解析几何期末试卷A参考答案及评分标准.
高二数学解析几何试题答案及解析
高二数学解析几何试题答案及解析1.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．【答案】y2＝4x.【解析】略2.（12分）已知圆C过点A（，0）、B（，0），半径为2,且圆心在X轴上方。
（1）求圆C的方程（2）求圆C关于直线对称的圆的方程。
【答案】（1）（2）【解析】（1）中求圆的方程可采用待定系数法，设出方程后将已知条件代入，解出参数得到方程；（2）中首先求圆心关于直线的对称圆心，进而得到对称圆的方程试题解析：（1）设圆的方程为，半径为,代入已知两点得，解方程组得，所以方程为（2）C（1，1）关于的对称点为（-2，2）所以圆C关于直线对称的圆的方程为【考点】1．圆的方程；2．点关于直线的对称点3.双曲线与抛物线相交于两点，公共弦恰好过它们的公共焦点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可知点在双曲线上，故，在双曲线上，即【考点】双曲线的离心率4.如图，⊙O上一点在直径上的射影为，且，，则⊙O的半径等于．【答案】5【解析】先利用AB为圆的直径，判断出△ABC为直角三角形，进而利用射影定理求得AD，最后根据AB=AD+BD求得AB，则圆的半径可求．AB为圆的直径，∴∠ACB=90°在Rt△ABC中由射影定理可知CD2=BD×AD，∴16=8×AD，∴AD=2，．【考点】直角三角形中的射影定理5.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为．【答案】【解析】圆心到直线的距离为，圆的半径为1，结合图形可知切线长的最小值为【考点】1．数形结合法；2．直线与圆相切的位置关系6.己知圆和直线，在轴上有一点，在圆上有不与重合的两动点，设直线斜率为，直线斜率为，直线斜率为，（l）若①求出点坐标；②交于，交于，求证：以为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．（2）若：判断直线是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．【答案】（1），定点为；（2）直线过定点．【解析】第一问根据两斜率乘积等于，从而得到为直径，从而确定出点的坐标，应用直径所对的圆周角为直角，利用垂直关系，建立等量关系式，从而求得圆的方程，利用曲线过定点的原则，求得定点坐标；第二问想办法求得直线的方程，利用直线过定点问题的解决方法，从而求得直线所过的定点坐标．试题解析：（1），又因为在圆上，所以为直径，故,法一：设，令得，，令得，且，故，，令，则，故．故定点坐标为：．法二：，，得，，，得，故圆方程为：由，令，则，故．则定点为．（2）法一：解：设与圆联立得：，由韦达定理：，由得：，，同理，再利用．，，直线过定点．法二：可以先猜后证，，所以同号．不妨设，则，与圆联立得，，则，与圆联立得，此时，同理由圆对称性，当时，，此时点坐标，，若直线过定点，则联立上述直线的方程，求出交点，下面验证是否为定点．设过且与圆有交点的直线斜率为，则直线方程为，代入圆方程得：两交点．由韦达定理：，故，过定点．【考点】曲线过定点问题．7.已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（）A．B．C．D．1【答案】B【解析】两圆的圆心距为，圆半径为2，由勾股定理求得弦长为，故选B．【考点】两圆的位置关系．8.若圆M的方程为，则圆M的参数方程为．【答案】【解析】由圆的方程,可知圆心,半径为2.所以圆的参数方程为:.【考点】参数方程与普通方程间的互化.9.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：（本小题满分10分）（1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6且焦点在轴上（2）已知椭圆的中心在原点,且过点【答案】（1）（2）【解析】（1）由长轴长与短轴长的和为18得到的关系式，由焦距为6得到值，结合得到，从而求得椭圆方程；（2）求椭圆方程采用待定系数法，首先设出椭圆方程，代入两点坐标，从而解方程组求得系数，得到椭圆方程试题解析：（1）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，因为焦点在椭圆上，所以方程为（2）设椭圆方程为，所以方程为【考点】椭圆的方程及性质10.若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且，则此双曲线的离心率为．【答案】【解析】由双曲线的定义可知,,,即．,．【考点】1双曲线的定义；2双曲线的离心率．11.设是椭圆的左右焦点，P为直线上一点，是底脚为的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设交x轴于点M，∵是底角为30°的等腰三角形∴，且，∵P为直线上一点，，故选C．【考点】椭圆的简单性质12.已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】设在准线上的射影分别为，则，，，所以到轴距离为，故选C．【考点】抛物线的定义．【名师点晴】利用抛物线的定义可解决的常见问题：（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线; （2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上．13.已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为双曲线的渐近线方程，点到渐近线的距离，所以，即，所以答案应填：．【考点】1、双曲线几何性质；2、点到直线距离．【方法点晴】本题主要考查双曲线的渐近线和双曲线的离心率，涉及点到直线的距离公式，属于中档题．在解题时注意点在轴上，由对称性其到两渐近线的距离相等，故可任选一条，得到关系后，注意转化成的关系，从而得出离心率．14.已知椭圆（）上的点P到左、右两焦点的距离之和为，离心率为．（1）求椭圆的方程；过右焦点的直线交椭圆于A、B两点．若y轴上一点满足，求直线斜率k的值；（2）是否存在这样的直线，使的最大值为（其中O为坐标原点）？若存在，求直线方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）或，．【解析】（1）先利用椭圆的定义，得到，再利用离心率公式和进行求解；（2）先设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和在线段的垂直平分线上进行求解；利用点到直线的距离公式和弦长公式求三角形的面积，再求其最值，但要注意斜率不存在的情况．试题解析：（1），∴，∵，∴，∴．椭圆的标准方程为．（2）已知，设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，化简得：，∴，，，∴AB的中点坐标为G．（1）时，不满足条件；当时，∵，∴，整理得：，解得或．（2）当直线无斜率时，设直线方程为，代入椭圆方程，此时，，当直线存在斜率时，，∵，，∴，∴，综上，当直线方程为时，．∴满足题意的直线存在，方程为．【考点】1．椭圆的定义；2．椭圆的标准方程；3．直线与椭圆的位置关系．【易错点睛】本题主要考查椭圆的定义、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题；在处理直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系时，往往第一步设直线方程时容易忽视“直线的斜率不存在”这一特殊情况，导致结果错误不得分或步骤不全而失分，如本题（2） 中，当斜率不存在时的直线刚好满足条件，且也只有这一条直线符合题意．15.已知椭圆G：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（－3，2）．（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积．【答案】（1）；（2）【解析】由椭圆G的离心率为，右焦点为（，0）得，由此能求出椭圆G的方程；（2）设l：y=x+b，代入椭圆方程得4x2＋6mx＋3m2－12＝0根据韦达定理，所以，由此能求出△PAB的面积试题解析：（1）解：由已知得，，．解得．又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为．（2）解：设直线l的方程为y＝x＋m．由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB中点为E（x，y），则，y0＝x＋m＝．因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB．所以PE的斜率．解得m＝2．此时方程①为4x2＋12x＝0．解得x1＝－3，x2＝0．所以y1＝－1，y2＝2．所以|AB|＝．此时，点P（－3，2）到直线AB：x－y＋2＝0的距离为，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝．【考点】1．直线与圆锥曲线的综合问题；2．椭圆的标准方程16.直线与圆交于两点，则（是原点）的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心在直线上，则，点到直线的距离为，则．故本题答案选．【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离17.如果直线与椭圆相交于A、B两点，直线与该椭圆相交于C、D两点，且是平行四边形，则的方程是．【答案】．【解析】由题意可知，直线，所以的斜率为，又因为是平行四边形，过点，所以过点，所以直线的方程是，即，故应填．【考点】1、直线的方程；2、直线与椭圆的位置关系．【思路点睛】本题主要考查直线的方程和直线与椭圆的位置关系，渗透着数形结合的数学思想，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据平行四边形的基本性质可得直线，即可得出直线的斜率；然后由对称性可得出直线的方程过点，最后由点斜式方程即可得出直线的方程．其解题的关键是正确地运用椭圆的简单几何性质和平面图形的几何性质．18.已知的三个顶点的坐标为．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）若直线与平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大1，求直线与两条坐标轴围成的三角形的周长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在求直线方程时，应先选择恰当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直的直线或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；（2）当两条直线的斜率都存在时，两条直线平行，则这两条直线的斜率相等，当两条直线垂直时，斜率之积为．试题解析：（1），∴边上的高所在直线的斜率为又∵直线过点∴直线的方程为：，即（2）设直线的方程为：，即解得：∴直线的方程为：∴直线过点三角形斜边长为∴直线与坐标轴围成的直角三角形的周长为．【考点】1、直线方程；2、两条直线的位置关系．19.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．【答案】（1）；（2）△的周长是定值．【解析】（1）这是一个焦点在x轴上的椭圆，给出焦点坐标即得c的值，由椭圆上的点H和焦点结合椭圆的定义易求a的值，再由椭圆中三个参数a，b，c的关系，可得b的值，从而求得椭圆方程；（2）中，△的周长=，其中F是定点，P、Q是直2线PQ与椭圆的两个交点，可先设出P、Q两点的坐标，用两点间距离公式表示出，用弦长公式表示出|PQ|,通过椭圆方程消除其中的纵坐标，得到横坐标之间的关系，把韦达定理代入整理，看周长是否是定值．试题解析：（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是在椭圆上，椭圆的方程是；（2）方法1：设，则，，∵，∴，在圆中，是切点，∴，∴，同理，∴，因此△的周长是定值．方法2：设的方程为由得则与圆相切即∵，∵，∴，同理，∴，因此△的周长是定值．【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，函数与方程的思想方法．【方法点晴】（1）求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，有时可以利用椭圆的定义简化运算，提高解题速度；（2）在研究直线与圆锥曲线位置关系中的定值问题，通常是把待证的量用直线与圆锥曲线的两个交点坐标表示出来，先选取合理的参数，联立并整理方程组用韦达定理把两点坐标的和、积表示出来，代入整理，直接得到定值或者构造关于参数的函数关系式，用函数的知识求得定值．20.在△ABC中，、、，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程：：：则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为（用代号、、填入）。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知椭圆:的焦点分别为、，点在椭圆上，满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）本题求椭圆的方程只需确定一个未知数，建立一个方程即可，利用椭圆定义及焦点三角形,结合余弦定理可解：由，得，由余弦定理得，（Ⅱ）表明点在线段DE中垂线上，利用韦达定理列等量关系，求出与的关系，再根据判别式大于零，可解出的取值范围试题解析：（1）由，得，由余弦定理得，∴所求的方程为．（2）假设存在直线满足题设，设，将代入并整理得，由，得①又设中点为，，得②将②代入①得化简得，解得或所以存在直线，使得，此时的取值范围为．【考点】直线与椭圆位置关系2.抛物线：的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____．【答案】，．【解析】分析题意可知，∴准线方程为，焦点为，半径，∴所求圆方程为．【考点】1．抛物线的标准方程；2．直线与圆的位置关系．3.如图，为外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，，且，为线段的中点，的延长线交于点，若，则__________；_________．【答案】，．【解析】由切割线定理，∴，，再由相交弦定理，∵是的中点，∴，，则．【考点】1．切割线定理；2．相交弦定理．4.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；5.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．【答案】【解析】由已知及圆的弦切割线定理得，，又知点P是CD的中点，所以，再由相交弦定理得；故答案为：．【考点】圆的性质．6.已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，，所以，所以，所以椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．7.已知双曲线（，）的焦距为，若、、顺次组成一个等比数列，则其离心率为．【答案】【解析】根据题意，有，即，式子两边同时除以，得，结合双曲线的离心率的取值范围，可求得．【考点】双曲线的离心率．8.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是．【答案】【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且，即．【考点】椭圆的离心率．9.点M（χ，）是抛物线χ2=2P（P＞0）上一点，若点M到该抛物线的焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线（）的准线方程是，因为点到该抛物线的焦点的距离为，所以，解得：，所以该抛物线的方程是，因为点是抛物线上的一点，所以，所以点到坐标原点的距离是，故选D．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程．10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，过点作的垂线，垂足为，则为的中点．因为点的坐标为，所以，，所以，即，所以抛物线的方程为，此时，，所以直线的方程为，将其代入抛物线方程可得，，解得或，所以或，所以的面积为，故应选．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先过点作的垂线，垂足为，则为的中点，然后利用点的坐标为，可求出，进而得出抛物线的方程，从而得出直线的方程，最后将其与抛物线的方程联立求出点的坐标，即可求出的面积．其解题的关键是求出抛物线的方程和直线的方程．11.已知、、c为正数，（1）若直线2x－（b－3）y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，试求的最小值；（2）求证：．【答案】（1）25；（2）证明见解析．【解析】（1）先利用两直线垂直得到关于正数的关系，再利用基本不等式进行求解；（2）先对不等式左边的每个括号进行因式分解，再利用基本不等式进行证明．试题解析：（1）由已知，有：即：、为正数，当且仅当时取等号，此时：故当时，的最小值是25．（2）、、c为正数，【考点】基本不等式．12.如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）面积的最大值为．【解析】（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．再根据函数的单调性得面积的最大值为．试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知，点，则．设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，则，．据椭圆定义，得，则．从而，所以椭圆的标准方式是．（2）设点，，，则．两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，则．所以．设点到直线的距离为，则．所以．由，得．令，则．设，则．由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为．【考点】1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分．13.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为．双曲线的右焦点为，所以，即，即，过作准线的垂线，垂足为，则，即，设，则代入，解得．故应选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．14.已知抛物线：，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）．（1）当时，求直线的方程；（2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，故，设，，则可得则，由此可求直线的方程；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得，则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离，则，然后再根据基本不等式即可求出结果．试题解析：（1）因为，故设，，则故则因此直线的方程为；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离则今则，故．【考点】1．直线与抛物线的位置关系；2．点到直线的距离公式；2．基本不等式．15.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线将于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）极坐标与直角坐标之间的关系是，由此可实现极坐标方程与直角坐标方程的转化；（2）由直线参数方程的标准形式（即参数的几何意义），直线过点，直线上的标准参数方程为，把它代入圆的方程，其解满足，．试题解析：（1）由得，又，则有，配方得圆的标准方程为．（2）直线的普通方程为，点在直线上的标准参数方程为，代入圆方程得：．设对应的参数分别为，则，，于是．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．16.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P ，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此，本题思路简单，但运算量较大．试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以又因为，所以椭圆C的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得，．化简得，，所以，．当时，，所以．因为点为的中点，所以的坐标为，则．直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为．（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，由，得，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为．【考点】直线与椭圆位置关系17.选修4－4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为。
大连理工大学线性代数与解析几何A卷答案(2014.6)
姓名：__________大 连 理 工 大 学 学号：__________课 程 名 称： 线性代数与解析几何 试卷： A 考试形式： 闭卷院系：__________ 授课院（系）： 数学科学学院 考试日期： 2014年6月16日 试卷共 6 页 _____ 级_____ 班装 得 分 一、（每小题4分，共40分）填空题1.已知222222222222kk k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A , 则3(6)(2)k k =+-A . 2. 设1300250000200003--⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A , 则1530021001000210003-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 订 3. 设123,,a a a 是一线性无关的向量组，若向量组122313,,k k -++a a a a a a 线性相关， 则k 需满足条件1-1k =或4. 矩阵111022021113-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的行最简形为1-10000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5. 已知25141001k -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 有三个线性无关的特征向量，则=1k 线6. 设1231233,2223p k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b ，方程组=Ax b 无解，则,p k 应满足关系2k p =7. 过点0(1,2,3)P ，且垂直于直线4010x y z y z +++=⎧⎨--=⎩的平面的一般式方程为230x y z -++-=8. 已知二次型10()9000T k f k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦x x x 为正定二次型，则k 需满足条件03k <<9. 在空间直角坐标系Oxyz 中，设22a i j k =+- ，b i j =+，则a 与b 的夹角为π410. 设[]1234,,,=A a a a a ，123,,a a a 线性无关，且412323=++a a a a ， 则齐次线性方程组=Ax 0的通解为[]1,2,3,1Tk -得 分 二、（每小题2分，共10分）单项选择题1.方阵A 是降秩矩阵的充要条件是（ D ）（A ）()()r r <AB B （B ）方程组=Ax b 有无穷多个解 （C ）存在非零矩阵B ，使得≠AB O （D ）存在非零矩阵B ，使得=AB O 2.设,A B 都是n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，且,,≠≠+=+A E B E AB E A B ， 则必有（ A ）（A ） 0,0-=-=A E B E （B ） 0,0-=-≠A E B E （C ） 0,0-≠-≠A E B E （D ） 0,0-≠-=A E B E 3.设矩阵,,A B P 都是n 阶方阵，若=B AP ，且P 可逆，则（ B ） （A ）矩阵A 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （B ）矩阵A 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 （C ）矩阵P 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵P 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价4.已知123,,ηηη是齐次线性方程组=Ax 0的基础解系，则该方程组的基础解系还可选用（ C ）（A ）122331,,ηηηηηη--- （B ）与123,,ηηη等秩的向量组 （C ）122331,,ηηηηηη+++ （D ）与123,,ηηη等价的向量组5.设对称矩阵111111111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，200000000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，则A 与B （ B ） （A ）合同且相似 （B ）合同但不相似（C ）不合同但相似 （D ）不合同且不相似得 分 三、（8分）已知210120,2,001**⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ABA BA E 求.B解：由2**=+ABA BA E ，得(2),(2)*-=-=A E BA E A E B A A11(2)3-=-B A E A10100102100,(2)100001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A E A E12012103001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦B 得 分 四、（8分）求向量组[][][]1231,1,0,1,3,2,2,4,2,1,2,3,TTT===a a a[]41,0,2,1T=--a 的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
专题二 平面解析几何 A卷 必备知识全优+答案解析(附后)
专题二平面解析几何A卷必备知识全优一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知过点，的直线的斜率为，则( )A. B. C. 1 D. 22.若直线平分圆的周长，则b的值为( )A. 2B.C.D. 33.椭圆的离心率为( )A. B. C. D.4.已知双曲线C：的一个焦点和抛物线的焦点相同，则双曲线C的渐近线方程为( )A. B. C. D.5.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A、B，P为椭圆上异于A，B两点的动点，则( )A. B. C. D.6.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线与椭圆C的一个交点为在第一象限满足，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.7.抛物线上到直线的距离最短的点的坐标是( )A. B. C. D.8.我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设为优美椭圆，F、A 分别为它的左焦点和右顶点，B是短轴的一个端点，则等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为( )A. B. C. D.10.下列说法正确的是( )A. 过，两点的直线方程为B. 点关于直线的对称点为C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为11.2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆如图所示已知它的近月点离月球表面最近的点距离月球表面m千米，远月点离月球表面最远的点距离月球表面n千米，AB为椭圆的长轴，月球的半径为R千米．设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的有( )A. B. C. D.12.在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点和连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，直线l：与E交于A，B两点，则( )A. E的方程为B. E的离心率为C. E的渐近线与圆相切D. 满足的直线l有2条三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设双曲线的渐近线方程为，则a的值为__________.14.已知圆C：及直线l：，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为__________.15.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为__________.16.已知抛物线E：的焦点F到准线的距离为4，则__________；过点F作斜率为k的直线l交抛物线E于两个不同点A、B，若，则实数k的值为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
高二数学解析几何试题答案及解析
高二数学解析几何试题答案及解析1.已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，点的轨迹可能是下列图形中的：．（填写所有可能图形的序号）①点；②直线；③圆；④抛物线；⑤椭圆；⑥双曲线；⑦双曲线的一支．【答案】①③⑤⑦【解析】分析：由题意可得，点A可能在圆的外部，可能在圆的内部（但不和点O重合）、可能和点O重合、也可能在圆上，在这四种情况下，分别求出点Q的轨迹方程，即可得到答案．解：（1）当点A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，则QA-Q0=QP-QO=OP=r．即动点Q到两定点A、O的距离差为定值r＜OA，根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线的一支．故⑦满足条件．（2）当A为⊙O内一定点，且A不与点O重合，∵P为⊙O上一动点，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，QA=QP=OP-OQ=r-OQ，∴QA+OQ=r＞OA，故Q的轨迹是：以O，A为焦点，r为长轴的椭圆，菁优网故⑤满足条件．（3）当点A和原点O重合时，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则QA=QP，点Q是线段OP的中点，故有OQ="1" 2 OP="r" 2 ，故Q的轨迹是：以O为圆心，以r 2 为半径的圆，故③满足条件．（4）当点A在圆上时，线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，则Q和点O重合，故Q的轨迹是点O，为一个点，故①满足条件．故答案为①③⑤⑦．2.（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，-），（，），求双曲线的标准方程。
【答案】（1）；（2）【解析】（1）设抛物线的标准方程为，准线方程为；（2）设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入，求解．试题解析：（1）设抛物线的标准方程为，准线方程为，解得，所以抛物线方程是；（2）设双曲线的标准方程为，代入两点，，解得：，所以双曲线的方程是【考点】1．抛物线的标准方程；2．双曲线的标准方程．3.在极坐标中，与圆相切的一条直线方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可知圆的平面直角坐标方程为，化为标准式为，可以发现，与坐标轴平行的圆的切线为，所以选项中满足条件的是即，故选B．【考点】极坐标方程与平面直角坐标方程的转换，圆的切线方程．4.如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于，过点的圆的切线与的延长线交于点，在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【答案】D【解析】∵圆周角对应劣弧，圆周角对应劣弧，∴．∵弦切角对应劣弧，圆周角对应劣弧，∴．∵是的平分线，∴．∴．即平分．即结论①正确．又由，得．由．即结论②成立．由，得．即结论④成立．正确结论有①②④．故答案为D【考点】1.与圆有关的比例线段；2.命题的真假判断与应用．5.（本小题满分10分在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D 。
高一数学解析几何试题答案及解析
高一数学解析几何试题答案及解析1.原点和点（1，1）在直线的两侧，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略2.如图，在平面直角坐标系中，点，直线。
设圆的半径为，圆心在上。
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。
【答案】（1）y=3或3x+4y-12=0（2）[0，]【解析】（1）求两直线的交点得到圆心坐标，得到圆的方程，求圆的切线采用待定系数法，设出切线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到斜率k的值，从而确定切线方程，求解时要注意考虑斜率不存在时是否满足（2）首先由利用动点轨迹方程的求解方法得到点的轨迹方程，又在圆C上，因此转化为两圆有公共点，得到圆心距与半径的不等式关系，通过解不等式得到横坐标的取值范围试题解析：（1）由题设知，圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点，解得点C（3，2），于是切线的斜率必存在．设过A（0，3）的圆C的切线方程为y=kx+3，由题意，= 1，解得 k=0或，故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0．（2）因为圆心在直线y=2x-4上，所以圆C的方程为（x-a）2+[y-2（a-2）]2=1．设点M（x，y），因为MA=2MO，所以，化简得，所以点M在以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点M（x，y）在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2-1≤CD≤2+1，即1≤≤3．由5a2-12a+8≥0，得a∈R;由5a2-12a≤0，得0≤a≤．所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，]．【考点】1．直线与圆相切问题；2．动点轨迹方程；3．两圆的位置关系3.在x轴、y轴上截距相等且与圆相切的直线L共有（）条A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】设直线为，圆心到直线的距离为1，，，直线方程为，当直线过原点时，设直线为，有两解，其中之一为，方程为，综上直线共有三条【考点】1．直线方程；2．直线与圆相切的位置关系4.若圆的圆心为，且经过原点，则圆的标准方程是A．B．C．D．【答案】B【解析】利用C,O两点间的距离公式求得半径为，由圆的标准方程得故选B．【考点】圆的标准方程5.圆关于y轴对称的圆的一般方程是．【答案】【解析】圆的圆心坐标为（-1,0），半径为1，所以圆关于y轴对称的圆得圆心坐标为（1，0），半径为1；【考点】1．圆的标准方程；2．圆关于直线对称的圆的求法；6.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知经过原点O的直线与圆交于两点．（1）若直线与圆相切，切点为B，求直线的方程；（2）若，求直线的方程；（3）若圆与轴的正半轴的交点为D，求面积的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径可求得值及切点B坐标，进而得到直线AB方程；（2）直线与圆相交问题，常采用弦的一半，圆心到直线的距离与圆的半径构成的直角三角形求解（3）设出AB直线，与圆联立求得弦长，利用点到直线的距离求得三角形的高，将三角形面积用直线的斜率表示出来，转化为函数求最值问题试题解析：（1）由相切得化简得：，解得，由于，故由直线与圆解得切点，得（2）取AB中点M，则，又，所以,设：，圆心到直线的距离为，由勾股定理得：，解得，设所求直线的方程为，，解得，（3）设A,B两点的纵坐标分别为，易知,，易知，设AB方程为，由消元得，＝设，则，（）当时取等号）面积最大值为，【考点】1．直线方程；2．直线与圆相交相切的位置关系；3．函数求最值7.已知圆的方程为，那么通过圆心的一条直线方程是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】把圆的方程标准化可得，故圆心为，所以圆心在直线上，故选B。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.中心在原点，其中一个焦点为（－2,0），且过点（2,3），则该椭圆方程为；【答案】【解析】略2.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于，求的值．【答案】（1）；（2）。
【解析】（1）两式相加消去参数可得曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程得，整理可得曲线的直角坐标方程。
（2）由（1）知曲线的方程为，且点在曲线上，所以把直线的参数方程与曲线的方程联立，利用韦达定理可得试题解析：（1）（2）将代人直角坐标方程得【考点】（1）极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化；（2）直线参数方程中参数的几何意义。
3.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．【答案】（1）（2）或【解析】第一问注意极坐标和直角坐标的转换，第二问注意用好公式即可，注意直线的参数方程中参数的几何意义的应用．试题解析：（1）由得，于是有，化简可得（2）将代入圆的方程得，化简得．设、两点对应的参数分别为、,则,,,,或．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的转换，直线被曲线截得的弦长问题，直线的参数方程中参数的几何意义的应用．4.已知抛物线y2 =8x的焦点为F，直线y=k（x+2）与抛物线交于A，B两点，则直线FA与直线FB的斜率之和为A．0B．2C．－4D．4【答案】A【解析】由题可知，如图，，设，联立，化为，由于，所以，因此，直线FA与直线FB的斜率之和为；【考点】抛物线的简单性质5.若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为_______．【答案】【解析】∵圆心与点（1，0）关于直线y＝x对称，∴圆心为，又∵圆C的半径为1，∴圆C的标准方程为．【考点】圆的标准方程．6.已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径．【答案】【解析】在直角三角形中，由切割线定理可得，即，解得.【考点】1.勾股定理；2.切割线定理.7.如图，双曲线的中心在坐标原点，分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是双曲线的左顶点，为双曲线的左焦点，直线与相交于点．若双曲线的离心率为2，则的余弦值是（）A．B．C．D．【答案】【解析】可设双曲线方程为，即得，，，所以直线方程为，直线方程为，又把和的直线方程联立解得，又，所以，即所以有，，则，又故答案选【考点】双曲线的简单性质．8.已知抛物线，则A．它的焦点坐标为B．它的焦点坐标为C．它的准线方程是D．它的准线方程是【答案】C【解析】将抛物线化为标准方程得，所以其焦点坐标为,准线方程为．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．9.已知双曲线的离心率为，则的值为A．B．3C．8D．【答案】B【解析】试题分析:由题意知，，所以，解之得，故应选．【考点】1、双曲线的概念；2、双曲线的简单几何性质；10.已知抛物线：的焦点为，抛物线上的点到焦点的距离为3，椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）已知直线：交椭圆于、两个不同的点，若原点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围．【答案】（1）抛物线的方程为：；椭圆的方程为；（2）或．【解析】（1）由抛物线的定义并结合已知条件可得，，进而得出抛物线的方程；再由椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，可得椭圆半焦距，即，又由椭圆的离心率为，即可联立方程组解出，的值，进而得出椭圆的方程；（2）首先设出、，然后联立直线与椭圆的方程并整理得到一元二次方程，由韦达定理可得，，以及判别式得出参数的取值范围，最后由原点在以线段为直径的圆的外部即得到关于的不等式，进而求出的取值范围．试题解析：（1）由题意可知，解得，所以抛物线的方程为：．∴抛物线的焦点，∵椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴椭圆半焦距，．∵椭圆的离心率为，∴，解得，，∴椭圆的方程为．（2）设、，由得，∴，，由，即，解得或．①∵原点在以线段为直径的圆的外部，则，∴，解得．②由①②解得实数的范围是或．【考点】1、抛物线；2、椭圆的标准方程；3、直线与椭圆相交的综合问题．11.如图，已知椭圆（）经过点，离心率，直线的方程为．（1）求椭圆的标准方程；（2）是经过椭圆右焦点的任一弦（不经过点），设直线与相交于点，记，，的斜率分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在常数符合题意．【解析】（1）根据点在椭圆上，可将其代入椭圆方程，又且解方程组可得的值．（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消去可得关于的一元二次方程，从而可得两根之和，两根之积．根据斜率公式可用表示出．从而可得的值．试题解析：解：（Ⅰ）由点在椭圆上得，，①又，所以，②由①②得，故椭圆的方程为．（Ⅱ）假设存在常数，使得，由题意可设则直线的方程为，③代入椭圆方程，并整理得，设，则有，④在方程③中，令得，，从而．又因为共线，则有，即有，所以=，⑤将④代入⑤得，又，所以，故存在常数符合题意．【考点】1椭圆的简单几何性质；2直线与椭圆的位置关系问题．12.【选修4-2：极坐标与参数方程】已知直线n的极坐标是，圆A的参数方程是（θ是参数）（1）将直线n的极坐标方程化为普通方程；（2）求圆A上的点到直线n上点距离的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用,即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数即可将圆的参数方程化为普通方程；（2）运用普通方程，并利用圆心到直线的距离减去半径即得最小值．试题解析：（1）由，展开为，化为；（2）圆A的（θ是参数）化为普通方程为，圆心，半径．∴圆心到直线n的距离．∴圆A上的点到直线n上点距离的最小值为：．【考点】（1）极坐标、参数方程化普通方程；（2）圆上点到直线距离的最值问题．13.已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标（）．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）先得到的普通方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标．试题解析：（1）将消去参数，化为普通方程5，即．将代入得，所以的极坐标方程为．（2）的普通方程为．由，解得或，所以与交点的极坐标分别为，．【考点】1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化．14.已知双曲线的一条渐近线过点（2，），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为双曲线的方程为所以双曲线一条渐近线方程经过点可得，，解得离心率，故选D．【考点】1、双曲线的渐近线；2、双曲线的离心率．15.已知直线l经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）设l与圆C相交于两点A、B，求A、B两点间的距离．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先根据两角差的余弦公式展开，然后两边同时乘以，根据，，化简，得到圆的直角坐标方程；（2）根据定点和倾斜角写出直线的参数方程，代入圆的方程得到关于的二次方程，根据韦达定理和的几何意义，，即可求出结果．试题解析：解：（1）由得，所以，即，故圆C的直角坐标方程为．（2）直线l的参数方程为，即（t为参数），把（t为参数）代入得，设方程的两根为，，则，．故．【考点】1．极坐标方程与直角坐标方程的互化；2．弦长公式．【易错点睛】极坐标与参数方程的问题，属于基础题型，对于形如（t为参数）的参数方程，应先化为直线参数方程的标准形式后才能利用的几何意义解题．在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致．16.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线（为参数），曲线（为参数）．（1）设与相交于，两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得普通方程为，的普通方程为．联立方程组，即可求出结果；（2）的参数方程为（为参数），故点的坐标是，从而点到直线的距离，根据三角函数的性质即可求出结果．试题解析：（1）的普通方程为，的普通方程为，联立方程组，解得交点坐标为，，所以；（2）曲线（为参数）．设所求的点为，则到直线的距离当时，取得最小值．【考点】1．极坐标；2．参数方程．17.若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】由题意得直线和直线截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为，即【考点】直线与圆位置关系18.已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，直线：，为点关于直线对称的点，若为等腰三角形，则的值为．【答案】．【解析】分析题意可知为等腰三角形可得，即点到直线距离为，∴，故填：．【考点】双曲线的标准方程及其性质．19.已知椭圆过定点，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的倍．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，轴上一点，使得为锐角，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）椭圆的方程为；（Ⅱ）的取值范围．【解析】（Ⅰ）以四个顶点为顶点的四边形和以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形均为菱形，易求它们的对角线长，根据其面积关系可得，又再把点代入椭圆方程，可得，从而求得其方程；（Ⅱ）由为锐角，得，根据向量数量积的坐标运算可得两点坐标之间的关系，整理方程组，根据韦达定理把两根之和和两根之积代入上面的关系式，可得关于的不等式，解不等式即可求得参数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积，以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积．，即．可设椭圆方程为，代入点可得．所求椭圆方程为．（Ⅱ）由为锐角，得，设，，则，，，联立椭圆方程与直线方程消去并整理得．所以，，进而求得，所以，即，解之得的取值范围【考点】待定系数法求椭圆方程及直线与椭圆位置关系的应用．【方法点睛】本题第一问主要考查了待定系数求椭圆方程，发现两个四边形的形状快速求得其面积是解答本问的突破口；第二问中，对条件“为锐角”的转化是关键，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，夹角为“锐角”、“钝角”、 “直角”及“点在圆外、圆内、圆上”等实际上都可以转化为向量的数量积问题，通过向量数量积的坐标运算可得直线与圆锥曲线的交点坐标之间的关系，再结合方程组和韦达定理即可建立函数、方程或不等式，这里面会考查到学生转化的数学思想，数形结合的数学思想及函数与方程的思想等，这类问题综合性较强，属于中高档题目．20. （2015秋•锦州校级期中）已知△ABC ，点A （2，8）、B （﹣4，0）、C （4，﹣6），则∠ABC 的平分线所在直线方程为 ． 【答案】x ﹣7y+4=0【解析】先求出三角形ABC 是等腰直角三角形，作出∠ABC 的角平分线BD ，求出D 点坐标，BD 的斜率，再用点斜式求得所在直线方程即可．解：如图示：，∵k AB =，k BC =﹣，∴AB ⊥BC ，∵|AB|==10，|BC|==10，∴|AB|=|BC|， ∴△ABC 是等腰直角三角形， 作出∠ABC 的角平分线BD ，∴直线BD 是线段AC 的垂直平分线，D 是AC 的中点， ∴D （3，1）， 由k AC =﹣7得：k BD =，∴直线BD 的方程是：y=1=（x ﹣3）， 整理得：x ﹣7y+4=0， 故答案为：x ﹣7y+4=0．【考点】待定系数法求直线方程．21. 如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．【答案】B【解析】由双曲线的定义，知，．又＝＝．又为等边三角形，所以＝，即＝，所以，所以，所以．在中，由余弦定理，得－＝，即，所以，所以，故选B．【考点】1、双曲线的定义及几何性质；2、余弦定理．【方法点睛】离心率的求解中可以不求出的具体值，而是得出与的关系，从而求得，一般步骤如下：①根据已知条件得到齐次方程；②化简得到关于的一元二次方程；③求解的值；④根据双曲线离心率的取值范围进行取舍．22.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，正三角形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的坐标为．（I）求点的直角坐标；（II）设是圆上的任意一点，求的取值范围．【答案】（I），；(II) ．【解析】（I）先将曲线的极坐标方程化为普通方程，进而化为参数方程，再确定所求点的坐标；（II）设出点的参数坐标，化简表达式，利用三角恒等变形进行求解．试题解析：（1）由题意，得曲线的普通方程为，其参数方程为为参数，又因为点的坐标为，所以点的坐标为，即；点的坐标为，即．（2）由圆的参数方程，可设点，于是，∴的范围是．【考点】1.曲线的极坐标、普通方程、参数方程的转化；2.三角恒等变换．23.已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是（为参数）．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于、两点,且,求直线的倾斜角的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）把转化为 ,再利用,,转化为直角坐标方程；（2）将代入圆的方程化简得,．,求得,所以或．试题解析：（1）由得．∵,,,∴曲线的直角坐标方程为,即；（2）将代入圆的方程得,化简得．设两点对应的参数分别为、,则∴．∴,,或．【考点】参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化及应用24.设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，，，∵，∴，∴，∵为直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，故选C．【考点】1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质．25.已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为K，点A在抛物线上且，则A点的横坐标为（）A．B．3C．D．4【答案】B【解析】因为抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的标准方程为，，设点，则由，得，即，即，解得，即A点的横坐标为3；故选B．【考点】1.抛物线的定义；2.双曲线的定义．【技巧点睛】本题考查抛物线、双曲线的定义的应用和两点间的距离公式，属于基础题；在处理与抛物线的焦点有关的问题时，要注意利用抛物线的定义使抛物线的点到焦点的距离和到准线的距离进行相互转化，但要注意抛物线的标准方程的形式，如抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为，抛物线上的点到焦点的距离为，物线上的点到焦点的距离为.26.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化，可把极坐标方程化为普通方程；消去参数可得直线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，得，由，即可求解的长度，再利用点到直线的距离公式求解的高，即可求解三角形的面积．试题解析：（1）由曲线的极坐标方程是：，得．∴由曲线的直角坐标方程是：．由直线的参数方程，得代入中消去得：，所以直线的普通方程为：（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，设两点对应的参数分别为，所，因为原点到直线的距离，所以的面积是【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化；直线参数的应用．27.如图，椭圆左、右焦点分别为，上顶点轴负半轴上有点，满足，且，若过三点的圆与直线相切.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若为椭圆上的点，且直线垂直于轴，直线与轴交于点，直线与交于点，求的面积的最大值.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)【解析】（Ⅰ）由题得，即的外接圆圆心为，半径，则由过三点的圆与直线相切可求得，进而得到，则椭圆的方程可求；（Ⅱ）首先证明点恒在椭圆上通过设、直线，利用三角形面积公式化简可知，通过联立直线与椭圆方程后由韦达定理、换元化简可知，，令求出的最大值进而即得结论．试题解析：(Ⅰ)由题得，即，的外接圆圆心为，半径，∵过三点的圆与直线相切，∴，解得：，∴所求椭圆方程为：.(Ⅱ)设，则，∴，与的方程分别为：.则，∵，∴点恒在椭圆上.设直线，则，记，，，令,则，∵函数在为增函数，∴当即时，函数有最小值4，即时，，又∵.故【考点】【名师】本题考查了椭圆离心率，方程的求法，以及直线与椭圆位置关系，属中档题.解题时注意设而不求思想的应用．以及基本不等式的综合应用，难点在于证明点恒在椭圆上28.以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为 .【答案】【解析】由题意得【考点】双曲线渐近线29.设分别为椭圆（）与双曲线（）的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，又，，所以，，则，由得，又，所以，即，所以．故选B．【考点】椭圆与双曲线的性质．【名师】本题是椭圆与双曲线的综合题，解题时要注意它们性质的共同点和不同点，如离心率是相同的，准线方程是，但椭圆中有，，双曲线中有，，这在解题时要特别注意不能混淆，否则易出错．30.在直角坐标系中，直线为过点，且倾斜角为的直线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，且，求的长【答案】（1）直线：（为参数，其中），；（2）．【解析】（1）过点，倾斜角为的直线的参数方程为，由此可写出题中直线的参数方程，利用公式，可把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）考虑到参数方程中参数的几何意义，由于在椭圆内部，对应的参数分别为，则，因此把直线参数方程代入椭圆的直角坐标方程，整理后可得，利用可求得，从而得，而，由此可得弦长．试题解析：（1）直线：（为参数，其中），（2）把：代入，整理得，由于点在椭圆内，则恒成立，由韦达定理由于，由的几何意义知，所以，又，则所以【考点】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化．31.选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P．（1）求证：PM2=PA·PC；（2）若⊙O的半径为，OA=OM，求：MN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）做出辅助线连接，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即且，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论；（2）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即，代入所给的条件，得到要求线段的长．试题解析：（1）连结，则，且为等腰三角形，则，，，．由条件，根据切割线定理，有，所以．（2），在中，．延长交⊙于点，连结．由条件易知∽，于是，即，得．所以．【考点】与圆有关的比例线段．32.、分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，是上任意一点，是线段的中点．已知的周长为，面积的最大值为．（Ⅰ）求的标准方程；（Ⅱ）过作直线交于两点，，以为邻边作平行四边形，求四边形面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）连接，由椭圆定义知，是线段的中点，是线段的中点，，周长为，可得，……①又面积，可得，……②，由即可求出椭圆方程；（Ⅱ）设，，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，，，， 9分设，则，，然后再利用基本不等式即可求出结果.试题解析：解：（Ⅰ）连接，由椭圆定义知，是线段的中点，是线段的中点，，周长为，即，……① 2分又面积，所以当时，最大，所以，……② 4分由解得，所以的标准方程为．（Ⅱ）设，，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，，，，设，则，，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，，四边形面积的取值范围．【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.33.设是坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，且是椭圆上不同的两点。
大学课程《解析几何》专业期末试题A卷及答案
《解析几何》期末考试试卷A适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 2011.7 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 .2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为 .3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标为 . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为 . 6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 , , .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 . 13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程 .15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 .16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= ,()a b c ⨯⨯= .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程 ,.二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程. 4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型.三、 求证两条直线异面122:101x y z l +-==-2321:151x y z l -+-==，并求公垂线方程. （9分）四、画图题(每题5分,共10分)1.作出两个曲面z =,224z x y -=+所围立体的图形.2. 作出由三个坐标面, 曲面22z x y =+和平面1x y +=所围的立体图形.《解析几何》期末考试试卷A 答案适用专业: 信息与计算科学 考试日期： 2011.7 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分二. 填空题(每空2分，共40分)1. 求与向量{}3,4,12a =-反方向的单位向量 3412,,131313⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.2. 向量{}1,2,3a =-与向量{}2,3,1b =-,则与a 和b 都垂直的单位向量为. 3. 设{}2,2,1a =-,向量b 与a 共线,且模为75,方向与a 相反, 则b = （-10，10，-5） .4. 已知2AP PB -→-→=-，且(2,1,3)A ，(0,2,1)B -，则P 点坐标（-2，3，-5） . 5. 一直径的两个端点坐标为(1,2,3)-, (3,0,1)的球面方程为222(2)(1)(1)6x y z -+-++= .6. 在空间直角坐标系下方程221z x =+表示 拄面 .7. 二次曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=,当旋转角α满足 112212cot 2a a a α-=时, 方程不含交叉项.并写出曲线在直角坐标系下的三个不变量为 1I , 2I , 3I .10 222253x y z y ⎧++=⎨=⎩的圆心坐标为 （0，3，0） .11 方程22221x y z -+=表示的曲面名称为 单叶双曲面 .12 方程2222x y z z ++=转化为球面坐标系下方程为 2sin ρϕ= . 13 平面外一点(2,1,3)P 到平面221x y z -+=的距离为 5/3 . 14 写出平面240x y z -++=的法式方程0x y +=. 15 平移平面直角坐标系下的坐标轴, 使新原点的坐标为(2,1)o ',则在新坐标系下坐标为(4,0)-的点在旧坐标系下的坐标为 （-2，1） . 16 已知(1,0,1),(1,2,0),(1,2,1)a b c ==-=-,则()a b c ⨯⋅= -2 ,()a b c ⨯⨯= （5，0，5） .17 写出22210x y z --+=过点(2,1,-2)的直母线方程0220x z x y z +=⎧⎨---=⎩,10x z y -=⎧⎨+=⎩. 二、计算题（1,2,3每题7分,4,5每题10分, 共41分）1.求直线12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与平面3240x y z -++=的夹角,并求交点.(3,4,0)s = 2分 (3,1,2)n =- 1cos 14s n s n θ⋅== 5分 12340x y z --⎧=⎪⎨⎪=⎩与3240x y z -++=解方程组得（-2，-2，0） 7分2.写出直线2210:220x y z L x y z +-+=⎧⎨+--=⎩的参数式方程, 并求出直线的方向余弦.212121ijks =--(3,0,3)= 3分取一点45(,,0)33- 4分 参数方程为433535x t y z t ⎧=-+⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩5分方向余弦cos α=，cos 0β=，cos ν= 7分3.求曲线222222x y z z x y ⎧++=⎨=+⎩在xoy 面的射影柱面方程和射影曲线方程.2242x y z ⎧+=⎨=⎩， 224x y += 7分4求直线11111x y z --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l ,并求0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程.平面束1(1)0x y z y λ--+-+=，(1,1,)n λλ=-+，1(1,1,2)n =- 3分 10n n ⋅=， 3312913I λ-=-=-，得0l ：3210210x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩， 6分 2224174210x y z y -++-= 10分5. 判断二次曲线223234440x xy y x y -+++-=是中心型,无心型还是线心型, 并化方程为标准型. 23113I -=-=8 3分， 中心型 4分。
解析几何试卷及答案
《解析几何》期末试卷及答案一、 填空（每题3分，共30分）11=, 2=⋅，则摄影= 2 。
2．已知不共线三点)5,2,3(),5,1,2(),3,2,1(--C B A 则三角形ABC 的 BC 边上的高为 8 。
3．，= 时+平分，夹角。
4．自坐标原点指向平面：035632=-++z y x 的单位法矢量为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,31,92 。
5．将双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-012222x c z b y 绕虚轴旋转的旋转曲面方程为 122222=-+c z b y x 。
6．直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 与X 轴重合，则系数满足的条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00,02211221121A C A C C B C B D D 。
7．空间曲线⎩⎨⎧=+=-00422z x z y 的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=242t z t y t x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=242t z t y tx 。
8．直纹曲面0222=-+z y x 的直母线族方程为 ⎩⎨⎧-=-=+)()()(y w y x u uyz x w ，或⎩⎨⎧=--=+sy y x t y t z x s )()()( 。
9．线心型二次曲线0),(=y x F 的渐近线方程为 0131211=++a y a x a 。
10．二次曲线027522=+-++y x y xy x 在原点的切线为 021=+-y x 。
二、选择题（每题3分，共15分）1. 二次曲线0126622=-++++y x y xy x 的图象为（ B ）A 椭圆型B 双曲型C 无心型D 线心型 2. 点O 到平面0522:=++-z y x π的距离为（ D ）A 5B 95C 56D 353. 设,,a b c 满足关系0a b c ++=，则c a b b c a ⨯+⨯+⨯=（ C ）A 、0B 、0C 、3()a b ⨯D 、b c ⨯ 4. 若直线11112x y z λ-+-==，与11111x y z++==相交，则必有（ B ）。
大一下学期解析几何考试试卷及答案
一、填空题(共7题,2分/空,共20分)1、四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积就是______、2、已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____、3、点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离就是___6611___________、4、点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离就是__3147___________、 5、曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面就是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面就是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面就是____10z x --=__________、6、曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程就是__4224()x y z =+_____,曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程就是___222x z y +=_______________、7、椭球面12549222=++z y x 的体积就是_________________、二、计算题(共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分)1、 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程、这里,,a b c 就是3个非零实数、解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ,在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ,在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ,则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r ,13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于就是1M ,12M M u u u u u u r ,13M M u u u u u u r所确定的平面方程就是000x ay b z ac bc---=-即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= 、2、已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩、 (1)证明1l 与2l 就是异面直线;(2)求1l 与2l 间的距离;(3)求公垂线方程、证明:(1) 1l 的标准方程就是1110x y z +==-,1l 经过点1(0,0,1)M -,方向向量1{1,1,0}v =-2l 的标准方程就是2110x y z -==,2l 经过点2(0,0,2)M ,方向向量2{1,1,0}v =,于就是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠,所以1l 与2l 就是异面直线。
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解析几何期末试卷A 参考答案及评分标准
一、（10分）写出下列方程在空间所表示的图形名称.
1．13212
22-=++z y x 虚椭球面 2．02
22=++-z y x 二次锥面（圆锥面）
3．1321222=++-z y x 单叶双曲面
4．y z x 22122=+ 椭圆抛物面 5．y x 22
= 抛物柱面 .
二、（10分）试证：对于给定的四个向量}3,5,1{=a ，}2,4,6{--=b ，}7,5,0{-=c ，
}35,27,20{--=d ，总可以确定三个实数l ，m ，n ，使得a l ，b m ，c n ，d 构
成封闭折线.
证明：假设a l ，b m ，c n ，d
构成封闭折线，则
=+++d c n b m a l （4分）
于是 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=+--=-+0
357230275450206n m l n m l m l （6分） 解出 2=l ，3=m ，5=n
所以命题成立. （10分）
三、（15分）设向量a ，b ，c 两两互相垂直，1||=a ，2||||==c b ，并且向量c b a r -+=，证明：
1,cos ,cos ,cos 222>=<+><+><c r b r a r
. 证明：因为
22)(c b a r -+=)(2222c b c a b a c b a ⋅-⋅-⋅+++=， 由题设条件可得
3||=r ， （5分） 于是
31||||,cos =
⋅>=<a r a r a r
，
32
||||,cos =
⋅>=<b r b r b r ，
32||||,cos -
=⋅>=<c r c r c r
（12分） 所以
1,cos ,cos ,cos 2
22>=<+><+><c r b r a r （15分） 四、（10分）试求经过点)1,2,4(-P 和x 轴的平面方程. 解：由于平面过x 轴，可设为
0=+Cz By （5分）
以)1,2,4(-代入，得 02=+-C B
于是 B ：C ＝1：2 （8分）
故所求平面方程为
02=+z y （10分）
五、（10分）试求经过点)1,0,1(-P ，并且与直线1l ：
321z y x =
=和2l ：43
1221-=-=-z y x 都相交的直线的方程.
解：过)1,0,1(-P 与直线1l 的平面方程为
3
2101000
10
00=-------z y x
即
02=+-z y x （4分） 过)1,0,1(-P 与直线2l 的平面方程为
4
1
2
312011321=-------z y x
即 022=--+z y x （8分）
∴所求直线方程为 ⎩⎨
⎧=--+=+-02202z y x z y x （10分）
六、（10分）证明直线1l ：01123-==-z y x 与2l ：
10211z
y x =
-=+是异面直线. 证明： 1l 的方向向量 }0,1,2{， 2l 的方向向量 }1,0,1{ （4分） 取 1l ， 2l 上的点 )1,0,3(， )0,2,1(- （6分）
计算
71
1
012
0120)1(3≠=----
所以 1l 与 2l 是异面直线. （10分）
七、（10分）试求到定点与定直线的距离之比等于常数0>λ的点的轨迹方程，并根据λ的
取值范围，说明轨迹的形状（注：假定定点不在定直线上）. 解：设定点不在定直线上，建立坐标系，使定直线为x 轴，定点为),0,0(c C ，（0≠c ）. 设动点为),,(z y x P ，则由假设可知
),(),(轴x P d C P d λ=， 即 2
2222)(z y c z y x +=-++λ 平方，得 02)1()1(2
22222=+--+-+c cz z y x λλ（5分）
①当1=λ时，得 022
2=+-c cz x
即
)
2(22c
z c x -= 此为抛物柱面. （8分）
②当1≠λ时，得
22
222
2
2
2
2
1)1)(1()1(λλλλλ-=---+-+c c z y x ， 则当1>λ时，此为单叶双曲面；
当 10<<λ时，此为椭球面. （10分）
八、（10分）试求单叶双曲面∑：116492
22=-+z y x 上，经过点)0,2,0(M 的两条直母线
方程.
解：∑上两族直母线：
λ族：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=+)21()43()21()43(1221y z x y z x λλλλ μ族：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+=--=+)21()43()21()43(1221y z x y z x μμμμ
将 )0,2,0(M 分别代入，可得 02=λ， 01=μ （6分）
分别代入，可得所求直线方程：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=+02
1043y z x
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=-043021z x y 即 ⎩⎨
⎧=-=+02034y z x
⎩⎨
⎧=-=-02034y z x .（10分）
九、（15分）在欧氏平面上，将方程
0844222=+--+-y x y xy x 化成标准型，作出其图形，说明原方程表示什么曲线.
解：由 022cot 12
22
11=-=
a a a θ
得
4π
θ=
于是 0tan 121111
=+='θa a a 2tan 122222
=-='θa a a 22sin cos 231313-=+='θθa a a
0cos sin 231323=+-='
θθa a a
原方程化为： 04222
=+'-'x y 配方
0)2(222=-'-'x y 作平移变换 ⎩⎨
⎧'=''-'=''y y x x 2 原方程化为
x y ''=''222. （5分） 所以原方程表示抛物线. （10分）
作图 （15分）。