离散型随机变量及其概率分布

一、离散型随机变量的概率分布
练习1 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已 知他每发命中的概率是p，求射击发数X的分布律. 解: X 可能取的值是1,2,… ， 为计算 P{X =k }， k = 1,2, …， 设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 于是 P{X=1}=P(A1)=p,
P ( X xk ) pk P ( X xk ) pk , k 1, 2, 3
一、离散型随机变量的概率分布
例1 设随机变量X的分布律为
k =0,1,2, …,
试确定常数a . P(X =k)≥0, 解: 依据分布律的性质
即
a≥0 ,
e

k 0

k
k!
从中解得
一、离散型随机变量的概率分布
随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量 及其概率分布
一、离散型随机变量的概率分布
引例
从中任取3 个球，
取到的白球数X是一个随机变量 . (1) X 可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每个值的概率为 且
P ( X i) 1
i 1
3
这样，我们就掌握了 X这个随机变量取值 的概率规律.
n重贝努利试验中，
k P (至少发生l次)= C n p k (1 p)n k k l l n
P (至多发生l次)= C p (1 p)
k 0 k n k
n k
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例6 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2 个次品的概率.
例2 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独 立投篮投中次数X 的概率分布.
解： X可取值为0,1,2
P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01 P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81 P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18
即
一、离散型随机变量的概率分布
例3 设随机变量X的分布列为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
（2）二项分布 用X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数，则
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了k 次.
共有 C 种,
k n
且两两互不相容.
k Cn pk qnk
因此 A在 n 次试验中发生 k 次的概率为
k Cn pk (1 p)nk
一、离散型随机变量的概率分布
1、离散型随机变量的定义
定义：设 X 为随机变量，若他的全部可能取值只 有有限或无穷可数个，则称其为离散型随机变量。
研究离散型随机变量概率分布，即寻找随机 变量所有可能的取值以及取每个值所对应的概率。 分布函数可以研究离散型随机变量的概率分 布，除此之外，针对离散型特点，我们引入研究 离散型随机变量的重要工具——概率分布律（列）
3、独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验 设在一次试验E中只考虑两个互逆的结果：A 或 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 抽验产品：“是正品”，“是次品” 这样的试验E称为贝努利试验 .（两点分布） 将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这 一串重复的独立试验为n重贝努利试验 . “重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变.
一、离散型随机变量的概率分布
2、离散型随机变量的概率分布 定义：设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所取 的一切可能值，称
为离散型随机变量 X 的分布律. 概率分布列
概率分布阵
一、离散型随机变量的概率分布
3、性质
用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律
注意：只有离散型才有概率分布列。 思考：下列两个等式一样么？
下面我们从图形上来看一下.
二、离散型随机变量的分布函数
F (x )的分布函数图
1
1 2
12 13 13
0
O
16
O
O
1
2
x
X
特点： 阶梯曲线 在xk 处有跳跃
跳跃值为 P{ X=xk } = pk
二、离散型随机变量的分布函数
总结：设离散型随机变量 X 的分布律为 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… 则其分布函数为 即F(x) 是 X 取 F(x) = P(X x) = 的诸值 xk 的概率之和.
3 P(恰好命中3次) C4 0.830.21
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P(至少命中3次) P(恰好命中3次) P(恰好命中4次) =C 0.8 0.2 C 0.8 0.2
3 4 3 1 4 4 4 0
由此可见，n重贝努利试验中，所研究的事件 在多次试验中“恰好发生k次”的概率，对于研究 试验序列各种复杂的结果有着重要的意义。
“独立”是指各次试验的结果互不影响 .
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例如：某射手独立向目标连续射击4次，每次的命 中率均为0.8，求其恰好命中3次的概率。 分析：该实验为4重贝努利 设A表示命中目标，则P( A) 0.8
3 在4次射击中，恰好命中3次共有C4 种情况，即：
AAAA, AAAA, AAAA, AAAA 由独立性可知，发生每种情况的概率均为: [ P ( A)]3 P ( A)=(0.830.21） 每种情况彼此不能同时发生，则由互斥性质得：
二、离散型随机变量的分布函数
于是 F ( x ) P{ X x }
x2 P { X 0} P {0 X x } . 4 当 x 2时,
F ( x ) P{ X x } 1.
故 X 的分布函数为 x 0, 0, 2 x F ( x ) , 0 x 2, 4 其图形为一连续曲线 x 2. 1,
p

F ( x )的值会随着x(区间上限)的变化而改变，伴随区间
(, x]的增大，区间包含的xk 逐渐增多，概率也会变化。
二、离散型随机变量的分布函数
例4 设随机变量 X 的分布律为 X
求 X 的分布函数 F (x) .
解
当 当
F(x) = P(X x) x<0 时，{ X x } = ， 故 F(x) =0 0 x < 1 时， F(x) = P{X x} = P(X=0) =
求：常数a，P(X<1)，P(-2<X≤0)，P(X≥2). 由归一性 a +3a +1 8+a +2a 1, 得 a 1 8 解：
P(X<1) =P(X=-2)+ P(X=-1)+ P(X=0)=5/8
P(-2<X≤0) = P(X=-1)+ P(X=0)=1/2 P(X≥2) = P(X=2)=1/4
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例7 按规定, 某种型号电子元件的使 用寿命超过
1500 小时的为一级品. 已知某一大批产品的一 级 品率为0.2, 现在从中随机地抽查 只. 问20只元件 20 中恰有 k 只( k 0,1,,20) 一级品的概率是多少 ?
分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
一、离散型随机变量的概率分布
小结：
离散型随机变量的概率分布列，明确的给出了X 取xi (正概率点)的概率，是研究概率分布的重要工具。
a b, P(a X b)
a xi b

P( X xi )
即：离散型随机变量落入任何区间内的概率， 等于该区间内所有正概率点对应概率之和。
得 X 的分布律为
X pk
0 qn
1
1 C n pq n1

k

n pn
k Cn pk q n k
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
P{ X k } C p 1 p
k n k n k
k 0,1,, n
称这样的分布为二项分布，记为 X ~ B( n, p).
二项分布描述的是n重贝努利试验中事件 A 出现的 次数 X 的分布律 .

分布律为
二、离散型随机变量的分布函数
随机变量的分布函数同样可以描述随机变量落 入任意区间的概率，那么分布函数与离散型分布列 有什么关系呢？ 对于分布列：P (a X b) pk
a xk b
对于分布函数：F ( x ) P ( X x )
分布列 分布函数
xk x
P{ X 8} 0.022 P{ X 9} 0.007
P{ X 10} 0.002
P{ X 0} 0.012 P{ X 1} 0.058
P{ X 4} 0.218 P{ X 5} 0.175 P{ X 6} 0.109
当 x 0时, P{ X x }是不可能事件, 于是F ( x ) P{ X x } 0; 当 0 x 2时, P{0 X x} kx 2 , k是常数. 1 由 P{0 X 2} 1, 得 4k 1, 即 k . 4 2 x 因而P{0 X x } . 4
1、单点分布（或退化分布） 若随机变量X的全部可能取值为常数c，即“X=c” 是必然事件，其概率分布为 P(X=c)=1 则称X服从单点分布(或退化分布). 例如，从一批全是合格品的产品中，任取c件进 行合格性检查，若以X表示所取到的合格品数，则 “X=c”是必然事件，其概率分布为P(X=c)=1.
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验，检查20只元件相当于做20重贝努利试验.
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
解： 以 X 记 20 只元件中一级品的只数 ,