模式识别-贝叶斯决策理论和应用
模式识别-第2讲-贝叶斯决策理论1
随机变量：随机事件的数量表示； 离散随机变量：取值为离散的随机变量 ；
连续随机变量：取值为连续的随机变量 ；
9
频率和概率
频率：试验在相同的条件下重复N次，其 中M次事件A发生，则A发生的频率为： fN(A) = M / N；
概率：当N很大时，频率会趋向一个稳定 值，称为A的概率：
P A lim f N A
j 1 2
得到的条件概率P ωi | x 称为状态的后验概率。 20
似然 先验 后验(分布或密度) 全概率
类条件概率密度=似然 21
基于后验分布的判别规则
存在一个观察值x(特征) 如果P(1 | x) > P(2 | x) 如果P(1 | x) < P(2 | x) 类别状态= 1 类别状态 = 2
全概率公式
互不相容事件：如果试验时，若干个随机 事件中任何两个事件都不可能同时发生， 则称它们是互不相容的。 全概率公式：若事件只能与两两不相容的 事件A1, A2,…, AN之一同时发生，则有：
P B P Ai P B Ai
i 1
N
15
贝叶斯公式
离散形式：A, B为离散随机变量：
j 1 c
观察值 x 是随机向量，不同的观察值 x ，采取 决策i时，其条件风险的大小是不同的。所以， 究竟采取哪一种决策将随x的取值而定。 决策 看成随机向量 x 的函数，因此，它也是 一个随机变量。条件风险R(i|x)反映给定的观 察值 x ，采取决策 i时，所有类别状态下带来 风险的平均值。 34
问该细胞属于正常细胞还是异常细胞。
解：先计算后验概率： P( x 1 ) P(1 ) 0.2 0.9 P(1 x) 2 0.818 0.2 0.9 0.4 0.1 P ( x ) P ( ) j j
《模式识别》实验报告-贝叶斯分类
《模式识别》实验报告---最小错误率贝叶斯决策分类一、实验原理对于具有多个特征参数的样本（如本实验的iris 数据样本有4d =个参数），其正态分布的概率密度函数可定义为112211()exp ()()2(2)T d p π-⎧⎫=--∑-⎨⎬⎩⎭∑x x μx μ 式中，12,,,d x x x ⎡⎤⎣⎦=x 是d 维行向量，12,,,d μμμ⎡⎤⎣⎦=μ是d 维行向量，∑是d d ⨯维协方差矩阵，1-∑是∑的逆矩阵，∑是∑的行列式。
本实验我们采用最小错误率的贝叶斯决策，使用如下的函数作为判别函数()(|)(),1,2,3i i i g p P i ωω==x x （3个类别）其中()i P ω为类别i ω发生的先验概率，(|)i p ωx 为类别i ω的类条件概率密度函数。
由其判决规则，如果使()()i j g g >x x 对一切j i ≠成立，则将x 归为i ω类。
我们根据假设：类别i ω，i=1,2,……,N 的类条件概率密度函数(|)i p ωx ，i=1,2,……,N 服从正态分布，即有(|)i p ωx ~(,)i i N ∑μ，那么上式就可以写为1122()1()exp ()(),1,2,32(2)T i i dP g i ωπ-⎧⎫=-∑=⎨⎬⎩⎭∑x x -μx -μ对上式右端取对数，可得111()()()ln ()ln ln(2)222T i i i i dg P ωπ-=-∑+-∑-i i x x -μx -μ上式中的第二项与样本所属类别无关，将其从判别函数中消去，不会改变分类结果。
则判别函数()i g x 可简化为以下形式111()()()ln ()ln 22T i i i i g P ω-=-∑+-∑i i x x -μx -μ二、实验步骤（1）从Iris.txt 文件中读取估计参数用的样本，每一类样本抽出前40个，分别求其均值，公式如下11,2,3ii iii N ωωω∈==∑x μxclear% 原始数据导入iris = load('C:\MATLAB7\work\模式识别\iris.txt'); N=40;%每组取N=40个样本%求第一类样本均值 for i = 1:N for j = 1:4w1(i,j) = iris(i,j+1); end endsumx1 = sum(w1,1); for i=1:4meanx1(1,i)=sumx1(1,i)/N; end%求第二类样本均值 for i = 1:N for j = 1:4 w2(i,j) = iris(i+50,j+1);end endsumx2 = sum(w2,1); for i=1:4meanx2(1,i)=sumx2(1,i)/N; end%求第三类样本均值 for i = 1:N for j = 1:4w3(i,j) = iris(i+100,j+1); end endsumx3 = sum(w3,1); for i=1:4meanx3(1,i)=sumx3(1,i)/N; end（2）求每一类样本的协方差矩阵、逆矩阵1i -∑以及协方差矩阵的行列式i ∑， 协方差矩阵计算公式如下11()(),1,2,3,41i ii N i jklj j lk k l i x x j k N ωωσμμ==--=-∑其中lj x 代表i ω类的第l 个样本，第j 个特征值；ij ωμ代表i ω类的i N 个样品第j 个特征的平均值lk x 代表i ω类的第l 个样品，第k 个特征值；iw k μ代表i ω类的i N 个样品第k 个特征的平均值。
贝叶斯推理技术在模式识别中的应用研究
贝叶斯推理技术在模式识别中的应用研究贝叶斯推理技术是基于贝叶斯定理的一种推理方法，通过引入先验知识和观测数据，来更新和评估已有的假设。
贝叶斯推理在模式识别中有广泛的应用，可以用于解决模式识别中的分类、回归、聚类等问题。
本文将重点介绍贝叶斯推理技术在模式识别中的应用研究。
首先，贝叶斯推理在模式识别中的一个重要应用是分类问题。
分类问题是模式识别中的一个基本任务，即将样本分为不同的类别。
贝叶斯分类器是一种经典的分类方法，基于贝叶斯定理计算后验概率，从而确定样本所属的类别。
贝叶斯分类器在文本分类、图像分类等领域都有广泛的应用。
例如，在垃圾邮件过滤中，可以使用贝叶斯分类器根据邮件的特征信息来判断其属于垃圾邮件还是正常邮件。
其次，贝叶斯推理还可以用于回归问题。
回归问题是模式识别中的另一个重要任务，旨在寻找变量之间的函数关系。
贝叶斯回归是一种灵活的回归方法，它可以通过引入先验分布来约束回归模型的参数，从而降低过拟合风险。
贝叶斯回归在金融风险预测、销售预测等领域具有广泛的应用。
例如，在金融领域中，可以使用贝叶斯回归来预测股票的价格变动。
此外，贝叶斯推理还可以用于聚类问题。
聚类问题是模式识别中的一个重要任务，旨在将样本分组为具有类似特征的簇。
贝叶斯聚类是一种基于概率模型的聚类方法，通过引入先验知识和观测数据，来估计每个样本属于每个聚类的概率，从而确定每个样本所属的簇。
贝叶斯聚类在图像分割、用户行为分析等领域都有应用。
例如，在图像分割中，可以使用贝叶斯聚类来将图像中的像素分为不同的区域。
此外，贝叶斯推理还可以用于模式识别中的特征选择和特征提取。
特征选择是从原始数据中选择最具有代表性的特征，而特征提取是通过其中一种变换方法将原始数据映射到一个更加有区分性的特征空间。
贝叶斯推理可以结合先验知识和观测数据，来对特征进行选择和提取。
例如，在图像识别中，可以使用贝叶斯推理来选择最能区分不同类别的图像特征。
总结来说，贝叶斯推理技术在模式识别中有广泛的应用。
贝叶斯网络在模式识别方面的应用研究
贝叶斯网络在模式识别方面的应用研究随着人工智能和数据科学领域的不断发展，贝叶斯网络在模式识别方面的应用也越来越广泛。
贝叶斯网络是一种用于建立概率图的工具，可以用于建立复杂的关系模型，并进行推理和预测。
本文将介绍贝叶斯网络的基本原理和在模式识别中的应用。
一、贝叶斯网络的基本原理贝叶斯网络是由一组节点和边构成的有向无环图，其中节点表示变量，边代表变量之间的依赖关系。
贝叶斯网络利用概率图模型表示的条件概率分布，通过对概率图的边界条件进行设定，可以进行推理和预测。
在贝叶斯网络中，每个节点表示一个随机变量，节点的状态可以是离散的也可以是连续的。
节点之间通过有向边相连，边代表变量之间的依赖关系。
每个节点的状态取决于其父节点的状态。
对于节点X和其父节点集合Pa(X)，其概率分布可以表示为P(X|Pa(X))。
这个条件概率可以通过计算来得到，其中Pa(X)是节点X的父节点集合。
贝叶斯网络通过联合分布的建立，可以进行推理和预测。
例如，给定部分节点的值，可以通过贝叶斯网络计算其他变量的概率分布。
或者，如果我们知道某些变量的值，可以通过贝叶斯网络来预测其他变量的分布。
二、贝叶斯网络在模式识别中的应用贝叶斯网络在模式识别中的应用很广泛，包括语音识别、图像识别、文本分类等。
本节将以图像识别为例，介绍贝叶斯网络在模式识别中的应用。
1. 图像分类图像分类是计算机视觉领域的一个重要课题，其目的是将图像分为预定义的一些类别。
与传统的机器学习算法相比，贝叶斯网络的优势在于可以考虑到输入数据之间的相关性。
在图像识别中，我们使用贝叶斯网络来建立一个模型，表示输入图像和类别之间的关系。
对于给定的图像，我们可以利用贝叶斯网络来计算其属于每个类别的概率分布，从而进行分类。
2. 物体检测物体检测是计算机视觉领域的另一个重要课题，其目的是在图像中找到特定的目标。
贝叶斯网络可以用于建立一个物体检测模型，在这个模型中，我们可以把物体的位置和大小作为随机变量，使用贝叶斯网络来建立物体位置和大小与输入图像之间的关系。
模式识别-3-贝叶斯决策理论
通过对细胞的再观察，就可以把先验概率转化为后验概率， 利用后验概率可对未知细胞x进行识别 。
若P(1 x) P(2 x), 则x 1 若P(1 x) P(2 x), 则x 2
P( i x)
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
P(1 x) P(2 x)
设N个样本分为两类ω1，ω2。每个样本抽出n 个特征， x =（x1， x2， x3，…， xn）T 判别函数： g ( x) g1 ( x) g 2 ( x)
x
对x再观察：有细胞光密度特征 ,有类条件概率密度: P(x/ωi) i=1,2,…，如右上图所示。 利用贝叶斯公式 ：
P(i x) P( x i ) P(i )
P( x ) P( )，（也称为后验概率）
j 1 j j
2
通过 对细胞的再观察，就可以把先验概率转化为后验概 率，利用后验概率可对未知细胞x进行识别。
随机特征向量 在现实世界中，对于许多客观现象的发生，就 每一次观察和测量来说，即使在基本条件保持 不变的情况下也具有不确定性。 只有在大量重复的观察下，其结果才能呈现出 某种规律性，即对它们观察到的特征具有统计 特性。 此时，特征向量不再是一个确定的向量，而是 一个随机向量。 因此，只能利用模式集的统计特性来分类，以 使分类器发生错误的概率最小。
P(x 1) P(2) (4)g(x) ln ln , (取对数方法) P(x 2) P(1)
1 2.决策规则：(1)P(1 x) P(2 x) x 2
1 (2)P(x 1)P(1) P(x 2)P(2) x 2 1 P(2) P(x 1) (3) x P(x 2) P(1) 2 1 P(x 1) P(2) (4)g(x) ln ln x 2 P(x 2) P(1)
模式识别-贝叶斯决策理论和应用
模式识别理论及应用
Pattern Recognition - Methods and Application
第二章 贝叶斯决策理论
模式识别与神经网络
内容目录
第二章 贝叶斯决策理论
2.1 引言
2.2 基于判别函数的分类器设计
2.3 基于最小错误率的Bayes决策
2.4 基于最小风险的Bayes决策
1,2, ,i ,c
第二章 Bayes决策理论
4
决策
引言
把x分到哪一类最合理？理论基础 之一是统计决策理论
决策：是从样本空间S，到决策空 间Θ的一个映射，表示为 D: S --> Θ
第二章 Bayes决策理论
5
决策准则
引言
评价决策有多种标准，对于同一个问题，采 用不同的标准会得到不同意义下“最优”的 决策。
第二章 Bayes决策理论
20
决策的错误率（4）
最小错误率 决策
设t为两类的分界面，则在特征向量x是一维 时，t为x轴上的一点。两个决策区域: R1~(-∞，t)和R2~(t，+∞)
P(e) P(x R1,2 ) P(x R2,1) P(2 )P(x R1 | 2 ) P(1)P(x R2 | 1)
0.2 0.1 0.4
0.818
j 1
P(2 | x)
P(2 ) p(x | 2 )
2
P( j ) p(x | j
)
0.2
0.4 0.9
0.1 0.4
0.1
0.182
j 1
j argmax P(i | x) 1
《模式识别》实验报告-贝叶斯分类
《模式识别》实验报告-贝叶斯分类一、实验目的通过使用贝叶斯分类算法，实现对数据集中的样本进行分类的准确率评估，熟悉并掌握贝叶斯分类算法的实现过程，以及对结果的解释。
二、实验原理1.先验概率先验概率指在不考虑其他变量的情况下，某个事件的概率分布。
在贝叶斯分类中，需要先知道每个类别的先验概率，例如：A类占总样本的40%，B类占总样本的60%。
2.条件概率后验概率指在已知先验概率和条件概率下，某个事件发生的概率分布。
在贝叶斯分类中，需要计算每个样本在各特征值下的后验概率，即属于某个类别的概率。
4.贝叶斯公式贝叶斯公式就是计算后验概率的公式，它是由条件概率和先验概率推导而来的。
5.贝叶斯分类器贝叶斯分类器是一种基于贝叶斯定理实现的分类器，可以用于在多个类别的情况下分类，是一种常用的分类方法。
具体实现过程为：首先，使用训练数据计算各个类别的先验概率和各特征值下的条件概率。
然后，将测试数据的各特征值代入条件概率公式中，计算出各个类别的后验概率。
最后，取后验概率最大的类别作为测试数据的分类结果。
三、实验步骤1.数据集准备本次实验使用的是Iris数据集，数据包含150个Iris鸢尾花的样本，分为三个类别：Setosa、Versicolour和Virginica，每个样本有四个特征值：花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度。
2.数据集划分将数据集按7:3的比例分为训练集和测试集，其中训练集共105个样本，测试集共45个样本。
计算三个类别的先验概率，即Setosa、Versicolour和Virginica类别在训练集中出现的频率。
对于每个特征值，根据训练集中每个类别所占的样本数量，计算每个类别在该特征值下出现的频率，作为条件概率。
5.测试数据分类将测试集中的每个样本的四个特征值代入条件概率公式中，计算出各个类别的后验概率，最后将后验概率最大的类别作为该测试样本的分类结果。
6.分类结果评估将测试集分类结果与实际类别进行比较，计算分类准确率和混淆矩阵。
模式识别课件 第二章 贝叶斯决策论
• 2.3 最小误差率分类
• 当损失函数简化到所谓的“对称损失”或“0-1损失” 函数
i, j 1,2,c
0 ( i | j ) 1
i j i j
• 这个损失函数将0损失赋给一个正确的判决，而将一 个单位损失赋给任何一种错误判决，因此所有误判都是 等价的。与这个损失函数对应的风险就是平均误差概率。
i ;
b
左图说明，如果 引入一个0-1损失 或分类损失，那么 判别边界将由阈值 a 决定；而如果 损失函数将模式 2 判为 1 的惩罚大于 反过来情况，将得 到较大的阈值 使 b 得R1变小
2.3.1 极小极大化准则（先验概率未知情形） • 有时我们需要设计在整个先验概率范围内都能很好操作的 分类器。一种合理的设计方法就是使先验概率取任何一种
2
？
通常： (2,1 1,1 ) 0 (1,2 2,2 ) 0
结合贝叶斯公式，用先验概率与条件密度来表示 后验概率，等价规则为 如果 (2,1 1,1 ) P( x | 1 ) P(1 ) (1, 2 2,2 ) P( x | 2 ) P(2 )
p( x | i ) P(i ) p( x | j ) P( j )
j
g i ( x) P(i | x)
gi ( x) ln p( x | i ) ln P(i )
• 尽管判别函数可写成各种不同的形式，但是判决规则是相同的。 每种判决规则都是将特征空间划分c个判决区域， R1 , Rc 如果对于所有的 j i ，有 gi ( x) g j ( x) 那么x属于 Ri 。 要求我 们将x分给 i 。此区域由判决边界来分割，其判决边界即判决
注 : 假定的类条件概率密度函数图,显示了模式处于类别 i 时观察某 个特定特征值 x 的概率密度.如果 x 代表了鱼的长度,那么这两条曲线可 描述两种鱼的长度区别.概率函数已归一化,因此每条曲线下的面积为1
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以两类分类问题为例：已知先验分布P(ωi)和 观测值的类条件分布p(x|ωi)，i=1,2 问题：对某个样本x，x∈ ω1? x∈ ω2？
以后验概率为判决函数： 决策规则：
gi (x) P(i | x)
j argmax P(i | x)
i
即选择P(ω1|x)，P(ω2|x)中最大值对应的类作 为决策结果
| |
x) x)
若决定x 1 若决定x 2
1
max i
P(i
|
x)
第二章 Bayes决策理论
19
决策的错误率（3）
最小错误率 决策
Bayes最小错误率决策使得每个观 测值下的条件错误率最小因而保 证了（平均）错误率最小。
Bayes决策是一致最优决策。
第二章 Bayes决策理论
20
决策的错误率（4）
• 正常(ω1)： P(ω1)=0.9 • 异常(ω2)： P(ω2)=0.1 • 对某一样本观察值x，通过计算或查表得到：
p(x|ω1)=0.2， p(x|ω2)=0.4
如何对细胞x进行分类？
第二章 Bayes决策理论
15
Bayes最小错误率决策例解（2）
最小错误率 决策
利用贝叶斯公式计算两类的后验概率：
i
x 1
决策结果
第二章 Bayes决策理论
16
图解
最小错误率 决策
p(x|ω1) p(x|ω2)
p(ω1|x)
p(ω2|x)
类条件概率密度函数
后验概率
第二章 Bayes决策理论
17
决策的错误率
最小错误率 决策
条件错误率：
P(e | x)
（平均）错误率：
P(e) E(P(e | x)) P(e | x) p(x)dx
决策区域与决策面 (decision region/surface)：
第二章 Bayes决策理论
7
第二章 Bayes决策理论
8
决策规则(decision rule)
规则表达1
if
g
j
(x)
max i
gi
(x)
then x j
规则表达2
j argmax gi (x)
i
第二章 Bayes决策理论
• 最小错误率准则 • 最小风险准则
• 在限定一类错误率条件下使另一类错误率 为最小的准则
• 最小最大决策准则
第二章 Bayes决策理论
6
2.2 基于判别函数的分类器设计
判别函数 (discriminant function)： 相应于每一类定义一个函数，得到 一组判别函数 gi(x), i = 1,2,…,c
（平均）错误率是条件错误率的数学期望
第二章 Bayes决策理论
18
决策的错误率（2）
最小错误率 决策
条件错误率P(e|x)的计算: 以两类问题为例，当获得观测值x后， 有两种决策可能：判定 x∈ω1 ，或者 x∈ω2。
条件错误率为：
P(e
|
x)
P(2 P(1
| |
x) x)
1 1
P(1 P(2
该决策使得在观测值x下的条件错误率P(e|x) 最小。 Bayes决策理论是最优的
第二章 Bayes决策理论
11
后验概率P (ωi| x)的计算
最小错误率 决策
Bayes公式： 假设已知先验概率P(ωi)和观测 值的类条件分布p(x|ωi)，i=1,2
P(i
|
x)
P(i , x)
p(x)
P(i ) p(x | i )
最小错误率 决策
设t为两类的分界面，则在特征向量x是一维 时，t为x轴上的一点。两个决策区域: R1~(-∞，t)和R2~(t，+∞)
P(e) P(x R1,2 ) P(x R2,1) P(2 )P(x R1 | 2 ) P(1)P( x R2 | 1)
P(1 | x)
P(1) p(x | 1)
2
P( j ) p(x | j
)
0.9
0.9 0.2
0.2 0.1
0.4
0.818
j 1
P(2 | x)
P(2 ) p(x | 2 )
2
P( j ) p(x | j )
0.2
Байду номын сангаас
0.4 0.9
0.1 0.4
0.1
0.182
j 1
j argmax P(i | x) 1
2.6 讨论
2.1 引言
信号空间
数据获取
预处理
特征提取 与选择
特征空间
分类决策
分类器 设计
第二章 Bayes决策理论
3
基本概念
模式分类：根据识别对象的观测值确定其类 别
样本与样本空间：
x x1, x2, , xn T x Rn
类别与类别空间：c个类别（类别数已知）
1,2, ,i ,c
最小错误率 决策
ln p(x |i)P(i) ln p(x |i) ln P(i)
判别函数中与类别i无关的项，对
于类别的决策没有影响，可以忽略
第二章 Bayes决策理论
14
Bayes最小错误率决策例解
最小错误率 决策
两类细胞识别问题：正常(ω1)和异常(ω2) 根据已有知识和经验，两类的先验概率为：
P( j ) p(x | j )
j
第二章 Bayes决策理论
12
公式简化
比较大小不需要计算p(x)：
argmax P(i | x)
i
argmax p(x | i )P(i )
i
p(x)
argmax p(x | i )P(i )
i
第二章 Bayes决策理论
最小错误率 决策
13
公式简化
对数域中计算，变乘为加：
第二章 Bayes决策理论
4
决策
引言
把x分到哪一类最合理？理论基础 之一是统计决策理论
决策：是从样本空间S，到决策空 间Θ的一个映射，表示为 D: S --> Θ
第二章 Bayes决策理论
5
决策准则
引言
评价决策有多种标准，对于同一个问题，采 用不同的标准会得到不同意义下“最优”的 决策。
Bayes决策常用的准则：
模式识别理论及应用
Pattern Recognition - Methods and Application
第二章 贝叶斯决策理论
模式识别与神经网络
内容目录
第二章 贝叶斯决策理论
2.1 引言
2.2 基于判别函数的分类器设计
2.3 基于最小错误率的Bayes决策
2.4 基于最小风险的Bayes决策
2.5 正态分布的最小错误率Bayes决策
9
分类器设计
判别 函数
分类器是某种由硬件或软件组成的“机器”：
• 计算c个判别函数gi(x) • 最大值选择
x1
g1
x2
g2
.
.
.
.
.
.
xn
gc
MAX
多类识别问题的Bayes最小错误率决策：gi(x) = P (ωi |x)
第二章 Bayes决策理论
a(x)
10
2.3 Bayes最小错误率决策