） ）（A 矩阵A 为不可逆矩阵； ）（B矩阵A 与对角阵相似；）（C 1和1- 所对应的特征向量是正交的；）（D 方程组0=Ax 的基础解系由一个向量组成。
5、直线:l 182511+=--=-z y x 与平面:π032=+-+z y x 的夹角为( A )）（A6π ）（B4π）（C 3π）（D2π二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分, 共20分) 1、设A 为3阶矩阵，将A 的第2列的2-倍加到第1列上得到矩阵B ,若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321B ,则矩阵=A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛98236514325 2、设4阶矩阵A 的秩为2，则其伴随矩阵*A 的秩=*)(A R 0 .3、设矩阵A 满足042=-+E A A ,其中E 为A 同阶的单位矩阵，则=--1）（E A E A+24、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=20224312a A ，若齐次线性方程组0=Ax 有非零解，则=a 2 。
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2003--2004学年第一学期补考试题（卷）
03级数教《空间解析几何》
一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分。
在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若a ,b ,c 共面, c ,d ,e
共面,则a , c , e
( )
（A ）不一定共面 （B ）一定共面 （C ）一定不共面 （D ）一定共线
2、关于零矢量的描述不正确的是
(
)
（A ）模不定
（
B ）方向不定 （
C ）模为零 （
D ）模定方向不定
3、i i j j k k ⋅+⋅+⋅=
(
)
（A ）0
（B ）3
（C ）1
（D ）0
4、若a ,b ,c 两两互相垂直,且模均为1,则a +b +c
的模为
(
)
（A
（B ）3
（C ）0
（D ）1 5、平面的法式方程中的常数项必满足
( )
（A ）≤0
（B ）≥0
（C ）< 0 （D ）＞0
6、将平面方程Ax+By+Cz=0化为法式方程时,法式化因子的符号 （ ）
（A ）任意 （B ）与B 异号 （C ）与A 异号 （D ）与C 异号 7、直线通过原点的条件是其一般方程中的常数项D 1,D 2必须满足
( )
（A ）D 1=D 2=0 （B ）D 1=0,D 2≠0 （C ）D 1≠0,D 2=0 （D ）D 1≠0,D 2≠0 8、两平面2x+3y+6z+1=0与4x+6y+12z+1=0之间的距离是 ( )
（A ）0
（B ）1
2
（C ）1
7
（D ）
114
9、设一直线与三坐标轴的夹角为,,λμν则下列式子中不成立的是 ( )
（A ）2
2
2
sin sin sin 1λμν++= （B ）2
2
2
cos cos cos 2λμν++=
（C ）222cos cos cos 1λμν++= （D ） 222sin ()sin ()sin ()1πλπμπν-+-+-=
10、下列方程中表示双曲抛物面的是
(
)
（A ）222x y z += （B ）2232x y z -= （C ）222x y z -= （D ）222x y z +=
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
把答案填在题中横线上。
1、平行于同一直线的一组矢量叫做 矢量。
2、三矢量不共面的充要条件是 。
3、 叫方向余弦。
4、两矢量a ⊥b 的充要条件是 。
5、给定直线000
:
x x y y z z l ---==
ＸＹＺ
和平面:0Ax By Cz D π+++=,则l π与平行的充要条件是 。
6、给定直线
111
1111:
x x y y z z l X Y Z ---==与2222222
:x x y y z z l ---==ＸＹＺ则12l l 与异面的充要条件是 。
7、在空间过一点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做 。
8、在直角坐标系下,单叶双曲面的标准方程是 。
9、柱面,锥面,椭球面,单叶(双叶)双曲面,椭圆(双曲)抛物面是直纹曲面的
有 。
10、单叶双曲面过一定点的直母线有 条。
三、判断题：本大题共10小题，共10分，正确的打”√”,错误的打”×”。
1、若a ,b 共线, b ,c
共线,则a ,c 也共线。
( ) 2、自由矢量就是方向和模任意的矢量。
( ) 3、若a ⊥b , 则|a +b |=|a -b
|。
( ) 4、若a ,b 同向,则|a -b |=|a |+|b |。
( ) 5、若a ,b 反向,则|a +b |=|a |-|b |。
(
) 6、两坐标面xoy 与yoz 所成二面角的平分面方程是x+y=0。
( ) 7、第Ⅴ卦限内点(x,y,z)的符号为(+,+,-)。
( ) 8、(a ,b ,c )=(c ,b ,a )。
( ) 9、点到平面的离差等于点到平面的距离。
(
) 10、将抛物线220
y pz
x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转所得曲面方程为222x y pz +=(
)
四、解答题：本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1、求通过点P(1,1,1)且与直线
1:
123 x y z
l==,
2
123 :
214 x y z
l ---
==都相交的直线方程.
2、求通过直线
50
40
x y z
x y
++=
⎧
⎨
-+=
⎩
且与平面48120
x y z
--+=垂直的平面方程.
3、求平行于平面320
x y
+=,且在x轴上的截距等于-2的平面方程. 4、已知锥面的顶点在原点,准线为
22
1
164
9
x y
z
⎧
-=
⎪
⎨
⎪=
⎩
,求此锥面的方程.
5、求两异面直线:
1111
110010
x y z x y z
+---
====
-
与的距离
.。